CHUYÊN ĐỀ MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ

CHUYÊN ĐỀ MẶT PHẲNG TỌA ĐỘCHUYÊN ĐỀ MẶT PHẲNG TỌA ĐỘCHUYÊN ĐỀ MẶT PHẲNG TỌA ĐỘCHUYÊN ĐỀ MẶT PHẲNG TỌA ĐỘCHUYÊN ĐỀ MẶT PHẲNG TỌA ĐỘCHUYÊN ĐỀ MẶT PHẲNG TỌA ĐỘCHUYÊN ĐỀ MẶT PHẲNG TỌA ĐỘCHUYÊN ĐỀ MẶT PHẲNG TỌA ĐỘCHUYÊN ĐỀ MẶT PHẲNG TỌA ĐỘCHUYÊN ĐỀ MẶT PHẲNG TỌA ĐỘCHUYÊN ĐỀ MẶT PHẲNG TỌA ĐỘCHUYÊN ĐỀ MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 1 Mặt phẳng tọa độ A. Tóm tắt lý thuyết 1. Các định nghĩa * Hệ trục toạ độ Oxy gồm hai trục tọa độ Ox , Oy vuông góc với nhau. Véc-tơ đơn vị trên Ox là i  , véc-tơ đơn vị trên Oy là j  . * Tọa độ của véc-tơ:   a x;y   a x i yj      . * Tọa độ của điểm:   M x;y    OM x;y  . O y x j i 2. Tính chất * Tính chất của tọa độ véc-tơ: Cho   a x;y  và   b x';y'  , ta có +) a b     x x' y y'      ; +)   a b x x';y y'       ; +)   ka kx;ky   ; +) a b . xx' yy'     ; +) 2 2 a x y    ; +)   2 2 2 2 a b xx' yy' cos a,b a b x y x' y'               ( a  , b 0    ); +) a b     xx' yy' 0   ; +) a b     x kx' k y ky'        xy' x'y  . Đặc biệt: khi cả y và y' đều khác 0 , ta có a b     y x x y    . * Tính chất của tọa độ điểm: Giả sử   A A A A x ;y ;z ,   B B B B x ;y ;z ,   C C C C x ;y ;z , ta có +)   B A B A AB x x ;y y     ,     2 2 B A B A AB x x y y    ; +)   M M M x ;y là trung điểm của AB  x x A B M 2 y y A B M 2 x y          ; +)   G G G x ;y là trọng tâm tam giác ABC  x x x A B C G 3 y y y A B C G 3 x y            . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 2 B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Cho hai véc-tơ   a 1;2  ,   b 2; 4   . 1) Tìm tọa độ của các véc-tơ a b    , a b    , 4a 3b    . 2) Tính độ dài của hai véc-tơ a  , b  , tích vô hướng và cô-sin của góc giữa hai véc-tơ a  , b  . Góc giữa hai véc-tơ a  , b  là góc nhọn hay góc tù. Giải 1) Áp dụng công thức tính tọa độ của véc-tơ ta có   a b 3; 2      ,   a b 1;6      . Áp dụng công thức tính tọa độ của tích một số với một véc-tơ ta có   4a 4;8   ,   3b 6; 12    , suy ra   4a 3b 2;20      . 2) Áp dụng công thức tính tính độ dài của véc-tơ ta có a 5   , b 2 5   . Áp dụng công thức tính tích vô hướng và cô-sin của góc giữa hai véc-tơ ta có a b 6      ,   a b 6 3 cos a,b 5 5 2 5 a b               .   cos a,b 0    nên   a,b   là góc tù. Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có   A 1;2 ,   B 3;7 ,   C 2; 6  . Xác định tọa độ trung điểm các cạnh và trọng tâm của tam giác nói trên. Giải Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh AB , BC , CA . Sử dụng công thức xác định trung điểm của đoạn thẳng ta có   9 2 M 2; ,   5 1 2 2 N ; và   3 2 P ; 2  . Gọi G là trọng tâm của tam giác, theo công thức xác định tọa độ trọng tâm của tam giác thì   G 2;1 . Ví dụ 3. Cho các điểm   A 1;4 ,   B 2; 3  ,   C 1;18  ,   D 4;5  . Chứng minh ba điểm A , B , C thẳng hàng và ba điểm A , B , D không thẳng hàng. Giải Ta có   AB 1; 7   ,   AC 2;14   . Ta thấy AC 2AB     , suy ra hai véc-tơ AC  và AB  cùng phương, tức là A , B , C thẳng hàng. BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 3 Ta có   AD 5;1   . Vì 1 7 5 1    nên AB  và AD  không cùng phương, suy ra A , B , D không thẳng hàng. Ví dụ 4. Cho hai véc-tơ   a m;3   ,   b 2;2m 1    ( m là tham số). Tìm m để hai véc-tơ đã cho cùng phương. Giải Hai véc-tơ đã cho cùng phương khi và chỉ khi 3 m 2 2m 1     , hay 2 2m m 6 0    . Giải phương trình này ta được m 2   hoặc 3 2 m  . Ví dụ 5. Cho hai điểm   A 1;2  và   B 3;7 . Tìm giao điểm của đường thẳng AB với các trục tọa độ. Giải Ta có   AB 4;5  . C thuộc trục hoành thì tọa độ C có dạng   C c;0 , suy ra   AC c 1; 2    . Từ điều kiện A , B , C thẳng hàng ta có c 1 2 4 5    hay 13 5 c   . Vậy   13 5 C ;0  . Tương tự, D thuộc trục tung nên tọa độ D có dạng   D 0;d , suy ra   AD 1;d 2   . Từ điều kiện A , B , C thẳng hàng ta có d 2 1 4 5   hay 13 4 d  . Vậy   13 4 D 0; . Ví dụ 6. Cho   A 1;2 ,   B 5;6 ,   C 3; 1  . 1) Chứng minh A , B , C không thẳng hàng. 2) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. Giải 1) Ta có   AB 4;4  ,   AC 2; 3   . Vì 4 4 2 3   nên A , B , C không thẳng hàng. 2) Vì A , B , C không thẳng hàng nên tồn tại điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. Giả sử   D a;b , suy ra   DC 3 a; 1 b     . ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi AB DC    . C A B D Sử dụng điều kiện bằng nhau của hai véc-tơ, ta có 4 3 a 4 1 b         . Giải hệ ta được a 1   và b 5   . Vậy   D 1;5  . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 4 Ví dụ 7. Cho tam giác ABC . Biết   M 1;2  ,   N 3; 2   ,   P 5;0 lần lượt là toạ độ trung điểm các cạnh AB , BC , CA của tam giác. Hãy xác định toạ độ các đỉnh của tam giác. Giải Ta thấy AM PN    . Sử dụng điều kiện bằng nhau của hai véc-tơ, ta có A A 1 x 8 2 y 2           . Suy ra   A 7;4 . Vì B đối xứng với A qua M nên B M A B M A x 2x x 9 y 2y y 0           , suy ra   B 9;0  . M P N A B C Vì C đối xứng với B qua N nên C N B C N B x 2x x 3 y 2y y 4           , suy ra   C 3; 4  . Vậy   A 7;4 ,   B 9;0  ,   C 3; 4  . Ví dụ 8. Cho tam giác ABC . Biết   A 1;2  ,   B 3;4 và C thuộc trục hoành. Tìm tọa độ điểm C sao cho trọng tâm G của tam giác thuộc đường thẳng đi qua B và gốc tọa độ O . Giải Điểm C thuộc trục hoành nên tọa độ có dạng   C c;0 . Theo công thức xác định tọa độ trọng tâm thì x x x A B C c 2 G 3 3 y y y A B C G 3 x y 3               , hay   c 2 3 G ;3  . Ta có   c 2 3 OG ;3   ,   OB 3;4  . G thuộc đường thẳng qua B và gốc tọa độ khi và chỉ khi OG  và OB  cùng phương, có nghĩa là c 2 3 3 3 4   . Giải phương trình này ta được 35 4 c  . Vậy   35 4 C ;0 . Ví dụ 9. Cho   A 1;2 và   B 3;7  . Tìm tọa độ điểm C thuộc trục tung sao cho tam giác ABC cân tại C . Giải Tam giác ABC cân tại C khi và chỉ khi AC BC  và A , B , C không thẳng hàng. Điểm C thuộc trục tung nên tọa độ C có dạng   C 0;c . Ta có BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 5   AC 1;c 2     2 2 AC c 4c 5    ,   BC 3;c 7    2 2 BC c 14c 58    . Phương trình AC BC  tương đương với 2 2 c 4c 5 c 14c 58      . Phương trình này có nghiệm duy nhất 53 10 c  . Khi đó   AB 4;5   , 33 AC 1; 10         . Vì 4 5 33 1 10    nên A , B , C không thẳng hàng. Vậy 53 C 0; 10       . Ví dụ 10. Cho   A 3;2  ,   B 1;3  . Tìm điểm C thuộc trục hoành sao cho  ACB 45   . Giải Điểm C thuộc trục hoành nên tọa độ C có dạng   C c;0 . Ta có   CA 3 c;2    ,   CB 1 c;3    . Sử dụng công thức tính cô-sin của góc giữa hai véc-tơ ta có            2 2 2 2 2 2 2 3 c 1 c 2.3 c 4c 9 cosACB cos CA,CB c 6c 13. c 2c 10 3 c 2 . 1 c 3                      . Do đó điều kiện  ACB 45   tương đương đương với  1 cosACB 2  , hay 2 2 2 c 4c 9 1 2 c 6c 13. c 2c 10        . Ta thấy 2 c 4c 9 0    với mọi c nên bình phương hai vế phương trình trên ta được phương trình tương đương      2 2 2 2 c 4c 9 1 2 c 6c 13 c 2c 10        . Phương trình nói trên tương đương với      2 c 1 c 2 c 5c 16 0       c 1 c 2        ( 2 c 5c 16 0    c  ). Vậy   C 1;0  hoặc   C 2;0  . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 6 Ví dụ 11. Cho   A 1;2 ,   B 4;5 ,   C 2; 7   . 1) Chứng minh A , B , C là ba đỉnh một tam giác. 2) Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC . Giải 1) Ta có   AB 3;3  ,   BC 6; 12    . Vì 3 3 6 12    nên A , B , C không thẳng hàng. Do đó A , B , C là ba đỉnh một tam giác 2) Giả sử   I a;b . Ta có   IA 1 a;2 b         2 2 2 2 2 IA 1 a 2 b a b 2a 4b 5          ,   IB 4 a;5 b         2 2 2 2 2 IB 4 a 5 b a b 8a 10b 41          ,   IC 2 a; 7 b           2 2 2 2 2 IC 2 a 7 b a b 4a 14b 53            . I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi và chỉ khi IA IB IB IC      . Điều này tương đương với hệ 2 2 2 2 2 2 2 2 a b 8a 10b 41 a b 8a 10b 41 a a b b 4a 14 2a 5 b 53 4b                        . Giản ước hai vế từng phương trình của hệ ta được hệ tương đương a b 6 a 2b 1          a 13 b 7       Vậy   I 13; 7  . Ví dụ 12. Cho tam giác ABC với   A 2;3 ,   B 2;0  ,   C 6;3 . Tìm tọa độ D là chân đường phân giác trong góc A . Giải Ta có   AB 4; 3     AB 16 9 5    ,   AB 4;0   AC 16 0 4    . D là chân đường phân giác trong góc A nên DB DC    và BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 7 DB DC AB AC  , hay 4DB 5DC  . Suy ra 4DB 5DC 0      . Sử dụng điều kiện bằng nhau của hai véc-tơ, điều kiện này tương đương với       4 2 a; b 5 6 a;3 b 0;0        , hay 9a 22 0 9b 15 0          . Giải hệ ta được 22 9 a  , 5 3 b  . Vậy   5 22 9 3 D ; . Ví dụ 13. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số   2 2 f x x 2x 5 x 2x 10       . Giải Ta có       2 2 2 2 f x 1 x 2 1 x 3       . Đặt   u 1 x;2    ,   u 1 x;3    . Áp dụng bất đẳng thức u v u u        (đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi u v    ), ta có   2 2 f x 2 5 29    . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi u v    , hay 1 x 2 0 1 x 3     . Phương trình có nghiệm duy nhất 1 5 x  .Vậy giá trị nhỏ nhất của   f x là 29 (đạt đươc khi 1 5 x  ). BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 8 C. Bài tập Bài 1. Cho   a 1;2  ,   b 2;3   ,   c 3;7   . Hãy biểu diễn c  qua a  , b  . Bài 2. Cho   A 1;1  ,   B 1;2 ,   C 4;0 . Tìm toạ độ điểm M sao cho: 1) AM 2BC 3AC      . 2) AM 2BM 3CM 0        . 3) ABCM là hình bình hành. Tìm toạ độ giao điểm các đường chéo. Bài 3. Cho   A 3;4  ,   B 4;0  . Tìm tọa độ điểm C sao cho gốc toạ độ   O 0;0 là trọng tâm ABC  . Bài 4. [ĐHD04] Cho tam giác ABC có các đỉnh   A 1;0  ,   B 4;0 ,   C 0;m với m 0  . tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC theo m . Xác định m để tam giác GAB vuông tại G . Đáp số:   m 3 G 1; , m 3 6   . Bài 5. Cho   A 1; 1  ,   B 2;4 . Tìm giao điểm của đường thẳng AB với các trục toạ độ. Bài 6. Cho   A 2;5  ,   B 2;4 . Hãy tìm toạ độ giao điểm của đường trung trực d của AB với các trục toạ độ. Đáp số: Giao điểm là   9 2 I 0;  . Bài 7. Cho   A 1; 2  ,   B 3;4 . Tìm tọa độ điểm C Ox  sao cho 1) Tam giác ABC vuông tại A . 2) Tam giác ABC cân tại A . Đáp số: 1)   C 5;0  . 2)   C 7;0 hoặc   C 5;0  . Bài 8. Cho   A 3;6  ,   B 1; 2  ,   C 6;3 . Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp ABC  . Đáp số: Tâm đường tròn ngoại tiếp là   5 1 4 2 I ; . Bài 9. Cho ABC  với   A 2;4 ,   B 2;1 ,   C 6;1 . 1) Tính độ dài đường phân giác trong góc A . 2) Tìm toạ độ tâm đường tròn nội tiếp ABC  . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 9 Bài 10. Cho   A 3;4  ,   B 4;0  . Tìm toạ độ điểm C sao cho trọng tâm ABC  nằm trên trục tung và cách trục hoành một đoạn có độ dài bằng 1 . Bài 11. Cho ABC  . Biết   A 1;2 ,   M 0;1 là trung điểm của AB ,   N 3; 1  là trung điểm của AC . Hãy xác định toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác. Bài 12. Cho ABC  . Biết   A 1;2 ,   M 0;1 là trung điểm của AB ,   P 3;1 là trung điểm của BC . Hãy xác định toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác. Bài 13. Cho ABC  . Biết   A 3; 4   và các trung tuyến đi qua B , C lần lượt là Ox , Oy . Hãy xác định toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác. Đáp số:   B 3;0 ,   C 0;4 . Bài 14. Cho ABC  . Biết   A 1;3 và các trung trực ứng với các cạnh AB , AC lần lượt là Ox , Oy . Hãy xác định toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác. Bài 15. Cho ABC  . Biết   A 2;5 và các trung trực ứng với các cạnh AB , BC lần lượt là Ox , Oy . Hãy xác định toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác. Bài 16. Cho   A 1;2 ,   B 3;4 . Tìm trên trục hoành điểm M sao cho 1) MA MB  nhỏ nhất. 2) MA MB  lớn nhất. Bài 17. Cho   A 2;4 . Tìm B Ox  , C Oy  sao cho chu vi ABC  đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị nhỏ nhất nói trên bằng bao nhiêu? Bài 18. Chứng minh với mọi x , y , z , t ta có:     2 2 2 2 2 2 x y z t x z y t        . Hãy chỉ rõ đẳng thức xảy ra khi nào. . HỌC MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 1 Mặt phẳng tọa độ A. Tóm tắt lý thuyết 1. Các định nghĩa * Hệ trục toạ độ. Tìm tọa độ điểm C sao cho trọng tâm G của tam giác thuộc đường thẳng đi qua B và gốc tọa độ O . Giải Điểm C thuộc trục hoành nên tọa độ có dạng   C c;0 . Theo công thức xác định tọa. hai trục tọa độ Ox , Oy vuông góc với nhau. Véc-tơ đơn vị trên Ox là i  , véc-tơ đơn vị trên Oy là j  . * Tọa độ của véc-tơ:   a x;y   a x i yj      . * Tọa độ của