Thông tin tài liệu
- VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN ĐẶT VẤN ĐỀ Năm học …………… năm học tiếp tục thực vận động “Học tập làm theo gương đạo đức Hồ Chí Minh”, “Hai khơng_bốn nội dung”, “Mỗi thầy cô gương đạo đức, tự học tự sáng tạo”, với chủ đề “Năm học đổi quản lí nâng cao chất lượng giáo dục” với phong trào xây dựng “trường học thân thiện, học sinh tích cực” Nghị TW2 khố VIII khẳng định “ Đổi mạnh mẽ phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối dạy truyền thụ chiều, rèn luyện nều tư cho người học, bước áp dụng phương pháp tiên tiến, đại vào q trình dạy học” Do q trình dạy học địi hỏi đội ngũ thầy giáo phải tích cực học tập, khơng ngừng nâng cao lực chuyên môn, đổi phương pháp dạy học theo hướng phát huy tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo học sinh, bồi dưỡng khả tự học, khả vận dụng kiến thức vào thực tế, đem lại say mê, hứng thú học tập cho học sinh Trong q trình giảng dạy tơi thấy học sinh gặp nhiều lúng túng việc giải tốn hình học tọa độ nói chung, có nhiều nguyên nhân dẫn đến tình trạng nói trên, theo tơi, ngun nhân chủ yếu học hình học toạ độ, học sinh “giải hình học đại số”, khơng để ý đến tính chất hình học Các phương pháp giải cịn mang tính chất chủ quan, rời rạc, gặp tốn trọng tìm cách giải cho riêng tốn mà khơng có cách nhìn tổng qt Chính vậydẫn đến tình trạng em bị lúng túng trước câu hỏi câu hỏi xoay quanh vấn đề: Viết phương trình đường thẳng khơng gian Với vai trị giáo viên dạy Toán qua nhiều năm giảng dạy, để trao đổi thầy cô đồng nghiệp với mong muốn tìm hướng giải đơn giản cho toán, làm cho học sinh nhớ kiến thức sở để sáng tạo Tơi xin trình bày số kinh nghiệm việc giải tốn Viết phương trình đường thẳng khơng gian : “Phân dạng định hướng cách giải cho toán viết phương trình đường thẳng khơng gian” CƠ SỞ LÝ LUẬN Trong chương trình Sách giáo khoa có đề cập đến hai dạng phương trình đường thẳng:Phương trình tham số phương trình tắc Như để xác định phương trình đường thẳng hai dạng trên, người học phải xác định được: +) Điểm mà đường thẳng qua +) Véctơ phương đường thẳng Nhưng trường hợp, ta tìm cách dễ dàng hai đại lượng nói trên, nhiều vấn đề khác tốn học Bài tốn viết phương trình đường thẳng chủ yếu có hai dạng: tường minh khơng tường minh Dạng tường minh: - Các đại lượng để giải tốn đề cho sẵn, dạng toán chủ yếu để người học củng cố cơng thức - Với tốn viết phương trình đường thẳng khơng gian, dạng tường minh theo tơi là: Viết phương trình tham số (hoặc tắc)của đường thẳng biết: 1) Hai điểm mà đường thẳng qua 2) Một điểm mà đường thẳng qua véctơ phương Dạng không tường minh: - Các đại lượng để giải toán ẩn số điều kiện định đó, dạng tốn địi hỏi người học phải biết kết hợp kiến thức, có tư logíc tốn học, vận dụng linh hoạt điều kiện có đề Trong đề tài tơi xin bàn dạng tốn khơng tường minh, dạng toán chủ yếu xuất kì thi, học sinh thường găph phải khó khăn dạng tốn này, trước hết tơi xin chia nhỏ thành hai toán: Bài toán 1: Viết phương trình đường thẳng khơng gian biết điểm qua Ở toán đề cho biết điểm qua,không cho trực tiếp phương đường thẳng, buộc học sinh phải xác định phương đường thẳng dựa vào điều kiện khác tốn Bài tốn 2: Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn số điều kiện cho trước Ở tốn đề khơng cho trực tiếp điểm qua phương đường thẳng, buộc học sinh phải xác định đại lượng dựa vào điều kiện tốn Ngồi việc phân dạng tốn, cần phải hướng dẫn cho học sinh định hướng cách giai đứng trước toán Trong tốn Viết phương trình đường thẳng khơng gian, người học cần ý đến điều kiện xác định đường thẳng không gian, đặc biệt ý đền hai điều kiện xác định đường thẳng sau: +) Biết hai điểm qua +) Biết hai mặt phẳng chứa đường thẳng cần tìm Và hướng giải chủ yếu cho tốn mà tơi đưa ra: Định hướng thứ nhất: Tìm hai điểm mà đường thẳng qua Khi xác định hai điểm qua hiển nhiên ta có hai đại lượng cần thiết để hình thành phương trình dạng tham số dạng tắc Định hướng thứ hai: Xác định hai mặt phẳng chứa đường thẳng cần tìm Một vấn đề đặt là: phương trình dạng tổng qt đường thẳng khơng trình bày sách giáo khoa, học sinh để dạng tổng qt có chấp nhận hay khơng? khơng chấp nhận làm nào? Các khắc phục khơng có khó khăn, bạn hướng dẫn học sinh chuển dạng tham số thơng qua ví dụ sau: Ví dụ 1: (Cách thứ nhất) Đường thẳng tập hợp điểm có tọa độ thoả mãn hệ: �x y z � 2x y z 1 � Ta đặt ẩn làm tham số x 3t �x t �x y 2t � z 1 t � � �� �� x y t x y t � � �y 2 t Đặt: Vậy ta có phương trình dạng tham số �x t � �y 2 t t �R �z t � Ví dụ 2: (Cách thứ hai) Đường thẳng tập hợp điểm có tọa độ thoả mãn hệ: � �x y z I � x y z � +) Điểm qua: Với z thay vào hệ (I) ta có: �x y �x �� I � �2 x y �y 2 M 1; 2;1 Suy qua +) Đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng nên có véctơ phương tích có hướng hai mặt phẳng uur uur uur u � n , n � � � 3;3;3 �x 3t � �y 2 3t �z 3t � t �R Vậy có phương trình dạng tham số: Ngoài trường hợp cụ thể, với mối quan hệ toán cần hướng cho học sinh sáng tạo, tìm tịi cách giải CƠ SỞ THỰC TIỄN Sau nghiên cứu áp dụng vào tiết dạy cho học sinh, thấy học sinh khơng cịn lúng túng trước tốn hình học dạng nữa, mà sau số tập định, em nắm nguyên tắc để giải toán “ Xác địn điểm qua véctơ phương” Đa số em học sinh từ trung bình trở lên tự tin làm hết tập SGK tập sách tập hình học nâng cao 12 Các em tự đặt câu hỏi: Còn cách giải khác cho tốn khơng? Từ kích thích tị mị tìm cách giải cho tốn cụ thể có nhiều em tìm số lời giải độc đáo khác cho toán Biết kết hợp kiến thức học để giải tốn hình học khó NỘI DUNG NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI Trên sở kiến thức hình học giải tích trình bày sách giáo khoa Hình học 12 Kiến thức đường thẳng không gian lớp 11.Tôi xin trình bày nội dung đề tài số Bài toán mà phương pháp giải tốn rút từ hai định hướng cớ nêu Bài tốn 1: Viết phương trình đường thẳng không gian biết điểm qua +) Điểm qua cho đề +) Phương đường thẳng xác định thông qua đại lượng, mối quan hệ tốn Ví dụ M 1; 2;3 Trong không gian tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng qua điểm vuông : 2x y z góc với mặt phẳng Định hướng giải quyết: Đề cho đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: M 1; 2;3 +) Điểm qua đường thẳng cần tìm : +) Mặt phẳng () có tọa độ điểm thuộc mặt phẳng véctơ pháp tuyến: uur n 2; 3;1 +) Quan hệ vng góc đường thẳng mặt phẳng 2) Cần xác định véctơ phương đường thẳng Các cách giải: Cách 1: Vì đường thẳng vng góc với mặt phẳng () nên song song trùng với giá véctơ pháp uur n 2; 3;1 tuyến mặt phẳng ().Vậy nhận làm véctơ phương nên có phương trình dạng tham số: �x 2t � t �R �y 3t �z � N x; y; z Cách 2: Vì đường thẳng vng góc với mặt phẳng () nên tập hợp điểm cho: uuuu r uur �x 2t �x 2t �MN tn � � � �y 3t � �y 3t t �R I � t �R � �z t �z t � � Hệ (I) phương trình dạng tham số đường thẳng (Cách giải thứ đề xuất từ học sinh) Ví dụ M 1;2;5 Trong khơng gian tọa độ Oxyz Viết phương trình đường thẳng qua song P :3x y 5z Q :2 x y z song với hai mặt phẳng: Định hướng giải quyết: Đề cho đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: M 1; 2;5 +) Điểm qua đường thẳng cần tìm : +) Hai mặt phẳng : uur nP 3;1; 5 (P) có véctơ pháp tuyến: uur n 2; 1;1 (Q) có véctơ pháp tuyến: Q +) Quan hệ: Đường thẳng song song với hai mặt phẳng, suy có phương vng góc với hai véctơ pháp tuyến hai mặt phẳng 2) Cần xác định véctơ phương đường thẳng Cách giải: Từ mối qua hệ đường thẳng với hai mặt phẳng (P) (Q) dẫn đến đường thẳng có r uur uur u� nP ; nQ � � � 4; 13; 5 phương Đường thẳng cần tìm có phương trình dạng tắc: x 1 y z : 4 13 5 Ví dụ A 2;1;3 Trong khơng gian tọa độ Oxyz Viết phương trình đường thẳng qua điểm , cắt hai x 1 y z x y z 1 1 : 2 : 1 1 đường thẳng Định hướng giải quyết: Đề cho đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: A 2;1;3 +) Điểm qua đường thẳng cần tìm : ur M 1; 2; 1 u1 1; 1;1 1 +) Đường thẳng qua điểm có véctơ phương uu r N 2;3; 1 u 1; 2;1 +) Đường thẳng qua điểm có véctơ phương +) Quan hệ: Đường thẳng cắt hai đường thẳng 2) Cần xác định véctơ phương đường thẳng Từ mối quan hệ ta có hai hướng giải sau: Định hướng 1: +) Đường thẳng cắt đường thẳng nên xác định mặt phẳng +) Đường thẳng cắt đường thẳng nên xác định mặt phẳng Vậy đường thẳng giao hai mặt phẳng Định hướng 2: +) Đường thẳng cắt đường thẳng P +) Đường thẳng cắt đường thẳng Q Vậy đường thẳng đường thẳng PQ Từ dẫn đến cách giải Cách giải: Cách 1: mặt phẳng xác định hai đường thẳng cắt 1 Gọi uuuu r ur AM 3;1; 4 u1 1; 1;1 : Vậy có hai phương , suy pháp tuyến uur uuuu r ur n � AM ; u1 � � � 3; 7; 4 mặt phẳng xác định hai đường thẳng cắt Gọi uuur uu r AN 0; 2; 4 u2 1; 2;1 : Vậy có hai phương , suy pháp tuyến uur uuur uu r � 10; 4; n � AN ; u 2� � r uur uur � u� n � ; n � 2; 34;58 Suy đường thẳng cần tìm có phương: Hay có phương trình: Cách 2: �x 2 t � : �y 17t �z 29t � Gọi P giao điểm 1 P �1 � P t; t; 1 t Q � � Q 2 t ';3 2t '; 1 t ' Gọi Q giao điểm Mặt khác ba điểm P, A, Q thuộc đường thẳng nên thẳng hàng hay: uuu r uuu r QA t '; 2 2t '; t ' PA 3 t ; 1 t ; t , � t' � 15 t ' 3k tk t ' 3k tk � � � uuu r uuu r � � � QA k PA � � 2 2t ' k tk � � 2t ' k tk 2 � � k 15 � � � t ' 4k tk t ' 4k tk � � 26 � tk � 15 � uuu r �2 34 58 � r QA � ; ; � t' u 15 15 15 � �Hay đường thẳng có phương: 1; 17; 29 qua 15 ta có : Với x y 1 z : 17 29 P A nên có phương trình: Cách 3: uuuu r ur uuur uu r A � � � � 10; 4; AM ; u 3; 7; AN ; u 1� 2� � � Ta có: , r 2 u a; b; c a b c �0 Q Gọi phương đường thẳng cần tìm uuuu r ur r AM , u1 , u đồng phẳng +) Ba vectơ uuuu r ur r � �� AM u � 3a 7b 4c 1 � , u1 � uuur uu r r AN , u , u đồng phẳng +) Ba vectơ uuur uu r r �� AN , u2 � u � 10a 4b 2c � � Từ (1) (2): 3a 7b 4c 3a 7b 20a 8b b 17a � � � �� �� � 5a 2b c c 5a 2b c 29a � � � r a � b 2 c a véctơ u a; 17a; 29a hay đường thẳng cần tìm có phương Vì r u 1; 17; 29 qua A nên có phương trình: x y 1 z : 17 29 Ví dụ A 1; 2;3 Trong không gian tọa độ Oxyz Viết phương trình đường thẳng qua đồng thời �x 2t � d1 : �y 4t x 1 y z d2 : �z t 1 � vng góc với d1 cắt d2:biết , Định hướng giải quyết: Đề cho đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: A 1; 2;3 +)Điểm qua đường thẳng cần tìm : ur M 6;1; u d 2; 4; 1 +)Đường thẳng qua điểm có véctơ phương uu r N 1; 2;3 u2 2;1; 1 d +) Đường thẳng qua điểm có véctơ phương d +) Quan hệ: Đường thẳng cắt d Đường thẳng vng góc với (có thể cắt khơng cắt) 2) Cần xác định véctơ phương đường thẳng Từ mối quan hệ ta có hai hướng giải sau: d1 Không thể dựa vào điều kiện cắt mối qua hệ khơng chắn xảy Định hướng 1: (Xác định điểm qua) d +)Đường thẳng cắt đường thẳng P uuu r ur uuu r ur d1 AP u1 � AP.u1 +)Đường thẳng vuông góc với nên Suy đường thẳng đường thẳng PA Định hướng 2: d +) Đường thẳng cắt đường thẳng nên xác định mặt phẳng qua A d +) Đường thẳng vng góc với nên xác định mặt phẳng d vng góc với Vậy đường thẳng giao hai mặt phẳng Từ dẫn đến cách giải Cách giải: Cách 1: P 2t; 2 t ;3 t d P �d Gọi giao đường thẳng với P, suy hay uuu r AP 2t ; t 4; t Véctơ d Mặt khác vng góc với nên: uuu r ur uuu r ur AP u1 � AP.u1 � 4t 4t 16 t � t 16 x y z uuu r : AP 32;12; 16 4 Suy , hay mặt phẳng xác định d Cách 2: Gọi uur uuu r uu r � 4;0; 8 n � NA , u 2� � chứa nên qua A : x z Mặt khác ur u1 2; 4; 1 d1 Gọi mặt phẳng qua A vuông góc với , nên nhận véctơ pháp tuyến : 2x y z r uur uur u� n , n � � � 8;3; 4 Ví giao nên có phương Phương trình đường thẳng �x 8t � : �y 3t �z 4t � t �R Ngồi hai cách giải trên, ta cịn tìm trực tiếp véctơ phương r u a; b; c 2 Cách 3: Gọi phương đường thẳng cần tìm a b c �0 uuu r uu r r d NA ; u u đồng phẳng: Vì cắt nên ba véctơ uuu r uu r r � � NA , u u � 4a 8c � a 2c 1 2� � r ur u.u1 � 2a 4b c d 2 Mặt khác 3c 4b � 3c 4b Từ (1) (2) ta có: b3 � c 4 � � a 8 � Chọn �x 8t � : �y 3t �z 4t � t �R Vậy có phương trình: K x; y; z Cách 4: Gọi K thuộc đường thẳng cần tìm uuur uuu r uu r uuur uuu r uu r đồng � � � AK NA , u � 2� AK ; NA ; u � � � � I � uuur ur phẳng �uuur ur � AK u AK u � 1 � � 4 x 1 z 3 �x z � �� �� 2x y z 2 x 1 y z 3 � � Đặt z = t: �x 2t �x 2t � � � 17 � 14 4t y t �y t � � 4 �x 2t � 17 � : �y t t �R � 4 t � �z Vậy, đường thẳng cần tìm có phương trình Ví dụ A 3; 2; 1 Trong không gian tọa độ Oxyz Viết phương trình đường thẳng qua , vng góc �x t � d : �y 5t �z 1 2t � cắt đường thẳng Định hướng giải quyết: Đề cho đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: A 3; 2; 1 +) Điểm qua đường thẳng cần tìm : r M 3; 4; u 1; 5; +) Đường thẳng d qua điểm có véctơ phương +) Quan hệ: Đường thẳng cắt d Đường thẳng vng góc với d 2) Cần xác định véctơ phương đường thẳng Từ định hướng trên, học sinh giải Ví dụ5 với đầy đủ cách Ví dụ4 Cách giải:uuuu r AM 0;6;0 uur uuuu r r � n AM mặt phẳng qua A chứa d � , u � � 12;0; 6 Gọi uur r n u 1; 5; Gọi mặt phẳng qua A vng góc với d ur uur uur u1 � n ; n � � � 30; 30; 60 Vậy đường thẳng cần tìm có phương: x y z 1 : 1 Phương trình đường thẳng Qua ví dụ cho thấy, tốn khơng phải có cách giải mà tốn, trường hợp, học sinh định hướng cho nhiều cách giải khác nhau, phù hợp với đặc điểm tốn Có cách giải hiệu tốn gặp khó khăn tốn khác Như ví dụ sau: Ví dụ : x y z 17 mặt cầu Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng 2 S : x 1 y 3 z Viết phương trình tiếp tuyến với mặt cầu (S) biết tiếp M 1;8; tuyến qua song song với mặt phẳng () Định hướng giải quyết: Đề cho đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: M 1;8; +) Điểm qua đường thẳng cần tìm :uur có véctơ pháp tuyến n 2; 1; +) Mặt phẳng S có tâm bán kính I 1;3; 2 , R +) Mặt cầu / / +) Quan hệ: Đường thẳng Đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng R 2) Cần xác định véctơ phương đường thẳng Từ định hướng trên, học sinh giải Ví dụ5 với đầy đủ cách Ví dụ4 Cách giải: r 2 u a; b; c Gọi phương đường thẳng cần tìm a b c �0 / / Vì nên ta có: r uur u.n � 2a b 2c � b 2a 2c 1 uuur r uuur r IM , u � IM 0;5; u a; b; c � � 5c 4b; 4a; 5a +) , , � Đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) uuur r 2 � IM , u � 5c 4b 4a 5a � � d I , R � R� 3 r u a b2 c � 5c 4b 4a 5a a b c 8a 3c 4a 5a a 2a 2c c 2 2 Từ (1) (2) ta có: � 2 � 105a 48ac 9c 45a 72ac 45c a � �c ac � �� �� a 5a 3c � � 2 � �c � 5a 2ac 3c 2 Vì a b c �0 suy a �0 b4 � x 1 y z a 1� � 1 : c � Nếu a c chọn Tiếp tuyến cần tìm: b4 � x 1 y z a 3 � � 2 : c Tiếp tuyến cần tìm: � 3 Nếu 5a 3c chọn Vậy qua M có hai tiếp tuyến thỏa mãn đề x 1 y z x 1 y z 1 : 2 : 3 Như tốn giải khơng khó khăn!nhưng sử dụng cách khácthì giải được, nhiên phức tạp Ví ta dùng xác định hai điểm qua: Đề cho điểm nên ta chi cần xác định thêm điểm Điểm tìm tiếp điểm K x; y; z Cách khác: Gọi uuuu tọa độ tiếp điểm ta tìm K nhờ điều kiện sau: r uur uur uuuu r K � S MK n +) , +) , +) IK MK Bài tốn 2: Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn số điều kiện cho trước Cả điểm qua phương đường thẳng xác định thông qua đại lượng cho trước mối quan hệ hình học Ví dụ Trong khơng gian tọa độ Oxyz Viết phương trình đường thẳng biết vng góc với mặt phẳng (P) : x y z cắt hai đường thẳng chéo nhau: �x t � 1 : �y t �z 2t � �x 3t ' � : �y t ' �z t ' � Định hướng giải quyết: Đề cho đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: uur nP 1;1; 1 +) Mặt phẳng (P): véctơ pháp tuyến ur M 1;1; 2 u1 2;3;1 1 +) Đường thẳng qua có phương ur M 2;1;0 u 3; 1;1 +) Đường thẳng qua có phương 10 P +) Quan hệ: Đường thẳng Đường thẳng cắt 1 2) Cần xác định điểm qua véctơ phương đường thẳng Cách giải: Cách 1: (Xác địng hai điểm qua) Gọi M, N giao điểm đường thẳng với hai đường thẳng 1 , M �1 � M t ;3 t ;1 2t +) N � � N 3t ';1 t '; t ' +) uuuu M r MN 3t ' t ; 2 t ' t ; 1 t ' 2t +) N P Theo giả thiết nên: t ' t k 3t ' t k t ' 2 � � � uuuu r uur � � � MN k nP � � 2 t ' t k � � t ' t k 2 � � t 3 P � � � 1 t ' 2t k t ' 2t k k 3 � � � uuuu r M 1;6; 5 MN 3; 3;3 Vậy , x 1 y z 1 Đường thẳng có phương trình: 1 Cách 2: (Giao hai mặt phẳng) mặt phẳng chứa 1 vng góc với (P) Gọi uur uur ur n � nP , u1 � � � 4; 3;1 Mặt phẳng có phương trình x y z mặt phẳng chứa vuông góc với (P) Gọi uur uur uu r � P n � n , u �P � 0; 4; 4 có phương trình y z Mặt phẳng Vậy đường thẳng tập hợp điểm có tọa độ thỏa mãn hệ 4x 3y z � � � x t ; y 1 t y z 1 � Đặt z = t: � �x t � �y t t �R �z t � � Đường thẳng có phương trình: Trong tốn trên, véctơ phương đường thẳng xác định cách dễ dàng nhờ mặt phẳng (P) Vậy cần xác định điểm qua đủ Cách 3: Gọi () mặt phẳng chứa đường thẳng 1 vng góc với mặt phẳng (P) Vì 1 chéo nên cắt () M M 11 P Mặt khác 1 khơng vng góc với (P) nên 1 cắt đường thẳng qua M vng góc với (P) Vây đường thẳng cần tìm đường thẳng qua M vng góc với mặt phẳng (P) Ta tìm M Mặt phẳng () qua M1 có pháp tuyến uur ur uur n � u1 , nP � � � 4;3; 1 suy ra: x y z Tọa độ điểm M nghiệm hệ: �x 3t ' �y t ' 3 � � 3t ' t ' t ' � t ' � �z t ' � 4x 3y z � 3 �1 3� t' �M� ; ; � � 4 4� Với Suy đường thẳng có phương trình: x y z 4 4 1 1 Ví dụ Trong khơng gian tọa độ Oxyz Viết phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng: x y z 10 x4 y3 z 4 2 : 1 : 1 7 Định hướng giải quyết: Đề cho đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: ur M 6;1;10 u1 1; 2; 1 1 +)Đường thẳng qua có phương uu r M 4;3; u 7; 2;3 +)Đường thẳng qua có phương +)Quan hệ: Đường thẳng vng góc cắt Đường thẳng vng góc cắt 2) Cần xác định điểm qua véctơ phương đường thẳng Cách giải: Cách 1: (Xác định hai điểm qua) Gọi M, N giao điểm đường thẳng với 1 +) M �1 � M t ;1 2t ;10 t N � � N 4 7t ';3 2t '; 3t ' +) uuuu r MN 10 7t ' t ; 2t ' 2t ; 6 3t ' t +) uuuu r ur uuuu r ur � � � 10 7t ' t 2t ' 2t 6 3t ' t �MN u1 �MN u1 � �� r uu r � �uuuu r uu r �uuuu 7 10 7t ' t 2t ' 2t 6 3t ' t � �MN u2 �MN u2 12 � 10 7t ' t 2t ' 2t 6 3t ' t � t ' t t ' 1 � � �� �� �� 56 62t ' 6t t 1 �7 10 7t ' t 2t ' 2t 6 3t ' t � � uuuu r M 7;3;9 MN 4; 2; 8 Suy , , hay đường vng góc chung có phương trình: �x 2t � �y t �z 4t � Cách 2: (Đường thẳng giao hai mặt phẳng) ur uu r r � � 8; 4;16 u ; u u 2;1; Ta có: � � su đường vng góc chung có phương M 6;1;10 Gọi () mặt phẳng xác định 1 Vậy () qua điểm có véctơ pháp uur r ur n � u; u � 9;6;3 tuyến: � � nên có phương trình: 3x y z M 4;3; Gọi () mặt phẳng xác định Vậy () qua điểm có véctơ pháp uur r uu r n � u; u � 5; 34;11 tuyến: � � nên có phương trình: x 34 y 11z 38 Vậy đường vng góc chung tập hợp điểm có tọa độ thỏa mãn hệ: 3x y z � � x 34 y 11z 38 � x y 4t � �x 2t �� � x 34 y 44t 49 �y t Đặt: z 4t thay vào hệ ta có: � Vậy đương vng góc chung cần tìm có phương trình: x y 1 z 1 Ví dụ Trong khơng gian tọa độ Oxyz x y 1 z d: Viết phương Cho mặt phẳng (P) : x y z đường thẳng trình tham số đường thẳng nằm (P), cắt vng góc với d Định hướng giải quyết: Đề cho đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: uur nP 1;3; 5 +) Mặt phẳng (P): véctơ pháp tuyến uu r M 2;1;7 u 1; 2;1 +) Đường thẳng d qua có phương d � P +) Quan hệ: Đường thẳng Đường thẳng cắt d d 2) Cần xác định điểm qua véctơ phương đường thẳng Cách giải: Điểm qua: 13 Vì đường thẳng cắt d nằm mặt phẳng (P) nên qu agiao điểm d va (P).Tọa độ giao điểm nghiệm hệ: �x y z �x 14 �x y z � � � � �y 25 �x y z � �y x � � �z 19 �1 �z x � M 14; 25;19 Vậy qua điểm Véctơ phương: Cách 1: Vì nằm mặt phẳng (P) nên có phương vng góc với véctơ pháp tuyến (P), nên có phương: r uur uu r � u� n ; u �P d � 13; 6; 1 �x 14 13t � �y 25 6t �z 19 t � Suy có phương trình: N x; y; z Cách 2: Gọi điểm thuộc đường thẳng cần tìm, đó: uuuu r MN x 14; y 25; z 19 Ta có: uuuu r uur � �MN � P �MN n p � �uuuu r uu r � MN d MN ud � � Mặt khác: � x 14 y 25 z 19 � �� P x 14 y 25 z 19 � �x y z �x 181 13 z �� �� �x y z 83 �y 89 z z t Đặt , ta có phương trình tham số đường thẳng: �x 181 13t � � �y 89 6t t �R �z t � d d’ (Trong cách 2, đường thẳng giao tuyến mặt phẳng () với mặt phẳng (P), () chứa d vơng góc với (P) ) Ví dụ 10 Trong không gian tọa độ Oxyz Viết phương trình đường phân giác hai đường thẳng: �x 4t � : �y 3 x y 1 z 1 : �z 3t � 2 Định hướng giải quyết: Đề cho đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: ur M 2; 1;3 u1 1; 2; 2 1 +) Đường thẳng qua điểm có phương 14 uu r M 1; 3;5 u 4;0;3 +) Đường thẳng qua có phương 2 +) Quan hệ: Đường phân giác tập hợp điểm nằm mặt phẳng xác định 1 đồng thời cách hai đường thẳng 2) Cần xác định điểm qua véctơ phương đường thẳng Cách giải: Đường phân giác qua giao điểm A hai đường thẳng 1 Tọa độ giao điểm A nghiệm hệ: �x 4t �x 4t �x �y 3 �y 3 � � � � � �y 3 � �z 3t �� � A 1; 3;5 �z 3t � � �z �x y z �4t 2 3t � t 0 � �1 �1 2 2 ur �ur u1 �1 2 � v1 ur � ; ; � � 3 3� � � u1 � u u r � uu r u �4 � � v r2 � ;0; � �2 uuu �5 � Đặt � ur uu r � r � 19 � 17 � ur uu v1 v2 � ; ; � v1 v2 � ; ; � 15 15 �, � � 15 15 � Ta có: d d Hai đường thẳng cắt có hai phân giác ur2 uu r 17;10; 1 nên có phương d v v +) Phân giác có phương phương với có tọa độ: x 1 y z 17 10 1 trình: ur uu r 7; 2; 19 nên có phương trình: d v v +) Phân giác có phương phương với có tọa độ: x 1 y z 7 10 19 Ví dụ 11 Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng � x 4t � d: � y 3 2t � P : x y 2z z 3 t � nằm mặt phẳng Viết phương trình đường thẳng nằm (P) cách d khoảng 14 Định hướng giải quyết: Đề cho đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: uur nP 1;1; +) Mặt phẳng (P): véctơ pháp tuyến r M 2;3; 3 u 4; 2;1 +) Đường thẳng d qua có phương � P +) Quan hệ: Đường thẳng 15 Đường thẳng / /d 2) Cần xác định điểm qua véctơ phương đường thẳng Cách giải: r u 4; 2;1 Cách 1: Đường thẳng có phương với d Điểm qua: A x0 ; y0 ; z0 Gọi hình chiếu M đường thẳng , suy ra: 2 � �AM 14 �AM 14 x0 y0 3 z0 3 14 � � rr � �uuuu � x0 y0 z0 �AM d � �AM u � � �A � P �A � P � x0 y0 z0 � � � 2 � x0 y0 3 z0 3 14 � � �� x0 y0 z0 11 � x0 y0 z0 � z 11 2t , ta có hệ: Đặt 2 2 2 � x0 y0 3 14 2t 14 � x0 y0 3 14 2t 14 � � � � � �4 x0 y0 2t � �y0 2 x0 t � x y 22 4t � 3 x 3t 27 0 � � 2 2 2 � x0 y0 3 14 2t 14 � t 3t 21 14 2t 14 � � � � � �y0 18 3t � �y0 18 3t �x t �x t �0 �0 �� t 8 �� t 6 � 14t 196t 672 �� � � � �y0 18 3t � �y0 18 3t �x t �x t �0 �0 � � �x0 � t � �y0 �z 5 A 1;6; 5 �0 Với , x 1 y z Đường thẳng cần tìm có phương trình: �x0 � t � �y0 �z 1 A 3;0; 1 �0 Với , x y z 1 Đường thẳng cần tìm có phương trình: 16 Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn có phương trình: x 1 y z x y z 1 Cách 2: (Giao hai mặt phẳng) Đường thẳng cần tìm giao mặt phẳng (P) với mặt phẳng () vuông góc với (P) cách d khoảng 14 uur uu r uur � n � u �d ; nP � 3; 9;6 nên phương trình có dạng: Mặt phẳng () có véctơ pháp tuyến: x 3y 2z d Mặt khác: 296 d d d , 14 � d M , 14 � 14 1 d 1 � � d 13 14 � � d 27 � d 1 � : x y z Với Đường thẳng cần tìm tập hợp điểm thỏa mãn hệ: � � y x3 � x 3y 2z 1 � � �� x 2z 1 � � y � x y 2z � � x 2z � z 1 � � �x 4t � 2t �y �z 1 t � Đường thẳng có phương trình: d 27 � : x y z 27 Với Đường thẳng cần tìm tập hợp điểm thỏa mãn hệ: �y �x � x 3y 2z 27 � � � �x 2z � �y � x y 2z � �x 2z 11 � z 5 � � Đường thẳng có phương trình: �x 4t � 2t �y �z 1 t � �x 4t � 2t �y �z 1 t � �x 4t � 2t �y �z 1 t � Vậy có hai đường thẳng cần tìm: Cách 3: (Sử dụng tập hợp điểm) K x '; y '; z ' Gọi điểm thuộc đường thẳng cần tìm Ta có: K � P � x ' y ' z ' +) (1) d K ; d 14 +) (2) 17 Gọi () mặt phẳng chứa d vng góc với mặt phẳng (P) uur uur r n � nP , u � M 2;3; 3 � � 3;9; 6 Mặt phẳng () có pháp tuyến qua cóvéctơ pháp tuyến có phương trình: x y z 13 Ta có: d K ; d 14 � d K ; 14 � x ' y ' z ' 13 14 14 x ' y ' z ' 13 14 � � x ' y ' z ' 13 14 � � x ' y ' z ' 13 14 � � x ' y ' z ' 3 �� x ' y ' z ' 27 � �x ' y ' 6t �x ' 11 12t �� � x ' y ' 6t �y ' 6t Từ (1) (3), đặt z ' 3t , ta được: � Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình dạng tham số: �x 11 12t � �y 6t t �R �z 3t � �x ' y ' 6t 27 �y ' 18 6t �� � x ' y ' t z ' t � �x ' 25 12t Từ (1) (3), đặt , ta được: Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình dạng tham số: �x 25 12t � �y 18 6t t �R �z 3t � Ví dụ 12 Trong khơng gian tọa độ Oxyz Viết phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng � x 1 t � d: � y1 � z 1 t : 2x 3y z � mặt phẳng Định hướng giải quyết: Đề cho đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: uur n 2;3; 1 +) Mặt phẳng (): véctơ pháp tuyến ur A 1;1;1 u1 1;0;1 +) Đường thẳng d qua có phương 2) Cần xác định điểm qua véctơ phương đường thẳng Cách giải: Cách 1: (Xác định hai điểm qua) Để xác định hai điểm qua đường thẳng : +) Nếu d cắt () N N điểm qua , lấy điểm M d khơng thuộc (), xác định hình chiếu M’ M () Ta có hai điểm qua +)Nếu d không cắt () lấy hai điểm phân biệt M, Ntrên d, xác định hinhd chiếu M’, N’ M N () Ta có hai điểm qua Để xét tương giao d (), ta xét hệ: 18 - � x 1 t � � � x 1 t x 1 t x 3 � � � � y1 y1 � � y1 � y1 �� �� �� I :� � z 1 t z 1 t z 1 t z 3 � � � � 2 1 t 3 1 t � 2x 3y z � 2 2t 3 1 t � t 4 � � N 3;1; 3 Vậy d giao với () , đường thẳng qua điểm N Gọi d’ đường thẳng qua A vng góc với (), nhận véctơ pháp tuyến () phương Có phương trình: �x 2t1 � �y 3t1 t1 �R �z t � Hình chiếu vng góc M mặt phẳng () giao điểm đường thẳng d’ với mặt phẳng ().Có tọa độ nghiệm hệ: �x 2t1 �x 2t1 � �y 3t x ,y ,z �y 3t � � � � 7 �� �� � z t �z t1 � � t1 � � �2 2t1 3t1 t1 �2 x y z � �3 � M '� ; ; � �7 7 � suy Đường thẳng đường thẳng NM’ qua uuuuu r �24 30 � NM ' � ; ; � 7 � có phương trình: �7 � x 3 4t2 � y 1 t2 � � z 3 5t2 � N 3;1; 3 có phương t2 �R Cách 2: (Xác định hai mặt phẳng có giao đường thẳng cần tìm) mặt phẳng chứa đường thẳng d vng góc với mặt phẳng () , Gọi uur uur ur n n ; u1 � A 1;1;1 qua có véctơ pháp tuyến � � � 3; 3; 3 , phương trình mp x y z 1 Hình chiếu vng góc cần tìm giao () �x y z � 2x 3y z � Đặt z t , ta có: , thỏa mãn hệ: � 1 y t � �x y t �2 x y 2t � 5 �� �� � 2x y 1 t � �2 x y t � x t � 5 19 Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình: � �x 4t � � �y t � �z 5t � � Cách 3: (Sử dụng tập hợp điểm) M 1 t;1;1 t Gọi M điểm thuộc đường thẳng d, Hình chiếu d’ d tập dợp điểm hình chiếu M mặt phẳng Trong không gian tọa độ Oxyz Viết phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng � x 1 t � d: � y1 � z 1 t � mặt phẳng Ví dụ 13 : x 1 y 1 z 1 1 mặt phẳng Trong không gian tọa độ Oxyz Cho đường thẳng : x y z 3 1.Viết phương trình hình chiếu vng góc d mặt phẳng () x y z 1 l: 1 đường thẳng 2.Viết phương trình hình chiếu song song theo phương mặt phẳng () Định hướng giải quyết: Đề cho đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: uur nP 1;1; 1 +)Mặt phẳng (P): véctơ pháp tuyến ur M 1;1; 2 u1 2;3;1 +)Đường thẳng qua có phương ur M 2;1;0 u 3; 1;1 +)Đường thẳng qua có phương P +)Quan hệ: Đường thẳng Đường thẳng cắt 1 2)Cần xác định điểm qua véctơ phương đường thẳng Cách giải: 20 Ví dụ 14 x y z d: 2 mặt phẳng Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng P :2x y z 1.Xét vị trí tương đối đường thẳng d mặt phẳng (P) 2.Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua mặt phẳng (P) Định hướng giải quyết: Đề cho đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: ur M 2;0; u 1; 2; +)Đường thẳng d qua có phương r n 2;1; 1 P +)Mặt phẳng có pháp tuyến P +)Quan hệ: Đường thẳng d ' đối xứng với d qua mặt phẳng P Đường thẳng d cắt mặt phẳng 2)Cần xác định điểm qua véctơ phương đường thẳng Cách giải: Ví dụ 15 Trong không gian tọa độ Oxyz Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng: �x 2t � : �y t t �R x y 1 z x y 1 z 1 1 : 2 : �z 2 t � 1 1 , d ,d , Viết phương trình đường thẳng đối xứng với qua Định hướng giải quyết: Đề cho đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: r M 1;0; u 2;1;1 +) Đường thẳng qua có phương ur M 3;1; 1 u1 2;1;1 +) Đường thẳng 1 qua có phươnguu r M 2; 1;1 u 2; 1;1 +) Đường thẳng qua có phương +) Quan hệ: 1) Quan hệ đại lượng cho: 1 song song với 21 cắt nhau 2) Quan hệ đại lượng cần tìm với đại lượng cho d1 đối xứng với 1 qua đường thẳng d2 đối xứng với qua đường thẳng 2) Cần xác định điểm qua véctơ phương đường thẳng cần tìm Cách giải: d 1) Xác định đường thẳng Cách 1: (Xác định điểm qua) M 3;1; 1 �1 M 1;0; 2 � Lấy hai điểm M B x1 ; y1 ; z1 A1 qua M Gọi 1uuuu điểm đối xứng với r uuuuur MB1 x1 1; y1 ; z1 M 1M 4; 1; 1 Ta có: , B A AB Vì đối xứng với qua I nên I trung điểm 1 , hay �x1 �x1 uuuur uuuuur � � MB1 M1M � �y1 1 � �y1 1 � B1 5; 1; 3 �z 1 �z 3 �1 �1 d d Mặt khác song song với nên song song với , hay có phương với �x 2t � d1 : �y t t �R �z 3 t d � Vậy có phương trình: Cách 2: (Sử dụng tập hợp điểm) A 1;0; 2 � Lấy K 3 2t;1 t ; 1 t K �1 Gọi , suy ra: K x ; y ; z d1 tập hợp điểm 1 đối xứng với K qua A Vậy: 2t x1 � �4 2t x1 �x1 2t uuu r uuuur � � � �� 1 t y1 KA AK1 � �1 t y1 � �y1 1 t � �1 t z �z 3 t 1 t z1 � � �1 �x 2t � �y 1 t �z 3 t � hay đường thẳng cần tìm có phương trình: Đăng ngày 04 tháng năm 2011 Lê Hồ Bình 22 ... Với tốn viết phương trình đường thẳng khơng gian, dạng tường minh theo tơi là: Viết phương trình tham số (hoặc tắc)của đường thẳng biết: 1) Hai điểm mà đường thẳng qua 2) Một điểm mà đường thẳng. .. giai đứng trước tốn Trong tốn Viết phương trình đường thẳng không gian, người học cần ý đến điều kiện xác định đường thẳng không gian, đặc biệt ý đền hai điều kiện xác định đường thẳng sau: +) Biết... Vậy, đường thẳng cần tìm có phương trình Ví dụ A 3; 2; 1 Trong không gian tọa độ Oxyz Viết phương trình đường thẳng qua , vng góc �x t � d : �y 5t �z 1 2t � cắt đường thẳng
Ngày đăng: 15/12/2021, 19:26
Xem thêm: Viết phương trình đường thẳng trong không gian
