đề tài phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

Đường thẳng trong mặt phẳng là một nội dung hay và khó trong toán THPT, nó cũng là phần nằm trong các đề thi đại học cao đẳng, THPTQG. Tuy nhiên đa số các em còn lúng túng khi giải toán nên tôi chọn đề tài “phương trình đường thẳng trong mặt phẳng”. Với mong muốn củng cố cho các em những kiến thức cơ bản, nhận dạng ra các bài toán và rèn kĩ năng giải toán qua mỗi dạng bài tập.

MỤC LỤC

1 Lý do chọn đề tài 2

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Phạm vi, đối tượng nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Dự kiến đóng góp của đề tài 3

CHƯƠNG I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 4

1 Phương trình đường thẳng 4

2 Khoảng cách và góc 5

3 Các dạng bài tập 7

CHƯƠNG II MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN 13

1 Điểm và đường thẳng 13

2 Điểm và đường thẳng liên quan tới tam giác 19

3 Điểm và đường thẳng liên quan tới tứ giác 37

CHƯƠNG III TIẾP CẬN MỘT SỐ BÀI TOÁN THEO CÁC CÁCH KHÁC NHAU 54

KẾT LUẬN 64

TÀI LIỆU THAM KHẢO 65

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Đường thẳng trong mặt phẳng là một nội dung hay và khó trong toánTHPT, nó cũng là phần nằm trong các đề thi đại học cao đẳng, THPTQG

Tuy nhiên đa số các em còn lúng túng khi giải toán nên tôi chọn đề tài

“phương trình đường thẳng trong mặt phẳng”.

Với mong muốn củng cố cho các em những kiến thức cơ bản, nhận dạng

ra các bài toán và rèn kĩ năng giải toán qua mỗi dạng bài tập

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích chính của sáng kiến là giúp các em làm được các dạng toán này,tránh những sai lầm dễ mắc phải

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Đưa ra được những dạng bài tập về đường thẳng trong mặt phẳng

4 Phạm vi, đối tượng nghiên cứu

 Phạm vi: Học sinh lớp 10, ôn thi THPPQG

 Đối tượng: Học sinh lớp 10, ôn thi THPTQG

5 Phương pháp nghiên cứu

- Thông qua kinh nghiệm giảng dạy môn Toán cấp THPT trong nhiều năm vàkinh nghiệm nghiên cứu giảng dạy thực hiện đổi mới CT - SGK vừa qua

- Phương pháp tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài

- Phương pháp thử nghiệm

- Phương pháp quan sát: qua các tiết dự giờ thao giảng

- Phương pháp nghiên cứu lý luận

- Phương pháp khảo sát, thống kê

6 Dự kiến đóng góp của đề tài

Trình bày một cách hệ thống các dạng phương trình đường thẳng trongmặt phẳng

CHƯƠNG I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Phương trình đường thẳng

1.1 Phương trình tổng quát của một đường thẳng

 Phương trình tổng quát của đường thẳng Dcó dạng ax by c+ + =0

(a2+b2 ¹ 0 ) với n a bur  ;( ) là véc tơ pháp tuyến

 Nhận xét: Nếu  nur là một véc tơ pháp tuyến của đường thẳng D thì  knurcũng là

một véc tơ pháp tuyến của đường thẳng D

1.2 Phương trình tham số của một đường thẳng

 Phương trình tham số của đường thẳng D đi qua điểm M x y( 0; 0) và có véc tơ

 Nhận xét: Nếu  uurlà một véc tơ chỉ phương của đường thẳng D thì  kuur cũng là

một véc tơ chỉ phương của đường thẳng D

1.3 Phương trình chính tắc của đường thẳng

Phương trình chính tắc của đường thẳng D đi qua điểm M x y và có véc tơ ( 0; 0)

1.4 Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn

Phương trình đường thẳng D đi qua điểm A a( );0     0; ,   ,vàB( )b a b ¹ 0 là:

Chú ý: Nếu có hai điểm A x y và B x y( A; A) ( B; B),  x B - x y A, B - y A ¹ 0 thì ta cóphương trình đường thẳng D đi qua điểm A x y và B x y là: ( A; A) ( B; B)

 Cho đường thẳng Dcó phương trình: ax by c+ + =0 và điểm M x y( 0; 0)

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Dđược tính bởi công thức:

Chú ý: Cho đường thẳng có phương trình: ax by c+ + =0 và hai điểm

( M; M) (, N; N)

M x y N x y không nằm trên D Khi đó:

+) Hai điểm M, N nằm cùng phía với Dkhi và chỉ khi

(ax M +by M +c ax) ( N +by N + >c) 0

+) Hai điểm M N, nằm khác phía với Dkhi và chỉ khi

(ax M +by M +c ax) ( N +by N + < c) 02.2 Góc

Cho đường thẳng Dcó phương trình: ax by c+ + =0 và đường thẳng D¢có phương trình:a x by c¢ + ¢ + ¢= 0

Gọi là góc giữa hai đường thẳng Dvà D¢ta có:

  

3 Các dạng bài tập

Chú ý:

 Các điểm đặc biệt trong tam giác

Cho tam giác ABC, khi đó:

+) Tâm đường tròn ngoại tiếp I:

ïî

 Các đường đặc biệt trong tam giác:

+) Đường trung tuyến của tam giác: Khi gặp đường trung tuyến của tam giác, tachủ yếu khai thác tính chất đi qua đỉnh và trung điểm của cạnh đối diện

+) Đường cao của tam giác: Ta khai thác tính chất đi qua đỉnh và vuông góc vớicạnh đối diện

+) Đường trung trực của tam giác: Ta khai thác tính chất đi qua trung điểm vàvuông góc với cạnh đó

+) Đường phân giác trong của tam giác: Ta khai thác tính chất nếu M thuộc AB,M’ đối xứng với M qua phân giác trong góc A thì M’ thuộc AC

 Một số bài toán cơ bản:

Bài toán 1: Cho một đỉnh và hai đường cao không qua đỉnh đó Tìm các yếu tố

còn lại

Cách giải: - Viết phương trình cạnh AB qua A và vuông góc với CK.

- Viết phương trình cạnh AC qua A và vuông góc với BH

H K

D + + = + ¹ và hai điểm A x( A;y ,A) (B x y không B; B)

thuộc D Xác định điểm M trên đường thẳng D , biết đường thẳng AM vuông góc với đường thẳng AB

C x C;yC

:ax+by+c=0 A

B

M1A

AC u j

- Giải phương trình ở bước 2 và kết luận.

Bài toán 7 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm phân biệt

- Xác định M trong hai trường hợp:

- Trường hợp 1: AMuuur = - kBMuuur (điểm M nằm trong đoạn AB).

- Trường hợp 2: AMuuur =kBMuuur (điểm M nằm ngoài đoạn AB).

Bài toán 8 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng

D + + = + ¹ và hai điểm A x( A;y ,A) (B x y B; B) không

B A

thuộc D Xác định tọa độ điểm M thuộc D sao cho

- Giải phương trình ở bước 2 và kết luận

Bài toán 9 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm

é =ê

D = D Þ ê =ê

- Chọn a, b đại diện và thỏa mãn ( )*

 Một số bài toán dựng hình cơ bản

+) Hình chiếu vuông góc H của điểm A lên đường thẳng D

Lập đường thẳng d đi qua A và vuông góc với D

H = Ç Dd

+) Dựng A’ đối xứng với A qua đường thẳng D

Dựng hình chiếu vuông góc H của điểm A lên D

Lấy A’ đối xứng với A qua H: '

'

22

Lấy hai điểm M, N thuộc d Dựng M’, N’ lần lượt đối xứng với M, N qua

D Khi đó d'º M N' '

CHƯƠNG II MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN

a

a

é = êê

ê =êVậy PT đường thẳng Dlà:  5- x y+ - 13=0 hoặc x+5y- 13=0

 Chú ý: Hs cần nắm chắc công thức tính cosin của góc giữa hai đường thẳng.

Hs cần hiểu rõ một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương nên ta có thể chọn được a, b trong bài toán trên dựa vào đẳng thức mối quan hệ giữa a và b.

Ví dụ 2:

Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm ( 2;3)I - và cách đều 2 điểm

Û ê =êVậy có 2 đường thẳng Dlà:4x y+ + =5 0 hoặcy - 3=0

 Nhận xét: Ta có thể giải bài toán trên bằng cách xét hai trường hợp là

đường thẳng D song song hoặc trùng với AB , D đi qua trung điểm của AB

Ví dụ 3:

Cho đường thẳng Dcó phương trình: x y+ + =2 0 Viết phương trình

đường thẳng D¢song song với đường thẳng Dvà cách Dmột khoảng bằng 2

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba đường thẳng

é = ê

-Û ê =êVậy M -( 22; 11- )hoặc N( )2,1

Ví dụ 5( Khối B-2011):

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng D :x y- - 4= và0

d x y- - = Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d sao cho đường

thẳng ON cắt đường thẳng Dtại điểm M thỏa mãn OM.ON = 8

ê =ê

5 5

M - M æççç ö÷÷÷

÷

çè ø

Bài tập 2: Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm M - -( 1; 1) lên đường thẳng

Bài tập 6: Viết phương trình đường thẳng đi qua M ( )3;1 cắt Ox Oy, lần lượt

tại A và B sao cho:

Bài tập 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d x y: 2 - - 2=0 và

điểm I ( )1;1 Viết phương trình đường thẳng D cách điểm I một khoảng bằng

10 và tạo với đường thẳng d một góc bằng45.0

ĐS: 3x y+ + =6 0,  3x y+ - 14=0,  x- 3y- 8=0,  x- 3y+12=0

Bài tập 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(1;1) Viết phương trình

đường thẳng D đi qua điểm M và cắt 2 đường thẳng

Bài tập 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M ( )1;2 Viết phương trình

đường thẳng đi qua M cắt Ox, Oy tại A, B khác O sao cho 92 42

2 Điểm và đường thẳng liên quan tới tam giác

A- Ví dụ

Ví dụ 1:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 2  ,  - ) B(- 3;3 ) Tìm tọa độ

điểm C thuộc D :x y +- 2= sao cho tam giác ABC vuông tại C.0

 Nhận xét: Ở đây ta phải nắm được điều kiện hai đường thẳng vuông góc.

Lời giải:

Gọi C c c + Î D( ; 2  ) ta có:  AC cuuur( - 1;c+4 ,     ) BC cuuur( +3;c- 1)

Mà tam giác ABC vuông tại C suy ra AC BC =uuur uuur.  0

c c

é

ê = êÛ

-ê =ê

Vậy có 2 điểm C thỏa mãn yêu cầu bài toán: ( )1;3  ,   7; 3

D + - = và điểm C trênd x:  - 2y+ =2 0 sao cho tam giác ABC

vuông cân tai A.

 Nhận xét: Tương tự ví dụ 1 chỉ thêm điều kiện bằng nhau.

Vậy vớiA(- 2;4 ;) ( ) ( )B 1;0 ;C 5;4 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

 Nhận xét: Khi bài toán cho phương trình đường phân giác thì ta có thể tìm

ảnh của B qua đường phân giác là B’ thì B’ thuộc AC Khi đó ta viết được phương trình đường AC.

B' A

Ví dụ 4( Khối D-2011):

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnhB -( 4;1 ,) trọng

tâm G( )1;1 và đường phân giác trong của góc A có PT:x y- - 1 0.= Tìm tọa

độ đỉnh A và C

 Chú ý: Ở đây có đường phân giác nên ta làm tương tự như ví dụ trên.

Lời giải:

I

G K M A

Gọi AE là đường phân giác trong của góc A suy ra AE x y:  - - 1 0=

Gọi M là trung điểm của AC Do G là trọng tâm tam giác ABC nên

1

 2

Từ B kẻ BK vuông góc với AE K( Î  AC) tại I; Tam giác ABK có AI vừa là

đường cao vừa là đường phân giác nên cân tại A, suy ra I là trung điểm của BK.

Gọi véc tơ chỉ phương của Dlà: u a br( ) (; ,    a2+b2 ¹ 0)

PT tham số của đường thẳng Dqua O( )0;0 và có véc tơ chỉ phương u a br( ); là:

x at

y bt

ìï =ïí

ï =ïî

b t

+Lại có: d H x( ,0 ) =AH

íï = +

2     

 Nhận xét: Ở đây ta phải nắm được điều kiện hai điểm nằm cùng phía và khác

phía với một đường thẳng.

AC u

=

uuur ruuur r

Vậy phương trình đường thẳng BC : 3x- 4y+16= 0.

 Chú ý: Ở đây có đường phân giác nên ta có thể làm như sau:

B1: Tìm C’ là ảnh của C qua d.

B2: Gọi A thuộc d, tìm tọa độ điểm A.

B3: Viết phương trình đường AC’.

B4: Gọi tọa độ điểm B thuộc AC’ Tính diện tích AB Với điều kiện B, C’ nằm cùng phía với điểm A Hay ABuuur cùng chiều với ACuuuur'.

Ví dụ 7( Khối A-2010):

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A( )6;6 ,đường thẳng đi qua trung điểm các cạnh AB và AC có phương trình:

( )D :x y+ - 4=0. Tìm tọa độ các đỉnh B và C, biết điểm E (1; 3- ) nằm trên

đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho

Phương trình đường cao AH là: x y- =0

Gọi I là giao điểm của D và AH nên tọa độ I là nghiệm của hệ:

Từ (1), (2) ta có: 1

2

0 4

x x

ìï =ïí

ï =

-ïî hoặc

1 2

6  2

x x

ìï = ïí

ïîVậy B(0; 4 ;- ) (C - 4;0) hoặc B(- 6;2 ,;) (C 2; 6 - )

M N

D

A

Gọi N đối xứng với M qua AD thì N thuộc AB

Phương trình đường thẳng MN qua M và vuông góc với AD suy ra

-Mà I là trung điểm của MN nên N -( 1;0)

Đường thẳng AB qua N và vuông góc với CK suy ra AB :x- 2y+ = 1 0Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ:

Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ:

b

é = ê

-Û - = Û ê =ê+) Nếu b= - Þ1 B(- 3; 1- ) Thỏa mãn

+) Nếu b= Þ3 B( )5;3 không thỏa mãn do B C, nằm cùng một phía so với

H

K

N M

ê =ê

Phương trình đường thẳng ADqua A và D là: y - 3=0

Gọi N a b( ), là điểm đối xứng với M qua AD suy ra N Î AC và MN vuông góc AD hay MN ADuuur uuur = Û0 a.8+b.0= Þ0 a=0

Gọi K là giao điểm của MN và AD suy ra 1

Phương trình đường thẳng AC qua Avà N là: 2x- 3y+15=0

Phương trình đường thẳng BC qua H và Dlà: 2x y- - 7=0

Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ:

Ví dụ 10 ( THPTQG-2015):

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi

H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh BC ; D là điểm đối xứng của Bqua H ; K là hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AD Giả sử

M

C B

ïîSuy ra M(0;10 ,)

Ta có ·HKA =HCA· =HAB· =HAD· , nên VAHK cân tại H , suy ra

HA =HK Mà MA =MK, nên A đối xứng với K qua MH

Ta có MH =uuur (5;15 ;) đường thẳng MH có phương trình 3x y- +10=0

Trung điểm AK thuộc MH và AK ^MH nên tọa độ điểm A thỏa mãn hệ

Suy ra A -( 15;5 )

 Nhận xét: Mấu chốt ở đây là ta nhớ được tính chất đường trung tuyến trong

tam giác vuông để chỉ ra MH=MK Nhớ được tính chất chỉ ra · HAK =HKA· .

Bài tập 2: Cho các điểm A( ) ( ) ( )1;1 ,B 2;5 ,C 4;7 Chứng minh tam giác ABC

có góc A nhọn Viết phương trình đường thẳng d đi qua Aasao cho

có tung độ âm Viết phương trình AB

Bài tập 5: Cho tam giác ABC có trực tâm H( )2;0 , trung tuyến

è ø è ø theo thứ tự là chân đường cao từ ,A B và trung

điểm AB Tìm tọa độ các đỉnh tam giác ABC, biết trung điểm M của BCnằm trên D và hoành độ của điểm M nhỏ hơn hoặc bằng 4

Bài tập 9: Cho tam giác ABC có trực tâm H( )3;0 và trung điểm của BC là

( )6;1

I Đường thẳng AH x: +2y- 3= Gọi ,0. D E lần lượt là chân đường

cao kẻ từ B và C của tam giác ABC Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác

ABC , biết đường thẳng DE x -: 2= và điểm 0 D có tung độ dương

Đáp số: A(- 1;2 ,) (B 4; 3 ,- ) ( )C 8;5

Bài tập 10( Khối D-2009):

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M( )2;0 là trung điểm

cạnh AB Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh Alần lượt có phương trình:7x- 2y- 3=0;  6x y- - 4= Viết phương trình đường thẳng 0 AC

Đáp số: Phương trình đường thẳng AC : 3x- 4y+ = 5 0

Bài tập 11(Khối B-2009):

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A -( 1;4)

và các đỉnh B C, thuộc đường thẳng D :x y- - 4= X ác định tọa độ các0.điểm B và C biết diện tích tam giác ABC bằng 18

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC

biết hình chiếu của C lên đường thẳng AB là H -( 1; 1 ,- ) đường phân giác

trong của góc Acó phương trình x y 2- + =0và đường cao kẻ từ B có

Bài tập 14: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với AB = 5,

đỉnh C - -( 1; 1 ,) đường thẳng AB có phương trình: x+2y- 3=0, trọng tâm

của tam giác ABC thuộc đường thẳng: x y+ - 2=0. Xác định tọa độ các đỉnh,

A B của tam giác ABC

Bài tập 15: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(4; 2 ,- )

phương trình đường cao kẻ từ C và đường trung trực của BC lần lượt là:

4x- 6y+ =9 0. Trung điểm của cạnh BC nằm trên đường thẳng d có PT:

 2x- 2y- 1 0.= Tìm tọa độ các đỉnh B và C biết tam giác ABC có diện tích

Đáp số: Phương trình đường thẳng AC: 2x+11y+31 0=

Bài tập 18: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình

đường phân giác trong góc A là d x y1:   + + = phương trình đường cao vẽ2 0,

từ B là d2:  2x y- + = cạnh AB đi qua 1 0, M (1; 1 - ) Viết phương trình cạnh

AC

Đáp số: Phương trình đường thẳng AC: x+2y+ =7 0.

Bài tập 19: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 2 đường thẳng

d x+ y+ = d2 : 5x- 2y- 7= cắt nhau tại A và điểm 0 P -( 7;8 )

Viết phương trình đường thẳng d đi qua P tạo với 3 d d thành tam giác cân tại1, 2

A và có diện tích bằng 29

2 Đáp số: Phương trình đường thẳng d3: 7x+3y+25= 0

3 Điểm và đường thẳng liên quan tới tứ giác

 Chú ý: Khi giải các bài toán về hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật và

hình vuông, chúng ta cần chú ý đến tính chất đối xứng Chẳng hạn, giao điểm hai đường chéo là tâm đối xứng của hình bình hành; hai đường chéo của hình thoi là trục đối xứng…

A- Ví dụ

Ví dụ 1:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phương trình các cạnh hình bình hành

ABCD biết tâm hình bình hành là   1;6I ( ) còn các cạnh AB BC CD DA, , , lần lượt đi qua M( )3;0 ; N( ) ( ) (6;6 ; P 5;9 ; Q - 5;4)

 Chú ý: Ở đây ta chú ý đến tính chất đối xứng tâm của hình bình hành.

PT đường thẳng AB qua M và song song với CD là: x+2y- 3=0.

Lấy Q¢ đối xứng với Q qua I Þ Q¢(7;8) v Qà ¢Î BC