Chuyên đề Phương trình đường tròn

Với giá trị nào của thì phương trình trên là p.trình của một đường tròn.. Bài tập 8: Lập phương trình đường tròn C đi điểm 4;2M và tiếp xúc với các trục toạ độ... Bài tập 6: Lập phương t

2 Tiếp tuyến của đường tròn: x2+y2-2ax-2by c+ =0

a Tiếp tuyến của ( )C tại M x y (0( ; )0 0 M : tiếp điểm) 0

Tiếp tuyến của ( )C tại M x y có phương trình: 0( ; )0 0

xx + yy -a x x+ -b y y+ + =c

(CT phân đôi toạ độ)

Nhận xét: Râ rµng tiÕp tuyÕn ®i qua  M x y0( ; )0 0 vµ cã 1 vect¬ ph¸p IM0 (x0a y; 0b)

b Điều kiện tiếp xúc:

Đường thẳng :D ax by c+ + =0 là tiếp tuyến của ( )C Ûd I( ;D =) R

Lưu ý: Để tiện trong việc tìm phương trình tiếp tuyến của ( )C , chúng ta không nên xét

phương trình đường thẳng dạng y kx m= + (tồn tại hệ số góc k ) Vì như thế dẫn đến sót

trường hợp tiếp tuyến thẳng đứng x C= (không có hệ số góc)

áp dụng đk tiếp xúc, giải được k

* Nếu kết quả 2 hệ số góc k (tương ứng 2 t.tuyến), bài toán giải quyết xong

* Nếu giải được 1 h.g.góc k, thì xét đường thẳng xx (đây là tiếp tuyến thứ hai)

áp dụng điều kiện tiếp xúc, ta được 1 phương trình đẳng cấp bậc hai theo a b

Nhận xột: Phương pháp 2 tỏ ra hiệu quả và khoa học hơn

3 Vị trớ tương đối của hai đường trũn-Số tiếp tuyến chung:

Cho hai đường trũn ( )C cú tõm 1 I , bỏn kớnh 1 R và 1 ( )C cú tõm 2 I , bỏn kớnh 2 R 2

a Với giỏ trị nào của m thỡ pt(1) là phương trỡnh của đường trũn?

b Nếu (1) là phương trỡnh đường trũn, hóy tỡm toạ độ tõm và tớnh bỏn kớnh đường trũn

đú theo m

Bài tập 3: Cho phương trình : x2 +y2 + 6mx- 2(m- 1)y+ 11m2 + 2m- = 4 0

a Tìm điều kiện của m để pt trên là l phương trình đường tròn

b Tìm quỹ tích tâm đường tròn

Bài tập 4: Cho phương trỡnh: x2y22(cosa1)x2(sina1)y  2 0

;10

a Với giá trị nào của thì phương trình trên là p.trình của một đường tròn

b Tìm giá trị để đường tròn có bán kính nhỏ nhất, lớn nhất

c Tìm quỹ tích tâm đường tròn, khi thay đổi trên đoạn 0

a a

Bài tập 5: Cho phương trình (C m): x2+y2+ 2(m- 1)x- 2(m- 3)y+ = 2 0

a Tìm m để (C m) là phương trình của một đường tròn

b Tìm m để (C m) là đường tròn tâm I(1; 3).- Viết phương trình đường tròn

c Tìm m để (C m) là đường tròn có bán kính R= 5 2. Viết phương trình đường tròn

d Tìm tập hợp tâm các đường tròn (C m)

VẤN ĐỀ 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

Phương pháp:

Cách 1: Tìm tâm ( ; )I a b , bán kính R>0 Suy ra ( - ) (2+ - )2 = 2

Cách 2: Gọi phương trình đường tròn: x2+ y2-2ax-2by c+ =0

- Từ điều kiện của đề bài đưa đến hệ phương trình với ẩn số , , a b c

- Giải hệ phương trình tìm , , a b c

LUYỆN TẬP:

Bài tập 1: Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:

a (C) có tâm ( 1;2)I - và tiếp xúc với đường thẳng :D x-2y+ =7 0

b (C) có đường kính là AB với (1;1), (7;5)A B

Bài tập 2: Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm với (1;4), ( 7;4), (2; 5)A B - C -

Bài tập 3: Cho 3 điểm (1;2), (5;2), (1; 3)A B C -

a Lập phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC

e (C) tiếp xúc với đường thẳng : 4D x+3y-12=0

Bài tập 6: Lập phương trình đường tròn (C) đi qua hai điểm ( 1;2), ( 2;3)A - B - và có tâm ở

trên đường thẳng : 3D x- +y 10=0

Gợi ý:

Cách 1: Gọi ( ;3I a a+10) ΔÎ Do (C) qua A, B nên IA = IB (=R)

Cách 2:

Bước 1: Lập phương trình đường trung trực d của đoạn AB

Bước 2: Tâm I của (C) là giao điểm của d và Δ

Bài tập 7: Lập phương trình của đường tròn (C) đi qua 2 điểm (1;2), (3;4)A B và tiếp xúc với

đường thẳng : 3D x+ - =y 3 0

Gợi ý:

Cách 1: Gọi ( ; )I a b là tâm đường tròn

Theo giả thiết:

Bước 1: Lập phương trình đường trung trực d của đoạn AB

Bước 2: Gọi tâm của (C) là I dÎ (tọa độ 1 ẩn)

Do Δ tiếp xúc với (C) nên d I( ;Δ) =IAÞ giải ra I

Bài tập 8: Lập phương trình đường tròn (C) đi điểm (4;2)M và tiếp xúc với các trục toạ độ

Gợi ý:

Gọi ( ; )I a b là tâm của (C) Do (C) tiếp xúc với Ox, Oy nên a = b =R

Bài tập 9: Cho 3 đường thẳng: D1: 3x+4y- =1 0, D2: 4x+3y- =8 0, : 2d x+ - =y 1 0 Lập

phương trình đường tròn (C) có tâm I nằm trên đường thẳng d và (C) tiếp xúc với D D1, 2

Gợi ý:

Cách 1:

Gọi ( ;1 2 )I a - a Îd là tâm của đường tròn (C)

Do D D1, 2 là các tiếp tuyến của (C) nên suy ra: d I( ;D =1) d I( ;D Þ2) giải ra I

Bước 2: Tâm I của đường tròn tương ứng là giao điểm của d và T T 1, 2

Bài tập 10: Lập phương trình đường tròn đi qua hai điểm (0;1), (2; 3)A B  và có bán kính

í = =î

Cách 2:

Bước 1: Lập phương trình đường trung trực d của AB

Bước 2: Gọi I dÎ (tọa độ 1 ẩn) Theo giả thiết IA= Þ5 giải ra I

Bài tập 11: Lập phương trình đường tròn (C) có tâm I(1;1), biết đường thẳng

: 3 x 4y 3 0

    cắt (C) theo dây cung AB với AB  2

Gợi ý:

Bài tập 12: (ĐH A-2007) Cho tam giác ABC có (0;2), ( 2; 2)A B - - và C(4; 2)- Gọi H là

chân đường cao kẻ từ B; M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC Viết phương trình đường

tròn qua các điểm H, M, N

Gợi ý:

Bước 1: Xác định tọa độ M, N

Bước 2: Lập phương trình đường trung trực d của MN

Dễ thấy tâm I của (C) thuộc d

Bước 3: Tâm I của (C) là giao điểm của BH và d Suy ra IM =R

Bài tập 13: Viết phương trình đường tròn đi qua điểm (1;1)A và có bán kính R  10, tâm

(C) nằm trên Ox

Gợi ý:

Gọi ( ;0)I a ÎOx là tâm của (C) Theo giả thiết, IA= 10, từ đây giải ra I

Bài tập 14: Viết phương trình đường tròn đi qua điểm M(2;3) và tiếp xúc đồng thời với hai

Bài tập 16: Cho đường thẳng d x:    và đường tròn y 3 0 ( ) :C x2y2   7x y 0

Chứng minh rằng d cắt ( ) C Hãy viết phương trình đường tròn ( ') C đi qua M ( 3;0) và các

giao điểm của d và ( ) C

Bài toán trở thành, lập phương trình đường tròn qua ba điểm (1; 2), (0; 3)A - B - và M ( 3;0)

(Dùng kỹ năng: Gọi phương trình x2+y2-2ax-2by c+ =0 và thay tọa độ)

Bài tập 17: Cho đường thẳng d x:    và đường tròn y 3 0 ( ) :C x2y2 x 7y 0.

Chứng minh rằng d cắt ( ) C tại hai điểm phân biệt , A B Hãy viết phương trình đường tròn

( ')C đi qua , A B và có bán kính R  3

Gợi ý:

Xác định các giao điểm A, B của d và (C)

Gọi ( ; )I a b là tâm của ( ') C Theo giả thiết:

3

IA IB IA

=ì

TH 1: (C) và (C’) tiếp xúc ngoài, tức là OI =R1+R2 ÛOI = +1 IAÞ giải ra I

TH 2: (C) và (C’) tiếp xúc trong, tức là OI = R1-R2 ÛOI = -1 IA Þ giải ra I

Bài tập 19: Viết phương trình đường tròn có bán kính R  , đi qua 2 M(2;0) và tiếp xúc với

Gọi ( ; )I a b là tâm của ( ) C

-ë

TH 1: b= Þ2 I a( ;2) Theo giả thiết IO'=R1+R2 Từ đây, giải ra I

TH 2: b= - Þ2 I a( ; 2)- Theo giả thiết IO'=R1+R2 Từ đây, giải ra I

Bài tập 21: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng :d y   tại điểm 2 0

(4;2)

M và tiếp xúc với đường tròn ( ') :C x2(y2)2  4

Gợi ý:

Qua M dựng đường thẳng Δ vuông góc với d

Lúc đó, tâm IÎΔ (tọa độ 1 ẩn) Dễ thấy R IM=

TH 1: 'II = +R R'Û II'=IM +R' Từ đây, giải ra I

TH 2: 'II = R R- ' Û II'= IM R- ' Từ đây, giải ra I

Bài tập 22: Cho đường tròn ( ') :C x2y2  Viết phương trình đường tròn ( )8 C tiếp xúc

với đường thẳng : x  và đường tròn (C’) tại điểm (2;2)3 0 M

Gợi ý:

Lập phương trình đường thẳng 'I M

Tâm IÎI M' (tọa độ 1 ẩn)

Ta có: II'=IM +I M' Û II'=d I x( , - +3) I M' Từ đây, giải ra I

Bài tập 23: (Đề dự bị 2003) Cho đường thẳng :d x-7y+10 0= Viết phương trình đường

tròn có tâm thuộc đường thẳng : 2D x y+ =0 và tiếp xúc với đường thẳng d tại điểm (4;2) A

Gợi ý:

Tâm IÎΔ(tọa độ 1 ẩn) Theo giả thiết IA d I d= ( , ) Từ đây, giải ra I

VẤN ĐỀ 3: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN

Bài tập 1: Cho đường tròn (C): ( ) (2 )2

trong các trường hợp sau:

a Tại điểm (5; 3)M - b Biết tiếp tuyến song song : 5D x-12y+ =2 0

c Biết tiếp tuyến vuông góc : 3D x+4y+ =2 0

d Biết tiếp tuyến đi qua (3;6)A

Bài tập 2: Viết phương trình tiếp tuyến với (C): 2 2

ê = Û = êë

Cách 2: Xác đ ịnh tọa độ các tiếp điểm

Gọi M x y là tiếp điểm của tiếp tuyến xuất phát từ A và đường tròng (C) 0( 0; 0)

Bài tập 4: Cho đường tròn (C): 2 2

x +y - x+ y+ = và điểm (1;3)A

a Chứng tỏ A nằm ngoài đường tròn (C)

b Lập phương trình tiếp tuyến với (C) xuất phát từ A

Bài tập 5: Cho đường tròn (C): ( ) (2 )2

Vậy từ M tồn tại 2 tiếp tuyến với (C)

Cách 1: Gọi n=( )a b; (a2+b2 >0) là một vectơ pháp của tiếp tuyến cần tìm (Như câu trên)

Cách 2: Gọi M x y là tiếp điểm 0( 0; 0)

Lúc đó, tiếp tuyến của (C) tại M có dạng :0 D (x+1)(x0+ +1) (y-2)(y0 -2) =9

Suy ra hai tiếp điểm M1( 1; 1), ( 2; 2)- - M2

-TH 1: Tiếp tuyến D1 qua (2; 1)M - và M1( 1; 1)- - có phương trình: y= -1

TH 2: Tiếp tuyến D2 qua (2; 1)M - và M2( 2; 2)- - có phương trình:

Từ (3), (4) dễ thấy: M M1, 2Î D:x y- =0 hay đường thẳng M M1 2: x y- =0

Bài tập 6: Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn:

I R

ìïí

=ïî

T©m

2

4;42

I R

ìïí

=ïî

T©m B¸n kÝnh

Ta có: I I1 2 =(3;4)ÞI I1 2 = > =5 4 R R1+ 2 Vậy ( )C và 1 ( )C ngoài nhau nên tồn tại 4 tiếp 1

tuyến chung cần tìm

Gọi D: ax by c+ + =0 (a2+b2 >0) là tiếp tuyến chung của ( )C và 1 ( )C 2

Lúc đó, theo giả thiết: ( )

ê

= ë

Kết luận: Vậy tồn tại 4 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán:

1: 4x 3y 14 0

D - + + = , D2: -4x+3y- =6 0, D3: y- =2 0, D4: 24x+7y-74 0=

Bài tập 7: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn ( ) :C x2y225, biết rằng tiếp

ê =ë

TH 1: a= Þ0 nd =(0; ) b b( ¹0), chọn nd(0;1)Þd y m: + =0

51

m m

d O d R

m

=é

n n

d O d R

n

=é

-ë

Vậy trường hợp này có 2 tiếp tuyến: d3: 4x+3y+25 0, : 4= d4 x+3y-25 0=

MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC

1) (ĐH A-2002) Cho tam giác ABC vuông tại A, phương trình đường thẳng BC

là: 3x y- - 3 0= , các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2

Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC

Cỏch 1: Ta có: AB= -a 1 , AC = 3 a-1 , BC =2a-1

2 Δ

S r

522

=-

Do đó A, B là các giao điểm của đường thẳng AB với đường tròn tâm I và bán kính

Vậy tọa độ A, B là nghiệm của hệ phương trình:

Hoàn toàn có thể xác định tọa độ H là hình chiếu của I trên đường thẳng AB.

Sau đó tìm A, B là giao điểm của đường tròn tâm H bán kính HA với đường thẳng AB

Cho đường thẳng d x y: - + =1 0 và đường trũn ( )C x: 2+ y2+2x-4y=0 Tỡm toạ độ

điểm M thuộc d mà qua đú ta kẻ được hai đường thẳng tiếp xỳc với đường trũn ( )C tại A và

B sao cho gúc AMB bằng 60 0

6) (ĐH B-2003) Cho tam giỏc ABC vuụng tại A và AB= AC Biết M(1; 1)- là trung điểm cạnh

3

Gổ ử

ố ứ là trọng tõm tam giỏc ABC Tỡm toạ độ cỏc đỉnh A, B, C

7) (Đề dự bị 2003) Cho đường thẳng :d x-7y+10 0= Viết phương trỡnh đường trũn cú tõm

thuộc đường thẳng : 2D x y+ =0 và tiếp xỳc với đường thẳng d tại điểm (4;2) A

8) (ĐH D-2003) Cho đường thẳng :d x y- - =1 0 và đường trũn ( ) ( ) (2 )2

C x- + y- = Viết phương trỡnh đường trũn ( )C đối xứng với đường trũn / ( )C qua đường thẳng d Tỡm toạ

độ giao điểm của ( )/

giao điểm H của và là nghiệm của hệ phương trình:

Gọi là điểm đối xứng với qua Khi đó:

Vì (C') đối xứng với (C) qua nên (C') có tâm là d J(3;0) và bán kính R=2

Tọa độ các giao điểm của (C) và (C') là nghiệm của hệ phương trình:

Vậy tọa độ giao điểm của (C) và (C') là (1;0),A B(3;2)

9) (ĐH A-2004) Cho hai điểm (0;2), (A B - 3; 1)- Tỡm toạ độ trực tõm và toạ độ tõm của

đường trũn ngoại tiếp của tam giỏc OAB

Đường thẳng qua B, vuông góc với OA có phương trình

Đường thẳng qua A, vuông góc với BO có phương trình

10) (ĐH A-2005) Cho hai đường thẳng d x y1: - =0, : 2d2 x y+ - =1 0 Tỡm toạ độ cỏc đỉnh

của hỡnh vuụng ABCD biết rằng đỉnh A thuộc d , đỉnh C thuộc 1 d và cỏc đỉnh B, D thuộc trục 2

A t t

C t t

IB IA I

Vậy bốn đỉnh của hình vuông là:

hoặc 1), (2;0),B C(1; 1),- D(0;0)

11) (ĐH B-2005) Cho hai điểm (2;0), (6;4)A B Viết phương trình đường trịn ( )C tiếp xúc

với trục hồnh tại A và khoảng cách từ tâm của ( )C đến điểm B bằng 5

Gäi t©m cđa (C) lµ vµ b¸n kÝnh cđa (C) lµ R

Ta cã: (C) tiÕp xĩc víi Ox t¹i A a=2 vµ b

12) (Đề dự bị 2005) Cho đường trịn ( )C x: 2+y2-12x-4y+36 0= Viết phương trình

đường trịn ( )C tiếp xúc hai trục toạ độ Ox, Oy đồng thời tiếp ngồi với (C) 1

Gợi ý: ( )C Û x2+y2-12x-4y+36 0= Û(x-6) (2+ y-2)2 =4

Vậy (C) có tâm I 6,2 và R=2 ( )

Vì đường tròn ( )C tiếp xúc với 2 trục Ox, Oy nên tâm 1 I nằm trên 2 đường thẳng 1

y= ±x vàvì (C) có tâm I 6,2 ,R = 2 ( )

nên tâm I x1( ;±x)với x > 0

TH 1: Tâm I1Ỵ đường thẳng y = x Þ I x x , bán kính ( , ) R1=x

( )C tiếp xúc ngoài với (C) 1 Û I I1= +R R1Û (x-6) (2+ x-2)2 = +2 x

ë Ứng với R1=2 hay R2 =18Có 2 đường tròn là: (x-2) (2+ y-2)2 =4; (x-18) (2+ y-18)2 =18

TH 2: Tâm I1Ỵ đường thẳng y= - Þx I x x( ,- ); R1 = x

Tương tự như trên, ta có x= 6

Có 1 đường tròn là (x-6) (2 + y+6)2 =36

Kết luận: Tóm lại ta có 3 đường tròn thỏa ycbt là:

13) (Đề dự bị 2005)

trục đẳng phương d của ( )C và 1 ( )C Chứng minh rằng nếu K thuộc 2 d thì khoảng cách từ K

đến tâm của ( )C nhỏ hơn khoảng cách từ K đến tâm của1 ( )C 2

Gợi ý:

Đường tròn ( )C có tâm 1 O 0,0 bán kính ( ) R1=3

Đường tròn ( )C có tâm 2 I 1,1 , bán kính ( ) R2 =5

Phương trình trục đẳng phương của 2 đường tròn ( )C , 1 ( )C là 2

(Đề dự bị 2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho (C): x2 + y2 - -4x 6y-12 0= Tìm tọa

độ điểm M thuộc đường thẳng d : 2x y- + =3 0 sao cho MI = 2R , trong đĩ I là tâm và R là bán

(Đề dự bị 2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho 2 điểm A(0;5), B(2; 3) Viết phương

trình đường trịn đi qua hai điểm A, B và cĩ bán kính R= 10

d x y- + = Tỡm toạ độ điểm M trờn d sao cho đường trũn tõm M, cú bỏn kớnh gấp đụi

bỏn kớnh đường trũn ( )C , tiếp xỳc ngoài với đường trũn ( )C

Yêu cầu của bài toán tương đương với:

15) (Đề dự bị 2006) Cho đường thẳng :d x y- + -1 2 0= và điểm ( 1;1)A - Viết phương

trỡnh đường trũn ( )C đi qua A, gốc toạ độ O và tiếp xỳc với đường thẳng d

16) (ĐH B-2006) Cho đường trũn ( )C x: 2+ y2-2x-6y+ =6 0 và điểm M( 3;1)- Gọi T T 1, 2

là cỏc tiếp điểm của cỏc tiếp tuyến kẻ từ M đến ( )C Viết phương trỡnh đường thẳng TT 1 2

Gợi ý:

Nếu T x là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) thì:

17) (ĐH A-2007) Cho tam giỏc ABC cú (0;2), ( 2; 2)A B - - và C(4; 2)- Gọi H là chõn đường

cao kẻ từ B; M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC Viết phương trỡnh đường trũn qua cỏc

d x- y m+ = Tỡm m để trờn d cú duy nhất một điểm P mà từ P cú thể kẻ được hai tiếp

tuyờn PA, PB (A, B là cỏc tiếp điểm) sao cho tam giỏc PAB đều

Trªn d cã duy nhÊt mét ®iÓm P tháa m·n yªu cÇu bµi to¸n khi vµ chØ khi d tiÕp xóc víi (C') t¹i P

19) (Đề dự bị 2007) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): x2+y2 =1 Đường tròn (C')

tâm I (2,2) cắt (C) tại các điểm A, B sao cho AB = 2 Viết phương trình đường thẳng AB

Gợi ý:

Cách 1: Đường thẳng OI nối 2 tâm của 2 đường tròn (C), (C') là đường phân giác y x= Do

đó, đường AB ^ đường y x= Þ hệ số góc của đường thẳng AB bằng -1

Vì AB = 2 Þ A, B phải là giao điểm của (C) với Ox, Oy

Pt hoành độ giao điểm của AB là: x2+ - +( x m)2 = Û1 2x2-2mx m+ 2- =1 0 (2)

(2) có D = -/ 2 m2 , gọi x x là nghiệm của (2) ta có : 1, 2

1

1

m m

m a

=éD

Đường tròn (C) có tâm I(4, –3), bán kính R = 2

Tọa độ của I(4, –3) thỏa phương trình (d): x+y-1=0 Vậy I Î d

Vậy AI là một đường chéo của hình vuông ngoại tiếp đường tròn, có bán kính R = 2 , x = 2

và x=6 là 2 tiếp tuyến của (C) nên

- Hoặc là A là giao điểm các đường (d) và x= Þ2 A(2, –1)

- Hoặc là A là giao điểm các đường (d) và x= Þ6 A(6, –5)

- Khi A(2, –1) Þ B(2, –5); C(6, –5); D(6, –1)

- Khi A(6, –5) Þ B(6, –1); C(2, –1); D(2, –5)

R H O

B A