CHUYÊN ĐỀ MẶT CẦUCHUYÊN ĐỀ MẶT CẦUCHUYÊN ĐỀ MẶT CẦUCHUYÊN ĐỀ MẶT CẦUCHUYÊN ĐỀ MẶT CẦUCHUYÊN ĐỀ MẶT CẦUCHUYÊN ĐỀ MẶT CẦUCHUYÊN ĐỀ MẶT CẦUCHUYÊN ĐỀ MẶT CẦUCHUYÊN ĐỀ MẶT CẦUCHUYÊN ĐỀ MẶT CẦUCHUYÊN ĐỀ MẶT CẦUCHUYÊN ĐỀ MẶT CẦUCHUYÊN ĐỀ MẶT CẦU
Trang 1Mặt cầu
A Tóm tắt lý thuyết
I Định nghĩa mặt cầu
Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định một khoảng R không đổi được gọi là mặt cầu tâm O, bán kính R Ký hiệu: S O R ;
II Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
Cho mặt cầu S O R ; và mặt phẳng P , gọi d là khoảng cách từ O tới P và H là hình chiếu của O lên P Khi, đó ta có các trường hợp sau
dR: P cắt mặt cầu S O R ; theo giao tuyến là một đường tròn nằm trong P có tâm là H và bán kính r R2d2
d R: P cắt mặt cầu S O R ; tại một điểm duy nhất H
d R: P không cắt mặt cấu S O R ;
III Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
Cho mặt cầu S O R ; và đường thẳng , gọi d là khoảng cách từ O tới và H là hình chiếu của O lên Khi đó:
Nếu d R thì cắt mặt cấu S O R ; tại hai điểm A, B phân biệt Đoạn thẳng
ABnhận H là trung điểm và AB2 R2d2
Nếu d R thì cắt mặt cấu S O R ; tại một điểm duy nhất H
Nếu d R thì không cắt mặt cấu S O R ;
Định lý. Qua điểm A nằm ngoài mặt cấu S O R ; có vô số tiếp với mặt cầu Hơn nữa
Độ dài các đọan thẳng nối A với các tiếp điểm bẳng nhau;
Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nằm trên mặt cầu
IV Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu
Mặt cầu bán kính R có thể tích là 2
4 R Khối cầu bán kính R có thể tích là 4 3
3 R
B Một số ví dụ
Trang 2Ví dụ 1 Cho tam giác ABC vuông cân tại B, cạnh góc vuông có độ dài bằng a Trên đường
thẳng vuông góc với mặt phẳng ABC tại A lấy điểm S khác A Mặt phẳng Q đi qua A
và vuông góc với SC, cắt SB và SC lần lượt tại H và K
1) Xác định tâm và bán kính mặt cầu S1 đi qua 4 điểm S, A, H, K Xác định vị trí tương đối của mặt cầu này với mặt phẳng ABC
2) Chứng minh rằng khi S chuyển động trên đường thẳng thì 5 điểm A, B, C, K, H luôn nằm trên một mặt cầu cố định, còn mặt phẳng Q luôn quay quanh một đường thẳng cố định
Giải
1) * Ta có BC AB
BC SA
BCSAB
1
AH BC Giả thiết AH SB 2
1 , 2 AH SBC AH SB 3
Cũng từ giả thiết AK SC 4
3 , 4 AHS AKS 90
S, A, H, K cùng thuộc mặt cầu tâm O (O là trung điểm của SA), bán
kính R SA2 S1 O R;
* Ta thấy OA chính là khoảng cách từ O đến ABC
S1 tiếp xúc với ABC
I
R
H S
C A
B
2) * 4 AH HC Do đó ABCAHCAKC 90
A, B, C, A, H, K cùng thuộc mặt cầu tâm I (I là trung điểm của AC), bán kính 2
' AC a
R (mặt cầu này cố định)
* AHKSC AHK SAC 5 Lại có ABCSA ABC SAC 6 ,
7
AR AHK ABC 5 , 6 , 7 ARSAC AR là đường thẳng cố định Vậy Q luôn quay quanh một đường thẳng AR cố định
Trang 32) Xác định vị trí của S trên sao cho thể tích khối đa diện ABCDC đạt giá trị lớn nhất Khi 1
đó hãy xác định thể tích khối đa diện nói trên
Giải
1) * Ta có CD SA
CD AD
CDSDA
AD CD Giả thiết AD1SC 2 Từ 1 ,
2 AD1 SCD AD1 CD1 Một cách tương
tự ta cũng chứng minh được AB1CB1
ABCADC AB CAD C 7 điểm
A, B, C, D, B , 1 C , 1 D cùng nằm trên mặt cầu tâm 1 O
(OACBD), bán kính 2
2
a
R
* Diện tích măt cầu S 4 R2 2 a2 Thể tích mặt cầu
3
4
a
V R
H O
D 1
C 1
B 1
D
C B
A S
1
1
ABCDC ABCD
1
2 6
a
ABCDC
V Đẳng thức xảy ra H O C AC1 vuông cân tại C 1 SAC vuông
cân tại A SA ACa 2 Vậy
1
ABCDC
V đạt giá trị lớn nhất SAa 2 Khi đó
3
1
2
6
a
ABCDC
Ví dụ 3 Cho tam giác vuông cân ABC vuông tại A, có các cạnh góc vuông bằng a Từ B, C
dựng các đoạn thẳng BD, CE vuông góc với mặt phẳng ABC ở về cùng một phía của mặt phẳng ABC sao cho BDCE a Chứng minh 5 điểm A, B, C, D, E cùng nằm trên một mặt cầu Tính diện tích của mặt cầu này và tính thể tích khối cầu tương ứng
Giải
Trang 4* Ta có AB AC
AB CE
ABACE ABAE
Từ BAEBCE BDE90
A, B, C, D, E cùng nằm trên mặt cầu đường kính BE Mặt cầu này có bán
BC CE AB AC CE a BE
* Diện tích măt cầu S 4 R2 3 a2 Thể tích mặt cầu
3
4
a
V R
O
a a
a
E D
C B
A a
Ví dụ 4 Cho hình chóp tam giác đều S ABC có các cạnh đáy bằng a , tất cả các mặt bên đều tạo
với đáy góc Xác định tâm, bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Tính diện tích mặt cầu
và thể tích của khối cầu tương ứng
Chú ý (Cách xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp-mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của hình
chóp)
Hình chóp S A A 1 2 A có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi n A A1 2 A là đa giác nội tiếp một n
đường tròn Khi đó để xác định mặt cầu ngoại tiếp S O R ; của hình chóp, ta làm như sau:
xác định tâm đường tròn ngoại tiếp I của
đáy;
dựng đường thẳng vuông góc với đáy
tại I;
dựng mặt phẳng trung trực P của đoạn
thẳng SA (có thể thay 1 SA bằng 1 SA , …, 2
n
SA );
O P
S Δ
I
A n
A 2
A 1
ta có O P , ROA1 OA2 OA n
Trường hợp hay gặp SA và 1 đồng phẳng Ta làm như sau:
trong mặt phẳng SA 1, dựng đường trung trực d của SA ; 1
Trang 5A n
Δ
O S
I
A 2
A 1
(SA1A A1 n A n)
I O
S Δ
A n
A 2
A 1
(SA cắt 1 )
C Bài tập
Bài 1 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có các cạnh đáy bằng a , tất cả các cạnh bên đều tạo
với đáy góc Xác định tâm, bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Tính diện tích mặt cầu
và thể tích của khối cầu tương ứng
Bài 2 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác cân có AB ACa, BAC 120
, cạnh bên SA2a vuông góc với đáy Xác định tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Bài 3 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật có ABa, BC a 3 Cạnh bên
5
SAa , vuông góc với đáy Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Bài 4 Cho hình chóp S ABCD có đáy là nửa lục giác đều, ABBCCDa, AD2a Cạnh bên SA2a 3 vuông góc với đáy Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Bài 5 Cho hình vuông ABCD cạnh a , Gọi H là trung điểm của AB Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD tại H lấy điểm S sao cho 3
2
a
SH Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD
Bài 6 Cho tứ diện SABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc, SA2a, SBa 2,
3
SCa Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện