Hình học là một trong những môn học xuất hiện khá sớm. Hàng ngàn năm trước Công nguyên, con người đã phải đo đạc các thửa ruộng, đong thóc gạo khi thu hoạch, xây dựng những kim tự tháp khổng lồ. Môn hình học lúc đầu ra đời có ý nghĩa là một khoa học về đo đạc. Nhưng rồi, con người không phải chỉ cần đo đất, mà cần nghiên cứu nhiều điều phức tạp hơn. Tuy nhiên, hình học chỉ trở thành môn khoa học thực sự khi con người nêu lên các tính chất hình học bằng con đường suy diễn chặt chẽ, chứ không phải từ đo đạc trực tiếp.
PHẦN I MỞ ĐẦU LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Hình học mơn học xuất sớm Hàng ngàn năm trước Công nguyên, người phải đo đạc ruộng, đong thóc gạo thu hoạch, xây dựng kim tự tháp khổng lồ Mơn hình học lúc đầu đời có ý nghĩa khoa học đo đạc Nhưng rồi, người cần đo đất, mà cần nghiên cứu nhiều điều phức tạp Tuy nhiên, hình học trở thành môn khoa học thực người nêu lên tính chất hình học đường suy diễn chặt chẽ, từ đo đạc trực tiếp Hình học Euclid giới thiệu trường trung học với việc khảo sát hình đa giác, hình tròn, hình đa diện, hình cầu, hình nón…Hơn hai nghìn năm qua hình học Euclid có tác dụng to lớn văn minh nhân loại, từ việc đo đạc ruộng đất đến vẽ đồ án xây dựng nhà cửa, chế tạo vật dụng máy móc, từ việc mơ tả quỹ đạo hành tinh hệ mặt trời đến mô tả cấu trúc nguyên tử Nhận thấy tầm quan trọng mơn hình học, đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng, đề thi học sinh giỏi bậc trung học phần hình học phẳng ln chiếm vị trí quan trọng Hơn nữa, phần phần khó đề thi Đặc biệt đề thi bậc trung học phổ thơng, câu hình học giải tích mặt phẳng Để giải câu này, học sinh cần phải nắm tính chất hình học phẳng kết hợp với phương pháp tọa độ mặt phẳng Ngay trình đề, sáng tạo tốn giáo viên cần phải nắm tính chất hình học phẳng Chính vậy, nghiên cứu đề tài này, với mong muốn công cụ giúp việc dạy học phần hình học giải tích mặt phẳng giáo viên, học sinh dễ dàng thuận lợi Vì lí nên đề tài chọn là: “Vận dụng khai thác tính chất hình học phẳng vào dạy học giải tốn hình học giải tích mặt phẳng” MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 2.1 Mục đích nghiên cứu Thấy rõ tầm quan trọng việc nắm bắt tính chất hình học phẳng q trình dạy học chủ để hình học giải tích mặt phẳng Nghiên cứu tính chất hình học mặt phẳng nhằm áp dụng vào q trình dạy học mơn Tốn lớp 10, đề thi cho kì thi khảo sát chất lượng thi học sinh giỏi bậc trung học phổ thơng, góp phần nâng cao chất dạy học mơn Toán lớp 10, nâng cao chất lượng thi học sinh giỏi thi đại học, cao đẳng trường trung học phổ thông Trần Phú thành phố Vĩnh Yên tỉnh Vĩnh Phúc 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Đưa tính chất hình học phẳng thơng qua hệ thống tập đồng thời chứng minh tính chất (có thể theo nhiều cách khác nhau) Đưa số tập tính chất hình học phẳng giúp học sinh giáo viên làm sở để giải tốn hình học giải tích mặt phẳng, đề sáng tạo toán Vận dụng tính chất hình học vào giải tốn hình học giải tích mặt phẳng đồng thời sáng tạo tốn nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn lớp 10, luyện thi học sinh giỏi, ôn thi đại học cao đẳng PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Để thực mục đích nhiệm vụ nghiên cứu sử dụng phương pháp nghiên cứu sau: 4.1 Phương pháp nghiên cứu lí luận 4.2 Phương pháp điều tra quan sát 4.3 Phương pháp tổng kết kinh nghiệm GIỚI HẠN VỀ KHÔNG GIAN CỦA ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Đề tài áp dụng học sinh lớp 10, 11, 12; luyện thi học sinh giỏi lớp 10, 11, 12 ôn thi đại học, cao đẳng trường trung học phổ thông Trần Phú thành phố Vĩnh Yên tỉnh Vĩnh Phúc PHẠM VI VÀ KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU Đề tài nghiên cứu vòng năm học, từ tháng năm 2015 đến tháng năm 2016 CẤU TRÚC ĐỀ TÀI Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, cấu trúc đề tài gồm hai chương Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số tính chất hình học phẳng 1.2 Một số tập tự luyện Chương Vận dụng tính chất hình học phẳng vào giải tốn hình học giải tích mặt phẳng 2.1 Một số ví dụ 2.2 Bài tập tham khảo PHẦN II NỘI DUNG CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 MỘT SỐ TÍNH CHẤT TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Bài 1.1.1 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O có trực tâm H, tâm đường tròn nội tiếp I J tâm đường tròn bàng tiếp góc A Gọi M, N, P trung điểm cạnh BC, CA, AB; D, E, F chân đường cao kẻ từ A, B, C; A’, B’, C’ điểm đối xứng với A, B, C qua O; A1;B1;C1 giao điểm thứ hai đường thẳng AH, BH, CH với đường tròn (O); K giao điểm thứ hai AI với đường tròn (O) a) Chứng minh CHBA’ hình bình hành, AH POM , AH = 2OM Chứng minh O, H, G thẳng hàng OH = 3OG (G trọng tâm tam giác ABC) b) Chứng minh A1 đối xứng với H qua BC; B1 đối xứng với H qua AC; C1 đối xứng với H qua AB từ suy đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC, HCA, HAB đối xứng với đường tròn (O) qua BC, CA, AB c) Chứng minh OA ⊥ EF , OA ⊥ B1C1 d) Chứng minh H tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF e) Chứng minh O trực tâm tam giác MNP f) Chứng minh điểm M, N, P, D, E, F trung điểm đoạn HA, HB, HC thuộc đường tròn g) Chứng minh K trung điểm cung BC, tam giác KBI KCI cân h) K trung điểm IJ Giải: · a) Ta có: CH ⊥ AB,ABA ' = 90o · ⇒ CH PBA ' BH ⊥ AC,ACA ' = 90o ⇒ BH PCA ' ⇒ CHBA’ hình bình hành M trung điểm BC, suy M trung điểm HA’ 1 OM ⊥ BC ⇒ OM PAH ⇒ OM = AH Do GM = GA ⇒ O,G,H thẳng hàng 2 uuur uuur OH = 3OG ⇒ OH = 3OG · · · b) HBC (cùng phụ với góc ACB ) = HAC · · · · A1C ), suy HBC HBA1 DBA = DBA = HAC (cùng chắn cung ⇒ tam giác cân H, suy H, A1 đối xứng với qua BC Tương tự, B1 đối xứng với H qua AC C1 đối xứng với H qua AB Các đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC, HCA, HAB đối xứng với đường tròn (O) qua BC, CA, AB c) Cách 1: Dựng tiếp tuyến At đường tròn (O) · · · · Tứ giác BCEF nội tiếp suy FBC = FEA ⇒ FEA = EAt ⇒ EF PAt ⇒ EF ⊥ OA EF đường trung bình tam giác B1HC1 ⇒ B1C1 ⊥ OA Cách 2: Tứ giác BHCA’ hình bình hành suy M trung điểm HA’ Gọi Q trung điểm AH, suy tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn tâm Q Tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn tâm M, suy QM ⊥ EF ⇒ OA ⊥ EF ⇒ OA ⊥ B1C1 · · · d) ABE (cùng phụ với góc BAC ) = ACF Hai tứ giác BDHF CDHE nội tiếp, suy · · · · FDH = FBH;EDH = ECH · · hay DH phân giác ⇒ FDH = EDH · góc EDF , tương tự suy H tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF e) OM ⊥ BC,OP ⊥ AB suy O trực tâm tam giác MNP f) Giả sử D nằm B M DM PPN, DP = MN = AB, suy DMNP hình thang cân nên tứ giác DMNP nội tiếp, tương tự suy sáu điểm D, E, F, M, N, P thuộc đường tròn Gọi T trung điểm HC Do tứ giác CDHE nội tiếp đường tròn đường kính HC, · · · · suy HNT = 2HCE = 2HDE = EDF ⇒ tứ giác DTEF nội tiếp, tương tự ta có điểm D, E, F, M, N, P ba trung điểm đoạn HA, HB, HC thuộc mọt đường tròn · g) Do AK phân giác góc BAC , suy K trung điểm cung BC Gọi S giao điểm thứ hai đường thẳng BI với đường tròn (O) Do S trung điểm cung AC K trung · · điểm cung BC, suy BIK hay tam = KBI giác BKI cân K Tương tự ta có tam giác KIC cân K h) Do IB ⊥ JB,IC ⊥ JC suy tứ giác BICJ nội tiếp đường tròn đường kính IJ, K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC, suy K trung điểm IJ Bài 1.1.2 Cho hình chữ nhật ABCD, M điểm cạnh AB (khác A B) Gọi H hình chiếu vng góc B đường thẳng DM Chứng minh AH ⊥ CH Giải: · Do BHD = 90o ⇒ H thuộc đường tròn đường kính DB Suy H thuộc đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD Suy H thuộc đường tròn · đường kính AC hay AHC = 90o ⇒ AH ⊥ CH Bài 1.1.3 Cho hình chữ nhật ABCD, M trung điểm BC Gọi H hình chiếu vng góc D AC, N trung điểm đoạn AH Chứng minh · DNM = 90o Giải: Cách 1: Gọi E trung điểm DH, suy NE PAD , NE = AD = MC ⇒ tứ giác CMNE hình bình hành, CE PMN Do NE ⊥ DC nên E trực tâm tam giác NDC, ta có CE ⊥ DN suy MN ⊥ DN uuuu r uuur uuur uuur uuur uuur Cách 2: Ta có: 2MN = BA + CH,2DN = DA + DH uuuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 4MN.DN = BA + CH DA + DH = CH.DA + CD.DH Suy ( )( ) = CH.HA − DH = ⇒ MN ⊥ DN Bài 1.1.4 Cho tam giác ABC cân A, D trung điểm BC Gọi H hình chiếu vng góc D cạnh AC, M trung điểm HD Chứng minh BH ⊥ AM Giải: Gọi N trung điểm HC ⇒ MN PCD , DN PBH , MN ⊥ AD ⇒ M trực tâm tam giác AND Suy AM ⊥ DN ⇒ AM ⊥ BH Bài 1.1.5 Cho hình vng ABCD có M, N trung điểm cạnh BC, CD Chứng minh AM ⊥ BN Giải: Xét hai tam giác ABM tam giác BCN có: · · ABM = BCN,AB = BC,BM = CN · · ⇒ ∆ABM = ∆BCN ⇒ BAM = CBN · · · · Do BAM + AMB = 90o ⇒ CBN + AMB = 90o ⇒ AM ⊥ BN Bài 1.1.6 Cho hình vng ABCD tâm I, M điểm đối xứng với D qua C Gọi H, K hình chiếu vng góc C, D AM Chứng minh IK / /BH D, K đối xứng qua đường thẳng HI Giải: · Do AHC = 90o suy năm điểm A, B, H, C, D thuộc đường tròn tâm I nên · · AHB = ADB = 45o · · · · AHD = ABD = 45o Tứ giác ADIK nội tiếp, suy IKH = ADI = 45o · ⇒ KI PBH , KI phân giác góc vng DKH suy KI ⊥ DH ⇒ tam giác DKH cân K nên D, H đối xứng với qua đường thẳng KI Bài 1.1.7 Cho tam giác ABC nhọn, dựng bên tam giác ABC tam giác MAB NAC vuông cân A Gọi I trung điểm BC Chứng minh AI ⊥ MN Giải: Cách 1: Dựng hình bình hành ABDC, ta có · · · (cùng bù với góc ABC ), ACD = NAM CD = AB = AM,AN = CA · · suy ∆ΑCD = ∆NAM ⇒ MNA = DAC Gọi H giao điểm AI MN Do · · · · HAN + DAC = 90o ⇒ MNA + HAN = 90o ⇒ AI ⊥ MN uur uuur uuur uuuu r uuur uuuu r · · Cách 2: Ta có: MAC = NAB,2AI = AB + AC,MN = AN − AM uur uuuu r uuur uuur uuur uuuu r uuur uuur uuur uuuu r 2AI.MN = AB + AC AN − AM = AB.AN − AC.AM ( )( ) 10 · · = AB.AN.cos NAB − AC.AM.cos MAC = ⇒ AI ⊥ MN Bài 1.1.8 Cho đường tròn tâm O điểm M nằm bên (O) Dựng tiếp tuyến MA, MB tới (O) (A, B tiếp điểm), C điểm đối xứng với A qua O Tiếp tuyến (O) C cắt đường thẳng AB E Chứng minh IE ⊥ MC Giải: Cách 1: Dựng hình bình hành ADCE, suy ba điểm D, O,E thẳng hàng OM ⊥ AB,AC ⊥ DM ⇒ O trực tâm tam giác MCD nên DE ⊥ AC Cách 2: Gọi I = BC ∩ EO · · · · · Ta có: BCE = BAC = BMO,MBO = CBE = 90o ⇒ ∆BOM ∽ ∆BEC ⇒ BM BO · BM = EBO · · · = Lại có: C ⇒ ∆BEO ∽ ∆BMC ⇒ BEO = BCM BC BE · · · · ⇒ OIC + BCM = BIO + BEI = 90o ⇒ AC ⊥ IE Bài 1.1.9 Cho hình chữ nhật ABCD, H hình chiếu vng góc B AC Trên tia đối tia BH lấy điểm E cho · BE = AC Chứng minh ADE = 45o Giải: Gọi K, I hình chiếu vng góc E lên đường thẳng AB, DC · · · · · Ta có: EBK = ABH = ACB ⇒ BEK = ABC BE = AC , suy ∆ABC = ∆EKB ⇒ KE = AB = CD,BC = BK ⇒ BKIC hình vng Suy tam giác DIE vuông cân I 11 · · ⇒ EDI = 45o ⇒ ADE = 45o Bài 1.1.10 Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH (H thuộc cạnh BC) Gọi D điểm đối xứng với B qua H; K hình chiếu vng góc C đường thẳng AD Gọi M trung điểm AC, chứng minh HM ⊥ AK Giải: Do tam giác ABD cân A H trung điểm · · · BD, ta có KDC = BDA = ABD · · ⇒ BAH = KCD Do tam giác HMC cân C AH ⊥ BC , suy · · · MHD = MCH = BAH · · · · ⇒ MHD + ADH = BAH + ABH = 90o ⇒ HM ⊥ AK 1.2 MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1.2.1 Cho đường tròn ( O;R ) , đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax lấy tiếp tuyến điểm P cho AP > R , từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với ( O ) M a) Chứng minh tứ giác APMO tứ giác nội tiếp b) Chứng minh BM POP c) Đường thẳng vng góc với AB O cắt tia BM N Chứng minh tứ giác OBNP hình bình hành d) Biết AN cắt OP K, PM cắt ON I; PN OM kéo dài cắt J Chứng minh I, J, K thẳng hàng Bài 1.2.2 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB điểm M nửa đường tròn (M khác A, B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax I; tia phân giác góc IAM cắt nửa đường tròn E, cắt tia BM F; tia BE cắt Ax H, cắt AM K a) Chứng minh từ giá EFMK tứ giác nội tiếp b) Chứng minh AI = IM.IB c) Chứng minh BAF tam giác cân 12 Để giải tốn hình học giải tích mặt phẳng, trước tiên học sinh cần phải nắm tính chất hình học phẳng, biết cách chứng minh tính chất hình học phẳng chứng minh vng góc, song song, tam giác đồng dạng, tính số đo góc… Trong phần tơi xin đưa số ví dụ để thấy thấy rõ tầm quan trọng việc cần phải nắm tính chất hình học phẳng để giải tốn hình giải tích mặt phẳng Bài 2.1.1 Cho tam giác ABC vuông cân A, có trọng tâm G Gọi E, H trung điểm cạnh AB, BC; D điểm đối xứng với H qua A, I giao điểm đường thẳng AB đường thẳng CD Biết điểm D ( −1; − 1) , đường thẳng IG có phương trình 6x − 3y − = điểm E có hồnh độ Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC (Trích đề thi HSG lớp 12 tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2015-2016) Trong ví dụ này, để giải điều quan trọng học sinh cần phải chứng minh DE ⊥ CE, DE PIG Chính tơi xin đưa số cách để chứng minh sau: y Cách 1: Xét toán phụ, chọn hệ trục tọa độ Axy hình vẽ giả sử AB = AC = ta có: A ( 0;0 ) ,B ( 0;2 ) ,C ( 2;0 ) , suy H ( 1;1) ,D ( −1; − 1) , x 2 2 E ( 0;1) , G ; ÷ 3 3 uuur uuu r ⇒ DE ( 1;2 ) ,CE ( −2;1) , r uur uuu r uur uuur uuu I 0; − ÷⇒ IG ; ÷ DE.CE = 0,IG.CE = ⇒ DE ⊥ CE,IG ⊥ CE 3 3 3 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Cách 2: DE = DA + AE = AB + AC + AB = AB + AC 2 ( ) 19 uuu r uuur uuur uuur uuu r CE = AB − AC Suy DE.CE = ⇒ DE ⊥ CE , tứ giác CDEH nội tiếp suy · · · · ECD = EHD = 45o ⇒ ECD = ABH = 45o ⇒ tứ giác AGCI nội tiếp nên IG ⊥ CE Vậy DE ⊥ CE,IG ⊥ CE Giải: Gọi K trung điểm BI, suy HK PCD ⇒ A trung điểm KI, 1 HK = DI = IC ; AK = BK 2 ⇒ GK PAC ⇒ GK ⊥ AB ⇒ GB = GI = GC hay G tâm đường tròn qua ba điểm C, I, B · · CGI = 2IBC = 90o , ID = IC ⇒ DE PIG Phương trình đường thẳng DE: 2x − y + = ⇒ E ( 1;3) CE ⊥ IG , suy phương trình CE :x + 2y − = Tọa độ G nghiệm x = x + 2y − = 7 7 ⇔ ⇒ G ; ÷ ⇒ C ( 5;1) hệ phương trình 3 3 6x − 3y − = y = uuur uuur DG = AG ⇒ A ( 1;1) ⇒ B ( 1;5 ) Vậy, A ( 1;1) ,B ( 1;5 ) C ( 5;1) Bài 2.1.2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H ( 3;0 ) , I ( 6;1) trung điểm BC đường thẳng AH có phương trình x + 2y − = Gọi D, E chân đường cao kẻ từ B C tam giác ABC Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC, biết đường thẳng DE có phương trình x − = điểm D có tung độ dương 20 Giải: Gọi K trung điểm AH Tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn tâm K BCDE nội tiếp đường tròn tâm I Suy IK ⊥ DE ⇒ phương trình IK :y − = Tọa độ K ( 1;1) ⇒ A ( −1;2 ) D ( 2;a ) ∈ DE Ta có a = KA = KD ⇔ = + ( a − 1) ⇔ ⇒ D ( 2;3) a = −1( loaïi) Phương trình AC :x − 3y + = Phương trình BC :2x − y − 11 = Tọa độ C ( 8;5 ) ⇒ B ( 4; − 3) Vậy, A ( −1;2 ) , B ( 4; − 3) C ( 8;5 ) Bài 2.1.3 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H thuộc đường thẳng d : 2x − y = có hồnh độ nhỏ Gọi M điểm cung nhỏ BC đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, gọi D điểm đối xứng M qua AB Đường tròn qua ba điểm A, B, D có phương trình 2 2 14 65 x + ÷ + y − ÷ = Tìm tọa độ đỉnh B, C biết A ( 2;5 ) , đường thẳng 3 3 BC qua điểm E ( 9;0 ) B, C có tọa độ nguyên Giải: Vì M D đối xứng với · · qua AB nên ADB = AMB · · Mặt khác ACB , = AMB · · ACB + AHB = 1800 21 · · nên ADB + AHB = 1800 Do tứ giác AHBD tứ giác nội tiếp ⇒ A,D,B,H thuộc đường tròn a = 10 14 65 H ( a;2a ) ⇒ a + ÷ + 2a − ÷ = ⇔ ⇒ H ; ÷ 3 3 3 a = ( loaïi ) 2 Phương trình đường thẳng BC : x + 5y − = ⇒ B ( −5b + 9;b ) b = 2 29 14 65 ⇔ ⇒ B ( −1;2 ) Mà B ∈ ( C ) nên −5b + ÷ + b − ÷ = 27 b = loaï i ( ) 3 13 Phương trình đường thẳng AC : 2x + y − = ⇒ C ( 4;1) Vậy B ( −1;2 ) , C ( 4;1) Bài 2.1.4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang ABCD vng A D có CD = 2AB Gọi H ( −1;0 ) hình chiếu vng góc D AC N trung điểm HC Tìm tọa độ điểm A, C, D biết phương trình đường thẳng DN x − 2y − = điểm B ( 1;2 ) Giải: Gọi K trung điểm DH Ta có ABNK hình bình hành nên KN ⊥ AD ⇒ K trực tâm tam giác AND ⇒ AK ⊥ DN ⇒ BN ⊥ DN Phương trình đường thẳng BN 2x + y − = tọa độ N ( 2;0) ⇒ C ( 5;0) Phương trình đt AC y = nên phương trình đường thẳng DH x + 1= Tọa uuur uuu r 3 5 độ điểm D −1; − ÷ Ta có CD = 2BA ⇒ A −2; ÷ 2 4 Bài 2.1.5 Trong mặt phẳng với tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm E, F nằm cạnh AB, AD cho EB = 2EA , FA = 2FD 22 Biết F ( 2;1) phương trình đường thẳng CE : x − 3y − = ,tam giác CEF vuông F Tìm tọa độ điểm C biết C có hồnh độ dương Giải: · · Ta có tứ giác CBEF tứ giác nội tiếp ⇒ FCE = FBE · · · FEA = FCB = CFD Đặt AB = y , AD = x ( x, y > ) ⇒ AF = 2x x y 2y ;DF = ;AE = ;BE = 3 3 Ta có: · · tan CFD = tan FEA ⇔ y2 = x uuu r r Giả sử C ( 3a + 9;a ) ⇒ FC = ( 3a + 7;a − 1) ( a > −3 ) Vtcp CE u = ( 3;1) · cos FCE = 10a + 20 10 10a + 40a + 50 = a+2 a + 4a + a+2 2 15 15 · ⇒ = Với y = x ta có: cos FCE = 5 a + 4a + −4 + a = ⇔ −4 − ( lo¹i ) a = + −4 + ; Vậy tọa độ C ÷ 2 Bài 2.1.6 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc ( d) : x + 3y + = A ( 1;5 ) Gọi M điểm thuộc tia đối tia BC cho MC = 2BC , N hình chiếu vng góc 1 B MD Tìm B,C biết N − ; ÷ 2 Giải: 23 Ta có ngũ giác ADCBN nội tiếp đường tròn đường kính BD ⇒ Ngũ giác nội tiếp đường tròn đường kính AC ⇒ AN ⊥ NC Vì AN ⊥ NC ⇒ ( NC ) : 7x + 9y + 13 = ( NC ) ∩ ( d ) = C ⇒ C ( 2; −3) Gọi B ( a;b ) ⇒ M ( 2a − 2;2b + 3) a = b = − 219 uuur uuu r 2 AB ⊥ BC 22 4a + 11a + 4b + 3b = ⇔ r uuur ⇔ Ta có: uuuu a − 3a + b − 2b − 13 = NM ⊥ NB a = 421 b = − 55 219 421 Kết luận: Vậy C ( 2; −3) ,B ; − ÷ C ( 2; −3) ,B ; − ÷ 22 55 2.2 BÀI TẬP THAM KHẢO Bài 2.2.1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh 4 8 B(0; 2) , trọng tâm trực tâm tam giác điểm G ; ÷ 3 H(1; 3) Tìm tọa độ đỉnh C, biết C có hồnh độ lớn Bài 2.2.2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1; 1) , 7 7 trọng tâm điểm G ; ÷ đường tròn ngoại tiếp (C) có phương trình 3 3 2x + 2y − 9x − 9y + 14 = Viết phương trình cạnh BC Bài 2.2.3 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có B(0; 2), C(3; 2) đường tròn ngoại tiếp tam giác có phương trình 24 (C) :x + y − 3x − 5y + = Tìm tọa độ trực tâm H tam giác ABC, biết điểm H nằm đường thẳng d :x − y + = Bài 2.2.4 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, Cho tam giác ABC có A ( 3; −7 ) , trực tâm H ( 3; −1) , tâm đường tròn ngoại tiếp I ( −2;0 ) Xác định tọa độ đỉnh C biết C có hồnh độ dương Bài 2.2.5 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A ( 0;3) , trực tâm H ( 0;1) trung điểm M ( 1;0 ) cạnh BC Tìm tọa độ điểm B, biết B có hồnh độ âm Bài 2.2.6 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đỉnh A ( 2;6 ) , tâm đường tròn nội tiếp D ( 2;1) tâm đường tròn ngoại tiếp E − ;1÷ Tìm tọa độ đỉnh B C, biết đỉnh C có hồnh độ dương Bài 2.2.7 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh 3 A ( 2;6 ) , chân đường phân giác kẻ từ đỉnh A điểm D 2; − ÷ tâm 2 đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm I − ;1÷ Tìm tọa độ đỉnh B, C tam giác cho Bài 2.2.8 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm 18 D ; ÷;E ( 3;0 ) ;F ( 2;2 ) chân đường cao hạ từ đỉnh A, B, C 5 tam giác ABC Viết phương trình cạnh tam giác ABC 25 Bài 2.2.9 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(2; 3) , tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp I(6; 6) , tọa độ tâm đường tròn nội tiếp K(4; 5) Viết phương trình cạnh tam giác ABC Bài 2.2.10 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(−1; − 3) , trực tâm H(1; − 1) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác I(2; − 2) Tìm tọa độ đỉnh B, C tam giác ABC Bài 2.2.11 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H(2; 1) tâm đường tròn ngoại tiếp I(1; 0) Trung điểm BC nằm đường thẳng x − 2y − = Tìm tọa độ đỉnh B, C; biết đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC qua điểm E(6; − 1) hoành độ B nhỏ Bài 2.2.12 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(−2; − 1) , trực tâm H(2; 1) BC = 20 Gọi B’, C’ chân đường cao kẻ từ đỉnh B, C Lập phương trình đường thẳng BC, biết trung điểm M cạnh BC nằm đường thẳng có phương trình x − 2y − = , tung độ M dương đường thẳng B’C’ qua điểm E(3; − 4) Bài 2.2.13 Cho đường tròn (T) tâm I, bán kính R = Từ điểm K ( 3;2 ) ngồi đường tròn (T) kẻ tiếp tuyến KA, KB tới (T) (A, B tiếp điểm) Lấy C đối xứng với A qua I Tiếp tuyến (T) C cắt AB E, biết C thuộc đường thẳng d :2x + y − = 0,IE :x − 3y − = Viết phương trình đường tròn (T) Bài 2.2.14 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC không tam giác vng nội tiếp đường tròn (I) (đường tròn (I) có tâm I); điểm H ( 2;2 ) trực tâm tam giác ABC Kẻ đường kính AM, BN đường tròn (I) Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết M ( 5;3) , N ( 1;3) đường thẳng BC qua điểm P ( 4;2 ) 26 Bài 2.2.15 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ∆ABC có A ( 2;3) , đường phân giác góc A có phương trình x − y + = tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC I ( 6;6 ) Viết phương trình cạnh BC, biết S∆ABC = 3S∆IBC Bài 2.2.16 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có chân đường phân giác góc A điểm D ( 1; − 1) Đường thẳng AB có phương trình 3x + 2y − = , tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình x + 2y − = Viết phương trình đường thẳng BC Bài 2.2.17 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn tâm I ( 0;5 ) Đường thẳng AI cắt đường tròn M ( 5;0 ) ( M 17 khác A) Đường cao qua C cắt đường tròn I N − ; − ÷, N ≠ C Tìm tọa 5 độ đỉnh A,B,C biết hoành độ điểm B lớn O Bài 2.2.18 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có điểm B thuộc đường thẳng 5x + 3y − 10 = Gọi M điểm đối xứng với D qua C; H, K hình chiếu D, C AM Biết K ( 1;1) , phương trình đường thẳng qua điểm H tâm hình vng ABCD 3x + y + = Tìm tọa độ đỉnh B, D Bài 2.2.19 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD với hai đáy AB, CD Biết diện tích 14, đỉnh A ( 1;1) , trung điểm BC H − ;0 ÷ Viết phương trình đường thẳng AB biết D có hồnh độ dương D thuộc đường thẳng d :5x − y + = Bài 2.2.20 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD có µ =D µ = 90o , CD = 2AB Gọi H hình chiếu vng góc điểm D đường A 22 14 chéo AC Biết M ; ÷ trung điểm HC, đỉnh D ( 2;2 ) , đỉnh B thuộc 5 27 đường thẳng x − 2y + = , đường thẳng BC qua E ( 5;3) Tìm tọa độ đỉnh A, B, C Bài 2.2.21 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A Đường thẳng AC có phương trình 3x − y − = Gọi H trung điểm BC, D hình chiếu vng góc H AC M trung điểm HD Đường thẳng BD qua E ( 8; − ) phương trình đường thẳng AM :11x − 7y − = Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Bài 2.2.22 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD Gọi M điểm đoạn BD; E, F hình chiếu M AB AD; 48 H − ; ÷ giao điểm CM ED Xác định tọa độ đỉnh hình 13 13 vuông ABCD, biết đường thẳng FC :x + y + = ; EF :6x − 7y + 109 = Bài 2.2.23 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có chân đường cao hạ từ B, C xuống cạnh đối diện K ( −2;2 ) ,E ( 2;2 ) Điểm 16 P ; − ÷ hình chiếu vng góc E xuống BC Tìm tọa đỉnh tam 5 giác ABC Bài 2.2.24 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C ) :( x − ) 2 + ( y + ) = hai điểm A ( 2; − 1) , B ( 2; − ) Một đường kính MN thay đổi cho đường thẳng AM, AN cắt tiếp tuyến (C) B P Q Tìm tọa độ trực tâm H tam giác MPQ biết điểm H nằm đường thẳng d :x − y + = Bài 2.2.25 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp 3 5 đường tròn có A ( 2;9 ) Trung điểm BC D ; ÷ Biết BC vng góc với 2 2 đường thẳng 3x − y + 2015 = Gọi M điểm túy ý thuộc cung nhỏ BC Điểm 28 P, Q tương ứng đối xứng với M qua AC AB Biết phương trình đường thẳng chứa PQ y = Tìm tọa độ đỉnh B, C tam giác ABC Bài 2.2.26 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vng A B, có AD = AB = BC Điểm A ( −2;3) , điểm E − ;3 ÷ giao điểm hai đường chéo AC BD, điểm D nằm đường thẳng d :3x + y − = Tìm tọa độ đỉnh B, C, D hình thang ABCD Bài 2.2.27 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (I) : ( x − 1) + ( y − ) = Từ điểm A nằm (I) kẻ hai tiếp tuyến AB, 2 AC đến (I) với B,C tiếp điểm Gọi E, F trung điểm AB, AC 17 Tìm toạ độ đỉnh A, B, C biết điểm M ;4 ÷ nằm đường thẳng EF, điểm A có hoành độ nguyên thuộc đường thẳng x + y − 10 = Bài 2.2.28 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có E ∈ AB;F(2;1) ∈ AD cho EB = 2EA ; FA = 3FD tam giác CEF vuông F Biết phương trình CE : x − 3y − = 0 x C > Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Bài 2.2.29 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A ( AB < AC ) có tọa độ đỉnh B ( 2;1) Đường cao AH có phương trình x + 2y − 10 = Trên cạnh AC lấy điểm D cho AB = CD Kẻ MD vng góc · với AH M Đường phân giác góc CBM cắt đường thẳng AH N Tìm tọa độ điểm N 3 Bài 2.2.30 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có I ; ÷ 16 E ( 1;0 ) tâm đường ngoại tiếp nội tiếp tam giác Đường 29 tròn (T) bàng tiếp góc A tam giác ABC có tâm F ( 2; − ) Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC biết B có hồnh độ âm KẾT LUẬN Đề tài này, tơi trình bày số vấn đề sau: Đưa số ví dụ tính chất hình học phẳng Đưa hệ thống tập rèn luyện tính chất hình học phẳng Vận dụng tính chất hình học phẳng vào làm tập hình học giải tích mặt phẳng Đưa hệ thống tập tham khảo hình học giải tích mặt phẳng Đề tài nhằm cung cấp cho giáo viên em học sinh tài liệu tham khảo chủ đề đại hình học giải tích mặt phẳng Với việc đưa tích chất quan trọng hình học phẳng để áp dụng vào giải tốn hình học giải tích mặt phẳng Đề tài giúp học sinh có nhìn sâu sắc chủ đề này, giúp cho việc học chủ đề hình học giải tích mặt phẳng, vốn chủ đề khó trở nên dễ dàng Đối với trường trung học phổ thông Trần Phú, đề tài đã, góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy mơn Tốn, nâng cao chất lượng thi học sinh giỏi chất lượng thi tuyển sinh đại học, cao đẳng 30 KIẾN NGHỊ Đối với giáo viên: Không ngừng đầu tư vào chuyên môn, nghiệp vụ sư phạm Không ngừng nghiên cứu đổi nâng cao chất lượng giảng dạy Cần có quan tâm ý đến khả nhận thức đối tượng học sinh để đưa phương pháp dạy học phù hợp với đối tượng Giúp học sinh có hứng thú học tập mơn Tốn nói riêng mơn học nhà trường nói chung Đối với nhà trường tổ chuyên môn: Trong buổi họp tổ nên tổ chức giao lưu chuyên đề giáo viên tổ, giúp giải tốn khó, vấn đề nảy sinh q trình giảng dạy Xa nữa, tổ chức buổi giao lưu chuyên đề với số trường có chất lượng giảng dạy tốt tỉnh tỉnh bạn giúp cho giáo viên tổ có hội học hỏi kinh nghiệm đồng nghiệp, giúp nâng cao chất lượng dạy học trường trung học phổ thông Trần Phú Trên số kinh nghiệm thân đúc kết trình giảng dạy, chắn vần mang tính chủ quan thân khơng thể tránh khỏi sai sót Các vấn đề tơi đưa mong góp ý nhiệt tình q thầy cơ, đặc biệt em học sinh để đề tài ngày hoàn thiện áp dụng thiết thực vào trình dạy học 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Văn Như Cương, Phạm Vũ Khuê, Trần Hữu Nam Bài tập hình học nâng cao 10, Nhà xuất Giáo dục, 2008 [2] Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Nguyễn Văn Đồnh, Trần Dức Hun Hình học 10 , Nhà xuất Giáo dục, 2008 [3] Nguyễn Bá Kim Phương pháp dạy học mơn Tốn, Nhà xuất ĐHSP, 2008 [4] Hoàng Văn Minh Tuyển tập đề thi thử đại học ba miền bắc trung nam mơn Tốn, Nhà xuất ĐHSP, 2012 [5] Đặng Thành Nam Kỹ thuật giải nhanh hình phẳng Oxy, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2015 [6] Bùi Văn Nghị Phương pháp dạy học nội dung cụ thể môn Toán, Nhà xuất ĐHSP, 2008 [7] Bùi Văn Nghị Vận dụng lí luận vào thực tiễn dạy học mơn Tốn trường phổ thơng, Nhà xuất ĐHSP, 2009 [8] Lưu Xuân Tình, Phạm Ngọc Anh, Bùi Anh Tuấn Tuyển tập 36 đề ơn luyện thi mơn Tốn, Nhà xuất ĐHSP, 2010 [9] Tài liệu bồi dưỡng giáo viên thực chương trình SGK lớp 11 mơn Tốn, Nhà xuất Giáo dục, 2007 32 33 ... VẬN DỤNG CÁC TÍNH CHẤT HÌNH HỌC PHẲNG VÀO GIẢI TỐN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG 2.1 MỘT SỐ VÍ DỤ 18 Để giải tốn hình học giải tích mặt phẳng, trước tiên học sinh cần phải nắm tính chất hình. .. giải tốn hình học giải tích mặt phẳng, đề sáng tạo toán Vận dụng tính chất hình học vào giải tốn hình học giải tích mặt phẳng đồng thời sáng tạo tốn nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn... việc nắm bắt tính chất hình học phẳng q trình dạy học chủ để hình học giải tích mặt phẳng Nghiên cứu tính chất hình học mặt phẳng nhằm áp dụng vào q trình dạy học mơn Tốn lớp 10, đề thi cho kì