Bài viết này tôi xin trình bày đề tài: “ Ứng dụng lượng giác để giải phương trình,bất phương trình,hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất_ giá trị nhỏ nhất của[r]
(1)DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT TRONG TÀI LIỆU 1/ Sách giáo khoa: SGK 2/ Sách bài tập: SBT 3/ Giá trị lớn nhất: GTLN 4/ Giá trị nhỏ nhất: GTNN 5/ Bảng biến thiên: BBT 6/ Điều kiện xác định bài toán: ĐK 7/ Nhà xuất bản: NXB 8/ Điều phải chứng minh: đpcm 9/ Chứng minh rằng: CMR (2) LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Khi giải xong bài toán chúng ta thường đặt câu hỏi là còn có phương pháp giải nào khác không? Từ đó ta tìm tòa hướng giải và rút phương pháp giải cho phù hợp với đối tượng học sinh Trong quá trình giảng dạy và tìm hiểu qua sách báo Tôi rút kinh nghiệm ứng dụng lượng giác để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số và chứng minh đẳng thức, tìm GTLN_ GTNN biểu thức Những năm qua tôi thường dùng phương pháp này giảng dạy cho học sinh khối 12 ôn luyện thi đại học và nhận thấy đa số các em tiếp thu kiến thức nhẹ nhàng Bài viết này tôi xin trình bày đề tài: “ Ứng dụng lượng giác để giải phương trình,bất phương trình,hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất_ giá trị nhỏ hàm số”.Trong các đề thi tuyển sinh Đại Học, Cao Đẳng năm qua ta thấy có bài toán giải phương pháp lượng giác Khi biên soạn đề tài thân đã có nhiều cố gắng, song không thể tránh khỏi thiếu sót, mong nhận góp ý chân tình đồng nghiệp và Hội đồng chuyên môn nhà trường để các tài liệu sau tôi tốt Xin chân thành cám ơn! Ba Tơ, thang năm 2011 Người thực đề tài Nguyễn Đăng Khoa (3) NỘI DUNG I.Cơ Sở Lí Thuyết: Từ bài toán: phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và chứng minh đẳng thức, tìm GTLN_ GTNN biểu thức đại số, ta chuyển sang giải phương trình, chứng minh đẳng thức, tìm GTLN_ GTNN biểu thức lưọng giác thì đòi hỏi chúng ta phải nắm vững các công thức lượng giác, kĩ thuật biến đổi lượng giác,tính tuần hoàn các hàm số y= sinx , y= cosx, y= tanx, y=cotx và các tính chất: −1 ≤sin x ≤1 , −1 ≤cos x ≤1 , sin x+ cos2 x =1, ∀ x ∈ R DẠNG 1: Nếu bài toán chứa:[f(x)]2 +[g(x)]2=1, thì có thể đặt: ¿ f (x)=cos t g( x)=sin t ¿{ ¿ ¿ g( x)=cos t f ( x)=sin t ¿{ ¿ DẠNG 2: Nếu bài toán chứa: [ x=¿ a∨sin t , t ∈ − √ a2 − x thì có thể đặt: π π , 2 DẠNG 3: Nếu bài toán chứa: ] √ x2 −a thì có thể đặt: π π ¿ a∨ ¿ , t ∈ − , {0 sin t 2 ¿ x=¿ [ ] DẠNG 4: Nếu bài toán chứa: ( x=¿ a∨tan t ,t ∈ − DẠNG 5: Nếu bài toán chứa: x= ¿ a∨cos t , t ∈ [ , π ] π ¿ a∨ ¿ ,t ∈ [ , π ] { cos t ¿ x=¿ √ a2 + x thì có thể đặt: π π , 2 √ ) a+ x a− x x=¿ a∨cot t , t ∈ ( , π ) √ a− x a+ x thì có thể đặt: x=acos2t DẠNG 6: Nếu bài toán chứa: √ (x − a)(b − x ) thì có thể đặt: x=a+(b-a)sin2t (4) II.Nội Dung: Bài 1: Giải phương trình: x + x =1 (1) x −1 ( ) (Bài 4.72,d trang114_ sách Bài tập Đại Số 10 Nâng cao, xuất năm 2006) Giải: ĐK: x ≠ Đặt: ¿ x=sin t ≠1( a) x =cos t (b) , thay (a) vào (b) ta được: x −1 ¿{ ¿ cos t= ⇔ sin t +cos t − sin t cos t=0(c) Đặt u=sint+cost, đk: u2 − =0 trình (c) thành: u − sin t sin t − ¿ u∨≤ √ ,phương ⇔ u2 −2 u −1=0 ⇔ u=1+ √ 2(loai ) ¿ u=1− √2(thoa) ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ vậy: sint +cost = 1− √ ⇒ x+ x =1 − √ 2⇔ x −(1− √2) x+1 − √ 2=0 ⇔ x= [ 1− √ 2± √ √ −1 ] x −1 Do đó phương trình có nghiệm là: x= [ 1− √2 ± √ √ 2− ] Bài 2: Giải phương trình: x −3 x=√ 1− x (2) Giải: (5) ĐK: −1 ≤ x ≤1 đặt x=cost, t 3cost=sint ⇔ Vì t [ , π ] phương trình (2) thành: 4cos3t - π cos t=sin t =cos ( − t) ⇔ π π t= +k ¿ π t=− + kπ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ π 5π 3π [ , π ] nên ta chọn được: t= ,t= , t= Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: π 2+ 5π 2− 3π x=cos = √ √ , x=cos =− √ √ , x=cos =− √ 8 Bài 3: Giải phương trình: x3- 3x-1=0 (3) Giải: Đặt x=cost, t ⇔ cos t= Vì t [ , π ] , phương trình (3) thành: 8cos3t - 6cost = ⇔ π 2π t= +k ¿ π 2π t=− + k ¿ ¿ ¿ ¿ π 5π 7π [ , π ] nên ta chọn được: t= ,t= , t= Vậy phương trình π 5π 7π đã cho có nghiệm là: x=2 cos , x=2cos , x=2 cos Bài 4: Giải phương trình: √ 1+2 x √ 1− x =1 −2 x 2 (4) (6) Giải: ĐK: |x|≤ √ 2 Đặt x=sint ⇒|sin t|≤ √ √ ⇒|t |≤ π ⇒ 1+2 sin t cos t =1 −2 sin t =cos t √ ≤ cos t ≤1 , phưong trình thành: ⇔ 1+sin 2t =cos 2 t (vì π |t|≤ ⇒cos t ≥ ) ⇔2 sin 2t +sin 2t −1=0 ⇔ sin 2t=− ¿ sin 2t= ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ π π Với sin2t = -1 ⇔ t=− + kπ , vì |t|≤ nên ta chọn nghiệm t= − ⇒ π nghiệm phương trình là: x=− √ ⇔ π t= +kπ 12 ¿ Với sin2t = 5π t= + kπ 12 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ⇒ π π , vì |t|≤ nên ta chọn nghiệm t= 12 π 2− nghiệm phương trình là: x=sin = √ √ 12 2 2− Vậy phương trình có nghiệm là: x=− √ và x= √ √ Bài 5: Định m để phương trình: Giải: √ 1− x 2=x −m (5) có nghiệm (7) ĐK: −1 ≤ x ≤1 Đặt x=cost, với t ∈ [ , π ] Phương trình thành: sint = cost – m π m ⇔ cos t −sin t =m ⇔cos (t+ )= √2 ⇔ Vì t ∈ [ , π ] π π 5π ≤ t+ ≤ nên suy ra: 4 π −1 ≤ cos(t + )≤ √ Vậy để m √2 phương trình có nghiệm và khi: −1 ≤ ≤ ⇔− √ 2≤ m≤ √2 Bài 6: Cho phương trình: √ 1− x +2 √3 − x 2=m (6) 1/ Định m để phương trình (6) có nghiệm 2/ Định m để phương trình (6) có nghiệm Giải: ĐK: −1 ≤ x ≤1 Đặt x=cost, với t ∈ [ , π ] Phương trình thành: ⇔sin t +2 √ sin t=m √ 1− cos2 t +2 √3 1− cos2 t=m (a) 1/ * Khi t=0 ⇒ x=cos0 =1 ⇒ m=0 (thỏa) * Khi t= π ⇒ x=cos π =-1 ⇒ m=0 (thỏa) sin t =m * Khi t ∈ ( , π ) , (a) ⇔ sin t + √ sin t (b) đặt u= √3 sin t , 0<u ≤1 , phương trình (b) thành: u3+2u2 =m (c) xét hàm số f(u) = u3+2u2 , với 0<u ≤ f’(u)=3u2+4u, BBT: u u 0 u f’(u)=0 − −∞ f’(u) f(u) + - 0 + +∞ −∞ (8) Vậy để (6) có nghiệm và (c) có nghiệm thuộc ¿ ⇔ 0<m ≤3 2/ Ta thấy: *Khi m=0 thì x=± ,không thỏa mãn bài toán (tức là tương ứng với t=0 và t= π ) sin t =m *Khi t ∈ ( , π ) , (a) ⇔ sin t + √ sin t (b) đặt u= √3 sin t , 0<u ≤1 , phương trình (b) thành: u3+2u2 =m (c) xét hàm số f(u) = u3+2u2 , với 0<u ≤ BBT: u − −∞ f’(u) f(u) + 0 - + +∞ −∞ để phương trình (6) có nghiệm ⇔ phương trình theo ẩn cost có nghiệm ⇔ sint = ⇔ u = ⇔ m =3 (vì sin2t + cos2t =1, sint thì có hai giá trị cost ⇒ không thỏa mãn bài toán) Vậy với m=3 thì phương trình có nghiệm Bài 7:Cho phương trình: √ 1+ x + √ − x + √(1+ x )(8 − x)=m (7) 1/Giải phương trình m=3 2/Định m để phương trình có nghiệm Giải: ĐK: −1 ≤ x ≤8 π Đặt x = -1+9sin2t, với t ∈ 0, [ ] π (vì hàm số y=sin2t tuần hoàn có chu kì là và là hàm số chẵn nên ta cần xét trên đoạn Phương trình (7) thành: π [ ]) 0, √ sin2 t +√ 9(1 −sin t)+√ sin2 t 9(1 −sin2 t)=m ⇔ 3(sin t+cos t )+ sin t cos t=m (a) (9) π Đặt u=sint +cos t= √ sin(t + ), 1≤ u ≤ √2 , phương trình (a) thành: 9u2+6u- 9=2m 1/ Khi m=1, ta có: 9u2+6u-15=0 ⇔ t=k π ¿ π t= +k π , ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ π với u=1 ⇒ sin(t+ )= √ π vì t ∈ 0, [ ] u=1( thoa) ¿ u=− ( loai) ¿ ¿ ¿ ¿ π nên chọn được: t=0 và t = với t = ⇒ x=−1 với t = π ⇒ x=8 Vậy phương trình có nghiệm: x=-1 và x=8 2/ Xét hàm số f(u) = 9u2+6u-9 BBT: u − −∞ f’(u) - √2 +∞ + +∞ +∞ f(u) -10 Vậy để phương trình có nghiệm ⇔ 9+ √ ≤2 m ≤9+ √ ⇔3 ≤ m≤ + √ 2 Chú ý: Nếu bài toán yêu cầu định m để phương trình có nghiệm nhất, thì điều kiện có nghiệm phương trình là điều kiện có nghiệm (10) vì cost nhận giá trị thuộc đoạn [1-,1] thì sin2t có giá trị tương ứng) Bài 8: Giải bất phương trình: x √ x 2+ ≥ x − (8) Giải: π π đặt x=3tant, t ∈ − , ( ) phương trình thành: 3tant √ 9(1+ tan t) ≥ tan2 t − sin t sin t −1 ⇔ ≥ −1 ⇔ sin t ≥ sin t − cos2 t ⇔2 sin2 t −sin t − 1≤ ⇔− ≤sin t ≤ ⇔ tant ≥ cos t cos t √3 ⇔ tant ≥− √ Vậy nghiệm bất phương trình là: Bài 9: Tìm m để bất phương trình: x ≥ −√3 √ 1− x ≥ m− x (9) có nghiệm Giải: ĐK: −1 ≤ x ≤1 Đặt x=cost, với t ∈ [ , π ] Phương trình thành: sint + cost m π ⇔ √ sin(t + )≥ m π Mà − √ ≤sin (t + )≤1 ⇔ − 1≤ π √ 2sin (t+ ) ≤ √ Vậy để bất phương trình có nghiệm và m π Max √2 sin( t+ )=√ ¿ 2 x +3 xy −2 y =3(1) 2 Bài 10: Giải hệ phương trình: (I) x +3 y =4( 2) ¿{ ¿ (Trích đề thi cao đẳng khối A_ năm 2007) Giải: (11) ⇔ Ta có (2) ( x2 ) +( 2y ) =1 , nên đặt: √3 (1) ta được: cos2 t+ ¿ x=2 cos t y= sin t , thay vào phương trình √3 ¿{ ¿ 12 sin t cos t − sin2 t=3 √3 2 15 √3 cos t +36 sin t cos t − 17 √ sin t=0 ⇔ (3) Vì cost =0 không phải là nghiệm phương trình, nên chia hai vế phương trình (3) cho cos2t ta được: 17 √3 tan t −36 tant −15 √3=0 ⇔ − 15 tan t= 17 √ ¿ 51 tan t= 17 √ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ * với tant= −15 17 √ ⇒ cos t=± 17 √ 91 √3 và sin t =∓ , suy nghiệm √ 91 ¿ 17 x= √91 hệ phương trình là: y=− √ 91 ¿{ ¿ * với tant = 51 17 √ ¿ x =1 phương trình là: y=1 ¿{ ¿ ⇒ cos t=± và và ¿ 17 x=− √ 91 y= √91 ¿{ ¿ và sin t=± √ , suy nghiệm hệ ¿ x =−1 y=− ¿{ ¿ (12) ¿ log ( y − x) −log =1(1) y Bài 11: Giải hệ phương trình: (II) 2 x + y =25(2) ¿{ ¿ (Trích đề thi Đại học_ Cao đẳng, khối A_ năm 2004) Giải: ĐK: ¿ y>x y >0 ¿{ ¿ ¿ log ( y − x)+log Với điều kiện trên hệ (II) ⇔ 4 =1 y x + y =25 ¿{ ¿ ⇔ ¿ 1 ( y − x) = (3) y x + y 2=25 ¿{ ¿ đặt: ¿ x=5 cos t y=5 sin t , (sint>0 và sint >cost), thay vào phương trình (3) ta được: ¿{ ¿ ¿ cos t = ¿{ ¿ sin t= ( sin t − cos t ) 1 16 = ⇔1 −cot t= ⇔ cot t= ⇒ sin2 t= ⇒ sin t 4 25 Vậy hệ phương trình có nghiệm là: ¿ x=3 y=4 ¿{ ¿ (13) ¿ x+ y+ xy=7 (1) Bài 12: Giải hệ phương trình: (III) x + y 2=10(2) ¿{ ¿ (Trích đề thi Cao đẳng _Giao thông vận tải_ năm 2007) Giải: ¿ x= √ 10 cos t y=√ 10 sin t , thay vào phương trình (1) ta được: ¿{ ¿ đặt: √ 10(cos t +sin t)+10 sin t cos t=7 (3) đặt u=cost +sint, ĐK: |u|≤ √ , phương trình (3) thành: u + √ 10 u −12=0 ⇔ √ 10 u= (thoa ) ¿ √ 10 u=− (loai) ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ √10 cos t= √10 ¿ ¿ ¿ sin t= √10 ¿ cos t= √10 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ sin t= ¿ √ 10 sin t cos t= 10 ¿{ ¿ sin t+cos t= 10 với u= √ ⇒ ⇒ (14) Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là: ¿ x=3 y=1 ¿{ ¿ và ¿ x=1 y=3 ¿{ ¿ Bài 13: CMR: 1/ Nếu x2+y2=1 thì |x + y|≤ √ (bài tập 20, trang 112 _SGK Đại số 10 Nâng cao_ NXB Giáo dục) 2/ Nếu x2+y2=1 thì |x +2 y|≤ (bài tập 4.23a, trang 105 _SBT Đại số 10 Nâng cao_NXB Giáo dục) Giải: ¿ x=cos t y =sin t Khi đó, ta có: ¿{ ¿ 1/ Vì x2+y2=1, nên ta có thể đặt: π | | |x + y| = |cos t +sin t|= √2 sin(t + ) ≤ √ (đpcm) 2/ Chứng minh tương tự Bài 14: Cho các số thực a,b CMR: ( a+b )4 ≤ 8(a +b 4) Giải: + Nếu a=0, thì bất đăng thức hiển nhiên đúng a ≠ , ( a+b )4 ≤ 8(a +b 4) + Nếu b −π π =tant ,t ∈ , a 2 ( ) ⇔ b b4 ≤ 8(1+ ) , đặt a a ( ) 1+ , bất đẳng thức tương: ( 1+tan t )4 ≤8 (1+tan t) ⇔ ( cos t +sin t ) ≤ 8(cos4 t +sin4 t) ,Cần chứng minh: 4 8(cos t+ sin t) − ( cos t+sin t ) ≥ 4 Thật vậy, ta có: 8( cos t+ sin t) − ( cos t+sin t ) = + cos x − 2sin x ≥ , (hiển nhiên) vì cos t ≥ −1 và −2 sin 2t ≥− Bài 15: Cho các số thực dương x,y,z Chứng minh rằng: √ z(x − z )+ √ z ( y − z )≤ √ xy (15) Giải: Vì x,y>0 suy ra: √ xy >0, đó: ⇔ √ z(x − z )+ √ z ( y − z )≤ √ xy z y x−z z + x x √ ⇔ y−z ≤1 y √√ √√ z y x−z z + x x y−z ≤1 y √√ √√ (√ ) (√ ) (√ ) (√ ) cần chứng minh: z + y Nhận xét: √ √ và [ ] z y y −z =1 và y ¿ z cos u= y y− z π sin u= , u∈ 0, y ¿{ ¿ đó: √ z ( x − z) z ( y − z) + ≤1 xy xy x−z z + x x √√ √√ z + x x− z =1 x nên ta có thể đặt: ¿ z cos v= x x− z π sin v = , v ∈ 0, x ¿{ ¿ √ √ [ ] y−z = cosu.sinv + cosv.sinu =sin(u+v) y 1, hiển nhiên Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài 16: Cho hai số thực x, y dương thỏa: x+y=1 Tìm GTNN biểu thức: T =xy + xy Giải: Từ giả thiết: ¿ x , y >0 x+ y=1 , nên ta có thể đặt: ¿{ ¿ 2 Ta có: T =sin t cos t+ ¿ x=sin2 t ( π2 ) y=cos t , t ∈ 0, ¿{ ¿ 1 = sin2 2t + 2 sin t cos t sin t 2 đặt u = sin2t, ĐK: 0<u ≤ , đó: T = u + =f(u) u (16) f’(u)= u− , f’(u) = ⇒ u=±2 u BBT: u f’(u) −∞ + -2 0 - - +∞ + +∞ f(u) Vậy: Min T= −∞ +∞ 17 −∞ 17 , u=1= sin2t π ⇒ t= ⇒ x= y= 2 xy+ y P= , với x khác y xy +2 x +1 Bài 17: Tìm GTLN, GTNN biểu thức: và thỏa mãn: x2 + y2 =1 Giải: Với giả thiết: ¿ x≠ y x 2+ y =1 , ta có thể đặt: ¿{ ¿ ¿ x=cos t ¿ { { y=sin t , t ∈ [ 0,2 π ] { π } , đó, no ¿ ta có: P= sin t cos t+cos t 2sin t+ cos 2t +1 = ⇔ (2 P − 2) sin 2t −( P+1)cos 2t=1 − P 2sin t − 2cos 2t +4 sint cos t+2 sin t+1 (vì 2sin2t-2cos2t+4 0, ∀ t ) Phương trình có nghiệm ⇔ ⇔ ( P −2 )2+ ( P+1 )2 ≥ ( −4 P )2 P2 − P − ≤ ⇔ −1 ≤P≤1 (17) ¿ Max P=1 ⇔cos t=−1 ⇔ cos t=0=x sin t=±1= y ¿ −1 Min P= ⇔ sin 2t=1 ⇔ cos t=± =x √2 sin t=∓ = y √2 ¿ ¿{ ¿ Vậy: Bài 18: Cho hai số thực x, y dương thỏa: x+y=1 Tìm GTNN biểu thức: Q= x y + √ 1− x √1 − y Giải: ¿ x=cos2 t ( π) ĐK: 0<x,y<1 đặt: y=sin t ,t ∈ 0, ¿{ ¿ Q= 2 3 cos t sin t cos t +sin t (sin t +cos t)(1 −sin t cos t ) , + = = sin t cos t sin t cos t sin t cos t π Đặt u=sint+cost = √ 2sin (t+ ) , Q= u− u3 =f (u) , ta có: u2 −1 1<u ≤ √ u − 1¿2 ¿ ¿ −(u4 + 3) f ' (u)= ¿ suy hàm số f(u) giảm trên ¿ Do đó: π π Min Q=f (√ 2)=2 ⇔u=2⇒ sin(t+ )=1⇔ t= ⇒ x= y= 4 (18) Bài 19: Cho các số thực x,y thay đổi thỏa: x2+y2=2 Tìm GTLN, GTNN P=2(x3+y3)-3xy.(Trích đề thi Cao đẳng khối A,B,D _năm 2008_ Bộ GD&ĐT) Giải: Từ giả thiết ta có thể đặt: ¿ x=√ cos t y =√ 2sin t ¿{ ¿ P=4 √ 2(cos t +sin t)(1 −sin t cos t) −6 sin t cos t π Đặt u=sint+cost = √ 2sin (t+ ) , − √ ≤u ≤ √2 ,ta có: P=− √ u3 − u2+ √ u+3=f (u) f ' (u)=0 ⇔ u= √2 ¿ f ' (u)=− √ 2u −6 u+ √2 , u=− √ (thỏa) ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ f (− √ 2)=7 , f ( √ 2)=1 , f 13 = √2 ( ) Vậy: Max P=13/2 và Min P=-7 Bài 20: Cho hai số thực x, y dương thỏa: x+y=2 CMR: x y (x + y 3)≤ (India MO 2003) Giải: Từ giả thiết: ¿ x , y >0 x+ y=2 , nên ta có thể đặt: ¿{ ¿ ¿ x=2cos t ( π2 ) y=2 sin t , t ∈ 0, ¿{ ¿ 3 3 6 6 Ta có: x y ( x + y )=512 ( sin t cos t ) ( cos t +sin t ) =8 sin t − sin t =K ( ) (19) Đặt u=sin22t, ĐK: 0<u ≤ ,do đó: K=8u3-6u4 =f(u) f’(u)=24u2-24u3 f’(u)=0 ⇒ u=1 BBT: u ’ f (u) −∞ + 0 + f(u) +∞ - −∞ Nhìn vào BBT ta thấy 0< f(u) −∞ 2, nên suy ra: x y (x + y 3)≤ (đpcm) Bài 21: Tìm GTLN,GTNN biểu thức: A= √ x −1+√ − x (bai 17, trang112_ SGK Đại số 10 Nâng cao) Giải: ĐK: 1≤ x ≤ ¿ √ x −1= √3 cos t π √ − x ¿2=3 Vì √ x −1 ¿2 +¿ , nên đặt: √ − x=√3 sin t , 0≤ t ≤ ¿ { ¿ ¿ π Ta có: A= √3 ( cos t +sin t )=√ sin t + ( ) π π π √2 Mặt khác, vì: ≤t ≤ nên ≤ sin t+ ≤ ⇒ √ 3≤ √ sin t + ≤ √ ( ) Vậy: Max A=√ , Bài 22: Cho hệ: ( ) Min A=√ ¿ x + y 2=16(1) u2 + v 2=9(2) xu + yv ≥ 12(3) ¿{ { ¿ Tìm nghiệm hệ để biểu thức P = x+u và F = x.u đạt GTLN Giải: (20) ¿ x=4 cos a y=4 sin a , a ∈ [ 0,2 π ] ¿ { ¿ Đặt: và ¿ u=3 cos b v =3 sin b , b∈ [ 0,2 π ] ¿{ ¿ x u+ y v=12(cos a cos b+sin a sin b)≥ 12 b) thay vào (3) ta được: ⇔cos (a − b)≥ ,nhưng vì cos(a- 1, nên suy ra: cos(a-b)=1 a=b Do đó: P=x+u= cos a+3 cos a=7 cos a ≤7 Vậy Max P=7 ⇔ a=b=k π ⇒ a=b=0 và a=b= π suy tương ứng với nghiệm hệ là: x=4,y=0,u=3,v=0 F=x.u= cos a cos a=12 cos a ≤ 12 Vậy Max F=12⇔ cos a=±1 ⇔ a=kπ ⇒ a=b=0 , a=b= π và a=b= 2 , suy tương ứng với nghiệm hệ là: x=4,y=0,u=3,v=0 và x=-4,y=0,u=3,v=0 (21) BÀI TẬP THAM KHẢO Bài 1: Giải các phương trình sau: 1/ x 3+ √ ( − x ) =x √ ( − x ) 2/ √ 1− x −2 x √ 1− x2 −2 x 2+1=0 3/ 64 x − 112 x +56 x −7=2 √1 − x −2 x ¿ ¿ (2 − √ − x 2) ¿ 4/ √(2 − √ − x )( 4+2 x ) − √ ¿ 5/ x −1 ¿ (2 x − x+1) 2 √ 1− √2 x − x +√ 1+ √ x − x =2 ¿ , (ĐH Bách Khoa TP.HCM_2001) 6/ √ 1− x + √ 1+ x= 1− x + 1+2 x √ 1+2 x √ 1− x 7/ √ ( x+1 ) ( 2− x )=1+2 x −2 x 8/ 3 √ 1+ √1 − x [ √( − x ) − √ ( 1+ x ) ] =2+√ 1− x 9/ x+ x 35 = √ x −1 12 10/ x+ x =2 √ √ x −1 Bài 2: Định m để phương trình sau có nghiệm: 1/ √ 2− x+ √ 2+ x − √ ( 2− x ) ( 2+ x )=m 2/ √ x+ √ − x= √− x2 +9 x +m (ĐH Y_ Dược TP.HCM_1997) 3/ √ 3+ x+ √6 − x+ √( − x ) ( 3+ x )=m (ĐH Kinh tế TP.HCM_1996) 4/ √ x+ √ − x=m 5/ √ 1− x 2=m−3 6/ √ x − 16=m−2 x 7/ x m x 2 x (Trích đề thi tuyển sinh Đại Học khối A _2007 Bộ GD&ĐT) (22) 1 +m Bài 3: Cho phương trình: x + √1 − x 1/Giải phương trình m= 2+ √3 2/Định m để phương trình có nghiệm Bài 4: Giải các bất phương trình sau: 1/ x+ 2/ x 35 = √ x −1 12 3x > −1 − x √ 1− x Bài 5: Tìm m để bất phương trình: √(3+ x )(7 − x) ≤ x2 − x+ m có nghiệm đúng với ∀ x ∈ [ −3,7 ] Bài 6: Giải các hệ phương trình sau: ¿ log ( 1+3 √ − x ) =log ( 1− y ) +2 1/ log ( 1+3 √ − y ) =log ( − x ) +2 ¿{ ¿ ¿ x2 + y 2=3 2/ x+ y+ xy=1+ √2 ¿{ ¿ ¿ x + √ 1− y 2=2 3/ y+ √1 − x 2=2 ¿{ ¿ ¿ x + y =1 4/ x3 − y = x + y ¿{ ¿ ¿ x 2+ y =1 5/ x 2+ x + y −3 xy=1 ¿{ ¿ (CĐSP_ Hải Dương_2006) (23) Bài 7: Cho x,y là hai số thực không âm thỏa: x+y=1 Tìm GTNN biểu thức: T =3 √ 1+2 x 2+ √ 40+ y Bài 8: Cho hai số thực x,y thỏa: x2+y2=4 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P=x √ 2+ y + y √ 2+ x Bài 9: Cho hai số thực x, y dương thỏa: x+y=1 Tìm GTNN biểu thức: F= 1 + x + y xy Bài 10: Cho hai số thực x, y dương thỏa: x+y=1 Tìm GTNN,GTNN x y biểu thức: P= y +1 + x+ Bài 11: Cho hai số thực x, y dương thỏa: x+y=1 Tìm GTNN biểu thức: F=x 2+ 1 + y2+ 2 x y Bài 12: Cho x2+y2=1 và u2+v2=1 Chứng minh: −2 ≤( x − y)(u+ v )+(x + y )(u− v )≤ (24) LỜI KẾT Nói đến bài toán: Giải phương trình,bất phương trình, hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số, là nói đến bài toán rộng lớn Tuy nhiên khuôn khổ đề tài tôi nêu cách giải cho dạng toán thường gặp Khi dùng phương pháp ứng dụng lượng giác để giải bài toán trên, ta nên nhấn mạnh cho học sinh là gặp bài toán dạng nào thì dùng phương pháp lượng giác Trên đây là số suy nghĩ tôi, mong đóng góp cùng đồng nghiệp để giúp học sinh giải tốt các bài toán: Giải phương trình,bất phương trình, hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Ba Tơ,Ngày 16 Tháng Năm 2011 Người Viết sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Đăng Khoa (25) Nhận xét, đánh giá HĐCM trường THPT Ba Tơ ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… …………………………………………………………… Nhận xét, đánh giá HĐCM Sở GD&ĐT Quảng Ngãi ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… (26)