PHUONG PHAP TOA DO TRONG KHONG GIAN cực hay

1 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN CỰC HAY Phần 1: HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN Hệ trục tọa độ Decartes vng góc Oxyz (Hệ tọa độ Oxyz) Hệ gồm ba trục x ' Ox, y ' Oy , z ' Oz vng góc với đơi O với vectơ đơn vị rr r trục i, j , k • • O: gốc tọa độ x ' Ox : trục hồnh y ' Oy : trục tung z ' Oz : trục cao • • Tọa độ vectơ khơng gian r r r r r 2.1 Định nghĩa: u = ( x; y; z ) ⇔ u = x.i + y j + z.k Với định nghĩa trên, ta có: r i = ( 1;0;0 ) r = (0;0;0) r j = ( 0;1;0 ) r k = ( 0;0;1) 2.2 Các cơng thức tọa độ vectơ khơng gian r r Cho a = ( x1; y1 ; z1 ) , b = ( x2 ; y2 ; z2 ) số thực k a) r r a ± b = ( x1 ± x2 ; y1 ± y2 ; z1 ± z ) ; r r b) ka = ( kx1; ky1; kz1 ) ; r r r  x1 = x2 r r  c) a = b ⇔  y1 = y2 ; z = z  Ví dụ 1: Trong khơng gian Oxyz, cho vectơ a = ( −1;2; −5 ) , b = 2i − j r a) Tìm tọa độ b r uur r b) Tìm tọa độ u = 3a − 4b r r r r c) Tìm tọa độ v thỏa 3v − 2a = b  x1 = tx2 r r x1 y1 z1 r r r r  = = (với Đk: x2 y2 z2 ≠ d) a cp b ( b ≠ ) ⇔ ∃t ∈ ¡ : a = tb ⇔ ∃t ∈ ¡ :  y1 = ty2 ⇔ x y z2 2  z = tz  ) e) Tích vơ hướng hai vectơ: rr r r r r ( ); Định nghĩa: a.b = a b cos a, b Hệ quả: rr Biểu thức tọa độ: a.b = x x + y y + z z 2 r a = x12 + y12 + z12 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN CỰC HAY r r r r r x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 cos a, b = a, b ≠ x12 + y12 + z12 x22 + y22 + z22 r r a ⊥ b ⇔ x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = ( ) ( f) Tích có hướng hai vectơ ) r r Định nghĩa: Tích có hướng hai vectơ a, b vectơ có tọa độ xác định sau: r r r r x  a, b  = a ∧ b =     y2 Tính chất: x3 x3 ; y3 y3 x1 x1 ; y1 y1 x2  ÷ y2  r r r r r r  a, b  ⊥ a  a, b  ⊥ b     r r r r  a , b  = −  b, a      r r r r r r  a, b  = a b sin a, b   r r r r r   ⇔ a , b = phương a b   r r r r rr   ⇔ a , b a, b, c đồng phẳng   c = ( ) Ứng dụng: r uuur uuu  AB, AC   2 uuu r uuur uuur Thể tích khối hộp: VABCD A ' B ' C ' D ' =  AB, AD  AA ' r uuur uuur uuu Thể tích khối tứ diện: VABCD =  AB, AC  AD  6 Diện tích tam giác: S ∆ABC = Tọa độ điểm khơng gian uuuu r 3.1 Định nghĩa: M ( x; y; z ) ⇔ OM = ( x; y; z ) Với định nghĩa trên, ta có: O ( 0;0;0 ) M ∈ Ox ⇒ M ( x;0;0 ) M ∈ ( Oxy ) ⇒ M ( x; y;0 ) M ∈ Oy ⇒ M ( 0; y;0 ) M ∈ ( Oxz ) ⇒ M ( x;0; z ) M ∈ Oz ⇒ M ( 0;0; z ) M ∈ ( Oyz ) ⇒ M ( 0; y; z ) 3.2 Các cơng thức tọa độ điểm khơng gian Cho A ( x A ; y A ; z A ) , B ( xB ; yB ; z B ) , C ( xC ; yC ; zC ) |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN CỰC HAY uuu r AB = ( xB − x A ; yB − y A ; z B − z A ) AB = ( xB − x A ) + ( yB − y A ) + ( z B − z A ) 2  x A + xB y A + y B z A + z B  ; ; ÷Tọa độ trọng tam G tam giác 2   Tọa độ trung điểm M đoạn thẳng AB: M   x A + xB + xC y A + yB + yC z A + z B + zC  ; ; ÷ 3   ABC: G  Ví dụ 2: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm S ( −2;1; −1) tam giác ABC với A ( 1;1;1) , B ( 2;3;4 ) , C ( 6;5;2 ) a) Tìm tọa độ điểm D cho ABCD hình bình hành b) Tìm toạ độ điểm E thuộc mặt phẳng Oxy cho A, B, E thẳng hàng c) Chứng minh SABC tứ diện d) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh S tứ diện SABC BÀI TẬP Bài 1: Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba điểm A ( 1; −2;4 ) , B ( −3;2;0 ) , C ( 3; −1;0 ) uuu r uuu r uuur uuu r uuur uuu r a) Tìm tọa độ véc tơ: AB; BA; AC ; CA; BC ; CB r uuu r r uuu r uuur b) Tìm tọa độ u = AB ; v = AB + AC ; điểm E thỏa uuu r uuur uuur uuur EA = 2.EC − 3.BE + 4.AB c) Chứng minh A, B, C ba đỉnh tam giác Tính chu vi tam giác ABC d) Tính góc tam giác ABC e) Tìm tọa độ trung điểm I AB Tính độ dài đường trung tuyến CI tam giác ABC f) Tìm tọa độ điểm D để ABCD hình bình hành h) Tìm điểm H thuộc Ox để tam giác ACH vng C Bài 2: Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba điểm A ( 1;2;1) , B ( 5;3;4 ) , C ( 8; −3;2 ) a) Chứng minh tam giác ABC tam giác vng b) Tính diện tích tam giác ABC c) Xác định toạ độ tâm tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC d) Xác định toạ độ chân đường cao tam giác ABC kẻ từ đỉnh A Bài 3: Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A(1;1;-1), B(3;-4;0), C(-3;2;-2),D(6;2;0) |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN CỰC HAY a) Chứng minh A,B,C,D bốn đỉnh tứ diện b) Tính diện tích tam giác ABC độ dài đường cao hạ từ A tam giác ABC c) Tính thể tích tứ diện ABCD độ dài đường cao hạ từ A tứ diện ABCD d) Tìm góc tạo cạnh đối diện tứ diện ABCD e) Xác định toạ độ tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Bài 4: Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có đỉnh D thuộc trục Oy ba đỉnh A ( 2;1; −1) , B ( 3;0;1) , C ( 2; −1;3 ) Biết tứ diện tích đơn vị thể tích Tìm toạ độ đỉnh D Bài 5: Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' với A ( 2;0;2 ) , B ( 4;2;4 ) , C ( 2; −2;2 ) , D ' ( 8;10; −10 ) Tìm toạ độ đỉnh lại hình hộp Bài tập trắc nghiệm r r r a = 2; − 5;3 , b = 0;2; − , c = ( 1; 7;2 ) Tọa độ vecto ( ) ( ) Câu 1:Trong không gian Oxyz cho ba vecto u r r r r d = a − 4b − 2c là: A ( 0; −27;3) B ( 1;2; −7 ) C ( 0;27;3 ) D ( 0; −27; −3) Câu 2:Trong không gian Oxyz cho tam gíac ABC biết A ( 3; −2;5 ) , B ( −2;1; −3 ) , C ( 5;1;1) Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC A G ( 2; 0;1) B G ( 2;1; −1) C G ( −2; 0;1) D G ( 2; 0; −1) Câu 3:Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có A ( −2;2;1) , B ( 1; 0;2 ) , C ( −1;2;3 ) Diện tích tam giác ABC Câu 4:Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A ( 1;1;1) , B ( 2;3; ) , C ( 6;2;5 ) , D ( 7; 7;5 ) diện tích tứ giác A B ABCD A 82 B C D C 15 D 83 Câu 5:Trong không gian Oxyz cho ba điểm A ( 2; −3; ) , B ( 1; y; −1) , C ( x; 4;3 ) Để ba điểm A, B, C thẳng 82 hàng giá trò 5x+y : A 36 B 40 C 42 D 41 Câu 6:Trong không gian Oxyz cho A ( 2; −1;6 ) , B ( −3; −1; −4 ) , C ( 5; −1; ) Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC A D Câu 7:Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD biết A ( 2; −1;1) , B ( 5;5; ) , C ( 3;2; −1) , D ( 4;1;3 ) Tính thể tích tứ diện ABCD A B C B C D Câu 8:Trong không gian Oxyz cho A ( 4; 0; ) , B(0;2; 0), C ( 0; 0; ) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD hình bình hành |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN CỰC HAY A D ( 4; −2;4 ) B D ( 2; −2; ) C D ( −4;2; ) D D ( 4;2;2 ) Câu 9:Trong không gian Oxyz cho điểm M(2;-5;7) Tìm điểm đối xứng M qua mặt phẳng (Oxy) A ( 2; −5; −7 ) B ( 2;5; ) C ( −2; −5; ) D ( −2;5; ) Câu 10:Trong không gian Oxyz cho tứ diện A ( 2; −1;6 ) , B ( −3; −1; −4 ) , C (5; −1; 0), D(1;2;1) Độ dài đường cao AH tứ diện ABCD A B C D Phần 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHƠNG GIAN Vectơ pháp tuyến mặt phẳng r r - Vectơ n khác gọi vectơ pháp tuyến mặt phẳng (α) giá r n vng góc với ( α ) r r r - Nếu hai vec tơ a, b khác , khơng phương có giá song song nằm mặt phẳng r r ( α ) ( a, b gọi vecto phương vtcp) ta chọn vectơ pháp tuyến mặt phẳng (α) r r r n =  a, b  Phương trình tổng qt mặt phẳng - Phương trình tổng qt mặt phẳng phương trình có dạng: Ax + By + Cz + D = , với A2 + B + C ≠ r Trong đó, n = ( A; B; C ) vectơ pháp tuyến mặt phẳng - Mặt phẳng (α) r qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) nhận n = ( A; B; C ) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = Các trường hợp đặc biệt phương trình tổng qt: Xét mặt phẳng (α) có phương trình tổng qt: Ax + By + Cz + D = , với A2 + B + C ≠ |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN CỰC HAY Các hệ số Phương trình (α) Ax + By + Cz = D=0 A=0 B=0 C=0 A=B=0 A=C=0 B=C=0 By + Cz + D = Ax + Cz + D = Ax + By + D = Cz + D = By + D = Ax + D = Tính chất mặt phẳng (α) (α) qua gốc toạ độ O (α) // Ox (α) ⊃ Ox (α) // Oy (α) ⊃ Oy (α) // Oz (α) ⊃ Oz (α) // (Oxy) (α) ≡ (Oxy) (α) // (Oxz) (α) ≡ (Oxz) (α) // (Oyz) (α) ≡ (Oyz) Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn (cắt ba trục toạ độ điểm ( a; 0; ) ,( 0;b; ) ,C ( 0; 0;c ) (abc ≠ 0) ) là: x y z + + =1 a b c Vị trí tương đối hai mặt phẳng: Cho hai mặt phẳng (α) ( β ) : (α) A1 x + B1 y + C1 z + D1 = (β) A2 x + B2 y + C2 z + D2 = ur uu r Hai mặt phẳng ( α ) ( β ) có vectơ pháp tuyến n1 = ( A1 ;B1 ;C1 ) , n2 = ( A2 ;B2 ;C3 ) ur uu r • ( α ) ( β ) cắt ⇔ n1 n2 khơng phương ⇔ A1 : B1 :C1 ≠ A : B :C (nếu A2 B2C2 ≠ ) ur uu r n1 = k n2 A B C D ( k ∈ ¡ ) ⇔ = = ≠ (nếu A2 B2C2 D2 ≠ ) • ( α ) // ( β ) ⇔  A2 B2 C D2  D1 ≠ kD2 • (α) ⊥ (β) ⇔ A1A + B1B + C 1C = ur uu r n1 = kn2 A B C D ( k ∈ ¡ ) ⇔ = = = (nếu A2 B2C2 D2 ≠ ) • (α) ≡ ( β ) ⇔  A2 B2 C D2  D1 = kD2 Góc hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng (α) Gọi ϕ góc (α) cosϕ = ( β ) : ( α ) : A1x + B1 y + C1 z + D1 = ( β ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = ( β ) Ta có: A1A + B1B + C 1C A12 + B12 + C 12 A 22 + B 22 + C 22 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN CỰC HAY 6.Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng d ( M ,(α ) ) = ( α ) : Ax + By + Cz + D = A x + By + Cz + D A + B +C BÀI TẬP Dạng Viết phương trình mặt phẳngPhương pháp: Tuỳ theo điều kiện tốn, ta chọn số cách sau: Cách 1: Xác định toạ độ điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) mà mặt phẳng qua toạ độ r vectơ pháp tuyến mặt phẳng n = ( A; B; C ) Khi đó, phương trình mặt phẳng cần tìm là: A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = r r  r n ⊥ a Chú ý: Nếu n một vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( α )  r r n ⊥ b r r r hai vectơ a, b khác , khơng phương với ta r r r chọn n =  a, b  Cách 2: Phương trình tổng qt mặt phẳng có dạng: Ax + By + Cz + D = , với A2 + B + C ≠ Từ giả thiết tốn, tìm hệ số A, B, C, D thoả điều kiện Cách 3: Sử dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: x y z + + = (abc ≠ 0) a b c Từ giả thiết tốn, tìm hệ số a, b, c thoả điều kiện CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Lập phương trình mặt phẳng (ABC) với A(5; 1; 3), B(4; 0; 6), C(5; 0; 4) Ví dụ 2: Lập phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB với A(2; 3; 7), B(4; 1; 3) Ví dụ 3: Lập phương trình mặt phẳng (P) qua M(2; –1; 2) song song với mặt phẳng (Q): x − y + 3z + = |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN CỰC HAY Ví dụ 4: Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A(1; 0; 1), B(5; 2; 3) vng góc với (Q): x − y + z − = BÀI TẬP Bài 1: Trong khơng gian Oxyz, cho A(2;1;-3), B(3;-2;2), C(4;1;-1) a) Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua A vng góc với BC b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) c) Viết phương trình mặt phẳng trung trực AC Bài : Viết phương trình mặt phẳng (α ) trường hợp sau: a) (α ) qua điểm M ( 3;3;3) song song với mặt phẳng ( β ) : 2x − 3y + z − = b) (α ) qua hai điểm A ( 2; −1;4 ) , B ( 3;2; −1) vng góc với mặt phẳng ( β ) : x + y + 2z − = c) (α ) qua M ( 2; −1;1) vng góc với mặt phẳng Oxz mặt phẳng ( β ) : x + y + 2z − = d) (α ) qua M ( 1; −1;1) chứa giao tuyến hai mặt phẳng ( β ) : x − y + z − = ( γ ) : x + y − 3z + = e) (α ) chứa giao tuyến hai mặt phẳng ( β ) : 3x − y + z − = ( γ ) : x − z = vng góc với mặt phẳng ( Q ) : x − y + z + = f) (α ) qua điểm M ( 1; −1;1) cắt trục Ox, Oy, Oz A, B, C cho M trọng tâm tam giác ABC g) (α ) qua điểm M ( 1;4;2 ) chắn tia Ox, Oy, Oz đoạn thẳng Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua điểm M ( 1;2;3) cắt tia Ox, Oy, Oz A, B, C với OA = a, OB = b, OC = c cho: a) Thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ Dạng –Vị trí tương đối hai mặt phẳng Góc hai mặt phẳngCÁC VÍ DỤ Ví dụ: Xác định giá trị m, n để cặp mặt phẳng sau song song nhau: (P): x + my + 3z − = (Q): nx − y − z + = |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN CỰC HAY BÀI TẬP Bài 1: Xét vị trí tương đối hai mặt phẳng (α) (β) trường hợp sau : a) ( α ) : x − y + z + = ( β ) : x − y + z − = b) ( α ) : x + y + z + = ( β ) : x + y + z + = c) ( α ) : 3x − y − 3z + = ( β ) : x − y + z − = d) ( α ) : x − y + z − = ( β ) : 10 x − 10 y + 20 z − 40 = ( α ) : 3x + y − z + 14 = Bài 2: Cho ba mặt phẳng ( β ) : ( m + 1) x + ( 9m + 10 ) y − ( m + ) z − = ( γ ) : ( n − 1) x − y + ( n + 3) + = a) Tìm m để (α) vng góc (β) b) Tìm m để (α) song song (β) (α) (β) c) Tìm m n để trùng Bài 3: Tìm góc tạo cặp mặt phẳng sau: a) (α ) : x + y – 5z + = ( β ) : 5x + y – 3z = b) (α ) : 2x – 2y + z + = ( β ) : z + = c) (α ) : x – 2z + = ( β ) : y = Bài : Cho mặt phẳng ( α ) : 2x − y + z + = a) Viết phương trình mặt phẳng b) Tính góc tạo (β) (β) qua gốc toạ độ song song (α) ( β ') : x + y + z − 10 = Dạng –Khoảng cách- Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz cho tứ diện với đỉnh A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0;6), D(2; 4; 6) Tính đường cao hạ từ đỉnh D tứ diện BÀI TẬP Bài 1: Cho tứ diện ABCD biết toạ độ đỉnh A ( −1; −2;4 ) , B ( −4; −2;0 ) , C ( 3; −2;1) D ( 1;1;1) a) Tính độ dài đường cao tứ diện xuất phát từ A b) Tìm toạ độ điểm M thuộc trục Ox cho M cách điểm D mặt phẳng (ABC) Bài 2: Cho hai mặt phẳng ( α ) : x − y + z − = ( β ) : x + y − z + 12 = Tìm Oz điểm cách (α) (β) 10 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN CỰC HAY Bài 3: Tính khoảng cách hai mặt phẳng song song: ( α ) : x + y − z + = ( β) :x + y − z +5=0 Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng ( α ) : x − y + z − = , biết khoảng cách từ điểm M ( 4;1; −2 ) đến mặt phẳng (α) Bài 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) biết (P) qua hai điểm A ( 2;0;0 ) , B ( 0;3;0 ) khoảng cách từ gốc toạ độ O đến (P) Bài 6: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song cách hai mặt phẳng ( α ) : x − y + z − = ( β ) : x − y + z + 19 = Bài 7: Viết phương trình mặt phẳng (α) đối xứng với mặt phẳng ( β ) : x − y + z − = qua điểm M ( −2; −4;3) TRẮC NGHIÊM Câu 11:Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;4;1), B(–1;1;3) mặt phẳng (P): x –3y + z –5 = Viết phương trình mặt phẳng (Q)đi qua hai điểm A,Bvà vng góc với mặt phẳng (P) A (Q) : y + 3z − 11 = B (Q) : y + 3z − 11 = C (Q) : y + 3z + 11 = D (Q) : y + 3z + 11 = Câu 12: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm  x = −1 + t  A(2;1;3), B(1; −2;1) song song với đường thẳng d :  y = 2t   z = −3 − 2t A x + y + 3z + 19 = B 10 x − y + z − 19 = C x + y + 3z − 19 = D 10 x − y + z + 19 = Câu 13: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d1 d2 có phương trình: d1; x −1 y +1 z − x − y −1 z − = = = = , d2 : Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d d2 A x + y − 5z + 10 = B x − y − 5z − 10 = C x + y – 5z +10 = D = Câu 14: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm I(1;-3;2) Viết phương trình mặt phẳng (P) song song r với giá véc tơ v = (1;6;2) , vng góc với mặt phẳng (α ) : x + y + z − 11 = đồng thời cách điểm I đoạn A (P): B (P): C (P): D (P): x − y + 2z + = x − y + z − = x − y + 2z + = x − y + z − = (P): x − y + 2z − 21 = (P): x − y + 2z − 21 = (P): x − y + z + 21 = (P): x − y + z + 21 = Câu 15: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; –1; 1) hai đường thẳng d1 : x y +1 z = = −2 −3 x y −1 z − Chứng minh điểm M , d1, d2 nằm mặt phẳng Viết phương trình = = mặt phẳng d2 : 10 13 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN CỰC HAY ∆1 ∆2 r b r a r A a B A ∆1 r b B ∆2 ( ∆1 ≡ ∆2 ) ( ∆1 // ∆2 ) ∆1 r a r b B A ∆2 A ∆1 ∆2 ( ∆1 chéo ∆2 ) r a r b B ( ∆1 cắt ∆2 ) Góc hai đường thẳng Góc đường thẳng mặt phẳng  x = x + a1t x = x + b1t   b) Cho hai đường thẳng ∆1 :  y = y + a2t ∆2 :  y = y + b2t có vectơ phương : z = z + a t z = z + b t 3   r r a = ( a1 ;a2 ;a3 ) b = ( b1 ;b2 ;b3 ) r r a b ab +a b +ab r r cos ( ∆1 ; ∆2 ) = cos a ;b = r r = 2 22 2 32 a b a1 + a2 + a3 b1 + b2 + b32 ( Chú ý: 0 ) ≤ ( ∆1 ; ∆2 ) ≤ 90 x  c) Cho đường thẳng ∆ :  y  z = x + at r = y + bt có vectơ phương u = ( a;b ;c ) mặt phẳng (α): Ax + By + = z + ct r Cz + D = có vtpt n = ( A ; B ;C ) Góc đường thẳng ∆ mặt phẳng (α) tính cơng thức: rr u n A a + Bb + Cc r r sin ( ∆;( α )) = cos ( u ; n ) = r r = u n a2 + b + c A + B + C Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng khoảng cách hai đường thẳng chéo a) Cho đường thẳng ∆ qua điểm M0, có vectơ phương : r a điểm M Khi uuuuur  MM ,ar    d ( M ;∆ ) = r a b) Cho hai đường thẳng ∆1 ∆2 chéo 13 14 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN CỰC HAY r ∆1 qua M1 có vectơ phương a = ( a1 ;a2 ;a3 ) r ∆2 qua M2 có vectơ phương b = ( b1 ;b2 ;b3 ) Khoảng cách hai đường thẳng chéo ∆1 ∆2 tính cơng thức sau: r r uuuuuur a , b  M 1M   d ( ∆1 ; ∆2 ) = r r a , b    BÀI TẬP Dạng –Viết phương trình đường thẳngPhương pháp: Cách 1: Xác định toạ độ điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) mà đường thẳng qua toạ độ r vectơ phương đường thẳng n = ( a1; a2 ; a3 ) Khi đó, phương trình tham số đường thẳng cần tìm là: x = x + a1t   y = y + a2t z = z + a t  Cách 2: Xác định hai mặt phẳng (α) (β) (t ∈ R ) có giao tuyến đưởng thẳng cần tìm, viết phương trình giao tuyến (xem lại mục 2b phần lý thuyết) CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Viết phương trình tham số đường thẳng AB với A(2;3;–1), B(1; 2; 4) Ví dụ 2: Viết PTTS đường thẳng ∆ qua điểm A(−2;4;3) vng góc với mặt phẳng ( P):2 x − y + z + 19 = BÀI TẬP Bài 1: Viết phương trình tham số đường thẳng ∆ trường hợp sau: r a) Qua M(1 ; 2; 3) có vectơ phương a = (1 ; – ; – 5) b) Qua A(1 ; – ; 3) B(3 ; ; 0) c) Qua M(2 ; –1; 3) vng góc với mặt phẳng (α): x + y – x + = 14 15 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN CỰC HAY  x = + 2t  d) Qua M(2; 0; –3) song song với đường thẳng d:  y = −3 + 3t  z = 4t  x = + t  Bài 2: Viết phương trình tham số đường thẳng ∆ hình chiếu vng góc d: y = −3 + 2t z = + 3t  mặt (Oxy), (Oyz), (Oxz) Bài 3: Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M(1; 1; 2) song song với đường thẳng d giao tuyến mặt phẳng (α): 3x – y + 2z – =0 (β): x + 3y – 2z + = Bài 4: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) qua ba điểm A(1; 3; 2), B(1; 2; 1) C(1; 1; 3) Viết phương trình tham số đường thẳng qua trọng tâm tam giác ABC vng góc (α) Bài 5: Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M(1; 4; –2) song song với mp (α): 6x + 2y + 2x + = (β): 3x – 5y – 2z – = Bài 6: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho d: x +1 y −1 x − = = mp (P): x – y – z – = Tìm phương trình tắc đường thẳng ∆ qua điểm A(1; 1; – 2), song song với (P) vng góc với d Bài 7: Tìm tập hợp điểm M khơng gian cách ba điểm A(1; 1; 1), B(–1; 2; 0) C(2; –3; 2) Bài 8: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(–4; –2; 4) đường thẳng d: x = −3 + 2t  y = − t Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, cắt vng góc với đường thẳng d z = −1 + 4t  Dạng –Vị trí tương đối x = + t  x −3 y −1 x −1 Ví dụ: Cho hai đường thẳng ∆ :  y = + 2t ∆ : = = 1 −7 z = − t  a) Chứng minh ∆1 ∆2 chéo b) Tính khoảng cách ∆1 ∆2 BÀI TẬP Bài 1: Xét vị trí tương đối của cặp đường thẳng sau: x = + t  d:  y = + t  z = − t  x = + 2t '  d′:  y = −1 + 2t '   z = − 2t ' 15 16 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN CỰC HAY x = − t  d:  y = + 2t z = 3t  x = − t  d:  y = + t   z = − 2t  x =1+ t'  d′:  y = 3- 2t'   z =1  x = − 3t '  d′:  y = + 3t '   z = − 6t ' Bài 2: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mp(P): 2x – y + = đường thẳng d m giao tuyến mặt phẳng (α), (β) với: (α): (2m + 1)x + (1–m)y + m – = (β): mx + (2m+1)z + 4m + = Định m để đường thẳng dm song song với mặt phẳng (P) Bài 3: Cho hai đường thẳng d1 d2 có phương trình: d1: x +1 y −1 z − x y −1 z + d2: = = = = −2 1 a) Chứng minh d1 d2 cắt Tìm giao điểm chúng b) Lập phương trình mặt phẳng (α) chứa d1 d2 Bài 4: Cho hai đường thẳng d1 d2 có phương trình: x = + t  d1: y = − t d2: z = − t  x = + 2t '  y = −3 − t ' z = − t '  a) Chứng minh d1 d2 song song với b) Lập phương trình mặt phẳng (α) chứa d1 d2 Bài 5: Cho hai đường thẳng d1 d2 có phương trình: d1: x y −1 z + x + = y −1 = z − = d2: = −2 1 c) Chứng minh d1 d2 cắt Tìm giao điểm chúng d) Lập phương trình mặt phẳng (α) chứa d1 d2 Bài 6: Cho mp(P): 4x – 3y + 11z – 26 = hai đường thẳng d1, d2: d1: x = y − = z +1 x − = y = z−3 d2: −1 1 a) Chứng minh d1 d2 chéo b) Lập phương trình đường thẳng ∆ ⊂ (P) đồng thời cắt d1 d2 Bài 7: Cho điểm A(1; 1; 1) hai đường thẳng d1, d2 có phương trình: 16 17 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN CỰC HAY  x = −1  x −1 = y + = z d1: d2:  y = −1 + t 1  z = t Lập phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A, vng góc với d1 cắt d2 Dạng 3: Khoảng cách góc Bài tốn 1: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng r Cho đường thẳng ∆ qua điểm A có vectơ phương a qua điểm A Muốn tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆, ta sử dụng hai cách sau: Cách 1: Xác định toạ độ điểm H hình chiếu vng góc M lên đường thẳng ∆ d( M ; ∆ ) = MH Cách 2: Áp dụng cơng thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng uuuur  A M ,ar    d ( M ;∆ ) = r a Bài tốn 2: Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Phương pháp: Cho đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (P) Ta có: d ( ∆;( P )) = d ( M ;( P )) Trong M điểm đường thẳng ∆ (chọn M từ phương trình cuả ∆) Bài tốn 3: Khoảng cách hai đường thẳng chéo Phương pháp: Cho hai đường thẳng chéo ∆1 ∆2 r ∆1 qua M1 có vectơ phương a = ( a1 ;a2 ;a3 ) r ∆2 qua M2 có vectơ phương b = ( b1 ;b2 ;b3 ) Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo ∆1 ∆2, ta sử dụng cách sau: Cách 1: - Lập phương trình mặt phẳng (α) chứa ∆1 song song ∆2 - Lấy điểm A tuỳ ý ∆2 ( ) - Ta có: d ( ∆1 ; ∆ ) = d A; ( α ) Cách 2: Áp dụng cơng thức khoảng cách hai đường thẳng chéo 17 18 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN CỰC HAY r r uuuuuur a , b  M 1M   d ( ∆1 ; ∆2 ) = r r a , b    BÀI TẬP Bài 1: a) Tính khoảng cách từ điểm M ( 1; −1;1) đến đường thẳng ∆: x −2 y z −1 = =  x = −1 + t  b) Tính khoảng cách từ M(1 ;-2 ;1) đến đường thẳng ∆ :  y = − 2t z = 2t  Bài 2: Trong khơng gian Oxyz, cho hai điểm A ( −3; −2;6 ) ,B ( −2;4;4 ) Hãy tính độ dài đường cao OH tam giác OAB Bài 3: Trong khơng gian Oxyz, cho hai đường thẳng d : x +1 y −1 z + = = −3 −2 x = −1 + 3t  d :  y = + 2t z =  a) Chứng minh d ,d chéo b) Tính khoảng cách hai đường thẳng d ,d Bài 4: Trong khơng gian Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = đường thẳng d : x − y −7 z + = = −3 −2 a) Chứng minh đường thẳng b) Tính khoảng cách d song song với mặt phẳng ( P ) d ( P ) Bài 5: Chứng minh hai đường thẳng sau chéo tính khoảng cách chúng ∆1 : x − y +1 z − = = −2 ∆2 : x y−2 z = = −6 x = + 2t x = − 5t '   Bài 6: Tìm góc tạo cặp đường thẳng ∆1 :  y = 3t ∆ :  y = + t ' z = −2 + t z =   18 19 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN CỰC HAY x + y −1 z − = = Bài 7: Tìm góc tạo đường thẳng ∆ : mặt phẳng −2 ( α ) : x + y – z + = Bài : Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: x −3 y +2 z +1 mặt phẳng ( P ) : x + y + z + = = = 2 a) Tìm giao điểm M d (P) b) Viết phương trình đường thẳng ∆ chứa mặt phẳng (P) cho ∆ vng góc với d khoảng cách từ M đến ∆ 42 Dạng 4: Đường vng góc chung hai đường thẳng chéo Phương pháp: ur Cho hai đường thẳng chéo ∆1 ∆2 có vectơ phương u = ( a1 ;b1 ;c ) uu r u = ( a2 ;b2 ;c ) Để viết phương trình đường vng góc chung ∆ ∆1 ∆2, ta sử dụng cách sau: Cách 1: - Chuyển phương trình ∆1 ∆2 dạng tham số - MN đường vng góc chung ∆1 ∆2 thoả mãn  x = x + a1t x = x + a2t   ∆1 :  y = y + b1t ∆2 :  y = y + b2t z = z + c t z = z + c t 1 2   - Trên ∆1 lấy điểm M ( x1 + a1t1 ; y1 + b1t1 ; z1 + c1t1 ) - Trên ∆2 lấy điểm N ( x2 + a2t2 ; y2 + b2t ; z2 + c2t2 ) uuuu r ur  MN u1 =  MN ⊥ ∆1 ⇔  uuuu r uu r  MN ⊥ ∆   MN u2 = Giải hệ phương trình ta tìm t1 ,t2 , từ tìm toạ độ M N - Viết phương trình đường vng góc chung Cách 2: ∆ ∆1 ∆2 qua M N r ur uu r ∆ ∆1 ∆2 có vectơ phương u = u1 ,u2  - Đường vng góc chung - Chọn điểm A thuộc ∆1 Lập phương trình mặt phẳng - Xác định toạ độ điểm M giao điểm - Viết phương trình đường vng góc chung ( α ) chứa ∆ ∆1 r r ur ( ( α ) qua A có vectơ pháp tuyến n = u,u1  ) (α) ∆2 r ur uu r ∆ ∆1 ∆2 qua M nhận u = u1 ,u2  làm vectơ phương 19 20 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN CỰC HAY Ví dụ: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng chéo  x = 1+ t x −1 y z d : = = , d :  y = + t Viết phương trình đường vng góc chung chúng −1   z = + 2t BÀI TẬP Bài 1: Cho hai đường thẳng d1, d2: d1: x y − z +1 x − = y = z−3 = = d2: 1 −1 a) Chứng minh d1 d2 chéo b) Viết phương trình đường vng góc chung d1 d2 Bài 2: Cho hai đường thẳng d1, d2 có phương trình:  x = −1  x −1 y + z = = d2: y = −1 + t d1: 1  z = t a) Chứng minh d1 d2 chéo b) Viết phương trình đường vng góc chung d1 d2 Bài 3: Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz, Cho hai đường thẳng d1, d2 có phương trình: x =  x = − + 4t '   d1: y = − t d2:  y = + t '  z = + t z = t '  a) Chứng minh d1 d2 chéo đồng thời vng góc với b) Viết phương trình đường vng góc chung d1 d2 Dạng 5: Hình chiếu – Điểm đối xứng Bài tốn 1: Hình chiếu điểm mặt phẳng Phương pháp: Muốn tìm hình chiếu H điểm M lên mặt phẳng (α) , ta làm sau: - Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M vng góc với ( α ) - Ta có H = ∆ ∩ ( α ) Do đó, giải hệ phương trình gồm phương trình đường thẳng (α) ∆ ta tìm toạ độ điểm H Bài tốn 2: Điểm đối xứng điểm qua mặt phẳng Phương pháp: Muốn tìm điểm M’ đối xứng với điểm M qua mặt phẳng ( α ) , ta làm sau: 20 21 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN CỰC HAY - Tìm hình chiếu H điểm M lên mặt phẳng - M’ đối xứng với điểm M qua mặt phẳng (α) (α) H trung điểm MM’, từ tìm toạ độ M’ Bài tốn 3: Hình chiếu điểm đường thẳng ∆ , ta làm Phương pháp: Muốn tìm hình chiếu H điểm M lên đường thẳng sau: - Viết phương trình mặt phẳng (α) qua M vng góc với ∆ - Ta có H = ∆ ∩ ( α ) Do đó, giải hệ phương trình gồm phương trình đường thẳng (α) ∆ ta tìm toạ độ điểm H Bài toan 4: Điểm đối xứng điểm qua đường thẳng Phương pháp: Muốn tìm điểm M’ đối xứng với điểm M qua đường thẳng ∆ , ta làm sau: - Tìm hình chiếu H điểm M lên đường thẳng - M’ đối xứng với điểm M qua đường thẳng ∆ ∆ H trung điểm MM’, từ tìm toạ độ M’ Ví dụ: Cho điểm M(1; 4; 2) mặt phẳng (P): x + y + z − = a) Tìm toạ độ điểm H hình chiếu điểm M mặt phẳng (P) b) Tìm toạ độ điểm M′ đối xứng với M qua (P) c) Tính khoảng cách từ M đến (P) BÀI TẬP Bài 1: Trong khơng gian Oxyz,có mặt phẳng ( α ) : x + 3y + 2z − = a)Tìm toạ độ hình chiếu điểm A(2;3;5)trên mặt phẳng ( α ) b)Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua mặt phẳng Bài 2: Trong khơng gian Oxyz ,cho đường toạ độ hình chiếu vng góc điểm A(2;1;-1)trên đường thẳng (α) thẳng ∆: x + y −1 z −6 = = Tìm −3 1 ∆ Bài3:Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz,cho đường thẳng d : x −1 y −2 z = = Gọi K điểm −1 đối xứng điểm I(2;-1;3) qua đường thẳng d Xác định toạ độ điểm K 21 22 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN CỰC HAY Bài4: Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz,cho mặt phẳng ( α ) : x + y + z − = đường thẳng d : x − y +1 z −1 = = 3 a)Tìm giao điểm A d ( α ) b)Viết phương trình đường thẳng ∆ hình chiếu vng góc d lên ( α ) Bài 5: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ giao tuyến hai mặt phẳng (α): 2x +y + z + = 0, ( β): x +y + z + = mặt phẳng (P): 4x – 2y + z – = Viết phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng ∆' mặt phẳng (P) x = + t  Bài 6: Trong khơng gian Oxyz,cho điểmM(2;1;4) đường thẳng ∆ :  y = + t Tìm toạ độ điểm H thuộc z = + 2t  đường thẳng ∆ cho đoạn MH có độ dài nhỏ Phần 4: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU TRONG KHƠNG GIAN Phương trình mặt cầu: a) Phương trình tổng qt mặt cầu có dạng: (S ) :x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = , a ,b ,c ,d thoả điều kiện a + b + c − d > Khi đó, mặt cầu ( S b) Mặt cầu ( S ) ) có tâm I ( a ;b ;c ) có bán kính R = a + b + c − d có tâm I ( a ;b ;c ) bán kính R có phương trình tắc: ( S ) : ( x − a) + ( y −b) + ( z −c) = R 2 2 Vị trí tương đối mặt phẳng ( α ) mặt cầu (S):  d ( I ; (α ) ) > R ⇔ (α ) mặt cầu (S) khơng có điểm chung  d ( I ; (α ) ) = R ⇔ (α ) tiếp xúc mặt cầu (S)  d ( I ; (α ) ) < R ⇔ (α ) cắt mặt cầu (S) tạo giao tuyến đường tròn (C) có tâm I’ hình chiếu vng góc I lên ( α ) bán kính r = Vị trí tương đối đường thẳng ( ) R − d (với d = d I ; ( α ) ) ∆ mặt cầu (S):  d ( I ; ∆ ) > R ⇔ ∆ mặt cầu (S) khơng có điểm chung  d ( I ; ∆ ) = R ⇔ ∆ tiếp xúc mặt cầu (S) 22 23 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN CỰC HAY  d ( I ; ∆ ) < R ⇔ ∆ cắt mặt cầu (S) hai điểm phân biệt A, B thoả AB = R − d (với d = d ( I ; ∆ ) ) Ví dụ 1: Xác định tâm bán kính mặt cầu có phương trình: x + y + z + 4x − y + 6z + = Ví dụ 2: Lập phương trình mặt cầu qua điểm A (5; –2; 1) có tâm C (3; –3; 1) Ví dụ 3: Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x − 3)2 + ( y + 2)2 + (z − 1)2 = 100 mặt phẳng (P): 2x − y − z + = a) Chứng minh mặt phẳng (P) cắt (S) theo đường tròn (C) b) Hãy xác định toạ độ tâm bán kính (C) BÀI TẬP Bài : Tìm tâm bán kính mặt cầu có phương trình sau: a) ( x − 2) + ( y + 1) + ( z − 3) = ; b) x + y + z − x + y − z − = c) x + y + z + 3x − y + z − = ; d) x + y + z − x + y + z − = 2 2 Bài 2: Trong khơng gian Oxyz, lập phương trình mặt cầu ( S ) 2 trường hợp sau: a) Mặt cầu ( S ) có tâm I(3;-3;1) qua B(5;-2;1) b) Mặt cầu ( S ) có có đường kính AB với A(3;1;5), B(5;-7;1) c) Mặt cầu ( S ) có tâm I(3;-2;1) tiếp xúc với mp ( α ) : 4x – 3y – = d) Mặt cầu ( S ) qua điểm O, A, B, C với A(2 ;0 ;0), B(0 ;4 ;0), C(0 ;0 ;4) e) Mặt cầu ( S ) qua điểm A, B, C, D với A(2 ;1 ;1), B(3 ;-1 ;2), C(1 ;-1 ;2) , D(-2 ;3 ;1) Bài : Trong khơng gian Oxyz, lập phương trình tiếp diện mặt cầu (S) : x + y + z − x − y + z + = M(4 ;3 ;0) Bài : Trong khơng gian Oxyz, lập phương trình tiếp diện mặt cầu (S) x + y + z − x + y − z + = biết tiếp diện song song với mặt phẳng ( α ) : x - 2y + z +3=0 Bài : Tìm tâm bán kính đường tròn giao tuyến mặt phẳng (α) mặt cầu (S) trường hợp sau đây: a) ( α ) : x + 2y b) ( α ) : 2x + 2y - 2z + = (S) : x + y + z − x + y − z + = 2 + z – = (S) : x + y + z − 12 x + y − z − 24 = 2 23 24 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN CỰC HAY Bài : Xét vị trí tương đối mp( α ) mặt cầu (S) trường hợp sau : a) ( α ) : 3x + 4y – =0 (S) : x + y + z − x + y − z + 2 69 =0 b) ( α ) : x – y + 2z + = (S) : x + y + z − 3z − = 2 Bài 7: Trong khơng gian Oxyz cho I(2;3; -2) đường thẳng d : x + 15 y + 13 z − Viết phương = = 2 trình mặt cầu (S) có tâm I cho d cắt (S) hai điểm A, B thoả AB = 10 x −1 y − z = = điểm M(0; –2;0) 1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M, song song với đường thẳng ∆, đồng thời khoảng cách d đường thẳng ∆ mặt phẳng (P) Câu 17:Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆: A x − 8y + z − 16 = , x + y − z + = B x − 8y + z − 16 = , x + y − z + = C x − 8y + z − 16 = , x + y − z + = D x − 8y + z − 16 = , x + y − z + = x = t  Câu 18:Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d :  y = −1 + 2t điểm A(−1;2;3) Viết  z = phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d cho khoảng cách từ điểmAđến mặt phẳng (P) A x − y − 2z + = B x − y − z + = C x − y − 2z + = D x − y − z + = Câu 19: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(−1;1;0), B(0; 0; −2), I (1;1;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A B, đồng thời khoảng cách từ I đến (P) A x − y + z + = ’ x + 5y + z + = B x + y + z + = ’ x + y + 5z + = C x − y + z + = ’ x + y + 5z + = D x + y + z + = ’ x + y + 5z + = Câu 20: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1; −1;2) , B(1;3;0) , C(−3; 4;1) , D(1;2;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B cho khoảng cách từ C đến (P) khoảng cách từ D đến (P) A x + y + 4z − = x + y + z − = B x + y + 4z − = x + y + z − = C x + y + z − = x + y + z − = D x + y + z − = x + y + z − = Câu 21: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(1;2;1), B(−2;1;3), C (2; −1;1), D(0;3;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B cho khoảng cách từ C đến (P) khoảng cách từ D đến (P) A B C D ( P ) : x + y + z − 15 = ( P ) : x + y + z − 15 = ( P ) : x + y + z − 15 = ( P ) : x + y + z − 15 = hoặc hoặc ( P ) : x + 3y − = ( P ) : x + 3z − = ( P ) : y + 3z − = ( P ) : x + 3z + = Câu 22: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A(1;2;3) , B(0; −1;2) , C(1;1;1) Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua A gốc tọa độ O cho khoảng cách từ B đến (P ) khoảng cách từ C đến ( P ) A ( P ) : 3y − z = ( P ) : x − y = B ( P ) : x − z = ( P ) : x − z = C ( P ) : x − z = ( P ) : x − y = D ( P ) : x − y = ( P ) : x − y = Câu 23: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm Với A(1;2;0), B(0; 4;0), C(0; 0;3) Viết 24 25 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN CỰC HAY phương trình mặt phẳng (P ) qua A gốc tọa độ O cho khoảng cách từ B đến (P ) khoảng cách từ C đến ( P ) A ĐS: B ĐS: C ĐS: D ĐS: −6 x + 3y + z = −6 x + 3y + z = −6 x + 3y + z = −6 x + 3y + z = hoặc hoặc x − 3y + z = x − 3y + z = x − 3y + z = 3x − 3y + z = Câu 24: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1;1; −1) , B(1;1;2) , C(−1;2; −2) mặt phẳng (P): x − y + z + = Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua A, vng góc với mặt phẳng (P), cắt đường thẳng BC I cho IB = IC A x − y − z − = x + 3y + 2z − = B x − y − 2z − = x + 3y + z − = C x − y − z − = x + 3y + z − = D x − y − z − = x + 3y + z − = Câu 25: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1, d2 có phương trình x −2 y −2 z−3 x − y − z − Viết phương trình mặt phẳng cách hai đường thẳng = = d2 : = = −1 d1, d2 d1 : A 14 x − y − 8z + = B x − y − 8z + = C x + y − z + = D x − y − z + = Câu 26: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1, d2 có phương trình x = 1+ t  x − y −1 z + d1 :  y = − t , d2 : = = Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với d1 d2 , cho −2  z = khoảng cách từ d1 đến (P) gấp hai lần khoảng cách từ d2 đến (P) A ( P ) : x + y + z − 17 = ( P ) : x + y + z –3 = 17 B ( P ) : x + y + z − = ( P ) : x + y + z –3 = C ( P ) : x + y + z − 17 = ( P ) : x + y + z –3 = ( P ) : x + y + z –3 = D (P ) : x + y + z − 17 = Câu 27: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M(-2;3;1) vng góc với đường thẳng qua hai điểm A(3;1;-2), B(4;-3;1) A x − y + z + 11 = B x − y + 3z − 11 = C x + y + 3z + 11 = D x − y − 3z − 11 = Câu 28: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M (−2;3;1) song song với mặt phẳng (Q): x − y + z − = A 4x-2y − 3z − 11 = B 4x-2y + z + 11 = C 4x+2y + z + 11 = D - 4x+2y − 3z + 11 = Câu 29: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M (−2;3;1) vng góc với x +1 y − z + đường thẳng : d : = = −2 x − y − z − 10 = x − 3y − z + = A B C −2 x + y + z − 10 = D x + y + z + 10 = Câu 30: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M (1;3;1) vng góc với hai mặt phẳng (Q): x-3y+2z-1=0; (R): 2x+y-z-1=0 A x + 3y + z − 23 = B x + 5y + 7z+23 = C x − 5y − 7z − 23 = D x + 5y + 7z − 23 = Câu 31: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A(2;0; −1), B(1; −2;3), C (0;1; 2) A x + y + z − = B 2x − z + 15 = C 2x − z − = D 2x − z − = Câu 32: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A(2;0; −1); B (1; −2;3) vng góc với mặt phẳng (Q): x − y + z + = 25 26 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN CỰC HAY A 2x + 5y + 3z + = B x + y + 3z − = C x − y + 3z − = D 2x − z − = Câu 33: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A(1; −2;3) x +1 y − z + = = vng góc với mặt phẳng (Q): x + y − z + = song song với đường thẳng d: −2 x + y + 3z − 20 = 7x + y + 5z + 20 = x + y + z − 20 = x − y + 3z − 20 =0 A B C D Câu 34: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P)chứa hai đường thẳng cắt d: x = 1− t x − y + z − 12  = = d:  y = + 2t −1 −3 z =  A x − y + 12z − 15 = B x + y + z − 15 = C x − y + 12z − 15 = D x + y + z − 15 = Câu 35:Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng song song với d: x = 1+ t x − y + z − 12  = = d’:  y = − t −1 −3  z = − 3t  A x + y + z − 15 = B Khơng tồn mp(P) C x + y + z + 15 = D x − y + 12z − 15 = Câu 36:Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) đoạn AB biết A(1;1; −1); B (5; 2;1) 27 27 =0 =0 A 6x + 3y − 27 = B x + y + z − C x + y + z + D x + y + z − = 2 x − y + z − 12 = = Câu 37:Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d: −1 −3 qua điểm A(1;1; −1) A 19 x + 13 y + z + 30 = B x + y − z + 30 = C 19 x + 13 y + z − 30 = D x + y − z − 30 = x y z x +1 y z −1 Câu 38: Trong khơng gian oxyz cho hai đường thẳng d: = = , ∆ : Viết phương trình mp = = 1 −2 1 (P) chứa d song song với ∆ A x + y − 3z + = B x + y + 3z = C x + y − 3z-4 = D x + y − 3z = x −1 y z + Câu 39: Trong khơng gian oxyz cho đường thẳng d: mặt phẳng (Q) : x + y + z − = = = −3 Viết phương trình mp (P) chứa d vng góc với mp (Q) A x − y − = B x + y + = C x − 2z − = D x − 2z+2 = Câu 40: Trong khơng gian oxyz cho mặt phẳng: (Q): x - 2y + 2z - = điểmA(3; 1; 1).Viết phương trình mặt phẳng (P) song song mp (Q) khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) A x − 2y + 2z +9 = 0, x − 2y + 2z -3 = B x − 2y + 2z +6 = 0, x − 2y + 2z -6 = C x − 2y + 2z -9 = 0, x − 2y + 2z +3 = D x − 2y + 2z = 0, x − 2y + 2z +6 = Câu 41: Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳngd: x −1 y z + điểm A(3;1;1).Viết pt mp (P) chứa d = = −3 khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) A x+y+z+1=0;x+y+z-3=0 B x+y+z-1=0;x+y+z-3=0 C x+y+z+1=0;x+y+z+3=0 D x+y+z-1=0;x+y+z+3=0  x = −1 − 2t  Câu 42: Trong khơng gian oxyz cho đường thẳng d:  y = t điểm A(1;2;3).Viết phương trình mp (P) z = 1+ t  chứa d cho khoảng cách từ A đến (P) lớn A x + y + z − = B x + y + z + = C x + y + z − = D x + y + z = 26 27 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN CỰC HAY Câu 43: Trong khơng gian Oxyz, cho A(1;-2;3) d : x −1 y z + Viết phương trình mp (P) chứa d = = −1 khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) A 2x-2y+z=0,4x+32y-7z-18=0 B x - y + 2z = 0,4x + 32y - 7z -18 = C 2x-2y+z=0,4x+32y-7z+18=0 D 2x-2y+z-18=0,4x+32y-7z=0 27 [...]... Xác định toạ độ điểm K 21 22 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN CỰC HAY Bài4: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,cho mặt phẳng ( α ) : 2 x + y + z − 8 = 0 và đường thẳng d : x − 2 y +1 z −1 = = 3 3 5 a)Tìm giao điểm A của d và ( α ) b)Viết phương trình đường thẳng ∆ là hình chiếu vuông góc của d lên ( α ) Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ là giao tuyến... 0 Câu 31: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(2;0; −1), B(1; −2;3), C (0;1; 2) A 2 x + y + z − 3 = 0 B 2x − z + 15 = 0 C 2x − z − 3 = 0 D 2x − z − 5 = 0 Câu 32: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 2 điểm A(2;0; −1); B (1; −2;3) và vuông góc với mặt phẳng (Q): x − y + z + 1 = 0 25 26 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN CỰC HAY A 2x +... 18 19 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN CỰC HAY x + 2 y −1 z − 3 = = Bài 7: Tìm góc tạo bởi đường thẳng ∆ : và mặt phẳng 4 1 −2 ( α ) : x + y – z + 2 = 0 Bài 8 : Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: x −3 y +2 z +1 và mặt phẳng ( P ) : x + y + z + 2 = 0 = = 2 1 2 a) Tìm giao điểm M của d và (P) b) Viết phương trình đường thẳng ∆ chứa trong mặt phẳng (P) sao cho ∆ vuông...11 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN CỰC HAY A x + 2 y − z + 2 = 0 B x + y − 2 z + 2 = 0 C 2 x + y − z + 2 = 0 D x + y − z + 2 = 0 Câu 16: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vuông góc với mặt phẳng (Q): x + y + z = 0 và cách điểm M(1; 2; –1) một... ur ( ( α ) qua A và có một vectơ pháp tuyến n = u,u1  ) (α) và ∆2 r ur uu r ∆ của ∆1 và ∆2 qua M và nhận u = u1 ,u2  làm vectơ chỉ phương 19 20 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN CỰC HAY Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau  x = 1+ t x −1 y z d : = = , d :  y = 2 + t Viết phương trình đường vuông góc chung của chúng 1 −1 1 4 2   z = 1 + 2t... M đến (P) BÀI TẬP Bài 1: Trong không gian Oxyz,có mặt phẳng ( α ) : 6 x + 3y + 2z − 6 = 0 a)Tìm toạ độ hình chiếu của điểm A(2;3;5)trên mặt phẳng ( α ) b)Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua mặt phẳng Bài 2: Trong không gian Oxyz ,cho đường toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm A(2;1;-1)trên đường thẳng (α) thẳng ∆: x + 3 y −1 z −6 = = Tìm −3 1 1 ∆ Bài3 :Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,cho...  x = 1 + 2t '  d′:  y = −1 + 2t '   z = 2 − 2t ' 15 16 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN CỰC HAY x = 1 − t  d:  y = 2 + 2t z = 3t  x = 3 − t  d:  y = 4 + t   z = 5 − 2t và  x =1+ t'  d′:  y = 3- 2t'   z =1 và  x = 2 − 3t '  d′:  y = 5 + 3t '   z = 3 − 6t ' Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mp(P): 2x – y + 2 = 0 và đường thẳng d m là giao tuyến của 2... 23 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN CỰC HAY  d ( I ; ∆ ) < R ⇔ ∆ cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt A, B thoả AB = 2 R 2 − d 2 (với d = d ( I ; ∆ ) ) Ví dụ 1: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình: x 2 + y 2 + z 2 + 4x − 2 y + 6z + 5 = 0 Ví dụ 2: Lập phương trình mặt cầu đi qua điểm A (5; –2; 1) và có tâm C (3; –3; 1) Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x... là giao tuyến của mặt phẳng (α) và mặt cầu (S) trong các trường hợp sau đây: a) ( α ) : x + 2y b) ( α ) : 2x + 2y - 2z + 1 = 0 và (S) : x + y + z − 6 x + 2 y − 2 z + 1 = 0 2 2 2 + z – 5 = 0 và (S) : x + y + z − 12 x + 4 y − 6 z − 24 = 0 2 2 2 23 24 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN CỰC HAY Bài 6 : Xét vị trí tương đối của mp( α ) và mặt cầu (S) trong các trường hợp sau : a) ( α ) : 3x + 4y... đường thẳng chéo nhau 17 18 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN CỰC HAY r r uuuuuur a , b  M 1M 0   d ( ∆1 ; ∆2 ) = r r a , b    BÀI TẬP Bài 1: a) Tính khoảng cách từ điểm M ( 1; −1;1) đến đường thẳng ∆: x −2 y z −1 = = 1 2 1  x = −1 + t  b) Tính khoảng cách từ M(1 ;-2 ;1) đến đường thẳng ∆ :  y = 2 − 2t z = 2t  Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A ( −3; −2;6 ) ,B ( −2;4;4 ... ABC kẻ từ đỉnh A Bài 3: Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A(1;1;-1), B(3;-4;0), C(-3;2;-2),D(6;2;0) |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN CỰC HAY a) Chứng minh A,B,C,D... ABCD hình bình hành |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN CỰC HAY A D ( 4; −2;4 ) B D ( 2; −2; ) C D ( −4;2; ) D D ( 4;2;2 ) Câu 9 :Trong không gian Oxyz cho điểm M(2;-5;7) Tìm điểm đối xứng... TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN CỰC HAY Ví dụ 4: Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A(1; 0; 1), B(5; 2; 3) vng góc với (Q): x − y + z − = BÀI TẬP Bài 1: Trong khơng gian Oxyz, cho A(2;1;-3),