CHUYÊN ĐỀ MẶT PHẲNG VÀ MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIAN

- Góc gi a đ ng th ng d và m t ph ng (P)

3

.sin( ,( ))

a i qua đi m M1; 2; 4  và nh n vect n2;3;5 làm vect pháp tuy n

b i qua đi m M2; 1; 2  và song song v i m t ph ng  Q : 2 –x y3z  4 0

Có th phát bi u bài toán d i d ng nh , cho bi t t a đ 3 đi m A, B, C Vi t ph ng trình m t ph ng (P)

đi qua đi m A và vuông góc v i đ ng th ng BC thì khi đó n P  BC

- Vect pháp tuy n c ng có th cho hình th c là vuông góc v i giá c a vect a nào đó, khi đó ta

ph i hi u đây a là vect ch ph ng

Bài 3: (SGK – Ban C B n T92) Trong m t ph ng v i h to đ Oxyz cho đi m vect a 6; 2; 3  

vàA1; 2; 3 Vi t ph ng trình m t ph ng   ch a đi m A và vuông góc v i giá c a vect a

H ng d n:

Làm t ng t nh bài 2b ta đ c   : 6 – 2 – 3x y z  2 0

5

Bài 4: (SGK – Ban C B n T80) Trong không gian v i h to đ Oxyz Vi t ph ng trình m t ph ng đi

qua đi m M2;6; 3 và l n l t song song v i các m t ph ng to đ

Gi i:

Nh n xét :

- Các m t ph ng to đ đây là Oxy; Oyz; Oxz Tho t đ u ta th y các m t ph ng này không th y vtpt ,

nh ng th c ra chúng có vtpt, các vtpt này đ c xây d ng nên t các vect đ n v trên các tr c Ox, Oy, Oz

l n l t là i

= (1;0;0) ;j

= (0;1;0) ; k

= (0;0;1), các vect này đ c coi là các vtcp

- Bây gi ta s vi t ph ng trình m t ph ng  P đi qua M và song song v i m t ph ng 0xy còn các m t

T ng t (P) // Oyz và đi qua đi m M nên  P :x  2 0

(P) // Oxz và đi qua đi m M nên  P :y  6 0

Cách 3:

M t ph ng  P song song v i m t ph ng Oxy nên m t ph ng  P luôn có d ng Cx + D = 0 vì m t

ph ng  P đi qua M  C.    vì C  0 nên ch3 D 0 n C = 1  D = 3

Bài 5: (SGK – Ban C B n T80) Trong không gian v i h to đ Oxyz Vi t ph ng trình m t ph ng

 P đi qua đi m A0; 1; 2  và song song v i giá c a m i vect u = (3;2;1) và v = 3;0;1

Gi i:

Cách 1:

M t ph ng  P đi qua A0; 1; 2  và song song v i giá c a hai vect u = (3;2;1) ; v  3; 0;1

 m t ph ng  P đi qua A và có nP  u ;

1(x – 0) – 3(y + 1) +3(z – 2) = 0 hay  P :x– 3y3 – 9z  0

Cách 2 : Làm t ng t nh bài 1b khi bi t nP 2; 6;6  và A0; 1; 2 

Bài 6: (SBT – Ban C B n T99) Trong không gian v i h to đ Oxyz Vi t ph ng trình m t ph ng

  đi qua đi mM2; 1; 2 , song song v i tr c Oy và vuông góc v i m t ph ng

M t ph ng   đi qua đi m M3; 1; 5  đ ng th i vuông góc v i hai m t ph ng    và    m t

ph ng   đi qua đi m M và có n  n ;

a Trong không gian v i h to đ Oxyz cho 3 đi m M3; 4;1 ,  N2;3; 4 ,  E 1; 0; 2  Vi t ph ng trình

m t ph ng   đi qua đi m E và vuông góc v i MN

Bài 1: (SGK – Ban C B n T80) Trong không gian v i h to đ Oxyz Vi t ph ng trình m t ph ng

  đi qua hai đi m M1; 0;1 ,  N 5; 2;3 và vuông góc v i m t ph ng   : 2 –x yz– 7 0

Gi i:

Cách 1 :

M t ph ng   đi qua hai đi m M(1;0;1); N(5;2;3) và vuông góc v i m t ph ng ()

 m t ph ng   đi qua đi m M và n  MN ;

Cách 2: Làm t ng t bài 1 (cách 2) đi u ki n đây là nP  i

Bài 3: (SBT – Ban Nâng Cao T126) Trong m t ph ng Oxyz Vi t ph ng trình m t ph ng (Q) đi qua hai

 m t ph ng (Q) là m t ph ng theo đo n ch n có ph ng trinh là :



26

326

99

G i AB là giao tuy n c a m t ph ng (Q) và m t ph ng 0xy T O h OI  AB

Theo đ nh lý ba đ ng vuông góc ta có AB  CI  OIC600

Trong  vuông OIC ta có OI = OC.tan OIC = 1.tan60o =

33

Trong  vuông OAB ta có 12 12 12

OB OA

31

33

M t ph ng   đi qua hai đi m M2;1;3 , N 1; 2;1  và song song v i đ ng th ng d

 m t ph ng   đi qua đi m M và n MN

Bài 5: Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz, cho các đi m A(-1;1;0), B(0;0;-2) và C(1;1;1) Hãy vi t

ph ng trình m t ph ng (P) qua hai đi m A và B, đ ng th i kho ng cách t C t i m t ph ng (P) b ng

C  AB D A B

Nên m t ph ng  P có ph ng trình là 1   

02

AxBy AB z AB  Theo gi thi t

51

Bài 7: Trong không gian v i h tr c to đ Oxyz cho đi m A(1;0;1), B(2;1;2) và m t ph ng

 Q :x2y3z  L3 0 p ph ng trình m t ph ng (P) đi qua A, B và vuông góc v i (Q)

Bài 1: Trong không gian v i h tr c to đ Oxyz cho đi m A1;0;1 ,  B 2;1; 2 và m t ph ng

 Q :x2y3z  L3 0 p ph ng trình m t ph ng (P) đi qua A, B và vuông góc v i (Q)

Bài 4: Vi t ph ng trình m t ph ng   đi qua hai đi m M1; 2;3 ,  N2; 2; 4  và song song v i Oy

(Tài li u ôn thi t t nghi p n m 2009)

13

s:  :x   z 2 0

Bài 5: Trong không gian v i h to đ Oxyz cho m t ph ng  P : 2 x3y   Viz 7 0 t ph ng trình

m t ph ng () đi qua A1;1; 0 ,  B 1; 2; 7và vuông góc v i (P)

(Tài li u ôn thi t t nghi p n m 2009) s:  :11x8y2z19 0

D ng 3: Vi t ph ng trình m t ph ng (P) đi qua ba đi m M o (x o ;y o ;z o ) M 1 (x 1 ;y 1 ;z 1 ) và M 3 (x 3 ;y 3 ;z 3 ) không th ng hàng cho tr c

Bài 1: (SGK – Ban C B n T80) Trong không gian v i h to đ Oxyz Vi t ph ng trình m t ph ng

  đi qua ba đi m M3; 0; 0; N0; 2; 0 vàP0;0; 1 

12

G i I là trung đi m c a đo n th ng AB  I(3;2;5) M t ph ng trung tr c (P) c a đo n AB đi trung đi m

I c a A,B và vuông góc v i đo n th ng AB  m t ph ng trung tr c (P) c a đo n AB đi qua I và nh n vect AB

'7.23

'3.214

Bài 1: Trong không gian v i h to đ Oxyz cho 2 đi m E1; 4;5 ,   F 3; 2;7 Vi t ph ng trình m t

ph ng () là trung tr c c a đo n th ng EF

( thi t t nghi p THPT h phân ban l n 2 n m 2007) s:   :x3y   z 5 0

- M t ph ng (P) song song v i hai đ ng th ng 1 à2 nên có vtpt nP  u u 1; 2

- m t ph ng (P) cách đ u hai đ ng th ng 1 à2 nên (P) đi qua trung đi m c a I c a MN v i

t y

t x

21

022

y

z x

a Ch ng minh r ng d và d’ chéo nhau

V y PT mp() là: 3x – y – 4z + 7 0

D ng 6: Vi t ph ng trình m t ph ng (P) song song và cách đ u hai m t ph ng (Q 1 ) và Q 2 (v i Q 1 và

Q 2 song song v i nhau)

n = (3;-1;4) và 2  8 nên (P) // (Q), ch n đi m M(0;2;0)(P) và đi m N(0;8;0)(Q)

M t ph ng   song song v i (P) và (Q) luôn có d ng 3x – y + 4z + D’ = 0, vì   cách đ u (P) và (Q) nên d M ,  d N ,  



161

9

'0.42

'0.480.3

- Song song v i hai đ ng th ng d1 và d2 cho tr c nP u u 1, 2

- Vuông góc v i hai m t ph ng  Q và  R cho tr c nP n n 1, 2

- Song song v i đ ng th ng d và vuông góc v i m t ph ng  Q cho tr c nP  u n d, Q

Chú ý :

N u m t ph ng  P ti p xúc v i m t c u (S) t i M  S thì m t ph ng  P đi qua đi m M và có VTPT

là MI

Bài t p gi i m u:

5)1.(

Bài 4: (Tài Li u Ôn Thi T t Nghi p 2009) Trong không gian v i h to đ Oxyz Vi t ph ng trình

m t ph ng () song song v i tr c Oz, vuông góc v i m t ph ng (P): x + y + z = 0 và ti p xúc v i m t

Bài 6: Trong không gian v i h to đ Oxyz cho m t c u ( ) :S x2y2z22x6y4z 2 0 Vi t

ph ng trình m t ph ng (P) song song v i giá c a véc t (1;6;2)v

, vuông góc v i m t ph ng ( ) : x4y  z 11 0và ti p xúc v i (S)

4 Áp d ng cách vi t ph ng trình m t ph ng đi qua 1 đi m và có 1 VTPT

Chú ý: Th c ch t đây là bài toán vi t ph ng trình m t ph ng đi qua hai đi m và vuông góc v i m t m t

4 Áp d ng cách vi t ph ng trình m t ph ng đi qua 1 đi m và có 1 VTPT

Chú ý: Th c ch t đây là bài toán vi t ph ng trình m t ph ng đi qua hai đi m và song song v i m t

3 Áp d ng cách vi t ph ng trình m t ph ng đi qua 1 đi m và có 1 VTPT

Chú ý: Th c ch t đây là bài toán vi t ph ng trình m t ph ng đi qua ba đi m phân bi t cho tr c

04

z y x

z y x

M t ph ng (P) đi qua giao tuy n c a (Q) và (P)  m t ph ng (P) ch a giao tuy n 

 m t ph ng (P) đi qua ba đi m Mo; M và N

 (P) đi qua đi m Mo và có vtpt nP= [

77

;4

77

;4

023

y x

z y x

Ch n hai đi m M 5; 0; 13   và N(1;1;0) 

M t ph ng (P) đi qua giao tuy n c a hai m t ph ng (),  và vuông góc v i m t ph ng  

 m t ph ng (P) ch a giao tuy n  và vuông góc v i m t ph ng  

 m t ph ng (P) đi qua đi m M và có vtpt nP = [MN,

Th c ch t bài toán này chính là bài toán này chính là bài toán vi t ph ng trình m t ph ng đi qua hai

đi m và vuông góc v i m t m t ph ng (trong đó hai đi m còn l i thu c giao tuy n c a hai m t ph ng)

Cách 2:

G i  là giao tuy n c a   và     có ph ng trình

www.MATHVN.com

y x

z y x

z y x

z y x

4

;

3

M t ph ng (P) đi qua giao tuy n c a () và () đ ng th i song song v i m t ph ng ()

 m t ph ng (P) ch a giao tuy n  và song song v i m t ph ng ()

 m t ph ng (P) đi qua đi m M và luôn có d ng: x + y + 2z + D’ = 0

 P đi qua đi m M nên 3 + 

V y m t ph ng (P) có ph ng trình x + y + 2z + 1 = 0

Ho c: M t ph ng (P) đi qua đi m M và có vtpt nP  u n , 

Ho c: M t ph ng (P) đi qua đi m M và có vtpt nP  MN n , 

31

1

A B B

ch n A1,B  1 C 2,D1

www.MATHVN.com

V y m t ph ng  P có ph ng trình là x y 2z 1 0

Cách 3: S d ng ph ng pháp chùm (tham kh o ph n sau)

Nh n xét :

Th c ch t bài toán này chính là bài toán này chính là bài toán vi t ph ng trình m t ph ng đi qua m t

đi m và song song m t m t ph ng (trong đó m t đi m còn l i thu c giao tuy n c a hai m t ph ng)

Bài 5: Trong không gian Oxyz cho hai đi m A1;3; 2 ,   B 3;7; 18  và m t ph ng

- ng th ng d đi qua đi m M(0;2;0) và có vtcp (1; 1;1)u 

- ng th ng d’ đi qua đi m M'(2;3;5) và có vtcp '(2;1; 1)u 

;cos(n u  0

2

0

2 2 2

C B

A

C B

)(6

3

C A B C

C A A A

C A B

D ng 9: Vi t ph ng trình m t ph ng   ch a hai đ ng th ng  và 1  c2 t nhau ho c song song

x y z d

- Ch ng minh d1 và d2 song song v i nhau ,ta có

d1 đi qua đi m M(1;-2;-1) và có vtcp u1 = (3;-1;2)

t y

t x

21

22

37

0123

z y

y x

;3

21sin 30

Bài 2: Cho m t ph ng  P có ph ng trình x y 2z0 và đi m M2; 3;1  Vi t ph ng trình m t

ph ng  Q đi qua M vuông góc v i m t ph ng và t o v i m t ph ng m t góc 450

Gi s đi m I là hình chi u c a H lên (P), ta có AH HI HI l n nh t khi A I

V y (P) c n tìm là m t ph ng đi qua A và nh n AH làm véc t pháp tuy n

)31

;

;21

a c

1 Vi t ph ng trình m t c u có tâm thu c đ ng th ng d, cách m t ph ng (P) m t kho ng b ng 2 và v t

m t ph ng (P) theo giao tuy n là đ ng tròn có bán kính b ng 3

Bài 5 : Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho M1; 2;3  L p ph ng trình  m t ph ng đi qua M

c t ba tia Ox t i A, Oy t i B, Oz t i C sao cho th tích t di n OABC nh nh t

| 8 | 9

17

D D

33

V y ph ng trình c a  Q : 2x y 2z17 0

Bài 9: ( H – D 2010) Trong không gian to đ Oxyz, cho hai m t ph ng (P): x + y + z  3 = 0 và (Q): x

 y + z  1 = 0 Vi t ph ng trình m t ph ng (R) vuông góc v i (P) và (Q) sao cho kho ng cách t O đ n (R) b ng 2

Ta th y M thu c mi n trong c a (S) và (S) có tâmI  1; 2; 3 , R 14 Do đó,

(P) qua M c t (S) theo m t giao tuy n là đ ng tròn có bán kính nh nh t

b M t ph ng (P) câu (1) c t các tr c Ox, Oy, Oz l n l t t i A,B,C

Ch ng minh r ng : ABC là tam giác đ u

Ta có: ABBCCA3 2 ABC là tam giác đ u

Bài 14: (SGK – Ban Nâng Cao T89) Trong không gian Oxyz Vi t ph ng trình m t ph ng (P)

i qua đi m G(1;2;3) và c t các tr c to đ Ox, Oy, Oz l n l t t i A, B, C sao cho G là tr ng tâm c a tam giác ABC

i qua đi m H(2;1;1) và c t các tr c to đ Ox,Oy,Oz l n l t t i A, B, C sao cho H là tr c tâm c a tam

Bài 15: Trong không gian v i h t a đ Oxyz, vi t ph ng trình m t ph ng (P) đi qua đi m D(–1; 1; 1)

và c t ba tr c t a đ t i các đi m M, N, P khác g c O sao cho D là tr c tâm c a tam giác MNP

Gi i:

Theo gi thi t ta có M(m; 0; 0) Ox , N(0; n; 0) Oy , P(0; 0; p)  Oz

Bài 19: Trong không gian v i h to đ Oxyz, cho các đi m B0;3; 0 , M 4; 0; 3 Vi t ph ng trình

m t ph ng ( )P ch a B M, và c t các tr c Ox Oz, l n l t t i các đi m A và C sao cho th tích kh i t

Bài 20: Cho đi m M(1; 2; 3) L p ph ng trình m t ph ng (P) bi t r ng (P) c t ba tr c Ox, Oy, Oz l n

l t t i A, B, C sao cho M là tr ng tâm c a tam giác ABC

Gi i:

Do A, B, C l n l t thu c Ox, Oy, Oz nên ta gs A(x A ; 0 ; 0), B(0 ; y B ; 0), C(0 ; 0 ; z C)

Vì M là tr ng tâm c a tam giác ABC nên ta có 

M C B A

M C B A

z z z z

y y y y

x x x x

333

C B A

z y

3x  y  z  (P):6x3y2z180

(ph ng trình m t ph ng theo đo n ch n)

Bài 22: Trong không gian v i h to đ Oxyz cho đi m A(1;2;0), B(0;4;0), C(0;0;3) Vi t ph ng trình

m t ph ng (P) ch a OA, sao cho kho ng cách t B đ n (P) b ng kho ng cách t C đ n (P)

Bài 23: Trong h tr c Oxyz cho M(2;4;1) Vi t ph ng trình m t ph ng (P) qua M và c t các tr c Ox,

Oy, Oz t i A, B, C t ng ng v i hoành đ , tung đ và cao đ d ng sao cho 4OA = 2OB = OC

Gi i:

A,B,C là đi m n m trên Ox, Oy, Oz t ng ng có hoành đ , tung đ và cao đ d ng và

4OA = 2OB = OC suy ra A(a;0;0) , B(0;2a;0) và C(0;0;4a) v i a 0

Bài 3: Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz, cho các đi m A(-1;1;0), B(0;0;-2) và C(1;1;1) Hãy vi t

ph ng trình m t ph ng (P) qua hai đi m A và B, đ ng th i kho ng cách t C t i m t ph ng (P) b ng

G i  là đ ng th ng qua đi m A(4;0;-1)

song song v i d và I(-2;0;2) là hình chi u vuông góc c a A trên d Trong các m t ph ng qua  , hãy vi t

S x  y z  x y z  theo giao tuy n là m t đ ng tròn có chu vi 8

Bài 15: L p ph ng trình m t ph ng (P) song song v i hai đ ng th ng 1

1 Vi t ph ng trình m t ph ng  Q ch a d sao cho kho ng cách t A đ n  Q l n nh t

2 Vi t ph ng trình m t c u  S có tâm n m trên đ ng th ng d đ ng th i ti p xúc v i hai m t

ph ng  : 3x4y 3 0,  : 2x2y z 39 0

Bài 22: Trong các m t ph ng đi qua các đi m A1; 2; 1 ,  B 1;1; 2,vi t ph ng trình m t ph ng  

t o v i m txOym t góc nh nh t

S:  : 6x3y5z  7 0

Bài 23: Trong không gian v i h t a đ Oxyz, vi t ph ng trình m t ph ng   đi qua đi m A1; 2; 4

và c t chi u d ng c a các tr c t a đ Ox, Oy, Oz l n l t M, N, P khác g c t a đ sao cho t di n OMNP có di n tích nh nh t

Bài 25: Trong không gian v i h t a đ Oxyz, vi t ph ng trình m t ph ng   đi qua đi m M2;5;3

và c t chi u d ng c a các tr c t a đ Ox, Oy, Oz l n l t A, B, C sao cho OA OB OC  nh nh t

1 Vi t ph ng trình c a m t ph ng (P) đi qua 3 đi m A,B ,C

2 Vi t ph ng trình tham s c a đ ng th ng đi qua tr ng tâm c a tam giác ABC và vuông góc v i m t

Bài 3: ( H – B 2009) Trong không gian v i h to đ Oxyz, cho m t ph ng (P): x – 2y + 2z – 5 = 0 và

hai đi m A(-3;0;1), B(1;-1;3) Trong các đ ng th ng đi qua A và song song v i (P), hãy vi t ph ng trình đ ng th ng mà kho ng cách t B đ n đ ng th ng đó là nh nh t

Bài 3: Trong không gian Oxyz cho ba đi m A1;3; 2 ;  B1; 2;1 và C1;1;3 Vi t ph ng trình đ ng

th ng d đi qua tr ng tâm c a tam giác ABC và vuông góc v i m t ph ng ch a tam giác đó

- Vuông góc v i hai đ ng th ng d1 và d2 cho tr c u u u 1; 2

- Song song v i hai m t ph ng (P1) và (P2) cho tr cu n n 1; 2

45

- Vuông góc v i m t đ ng th ng d và song song v i m t m t ph ng (P) u u n d; P

- N u đi qua hai đi m phân bi t và A Bu   AB

Chú ý:

- N u gi thi t là vuông góc v i m t vecto c b t kì thì hi u c là vtcp,

- N u gi thi t là song song v i m t vecto d

N u đ bài yêu c u vi t ph ng trình đ ng th ng  d ng t ng quát

Cách 1: ng th ng  chính là giao tuy n c a hai m t ph ng

- M t ph ng   đi qua đi m A và song song v i m t ph ng (P)

- M t ph ng   đi qua đi m A và vuông góc v i đ ng th ng d

Cách 2: T ph ng trình tham s chuy n v ph ng trình t ng quát

Bài 2: Vi t ph ng trình tham s c a đ ng th ng  đi qua đi m M1;1;1 đ ng th i vuông góc v i hai

N u đ bài yêu c u vi t ph ng trình đ ng th ng  d ng t ng quát

Cách 1: ng th ng  chính là giao tuy n c a hai m t ph ng

- M t ph ng   đi qua đi m M và vuông góc v i đ ng th ng d1

- M t ph ng   đi qua đi m M và vuông góc v i đ ng th ng d2

Cách 2: T ph ng trình tham s chuy n v ph ng trình t ng quát

Bài t p t gi i:

www.MATHVN.com