SKKN Sử dụng công cụ bất đẳng thức đại số để giải một số bài toán liên quan

A-ĐẶT VẤN ĐỀ Giỏo dục và đào tạo bao giờ cũng là cội nguồn của một nền văn hoỏ dõn tộc, làquốc sỏch hàng đầu của Đảng và Nhà nước ta, trong cụng cuộc cụng nghiệp hoỏhiện đại hoỏ đất nước

A-ĐẶT VẤN ĐỀ

Giỏo dục và đào tạo bao giờ cũng là cội nguồn của một nền văn hoỏ dõn tộc, làquốc sỏch hàng đầu của Đảng và Nhà nước ta, trong cụng cuộc cụng nghiệp hoỏhiện đại hoỏ đất nước ta hiện nay thỡ Giỏo dục và đào tạo lại càng trở nờn cú vịtrớ đặc biệt quan trọng, vỡ vậy việc phỏt hiện và bồi dưỡng nhõn tài cho Đấtnước là một vấn đề rất quan trọng và cần thiết trong việc dạy học toỏn hiện nay,nhằm phỏt huy năng lực tư duy của học sinh trong quỏ trỡnh giải toỏn và phỏthiện những học sinh cú năng lực về toỏn học Đỳng như tiờu đề sỏng kiến nhằmtổng hợp đưa ra cỏc phương phỏp giải toỏn cú tớnh chất chọn lọc , nhờ khai thỏc

Sở giáo dục -đào tạo thanh hoá

Phòng giáo dục-đào tạo hoằng hoá

phát triển và sử dụng bất đẳng thức học sinh đã được học trong chương trìnhtoán THCS

Để đáp ứng nhu cầu tìm hiểu , học tập của giáo viên và học sinh nhiềuphương pháp giải những dạng toán khó đã được xây dựng ,sử dụng bất đẳngthức đã biết vào giải quyết một số bài toán khác , nhằm mục đích đưa ra một tàiliệu cho học sinh , giáo viên tìm hiểu và tham khảo thêm và cũng là một tài liệugiúp cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi, thi vào lớp 10-THPT, THPT chuyên củagiáo viên được tốt hơn

Với rất nhiều mục đích mà sáng kiến đưa ra , nhưng với thời gian , kiến thức

và kinh nghiệm của bản thân còn khiêm tốn , việc biên soạn phụ thuộc vào nhiềuyếu tố : tài liệu tham khảo, thực tế , thời gian…chắc chắn rằng nội dung củasáng kiến còn chưa được phong phú Nhưng với sự cố gắng của bản thân chắcchắn sáng kiến là một tài liệu quan trọng cho những người quan tâm đến việcdạy học toán hiện nay

Rất mong nhận được sự đóng góp chân thành của bạn đọc đẻ sáng kiếnđược hoàn thiện hơn giúp ích cho việc dạy học toán ngày càng hiệu quả cao hơn

A CƠ SỞ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:

1 Thực trạng vấn đề cần giải quyết :

Xét một cách toàn diện, toàn bộ học sinh ở cấp THCS “ Rất ngại” phải “

Chạm trán”với những bài toán có nội dung tổng hợp Nguyên nhân chủ quan là

các em không định hướng

được cách giải , nguyên nhân khách quan là tính đa dạng của bài toán Trongkhi đó kiến thức và thời lượng mà các em được truyền thụ trong trường THCScòn hạn chế Nên hầu hết học sinh thường gặp khó khăn khi gặp các bài toán

có nội dung tổng hợp , nhất là trong các kỳ thi học sinh giỏi , thi vào lớp THPT chuyên , Vì vậy việc rèn luyện kỹ năng , bồi dưỡng năng lực cho họcsinh học tập bộ môn toán ở cấp THCS là rất cần thiết Bài viết này giới thiệucách giải một số bài toán thường gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi , thi vào lớp10-THPT …nhờ sử dụng công cụ đã biết

Vậy, tôi mạnh dạn đề suất một sáng kiến nhỏ, nhằm góp phần nâng cao chấtlượng giảng dạy trong các nhà trường THCS hiện nay và chuẩn bị hành changcho học sinh học tập bộ môn toán ở các lớp trên đó là:

SỬ DỤNG CÔNG CỤ

BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ

ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

2 Cơ sở lý luận :

-Với mục tiêu phát hiện , bồi dưỡng và phát triển những học sinh có năng lực về

bộ môn toán từ đó xây dựng cho học sinh kỹ năng nhận dạng các dạng bài vàrèn luyện kỹ năng giải toán và sự hứng thú của học sinh trong việc học tập bộmôn toán hiện nay

-Thúc đẩy việc tìm hiểu mở rộng kiến thức thêm của giáo viên cũng như của họcsinh

-Xây dựng một tài liệu hoàn chỉnh về một số dạng toán khó thường gặp trongcác kỳ thi học sinh giỏi , thi vào lớp 10-THPT chuyên ở cấp THCS

-Với nội dung của sáng kiến kinh nghiệm này không chỉ phù hợp với những họcsinh có học lực khá, giỏi mà những học sinh yếu hơn vẫn có thể tham khảo được-Việc vận dụng của sáng kiến kinh nghiệm không những giới hạn ở cấp THCS

mà còn vận dụng ở nhiều cấp học cao hơn

3 Cơ sở thực tế :

-Thực tế chương trình sách giáo khoa chưa xây dựng hoàn chỉnh về nội dung vàphương pháp giải của một số dạng toán khó ,thường chỉ mang tính chất giớithiệu chưa sâu về phương pháp của một số dạng toán mà chỉ mang tính chấtgiới thiệu

-Những học sinh muốn tìm hiểu thêm còn lúng túng trong việc tìm tài liệu cònchưa tập trung và mất nhiều thời gian tìm tòi lời giải

-Cần thiết phải xây dựng một số chuyên đề về toán học làm tài liệu tham khảocho việc giảng dạy và học toán được tốt hơn

-Cần khai thác và phát triển cao hơn , đầy đủ và hoàn thiện hơn một số dạngtoán cơ bản ở trường THCS

-Việc viết sáng kiến kinh nghiệm là một công việc thường xuyên , một địnhhướng của ngành

4 Đối tượng nghiên cứu :

Học sinh lớp 9 THCS Hoằng Xuân , dự thi học sinh giỏi , thi vào lớp 10-THPT

B MỤC ĐÍCH VÀ YÊU CẦU :

1 Mục đích :

-Giới thiệu đầy đủ về phương pháp giải và nội dung một số dạng toán thườnggặp ở cấp THCS

Nhờ “Sử dụng công cụ bất đẳng thức đại số,để giải một số bài toán liên quan”

-Làm cho học sinh hứng thú và yêu thích môn toán hơn, mong muốn được tìmhiểu và nghiên cứu sự thú vị , phong phú của bộ môn toán học, ứng dụng vàothực tế

-Phát hiện và bồi dưỡng những học sinh có năng khứu về môn toán

-Rèn luyện khả năng tự suy luận lôgic , phát triển trí tuệ và hoàn thiện nhân cáchcủa học sinh một cách toàn diện

-Làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh nghiên cứu thêm

-Ứng dụng kết quả của các dạng toán vào giải quyết một số bài toán thực tế khác

A,B là hai vế của bất đẳng thức,ta có:

0 0

* A  B A B , Dấu “=” xảy ra khi AB 0

* A  B A B , Dấu “=” xảy ra khi AB 0

4.Công cụ sử dụng phương pháp giải

-Sử dụng bất đẳng thức CôSi khi giải bài toán cực trị

*Chú ý: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Côsi

*Bài toán xuất phát:

Cho x y , 0.Tìm Min (giá trị nhỏ nhất) của:S x y

Vậy: x=y thì Min S=2

*Nhận xét: Từ bài toán trên nếu ta thay đổi miền xác định, được một bài toán

+Phân tích và tìm tòi lời giải:

Lập bảng biến thiên của S x 1

1 5

19

1 20S

1

3

3

1 4 4

1 5 5

19 19

1 20 20Theo bảng biến thiên ta thấy khi x tăng thì S càng lớn và từ đó dẫn đến dự đoánkhi x =3 thì S nhận giá trị nhỏ nhất Ta có thể nói : 10

Thí dụ 3:Cho a,b,c >0 và a+2b+3c20

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 9 4

Từ (1) suy ra dấu “=” xảy ra khi: 1 x  4

Từ(2) suy ra dấu “=” xảy ra khi: 2 x  3

Vậy: T có giá trị nhỏ nhất là 4 khi 2 x  3

Thí dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất của S=xyz.(x+y)(y+z)(z+x)

1

)(

(xy yz zx  xy yz xz   xy yz xz

Dấu “=” xảy ra khi

Vây:

729

8 27

1

Thí dụ 6: Cho xy+yz+zx=1 Tìm giá trị nhỏ nhất của x4 y4 z4

Thí dụ 7:Cho x,y là các số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

(Câu IV.2 thi ĐH khối B-năm 2007)

Giải: Ngoài cách giải bằng phương pháp toạ độ, xét tính chất biến thiên của

hàm số, sử dụng công cụ đạo hàm trong chương trình toán cấp THPT, ta cũng cóthể giải bài toán trên bằng phương pháp bất đẳng thức mà học sinh khá giỏi ởcấp THCS cũng có thể giải được

*Chú ý:Từ bài toán trên ta có hướng giải bài toán tổng quát sau:

Cho x,y là các số thực thay đổi

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A (x a ) 2 y2  (x a ) 2 y2  y b

Gọi cạnh huyền của tam giác là 2a

đường cao thuộc cạnh huyền là h

Hình chiếu các cạnh góc vuông lên cạnh huyền là x và y Ta có:

xy a h a ah h y

Vì :a không đổi mà x+y =2a

Vây: S lớn nhất khi x.y lớn nhất  x  y

Vây: trong các tam giác có cùng cạnh huyền thì tam giác vuông cân có diện tíchlớn nhất

b.Bài toán có nội dung cực trị hình học

I, Bài tập đưa về dạng vận dụng bất đẳng thức:( x+y) 2  0

Thí dụ 9: Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC có chu vi 8 cm ,

AB-AC=1cm sao cho đoạn tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp song song với BC bị chắn bởi hai cạnh kia có giá trị lớn nhất

Giải: hình :1

Gọi đoạn tiếp tuyến là DE Đặt BC=x Ta có :

Vì:DE//BC nên ADEđồng dạng   

BC

DE ABC

ABC chuvi

ADE chuvi

4 4 ) 2 ( ) 4 ( 4

x x

x DE

Thí dụ 10: Cho tam giác ABC và AD, BE, CF là các phân giác trong của nó

Gọi S0 và S lần lượt là diện tích của tam giác DEF và ABC Chứng minh rằng :

4S0 S

Giải:

Ký hiệu như hình 2, AB=c,BC=a,CA=b

S0=SDEF ,S=SABC ,S1=SAEF,S2=SBFD,S3=SCDE

Ta có :

4

3 4

S

S S

S S

S S

S

ATheo tính chất đường phân giác ta có: E

c a

bc AC

b AB

(

1

c a b a

bc AC

AE AB

AF S

(

; ) )(

(

3 2

b c a c

ab S

S c b

S S S

0 ) ( ) ( )

(

0 ) 2

( ) 2

( ) 2

(

6

6 3

3 3

3 3

3 4

4 4

4 4

4

) )(

)(

( 3 ) ( 4 ) ( 4 )

(

4

4

3 ) )(

( ) )(

( ) )(

(

2 2

2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2

2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

a

b

b ab a

c c bc b

a c ac

a

b

abc ca

a c bc c b ab

b

a

abc ca

a c bc c b ab b a ca a c bc c b ab

b

a

a c c b b a a c ca c b bc b

a

ab

b c a c

ab c

b a b

ac c

a

b

a

bc

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng nên ta có điều phải chứng minh :

II Bài tập đưa về dạng vận dụng bất đẳng thức :(x y) 2 4xy

Thí dụ 11: Chứng minh rằng trong các tứ giác lồi có hai đường chéo bằng m và

vuông góc , hình vuông có chu vi nhỏ nhất

Giải: B

( hình 3) Xét tứ giác ABCD có : AC BD,ACBDm( hằng số)

Kí hiệu như (hình vẽ 3 ) a/ c/ b/ d/ m a b/ b

( 4 ) )(

(

4

) (

)

cd bc ad ab d

b

c

a

d b c a d

Nên : ab +ad +bc +cd mb/ ma/ mc/ md/ m(a/ b/ c/ d/ )  2m2 ( 2 )

2 / 2

a b

a b a

Tương tự:

2

; 2

; 2

/ / /

/ /

d d c c c b

x y

dấu “=” xảy ra  x  y

Thí dụ 13:

Chứng minh rằng:

a, Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất

b, Trong các hình chữ nhật có cùng diện tích thì hình vuông có chu vi bé nhất

( bài tập 67, SBT toán 9 tập I-Nxb GD)

Giải: (ký hiệu như hình 4)

suy ra :

2

y x

xy   Vậy Max: xy=

2

y

x 

Dấu “=” xảy ra chỉ khi: x=y; điều đó

có nghĩa là trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất

b,Với các hình chữ nhật có cùng diện tích thì tích xy không đổi nên từ :

Cho tam giác ABC vuông tại A D là điểm nằm giữa hai điểm B và C E và F

lần lợt là hình chiếu của D lên AB và AC Hãy xác định vị trí của điểm D để tứ

giác AEDF có diện tích lớn nhất ?

( 2

.AC AE BE AF CF

 ; A F C

) ).(

(

CF BE AF AE CF

AF BE

AE CF

AF BE AE

khi và chỉ khi : AE=BE và AF=CF DB=DC; D là trung điểm của BC

Vậy : khi D là trung điểm của BC thì SAEDF Đạt giá trị lớn nhất và bằng

Cho đường tròn (O;R) và hai điểm B và C cố định trên (O;R) thoả mãn góc

BOC bằng 1200.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1

trên cung nhỏ BC của đường tròn (O;R);M B M; C)

(Bài VI-Thi vào lớp 10-THPT chuyên Đà Nẵng:Năm học 2008-2009)

A

Giải : hình 6

Gọi A là điểm chính giữa của cung lớn BC

Khi đó tam giác ABC là tam giác đều

Trên cạnh AM lấy điểm I sao cho: IM =MB ,

do BMI= BCA=600  BMI đều

Ta có: MBC=IBA(=600-CBI)

Lại có:BM =BI và BMC =BIA =1200

R M: là điểm chính giữa của cung nhỏ BC

IV.Bài tập đưa về dạng vận dụng bất đẳng thức Bu –nhia-côp-xki:

)

)(

( )

2

2 1

2 2

2 1

2 2

a b

Thí dụ 16:

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính MN Trong các hình chữ nhật

ABCD nội tiếp nửa

đường tròn (A và D thuộc MN , B và C thuộc nửa đường tròn )

b a b a R

b

a

Max

R b

a b

a b

a

2 1

2 5 )

2

(

5 ) )(

1 2 ( ) 1 2

Thí dụ 17: Cho điểm M cố định thuộc miền trong của góc vuông xOy Một

đường thẳng d qua M cắt Ox và Oy theo thứ tự tại A và B Xác định vị trí của đường thẳng d sao cho:

a)Diện tích tam giác OAB bé nhât? y

b)OA+OB bé nhất?

Giải: hình 8 B

Đặt OP =a,OQ =b, OA=x,OB =y Q M

Ta có:S OAB S OAM S OBM,suy ra:

1 a b 2 ab

   hình 8

Suy ra:2S OAB xy 4ab.Đẳng thức xảy ra chỉ khi:x 2 ;a y 2 ,b khi:d//PQ

Vậy: MinS OAB  2 ,ab khi:d//PQ

Vậy: Giá trị nhỏ nhất của OA OB  ( a b) 2  x a( a b y);  b( a b)

Thí dụ 18: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O bán

kính R.Gọi D,E,F lần lượt là giao điểm của các đường thẳng AO, với BC ,BO với AC ,CO với AB.Xác định dạng của tam giác ABC khi tổng:AD +BE +CF cógiá trị nhỏ nhất

Giải: hình 9

Kí hiệu S là diện tích

Ta có: AOC AOB AOB AOC

tam giác ABC đều

II.Dùng bất đẳng thức để giải phương trình, hệ phương trình

3 19

6

3

2

2 2

x

9 9 ) 1 ( 5 14

Dấu “=” xảy ra khi: x+1=0 x=-1

Gọi vế trái và vế phải của (1) là A và B

Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho hai bộ số (1,1  x) và

1 1

Vây:

2

1

; 1 2

3 4 4

Thí dụ 23: Giải hệ phương trinh

(Câu II.2.Thi ĐH khối A-năm 2007)

Giải: Ngoài cách giải thông thường trong chương trình toán THPT, ta có thể sử

dụng phương pháp bất đẳng thức mà học sinh khá giỏi cấp THCS cũng có thểgiải được

2 2

2

2 2

2

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 4

4

4

z y x xyz yz x xy z xz y x y z x x z y z z

y

y

x

y z z y y x x z z y y x z

y

x

z y

x

4 4 4

Thí dụ 25: Giải hệ phương trình sau:

) 1 ( 8 4

2

2

x xy

y xy

0 ) 2 (

0 2

2

y x

III.Dùng bât đằng thức để giải phương trình nghiệm nguyên

Thí dụ 26:Tìm các số nguyên x, y z thoả mãn bất đẳng thức

3 2 3

2 2 2

0 ) 1 ( 1 2

3 2 0

) 1 2 ( 3 3 4

3 4

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

z y x

Thí dụ 27:Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

2 1 1 1







z y x

Giải:

Không mất tính tổng quát ta giả sử xyz

Ta có:

3 2 3 1

1

1

2      z

z z

y

x

Mà z nguyên dương nên z=1

Thay z=1 vào phương trình ta được: 11  1

y x

Theo giả sử xy 1 11 1  y 2

y y

x mà y nguyên nên y 1 ,hoặc y 2Với y 1 , không thích hợp

Nên không có cặp số nguyên dương nào thoả mãn phương trình

Vây:phương trình có nghiệm duy nhất là:x=0;y=0

2

1 2010 2009

4 3

1 2

y x z

y

x

( thoả mãn điều kiện)

Vậy: nghiệm của phương trình là:(x;y;z)  ( 3 ; 7 ; 14 )

Thí dụ 31: Tìm nghiệm nguyên của phương trình :

( 6

1 0

10 6

1 2

1 2

4 ) ( 0 ) (

2 1 2 2

S xy

y x y

4 ) 10 2

(

6

1 1

2 1

2 1 1

4

2

1 2

1

S

S S

4

xy

y x xy

y x

Ta được các nghiệm nguyên : (x;y)của phương trình là:(-1;-3),(-3;-1),(0;2),(2;0)

Thí dụ 32:Tìm tất cả các cặp số tự nhiên x,y sao cho:

1989



 y x

Giải

Ta có: x y  1989

4

1989 1989

.

2

1989 2

1989 2

1989

1989 2

1989 2

2

2 2

2 2

2

y x y

y x y

y x y

x

y

y x y

x

y

y x y

x y x y

x

y x y

x xy y

x xy

Phương trình có nghiệm là:(x;y)=(0;1989);(1989;0)

Việc sử dụng tính chất trên để giải toán mang lại một lời giải ngắn gọn ,

hiệu quả Tuy nhiên cần linh hoạt sáng tạo để tìm cách giải sáng tạo hợp lý cho từng trường hợp cụ thể Linh hoạt và sáng tạo đó là đức tính của con người năngđộng mà mỗi học sinh cần phải rèn luyện và phấn đấu để hoàn thiện chính mình

, thực sự là những con người “Vừa hồng” ;

“ Vừa chuyên”, đáp ứng đựơc công cuộc đổi mới của đát nước ta hiện nay

D.KẾT QUẢ CỦA SKKN VÀ VIẾT CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC :

I Kết quả của việc thực hiện SKKN

Vừa phụ trách về chuyên môn và trực tiếp giảng dạy bộ môn toán lớp 9 nhiềunăm của nhà trường, bằng nghiên cứu, kinh nghiệm thực tiễn trong quá trình dạyhọc cần thiết phải xây dựng một số chuyên đề về toán học làm tài liệu thamkhảo cho việc giảng dạy và học toán được tốt hơn, nhằm khai thác và phát triểncao hơn , đầy đủ và hoàn thiện hơn một số dạng toán cơ bản và nâng cao ởtrường THCS

Việc “Sử dụng công cụ bất đẳng thức đại số,để giải một số bài toán liên

quan”thường gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi , thi vào lớp 10-THPT, đã được

đội ngũ cán bộ giáo viên nhà trường và đồng nghiệp trong khu vực và địa bàncoi đây là một chuyên đề hữu ích thêm một kênh nữa rất thiết thực trong việcgiảng dạy và bồi dưỡng năng lực học tập bộ môn toán của học sinh, một chuyên

đề bồi dưỡng được các thầy cô giáo ôn thi học sinh giỏi lớp 9 của nhà trườngnhiều năm qua trong việc giảng dạy và luyện tập ,ôn tập cho học sinh thi họcsinh giỏi môn toán lớp 9, ôn thi vào lớp 10-THPT và nhân rộng trong phong trào