SKKN Ứng dụng lượng giác trong bài toán Đại số

Ứng dụng lượng giác trong bài toán Đại số G .V: Nguyễn Đăng Khoa LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Khi giải xong một bài toán chúng ta thường đặt ra câu hỏi là còn có phương pháp giải nào khác không? Từ đó ta tìm tòa hướng giải và rút ra phương pháp giải cho phù hợp với đối tượng học sinh Trong quá trình giảng dạy và tìm hiểu qua sách báo Tôi rút ra kinh nghiệm ứng dụng lượng giác để giải những phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số và chứng minh đẳng thức, tìm GTLN_ GTNN của biểu thức. Những năm qua tôi thường dùng phương pháp này giảng dạy cho học sinh khối 12 ôn luyện thi đại học và nhận thấy đa số các em tiếp thu kiến thức rất nhẹ nhàng. Bài viết này tôi xin trình bày đề tài: “ Ứng dụng lượng giác để giải phương trình,bất phương trình,hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất_ giá trị nhỏ nhất của hàm số”.Trong các đề thi tuyển sinh Đại Học, Cao Đẳng của những năm qua ta thấy có bài toán giải được bằng phương pháp lượng giác. Khi biên soạn đề tài bản thân đã có nhiều cố gắng, song không thể tránh khỏi sự thiếu sót, mong nhận được sự góp ý chân tình của đồng nghiệp và Hội đồng chuyên môn của nhà trường để các tài liệu sau của tôi được tốt hơn. Xin chân thành cám ơn! Ba Tơ, thang 5 năm 2011. Người thực hiện đề tài Nguyễn Đăng Khoa Trang 1 Ứng dụng lượng giác trong bài toán Đại số G .V: Nguyễn Đăng Khoa NỘI DUNG I.Cơ Sở Lí Thuyết: Từ một bài toán: phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và chứng minh đẳng thức, tìm GTLN_ GTNN của biểu thức đại số, ta chuyển sang giải phương trình, chứng minh đẳng thức, tìm GTLN_ GTNN của biểu thức lưọng giác thì đòi hỏi chúng ta phải nắm vững các công thức lượng giác, kĩ thuật biến đổi lượng giác,tính tuần hoàn của các hàm số y= sinx , y= cosx, y= tanx, y=cotx và các tính chất: Rxxxxx ∈∀=+≤≤−≤≤− ,1cossin,1cos1,1sin1 22 DẠNG 1: Nếu bài toán chứa:[f(x)] 2 +[g(x)] 2 =1, thì có thể đặt:    = = txg txf sin)( cos)( hoặc    = = txf txg sin)( cos)( DẠNG 2: Nếu bài toán chứa: 22 xa − thì có thể đặt:       −∈= 2 , 2 ,sin|| ππ ttax hoặc x= [ ] π ,0,cos|| ∈tta DẠNG 3: Nếu bài toán chứa: 22 ax − thì có thể đặt: { } 0\ 2 , 2 , sin ||       −∈= ππ t t a x hoặc [ ]       ∈= 2 \,0, cos || π π t t a x DẠNG 4: Nếu bài toán chứa: 22 xa + thì có thể đặt:       −∈= 2 , 2 ,tan|| ππ ttax hoặc ( ) π ,0,cot|| ∈= ttax . DẠNG 5: Nếu bài toán chứa: xa xa − + hoặc xa xa + − thì có thể đặt: x=acos2t. DẠNG 6: Nếu bài toán chứa: ))(( xbax −− thì có thể đặt: x=a+(b-a)sin 2 t. Trang 2 Ứng dụng lượng giác trong bài toán Đại số G .V: Nguyễn Đăng Khoa II.Nội Dung: Bài 1: Giải phương trình: 1 1 2 2 =       − + x x x . (1) (Bài 4.72,d. trang114_ sách Bài tập Đại Số 10 Nâng cao, xuất bản năm 2006). Giải: ĐK: 1≠x Đặt:      = − ≠= )(cos 1 )(1sin bt x x atx , thay (a) vào (b) ta được: 1sin sin cos − = t t t )(0cos.sincossin ctttt =−+⇔ . Đặt u=sint+cost, đk: 2|| ≤u ,phương trình (c) thành: 0 2 1 2 = − − u u     −= += ⇔=−−⇔ )(21 )(21 012 2 thoau loaiu uu vậy: sint +cost = 21−       −±−=⇔=−+−−⇔−= − +⇒ 12221 2 1 021)21(21 1 2 xxx x x x . Do đó phương trình có nghiệm là:       −±−= 12221 2 1 x . Bài 2: Giải phương trình: 23 134 xxx −=− (2) Giải: ĐK: 11 ≤≤− x . đặt x=cost, t ∈ [ π ,0 ] phương trình (2) thành: 4cos 3 t - 3cost=sint ⇔       +−= += ⇔−== π π ππ π kt kt ttt 4 28 ) 2 cos(sin3cos Trang 3 Ứng dụng lượng giác trong bài toán Đại số G .V: Nguyễn Đăng Khoa Vì t ∈ [ π ,0 ] nên ta chọn được: 4 3 , 8 5 , 8 πππ === ttt . Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: 2 2 4 3 cos, 2 22 8 5 cos, 2 22 8 cos −== − −== + == πππ xxx . Bài 3: Giải phương trình: x 3 - 3x-1=0 (3). Giải: Đặt x=cost, t ∈ [ π ,0 ] , phương trình (3) thành: 8cos 3 t - 6cost = 1 2 1 3cos =⇔ t ⇔       +−= += 3 2 9 3 2 9 ππ ππ kt kt Vì t ∈ [ π ,0 ] nên ta chọn được: 9 7 , 9 5 , 9 πππ === ttt . Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: 9 7 cos2, 9 5 cos2, 9 cos2 πππ === xxx . Bài 4: Giải phương trình: 2 2 21 2 121 x xx −= −+ (4) Giải: ĐK: 2 2 ≤x . Đặt x=sint 2 2 sin ≤⇒ t ⇒≤⇒ 4 π t 1cos 2 2 ≤≤ t , phưong trình thành: tt tt 2cossin21 2 cos.sin21 2 =−= + t t 2cos 2 2sin1 2 = + ⇔ (vì 02cos 4 ≥⇒≤ tt π )     = −= ⇔=−+⇔ 2 1 2sin 12sin 012sin2sin2 2 t t tt Trang 4 Ứng dụng lượng giác trong bài toán Đại số G .V: Nguyễn Đăng Khoa • Với sin2t = -1 π π kt +−=⇔ 4 , vì 4 π ≤t nên ta chọn được nghiệm t= 4 π − ⇒ nghiệm của phương trình là: 2 2 −=x • Với sin2t =       += += ⇔ π π π π kt kt 12 5 12 2 1 , vì 4 π ≤t nên ta chọn được nghiệm t= 12 π ⇒ nghiệm của phương trình là: 2 32 12 sin − == π x Vậy phương trình có nghiệm là: 2 2 −=x và 2 32 − =x Bài 5: Định m để phương trình: mxx −=− 2 1 (5) có nghiệm. Giải: ĐK: 11 ≤≤− x . Đặt x=cost, với [ ] π ,0∈t . Phương trình thành: sint = cost – m 2 ) 4 cos(sincos m tmtt =+⇔=−⇔ π . Vì [ ] π ,0∈t 4 5 44 πππ ≤+≤⇔ t nên suy ra: 2 2 ) 4 cos(1 ≤+≤− π t . Vậy để phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: 12 2 2 2 1 ≤≤−⇔≤≤− m m . Bài 6: Cho phương trình: mxx =−+− 3 22 121 (6) 1/ Định m để phương trình (6) có nghiệm. 2/ Định m để phương trình (6) có nghiệm duy nhất. Giải: ĐK: 11 ≤≤− x . Trang 5 Ứng dụng lượng giác trong bài toán Đại số G .V: Nguyễn Đăng Khoa Đặt x=cost, với [ ] π ,0∈t . Phương trình thành: mtt =−+− 3 22 cos12cos1 mtt =+⇔ 3 2 sin.2sin (a) 1/ * Khi t=0 ⇒ x=cos0 =1 ⇒ m=0 (thỏa) * Khi t= π ⇒ x=cos π =-1 ⇒ m=0 (thỏa) * Khi ( ) π ,0∈t , (a) m t t t =+⇔ 3 sin sin2 sin (b). đặt u= 1u0,sin 3 ≤<t , phương trình (b) thành: u 3 +2u 2 =m (c) xét hàm số f(u) = u 3 +2u 2 , với 1u0 ≤< . f’(u)=3u 2 +4u, f’(u)=0 0 4 3 u u =   ⇒  = −  BBT: u ∞− 3 4 − 0 1 ∞+ f ’ (u) + 0 - 0 + f(u) ∞+ 3 ∞− 0 Vậy để (6) có nghiệm khi và chỉ khi (c) có nghiệm thuộc ( ] 1,0 ⇔ 30 ≤< m . 2/ Ta thấy: *Khi m=0 thì 1±=x ,không thỏa mãn bài toán (tức là tương ứng với t=0 và t= π ). *Khi ( ) π ,0∈t , (a) m t t t =+⇔ 3 sin sin2 sin (b). đặt u= 1u0,sin 3 ≤<t , phương trình (b) thành: u 3 +2u 2 =m (c) xét hàm số f(u) = u 3 +2u 2 , với 1u0 ≤< . BBT: u ∞− 3 4 − 0 1 ∞+ f ’ (u) + 0 - 0 + Trang 6 Ứng dụng lượng giác trong bài toán Đại số G .V: Nguyễn Đăng Khoa f(u) ∞+ 3 ∞− 0 để phương trình (6) có nghiệm duy nhất ⇔ phương trình theo ẩn cost có nghiệm duy nhất ⇔ sint = 1 ⇔ u = 1 ⇔ m =3. (vì sin 2 t + cos 2 t =1, nếu sint 1≠ thì có hai giá trị của cost ⇒ không thỏa mãn bài toán). Vậy với m=3 thì phương trình có nghiệm duy nhất. Bài 7:Cho phương trình: mxxxx =−++−++ )8)(1(81 (7) 1/Giải phương trình khi m=3. 2/Định m để phương trình có nghiệm. Giải: ĐK: 81 ≤≤− x Đặt x = -1+9sin 2 t, với       ∈ 2 ,0 π t (vì hàm số y=sin 2 t tuần hoàn có chu kì là π và là hàm số chẵn nên ta chỉ cần xét trên đoạn       2 ,0 π ) Phương trình (7) thành: mtttt =−+−+ )sin1(9.sin9)sin1(9sin9 2222 mtttt =++⇔ cos.sin9)cos(sin3 (a) Đặt 21,) 4 sin(2cossin ≤≤+=+= utttu π , phương trình (a) thành: 9u 2 +6u- 9=2m 1/ Khi m=1, ta có: 9u 2 +6u-15=0     −= = )( 3 5 )(1 loaiu thoau với u=1 2 2 ) 4 sin( =+⇒ π t     += = ⇔ π π π 2 2 2 kt kt , vì       ∈ 2 ,0 π t nên chọn được: t=0 và t = 2 π với t = 0 1−=⇒ x . Trang 7 Ứng dụng lượng giác trong bài toán Đại số G .V: Nguyễn Đăng Khoa với t = 2 π 8=⇒ x . Vậy phương trình có nghiệm: x=-1 và x=8. 2/ Xét hàm số f(u) = 9u 2 +6u-9 BBT: u ∞− 3 1 − 1 2 ∞+ f ’ (u) - 0 + ∞+ ∞+ f(u) 9+ 26 6 -10 Vậy để phương trình có nghiệm ⇔ 23 2 9 326926 +≤≤⇔+≤≤ mm • Chú ý: Nếu bài toán yêu cầu định m để phương trình có nghiệm duy nhất, thì điều kiện có nghiệm của phương trình cũng là điều kiện có nghiệm duy nhất. bởi vì khi cost nhận một giá trị thuộc đoạn [1-,1] thì sin 2 t chỉ có duy nhất một giá trị tương ứng). Bài 8: Giải bất phương trình: 99 22 −≥+ xxx (8) Giải: đặt x=3tant,       −∈ 2 , 2 ππ t phương trình thành: 3tant. 9tan9)tan1(9 22 −≥+ tt 3 1 tan1sin 2 1 01sinsin2cossinsin1 cos sin cos sin 222 2 2 2 − ≥⇔≤≤−⇔≤−−⇔−≥⇔−≥⇔ ttttttt t t t t 3tan3 −≥⇔ t . Vậy nghiệm của bất phương trình là: 3−≥x . Bài 9: Tìm m để bất phương trình: xmx −≥− 2 1 (9) có nghiệm Giải: ĐK: 11 ≤≤− x . Trang 8 Ứng dụng lượng giác trong bài toán Đại số G .V: Nguyễn Đăng Khoa Đặt x=cost, với [ ] π ,0∈t . Phương trình thành: sint + cost m≥ mt ≥+⇔ ) 4 sin(2 π Mà ≤−⇔≤+≤− 11) 4 sin( 2 2 π t 2) 4 sin(2 ≤+ π t . Vậy để bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi m 2) 4 sin(2 =+≤ π tMax . Bài 10: Giải hệ phương trình: (I)      =+ =−+ )2(43 )1(3232 22 22 yx yxyx (Trích đề thi cao đẳng khối A_ năm 2007) Giải: Ta có (2) 1 3 2 2 2 2 =             +       ⇔ yx , nên đặt:      = = ty tx sin 3 2 cos2 , thay vào phương trình (1) ta được: 3sin 3 8 cos.sin 3 12 cos8 22 =−+ tttt ⇔ 0sin317cos.sin36cos315 22 =−+ tttt (3). Vì cost =0 không phải là nghiệm của phương trình, nên chia hai vế của phương trình (3) cho cos 2 t ta được:       = − = ⇔=−− 317 51 tan 317 15 tan 0315tan36tan317 2 t t tt Trang 9 Ứng dụng lượng giác trong bài toán Đại số G .V: Nguyễn Đăng Khoa * với tant= 317 15− 912 17 cos ±=⇒ t và 912 35 sin =t , suy ra nghiệm của hệ phương trình là:        −= = 91 5 91 17 y x và        = −= 91 5 91 17 y x * với tant = 317 51 2 1 cos ±=⇒ t và 2 3 sin ±=t , suy ra nghiệm của hệ phương trình là:    = = 1 1 y x và    −= −= 1 1 y x Bài 11: Giải hệ phương trình: (II)      =+ =−− )2(25 )1(1 1 log)(log 22 4 4 1 yx y xy (Trích đề thi Đại học_ Cao đẳng, khối A_ năm 2004) Giải: ĐK:    > > 0y xy Với điều kiện trên hệ (II) ⇔      =+ =+− 25 1 1 log)(log 22 4 1 4 1 yx y xy ⇔      =+ =− 25 )3( 4 11 )( 22 yx y xy đặt:    = = ,sin5 cos5 ty tx (sint>0 và sint >cost), thay vào phương trình (3) ta được: Trang 10 [...]... CÁC TỪ VIẾT TẮT TRONG TÀI LIỆU Trang 23 Ứng dụng lượng giác trong bài toán Đại số 1/ Sách giáo khoa: SGK 2/ Sách bài tập: SBT 3/ Giá trị lớn nhất: GTLN 4/ Giá trị nhỏ nhất: GTNN 5/ Bảng biến thiên: BBT 6/ Điều kiện xác định của bài toán: ĐK 7/ Nhà xuất bản: NXB 8/ Điều phải chứng minh: đpcm 9/ Chứng minh rằng: CMR Trang 24 G V: Nguyễn Đăng Khoa Ứng dụng lượng giác trong bài toán Đại số Trang 25 G V:... phương trình, chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, là nói đến bài toán rộng lớn Tuy nhiên trong khuôn khổ của đề tài tôi chỉ nêu cách giải cho những dạng toán thường gặp Khi dùng phương pháp ứng dụng lượng giác để giải những bài toán trên, ta nên nhấn mạnh cho học sinh là khi gặp bài toán dạng nào thì dùng được phương pháp lượng giác Trên đây là một số suy nghĩ... 3 xy x +y 3 Bài 10: Cho hai số thực x, y dương thỏa: x+y=1 Tìm GTNN,GTNN của x y biểu thức: P = y + 1 + x + 1 Bài 11: Cho hai số thực x, y dương thỏa: x+y=1 Tìm GTNN của biểu thức: F = x2 + 1 1 + y2 + 2 2 x y Bài 12: Cho x2+y2=1 và u2+v2=1 Chứng minh: − 2 ≤ ( x − y )(u + v) + ( x + y )(u − v) ≤ 2 Trang 21 Ứng dụng lượng giác trong bài toán Đại số G V: Nguyễn Đăng Khoa LỜI KẾT Nói đến bài toán: Giải... 10 x = 3 x = 1 và  y = 1 y = 3 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là:  Trang 11 Ứng dụng lượng giác trong bài toán Đại số G V: Nguyễn Đăng Khoa Bài 13: CMR: 1/ Nếu x2+y2=1 thì x + y ≤ 2 (bài tập 20, trang 112 _SGK Đại số 10 Nâng cao_ NXB Giáo dục) 2/ Nếu x2+y2=1 thì x + 2 y ≤ 5 (bài tập 4.23a, trang 105 _SBT Đại số 10 Nâng cao_NXB Giáo dục) Giải:  x = cos t Khi đó, ta có:  y = sin t 1/ Vì x2+y2=1,...  Trang 20 Ứng dụng lượng giác trong bài toán Đại số G V: Nguyễn Đăng Khoa x 2 + y 2 = 1  1 4/  3 3 3 x − y = x + y  x 2 + y 2 = 1  5/  2 6 x + x + y − 3 xy = 1  Bài 7: Cho x,y là hai số thực không âm thỏa: x+y=1 Tìm GTNN của biểu thức: T = 3 1 + 2 x 2 + 2 40 + 9 y 2 Bài 8: Cho hai số thực x,y thỏa: x2+y2=4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x 2+ y + y 2+ x Bài 9: Cho hai số thực x,... x ≥ 0 , (hiển nhiên) vì cos 4t ≥ −1 và − 2 sin 2t ≥ −2 Bài 15: Cho các số thực dương x,y,z Trang 12 Ứng dụng lượng giác trong bài toán Đại số G V: Nguyễn Đăng Khoa Chứng minh rằng: z ( x − z ) + z ( y − z ) ≤ xy Giải: Vì x,y>0 suy ra: xy >0, do đó: z ( x − z ) + z ( y − z ) ≤ xy ⇔ z y x−z + x z x z( x − z) + xy z( y − z) ≤1 ⇔ xy y−z ≤1 y cần chứng minh: x−z + x z y 2 z x y−z ≤1 y 2 2 2  z   y−z... lượng giác Trên đây là một số suy nghĩ của tôi, mong đóng góp cùng đồng nghiệp để giúp học sinh giải tốt các bài toán: Giải phương trình,bất phương trình, hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Trang 22 Ứng dụng lượng giác trong bài toán Đại số G V: Nguyễn Đăng Khoa Nhận xét, đánh giá HĐCM trường THPT Ba Tơ ………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………... 2π ⇒ a = b = 0 và a=b= 2π suy ra tương ứng với nghiệm của hệ là: x=4,y=0,u=3,v=0 • F=x.u= 4 cos a.3 cos a = 12 cos 2 a ≤ 12 Vậy Max F = 12 ⇔ cos a = ±1 ⇔ a = kπ ⇒ a = b = 0 , a=b= π và a=b= 2π , suy ra tương ứng với nghiệm của hệ là: x=4,y=0,u=3,v=0 và x=-4,y=0,u=3,v=0 Trang 18 Ứng dụng lượng giác trong bài toán Đại số G V: Nguyễn Đăng Khoa BÀI TẬP THAM KHẢO Bài 1: Giải các phương trình sau: 1/ x... cosu.sinv + cosv.sinu =sin(u+v) ≤ 1, hiển y nhiên Vậy bất đẳng thức được chứng minh Bài 16: Cho hai số thực x, y dương thỏa: x+y=1 Tìm GTNN của biểu thức: T = xy + 1 xy Giải:  x = sin 2 t  x, y > 0  Từ giả thiết:  , nên ta có thể đặt:   π 2 x + y = 1  y = cos t , t ∈  0, 2     Trang 13 Ứng dụng lượng giác trong bài toán Đại số Ta có: T = sin 2 t cos 2 t + G V: Nguyễn Đăng Khoa 1 1 4 = sin 2... − u 3 ' < 0, ∀u suy ra hàm số f(u) giảm Q= 2 = f (u ) , ta có: f (u ) = 2 (u − 1) 2 u −1 trên (1, 2 ] Do đó: Min Q = f ( 2 ) = 2 ⇔ u = 2 ⇒ sin(t + π π 1 ) =1⇔ t = ⇒ x = y = 4 4 2 Bài 19: Cho các số thực x,y thay đổi thỏa: x2+y2=2 Tìm GTLN, GTNN của P=2(x3+y3)-3xy.(Trích đề thi Cao đẳng khối A,B,D _năm 2008_ Bộ GD&ĐT) Giải: Trang 15 Ứng dụng lượng giác trong bài toán Đại số G V: Nguyễn Đăng Khoa  .    = = 3 1 y x Trang 11 Ứng dụng lượng giác trong bài toán Đại số G .V: Nguyễn Đăng Khoa Bài 13: CMR: 1/ Nếu x 2 +y 2 =1 thì 2≤+ yx . (bài tập 20, trang 112 _SGK Đại số 10 Nâng cao_ NXB Giáo. x=acos2t. DẠNG 6: Nếu bài toán chứa: ))(( xbax −− thì có thể đặt: x=a+(b-a)sin 2 t. Trang 2 Ứng dụng lượng giác trong bài toán Đại số G .V: Nguyễn Đăng Khoa II.Nội Dung: Bài 1: Giải phương trình:. Đăng Khoa Trang 1 Ứng dụng lượng giác trong bài toán Đại số G .V: Nguyễn Đăng Khoa NỘI DUNG I.Cơ Sở Lí Thuyết: Từ một bài toán: phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và chứng minh đẳng