Nâng cao tính chủ động và hiệu quả giải toán hình học không gian dành cho học sinh lớp 12 thông qua các môn hình hình chóp thường gặp

Mục lục 1.1 Lý chọn đề tài .2 1.2 Mục đích nghiên cứu .2 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp thực để giải vấn đề 2.3.1 Trang bị cho học sinh kỹ tự đặt câu hỏi tự trả lời câu hỏi Có hai câu hỏi lớn với toán 2.3.2 Trang bị lại cho học sinh kiến thức nhất, cần thiết quan hệ vng góc, cụ thể như: 2.3.3 Trang bị cho học sinh kiến thức tính thể tích, tính góc, khoảng cách, cách thức xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp; quy tắc việc vẽ hình, hình chóp đặc biệt kỹ vẽ hình đó; kiến thức phép chiếu vng góc… trường hợp nhìn thấy mơ hình quen thuộc 2.3.4 Khai thác sâu cách xác định góc khoảng cách, xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Cách khai thác yếu tố chân đường cao khiến toán nâng cao trở nên quen thuộc nhẹ nhàng .6 2.3.5 Khai thác mơ hình hình chóp cụ thể ví dụ minh họa tốn xoay quanh mơ hình, hướng mở rộng sang hình lăng trụ 12 2.3.6 Vận dụng mơ hình giải nhanh tập trắc nghiệm 18 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 19 Kết luận, kiến nghị .20 3.1 Kết luận 20 3.2 Kiến nghị 20 Tài liệu tham khảo 22 1 Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Sau nhiều năm giảng dạy phần hình học khơng gian cho học sinh lớp 11 lớp 12 nhận thấy thực tế phổ biến hầu hết em khơng tự tin giải tốt toán phần Vấn đề trở nên khó khăn chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm Tuy nhiên khác, giáo viên nắm cốt lõi kiến thức phương pháp, lại có nhiều kinh nghiệm hẳn rõ hình học khơng gian khơng khơng khó mà cịn thú vị Vậy với nhiều học sinh hình học khơng gian lại môn học đáng sợ? Làm để học sinh giải tốt tập trắc nghiệm phần hình học khơng gian với khoảng thời gian làm ỏi? Làm để học sinh có hứng thú yêu thích hình học khơng gian? Để trả lời câu hỏi cần thấy vấn đề nằm đâu cách khắc phục? Đây câu hỏi khó mà tơi nhiều đồng nghiệp gặp phải Vì chuyên đề lớn, quan trọng chương trình tốn phổ thơng nên có khơng đề tài nghiên cứu có chất lượng cao, song việc áp dụng nơi, đối tượng học sinh gặp nhiều khó khăn phụ thuộc nhiều vào cách thức bắt đầu tiếp cận vấn đề, việc khai thác kiến thức tảng Sau trăn trở trình tìm lời giải nhận số điểm mấu chốt vấn đề, là: tính quen thuộc dẫn đến tự tin để có tính quen thuộc cần mơ hình có sẵn Để có điều trước hết em cần nắm vững điểm mấu chốt nhiều tốn hình khơng gian việc xác định phương chiếu vng góc lên mặt đáy (hay xác định chân đường cao hình chóp); cách mà ta quy toán làm việc với chân đường cao việc tính góc khoảng cách đối tượng, linh hoạt xác định tính tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, mật thiết tốn hình lăng trụ hình chóp Từ lí tơi mạnh dạn đưa sáng kinh nghiệm: “Nâng cao tính chủ động hiệu giải tốn hình học khơng gian dành cho học sinh lớp 12 thơng qua mơ hình hình chóp thường gặp” 1.2 Mục đích nghiên cứu Đề tài hướng đến việc làm để nâng cao tính chủ động, tự tin học sinh lớp 12 giải tốn hình học không gian, truyền thụ để học sinh nắm vững mơ hình hình chóp thường gặp Tiếp đến nâng cao khả sử dụng kiến thức cốt lõi mơ hình để giải nhanh, nhiều tốn trọng tâm hình học khơng gian tính thể tích, góc, khoảng cách, tìm tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp lăng trụ Cuối làm cho học sinh thấy mật thiết tốn hình lăng trụ hình chóp 1.3 Đối tượng nghiên cứu Phân dạng mơ hình hình chóp thường gặp thơng qua cụm từ khóa Khai thác khía cạnh: cách xác định chân đường cao khai thác cho tốn tính thể tích, góc, khoảng cách, tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp Chỉ lăng trụ tương ứng với số mơ hình hình chóp cách làm việc với Học sinh lớp 11 12 mà trực tiếp giảng dạy, có lớp 12 12C1 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng phương pháp sưu tầm, phân tích tài liệu, đề thi thử THPT - Nghiên cứu cấu trúc nội dung chương trình Tốn 11, 12 phần hình học khơng gian) - Gặp gỡ, trao đổi, tiếp thu ý kiến đồng nghiệp để tham khảo ý kiến làm sở cho việc nghiên cứu đề tài - Thông qua thực tế dạy học lớp, giao tập, củng cố học, hướng dẫn học sinh chuẩn bị kết hợp với kiểm tra, đánh giá -Điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Sử dụng phiếu điều tra để tìm hiểu nguyên nhân việc học yếu ngại học hình học khơng gian Từ đề giải pháp phù hợp để nâng chất lượng học tập cho học sinh -Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Sử dụng phương pháp thống kê để xử lý số liệu, so sánh kết thu thập trước sau tác động Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm - Xác định tốt mơ hình giúp học sinh xác định điểm mấu chốt hầu hết tốn hình học khơng gian là: xác định đường cao, xác định phương chiếu phép chiếu vng góc lên mặt phẳng đáy, từ giải tốt b tốn tính góc, khoảng cách, thể tích, trục đường trịn ngoại tiếp đáy, tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp… - Giải tốt tốn hình chóp, học sinh giải tốt tốn hình lăng trụ cách quy giải với hình chóp 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm - Thực trạng chung: Hầu hết học sinh có cảm giác sợ hình ngại học hình, hình học khơng gian Việc tính tốn với hình phẳng khó, với hình khơng gian cịn khó Và ngại khó mà giáo viên học sinh có hứng thú tương tác với - Thực trạng giáo viên: Mặc dù giáo viên có kiến thức tốt phần hình khơng gian việc truyền cảm hứng đến học sinh thường gặp khó khăn Đây lại phần kiến thức xuyên suốt hai năm học lớp 11 lớp 12 nên muốn ôn tập lại thường băn khoăn nên đâu - Thực trạng học sinh: Hầu hết học sinh chưa có tâm tốt, chưa nắm cốt lõi tốn hình học khơng gian, em thường hoang mang từ giây phút đọc đề, giả thiết mấu chốt để vẽ hình, vẽ cho thuận lợi (như thầy sách hướng dẫn vẽ), đặc biệt làm trắc nghiệm với khoảng thời gian ỏi 2.3 Các giải pháp thực để giải vấn đề 2.3.1 Trang bị cho học sinh kỹ tự đặt câu hỏi tự trả lời câu hỏi Có hai câu hỏi lớn với tốn Câu hỏi 1: Đây có phải mơ hình quen thuộc khơng? Từ khóa để xác định mơ hình gì? Trình tự vẽ nào? (Trong đề thi có đến 70% tốn cần sau câu hỏi học sinh tự tin vẽ tốt hình có tính chất quan trọng hình giải câu hỏi mức nhận biết thông hiểu) Ta hướng dẫn học sinh sau: Phải nhớ khai thác cụm từ khóa (từ in đậm đây) mơ hình: *Đối với hình chóp: Mơ hình 1: Hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy cạnh bên đường cao hình chóp Mơ hình 2: Hình chóp có cạnh bên (ít ba cạnh bên) cạnh bên tạo với đáy góc chân đường cao tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác (đa giác) đáy tương ứng Mơ hình 3: Hình chóp có mặt bên tạo với đáy góc chân đường cao tâm đường trịn nội tiếp đa giác đáy (trường hợp tâm đường tròn bàng tiếp gặp thuộc chương trình giảm tải) Từ mơ hình suy trường hợp hình chóp có hai mặt bên liên tiếp tạo với đáy góc hình chiếu đỉnh S nằm đường phân giác góc tạo hai giao tuyến hai mặt với đáy Mơ hình 4: Hình chóp có mặt bên (hoặc mặt chứa đỉnh S) vng góc với đáy chân đường cao nằm giao tuyến mặt phẳng với mặt đáy (là hình chiếu đỉnh lên giao tuyến đó) Mơ hình 5: Hình chóp có hai mặt bên (hoặc hai mặt chứa đỉnh S) vng góc với đáy đường cao giao tuyến hai mặt phẳng (đây xem mơ hình 1) Mơ hình 6: Hình chóp chứa hai tam giác cân có chung cạnh đáy mặt phẳng trung trực cạnh chung vng góc với đáy nên mơ hình lại chuyển mơ hình Mơ hình 7: Hình chóp cho tam giác vng liên tiếp chung cạnh huyền, chứa đỉnh S dựng hình chiếu H định lý ba đường vng góc Mơ hình 8: Hình chóp cho yếu tố độ dài góc: Sử dụng hệ thức lượng tính chất đặc biệt để suy quan hệ vng góc mơ hình xét *Đối với hình lăng trụ: Trừ lăng trụ đặc biệt hình lập phương, hình hộp chữ nhật, với hầu hết lăng trụ ta “lờ đi” đỉnh khơng cần thiết (ở đáy trên) để nhìn với tư cách hình chóp, từ mà sử dụng mơ hình hình chóp khiến việc giải với lăng trụ trở nên quen thuộc Chú ý việc chọn đáy đỉnh đáy cịn lại (đỉnh đóng vai trị đỉnh S) cách bố trí vị trí đỉnh quan trọng Câu hỏi 2: Bài toán yêu cầu giải vấn đề gì? Vấn đề giải mơ hình mà ta xét? Giáo viên hướng dẫn cho học sinh ba tốn chính, quan trọng hướng dẫn để học sinh cần biết cách xử lí ba tốn thường gặp Bài tốn 1: Tính thể tích - Tính thể tích khối chóp lăng trụ ban đầu Đây tốn đơn giản ta xác định đường cao nhờ mơ hình - Biết sử dụng tỉ số thể tích phân chia lắp ghép khối đa diện để tính Bài tốn 2: Tính góc, khoảng cách Học sinh cần nhận dạng phân loại tốt thể loại góc khoảng cách cần tính Ở thuật ngữ cạnh bên mặt bên hiểu theo nghĩa mở rộng chứa đỉnh S, đối tượng lại thuộc mặt đáy - Góc cạnh bên đáy, góc cạnh bên mặt bên - Góc mặt bên đáy, góc hai mặt bên, góc mặt (P) mặt phẳng chiếu tính diện tích chiếu - Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, đường thẳng mặt phẳng song song, hai đường thẳng chéo hầu hết chuyển khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng lại chuyển khoảng cách từ chân đường vng góc H đến mặt bên Bài tốn 3: Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp (và lăng trụ) Đối với mơ hình xét nên sử dụng phương pháp để tìm tâm (hoặc bán kính) mặt cầu ngoại tiếp Các phương pháp tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp thường dùng là: + Sử dụng trục đường tròn đáy mặt trung trực cạnh bên (trở thành đường trung trực cạnh bên cạnh bên đồng phẳng với trục) để tìm tâm mặt cầu Áp dụng cho mơ hình + Sử dụng trục đường tròn đáy trục đường trịn mặt bên Áp dụng cho mơ hình + Sử dụng trục đường tròn đáy mặt trung trực cạnh bên khơng cần dựng xác tâm mà dựa vào cách gọi biến để tìm bán kính Áp dụng cho mơ hình cịn lại + Ngồi sử dụng phương pháp tìm điểm cách tính chất tam giác vuông, phương pháp đưa tứ diện vào hình hộp Điều thường áp dụng cho mơ hình hình chóp đặc biệt cần tính nhẩm, tính nhanh 2.3.2 Trang bị lại cho học sinh kiến thức nhất, cần thiết quan hệ vng góc, cụ thể như: • Hai đường thẳng vng góc, đường thẳng vng góc với mặt phẳng, định lí ba đường vng góc, hai mặt phẳng vng góc • Các tính chất tam giác vng, tam giác đều, hình vng, hình thoi… • Tính chất điểm cách đều, mặt phẳng trung trực đoạn thẳng, trục đường tròn ngoại tiếp đa giác… 2.3.3 Trang bị cho học sinh kiến thức tính thể tích, tính góc, khoảng cách, cách thức xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp; quy tắc việc vẽ hình, hình chóp đặc biệt kỹ vẽ hình đó; kiến thức phép chiếu vng góc… trường hợp nhìn thấy mơ hình quen thuộc Ví dụ như: - Hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, tứ diện đều, hình chóp đều, hình lăng trụ nguyên tắc vẽ đáy, cách xác định chân đường cao, cách bố trí điểm cho góc nhìn thuận lợi “quen mắt” - Hình chóp tính chất, tính chất có từ đâu? Có thể suy mơ hình khác từ đó? - Tính góc: Trường hợp quen thuộc ta góc tính, trường hợp khác ta linh hoạt chuyển toán dễ dàng dùng khoảng cách chẳng hạn - Tính khoảng cách: Có thể kết luận hầu hết trường hợp ta chuyển khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng chuyển tính khoảng cách từ chân đường vng góc việc so sánh khoảng cách - Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: Tùy theo mơ hình hình chóp mà ta lựa chọn việc xác định tâm tính bán kính hợp lý, không cứng nhắc 2.3.4 Khai thác sâu cách xác định góc khoảng cách, xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Cách khai thác yếu tố chân đường cao khiến toán nâng cao trở nên quen thuộc nhẹ nhàng * Đối với việc tính góc khoảng cách: Do tính xuyên suốt đề tài khai thác tính chất chân đường cao nên trước hết giáo viên hướng dẫn học sinh làm việc với trường hợp đơn giản quan trọng SH đường cao hình chóp, từ mà khai thác với nhiều tốn đa dạng 2.3.4.1 Góc đường thẳng mặt phẳng: a) Góc đường xiên (cạnh bên) mặt đáy: Sử dụng định nghĩa: Góc đường thẳng a mặt phẳng (P) góc a hình chiếu a’ a (P) [1] Do biết SH phương chiếu nên dễ xác định góc hình vẽ b) Góc đường xiên SM (hoặc cạnh bên) mặt bên: Có hai cách thường sử dụng việc tìm hình chiếu đường thẳng lên mặt phẳng gặp khó khăn: Cách 1: Thơng qua việc tính khoảng cách + Tính SM + Tính d(M;(P)); Việc thực thơng qua việc tính d(H;(P)) so sánh khoảng cách d (M;(P)) sin α = + Sử dụng công thức: MS Cách làm áp dụng giao điểm đường thẳng mặt phẳng xác định dễ dàng Cách 2: Thơng qua tính góc hai đường thẳng - Trước hết tìm đường thẳng a vng góc với mặt phẳng (P) - Khi góc đường thẳng d mp(P) phụ với góc d a - Tính cos(d;a) Ta có: sin(d;(P)) = cos(d;a) 2.3.4.2 Góc hai mặt phẳng: Về phương pháp xác định góc ta thường sử dụng phương pháp sau: Sử dụng định nghĩa: Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng [2] Góc hai mặt phẳng trường hợp cụ thể thường gặp a) Góc mặt bên (SPQ) đáy: + Từ chân đường vng góc H kẻ HM vng góc với PQ (khi mặt phẳng (SHM) vng góc với PQ) Đây kết có nhờ SH vng góc với đáy + Góc (SPQ) đáy góc SMH b) Góc hai mặt bên: Cách 1: Sử dụng định lí ba đường vng góc: + Trong mặt đáy tìm dựng đường thẳng vng góc với hình chiếu a’ a mặt phẳng đáy (trong hình vẽ IJ) + Kẻ JK vng góc với a Ta (IJK) vng góc với a (đây bước khó tốn xác định góc hai mặt phẳng) Từ dễ dàng xác định góc hai mặt phẳng Cách 2: Sử dụng mối quan hệ góc khoảng cách: - Chọn mặt đóng vai trị đáy, ví dụ mặt phẳng (SBC) Gọi H hình chiếu A mặt phẳng Từ H kẻ HM vng góc với BS ta góc hai mặt phẳng (SAB) (SBC) góc α d (A;(SBC)) sin α = Và vai trị hai mặt phẳng ta có: d ( A; SB ) d (C;(SAB)) sin α = d (C; SB ) Chú ý: Việc tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) thuận lợi (SBC) mặt bên, việc tính khoảng cách từ A lại chuyển tính khoảng cách từ chân đường cao hình chóp đến mặt bên S' Cách 3: Sử dụng cơng thức diện tích chiếu: cos α = Cách làm thực S xác định giao tuyến hai mặt phẳng gặp khó khăn 2.3.4.3 Khoảng cách a) Trước hết phải thành thạo việc tính khoảng cách từ chân đường cao H đến mặt bên (SPQ) + Từ chân đường cao H kẻ HM vng góc với giao tuyến a Khi mặt phẳng (SHM) vng góc với a (a giao tuyến (SPQ) đáy) + Kẻ HK vng góc với SM + d(H; (SPQ)) = HK [3] b) Biết so sánh khoảng cách hai điểm đến mặt phẳng So sánh khoảng cách điểm M với điểm đặc biệt chân đường cao H TH1: HM cắt (P) I : TH2: MM //(P) d(M;(P)) = d(H;(P)) d ( M ;(P)) MI = Ta có: d (H;(P)) HI c) Nắm chất toán khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, khoảng cách hai mặt phẳng song song; đưa khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Sau quy loại khoảng cách khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng lại quy khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên d) Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: - Hai đường thẳng chéo vng góc với (kiểm tra định lí ba đường vng góc, việc kiểm tra tất nhiên phải dựa vào việc xác định phương chiếu nhờ mô hình) + Tìm mặt phẳng (P) chứa a vng góc với b + Từ giao điểm J b (P), kẻ JI vng góc với a, ta có IJ đoạn vng góc chung - Hai đường thẳng chéo khơng vng góc với (phổ biến loại này): + Trong hai đường thẳng ký hiệu a đường có phương xiên, b đường thuộc mặt đáy (phổ biến loại này) + Dựng mặt phẳng chứa a song song với b Thông thường từ giao điểm P a đáy kẻ PQ song song với a Nên kẻ tạo hình bình hành để tính tốn thuận lợi dễ định hình + Khi d(a;b) = d(b; (P)) = d(M;(P)) lại so sánh d(M;(P)) với d(H;(P)) * Đối với việc xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp: Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp: tùy theo mơ hình ta có cách tìm hợp lí (trong trường hợp ta kí hiệu J R1 tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp đáy) Có thể nói việc xác định mơ hình hình chóp định đến việc lựa chọn phương pháp định tính thành cơng việc giải tốn Sau phương pháp giải chính, vắn tắt cho mơ hình (do phạm vi nghiên cứu đề tài hạn chế) Mơ hình 1: SA vng góc với đáy a) Đáy hình chữ nhật, tam giác vng B tâm I trung điểm cạnh huyền chung SC tam giác vng (phương pháp tìm điểm cách đều) Sử dụng định nghĩa tâm mặt cầu ngoại tiếp đa diện điểm không gian cách đỉnh đa diện [4] b) Đáy đa giác tuỳ ý mặt cầu qua S,A + Dựng trục đường tròn ngoại tiếp đáy (đi qua J song song với SA) + Dựng trung trực SA mặt phẳng chứa SA trục; giao điểm chúng SA2 tâm mặt cầu I Từ dễ thấy R = R1 + 2 c) Đáy đa giác tuỳ ý mặt cầu không qua SA (xem mơ hình 3, 5, 6, 7) Mơ hình 2: Hình chóp có cạnh bên 10 2.3.5 Khai thác mơ hình hình chóp cụ thể ví dụ minh họa tốn xoay quanh mơ hình, hướng mở rộng sang hình lăng trụ Ở mơ hình giáo viên hướng dẫn cho học sinh suy luận về: - Cách vẽ hình, cách vẽ hình tinh giản làm bật điểm cốt lõi mơ hình - Cách xác định thể tích, góc, khoảng cách - Cách khai thác kiến thức chân đường vng góc tốn nâng cao Giáo viên trang bị hướng dẫn để học sinh tự trả lời câu hỏi như: tính khoảng cách chuyển tính khoảng cách từ chân đường cao nào? Cách tính? + Tính góc: Việc tính góc có quen thuộc hay khơng? Tìm góc nào? Nếu khơng quen thuộc có quy quen thuộc khơng? + Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: Với mơ hình nên xác định tâm tính bán kính theo phương pháp cho thuận lợi? +Bài tốn mở rộng sang hình lăng trụ: Mối liên hệ mật thiết phương pháp giải tốn hình chóp lăng trụ? + Những mơ hình lăng trụ tương tự hình chóp, cách giải Mơ hình 1: SA vng góc với mặt phẳng đáy (tương ứng lăng trụ đứng) Nhận xét: Nên trình bày mơ hình trước tiên kĩ phổ biến, dễ làm, từ tạo cho học sinh tâm tự tin Hơn giải tốt tốn góc, khoảng cách, tâm mặt cầu ngoại tiếp với mơ hình học sinh thấy quen thuộc mơ hình khác Ví dụ mẫu: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng cạnh a, SA ⊥ ( ABCD) , SA=2a, M trung điểm BC a) Tính d ( A,( SBC )) , d(D;(SBC)) b) Tính d ( A,( SBD)) , d(M;(SBD)) tính góc SM (SBD) c) Tính góc hai mặt phẳng (SBD) (SAB) d)Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD e) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp hình chóp A.KHBO với K, H hình chiếu A lên SB, SO [5] Hướng dẫn giải: a) Ta có AB ⊥ BC Kẻ AH ⊥ SB AH ⊥ ( SBC ) hay d ( A,( SBC )) = AH + Xét tam giác vuông SAB có: 1 2a = + = ⇒ AH = AH AB SA2 4a 2a Vậy, d ( A,( SBC )) = + Vì AD song song với BC nên d(D;(SBC)) = d(A;(SBC)) b) Gọi O = AC ∩ BD Kẻ AK ⊥ SB (K ∈ SO) Ta có: AK ⊥ ( SBD ) hay d ( A,( SBD )) = AK 1 2a 2a = + = ⇒ AK = d ( A ,( SBD )) = + Vậy AK AO SA2 4a 3 12 + d ( M ;( SBD )) a = nên d(M;(SBD)) = d ( A;( SBD )) a d ( M ;( SBD )) = = + Góc SM (SBD) α ta có:sin α = MS 19 19 a c) Góc (SAB) (SBD) β (Giao tuyến hai mặt phẳng SB) a d (A;( SBD)) 2d (M ;(SBD )) = = = Ta có: sinβ = a d ( A; SB ) AH d) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD: Câu bản, sử dụng cách tìm tâm mặt cầu việc tìm điểm cách đỉnh trung điểm I cạnh huyền chung SC ba tam giác vuông đỉnh A (Phương pháp SC a tìm điểm cách đều) Ta có: R = = 2 e) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp AKHBO: Từ mơ hình SA vng góc với đáy suy mơ hình mặt bên vng góc với mặt phẳng đáy (suy luận thuận lợi tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp) Cách 1: Trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH trung trực AB (ABCD) Trục đường tròn ngoại tiếp tam giác AOK trung trực AO (ABCD) Từ suy tâm mặt cầu ngoại tiếp cần tìm tâm đường tròn ngoại AB a = tiếp tam giác ABO Dễ thấy R = 2 Cách 2: Phương pháp tìm điểm cách đều: Các tam giác vuông: AHB, AKB, AOB có cạnh huyền chung AB nên tâm mặt cầu trung điểm I AB Mơ hình 2: Hình chóp có cạnh bên (hoặc cạnh bên nghiêng đáy) mà trường hợp đặc biệt hình chóp (tương ứng lăng trụ xiên) Nhận xét: Nên bắt đầu mơ hình với hình chóp sách giáo khoa trang bị kiến thức phần khoa học học sinh làm tốt phần Tuy nhiên nên nhấn mạnh tính chất số liệu riêng có hình chóp 13 Ví dụ mẫu: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB = a, SA = a Gọi M, N, P trung điểm cạnh SA, SB, CD a)Tính khoảng cách từ P đến mặt phẳng (AMN) b)Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD [6] Hướng dẫn: Trước hết từ mơ hình xét ta có SO vng góc với đáy a) Thông tin mp (AMN) điểm P chủ yếu gây nhiễu mặt phẳng (AMN) mặt phẳng (SAB), : a 14 d (P,(AMN)) = d ( P;(SAB)) = 2d(O;(SAB)) = b) Nên vẽ hình tinh giản Trục đường trịn ngoại tiếp đáy SO, SO đồng phẳng với SA nên vẽ trung trực SA (trong mặt (SAO)) cắt SO I I tâm mặt cầu SA SA R= =a SO Nhận xét: không nắm vững mơ hình dẫn đến việc cố gắng xác định đoạn vng góc theo định nghĩa học sinh hoang mang giải toán Mở rộng mơ hình sang hình lăng trụ: Ví dụ mẫu: Cho lăng trụ ABCD A′B′C ′D′ có ABCD hình thoi Các đường thẳng A 'B; A'D; A'A tạo với mặt phẳng đáy góc Tính thể tích khối lăng trụ ABCA ' B ' C ' tính khoảng cách BC A’D biết AB = a , AA’= a, ·ABC = 1200 [7] Hướng dẫn: Từ mơ hình 2, gọi H trọng tâm tam giác ABD ta có H tâm đường tròn ngoại tiếp tam B' giác ABD A ' D' +) ∆A ' AH C' vuông a H a aC2 = 2S ABD = = ; ⇒ A ' H A= AA '2 − AH = S ABCD D H B a3 VABC A ' B ' C ' = A ' H S ABCD = 2 14 +)Tính khoảng cách: d(BC;A’D)) = d(BC,(AA’D’D)) = d(C;(A’AD)) = d(H;(A’AD)) = HK Nhận xét: -Ta quan niệm điểm A’ điểm S - Mặt phẳng (AA’D’D) mặt phẳng (A’AD ) - Không cần quan tâm đến điểm lại đáy giúp ta làm việc hồn tồn với hình chóp mơ hình Mơ hình 3: Hình chóp có mặt bên nghiêng đáy Nhận xét: Việc xác định tâm đường tròn nội tiếp nhiều gặp khó khăn (và thường khơng cần thiết), học sinh cần bình tĩnh dùng hệ thức lượng tam giác thường để tính bán kính r Ví dụ mẫu: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, cạnh a, · góc BAD = 600 , mặt bên tạo với đáy góc SO = a a) Tính thể tích khối chóp b) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC) c) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC) [8] Hướng dẫn giải: Trước hết ta có O tâm đường tròn nội tiếp đáy, mặt bên nghiêng đáy nên SO vng góc với mặt phẳng đáy a) Học sinh tự giải (chắc chắn học sinh giải xác định đường cao) S a b) ⇒ d ( O, ( SBC ) ) = OH ; d ( O, ( SBC ) ) = OH = F c) Ta có AD // BC nên AD // (SBC) H A D B ⇒ d ( AD, ( SBC ) ) = d ( E , ( SBC ) ) = 2d (O;(SBC)) = a K E O B D C Lưu ý: Có thể học sinh tự dựng khoảng cách EF (như hình vẽ), điều thật khơng cần thiết làm chậm q trình tính tốn làm 15 tính linh hoạt tính khoảng cách giáo viên cần nhắc nhở học sinh điều Mô hình 4: Hình chóp có mặt bên vng góc với đáy Ví dụ mẫu: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Biết SC = · SB = 2a SBC = 300 a) Tính thể tích khối chóp S.ABC b) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) c) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC [ 9] Nhận xét: H Với mơ hình cần dựa vào tính chất mặt bên để xác định xác vị trí điểm giao tuyến (tỉ lệ đoạn thẳng sau tính độ dài) Hướng dẫn giải: - Theo mơ hình ta có hình chiếu S trung điểm H BC Việc tính thể tích từ mà trở nên đơn giản - Khoảng cách: d ( B, ( SAC ) ) = 2d ( H, ( SAC ) ) = HK - Bán kính mặt cầu: Sử dụng cách dựng tâm I mơ hình này: I giao điểm hai trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SCB ABC dẫn đến công thức tính nhanh bán kính R = R12 + R2 − BC 27 = a Với R , R1 , R2 bán kính mặt cầu ngoại tiếp 4 hình chóp S.ABC, bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC tam giác SBC Mơ hình 5: Quy mơ hình Ví dụ mẫu: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm AB; mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 60o a) Tính thể tích khối chóp S.BCNM b) Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a [10] Hướng dẫn giải: 16 a) Tính thể tích khối chóp S.BCMN: + Tính thể tích khối chóp S.ABC VSAMN SA.SM SN = = ⇒ VSBCMN = VSABC + So sánh thể tích: VSABC SA.SB.SC 4 b) Kẻ NP // AB (SN đường xiên, AB nằm mặt phẳng đáy) Ta có: d(AB;SN) = d(AM;(SNP)) = d(A;(SNP)) = AH Đây mơ hình quen thuộc SA vng góc với đáy Đây tập để học sinh tự luyện Chú ý việc xác định góc hai mặt phẳng, tỷ số thể tích chuyển khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SNP) với NP // AB Mơ hình 6: Hình chóp chứa hai tam giác cân có chung cạnh đáy: Hướng dẫn học sinh khai thác tính chất hai tam giác cân dẫn đến kết luận quan trọng mặt phẳng chứa hai trung tuyến (hai đường cao) hai tam giác cân vng góc với đáy, mơ hình em biết Ví dụ mẫu: Cho hình chóp SABC có SA = SB = AB = BC = a , AB = 2a, khoảng cách AB SC a a) Tính thể tích khối chóp SABC b) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng SAB [11] Hướng dẫn giải: Gọi M trung điểm AB, ta có SM CM vng góc với AB nên AB vng góc với (SMC) Do mặt phẳng (SMC) vng góc với mặt phẳng 17 (ABC) Gọi N trung điểm SC MN đoạn vng góc chung SC AB Kẻ SH vng góc với MC ta có SH đường cao hình chóp Từ số liệu ta có a tam giác SMC tam giác cạnh a, SH = MN = a3 a 2.a = 2 a b) d(C;(SAB )) = 2d(H;(SAB)) =2 HK = Mơ hình 7: Dựng hình chiếu H S mặt đáy định lý ba đường vng góc Ví dụ mẫu: Cho hình chóp SABC có tam giác SAC vuông C, tam giác SAB vuông B, tam giác ABC vng cân có AB = AC = a, góc SA (ABC) 45 Tính thể tích khối chóp SABC tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) [11] Nhận xét: Đây toán xa lạ học sinh chưa nắm mơ hình Nếu mị mẫm để cố giải thân việc xác định góc SA (ABC) khó khăn, chưa nói đến việc tính khoảng cách 3 a) VSABC = SH S ABC = a Hướng dẫn giải: Giả sử dựng H hình chiếu S mặt phẳng đáy Ta có: SC đường xiên, HC hình chiếu, AC nằm mặt phẳng chiếu AC vng góc với SC nên AC vng góc với HC Tương tự ta có AB vng góc với HB Mà tam giác ABC vuông cân A nên H đỉnh thứ tư hình vng ABHC (như hình vẽ) ta có tốn ví dụ mẫu mơ hình Tính thể tích (học sinh tự giải) Tính khoảng cách: d(A;(SBC)) = d(H,(SBC)) 2.3.6 Vận dụng mơ hình giải nhanh tập trắc nghiệm Với toán giáo viên yêu cầu học sinh xác định từ khóa, mơ hình, hướng giải lớp Lời giải chi tiết phương pháp giải nhanh để học sinh tự luyện nhà Giáo viên tổng kết đánh giá lại học lớp Bài tập trình bày phụ lục 18 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Với cách làm tiến hành thực nghiệm giảng dạy lớp 12C1 trường THPT Nguyễn Quán Nho, năm học 2020-2021 Đây lớp học ban học nâng cao mơn tốn, lý, hóa lớp tơi giảng dạy năm lớp 11 Các em khu vực nông thôn, lực học em chủ yếu trung bình khá, có số em có lực học yếu yếu mơn hình học, phù hợp với việc thực nghiệm đề tài Với đối tượng học sinh yếu trung bình, tơi nhấn mạnh việc sử dụng mơ hình cho tốn mức độ nhận biết thơng hiểu, em tỏ hào hứng giải tốt toán mức Các em khơng dừng lại việc giải mà cịn giải nhanh nhờ tính quen thuộc mơ hình Với học sinh khá, sau phần tơi định hướng áp dụng mơ hình cho toán nâng cao em tự tin giải tốt hầu hết toán xem khó hình học khơng gian góc, khoảng cách, mặt cầu ngoại tiếp Tôi nhận thấy, với việc truyền thụ theo hướng nắm mơ hình với việc hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ, cách tự đặt câu hỏi, tự trả lời câu hỏi q trình làm tốn hình học khơng gian làm cho hầu hết học sinh có cảm giác tự tin nhiều, khơng cịn e sợ, né tránh gặp tốn hình học khơng gian tổng hợp (kể học sinh yếu trung bình) Tơi nhìn thấy rõ tự tin, háo hức chinh phục câu hình khơng gian nâng cao học sinh giỏi Nhiều học sinh thật ngạc nhiên giải nhanh nhiều tốn trắc nghiệm hình học mà khơng cần phải vẽ hình đầy đủ, tất nhờ vào cụm từ khóa mơ hình Với cách làm thân cảm thấy nhẹ nhàng nhiều việc truyền thụ kiến thức đến học sinh cảm nhận khơng cịn chênh vênh, xa cách thầy trị học hình học khơng gian Trong thực tế giảng dạy nhiều lớp đại trà truyền thụ cho em theo hướng mơ hình việc vẽ hình trở nên nhẹ nhàng, việc đơn giản hóa hình vẽ nhờ cụm từ khóa giúp học sinh giải tốn hiệu qủa hẳn Kể việc ơn thi học sinh giỏi vậy, nhờ việc khai thác tốt mơ hình hình chóp thường gặp từ đầu lưu ý em linh hoạt giải tốn tính góc, khoảng cách, mặt cầu mà nhiều tốn khó trở nên đơn giản, em khơng bị lạc toán lạ Trong số lần thao giảng sinh hoạt chuyên môn tổ, lớp 12C1 giáo viên tổ đánh giá học kiến thức, hào hứng học tập kết qủa thi học kì thi thử THPT Quốc gia khả quan Tôi đồng nghiệp tán thành ủng hộ trình bày ý tưởng đề tài lần sinh hoạt chuyên môn Đề tài đánh giá linh hoạt áp dụng cho nhiều đối tượng học sinh Kết sau áp dụng sáng kiến thể rõ nét qua kết tổng hợp kết đánh giá phần hình học khơng gian học sinh qua số liệu thống kê sau: 19 Lớp thực nghiệm Kết học tập mơn hình học học sinh lớp 12 C1 năm học 2020-2021 Điểm Số lượng Tỉ lệ % Giỏi 7,7% Khá 24 61,54% Trung bình 12 30,76% Yếu 0 Kém 0 Lớp đối chứng Kết học tập mơn hình học học sinh lớp 12 C2 năm học 2020-2021 Số lượng Tỉ lệ % Giỏi 0% Khá 15 37,5% Trung bình 20 50,0% Yếu 12,5% Kém 0 Kết học tập có khác biệt rõ lớp thực nghiệm lớp đối chứng có học lực tương đương Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận Như qua nghiên cứu phương pháp thực tiễn dạy học nhận thấy việc hướng dẫn cho học sinh cách làm việc với tốn hình thơng qua mơ hình hình chóp mang lại hiệu thật sự, giúp cho tư học sinh trở nên mạch lạc, sáng sủa Nhờ học sinh khơng giải toán tiết kiệm thời gian suy nghĩ mà cịn thấy tính logic uyển chuyển tốn hình học Tự đặt câu hỏi, tự giải vấn đề sở mơ hình quen thuộc giúp học sinh chủ động giải toán, nhờ mà học sinh có tiến rõ rệt tư nói chung tư hình học 3.2 Kiến nghị Trong trình nghiên cứu thực đề tài, nhận thấy khả thay đổi quan niệm tư học hình học sinh giáo viên tìm cách đồng cảm thấu hiểu Xuất phát từ việc đặt vào vị trí người học tìm hiểu tâm tư học sinh cách cởi mở, nhận điểm yếu học sinh việc học hình học khơng gian Sẽ khó khăn toán mơ hồ học sinh bị phương hướng Vậy nên để tạo niềm tin cho học sinh, cho em tự tin quen thuộc mơ hình từ khóa Hướng em đến việc chủ động cách chủ động đặt câu hỏi tự trả lời Hình học khơng gian cần có kiến thức tảng tốt Ngồi tư hình học kỹ tính tốn quan trọng Vì tơi đề xuất chương trình giảng dạy khóa bồi dưỡng có tài liệu trang bị kiến thức hình học cấp hai phục vụ việc học hình cấp trung học phổ thơng Có kiến thức tảng đồng thuận lợi cho việc lĩnh hội kiến thức theo định hướng sáng kiến Tôi mong tổ chun mơn góp ý hồn thiện thêm cho sáng kiến áp dụng rộng rãi cho học sinh lớp 11 12 20 Tôi kiến nghị Nhà trường tạo điều kiện để việc triển khai rút kinh nghiệm tiến hành thuận lợi khoa học Kính mong nhà trường tạo điều kiện thuận lợi sở vật chất, thời gian hỗ trợ thực sáng kiến như: có tổng hợp, đánh giá trình học, thi học kì, thi thử, có so sánh đối chứng mức rộng đối tượng, lớp Trên vừa trình bày sáng kiến: “Nâng cao tính chủ động hiệu giải tốn hình học khơng gian dành cho học sinh lớp 12 thơng qua mơ hình hình chóp thường gặp” Mặc dù đề tài kết thực tế giảng dạy nhiều năm tôi, dựa sở nhiều đối tượng học sinh, kinh nghiệm tổng hợp trình bày sáng kiến cịn hạn chế nên đề tài cịn thiếu sót Hơn học sinh nơi tơi giảng dạy vùng quê nghèo, điều kiện đầu tư thời gian học nâng cao nhiều hạn chế, phần lớn có tảng kiến thức chưa tốt nên số kết sâu chưa khai thác đề tài Vì vậy, tơi mong nhận quan tâm góp ý đồng nghiệp Tơi xin chân thành cảm ơn! Thanh Hóa, ngày 15 tháng năm 2021 Xác nhận hiệu trưởng Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người viết Ngô Thị Cảnh 21 Tài liệu tham khảo [1] Giáo trình Hình học lớp 11, Nhà xuất giáo dục năm 2006 [2] Giáo trình Hình học lớp 11, Nhà xuất giáo dục năm 2006 [3] Chuyên đề hình học 11 nâng cao, Nhà xuất trẻ 2007 [4] Giáo trình Hình học lớp 12, Nhà xuất giáo dục năm 2006 [5] Luyện thi trung học phổ thông quốc gia năm 2017 Phạm Đức Tài (chủ biên) Nhà xuất giáo dục phát hành [6] Đề thi HSG khu vực năm 2014 [7] Phát triển đề minh họa kì thi tốt nghiệp quốc gia năm 2017 Bộ giáo dục đào tạo [8] Đề thi HSG Bắc Ninh 2018 [9] Phát triển đề tham khảo kì thi tốt nghiệp quốc gia năm 2018 Bộ giáo dục đào tạo, trang web Toanmath.com [10] Chun đề hình học khơng gian lớp 11 nâng cao, trang web Toán học Bắc Trung Nam.com [11] Tổng hợp đề thi thử Sở giáo dục năm 2018 Câu lạc giáo viên trẻ thành phố Huế [12] Tổng hợp đề thi thử Sở giáo dục từ năm 2017-2021, trang web Toanmath.com 22 PHỤ LỤC: Một số tập vận dụng mơ hình (bài tập trắc nghiệm) [12] 1) Cho khối chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, AB = a , AD = a , SA vng góc với đáy mặt phẳng ( SBC ) tạo với đáy góc 60° Tính thể tích V khối chóp S ABCD A V = a3 B V = 3a 3 C V = a D V = 3a3 2) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng C , AC = a 3, AB = a Mặt bên (SAB ) tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy Gọi M trung điểm AC Tính khoảng cách từ điểm M đến mp ( SBC ) a B a C a 66 a 11 3) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh 2a Mặt bên (SBC ) A D tam giác cân S nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy Gọi G trọng tâm tam giác SAB , tính khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (SBC ) A 3 a B a C a D a 4) Cho tứ diện ABCD có AB = BC = AC = BD = 2a, AD = a ; hai mặt phẳng ( ACD ) ( BCD ) vng góc với Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng: 64πa 5) Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có góc hai mặt phẳng ( A ' BC ) A 64πa 27 B 4πa 27 C 16πa D ( ABC ) 30° Điểm M nằm cạnh AA ' Biết cạnh AB = a , thể tích khối đa diện MBCC ' B ' bằng: 3a 2a 3a3 3a3 A B C D 4 6) Cho tứ diện ABCD có cạnh AB = x cạnh lại 2a Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn A 2a B a C a D a 7) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C', đáy ABC tam giác vuông cân B; AB = a Hình chiếu vng góc điểm A' lên mp(ABC) điểm H thuộc cạnh AC cho HC = 2HA Mặt bên (ABB'A') hợp với mặt đáy (ABC) góc 600 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' A 3a 3 B a3 3 C a3 D a3 23 8) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vng A B với BC đáy nhỏ Biết tam giác SAB tam giác có cạnh với độ dài 2a nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy, SC = a khoảng cách từ D tới mặt phẳng ( SHC ) 2a (ở H trung điểm AB ) Hãy tính thể tích khối chóp theo a A 4a 3 B a3 C a3 D a3 9) Cho hình chóp S.ABC có mặt (ABC) (SBC) tam giác cạnh a Góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 600 Hình chiếu vng góc S xuống (ABC) nằm tam giác ABC Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) theo a A a 13 B 3a 13 13 C 3a 2 D 2a 13 10) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, tâm 0.Gọi M N trung điểm SA BC Biết góc MN (ABCD) 600 , cosin góc MN mặt phẳng (SBD) bằng: A B C 5 D 10 11) Cho tứ diện ABCD có AB = AD = a , BC = BD = a Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACD) a Tính góc hai mặt phẳng (ACD) (BCD), biết thể tích khối tứ diện bằng: A 600 B 1200 C 450 D Cả A,B,C sai 12) (Sở GD Long An lần -2018) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B , AB = BC = a , AD = 2a , SA ⊥ ( ABCD ) SA = a Gọi E trung điểm AD Kẻ EK ⊥ SD K Tính bán kính mặt cầu qua sáu điểm S , A , B , C , E , K A R = a B R = a C R = a D R = a a 13) Cho tứ diện ABCD có AB = a; AC = BC = AD = BD = Gọi M , N trung AB , CD ABD ; ABC ) ( ) α Tính cosα biết điểm Góc hai mặt phẳng ( mặt cầu đường kính MN tiếp xúc với cạnh AD A − B − C − D −1 24 14) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng A với AB = a; AC = 2a Mặt phẳng ( SBC ) vng góc với mặt phẳng ( ABC ) Mặt phẳng ( SAB ) ; ( SAC ) tạo với mặt phẳng ( ABC ) góc 600 Gọi α góc hai mặt phẳng ( SAB ) ( SBC ) Tính tan α A 51 17 B 51 C 17 D 17 17 15) Cho hình chóp S ABC có chân đường cao nằm tam giác ABC ; mặt phẳng ( SAB) , ( SAC ) ( SBC ) tạo với mặt phẳng ( ABC ) góc Biết AB = 25 , BC = 17 , AC = 26 ; đường thẳng SB tạo với mặt đáy góc 45° Tính thể tích V khối chóp S ABC A V = 408 B V = 680 C V = 578 D V = 600 16) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng cân C, tam giác SAB vuông taị A, tam giác SAC cân S, SB tạo với mặt phẳng (ABC) góc 600 Tính thể tích khối chóp SABC A 4a B a 15 C a 15 D a3 25 26 ... lăng trụ hình chóp Từ lí tơi mạnh dạn đưa sáng kinh nghiệm: ? ?Nâng cao tính chủ động hiệu giải tốn hình học khơng gian dành cho học sinh lớp 12 thơng qua mơ hình hình chóp thường gặp? ?? 1.2 Mục đích... để nâng cao tính chủ động, tự tin học sinh lớp 12 giải tốn hình học khơng gian, truyền thụ để học sinh nắm vững mơ hình hình chóp thường gặp Tiếp đến nâng cao khả sử dụng kiến thức cốt lõi mô hình. .. chủ động hiệu giải tốn hình học không gian dành cho học sinh lớp 12 thông qua mơ hình hình chóp thường gặp? ?? Mặc dù đề tài kết thực tế giảng dạy nhiều năm tôi, dựa sở nhiều đối tượng học sinh, kinh