Viết phương trình mặt phẳng P biết P đi qua đường thẳng d và tạo với các trục Oy, Oz các góc bằng nhau.. Viết phương trình mặt phẳng Q đi qua A, vuông góc với mặt phẳng P biết rằng mặt p
Trang 1LUYỆN THI ĐẠI HỌC CẤP TỐC 2013 – MoonTV Thầy Đặng Việt Hùng
03 TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN OXYZ – P1
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng ( )P :x+2y−2z + 5 = 0;
( )Q :x+2y−2z -13 = 0 Viết phương trình của mặt cầu (S) đi qua gốc tọa độ O, qua điểm A(5; 2; 1) và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q)
Lời giải:
Gọi I(a; b; c) là tâm và R là bán kính của mặt cầu (S)
Từ giả thiết ta có: ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) )
( ) ( ) ( ( ) )
=
OI =AI ⇔OI =AI ⇔a + + =b c a− + −b + −c ⇔ a+ b+ c=
( )
3
( )
( ) ( ( ) ) | 2 2 5 | | 2 2 13 |
2 2 4 (3)
+ − + = + − −
+ − + = − − + +
lo¹i
Từ (1) và (3) suy ra: 17 11 ; 11 4a (4)
a
Từ (2) và (3) suy ra: 2 2 2
9 (5)
a + + =b c
Thế (4) vào (5) và thu gọn ta được: (a−2 221)( a−658)=0
Như vậy a=2 hoặc 658
221
a= Suy ra: I(2; 2; 1) và R = 3 hoặc 658 46; ; 67
221 221 221
−
Vậy có hai mặt cầu thỏa mãn yêu cầu với phương trình lần lượt là:
( ) (2 ) (2 )2
9
Bài 2: Cho mặt phẳng (P): x−2y+2z− =1 0 và các đường thẳng 1: 1 3 ; 2: 5 5
d − = − = d − = = +
Tìm các điểm M∈d ,1 N∈d2 sao cho MN // (P) và cách (P) một khoảng bằng 2
Lời giải:
Phương trình tham số của d1 là:
1 2
3 3 2
= +
= −
M thuộc d1 nên tọa độ của M (1 2 ;3 3 ; 2+ t − t t)
| 1 2 2 3 3 4 1| |12 6 |
3
d M P = + − − + − = ⇔ − = ⇔ t− = ± ⇔ =t t =
+ − +
+ Với t1 = 1 ta được M1(3; 0; 2);
+ Với t2 = 0 ta được M2(1;3; 0)
+ Ứng với M1, điểm N1∈d2 cần tìm phải là giao của d2 với mp qua M1 và // mp (P), gọi mp này là (Q1) PT (Q1) là: (x− −3) 2y+2(z− = ⇔ −2) 0 x 2y+2z− =7 0 (1)
Phương trình tham số của d2 là:
5 6 4
5 5
= +
=
= − −
(2)
Trang 2LUYỆN THI ĐẠI HỌC CẤP TỐC 2013 – MoonTV Thầy Đặng Việt Hùng
Thay (2) vào (1), ta được: -12t – 12 = 0 ⇔ t = -1 Điểm N1 cần tìm là N1(-1;-4;0)
+ Ứng với M2, tương tự tìm được N2(5;0;-5)
Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: 2 1
x = y− = z−
− − và mặt phẳng (P) : ax +
by + cz – 1 = 0 (a2+b2 ≠0) Viết phương trình mặt phẳng (P) biết (P) đi qua đường thẳng d và tạo với các trục Oy, Oz các góc bằng nhau
Lời giải:
Đường thẳng d qua M (0, 2, 1) có VTCP u= − −(1, 1, 1); (P) có VTPT n =( , , )a b c
Do d ⊂( )P ⇒n v = ⇔ − − = ⇔ = +0 a b c 0 a b c
( , ( )) ( , ( )) os( , ) os( , )
0
= ≠
= − ≠
Nếu b = c = 1 thì a = 2 suy ra ( )P : 2x + y + z - 1 = 0 (loại vì M1 ∉( )P1
Nếu b = - c = -1 thì a = 0 suy ra (P : y - z - 1 = 0 (thỏa mãn) 2)
Vậy (P) có phương trình y - z - 1 = 0
Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1 1 2
− và điểm A(2;1;2)
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ∆ sao cho khoảng cách từ A đến (P) bằng 1
3
Lời giải:
Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(1 ; 1 ; 2 ) và có vtcp là u→= (2 ; -1 ; 1) Gọi →n= (a ; b ; c ) là vtpt của (P) .Vì
( )P
∆ ⊂ nên → →n u =0 ⇔2a – b + c = 0 ⇔ b = 2a + c ⇒→n=(a; 2a + c ; c )
Suy ra pt của mặt phẳng (P) là: a(x – 1) + (2a + c )(y – 1) + c(z – 2 ) = 0
Ta có d(A ; (P)) = 1
1 3 (2 )
a
0
⇔ + = ⇔ + =a c 0
Chọn a = 1, c = -1 Suy ra phương trình của mặt phẳng (P) là x + y – z = 0
Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1
1
1
z
= +
= −
;
2
:
− Viết phương trình (P) song song với d và 1 d , sao cho khoảng cách từ 2 d đến (P) 1
gấp hai lần khoảng cách từ d đến (P) 2
Lời giải:
1
d đi qua điểm A(1 ; 2 ; 1) và vtcp là : u1 (1; 1; 0)
→
= − ; d2 đi qua điểm B (2; 1; -1) và vtcp là: u2 (1; 2; 2)
→
= −
Gọi n→ là một vtpt của (P), vì (P) song song với d1 và d2 nên →n= [u u→ →1; 2] = (-2 ; -2 ; -1)
⇒ (P): 2x + 2y + z + D = 0
Ta có d(A ; (P) = 2d( B;(P)) ⇔ +7 D =2 5+D 7 2(5 )
+ = +
⇔ + = − +
3 17 3
D D
= −
⇔
= −
Vậy phương trình mặt phẳng (P): 2x + 2y + z – 3 = 0 hoặc 2x + 2y + z - 17
3 = 0
Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(3; -2; -2) và mặt phẳng ( )P :x− − + =y z 1 0 Viết
phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A, vuông góc với mặt phẳng (P) biết rằng mặt phẳng (Q) cắt hai trục Oy,
Oz lần lượt tại điểm phân biệt M và N sao cho OM = ON
Lời giải:
Trang 3LUYỆN THI ĐẠI HỌC CẤP TỐC 2013 – MoonTV Thầy Đặng Việt Hùng
Giả sử n Q
là một vecto pháp tuyến của (Q) Khi đó nQ ⊥nP(1; 1; 1− − )
Mặt phẳng (Q) cắt hai trục Oy và Oz tại M(0; ;0 ,a ) (N 0;0;b) phân biệt sao cho OM = ON nên
0 0
= ≠
= ⇔
= − ≠
Nếu a = b thì MN=(0;−a a; ) (//u 0; 1;1− ) và nQ ⊥u nên nQ=u n , P=(2;1;1)
Khi đó mặt phẳng (Q): 2 x+ + − =y z 2 0 và ( )Q cắt Oy, Oz tại M(0; 2; 0) và N(0; 0; 2) (thỏa mãn)
Nếu a = - b thì MN=(0;− −a; a) (//u 0;1;1) và nQ⊥u nên nQ =u n , P=(0;1; 1− )
Khi đó mặt phẳng (Q):y− =z 0
( )Q cắt Oy, Oz tại M(0; 0;0) và N(0; 0; 0) (loại) Vậy ( )Q : 2x+ + − =y z 2 0 là mặt phẳng cần lập
Bài 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(-1; -1 ;2), B(-2; -2; 1) và mặt phẳng (P) có
phương trình x+3y− + =z 2 0 Viết phương trình mặt phẳng (Q) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB Gọi
∆ là giao tuyến của (P) và (Q) Tìm điểm M thuộc ∆ sao cho đoạn thẳng OM nhỏ nhất
Lời giải:
Gọi I là trung điểm của AB 3; 3 3; ( 1; 1; 1)
2 2 2
Pt (Q) là 3 0
2
x+ + + =y z
Đường thẳng ∆ đi qua điểm 7; 0;1
−
và có vtcp u =(2; 1; 1)− −
Pt tham số của ∆ là
7 2 4
1 4
= − +
= −
2
∈∆⇒ − + − − = − +
= ⇒ − −
Bài 8: Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm M(13;-1;0), N(12;0;4).Lập phương trình mặt phẳng đi qua hai
điểm M, N và tiếp xúc với mặt cầu ( S) : x2+y2+ −z2 2x−4y 6z 67− − =0
Lời giải:
Mặt cầu (S) có tâm I( 1;2;3) bán kính R = 9
Mặt phẳng (P) đi qua M(13;-1;0) nên có phương trình: A(x - 13) + B(y + 1) + Cz = 0 với A2+B2+C2 ≠0
Vì điểm N thuộc ( P ) nên thay tọa độ N vào pt (P) ta được: A = B + 4C
Lúc này pt(P) : (B + 4C)x + By + Cz -12B – 52C = 0⇔
(P) tiếp xúc với (S) khi và chỉ khi : d(I,(P)) = 9 ⇔ +B 5C = 2B2+8BC 17C+ 2
=
− − = ⇔
= −
Thay vào phương trình mặt phẳng (P) ta được hai phương trình 1
2
(P ) : 2x 2y z 28 0 (P ) : 8x 4y z 100 0
− + − + = + + − =
Bài 9: Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm M(0;-1;2), N(-1;1;3).Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua M,
N và tạo với mặt phẳng (P): 2x− −y 2z− =2 0 một góc nhỏ nhất
Trang 4LUYỆN THI ĐẠI HỌC CẤP TỐC 2013 – MoonTV Thầy Đặng Việt Hùng
Lời giải:
Mặt phẳng (P) đi qua M nên có phương trình: A(x - 0) + B(y + 1) + C(z - 2) = 0 với A2+B2+C2 ≠0
Vì điểm N thuộc ( P ) nên thay tọa độ N vào pt (P) ta được: A = 2B + C
Gọi α là góc tạo bởi hai mặt phẳng (P) và (Q),ta có:
B cos
5B 4BC 2C
α =
Nếu B = 0 thì α 0
90
= Nếu B≠0, đặt m =C
cos
3
α nhỏ nhất khi cos 1
3
α = ⇔ m = -1 ⇔B = - C
Vậy mặt phẳng ( R): x+ − + =y z 3 0
Bài 10: Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz, cho điểm I 1;1;1( ) Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua I cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Lời giải:
Giả sử A(a; 0; 0), B(b; 0; 0), C(c; 0; 0), abc≠0
⇒ Phương trình mặt phẳng (P) là: x y z 1
a + + =b c (P) qua I nên 1 1 1 1
a + + =b c (1)
Mà IA = IB = IC nên ( )2 ( )2 ( )2 ( ) (2 ) (2 )2
a 1− + + = + −1 1 1 b 1 + = + + −1 1 1 c 1 ⇔ −a 1 = −b 1 = −c 1
a b c
⇔ = = hoặc b a 2
c a
= −
=
c 2 a
b a
= −
=
hoặc b= = −c 2 a
Với a = b = c thay vào (1) ta được a=b=c=3 Khi đó pt (P): x+y+z=3
Với b a 2
c a
= −
=
c 2 a
b a
= −
=
thay vào (1) ta được
2
a+2 a = ⇔ − + =
Với b= = −c 2 a thay vào (1) ta được 1 2 1 a2 a 2 0
a+2 a = ⇔ − + =
Vậy phương trình mặt phẳng (P) cần tìm là: x + y + z = 3
Bài 11: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua O, vuông góc với
mặt phẳng (Q): 5x−2y 5z+ =0 và tạo với mặt phẳng (R): x−4y 8z 6− + =0 góc 45 o
Lời giải:
Mặt phẳng (P) đi qua O(0; 0; 0) nên có pt dạng : Ax + By + Cz = 0 với A2+B2+C2 >0
2
⊥ ⇔ − + = ⇔ = + (1)
(P) tạo với (R) góc 45 nên o o
cos45
2
4
21A 18AC 3C 0
Chọn
A 7
= −
= ⇒
*) A= −1, C=1⇒B=0⇒ Phương trình mặt phẳng (P) là x – z = 0
*) A 1, C 1 B 20
= = ⇒ = ⇒ Phương trình mặt phẳng (P) là x + 20z + 7z = 0
Trang 5LUYỆN THI ĐẠI HỌC CẤP TỐC 2013 – MoonTV Thầy Đặng Việt Hùng
Vậy phương trình mặt phẳng (P) cần tìm là x – z = 0 hoặc x + 20z + 7z = 0
Bài 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng ,
1
7 1
5 1
4 :
1
+
=
−
−
=
x
2
1 1
1
2
:
+
=
−
=
x
d Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M(−1;2;0), ⊥d1 và tạo với d2 góc 600
Lời giải:
Giả sử ∆ có vtcp u∆ =(a;b;c),a2+b2+c2 ≠0 ∆⊥d1⇔u∆.u1=0⇔a−b+c=0 (1)
) 2 ( ) (
3 ) 2 (
2 2
1 60 cos
4 1 1
2 60
)
,
2 2 2
0
c b a
c b a
+ + +
+
−
−
⇔
=
∆
∠
Từ (1) có b=a+c thay vào (2) ta được 18c2 =3(a2+(a+c)2 +c2)⇔a2+ac−2c2 =0
−
=
−
=
=
=
⇔
,
2
2 ,
c b c a
c b c a
Với a=c, b=2c, chọn c=1⇒u∆ =(1;2;1) ta có
1 2
2 1
1 :x+ = y− = z
∆
Với a=−2c,b=−c, chọn c=−1⇒u∆ =(2;1;−1) ta có
1 1
2 2
1 :
−
=
−
=
+
Bài 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2;−1;3) và đường thẳng
1
1 3
4 2
2
−
−
=
x
d Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua K(1;0;0), song song với đường thẳng d
đồng thời cách điểm M một khoảng bằng 3
Lời giải:
(P) đi qua K(1;0;0)⇒ phương trình (P) dạng Ax+By+Cz−A=0(A2+B2+C2 ≠0).
≠
− +
−
= +
−
⇔
∉
−
−
=
⇔
) 2 ( 0
4 3
) 1 ( 0
3 2 ) ( ) 1
; 4
; 2 (
0 //
)
(
C B A
C B A P
H
n u
d
2 2
C B A
C B A P
M
+ +
+
−
⇔
Từ (1) có C=−2A+3B, thay vào (3) ta được 2 ( 2 2 2)
) 3 2 ( 3
) 8 5 (− A+ B = A +B + − A+ B
=
=
⇔
= +
−
⇔
17 5 0 17 22
B A
B A B
AB A
Với A=B, ta có C=B, không thỏa mãn (2)
Với 5A=17B, ta có
5
19 ,
5
17
B C
B
A= =− Chọn B=5 ta có A=17,C=−19, thỏa mãn (2)
Suy ra (P):17x+5y−19z−17=0
Bài 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( )P : 3x+2y− + =z 4 0 và điểm A(2; 2; 0) Tìm tọa độ điểm M sao cho MA vuông góc với ( )P , M cách đều gốc tọa độ O và mặt phẳng ( )P
Lời giải:
( )P có véc tơ pháp tuyến n(3; 2; 1− ) Gọi M a b c( ; ; ), ta có AM a( −2;b−2;c)
Vì MA⊥( )P nên AM
và n
cùng phương⇔AM =tn t, ∈R ⇔
2 3
2 2
= +
= +
(1)
Vì M cách đều O và (P) nên ( ( ) ) 2 2 2 3 2 4
,
14
Thay (1) vào (2) tìm được 3
4
t=−
Vậy 1 1 3; ;
4 2 4
−
Trang 6LUYỆN THI ĐẠI HỌC CẤP TỐC 2013 – MoonTV Thầy Đặng Việt Hùng
Bài 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S) : x2+y2+ −z2 2x+6y−4z+ =5 0 Viết
phương trình mặt phẳng (P) chứa Oy và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính r=2
Lời giải:
Mặt cầu (S) có tâm I(1; 3; 2− ), bán kính R=3
Vì ( )P chứa trục Oy nên PT ( )P có dạng : Ax Cz+ =0 (B C, ≠0)
Ta có ( ( ) ) 2 2
2 2
2
5
+
+ ( )2
2A C 0 C 2A
⇔ − = ⇔ = Chọn A=1⇒C=2 Vậy PT ( )P là : x+2z=0
Bài 16: Trong không gian tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M(1; −1; 0), cắt đường
thẳng (d): 2 2
x− = =y z+
và tạo với mặt phẳng (P): 2x − y − z + 5 = 0 một góc 300
Lời giải:
Gọi N =( )d ∩ ∆⇒N(2 2 ; ; 2+ t t − +t)
Ta có: MN= +(1 2 ;t t+ − +1; 2 t) và (P) có vtpt n=(2; 1; 1)− −
(d) tạo với (P) góc 300 nên: 0 ( )
2 2 2
s in30 cos ,
2 (1 2 ) ( 1) ( 2) 6
MN n
+ − − + −
+ + + + −
2 2
t
+
+ +
+ Với t = 0, phương trình : 1 1
−
+ Với 9
5
t= , phương trình : 1 1
−
Bài 17: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(13; −1; 0), B(2; 1; −2), C(1; 2; 2) và mặt cầu
2 2 2
( ) :S x +y + −z 2x−4y−6z−67=0 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với BC và tiếp xúc mặt cầu (S)
Lời giải:
Giả sử (P) có vtpt n=( ; ; ), (A B C A2+B2+C2 ≠0)
(P) // BC nên n⊥BC= −( 1;1; 4)⇒n BC.= ⇔ = +0 A B 4C⇒n=(B+4 ; ; )C B C
(P) đi qua A(13; −1; 0) ⇒ phương trình (P): (B+4 )C x+By Cz+ −12B−52C=0
(P) tiếp xúc (S)
2 2 2
( 4 )
+ =
− =
Với B + 2C = 0 chọn 2
1
B C
=
= −
, ta được phương trình (P): −2x + 2y − z + 28 = 0 Với B − 4C = 0 chọn 4
1
B C
=
=
, ta được phương trình (P): 8x + 4y + z −100 = 0
Bài 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vuông ABCD, biết B(3; 0;8), D(− −5; 4; 0) và đỉnh
A thuộc mặt phẳng (Oxy) Tìm tọa độ điểm C
Lời giải:
Ta có, trung điểm BD là I(-1;-2;4), BD = 12 và điểm A thuộc mp(Oxy) nên A(a; b; 0),
Do ABCD là hình vuông nên ta có,
2
2
AB AD
=
2 2 2 2 2
2 2 2
− + + = + + +
⇔
+ + + + =
Trang 7LUYỆN THI ĐẠI HỌC CẤP TỐC 2013 – MoonTV Thầy Đặng Việt Hùng
( ) (2 )2
4 2
= −
⇔
+ + − =
1 2
a b
=
⇔
=
hoặc
17 5 14 5
a b
=
−
=
Tọa độ điểm A tương ứng là A(1;2;0) và 17 14; ;0
5 5
Vì I là trung điểm AC nên ta có tọa độ điểm A cần tìm tương ứng là: C(-3;-6;8), 27; 6;8
Bài 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): 2 2 2
x +y + +z x− y− = và mặt phẳng
(P): x+ − =z 3 0 Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(3;1 1− ) vuông góc với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S)
Lời giải:
Mặt cầu (S) có tâm I(-1;2;0) và bán kính R=3 Mặt phăng (P) có VTPT nP(1; 0;1)
Mặt phẳng (Q) đi qua M có dạng ( ) ( ) ( ) 2 2 2
A x− +B y− +C z+ = A B C+ + ≠ với VTPT là n A B CQ( ; ; )
4 ( ,( )) A B C 3 4 3
A B C
− + +
Mặt khác ( )Q ⊥( )P ⇔n n Q P = ⇔ + = ⇔ = −0 A C 0 C A
Thay vào (*) ta được B−5A =3 2A2+B2 ⇔8B2−7A2+10AB=0 (**)
Chọn B=1, (**) 2
7A 10A 8 0 A 2
⇔ − − = ⇔ = hoặc 4
7
A=−
Với A=2⇒C= −2: được phương trình mặt phẳng (Q) là: 2x+ −y 2z− =9 0
Với 4 4
A=− ⇒C=
: được phương trình mặt phẳng (Q) là: 4x−7y−4z− =9 0 Vậy, phương trình mặt phẳng cần tìm là: 2x+ −y 2z− =9 0 và 4x−7y−4z− =9 0
Bài 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x − y + 2z + 5 = 0 và hai đường thẳng
1
( ) :
, ( 2) : 3 1
− Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt cả hai đường
thẳng (d1), (d2), song song với (P) và cách (P) một khoảng bằng 6
Lời giải:
Gọi M, N lần lượt là giao điểm của ∆ với (d1) và (d2) M( 1 2 ;3− + t1 +t1;1+t1), N( 3 3 ;− + t2 − − +t2; 1 t2)
Ta có: MN=(3t2−2t1− − − −2; t2 t1 3;t2− −t1 2) và vtpt của (P) là n= −(1; 1; 2)
+ ∆ // (P) nên: MN n = ⇔0 3t2−2t1− + + + +2 t2 t1 3 2t2−2t1− = ⇔4 0 6t2−3t1− =3 0 ⇔ =t1 2t2−1 (1)
2 2 2
6
2 1 2 1
⇔ = ⇔ = ±
2 1 1 1; 2 1 1 3
t = ⇒t = t = − ⇒t = −
+ Với t1 = =t2 1, ta có (1; 4; 2), (1; 5; 2) pt : 1 4 2
+ Với 1
2
3 1
t
t
= −
= −
, ta có
7
2
z
= − +
ℝ
Bài 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2; 1; 0), B(1; 1; −1), C(3; 3; 1) và mặt cầu
2 2 2
( ) :S x +y + +z 2x−6y−6z+ =5 0 Tìm tọa độ điểm M trên (S) sao cho M cách đều ba điểm A, B, C
Lời giải:
Giả sử M(x; y; z) M cách đều A, B, C nên:
Trang 8LUYỆN THI ĐẠI HỌC CẤP TỐC 2013 – MoonTV Thầy Đặng Việt Hùng
hay
1
1
=
+ =
+ + =
ℝ
M∈ (S) nên 2 9 (1 )2 2 18 6 6 5 0 2 2 6 9 0 3 3 3
2
t + + −t + − − + + = ⇔t t t + − = ⇔ =t t − ±
Suy ra 3 3 3; 3; 5 3 3
3 3 3 5 3 3
; 3;
Bài 22: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P :x+ − +y 3 14 0z = Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với (P) và đi qua hai điểm A(1;3;2), B(-3;1;4) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A,B và cắt (S)theo một đường trịn cĩ diện tích bé nhất
Lời giải:
Vì mặt cầu (S) đi qua A,B và tiếp xúc với mp(P) mà B nằm trên (P) nên (S) tiếp xúc với (P) tại B, do đĩ tâm
I của mặt cầu nằm trên đường thẳng d đi qua B và vuơng gĩc với (P), d cĩ vtcp là u=(1;1; 3− ),d cĩ phương trình là 3 1 4
x+ =y− =z−
− Mặt khác, tâm I cũng nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB, mặt
phẳng này đi qua trung điểm M(-1;2;3) của AB và cĩ vtpt
(4;2; 2 nên có pt là 2) ( ) (1 2) ( )3 0 2 3 0
BA= − x+ + − − − = ⇔y z x+ − + =y z
Như vậy tọa độ của I là nghiệm của hệ
+ − + = = −
Bán kính của mặt cầu là R=IA= 11 Phương trình của mặt cầu là (x+2)2+(y-2)2+(z-1)2=11
Gọi r là bán kính đường trịn ta cĩ r2+d2(I Q;( ) 11)= ⇔r2 = −11 d2(I Q;( ))
( )
đường tròn giao tuyến có diện tích nhỏ nhất khi r nhỏ nhất hay d I Q;( ) lớn nhất
( )
Mặt khác, IM AB và ;( ) , dấu bằng xẩy ra khi M là hình chiếu của I lên mp(Q)
hay IM (Q),vậy (Q) qua A và có vtpt là 1;0;2 , pt của (Q) là 1 2 2 0 2 5 0