Phát triển năng lực tư duy cho học sinh lớp 12 thông qua lớp các bài toán tìm tính chất của hàm số khi biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy

MỤC LỤC Mục 1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 1.2.1 1.2.2 2.2 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.2.1 2.3.2.2 2.3.2.3 2.3.2.4 2.4 Nội dung Trang MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài Phương pháp nghiên cứu đề tài NỘI DUNG Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Giả thuyết đề tài Mục tiêu đề tài Thực trạng vấn đề nghiên cứu Các giải pháp sử dụng sáng kiến kinh nghiệm để giải vấn đề Một số giải pháp Biện pháp thực Hệ thống kiến thức cần vận dụng f ( x) Lớp tốn tìm khoảng đơn điệu hàm số , f [ u ( x )] f ( x) biết đồ thị bảng xét dấu hàm số f ( x ) f u ( x )  Lớp tốn tìm số điểm cực trị hàm số , f ( x) biết đồ thị bảng xét dấu hàm số f ( x) = m Lớp tốn tìm số nghiệm phương trình , f u ( x )  = m biết đồ thị bảng xét dấu hàm số f ( x) Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ TÀI LIỆU THAM KHẢO DANH MỤC CÁC SKKN ĐÃ ĐƯỢC SỞ GD&ĐT CÔNG NHẬN 11 17 18 20 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Nghị 29 Ban Chấp hành Trung ương Đảng khẳng định: “Phát triển giáo dục đào tạo nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài Chuyển mạnh trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện lực phẩm chất người học” Trong đó, đổi phương thức kiểm tra đánh giá yêu cầu thiết giai đoạn Bộ GD&ĐT định hình thức thi trắc nghiệm mơn Tốn kỳ thi THPT Quốc Gia (nay kỳ thi Tốt nghiệp THPT) năm 2017 Với phương thức kiểm tra đánh giá mơn Tốn từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm bước ngoặt quan trọng Từ thay đổi dẫn đến cách dạy thầy cô cách học học sinh phải thay đổi Hơn hết, thầy cô giảng dạy mơn Tốn nhận điều là: Lượng kiến thức, lượng tập hai, ba năm qua tăng lên cách nhanh chóng Điều đó, khiến phải thay đổi cách tiếp cận vấn đề, cách dạy… Theo để phù hợp với xu phải chuyển từ cách dạy truyền thống sang cách dạy nhằm phát triển tư duy, phát triển lực học sinh… từ em tự tin xử lý tình thực tiễn Nhiệm vụ quan trọng người thầy nói chung nguời thầy giảng dạy mơn Tốn nói riêng là: Phải tìm phương pháp truyền đạt phù hợp với lực đối tượng học sinh, để em biết vận dụng, biết khai thác kiến thức lĩnh hội vào giải Toán; Giúp em rèn luyện dần thơng thạo kĩ giải Tốn Để làm điều đó, trước tiên người giáo viên dạy Tốn phải tìm hiểu thật kĩ tính cách, tâm lí, lực tiếp nhận… đối tượng học sinh Đặc biệt, trước ý định truyền đạt hướng dẫn học sinh giải tốn người giáo viên phải tự nghiên cứu, phân tích kỹ tốn hướng dẫn cho em Hoạt động quan trọng, vừa giúp cho học sinh thấy mối liên hệ chặt chẽ kiến thức khác nhau, thấy nhiều phương pháp để giải toán, vừa gợi động cho em học tập kiến thức Bởi nhận thấy cách “rèn luyện” phù hợp cho đối tượng học sinh, chí có q trình phân tích -Tổng hợp hiệu học sinh lại “vô nghĩa” với học sinh khác Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số thông qua ứng dụng đạo hàm chủ đề lớn xuyên suốt thiếu kì thi Việc hồn thiện kỹ từ việc đọc bảng biến thiên, vẽ đồ thị hàm số đến việc dựa vào đồ thị để giải toán khác đặt cho người học nhu cầu phù hợp Muốn giải dạng tập đòi hỏi học sinh phải nắm vững lý thuyết đơn điệu, cực trị, đồ thị… hàm số phải “đọc” tính chất đồ thị Để góp phần giúp học sinh có thêm kiến thức, phát triển lực tư sáng tạo, gợi cho em hướng giải tốt gặp dạng Tốn dạng Tốn liên quan Tơi mạnh dạn lựa chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “ Phát triển lực tư cho học sinh lớp 12 thơng qua lớp tốn tìm tính chất hàm số biết đồ thị bảng biến thiên hàm số nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy đáp ứng yêu cầu đổi kỳ thi Tốt nghiệp THPT” để giảng dạy trao đổi với đồng nghiệp 1.2 Mục đích nghiên cứu: Người giáo viên dạy Tốn cần hình thành cách lựa chọn phương pháp tối ưu, phù hợp với lực đối tượng học sinh; giúp em tiếp cận nhanh nhất, hiệu việc giải tốn xác định số tính chất hàm số Đồng thời, rèn luyện kỹ toán học định hướng phát triển số lực cho em như: - Năng lực tư duy, lực tính tốn, lực tự học giải vấn đề - Năng lực sử dụng công nghệ thông tin (máy tính cầm tay casio) - Năng lực sử dụng ngơn ngữ Tốn học 1.3 Đối tượng nghiên cứu đề tài Nghiên cứu, tìm tịi cách tiếp cận, phương pháp giải toán trắc nghiệm chủ đề “ Hàm số” 1.4 Phương pháp nghiên cứu đề tài Để có sở tiến hành nghiên cứu áp dụng đề tài vào thực tế dạy học, tơi đã: - Tìm hiểu việc đổi phương pháp dạy học mơn Tốn, đặc biệt phương pháp truyền đạt nội dung kiến thức mơn tốn Giải tích - Tìm hiểu thực trạng giải tập mơn tốn Giải tích học sinh trường THPT Triệu Sơn - Tìm hiểu kĩ sử dụng thiết bị, sơ đồ tư học tập toán Giải tích - Tổ chức thực đề tài, áp dụng đề tài vào thực tế dạy số lớp 12 trường THPT Triệu Sơn - Tiến hành so sánh, đối chiếu đánh giá hiệu đề tài áp dụng NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 1.2.1 Giả thuyết đề tài Khi tiến hành nghiên cứu đề tài, đặt giả thuyết sau: - Đề tài có tìm phương pháp phù hợp với học sinh 12 giải tập hàm số khơng? - Đề tài có tạo hứng thú cho học sinh áp dụng vào việc giải đề thi minh hoạ đề thi Toán THPTQG Tốt nghiệp THPT qua năm hay khơng? - Đề tài có rèn luyện, phát triển tư logic – khoa học có nâng cao kết học tập mơn Giải tích cho học sinh hay không? 1.2.2 Mục tiêu đề tài Từ giả thuyết nêu trên, mục tiêu đề tài cần phải đạt là: - Tìm phương pháp dạy học phù hợp với đối tượng học sinh giải tập hàm số - Tạo hứng thú cho học sinh giải tập Giải tích; đồng thời giúp em nâng cao kết học tập môn - Rèn luyện, nâng cao, phát triển tư logic – khoa học cho học sinh 2.2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu: - Trong q trình giảng dạy, tơi thấy khả đọc bảng biến thiên, đọc đồ thị, khả biến đổi đồ thị nội dung quan trọng mà học sinh hiểu vận dụng chắn thuận lợi tiếp cận toán hàm số Tuy nhiên, thực tế nội dung vấn đề mà đa số học sinh thường gặp nhiều khó khăn, em học sinh có học lực khá, giỏi - Khi ôn tập, đặc biệt em làm kiểm tra nhận thấy: Một số em nắm kiến thức, biết cách làm kỹ tính tốn cịn chậm, việc tốn học hóa tình thực tiễn thường lúng túng vận dụng không linh hoạt - Đối với người dạy phần lớn dừng lại mức trang bị lý thuyết giao nhiệm vụ cho học sinh với vài tập cụ thể mà chưa khai thác toán nhiều dạng khác nhau; chưa tìm phương pháp dạy học phù hợp với nội dung lực học sinh - Vẫn có khơng giáo viên cịn hạn chế việc nâng cao hiệu sử dụng phương tiện, công cụ, thiết bị đồ dùng dạy học môn… - Giáo viên cố gắng đưa hệ thống câu hỏi gợi mở để dẫn dắt học sinh tìm hiểu vấn đề nêu ra, học sinh tập trung đọc sách giáo khoa, quan sát hình vẽ, tích cực suy nghĩ, phát giải vấn đề theo yêu cầu câu hỏi Kết học sinh thuộc bài, hiểu chưa sâu sắc kiến thức, kĩ vận dụng vào thực tế chưa cao Đặc biệt, sau thời gian không thường xuyên ôn tập tiếp tục học thêm nội dung học sinh khơng cịn nắm vững kiến thức học trước Từ nguyên nhân dẫn đến học sinh cảm thấy học tốn hàm số khó Dẫn đến kết học tập chưa cao 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Một số giải pháp * Đưa quy tắc, bước yêu cầu giải toán hàm số để dễ dàng giải tập * Tăng cường vấn đáp nhằm giúp học sinh nắm vững mối quan hệ tính chất hàm số tương ứng với đồ thị bảng biến thiên * Sử dụng đồ dùng dạy học cách hợp lý phần mềm giảng dạy Cabir, GSPS, Geogebra… * Dạy học theo chủ đề, mạch kiến thức mà giáo viên phân chia từ khối lượng kiến thức chương trình nhằm giúp học sinh hiểu sâu kiến thức mà có, vận dụng chúng cách tốt * Sử dụng sơ đồ tư để ôn tập củng cố kiến thức cho học sinh 2.3.2 Biện pháp thực hiện: 2.3.2.1 Hệ thống kiến thức cần vận dụng: y = f ( x) ( C) D * Đồ thị hàm số: Đồ thị hàm số xác định tập tập hợp M ( x; f ( x ) ) x∈D tất điểm mặt phẳng tọa độ với y = f ( x) * Giao điểm đồ thị trục hoành (Sự tương giao đồ thị hàm số y = f ( x) trục hoành): Giao điểm đồ thị hàm số với trục hoành nghiệm f ( x ) = phương trình hồnh độ giao điểm M ( x; f ( x ) ) * Điểm M ( x; f ( x ) ) ( C) f ( x) > thuộc đồ thị nằm trục hồnh f ( x) < ( C) thuộc đồ thị nằm trục hồnh ; * Hàm số hợp đạo hàm hàm số hợp: Công thức đạo hàm hàm hợp u = u ( x) y = f (u ) x0 a) Nếu hàm số có đạo hàm hàm số có đạo hàm u0 = u ( x0 ) g ( x) = f [u ( x)] x0 hàm số hợp có đạo hàm g ′( x0 ) = f ′(u0 ).u′( x0 ) b) Nếu giả thiết a) thoả mãn với g ′( x) = f ′[u ( x)].u′( x) D [4] ∀x ∈ D y = g ( x) có đạo hàm *) Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu khoảng f I có đạo hàm khoảng Giả sử hàm số a) Nếu b) Nếu c) Nếu f '( x ) > f '( x ) < f '( x ) = mọi x∈I x∈I x∈I f I đồng biến khoảng f I nghịch biến khoảng f I khơng đổi khoảng hàm số hàm số hàm số f Nhận xét Điều kiện mở rộng sau: Giả sử hàm số có đạo f '( x ) ≥ f '( x ) ≤ x∈I x∈I I hàm khoảng Nếu (hoặc ) f '( x ) = f xảy số hữu hạn điểm hàm số đồng biến (hoặc I nghịch biến) khoảng [4] *) Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị f Giả sử hàm số liên tục khoảng ( a; x0 ) ( x0 ; b ) khoảng Khi a) Nếu f '( x ) < x ∈ ( a; x0 ) f '( x ) > x ∈ ( a; x0 ) với f x0 số đạt cực tiểu điểm b) Nếu với f x0 số đạt cực tiểu điểm [4] và ( a; b ) chứa điểm f '( x) > với f '( x ) > với x0 có đạo hàm x ∈ ( x0 ; b ) x ∈ ( x0 ; b ) hàm hàm Nhận xét f Với giả thiết trên, hàm số x0 hàm số f đạt cực trị điểm có đạo hàm đổi dấu qua điểm 2.3.2.2 Lớp tốn tìm khoảng đơn điệu hàm số f ( x) biết đồ thị bảng xét dấu hàm số y = f ( x) Ví dụ Cho hàm số f ( x) x0 , f [ u ( x)] có bảng biến thiên sau Hàm số đồng biến khoảng đây? A ( −2; +∞ ) B ( −∞;2 ) C ( −2;3) D ( 3;+∞ ) Lời giải Dựa vào bảng biến thiên hàm số đồng khoảng chọn đáp án C y = f ( x) Ví dụ Cho hàm số xác định, liên tục Mệnh đề sau đúng? ¡ [1] ( −2;3) Vậy ta có đồ thị hình vẽ A Hàm số đồng biến khoảng B Hàm số đồng biến khoảng C Hàm số đồng biến khoảng D Hàm số đồng biến khoảng ( −∞ ;1) ( −∞ ; − 1) ( 0;+ ∞ ) ( −3; + ∞ ) [1] Lời giải Dựa vào đồ thị, ta thấy hàm số đồng biến khoảng chọn đáp án B ( −∞ ; − 1) Vậy ta Phân tích hướng dẫn cách giải: Từ ví dụ học sinh nhận khoảng đồng biến, nghịch biến y = f ( x) y = f ( x) hàm số từ BBT đồ thị hàm số sở: Xác định tính đơn điệu hàm số dựa theo nguyên tắc sau: Trên khoảng Trên khoảng ( a; b ) ( a; b ) đạo hàm đạo hàm f '( x) < f '( x) > Xác định tính đơn điệu hàm số dựa theo nguyên tắc sau: Trên khoảng ( a; b ) đồ thị hàm số y = f ( x) từ BBT hàm số hàm số nghịch biến hàm số đồng biến y = f ( x) y = f ( x) ( a; b ) ( a; b ) từ đồ thị hàm số ta y = f ( x) ta y = f ( x) có hướng “đi lên” khoảng ( a; b ) hàm số đồng biến (tức đạo hàm nhận giá trị dương ) khoảng đồ y = f ( x) thị hàm số có hướng “đi xuống” khoảng hàm số nghịch biến (tức đạo hàm nhận giá trị âm) y = f ( x) Câu hỏi đặt sau:Vậy từ BBTcủa hàm số từ đồ thị hàm y = f ( x) y = f [ u ( x)] số , muốn xét tính đơn điệu hàm số ta làm nào? Vấn đề cần giải trường hợp phải dựa vào BBT đồ thị y ' = [ f (u ( x)) ] ' = f '(u ).u '( x) y = f ( x) hàm số ta phải xác định dấu Các ví dụ sau thể rõ vấn đề Ví dụ Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên sau y = ( f ( x ) ) − 3( f ( x ) ) Hàm số A ( 2;3) B ( 1;2 ) nghịch biến khoảng đây? [2] C ( 3;4 ) D ( −∞ ; − 1) Lời giải y′ = ( f ( x ) ) f ′ ( x ) − f ( x ) f ′ ( x ) Ta có  f ′( x ) =  ⇒ y′ = ⇔  f ( x ) = f x =2 y′ = f ′ ( x ) f ( x )  f ( x ) −   ( ) 10 Tịnh tiến ( C) sang trái đơn vị ta đồ thị hàm số Lấy đối xứng đồ thị hàm số Ta có y = f ( −x) y = g ( x + 2) = f ( − x ) qua Oy ta đồ thị hàm số y = f ( x − 3) ⇒ y′ = x f ′ ( x − 3) y = f ( x) x = x = x =   y′ = ⇔  ⇔ x − = ⇔ x = ±   f ′ ( x − 3) = x = ±  x2 − =   y′ Bảng xét dấu Vậy hàm số y = f ( x − 3) nghịch biến khoảng ( 0;1) Vậy ta chọn đáp án D y = f ( x) ¡ Ví dụ Cho hàm số có đạo hàm có đồ thị hình vẽ Nhận xét g ( x) = f ( x) hàm số ? A Hàm số B Hàm số C Hàm số D Hàm số g ( x) g ( x) g ( x) g ( x) đồng biến khoảng ( −∞; +∞ ) nghịch biến khoảng đồng biến khoảng đồng biến khoảng ( −∞;1) ( 2;+∞ ) ( −∞;2 ) [3] Lời giải Từ đồ thị hàm số y = f ( x) ta có: 12 Phương trình Phương trình f ( x) = f ′( x ) = (dựa vào đồ thị hàm số có hai nghiệm có hai nghiệm  x = −1 x =   x = −1 x =1  x = −1 f ′( x ) > nghiệm kép −1 < x < y = f ( x) ta thấy hàm số đạt cực trị điểm  x = −1 x =1 f ′( x ) =  phương trình có nghiệm ) Xét hàm số g ( x) = f ( x) Giải phương trình có g′( x ) = f ( x ) f ′( x ) x = ±1 nên ;  x = −1 x =  f ( x) = g′( x ) = ⇔  ⇔  x = −1 ′ f x =  ( )  x = Ta có bảng xét dấu x −∞ −1 +∞ f ( x) + + | + − f ′( x ) − + − | − g′( x ) − + − + g′ ( x ) > x ∈ ( −1;1) ∪ ( 2; +∞ ) Từ bảng xét dấu ta có ( 2;+∞ ) biến khoảng Vậy ta chọn đáp án C Ví dụ Cho hàm số f ( x) nên hàm số g ( x) đồng có bảng xét dấu đạo hàm sau 13 Hàm số y = f ( x + 3) − x − x − x A ( −∞; −2 ) B đồng biến khoảng đây? [3] ( −2; −1) C ( −1;1) D ( 0;+∞ ) Lời giải Đặt g ( x ) = f ( x + 3) − x3 − x − x Ta có g ' ( x ) = f ' ( x + 3) − x − 18 x − Lập bảng xét dấu: Từ bảng ta chọn đáp án B Phân tích để sáng tạo: f ' ( x ) = a ( x − 1) ( x − ) ( x − 3) ( x − ) a>0 +) Ta chọn ( với ) ta h ( x ) = bf ( x + c ) + g ( x ) g '( x ) chọn hàm cho có chung nghiệm với f '( x + c ) ( x − m) ( x − n) Giả sử có nghiệm chung bf ' ( x + c ) g '( x ) + = k ( x) k ( x) ( x − m) ( x − n) ( x − m) ( x − n) âm hay dương đoạn cần k ( x) tìm Như vậy, ta chọn trước +) Ví dụ cụ thể: 14 g '( x ) y = a ( x + 1) x ( x − 1) ( x − ) + g ' ( x ) c = b =1 Nếu ta ; Chọn f '( x + 2) x =1 có nghiệm chung ; Xét hàm lại g '( x ) q ( x ) = a ( x + 1) x ( x − ) + a ( x + 1) x ( x − ) < x −1 Nhận thấy với g '( x )  3  3 x ∈ 1; ÷ ∀x ∈ 1; ÷