Góp phần nâng cao năng lực toán học cho học sinh thông qua dạy học vận dụng tính chất hình học vào bài toán cực trị hình không gian

Phần Đặt vấn đề 1.1 Lý chọn đề tài Hình học khơng gian chủ đề giáo viên học sinh giành nhiều quan tâm trọng trình dạy học Đặc biệt chủ đề thường xuyên xuất kỳ thi trung học phổ thông quốc gia, kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp Qua thực trạng dạy học thân nhận thấy toán cực trị hình khơng gian cổ điển hình khơng gian Oxyz thách thức thực dành cho người dạy người học Để giải dạng tập hình học địi hỏi người học phải có tư linh hoạt, sáng tạo giải tốn Yêu cầu đổi phương pháp dạy học đòi hỏi cấp thiết hàng đầu ngành giáo dục giáo viên, đặc biệt chủ đề cực trị hình khơng gian chủ đề hay khó mơn tốn nên người dạy phải có trình độ chun mơn vững vàng, có kiến thức sâu rộng linh hoạt, sáng tạo việc lựa chọn phương pháp dạy học Việc vận dụng tính chất hình học để giải tốn cực trị hình khơng gian khơng mang lại hiệu cao mà qua cịn có tác dụng lớn đến việc hoàn thiện phát triển phẩm chất lực Tốn học cho học sinh Đồng thời góp phần quan trọng vào công đổi phương pháp dạy học cho giáo viên Chính lý nêu nên thân định lựa chọn đề tài “Góp phần nâng cao lực tốn học cho học sinh thơng qua dạy học vận dụng tính chất hình học vào tốn cực trị hình khơng gian” 1.2 Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận dạy học - Nghiên cứu số tính chất hình học phẳng hình học khơng gian vào giải tốn cực trị hình khơng gian - Hướng dẫn học sinh biết cách khai thác tính chất hình học phẳng hình học khơng gian để giải tốn cực trị hình học khơng gian Từ biết vận dụng vào tốn cực trị Oxyz - Bước đầu giúp học sinh biết cách tìm tịi, phát tính chất hình học Đồng thời nâng cao tinh thần lực tự học, tự nghiên cứu vấn đề nảy sinh toán học 1.3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Học sinh giỏi THPT, sinh viên trường sư phạm,… - Giáo viên giảng dạy mơn tốn THPT Phần Nội dung nghiên cứu 2.1 Cơ sở khoa học - Cơ sở lý luận: số tính chất hình học phẳng hình học khơng gian hay sử dụng - Cơ sở thực tiễn: Xuất phát từ việc học tập mơn tốn nói chung, chủ đề hình học khơng gian cổ điển nói riêng học sinh cịn gặp nhiều khó khăn 2.2 Thực trạng vấn đề - Việc học tập mơn hình học khơng gian nhà trường phổ thơng cịn nhiều khó khăn học sinh - Việc dạy học chủ đề cực trị hình học khơng gian đa số giáo viên cịn gặp nhiều khó khăn việc lựa chọn cách thức tổ chức dạy học xây dựng nguồn tập phong phú, đa dạng để kích thích tư người học - Nội dung đề tài mang tính thời cao đáp ứng nhu cầu giảng dạy học tập nhiều giáo viên học sinh 2.3 Tính ưu việt đề tài Việc sử dụng tính chất hình học vịa tốn cực trị hình khơng gian làm cho chất toán bộc lộ rõ Đồng thời, cách giải thường ngắn gọn khắc sâu kiến thức hình học đề cập đến Việc vận dụng tính chất hình học vào tốn cực trị hình học khơng gian khơng đơn dừng lại phương pháp giải tốn mà thơng qua giúp học sinh phát triển tư linh hoạt, khả sáng tạo giải toán Hướng triển khai đề tài giúp giáo viên học sinh có nguồn tài liệu bổ ích phục vụ cho công tác giảng dạy học tập môn hình học khơng gian hiệu 2.4 Hướng triển khai đề tài 2.4.1 Định hướng chung phương pháp giải toán Việc đề xuất hướng giải cho tốn cực trị hình khơng gian vơ quan trọng đứng trước toán cực trị hình khơng gian người giải tốn có nhìn nhận vấn đề cách tốt việc phải mị mẫm Qua học sinh vạch hướng giải cho toán có lựa chọn phù hợp dựa vào đặc thù tốn Cụ thể ta có hướng giải sau: - Gắn biến để đưa đưa toán – max hàm biến nhiều biến - Sử dụng công cụ véc tơ; - Xây dựng đẳng thức trung gian; - Đánh giá trực tiếp, … 2.4.2 Đề xuất số tính chất hình học thường sử dụng để giải tốn 2.4.2.1 Tính chất hình học liên quan đến độ dài, khoảng cách Tính chất Trong khơng gian, cho điểm phân biệt A, B Với điểm M tùy ý, ta ln có:  MA  MB �AB Dấu “=” xảy M , A, B thẳng hàng M thuộc đoạn AB  MA  MB �AB Dấu “=” xảy M , A, B thẳng hàng M nằm đoạn AB ( M trùng với A B ) Tính chất Cho mặt phẳng  P  điểm M � P  Với điểm N tùy ý thuộc  P  ta ln có: MN �MH , với H hình chiếu vng góc M  P  Dấu “=” xảy N �H Tính chất Cho đường thẳng d điểm M �d Với điểm N tùy ý d , ta ln có MN �MH , với H hình chiếu vng góc M d Dấu “=” xảy N �H Tính chất Cho đường trịn  C  có tâm I , bán kính R điểm A nằm  C  Gọi M điểm di động  C  , ta ln có tính chất sau: IA  R �AM �IA  R Tính chất Cho đường trịn  C  có tâm I , bán kính R điểm A nằm  C  Gọi M điểm di động  C  , ta ln có tính chất sau: R  IA �AM �IA  R Tính chất Trong không gian cho hai mặt phẳng  P   Q  cắt đường     d�,  Q  �� P , Q d � P   thẳng Khi đó, , dấu “=” xảy d vng góc với giao tuyến  P   Q  2.4.2.2 Tính chất hình học liên quan đến tỉ số diện tích 2.4.2.2.1 Một số trường hợp tỉ số diện tích tam giác +) Tỉ số diện tích hai tam giác có chung đường cao tỉ số độ dài cạnh đáy Cho tam giác ABC , M điểm thuộc cạnh BC không trùng với đỉnh B, C (như hình vẽ bên) Ta có tỉ số sau: SABM BM S ABM BM  ;  SABC BC S ACM CM +) Tỉ số diện tích hai tam giác có chung cạnh đáy tỉ số độ dài đường cao A Cho tam giác ABC , M điểm tùy ý thuộc miền tam giác ABC Gọi N giao điểm AM với BC (như hình bên) Khi đó, ta có tỉ số diện tích sau M B N C SMBC MN  SABC AN +) Tỉ số diện tích hai tam giác chung đỉnh (như hình bên) SAMN AM AN  SABC AB AC A N M 2.4.2.2.2 Xây dựng công thức tỉ số tam giác thường sử dụng B C Bằng kinh nghiệm dạy học 16 năm, với việc thường xuyên ôn thi cho đội tuyển dự thi HSG cấp tỉnh tác giả đúc rút toán sau tỉ số tam giác dựa tảng tỉ số diện tích tam giác mà tác giả đề cập đến đề tài SKKN năm 2019 – 2020 tác giả “Cho tam giác ABC Gọi M , N hai điểm thuộc cạnh AB, AC (không trùng với A) Trên cạnh BC lấy điểm D DB m  thỏa mãn DC n Gọi E giao điểm AD MN Khi ta có đẳng thức AB AC AD n m  m  n  2.1 AM AN AE sau: ” 2.4.2.3 Tính chất hình học liên quan đến tỉ số thể tích  Tỉ số thể tích khối chóp tam giác: Cho hình chóp tam giác S ABC Trên cạnh SA, SB, SC lấy điểm A� , B� , C �(khơng trùng với đỉnh S ), ta có cơng thức tỉ số thể tích sau: VS A��� SA�SB�SC � BC   2.2  VS ABC SA SB SC Từ công thức ta xây dựng công thức tỉ số thể tích cho khối chóp có đáy hình bình hành sau đây: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Một mặt phẳng khơng qua đỉnh hình chóp cắt cạnh SA, SB, SC , SD , B� , C� , D� điểm A� Đặt a SA SB SC SD ,b  ,c  ,d  SA� SB� SC � SD� , ta có cơng thức: VS A���� abcd BCD   2.3 VS ABCD 4abcd Chứng minh Ta có: ABCD hình bình hành nên: S ABCD  SABD � VS ABCD  2VS ABD Khi đó: VS A��� SA�SB�SD� 1 BD   � VS A��� VS ABD  VS ABCD BD  VS ABD SA SB SD abd abd 2abd VS B��� SB�SC �SD� 1 CD   � VS B��� VS BCD  VS ABCD CD  VS BCD SB SC SD bcd bcd 2bcd �VS A���� B C D  VS A��� B D  VS B��� CD  1  a  c  VS ABCD VS ABCD  VS ABCD   1 2abd 2bcd 2abcd Chứng minh tương tự ta có: VS A���� BCD   b  d  VS ABCD 2abcd  2 Từ  1   suy ra: a  c  b  d VS A���� BCD   b  d  VS ABCD 2abcd   b  d  VS ABCD  a  b  c  d  VS ABCD  4abcd 4abcd VS A���� abcd BCD  4abcd Vậy: VS ABCD  Tỉ số thể tích khối lăng trụ: , BB� , CC �lần lượt lấy B C Trên cạnh AA� Cho lăng trụ tam giác ABC A��� VABCMNP �AM BN CN �  �   � 2.4  � � � V AA BB CC M , N , P � � ��� ABC A B C điểm Khi ta có cơng thức: Chứng minh S BCP CP S PBN BN S �BN CP �  ;  � BCPN  �  � Ta có: S BCC�B� CC �S BCC �B� BB� S BCC �B� �BB� CC �� �BN CP � �BN CP � � VA.BCPN  �  V  VABC A��� � � �A BCC B �  � BC �BB� CC � �BB� CC � � � Hoàn toàn tương tự ta có: VP AMN  AM VABC A��� BC AA� �AM BN CP � VABCMNP VA.BCPN  VP AMN  �   VABC A��� � BC � � � AA BB CC � � Khi đó: VABCMNP �AM BN CP �  �   � � � V AA BB CC � � � ��� Hay ABC A B C (điều phải chứng minh) Hoàn tồn tương tự ta có cơng thức tỉ số cho khối hộp sau: , BB� , CC � , B C D Một mặt phẳng cắt cạnh bên AA� Cho hình hộp ABCD A���� DD� điểm M , N , P, Q Khi ta có cơng thức tỉ số sau: VABCDMNPQ �AM BN CP DQ � �AM CP � �BN DQ �  �     � � � � � � � 2.5  VABCD A���� �AA� BB� CC� DD� � �AA CC� � �BB DD� � BCD Việc chứng minh công thức  2.5  ta thực cách chia khối hộp thành hai khối lăng trụ tam giác áp dụng công thức tỉ số thể tích khối lăng trụ tam giác 2.4.2.4 Tính chất liên quan đến véc tơ uuu r2 AB  AB , A, B  r r rr r r  u v �uv �u v  r r r r r r u  v �u  v �u  v   Cho n điểm phân biệt A1 , A2 , , An số k1 , k2 , , kn thỏa mãn uur r k � i IAi  n k1  k2   kn �0 Khi tồn điểm I cho i 1  Trong không gian, bốn điểm A, B, C , D đồng phẳng với điểm uuur uuur uuur uuuu r MA  a MB  b MC  c MD M tùy ý ta ln có a  b  c 1 Trên số tính chất hình học thường sử dụng giải tốn cực trị hình học khơng gian mà tác giả đề cập đến Ngồi ta cịn bặt gặp thêm số tính chất khác q trình giải tốn 2.4.3 Phân tích, định hướng giúp học sinh phát sử dụng tính chất hình học cho tốn cực trị hình khơng gian Trong nội dung này, tác giả chọn lọc đưa số tốn cực trị hình khơng gian có sử dụng đến tính chất hình học hệ thống mục 2.4.2 Đồng thời đưa phân tích, bình luận phù hợp để hỗ trợ học sinh việc tìm lời giải cho tốn Trước hết đến với tốn sử dụng tính chất khoảng cách, độ dài hình học � Bài tốn Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi ABC  60 , SA  SB  SC  a ; góc SB mặt phẳng ( ABCD) 450 Gọi H trọng tâm tam giác ABC , P trung điểm SC M điểm thay đổi đường thẳng SH Tìm giá trị nhỏ MP  MB Phân tích:  Biểu thức MP  MB gợi ta nghĩ đến việc sử dụng tính chất  Tuy nhiên BP SH không đồng phẳng nên dấu “=” không xảy  Ta nghĩ đến việc thay điểm B điểm N thỏa mãn điều kiện: NP SH cắt điểm thuộc đoạn NP � N thuộc mặt phẳng  P, SH  MN  MB, M �SH Để thỏa mãn điều kiện ta cần phát thêm tính chất hình học khác hình chóp  Ta phát tam giác ABC đều, kết hợp với giả thiết SA  SB  SC suy H hình chiếu đỉnh S mặt phẳng  ABCD  Do đó, để MN  MB, M �SH N phải thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Từ phân tích ta có định hướng cho toán sau: Bước 1: Chứng minh SH   ABCD  Bước 2: Trong mặt phẳng đáy, gọi N điểm đối xứng với C qua H � MN  MB, M �SH Bước 3: Đánh giá MP  MB  MP  MN �PN , dấu “=” xảy M  NP �SH Bước 4: Tính độ dài đoạn thẳng PN kết luận Để tính PN ta sử dụng định lí cosin cho tam giác CPN � PN  a 10 � �  CSA �  300 ASB  BSC SA  SB  SC  a S ABC Bài tốn Cho khối chóp có , C� Mặt phẳng    qua A cắt cạnh SB, SC B� Tìm giá trị nhỏ C chu vi tam giác AB�� Để giải toán ta sử dụng phương pháp trải phẳng Vấn đề đặt làm để học sinh nhận cách giải này? Ta cần có phân tích hợp lý để lời giải toán đến với người học cách tự nhiên dễ hiểu khơng mang tính áp đặt, cho sẵn Phân tích � �� �  Bài tốn u cầu ta tìm  AB  B C  C A   Tổng có quy luật nối tiếp nên ta nghĩ đến việc sử dụng tính chất , B�� C , C� A�thuộc mặt bên hình chóp nên chưa thể  Vì đoạn thẳng AB� áp dụng tính chất Hơn việc gắn biến xây dựng mối liên hệ đoạn thẳng chưa có sở để thực  Có cách đưa tổng đoạn thẳng nằm mặt phẳng mà độ dài chúng bảo tồn hay khơng?  Ta cần cách mặt bên hình chóp nằm mặt phẳng?  Từ học sinh nghĩ đến việc trải hình chóp phẳng hình vẽ Trải phẳng Lời giải Trải hình chóp S ABC phẳng ta hình ( A�chính điểm A ban BC đầu) Khi chu vi tam giác A� P  AB�  B�� C  C� A� �AB0  B0C0  C0 A�  AA� Dấu “=” xảy �B� B0 , C � C0 10 Phân tích Bài tốn địi hỏi ta phải biến đổi nhằm làm giải đại lượng biến thiên Cụ thể, có đến véc tơ phụ thuộc M nên ta nghĩ cách biến đổi cho véc tơ phụ thuộc M Lúc ta nghĩ đến việc xen điểm I , ta có: uuur uuur uuur uuu r uu r uuu r uur uuu r uur uuu r uu r uur uur MA  MB  MC  MI  IA  MI  IB  MI  IC   MI  IA  IB  IC        uu r uur uur r IA  IB  IC  � I  2;0;1 Lúc ta chọn điểm I để  Khi đó, tốn trở thành tìm M � S  cho IM nhỏ Đến ta làm toán 2.1 Ta nâng mức khó toán lên cách dấu yếu tố “véc tơ” toán Cụ thể, xin mời bạn đọc đến với toán sau Bài toán 2.3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A  7;0; 11 , , B  5;3; 4  , C  1;2; 6  mặt cầu  S  :  x     y     z  1  Gọi M điểm thuộc mặt cầu  S  Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2 P  MA2  MB  3MC Phân tích Bài toán xuất đại lượng phụ thuộc M , ta tìm cách để đưa đại lượng phụ thuộc M Biểu thức P chứa bình phương độ dài nên ta nghĩ đến việc sử dụng véc tơ uuur uuur uuur 2 2 P  MA  MB  MC  MA  MB  3MC sau: uu r uur uur r IA Tương tự toán 2.1 ta chọn điểm I thỏa mãn  IB  3IC  � I  3;3;  3 2 2 Khi đó: P   MI  IA  IB  3IC , P nhỏ MI lớn Đến bạn đọc tự giải toán 2.1 Ba toán ý tưởng xuất phát từ vị trí tương đối điểm không gian với mặt cầu, thực chất kiến thức xây dựng tảng vị trí 31 tương đối điểm đường trịn hình học phẳng Bài tốn sau kết nối hài hịa khơng gian hình học phẳng Bài tốn 2.4 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A  4;  2;4  , B  2;6;4  , C  5;  1;6  Xét điểm M thuộc mặt phẳng  Oxy  cho � AMB  900 Tính độ dài lớn đoạn thẳng CM Phân tích �  Dữ kiện toán AMB  90 cho ta biết tập hợp điểm M mặt cầu đường kính AB  Kết hợp với giả thiết M thuộc mặt phẳng  Oxy  ta kết luận M chạy đường tròn  C  cố định  Từ ta cố gắng đưa tốn toán mặt phẳng  Oxy  Lời giải � Gọi I trung điểm AB � I  1;2;4  Vì AMB  90 nên M thuộc mặt cầu  S  tâm I , bán kính R AB 5 Mặt khác M � Oxy  � M thuộc đường tròn  C  tâm H  1;2;0  , bán kính r  (bạn đọc tự giải) 32 � 6 Gọi C �là hình chiếu C mặt phẳng  Oxy  � C  5; 1;0  CC � 2 M  36  C � M , đó: CM lớn � C � M lớn Ta có: CM  CC � C � M max  r  C � H  Vậy, CM max 10 Lại có: C � Trong tốn 2.2 tốn 2.3 ta thay mặt cầu mặt phẳng ta toán tương tự sau: Bài tốn 3.1 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A  1;1;1 , B  1;2;0  , C  3; 1;2  điểm M thuộc mặt phẳng    :2 x  y  z   Tính uuur uuur uuur P  3MA  5MB  MC giá trị nhỏ biểu thức Phân tích  Về mặt ý tưởng giải tốn giống với tốn 2.2 ta uu r uur uur r 3IA  5IB  IC  � I  23; 20; 11 tìm điểm I thỏa mãn uuu r P  MI  MI  Khi đó: nhỏ MI nhỏ � M hình chiếu I P  d  I ,      27    Khi Bài tốn 3.2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A  10; 5;8  , B  2;1; 1 , C  2;3;0  mặt phẳng  P  : x  y  z   Tìm M thuộc  P  2 cho MA  2MB  3MC đạt giá trị nhỏ Nhận xét: Việc giải toán tương tự toán 2.3, ta kết 2 MA  2MB  3MC có giá trị nhỏ 282 M  1;3; 1 Tiếp theo tóa tương tự đường thẳng Bài tốn 3.3 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  2; 2;4  , x5 y2 z B  3;3; 1 đường thẳng d :  1  1 Xét điểm M thay đổi d , 2 tìm giá trị nhỏ biểu thức P  2MA  3MB 33 Nhận xét Bài tốn giải phương pháp đại số, tức tham số hóa tọa độ điểm M �d Tuy nhiên với cách giải công cụ véc tơ toán ta dễ dàng đến kết cách nhanh chóng: Pmin 160 Các tốn tình giúp học sinh nhận tính chất hình học khoảng cách chúng Bản chất phương pháp hình học cho tốn việc sử dụng tính chất khoảng cách Khi người học vững vàng mặt định hướng , ý tưởng ta nâng lên mức khó tốn sau Bài tốn 4.1 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  y  z   mặt cầu  S  : x  y  z  x  y  z   Giả sử r uuuu r M � P  N � S  cho MN phương với véc tơ u  1;0;1 khoảng cách M N lớn Tính độ dài đoạn thảng MN Phân tích  Trước hết ta cần kiểm tra vị trí tương đối mặt phẳng  P  mặt cầu  S  : d I , P    r tâm I  1;2;1 , bán kính r 1 , ta thấy  nên  P   S  khơng có điểm chung  Giáo viên cần mơ hình vẽ (hoặc yêu cầu học sinh vẽ hình minh họa) sau: 34  Từ hình vẽ yêu cầu học sinh xác định đâu yếu tố bất biến, ta hy vọng học sinh nhận góc MN  P  không thay đổi  Từ giáo viên đặt câu hỏi: Em có quy việc đánh giá MN đánh giá đối tượng khác dễ không?  Ta hy vọng học sinh nhận việc đánh giá MN quy đánh giá khoảng cách từ N đến  P  Đến coi toán giải Lời giải d I , P    r Mặt cầu  S  có tâm I  1;2;1 , bán kính r 1 , ta thấy  nên  P   S  khơng có điểm chung � NMH   MN ,  P    450 Gọi H hình chiếu N  P  Từ giả thiết suy ra: � MN  HN � MN lớn HN lớn Mà HN max  d  I ,  P    r  � MN max  Bài tốn 4.2 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  2; 2;1 , x 1 y  z   B  1;2; 3 đường thẳng 2 1 Viết phương trình đường thẳng d qua A vng góc với đường thẳng  đồng thời cách điểm B khoảng bé : Phân tích  Từ giả thiết d qua A vng góc với đường thẳng  em rút nhận xét quạn trọng gì? Câu hỏi có lẽ chìa khóa để giải vấn đề đặt  Với câu hỏi trên, ta hy vọng học sinh nhận đường thẳng d nằm mặt phẳng  P  qua A vuông góc với   Từ ta mơ hình ảnh sau: 35  Đến ta cần so sánh khoảng cách từ B đến d so với khoảng cách từ B đến  P  coi toán giải Định hướng giải Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng  P  qua A vng góc với  nhận xét d � P  Bước 2: Xác định hình chiếu H B  P  khẳng định d  B, d  �d  B,  P    BH Bước 3: Đường thẳng d cần tìm đường thẳng qua A, H Viết phương trình đường thẳng AH kết luận Bài tốn 4.3 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  1;2;3 , B  2;3;4  mặt cầu  S  : x  y  z 100 Viết phương trình mặt phẳng  P  qua hai điểm A, B cắt mặt cầu  S  theo đường trịn có bán kính nhỏ Phân tích  Trước hết ta cần biết vị trí tương đối hai điểm A, B với mặt cầu  S  Ta nhận thấy hai điểm A, B nằm mặt cầu Do mặt phẳng  P  ln cắt mặt cầu theo đường tròn  Để người học dễ dàng việc lập luận ta cần có hình vẽ minh họa sau 36  Từ hình ảnh giáo viên đặt cho học sinh câu hỏi: Có thể quy việc đanh giá bán kính đường trịn đánh giá đối tượng khác đơn giản không? Câu hỏi gợi học sinh tái mối liên hệ bán kính đường trịn giao tuyến với khoảng cách từ tâm O mặt cầu đến mặt phẳng  P   Bài tốn trở thành: Viết phương trình mặt phẳng  P  qua hai điểm A, B cho khoảng cách từ O đến  P  lớn Kết tương tự kết ta rút toán 4.2 Nhận xét Nếu toán yêu cầu  P  cắt  S  theo đường trịn có bán kính lớn  P  mặt phẳng  OAB  5� � A� 1; 2; � �, Bài tốn 4.4 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm � � 5� B� 4;2; � � � � Tìm M thuộc mặt phẳng  Oxy  cho ABM  45 tam giác MAB có diện tích nhỏ Phân tích  Bài tốn địi hỏi người học cần có phát tính chất hình học tồn  Nhận AB //  Oxy  , khoảng cách từ điểm thuộc AB đến  Oxy  Đây phát quan trọng cho hướng toán 37  Bìa tốn u cầu diện tích tam giác MAB nhỏ yêu cầu khoảng cách từ M đến AB nhỏ  Nhận xét: d  M , AB  �d  A,  Oxy   Dấu “=” xảy M thuộc hình chiếu đường thẳng AB  Oxy   Để xác định xác vị trí điểm M ta cần khai thác yếu tố góc cho, AB   2d  A,  Oxy   kết hợp với việc phát Ta suy M hình chiếu trung điểm AB  Oxy  Từ ta có định hướng giải toán sau: Bước 1: Chứng minh AB //  Oxy  , AB  5, d  A,  Oxy    Bước 2: Đánh giá S MAB nhỏ � d  M , AB  nhỏ � d  M , AB   d  A,  Oxy   � M �A�� B � B Từ ABM  45 AB  2d  A,  Oxy   Bước 3: Xác định vị trí M A�� � M trung điểm A�� B Bài tốn 4.5 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d: x  y 1 z x 4 y 5 z 3   :   3 đường thẳng 4 Hai mặt phẳng  Q  P , vng góc với nhau, ln chứa d cắt  hai điểm M , N Tìm độ dài ngắn MN 38 Phân tích  Cũng giống với số tốn trên, ý tưởng đánh giá độ dài MN quy đánh giá dại lượng khác dễ hơn, nghĩa ta bắt gặp tính chất hình học cách rõ ràng  Để thực ý tưởng trên, người học cần có phát đặc biệt toán vấn đề không phần quan trọng cần xác định yếu tố bất biến tốn gì?  Từ giả thiết ta nhận hai đường thẳng d  vng góc với nhau, điều dẫn đến nhận xét vô quan trọng MEN vuông E  P  ,  Q  thay đổi (với E hình chiếu M d )  Lúc ta sử dụng tính chất tam giác vng để thay việc đánh giá MN thành đánh giá độ dài đường trung tuyến EK EMN Đến tính chất khoảng cách rõ Định hướng giải Bước 1: Hạ ME  d E Chứng minh d   � MEN vuông E Bước 2: Gọi K trung điểm MN � MN  EK Bước 3: Sử dụng tính chất khoảng cách: MN  EF �2d  E ,    2d  d ,   39 Bước 4: Tính d  d,  91 182 � MN  638 638 2.4.4.2 Tổ chức hoạt động dạy học vận dụng tính chất góc vào toán cực trị Oxyz Trước hết cần trang bị cho học sinh cơng thức tính góc phương pháp tọa độ không gian sau đây: r r u1.u2 r r cos  1,    cos  u1 , u2   r r u1 u2  r r n n r r cos     ,      cos  n , n   r r n n  r r u nP r r sin  ,  P    cos  u , nP   r r u  nP  Đầu tiên mở đầu toán min, mawxx góc hai mặt phẳng Bài tốn 5.1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng x 1 y  z   1 mặt phẳng  Q  : x  y  z   Lập phương trình mặt phẳng  P  chứa d tạo với  Q  góc nhỏ d: Cách giải đại số thường gặp: r 2 Giả sử nP   A; B; C  véc tơ pháp tuyến  P  � A  B  C �0 r r P   n d Vì chứa nên ta có: P ud  � A  B  C  � C  A  B r nP   1;0;1 � cos   P  ,  Q    +) Nếu B  A : ta chọn +) Nếu B �0 thì: cos   P  ,  Q    A  2B A2  AB  5B 40 �A � A � �  t  4t  B B  � �2  2t  4t  �A � A A � �  t  �B � B B) (với t  4t  f  t  max f  t   t 2t  4t  , ta Xét hàm số Hay max cos   P  ,  Q    30 A  �  P  ,  Q    nhỏ B Khi phương trình  P  là: x  y  z   Định hướng cách giải hình học: Để giải tốn phương pháp hình học giáo viên phải làm cho học sinh nhận tính chất quan trọng góc (hay nhận mối liên hệ góc đối tượng hình học) câu hỏi gợi mở phân tích, hướng dẫn sau đây:  Hãy nêu lại cách xác định góc đường thẳng mặt phẳng, góc hai mặt phẳng? Giáo viên yêu cầu học sinh vẽ hình minh họa xác định góc hình 41  Trong toán yếu tố bất biến? Câu hỏi hướng đến khẳng định góc d  Q  xác định nên không thay đổi  Khi  P  thay đổi, em có so sánh góc   P  , Q  không? Ta hy vọng học sinh nhận tính chất:  Với tính chất trên, vị trí  P  để góc với góc  d , Q    P  ,  Q   � d ,  Q     P  , Q  nhỏ ứng với trường r r r r r r � � � u  u , n � n  u  d Q P � � � , nQ � � hợp giao tuyến  vng góc với d Khi Nhận xét Việc sử dụng tính chất hình học làm cho lời giải gọn gàng so với lời giải cách đại số cồng kềnh Trong toán 5.1 ta thay mặt phẳng  Q  đường thẳng d �thì ta có tốn sau Bài tốn 5.2 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng x 1 y  z x  y 1 z   d� :   1 1 Lập phương trình mặt phẳng  P  chứa d tạo với d �một góc lớn d: Phân tích hình học  Yếu tố cố định góc tốn gì? Câu hỏi hướng học sinh nghĩ đến góc hai đường thẳng d d �  Em có đưa so sánh góc d d �với góc  P  d � hay không? Câu hỏi hướng học sinh vẽ hình xác định góc d d �trên hình Tức ta cần tạo mặt phẳng  Q  chứa d song song với d � hình vẽ 42  Từ điểm A  Q  ta vẽ đường thẳng song song với d �cắt d M AMH góc d �và  P  , Dựng AH   P  , AK  d ta thấy � � AMK góc d �và d  Vì AM khơng đổi nên việc so sánh góc quy so sánh hai đoạn thẳng HM 2 2 KM Dễ dàng có HM  AM  AH �KM  AM  AK Do cos  d � ,  P   � cos  d � ,d  ,d   d� , P    d� Dấu “=” xảy H �K Khi đó, mặt phẳng  P  chứa d vng góc với  Q  Đến toán xem giải Nhận xét  Cách giải bàng hình học địi hỏi tư cao đổi lại lời giải ngắn gọn làm rõ chất hình học tốn Ở này, người học giải cách đại số toán 5.1  Ngoài với việc giải phương pháp hình học giúp người học linh hoạt tình khó Đồng thời vận dụng cách tương tự cho toán cực trị hình học khơng gian cổ điển Phần Kết luận 3.1 Quá trình nghiên cứu thân 43 Đề tài kết việc tích lũy q trình giảng dạy mơn tốn thân trường THPT mang lại số hiệu định thành tích HSG cấp tỉnh năm học 2017 – 2018 năm học 2018 – 2019 có học sinh đạt giải ba bảng A (đối tượng học sinh trường miền núi) 3.2 Ý nghĩa đề tài - Đề tài hệ thống số tính chất hình học thường sử dụng để giải tốn cực trị hình học khơng gian cực trị Oxyz làm rõ chất hình học cho tốn cực trị Trong đề tài tác giả đưa số toán minh họa, nhiên việc giải tốn giúp học sinh giáo viên có cách nhìn nhận vấn đề tương tự gặp tốn cực trị hình học khác - Đề tài làm rõ số dạng tập cực trị hình học có sử dụng đến tính chất hình học để giải quyết, đề tài đưa định hướng dạy học áp dụng vào dạng toán cực trị Oxyz - Đề tài nguồn tài liệu học tập quý giúp học sinh giỏi tự học tốt dạng tốn cực trị hình học khơng gian hình học tọa độ Oxyz Đồng thời đề tài giúp giáo viên có hướng dạy học hiệu chủ đề cực trị không gian 2.3 Kiến nghị, đề xuất - Đề tài mang tính chất minh họa cho cách triển khai dạy học chủ đề cực trị hình học khơng gian hình học tọa độ Oxyz nên trình giảng dạy, học tập độc giả cần bổ sung thêm nguồn tập phong phú - Việc sử dụng tính chất hình học khơng đơn áp dụng cho tốn cực trị hình học mà cịn áp dụng cho dạng tập khác hình học khơng gian hình học tọa độ Oxyz Do vậy, tác giả mong muốn độc giả tiếp tục nghiên cứu để làm phong phú tài liệu học tập giảng dạy - Đối với mơn hình học khơng gian cịn nhiều nội dung cần tiếp tục nghiên cứu làm sáng tỏ Thông qua đề tài này, tác giả mong muốn độc giả tiếp tục nghiên cứu để mơn hình học khơng gian hình học giải tích Oxyz khơng cịn nỗi lo người học người dạy - Vì thời gian để hồn thành đề tài có hạn nên khơng tránh khỏi khiếm khuyết, thiếu sót Rất mong nhận đóng góp ý kiến từ đồng nghiệp, học sinh để đề tài hoàn thiện 44 Nghệ An, ngày 10/03/2021 45 ... chất hình học khơng gian vào tốn cực trị Oxyz 2.4.4.1 Tổ chức hoạt động dạy học vận dụng tính chất khoảng cách vào tốn cực trị Oxyz Trước hết cho học sinh khởi động toán sau: Bài toán 1.1 Cho. .. Đề tài hệ thống số tính chất hình học thường sử dụng để giải tốn cực trị hình học không gian cực trị Oxyz làm rõ chất hình học cho tốn cực trị Trong đề tài tác giả đưa số toán minh họa, nhiên... giảng dạy, học tập độc giả cần bổ sung thêm nguồn tập phong phú - Việc sử dụng tính chất hình học khơng đơn áp dụng cho tốn cực trị hình học mà cịn áp dụng cho dạng tập khác hình học khơng gian hình