Một số kỹ thuật cơ bản trong bất đẳng thức cauchy giúp học sinh làm các bài toán liên quan tại trường THPT quan hóa

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO THANH HÓA SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT QUAN HÓA TRƯỜNG THPT QUAN HÓA - SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI TÊN ĐỀ TÀI ‘‘ MỘT SÔ KĨ THUẬT CƠ BẢN TRONG BẤT ĐẲNG THỨC ‘‘ MỘT GIÚP SÔ KĨHỌC THUẬT CƠLÀM BẢNCÁC TRONG ĐẲNG CAUCHY SINH BÀI BẤT TOÁN LIÊNTHỨC QUAN CAUCHY TẠI GIÚP HỌC SINH LÀM CÁC BÀI TOÁN LIÊN TRƯỜNG THPT QUAN HÓA’’ QUAN TẠI TRƯỜNG THPT QUAN HÓA’’ Người thực : Lê Văn Ngọ Người thực : Lê Văn Ngọ Chức vụ : Giáo viên Chức vụ : Giáo viên SKKN thuộc mơn : Tốn SKKN thuộc mơn : Tốn THANH HĨA ,NĂM 2021 MỤC LỤC THANH HÓA ,NĂM 2021 1 A PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài……………………………………………………………01 Mục đích nghiên cứu……………………………………………………… 01 Đối tượng nghiên cứu……… …………………………………………….01 Phương pháp nghiên cứu…… ……………………………………………01 B PHẦN NỘI DUNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN Định nghĩa bất đẳng thức 02 Tính chất bất đẳng thức .02 Một số ví dụ .03 Bất đẳng thức Cauchy 04 II THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ 06 III CÁC BIỆN PHÁP TIẾN HÀNH Kĩ thuật chọn điểm rơi……….….………… ………………………… 06 Kĩ thuậ tách thêm bớt………… ………………….……………………10 Kĩ thuật Côsi ngược dấu………… …………………………………….12 Bài tập vận dụng ………………………………… … ……………… 13 IV HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI…………… …….………… ….………… 14 V KẾT LUẬN …………………………… …………………………………14 A PHẦN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài: Trường THPT Quan Hóa đóng TT Hồi Xuân, Huyện Quan Hóa , tỉnh Thanh Hóa huyện nghèo nước Phần lớn học sinh dân tộc Thái, Mường , H Mơng… điều kiện kinh tế khó khăn ảnh hưởng lớn tới chất lượng học tập học sinh Đối với em học sinh Khối 10 đa phần có điểm trúng tuyển đầu vào thấp, Em học gần hết kiến thức tảng dẫn đến việc dạy cho Em khó khăn vất vả mơn nói chung mơn Tốn nói riêng Trong kiến thức Toán lớp 10, Bất đẳng thức chuyên đề quan trọng khó Khi gặp vấn đề học sinh thường chán nản bỏ qua Nhằm nâng cao chất lượng học tập, tạo hứng thú, say mê cho em mơn học nhà trường nói chung mơn Tốn nói riêng để phát triển phẩm chất, trí tuệ, tăng cường ý thức lực vận dụng điều học vào sống giai đoạn Từ lý chọn đề tài : ‘‘Một số kỹ thuật Bất đẳng thức Cauchy giúp học sinh làm toán liên quan trường THPT Quan Hóa’’ Mục đích nghiên cứu: Tìm hiểu sâu vấn đề “bất đẳng thức CauChy” trường phổ thông Đưa số kỹ thuật bất đẳng thức CauChy việc giải toán Từ giúp học sinh hiểu nắm phương pháp chứng minh BĐT thông thường nâng cao Bên cạnh rèn luyện cho em kỹ tư tính tốn tốn chứng minh Một vấn đề thường gặp đại số, làm cho học sinh lúng túng toán bất đẳng thức đại số bất đẳng thức Cauchy (Cơsi ) Thơng thường tốn loại vấn đề khó Thực phần quan trọng đại số kiến thức bất đẳng thức đại số làm phong phú phạm vi ứng dụng đại số sống Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu Phương pháp chứng minh bất đẳng thức dựa vào tính chất , bất đẳng thức toán liên quan định lý Cauchy phần quan trọng đại số 10 chương Toán THPT Một số kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức CahuChy Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý luận “Phát triển tư khoa học” “tăng cường em ý thức, lực vận dụng cách thông minh điều học” Phương pháp quan sát Nhìn nhận lại q trình học tập mơn tốn học sinh năm học vừa qua Đưa số biện pháp để nâng cao kết học tập cho học sinh trường giai đoạn B NỘI DUNG I CƠ SỞ LÍ LUẬN Định nghĩa bất đẳng thức A, B Giả sử hai biểu thức số chữ Khi : gọi bất đẳng thức Tính chất bất đẳng thức +) Tính chất giao hốn Với số thực +) Tính chất bắc cầu A B bất kì, ta ln có : A, B, C Với số thực ta ln có : +) Tính chất liên hệ với phép cộng A, B A > B; A < B; A ≥ B; A ≤ B A≤ B ⇔ B≥ A A ≤ B, B ≤ C ⇒ A ≤ C Với số thực M bất kì, ta ln có : Với số thực A,B,C,D , ta có : A ≤ B ⇔ A± M ≤ B ± M A ≤ B; C ≤ D ⇒ A + C ≤ B + D A ≤ B; C ≤ D ⇒ A − D ≤ B − C +) Tính chất liên hệ với phép nhân Với số thực A, B bất kì, ta ln có : A ≤ B; M > ⇒ AM ≤ BM A ≤ B; M < ⇒ AM ≥ BM Với số thực A, B, C, D , ta ln có : 0 < A < B ⇒ < A.C < B.D  0 < C < D +) Tính chất liên hệ với lũy thừa Với số thực A, B bất kì, ta ln có • • A ≥ B ≥ ⇔ An ≥ B n ≥ A ≥ B ⇔ An ≥ B n , A ≥ B ⇔ A ≥B ≥0 n • với , với n n số thực dương số tự nhiên lẻ n n , với số tự nhiên chẵn m m ≥ n > 0; A ≥ ⇒ A ≥ An • m ≥ n > 0;0 < A < ⇒ Am ≤ An • +) Một số bất đẳng thức cần nhớ A2 ≥ • A2 k ≥ • A ≥0 • với với với ∀A ∀A k số tự nhiên ∀A A+ B ≥ A + B • A− B ≤ A − B • 3.Một số ví dụ Phương pháp giải Để chứng minh bất đẳng thức +) Ta chứng minh A− B ≥ A−B A≥ B ta sử dụng cách : Để chứng minh điều ta sử dụng đẳng thức để phân tích thành tổng tích biểu thức khơng âm +) Xuất phát từ bất đẳng thức đúng, biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh Ví dụ : ∀x, y, z chứng minh : x + y + z ≥ xy + yz + zx Giải : x + y + z − xy − yz − zx ≥ Ta xét hiệu A = x + y + z − xy − yz − zx Đặt : A= 2( x + y + z − xy − yz − zx ) A= ( x − xy + y + x − xz + z + y − yz − z ) A=  2 ( x − y) + ( x − z) + ( y − z)  ≥   ∀x, y, z với ∀x, y, z Ví dụ : chứng minh : 2 x + y + z ≥ xy − xz + yz Giải : A = x + y + z − xy + +2 xz − yz Xét hiệu : ⇒ A = ( x − y + z)2 ≥ với ∀x; y; z ∈ ¡ x + y + z + ≥ 2( x + y + z ) Ví dụ : Chứng minh : Giải : A = x + y + z + − 2( x + y + z ) Xét hiệu : với ∀x, y, z = x −2 x + + y − y + + z − z + = ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) ≥ Đẳng thức xảy Ví dụ : Chứng minh x = y = z =1 ∀a, b, c, d ta có : a + b + c + d + ≥ a ( b + c + d + 1) A = a + b + c + d + − a ( b + c + d + 1) Giải : Ta xét hiệu : 2 = a + b + c + d + − ab − ac − ad − a 2 2 a a a a =  ÷ − ab + ( b ) +  ÷ − ac + c +  ÷ − ad + d +  ÷ − a +  2  2  2  2 2 2 a  a  a  a  =  − b ÷ +  − c ÷ +  − d ÷ +  − 1÷ ≥ 2  2  2  2  Đẳng thức xảy a a  − b = b = 2    a a  −c = c = 2  ⇔ a = ⇔   b = c = d = a − d = d = a 2  a a  −1 =  =1 2 2 (a 10 Ví dụ 5: Chứng minh : Giải : Xét hiệu + b10 ) ( a + b ) ≥ ( a8 + b8 ) ( a + b ) A = ( a10 + b10 ) ( a + b ) − ( a8 + b8 ) ( a + b ) = a12 + a10b + a 2b10 + b12 − a12 − a 8b − a 4b8 + b12 = a b ( a − b ) + a 2b ( b − a ) = a 2b ( a − b ) ( a − b ) = a 2b ( a − b ) (a a=0 + a 2b + b ) ≥ b=0 a=b Đẳng thức xảy hoặc Bất đẳng thức Cauchy Bất đẳng thức Cauchy hay gọi gọi bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân ( AM – GM ) n số thực khơng âm Vì có nhiều cách chứng minh bất đẳng thức cách chứng minh theo phương pháp qui nạp Cauchy hiệu nên nhiều người nhầm lẫn bất đẳng thức Cauchy phát Trước hết ta nhắc lại bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm : 4.1 Định lý : Cho hai số không âm a, b ⇔ a =b ta có : a+b ≥ ab Đẳng thức xảy Chứng minh : Ta thấy với a = b = bất đẳng thức ln Vì vậy, chứng minh bất đẳng thức Cauchy với số dương mà a+b ≥ ab ⇔ a + b ≥ ab ⇔ a − ab + b ≥ ⇔ ( a− b ) ≥0 Đẳng thức xảy (đpcm) a =b Bất đẳng thức cho với ∀ a, b dương 4.2.Định lý : Với ba số thực không âm a, b c a+b+c ≥ abc Đẳng thức xảy Chứng minh : a =b=c Sử dụng BĐT cho hai cặp số khơng âm ta có : a, b c, abc ta : a + b + c + abc ≥ ab + c abc  ⇔ a + b + c + abc ≥    ab c abc  = abc  ⇔ a + b + c ≥ 3 abc a+b+c ⇔ ≥ 3 abc a = b = c Đẳng thức xảy 4.3.Định lý : Bất đẳng thức Cauchy tổng quát: Cho n số thực khơng âm Ta có : a1 , a2, , an a1 + a2 + + an n ≥ a1.a2 an n a1 = a2 = = an ( với n≥2 ) Đẳng thức xảy ( Bất đẳng thức chứng minh phương pháp qui nạp theo n ) Lưu ý : • Bất đẳng thức Cauchy áp dụng cho số khơng âm • Điều kiện xảy dấu “=” số II THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ Ta xét ví dụ sau : Ví dụ : Cho x≥2 P = x+ Tìm GTNN biểu thức : x x Lỗi thường gặp : Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số thực dương được: x+ Suy GTNN P ta 1 ≥ x = x x x= x =1 x x hay x =1 x≥2 Ta thấy với cách làm khơng thỏa mãn điều kiện cách giải khơng xác Qua khảo sát học sinh lớp 10A4; 10A6 trường THPT Quan Hóa năm học 2020 – 2021 thu mẫu thống kê sau : Lớp Làm sai Làm Chưa có cách làm 10A4 18/41 2/41 21/41 10A6 15/39 1/39 23/39 Khi ta hướng dẫn cho học sinh số kĩ thuật sau , với dạng học sinh đưa cách giải vấn đề tốt III CÁC BIỆN PHÁP TIẾN HÀNH Kĩ thuật chọn điểm rơi Chọn điểm rơi thực chất dự đoán dấu “ = ” đẳng thức xảy để từ ta có đánh giá phù hợp để đưa cách giải hợp lý Trong toán chứng minh bất đẳng thức , khơng bảo tồn dấu “=” phép chứng minh khơng xác Ví dụ : Cho Giải : ta có Với x≥2 x≥2 P = x+ Tìm GTNN biểu thức : x 3x P= + + 4 x ⇔ Mặt khác : Áp dụng bất đẳng thức Cô Si ta : Đẳng thức xảy x x x + ≥2 x x x + ≥1 x x = ⇔x=2 x x 3.2 ≥ = 4 với x≥2 3x x + + ≥ +1 4 x ⇔P≥ ⇒ P= Vậy GTNN Ví dụ : Cho a≥3 x=2 S =a+ Tìm GTNN S =a+ +)Lỗi thường gặp: a 1 ≥ a = a a ⇒ GTNN : MinS = a= Đẳng thức xảy ⇒ a = ±1 a ( Mâu thuẫn với giả thiết a≥3 ) +) Lời giải : Nhận thấy a tăng S lớn từ dẫn đến dự đốn a =3 S nhận giá trị nhỏ Do bất đẳng thức Cơ si xảy dấu tham số tham gia nên “ điểm rơi : a a đẳng thức Côsi trực tiếp cho hai số S =a+ ( a =3 MinS = Ví dụ : Cho a≥2 10 Tìm GTNN +)Lỗi thường gặp: GTNN S Mặc dù chọn điểm rơi a2 a 7a a 7a 7a 7.2 = + 2+ ≥a + = + ≥ + = a a 8 a 8a 8.2 a=2 a=2 MinS = đáp số cách giải mắc sai lầm việc đánh giá mẫu số Nếu sai +)Lời giải : a≥2 2 ≥ = 8a 8.2 đánh giá  a a  6a =  + + ÷+ a2  8 a2  Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho cặp số Với ) S =a+ S =a+ S ≥ 33 ” ta không sử dụng bất a 8a a 8.3 10 = + + ≥2 + = a a 9 a Vậy với S =a+ 3≠ a =3 a a   ; ; 2÷ 8 a  ta : a a 6a 6a 6.2 + = + ≥ + = 8 a2 8 a=2 S= GTNN 10 a, b, c >   a + b + c ≤ Ví dụ : Cho S = a+b+c + Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 + + a b c S = a+b+c+ +)Lỗi thường gặp : Suy GTNN S =6 a=b=c= Đẳng thức xảy ⇒ a+b+c =3> 1 1 1 + + ≥ 6 a.b.c = a b c a b c 1 = = =1 a b c a +b+c ≤ ( trái với giả thiết ) a=b=c= +)Lời giải : ta dự đoán điểm rơi S = 4a + 4b + 4c + nên ta có : 1 1 1 15 + + − 3a − 3b − 3c ≥ 6 4a.4b.4c − ( a + b + c ) ≥ 12 − = a b c a b c 2 S= Vậy GTNN Ví dụ : cho Giải : ta có : a≥6 15 a =b=c = Đẳng thức xảy S = a2 + Tìm GTNN biểu thức 18 a a2 + 18  a 18    a 18   a a   = + + − a ≥ + 1 − + 1 −   ÷ ÷a = ÷a a 2 a  6 a  6  6 ≥6 6   + 1 − ÷.6 = 36 + 6  6 Đẳng thức xảy Vậy với a=6 a2 18 = ⇔a=6 a MinS = 36 +  a, b >  a + b ≤ Ví dụ : Cho +)Lỗi thường gặp: S= , Tìm GTNN biểu thức 1 + + a + b a b ab 11 S= 1 2 2 1  + + + + ≥ 3 +  + 2÷ 2 2 a + b 3a b 3ab 3a b 3ab a + b + 3a b + 3ab  a b ab  = MinS = 59 ( a + b) 1 1 59 +  +  ≥ 9+ ≥ ab  a b   a+b  a +b 3 ÷   Đẳng thức xảy a + b3 = 3a 2b  a = b a + b =  ( Vô nghiệm ) a =b = +)Lời giải : Ta dự đoán dấu xảy S= 1 1 25 + + + + ≥ ≥ 3 2 a + b 2a b 2ab 2a b 2ab ( a + b ) + ab ( a + b ) nên : 25 ( a + b) ( a + b) + ≥ 20 a =b= S = 20 Vậy GTNN Dấu xảy Kĩ thuật tách, thêm bớt Kĩ thuật thêm bớt kĩ thuật phong phú đa dạng , địi hỏi phải có cách nhìn bao qt với phương pháp đa dạng phong phú Ví dụ : Cho x, y , z ≥ xyz = Chứng minh : x3 + y + z ≥ x + y + z Giải : Ta thấy dạng bất đẳng thức đối xứng cho điều kiện ban đầu ta số x3 x = y = z =1 3 (1) y +1+1 ≥ 33 y = 3y Tương tự ta : (2) z + + ≥ z = 3z 3 Cộng bất đẳng thức theo vế ta : hay 3 2( x + y + z) ≥ x + y + z + ( x + y + z ) ≥ x3 + y + z + ≥ ( x + y + z ) Do : x + y + z ≥ 3 xyz = (3) x + y + z + ≥ 3( x + y + z ) Mặt khác : thay vào nên ta áp dụng bất đẳng thức Côsi cho x + + ≥ x = 3x ;1;1 ta : x= y=z 3 ⇔ x3 + y + z ≥ x + y + z ( đpcm) 12 x = y = z =1 Đẳng thức xảy a, b, c ≥ Ví dụ : Cho Giải : VT = a + b + c =1 Chứng minh : a b c + + ≤ a +1 b +1 c +1 a + −1 b + −1 c + −1 1  9  + + = 3− + + = 3− = ÷≤ − a +1 b +1 c +1 a +b+c+3 4  a +1 b +1 c +1 a =b =c = Đẳng thức xảy : a2 + ∀a ∈ ¡ Ví dụ : Chứng minh với a +2 a +1 Giải : Ta có = (a + 1) + a +1 a2 + ta có : = a2 + + a2 + 1 a2 + + a +1 Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta : a2 + = a +1 Đẳng thức xảy a+ Ví dụ 4: Chứng minh VT = a + Giải : Ta có ≥2 ≥3 b ( a − b) với a2 +1 =2 ∀a > b > 1 = b + ( a − b) + b ( a − b) b ( a − b) Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta : b = a −b = Đẳng thức xảy : a>b>0 =3 b ( a − b) ⇔ a = 2; b = b ( a − b) a+ Chứng minh : VT + = a + + Giải : ta có a + ⇔ a2 + = ⇔ a = VT ≥ 3 b ( a − b ) Ví dụ : Cho ≥2 ( a − b ) ( b + 1) = ( a − b) + ( a − b ) ( b + 1) ≥3 ? b +1 b +1 + + 2 ( a − b ) ( b + 1) 13 ≥ 4 ( a − b) Vậy VT ≥ b +1 b +1 =4 2 ( a − b ) ( b + 1) a −b = Ví dụ : Cho   a ≥  a >1  b b +1 = 2 ( a − b ) ( b + 1) ⇔ a = 2; b = , Chứng minh : 2a + ≥3 4b ( a − b ) ? 4b ( a − b ) ≤ b + ( a − b )  = a 2 Giải : Ta có Vậy : 2a + 2a + 1 ≥ = a + a + ≥ 3 a.a = 4b ( a − b ) a a a Dấu xảy : b = a − b a =   ⇔  a = b=   a  a2 b2 c2 a +b+c + + ≥ b+c a+ a+b a, b, c Ví dụ : Cho số dương Chứng minh : Giải : Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số thực dương ta có : a2 b+c a2 b + c + ≥2 =a b+c b+c Tương tự ta có : b2 c+a + ≥b c+a c2 a +b + ≥c a+b Cộng vế với vế ba bất đẳng thức lại với ta : a2 b+c b2 c+a c2 a +b + + + + + ≥ a+b+c b+c c+a a +b ⇔ a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ b+c c+a a+b Đẳng thức xảy : Kĩ thuật Cơsi ngược dấu a=b=c 14 Ví dụ : Cho a , b, c số dương thỏa mãn : a+b+c = Chứng minh : a b c + + ≥ b +1 c +1 a +1 Giải : Ta sử dụng kĩ thuật Cauchy ngược dấu sau : a ab ab ab = a − ≥ a − =a− 2 1+ b 1+ b 2b 2 Tương tự : (1) b bc bc bc =b− ≥b− =b− 2 1+ c 1+ c 2c 2 (2) c ca ca ca =c− ≥c− =c− 2 1+ a 1+ a 2a (3) Cộng ba bất đẳng thức (1), (2), (3) theo vế ta : a b c ab + bc + ca + + = a+b+c− ≥ b +1 c +1 a +1 2 Đẳng thức xảy a = b = c = , ta có Ví dụ : Chứng minh với số thực dương a+b+c+d = ab + bc + ca ≤ a , b, c , d thỏa mãn điều kiện a b c d + + + ≥2 2 + b c + c d + d a + a 2b ta có : Giải : Theo bất đẳng thức Cauchy : b ( a + ac ) a ab c ab c ab c b a.ac = a − ≥ a − = a − ≥ a − ≥ a − + b 2c + b 2c 2 2b c ⇒ Tương tự : a ≥ a − ( ab + abc ) 1+ b c b ≥ b − ( bc + bcd ) 1+ c d c ≥ c − ( cd + cda ) 1+ d a d ≥ d − ( da + dab ) 1+ a b (1) (2) (3) (4) Cộng vế bất đẳng thức (1), (2), (3),(4) ta : a b c d + + + ≥ a + b + c + d − ( ab + bc + cd + da + abc + bcd + cda + dab ) 2 2 1+ b c 1+ c d 1+ d a 1+ a b 15 ab + bc + cd + da ≤ Mặt khác từ bất đẳng thức Cauchy ta suy : abc + bcd + cda + dab ≤ Do : ( a+b+c+d) = 4 ( a+b+c+d) = 16 a b c d + + + ≥ a +b+c +d −2 = 2 2 + b c + c d + d a + a 2b Đẳng thức xảy a = b = c = d =1 Ví dụ : Chứng minh với số thực dương a , b, c , d ta ln có : a b c d a +b+c+d + 2+ + ≥ 2 a +b b +c c +d d +a 3 3 Giải : Sử dụng bất đẳng thức Cauchy với hai số ta có : a3 ab ab b = a − ≥ a − =a− 2 2 a +b a +b ab b3 c c3 d ≥ b − ≥c− 2 2 b +c c +d Tương tự ta : ; Cộng vế bất đẳng thức lại ta : d3 a ≥d− 2 d +a a3 b3 c3 d3 b c d a a +b+c+d + + + ≥ a− +b− +c− +d − = 2 2 2 2 a +b b +c c +d d +a 2 2 Đẳng thức xảy a = b = c = d a, b, c ≥ a +b+c = Ví dụ : Cho Chứng minh : Giải : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta : a2 b2 c2 + + ≥1 a + 2b b + 2c b + 2a 2 a2 2ab 2ab 2 = a − ≥ a − = a − ab ( ) a + 2b a + 2b 3 ab Tương tự : 2 b2 c2 3 ≥ b − bc ≥ c − ac ( ) ( ) b + 2c c + 2a ; Do ta cần chứng minh : 2 2 2  a + b + c −  ( ab ) + ( bc ) + ( ca ) ÷ ≥ 3  ⇔ ( ab ) + ( bc ) + ( ca ) ≤ 16 Bất đẳng thức hiển nhiên 2 a + ab + b ≥ ( ab ) ; b + bc + c ≥ ( bc ) ; c + ca + a ≥ ( ca ) Ngoài ab + bc + ca ≤ nên ta có điều cần phải chứng minh Ví dụ : Chứng minh với số thực dương a , b, c a +1 b +1 c +1 + + ≥3 b2 + c2 + a2 + có tổng : Giải : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có : ( a + 1) b ≥ a + − b2 ( a + 1) = a + − ab − b a +1 = a + − b2 + b2 + 2b Tương tự ta cso bất đẳng thức với b c cộng lại ta : a +1 b +1 c +1  ab + b   bc + c   ca + a  + + ≥  a +1− ÷+  b + − ÷+  c + − ÷ b +1 c +1 a +1       = 3+ Đẳng thức xảy a + b + c − ab − bc − ca ≥3 a = b = c = Ví dụ : Chứng minh với a , b, c , d dương có tổng : 1 1 + + + ≥2 a +1 b +1 c +1 d +1 Giải : Ta có đánh giá sau : a2 a2 a = 1− ≥ 1− = 1− a +1 a +1 2a b c d ≥ 1− ≥ 1− ≥ 1− 2 b +1 c +1 d +1 2 Tương tự : ; ; Cộng vế bất đẳng thức ta : 1 1 + + + ≥2 a +1 b +1 c +1 d +1 Đẳng thức xảy a = b = c = d =1 17 Các tập vận dụng Cho a , b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện : abc = Chứng minh : a + b +1 b + c +1 c + a +1 + + ≥3 ab bc ca Cho Cho Cho a ≥ 2; b ≥ 3; c ≥ a, b, c >  a + b + c ≤ a, b, c 3 P= Tìm GTLN : 3 ab c − + bc a − + ca b − abc P= Tìm GTNN biểu thức : dương thỏa mãn : abc = 1 1 + + + 2 a +b +c ab bc ca Tìm GTNN biểu thức : bc ca ab Q= + + a ( b + c) b ( c + a) c ( a + b) 5.Cho Cho Cho  x, y , z >  x + y = x, y , z > a , b, c > P= Tìm GTNN Chứng minh a+b+c =3 x y + 1− x 1− y ( y + z ) ( x + z ) 16 ( y + x ) + + ≥ 26 x y z Chứng minh : a b c 1 + + ≤ ≤ + + 2 1+ a 1+ b 1+ c 1+ a 1+ b 1+ c Cho x + y = 1, x, y > A= Tìm GTNN biểu thức 1 + x +y xy Cho a+b ≥ 10 Cho x, y , z Chứng minh a + b3  a + b  ≥ ÷   số dương thỏa mãn : 1 + + =4 x y z Chứng minh : 1 + + ≤1 2x + y + z x + y + z x + y + 2z 18 IV HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI Với số kĩ thuật nêu đề tài cách lỗi sai từ bạn đầu để học sinh định hướng trước vài kĩ thuật toán chứng minh toán liên quan sử dụng đến bất đẳng thức Cauchy Một số kết đạt qua kiểm tra thường xuyên lớp 10A4 10A6 : Lớp Điểm : 1-3 Điểm : – Điểm : – Điểm : 7-10 10A4 13/41 15/41 9/41 4/41 10A6 15/39 11/39 11/39 2/39 V KẾT LUẬN: Khi nói Tốn học nhắc đến tính tư duy,suy luận logic Chính giảng giải tốn giáo viên phải theo quy luật học sinh thấy hay, đẹp toán từ kích thích say mê tim tịi, hứng thú cho học sinh, tạo cho em có tính tự học cao Với việc trình bày tốn bản, với ví dụ minh họa sau đó, giúp tăng cường giảng cho thầy , cô giáo với em học sinh dễ hiểu biết cách trình bày bài, học sinh biết vận dụng thành thạo kiến thức học làm sở cho việc tiếp thu cách thuận lợi, vững Luyện tập cho học sinh thói quen suy nghĩ, quan sát, lập luận để học sinh phát huy trí thơng minh, óc sáng tạo, khả phân tích, tổng hợp, tư độc lập thơng qua việc thảo luận, tranh luận ,biết lí luận chặt chẽ giải tốn Với khn khổ đề tài tơi xin trình bày khía cạnh để chứng minh bất đẳng thức Rất mong hội đồng chun mơn nhà trường góp ý bổ sung để đề tài hồn thiện qua phát triển lực , phẩm chất học sinh Xin chân thành cám ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày tháng năm 2021 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác 19 Lê Văn Ngọ TÀI LIỆU THAM KHẢO Tạp chí Tốn học tuổi trẻ - Nhà xuất giáo dục Phan Huy Khải Tuyển tập toán Bất Đẳng Thức – Tập Nhà xuất giáo dục -1996 Trần Văn Hạo (Chủ biên ) Bất đẳng thức Cau chy Nhà xuất giáo dục – 2001 Trần Phương ( Chủ biên) 15 Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy- Nhà xuất giáo dục – 2001 Nguyễn Vũ Thanh Phương pháp giải bất đẳng thức- Nhà xuất tổng hợp đồng tháp –1994 Lê Hồng Đức Phương pháp giải toán bất đẳng thức Nhà xuất Hà Nội– 2003 Trần Văn Hạo.( Chủ biên) Chuyên đề Bất đẳng thức Nhà xuất giáo dục TS Trần Vui.(Chủ biên) Một số xu hướng đổi dạy học Toán trường THPT Nhà xuất giáo dục 20 ... tuệ, tăng cường ý thức lực vận dụng điều học vào sống giai đoạn Từ lý chọn đề tài : ‘? ?Một số kỹ thuật Bất đẳng thức Cauchy giúp học sinh làm toán liên quan trường THPT Quan Hóa? ??’ Mục đích nghiên... em kỹ tư tính toán toán chứng minh Một vấn đề thường gặp đại số, làm cho học sinh lúng túng tốn bất đẳng thức đại số bất đẳng thức Cauchy (Côsi ) Thông thường toán loại vấn đề khó Thực phần quan. .. số kiến thức bất đẳng thức đại số làm phong phú phạm vi ứng dụng đại số sống Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu Phương pháp chứng minh bất đẳng thức dựa vào tính chất , bất đẳng thức toán liên quan