skkn một số vấn đề về PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN TRONG mặt PHẲNG

Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG Người thực hiện: Nguyễn Thị Thu Phương Lĩnh vực nghiên cứu: Toán 10 - Phương pháp dạy

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI

TRƯỜNG THPT XUÂN HƯNG

Mã số:

(Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

TRONG MẶT PHẲNG

Người thực hiện: Nguyễn Thị Thu Phương

Lĩnh vực nghiên cứu: Toán 10

- Phương pháp dạy học bộ môn: Toán 

(Ghi rõ tên bộ môn)

- Lĩnh vực khác: 

(Ghi rõ tên lĩnh vực)

Có đính kèm: Các sản phẩm không thể hiện trong bản in SKKN

 Mô hình  Đĩa CD (DVD)  Phim ảnh  Hiện vật khác

(các phim, ảnh, sản phẩm phần mềm)

Năm học: 2015- 2016

BM 01-Bia SKKN

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

––––––––––––––––––

I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN

1 Họ và tên: Nguyễn Thị Thu Phương

2 Ngày tháng năm sinh: 16/10/1987

8 Nhiệm vụ được giao: Giảng dạy môn Toán

9 Đơn vị công tác: Trường THPT Xuân Hưng

II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Cử nhân

- Năm nhận bằng: 2011

- Chuyên ngành đào tạo: Giảng dạy môn Toán

III KINH NGHIỆM KHOA HỌC

- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: 5 năm

Số năm có kinh nghiệm: 5 năm

- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:

BM02-LLKHSKKN

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG

Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho học sinh

hệ thống kiến thức, kỹ năng toán học cần thiết, môn Toán còn rèn luyện cho họcsinh đức tính, phẩm chất của người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉluật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ

Thực tế trong nhà trường THPT hiện nay, đặc biệt là những trường vùngnông thôn như trường THPT Xuân Hưng thì chất lượng học tập môn Toán của họcsinh còn thấp, hầu hết các em sợ học môn Toán

Qua 5 năm giảng dạy tôi nhận thấy học sinh khối 10 khi học bài phươngtrình đường tròn, đặc biệt là phần bài tập về phương trình đường tròn thì các em rấtkhó tiếp thu và áp dụng Mà bài tập về phương trình đường tròn lại luôn có mặttrong các đề thi học kì, đề thi THPT quốc gia Vì vậy để giúp học sinh khối 10 họctốt phần bài tập phương trình đường tròn tôi đã chọn đề tài ‘‘Một số vấn đề vềphương trình đường tròn trong mặt phẳng”

II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

Dựa trên những kiến thức đã được học về phương trình đường tròn trong mặtphẳng Từ đó hướng dẫn các em vận dụng những kiến thức đã học vào việc giải bàitập Thông qua các ví dụ đưa ra giúp các em cũng cố lý thuyết và biết vận dụngvào giải một số bài tập tương tự

III TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP

Chuyển thể từ kiến thức phức tạp thành thực hành đơn giản, dễ hiểu Giáoviên đưa liều lượng kiến thức vừa phải, thích hợp với năng lực và điều kiện củahọc sinh

Giáo viên luôn tạo một môi trường thân thiện giữa thầy và trò Luôn cho họcsinh một cảm giác gần gũi, dạy thật, học thật ngay từ đầu Dạy theo điều kiện thực

tế không quá áp đặt chủ quan

Đưa ra những vấn đề liên quan đến phương trình đường tròn trong mặtphẳng:

Vấn đề 1: Nhận dạng phương trình đường tròn tìm điều kiện để một phương trình

là phương trình đường tròn

Vấn đề 2: Lập phương trình đường tròn.

Vấn đề 3: Sự tương giao giữa đường thẳng và đường tròn.

Vấn đề 4: Sự tương giao giữa hai đường tròn.

Vấn đề 5: Các bài toán liên quan đến họ đường tròn.

Vấn đề 6: Một số cách lập khác của phương trình đường tròn.

Từ những vấn đề trên mỗi vấn đề đưa ra phương pháp giải một số dạng bàitoán cụ thể, một số ví dụ áp dụng từ đơn giản đến phức tạp hơn Sau khi các em đãbiết được lý thuyết và ví dụ thì áp dụng giải một số bài tập tương tự

VẤN ĐỀ 1: NHẬN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ MỘT PHƯƠNG TRÌNH LÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN.

Giải:

a) (1) có dạng x + y - 2ax - 2by + c = 0, với a = -1, b = 2, c = 9

Ta có : a + b - c = (-1) + 2 - 9 = -4 < 0

Vậy (1) không phải là phương trình đường tròn

b) (2) có dạng : x + y - 2ax - 2by + c = 0 với a = 3, b = -2, c = 13

Ta có : a + b - c = 3 + (-2) - 13 = 0

Vậy (2) không phải là phương trình đường tròn

c) (3) có dạng : x + y - 2ax - 2by + c = 0, với a = -2, b = 3 và c = -12

Ta có : a + b - c = (-2) + 3 - (-12) = 25 > 0

Vậy (3) là phương trình đường tròn tâm O(-2 ;3), bán kính R = = = 5

d) Ta có : (4)  x + y - 2x + 4y - 1 = 0  (x -1) + (y + 2) = 6

Vậy (4) là phương trình đường tròn tâm O(1 ; -2), bán kính R =

e) Phương trình (5) không phải là phương trình đường tròn vì hệ số x và y làkhác nhau

Ví dụ 2: Cho phương trình : x + y - 2mx + 6my + 9m + 1 = 0 (1)

a) Với giá trị nào của m thì (1) là phương trình đường tròn?

b) Nếu (1) là phương trình đường tròn thì hãy tìm toạ độ tâm và bán kínhđường tròn đó theo m

Giải:

a) (1) có dạng: x + y - 2ax - 2by + c = 0 với a = m, b = -3m và c = 9m + 1

(1) là phương trình đường tròn khi và chỉ khi: > 0

Bài 3: Cho phương trình : x + y - 6mx + 8my + 23m + 2 = 0 (2)

a) Với giá trị nào của m thì (2) là phương trình đường tròn

b) Nếu (2) là phương trình của đường tròn hãy tìm toạ độ tâm và bán kính củađường tròn này

VẤN ĐỀ 2: LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

1 Một số dạng toán về lập phương trình đường tròn:

Dạng 1: Lập phương trình đường tròn đi qua các điểm cho trước.

* Từ điều kiện của đề bài đưa đến hệ phương trình với ẩn số là a, b, cGiải hệ phương trình tìm a, b, c từ đó tìm được phương trình đường tròn (C)

Chú ý: Đường tròn (C) đi qua A, B  IA = IB = R

Trong dạng này có một bài toán rất hay gặp “viết phương trình đường trònngoại tiếp tam giác ABC ” bài toán này cũng chính là bài toán viết phương trìnhđường tròn đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng cho trước Ta thường giải bàitoán này theo cách 2

Ví dụ 3: Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:

a) (C) có tâm I(2; -3) và đi qua M(-2; 3)

b) (C) có đường kính AB với A(1;1) và B(7;5)

Giải:

a) Ta có: IM = =

Vậy phương trình của (C) là: (x - 2) + (y + 3) = 52

b) Tâm I của (C) là trung điểm của AB

Ta có:

Do đó: R = IA = =

Vậy phương trình của (C) là: (x - 4) + (y - 3) = 13

Ví dụ 4: Lập phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm A(-2; 4), B(5; 5),

C(6; -2)

Giải:

Giả sử phương trình đường tròn (C) là: x + y - 2ax - 2by + c = 0 ( > 0)

(C) đi qua ba điểm A, B, C khi và chỉ khi:

 

Vậy phương trình đường tròn có dạng: x + y + 4x + y -20 = 0

Dạng 2: Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng:

Chú ý:

* Đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng   d(I, ) = R

* Đường tròn (C) đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng  tại A

 d(I, ) = IA

* Đường tròn (C) tiếp xúc với hai đường thẳng  và 

 d(I,) = d(I, ) = R

Ví dụ 5: Lập phương trình của đường tròn (C) trong các trường hợp sau:

a) (C) có tâm I(1;3) và tiếp xúc Ox

b) (C) có tâm I(1;1) và tiếp xúc với đường thẳng : 3x + 4y -1 = 0.

Vậy phương trình đường tròn (C) là: (x - 1) + (y - 1) =

Ví dụ 6: Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục toạ độ Ox, Oy và đi

Ví dụ 7: Cho hai đường thẳng : 4x - 3y + 1 = 0 và : 3x + 4y - 4 = 0

Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng : x - y - 1 = 0 và tiếpxúc với  và 

Với a =  I( ; ) , và R =

 phương trình đường tròn: + =

Ví dụ 8: Lập phương trình đường tròn đi qua hai điểm A(-1;0), B(1;2) và tiếp xúc

Ví dụ 9: Viết phương trình đường tròn của (C) tiếp xúc với trục hoành tại điểm

A(2;0) và đi qua B(5;1)

Giải:

Đường tròn (C) tiếp xúc với Ox tại A(6;0) nên a = 6, = R Khi đó:

Đường tròn (C) có tâm I(a;b), bán kính R có phương trình:

(x - a) + (y - b) = R (1) (1)  (x - 6) + (y - b) = b B(5;1)  (C)  (5 - 2) + (1 - b) = b  2b = 10  b = 5  R = 5

Phương trình của (C) là: (x - 2) + (y - 5) = 25

Dạng 3: Lập phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Cách 1:

* Viết phương trình đường phân giác trong của hai góc của tam giác

* Tìm giao điểm hai đường phân giác đó ta được toạ độ tâm I

* Tính khoảng cách từ tâm I đến 1 trong 3 cạnh của tam giác ta đượcđường tròn nội tiếp

* Giải hệ phương trình đó tìm được x, y từ đó có phương trình đường trònphải tìm

Ví dụ 10: Cho tam giác ABC có phương trình các cạnh AB: 2x + y - 5 = 0

BC: x + 2y + 2 = 0; AC: 2x - y + 9 = 0 Viết phương trình đường tròn nội tiếp tamgiác ABC

 A, C nằm về hai phía của (4)  đường phân giác trong của góc B là (4)

Gọi I, R là tâm và bán kính của (C) nội tiếp ABC

 Toạ độ I là nghiệm của hệ   I(-1; 2)

R = d(I,AB) = =

Vậy (C) có phương trình: (x + 1) + (y - 2) = 5

Ví dụ 11: Cho ba điểm O(0;0), A(8;0) và B(0;6).

a) Viết phương trình ngoại tiếp OAB

b) Viết phương trình nội tiếp OAB

Nửa chu vi: p = 12  r = = 2

Vì đường tròn tiếp xúc với hai trục toạ độ I(a;a) = (2;2)

Vậy phương trình đường tròn nội tiếp OAB là: (x - 2) + (y - 2) = 41

2 Một số bài tập ứng dụng

Bài 1) Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:

a) (C) có tâm I(1;2) và đi qua N(0;-1)

b) (C) có đường kính AB với A(1 ; -1) ; B(5 ; 7)

c) (C) có tâm I(-1 ;1) tiếp xúc với đường thẳng : 3x + 4y - 1 = 0

Bài 2) Cho ba điểm A(1 ;4), B(-7 ; 4), C(2;5)

a) Lập phương trình đường tròn của (C) ngoại tiếp ABC

b) Tìm tâm và bán kính (C)

Bài 3) Cho đường tròn (C) đi qua hai điểm A(-1;2), B(-2;3) và có tâm nằm trên

đường thẳng : x + y - 3 = 0

Bài 4) Cho 2 đường thẳng : 3x + 4y - 1 = 0 và : 4x + 3y - 8 = 0 Lập phương

trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng d : -2x + y - 1 = 0 tiếp với  và 

Bài 5) Lập phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với các trục toạ độ và đi qua

B(9 ;9)

Bài 6) Lập phương trình của đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng:

4x - 3y - 1 = 0 tại A(1 ;1) và đi qua B(3 ;2)

Bài 7) Lập phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng : 4x - 3y - 1 = 0

tại A(1 ;1) và đi qua B(9 ;9)

Bài 8) Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết đường thẳng

AB là : -x + y - 2 =0 Phương trình BC : -x + y + 2 = 0 và phương trình AC là x +

y - 8 = 0

Bài 9) Lập phương trình đường tròn nội tiếp  ABC biết phương trình các cạnh

AB : 3x + 4y - 6 = 0, phương trình cạnh AC: 4x + 3y - 1 = 0, phương trình cạnh

BC : y = 0

Bài 10) Lập phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng  : -3x + 4y - 8

= 0 tại A(4 ;5) và đi qua B(-3 ; -2)

VẤN ĐỀ 3: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG

VÀ ĐƯỜNG TRÒN Dạng 1: Xét vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn:

Cho đường thẳng  : Ax + By + C = 0 (1) (A + B ≠ 0)

và đường tròn (C): x + y - 2ax - 2by + c = 0 (2)

(C) có tâm I(a;b) và bán kính R

Để xét vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn ta có hai cách

Cách 1: Xét số giao điểm của  và (C) Số giao điểm của  và (C) là số nghiệm

của hệ phương trình: (*)

Nếu hệ (*) vô nghiệm thì  và (C) không có điểm chung   không cắt (C)

Nếu hệ (*) có nghiệm duy nhất thì  và (C) có một điểm chung   tiếp xúc vớiđường tròn

Nếu hệ (*) có hai nghiệm phân biệt thì  và (C) có hai giao điểm   cắt đườngtròn tại hai điểm phân biệt

Cách 2: So sánh khoảng cách từ tâm I đến  với bán kính R.

Bước 1: Tìm toạ độ tâm I(a;b) và bán kính R

Bước 2: Tính khoảng cách từ tâm I đến   m = d(I,) =

Trường hợp 1: m> R suy ra  không cắt đường tròn (C) suy ra  và (C) không cógiao điểm nào.

Trường 2: h = R   tiếp xúc đường tròn   và (C) có duy nhất một giao điểm.Trường hợp 3: h < R   cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt   và (C) có haigiao điểm

Ví dụ 12: Cho đường tròn (C): x + y + 2x - 4y - 8 = 0 và đường thẳng

d: x - 5y - 2 = 0

a) Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C)

b) Tìm toạ độ giao điểm của (C) và d

Giải:

a) (C) có tâm I(-1,2) bán kính R = =

b) Toạ độ giao điểm của (C) và (d) là nghiệm của hệ phương trình:

Từ (1)  x = 5y + 2 thay vào (2): (5y + 2) + y - 2(5y + 2) - 4y - 8 = 0

 26y + 26y = 0 

Với y = 0 thay vào (1) : x = 2

Với y = -1 thay vào (1) : x = -3

Vậy giao điểm của (C) và (d) là A(2 ;0) , B(-3 ;-1)

Ví dụ 13: Biện luận theo m vị trí tương đối của:

Trường hợp 2: = 2  (m + 2) = 4(1 + m)  3m - 4m = 0

   tiếp xúc với (C)

Trường hợp 3: > 2  (m + 2) > 4(1 + m)

 3m - 4m < 0  0 < m <   không có điểm chung (C)

Ví dụ 14: Cho đường tròn (C): x + y - 2x + 4y - 14 = 0 và điểm M(2; -3).

a) Viết phương trình đường thẳng  đi qua M và cắt (C) tại hai điểm phân biệtsao cho đoạn AB đạt giá trị lớn nhất

b) Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và cắt (C) tại hai điểm phân biệt

A, B sao cho đoạn AB ngắn nhất

Vậy phương trình : x -1 +1(y + 2) = 0  x + y + 1 = 0

b) Gọi H là trung điểm của AB thì IH  AB, AB = 2AH = 2

Do đó AB  IH

Ta luôn có : IH  IM Vậy IH H  M, tức là = (1;-1) là một vectơ pháp tuyếncủa đường thẳng d cần tìm Từ đó suy ra phương trình của d là:

1(x -2) - 1(y + 3) = 0  x - y -5 = 0

Dạng 2 : Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn:

Cho đường tròn (C) có tâm I(a ;b), bán kính R

Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) tại điểm

M(x ;y)  (C)

Giải:

Gọi  là tiếp tuyến với đường tròn (C)

Ta có : M   và vec tơ = (x - a ; y - b) là vec tơ pháp tuyến của 

Do đó  có phương trình là: (x - a)(x - x) + (y - b)(y - y) = 0 (1)

Bài toán 2 : Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn kẻ từ điểm M(x ;y) không

thuộc đường tròn

Cách 1:

TH 1: Xét đường tròn  đi qua M và vuông góc với Ox Khi đó  có phương trình

là x = x

 là tiếp tuyến của đường tròn  d(I ;) = R Từ đẳng thức này sẽ suy ra được 

có phải là tiếp tuyến của đường tròn hay không

TH2 : Xét đường thẳng  đi qua M và có hệ số góc k Phương trình của  códạng :

y = k(x - x) + y

 tiếp xúc với (C)  d(I,) = R Giải điều kiện này tìm được k

Cách 2:

Đường thẳng  đi qua M có phương trình : a(x - x) + b(y - y) = 0

trong đó : a + b ≠ 0

 là tiếp tuyến với đường tròn (C)  d(I,) = R (*)

Từ điều kiện (*) tìm mối liên hệ giữa a và b Vì a và b không đồng thời bằngkhông nên có thể chọn a một giá trị thích hợp rồi suy ra b hoặc ngược lại

Bài toán 3: Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn biết tiếp tuyến có hệ số

góc là k

Giải:

- Phương trình đường thẳng  có hệ số góc k có dạng y = kx + m

-  tiếp xúc (C)  d(I,) = R Giải tìm điều kiện ta tìm được m

Chú ý: Nếu tiếp tuyến  song song với đường thẳng ax + by + c = 0 thì phương

trình  sẽ có dạng : ax + by + c’ = 0 ( c ≠ c’).

Nếu tiếp tuyến  vuông góc với đường thẳng ax + by + c = 0 thì phươngtrình  sẽ có dạng : bx - ay + c’ = 0

Ví dụ 15 : Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C):

(x + 2) + (y - 1) = 25, tại điểm M(2 ;4) thuộc đường tròn (C)

Ví dụ 16: Cho đường tròn (C) : x + y - 6x + 2y + 6 = 0 và điểm A(1 ;3)

a) Chứng minh rằng A ở ngoài đường tròn

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ A

Giải:

a) Đường tròn (C) có tâm I(3;-1), bán kính R = 2

IA = = 2 > 5 suy ra A nằm ngoài (C)

b) Cách 1:

Đường thẳng  đi qua A có phương trình:

a(x -1) + b(y - 3) = 0 hay ax + by - a -3b = 0 (a + b ≠ 0)

 tiếp xúc (C)  d(I,) = R  = 2

 =  b(3b - 4a) = 0  Với b = 0, chọn a = 1, ta được tiếp tuyến thứ nhất : x - 1 = 0

Với b = a, chọn a = 3, b = 4, ta được tiếp tuyến thứ hai : 3x + 4y -15 = 0

Cách 2:

Xét đường thẳng  đi qua A vuông góc với Ox khi đó,  có phương trình x = 1 hay x - 1 = 0

 tiếp xúc với (C)  d(I,) = R  = 2  2 = 2

Đẳng thức cuối đúng nên  là tiếp tuyến của (C)

Ta được tiếp tuyến thứ hai : y = (x - 1) hay 3x + 4 y - 15 = 0

Ví dụ 17: Cho đường tròn (C) có phương trình : x + y - 4x + 8y - 5 = 0 Viết

phương trình tiếp tuyến  của đường tròn (C) trong các trường hợp sau:

a)  vuông góc với đường thẳng d : 3x - 4y + 5 = 0

b)  song song với đường thẳng d : x + y - 1 = 0

Giải:

Đường tròn (C) có tâm I(2 ;-4), bán kính R = 5

a) Phương trình của đường thẳng  vuông góc với d có dạng : 4x + 3y + m = 0

 tiếp xúc với (C)  d(I,) = R  = 5

 = 25   Vậy phương trình của  là: 4x + 3y + 29 = 0 hay 4x + 3y - 21 = 0

b)  song song với đường thẳng có dạng : x + y + m = 0 (m ≠ -1)

 tiếp xúc với (C)  d(I,) = R  = 5