SKKN sử dụng bất đẳng thức bunhiacopski trong giảng dạy môn toán ở THCS

Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski trong giảng dạy môn toán ở THCS PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ I . Lý do chọn đề tài: - Trong thời điểm hiện nay, chúng ta đang nỗ lực xây dựng và đẩy mạnh công nghiệp hóa và hiện đại hóa đất nước nhằm tiến tới một xã hội văn minh hiện đại. Muốn vậy con người phải có tri thức. Chính vì vậy Đảng ta đã xác định giáo dục là quốc sách hàng đầu. Trong những năm gần đây, Đảng và nhà nước ta luôn quan tâm đến giáo dục, từng bước có những cải cách giáo dục từ bậc mầm non đến đại học và sau đại học nhằm đưa nền giáo dục nước nhà phát triển ngang tầm khu vực. Trong chương trình giáo dục trung học phổ thông,môn toán là môn học quan trọng, là thành phần không thể thiếu của nền văn hóa phổ thông của con người mới. Môn toán có tiềm năng có thể khai thác góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn luyện và phát triển các thao tác tư duy và các phẩm chất tư duy. Trong quá trình giải toán ở nhà trường cũng như trong các kỳ thi học sinh sinh giỏi các cấp, chuyên đề về bất đẳng thức là một chuyên đề hay và lý thú chính vì vậy mà nó thường xuyên có mặt trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi các cấp đặc biệt là cấp THCS và kỳ thi vào lớp 10. Trong chuyên đề về bất đẳng thức thì việc sử dụng các bất đẳng thức cơ bản để giải các loại toán và bài toán khác là khá hiệu quả thông qua đó mà lời giải được đơn giản hơn, thu được kết quả nhanh chóng. Bất đẳng thức Bunhiacopski là một bất đẳng thức kinh điển như vậy. Vì vậy nếu khai thác bất đẳng thức này vào việc giải các bài toán khác thì có thể đem lại kết qua nhiều mặt, kích thích tính sáng tạo của học sinh.Với ý nghĩ như vậy tôi giới thiệu việc sử dụng bất đẳng thức bunhiacopxki vào giải một số bài toán như : chứng minh các bất đẳng thức đại số và hình học, hoặc giải một số bài toán cực trị đại số và hình học. - Xuất phát từ thực tế giảng dạy chương trình THCS, đặc biệt là trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi các cấp, đứng trước một bài toán có rất nhiều phương pháp giải khác nhau song một trong những phương pháp giải tương đối có hiệu lực là việc sử D¬ng thÕ nam - THCS Thanh L·ng 1 Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski trong giảng dạy môn toán ở THCS dụng các bất đẳng thức cơ bản để giải. Học sinh được tiếp xúc rất nhiều về các phương pháp giải các bất đẳng thức và sử dụng các bất đẳng thức để giải các loại toán khác như: chứng minh các bất đẳng thức đại số va hình học hoặc giải một số bài toán cực trị đại số và hình học. II. PHẠM VI ĐỀ TÀI Tuy nội dung đề cập khá rộng và các bài toán dạng này cũng phong phú song trong khuôn khổ thời gian có hạn tôi chỉ nêu ra một số bài toán điển hình và sắp xếp trình tự từ đơn giản đến phức tạp. III. ĐỐI TƯỢNG Đề tài này được áp dụng cho học sinh khá giỏi THCS lớp 8-9. IV. MỤC ĐÍCH Nhằm mục đích nâng cao mở rộng hiểu biết cho học sinh nhất là việc bồi dưỡng học sinh giỏi, giúp các em hiểu sâu sắc hơn về bất đẳng thức.Qua đó giúp học sinh có điều kiện hoàn thiện các phương pháp về bất đẳng thứcvà rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh. PHẦN II NỘI DUNG D¬ng thÕ nam - THCS Thanh L·ng 2 Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski trong giảng dạy môn toán ở THCS I. CƠ SỞ LÝ LUẬN KHOA HỌC 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN KHOA HỌC. - Trong chương trình giáo dục trung học phổ thông,môn toán là môn học quan trọng, là thành phần không thể thiếu của nền văn hóa phổ thông của con người mới. Môn toán có tiềm năng có thể khai thác góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn luyện và phát triển các thao tác tư duy và các phẩm chất tư duy. Trong quá trình giải toán ở nhà trường cũng như trong các kỳ thi học sinh sinh giỏi các cấp, chuyên đề về bất đẳng thức là một chuyên đề hay và lý thú chính vì vậy mà nó thường xuyên có mặt trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi các cấp, đặc biệt là cấp THCS và kỳ thi vào lớp 10. - Đứng trước một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nhau song việc tìm ra một lời giải hợp lý, ngắn gọn, thú vị và độc đáo là một việc không dễ thông qua đó mà thu được kết quả nhanh chóng. Bất đẳng thức Bunhiacopski là một bất đẳng thức kinh điển như vậy. Vì vậy nếu khai thác bất đẳng thức này vào việc giải các bài toán khác thì có thể đem lại kết qủa nhiều mặt, kích thích tính sáng tạo của học sinh. 2. ĐỐI TƯỢNG PHỤC VỤ đề tài này dùng để giảng dạy cho các học sinh tham gia thi học sinh giỏi lớp 8-9. 3. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU A. ¸p d ơ ng bt ®¼ng thc Bunhiacopski ® Ĩ chng minh c¸c bt ®¼ng thc I. Chứng minh các bất đẳng thức đại số - Để chứng minh các bất đẳng thức có khi áp dụng ngay và cũng nhiều khi phải biến đổi bài toán để đưa về trường hợp thích hợp rồi mới sử dụng. Sau dây là 3 kỹ thuật thường gặp:  Đánh giá từ vế lớn sang vế nhỏ và ngược lại.  Dồn phối hợp.  Kỹ thuật nghịch đảo. 1. Đánh giá từ vế lớn sang vế nhỏ và ngược lại . Ví dụ 1: Cho 2=+ ba , a,b ∈ R D¬ng thÕ nam - THCS Thanh L·ng 3 Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski trong giảng dạy môn toán ở THCS Chứng minh rằng: ≥+ 44 ba 2 Lời giải: Ta viết a 4+ b 4 = ( )( )       ++ 22 2 222 )(11 2 1 2 1 ba Ap dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ( ) 22. 8 1 2 1 4 4 22 ==+≥ ba (đfcm) Ví dụ 2: cho 3 4 )1()1()1( ≤−+−+− ccbbaa Chứng minh rằng: 41 ≤++≤− cba Lờigiải: Tư giả thiết ta có: )())(111( 3 1 )()1()1()1( 3 4 222222222 cbacbacbacbaccbbaa ++−++++=++−++=−+−+−≥ B.C.S ( ) )( 3 1 2 cbacba ++−++≥ ( ) 04)(3 2 ≤−++−++⇒ cbacba 0)4)(1( ≤−+++++⇔ cbacba 41 ≤++≤−⇔ cba Ví dụ 3: cho x,y R∈ . Chứng minh rằng nếu x,y>0 và x+y=1 thì 2 25 ) 1 () 1 ( 22 ≥+++ y y x x Lời giải: Ta sử dụng )(2)( 222 baba +≤+ 2 )( 2 22 ba ba + ≥+⇔ Khi đó ta có: 2222 ) 1 1( 2 1 ) 11 ( 2 1 ) 1 () 1 ( xyy y x x y y x x +=+++≥+++ mà 4 1 4 1 4121 ≥⇒≤⇒≥⇒≥+= xy xyxyxyyx D¬ng thÕ nam - THCS Thanh L·ng 4 Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski trong giảng dạy môn toán ở THCS vậy 2 25 )41( 2 1 ) 1 () 1 ( 222 =+≥+++ y y x x 2. Kỹ thuật dồn phối hợp Ví dụ 1: Cho 3x-4y=7 Chứng minh rằng: 743 22 ≥+ yx Lời giải: Ta viết { } 49)43()2(3)43( 22222 =−≥−++ yxyx Ví dụ 2: Cho a,b,c,p,q là 5 số dương tùy ý. Chứng minh rằng qpqbpa c qapc b cqbp a + ≥ + + + + + 3 Lời giải )(. qcpba qcpb a a + + = )(. qapcb qapc b b + + = )(. qbpac qbpa c c + + = Gọi S là vế trái ta có: { } ))(()()()()( 2 cabcabqpSqbpacqapcbqcpbaScba +++=+++++≤++ (2) Mà 2 )( 3 1 cbacabcab ++≤++ (3) Vì (3) 2 222222 2 )( 222))(()(2)(3 )()(3 cba cabcabcbacbacabcabcabcabcabcab cbacabcab ++= +++++++≤+++++=++ ++≤++⇔ Từ (2), (3) 22 ).( 3 1 ).()( cbaqpScba +++≤++⇒ qp S + ≥⇒ 3 (đpcm) Ví dụ 3: D¬ng thÕ nam - THCS Thanh L·ng 5 Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski trong giảng dạy môn toán ở THCS Cho 0>≥≥ zyx Chứng minh rằng: 222 222 zyx y xz x zy z yx ++≥++ (1) Lời giải : Xét hai dãy số: y xz x zy z yx ,, và x yz z xy y zx ,, Ta có: 2222 222222 )()).(( zyx x yz z xy y zx y xz x zy z yx ++≥++++ (2) Xét hiệu 0))()()(( 1 ( 1 232323232323 222222 ≥++−−−= −−−++=−−−++= zxyzxyxzzyyx xyz yzxyzxxzzyyx xyzx yz z xy y zx y xz x zy z yx A x yz z xy y zx y xz x zy z yx 222222 ++≥++⇒ (3) Từ (2), (3) suy ra đpcm 3. Kỹ thuật nghịch đảo Dạng 1 2 1 2 1 2 1 )())(( ∑∑∑ === ≥ n i i n i i i n i i x y x y 0>∀ i y Chứng minh: Ta viết ∑ ∑∑ ∑∑∑ = == === =≥= n i n i i i i i n i n i i i n i i i i n i i x y x y y x y y x y 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 )()).(()(.)()(( Ví dụ Chứng minh rằng 0,, 2 222 >∀ ++ ≥ + + + + + cba cba ba c ac b cb a (1) Lời giải Ta có { } 2 222 )()()()( cba ba c ac b cb a baaccb ++≥       + + + + + +++++ 2)(2 )( 2222 cba cba cba ba c ac b cb a ++ = ++ ++ ≥ + + + + + ⇒ Ví dụ 2 Chứng minh rằng D¬ng thÕ nam - THCS Thanh L·ng 6 Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski trong giảng dạy môn toán ở THCS cba cba c bac b acb a ++≥ −+ + −+ + −+ 222 (1) ∀ a,b,c là độ dài cạch của ∆ ABC Lời giải [ ] [ ] 2 )()1(.)()()( cbaVTcbabacacb ++≥−++−++−+ cbaVT ++≥⇒ )1( Ví dụ 3: Chứng minh rằng cba cba ba c ac b cb a ,, 2 222333 ∀ ++ ≥ + + + + + (1) Lời giải: 2 )1( 222444 cba cbca c babc b acab a ++ ≥ + + + + + ⇔ Theo bất đẳng thức B.C.S : [ ] [ ] 2222 )()1(.)()()( cbaVTcbcabcbaacab ++≥+++++ Mặt khác ta có: cabcabcba ++≥++ 222 2)(2 ))(( )1( 222222 cba cabcab cabcabcba VT ++ = ++ ++++ ≥ Dạng 2 2 111 )())(.( ∑∑∑ === ≥ n i i n i i i n i ii x y x yx 0, >∀ ii yx Chứng minh: Theo bất đẳng thức B.C.S ta có: ∑∑∑∑∑ ===== =         ≥                 = n i i n i i i n i ii n i i i n i ii x y x yx y x yxVT 1 2 2 111 22 1 )( )(.).( Ví dụ 1 Chứng minh rằng 0,, 2 3 >∀≥ + + + + + cba ba c ac b cb a Lời giải: Ta viết { } { } )(3)()1(.)()()( 2 cabcabcbaVTbacacbcba ++≥++≥+++++ 2 3 )(2 )(3 = ++ ++ ≥⇒ cabcab cabcab VT (Đpcm) Ví dụ 2: Chứng minh rằng: D¬ng thÕ nam - THCS Thanh L·ng 7 Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski trong giảng dạy môn toán ở THCS 3 2 32323232 ≥ ++ + ++ + ++ + ++ cba d bad c adc b dcb a Lời giải: Ta có ∑ ∑ +++≥ ++ ++ 2 )( 32 ).32( dcba dcb a dcba Ta sẽ chứng minh ∑ +++≤++ 2 )( 2 3 )32( dcbadcba 0)()()()()( )(3)(2 22222 2222 ≥−+−+−+−+−⇔ +++≤+++++⇔ dccbdacaba dcbacdbdbcadacab II. Chứng minh các bất đẳng thức hình học Cho ABC ∆ có AB=c, AC=b, BC=a. Chứng minh rằng 0)()()( 222 ≥−+−+− acaccbcbbaba (1) Lời giải: Theo ký hiệu như hình vẽ thì luôn tồn tại x,y,z>0 Sao cho a=x+z b=z+x c=x+y 0)( 0))(()())(()())(()()1( 333 222 ≥++−++⇔ ≥−+++−+++−++⇔ zyxxyzyxxzzy zxzyyxyzyxxzxyxzzy zyx z x y z x y ++≥++ 222 Theo bất đẳng thức B.C.S 2 222 )())(( zyx z x y z x y zyx ++≥++++ zyx z x y z x y ++≥++⇒ 222 (đpcm) Ví dụ 2: ABC∆ có AB=c, AC=b, BC=a. p là nửa chu vi. Chứng minh rằng )( 35 36 2222 p abc pcba +≥++ (1) Lời giải       ++ + ++ ≥++⇔ cb abccba cba 2 2 2 )( 35 36 ()1( 2 222 D¬ng thÕ nam - THCS Thanh L·ng 8 x A C B z x y y z S dng bt ng thc Bunhiacopski trong ging dy mụn toỏn THCS 2222 )(9)(35 cbacba ++++ (2) Theo CụSi: 3 222222 3 cbacba ++ 3 3 abccba ++ cba abc cba ++ ++ 72 )(8 222 (3) T (2)v (3) suy ra PCM. (du bng xy ra khi ABC u) Vớ d 3: Cho ng trũn ni tip tip xỳc vi 3 cch ca ABC ti M,N,P. Chng minh rng: S (MNP) 4 S (S- Din tớch tam giỏc) Li gii: t S (ANP) =S 1 ; S (BPM) =S 2 , S (CMN) =S 3 Ta phi chng minh: 4 3 321 ++ S SSS (1) 2 222 ).( )()()( pcabcab ab cp ca bp bc ap ++ + + 4 3 )(4 )( )1( 2 ++ ++ cabcab cba VT 4 3 321 ++ S SSS 4 1 )( S S MNP (Du = xy ra khi ABC u) B. S dng bt đẳng thc BUNHIACOPSKI đ giảng các bài toán cc trị đại s : S dng kt qu: a. Nu Cxaxaxa nn =+++ 2211 , C l hng s thỡ 22 2 2 1 2 22 2 2 1 ) ( n n aaa C xxxMin +++ =+++ Du = xy ra khi n n x a x a x a === 2 2 1 1 b. Nu ConstCxxx n =+++ 222 2 2 1 thỡ Dơng thế nam - THCS Thanh Lãng 9 A P N M B C Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski trong giảng dạy môn toán ở THCS 22 2 2 12211 ||) ( nnn aaaCxaxaxaMax +++=+++ Dấu “=”xẩy ra khi 0 2 2 1 1 ≤=== n n x a x a x a Ví dụ 1: Cho 1 22 =+ yx tìm )11.( xyyxMax +++ Lời giải: [ ] 222))(11( 2)1()1()(11. 2222 2222 +≤+++≤ ++=++++≤+++= yx yxxyyxxyyxA 2 2 22 ==⇔+=⇒ yxMaxA Ví dụ 2: Cho 91636 22 =+ yx Tìm Max, Min của A=(y-2x+5) Lời giải: Theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: ( ) 22222 )2() 4 1 () 3 1 (1636 xyyx −≥       +−+ 4 5 2 4 5 )2( 16 25 2 ≤−≤−⇔−≥⇒ xyxy 4 25 52 4 15 ≤+−≤⇔ xy ) 20 9 , 5 2 ( 4 25 )52( =−=⇔=+− yxxyMax ) 20 9 , 5 2 ( 4 15 )52( ==⇔=+− yxxyMin Ví dụ 3: cho x,y, z thỏa mãn xy+yz+zx=4 Tìm MinA biết A=x 4 +y 4 +z 4 Lời giải: Từ giả thiết 4 2 =(xy+yz+zx) 2 ≤ (x 2 +y 2 +z 2 )(y 2 +z 2 +x 2 ) Suy ra: (x 2 +y 2 +z 2 ) 2 ≥ 4 2 16))(111( 444222 ≥++++⇒ zyx 3 16 444 ≥++ zyx 3 2 3 16 ±===⇔= zyxMinA D¬ng thÕ nam - THCS Thanh L·ng 10 [...]... -12 Dơng thế nam - THCS Thanh Lãng S dng bt ng thc Bunhiacopski trong ging dy mụn toỏn THCS -10 Cho: a, b,c 3 v a+b+c=3 Chng minh: 4 4a + 3 + 4b + 3 + 4c + 3 3 7 11 Tỡm giỏ tr nh nht ca hm s: f ( x, y, z ) = xy + yz + zx mxyz Trong ú x 0, y 0, z 0, x+y+z=1 12 Tỡm giỏ tr ln nht ca hm s:f(x,y)=2 x + y Trong ú x 0, y 0, x 3 + y 3... hc t nghiờn cu Tuy ni dung cp khỏ rng song trong khuụn kh thi gian hn hn ngi vit cng ch ch ra c cỏc vớ d, bi toỏn in hỡnh - Rt mong s úng gúp ý kin ca cỏc bn quan tõm v ng nghip chuyờn ny c y hon thin hn -14 Dơng thế nam - THCS Thanh Lãng S dng bt ng thc Bunhiacopski trong ging dy mụn toỏn THCS ... hot, sỏng to cỏc kin thc ó hc, to nn cho hc sinh t hc t nghiờn cu 3 BI HC KINH NGHIM -13 Dơng thế nam - THCS Thanh Lãng S dng bt ng thc Bunhiacopski trong ging dy mụn toỏn THCS T thc t ging dy chuyờn ny, mt kinh nghim c rỳt ra l: trc ht hc sinh phi nm chc cỏc kin thc c bn vn dng linh... gii: x y t t = y + x t 2 x2 y2 x4 y4 + 2 = t 2 2 , 4 + 4 = t 4 4t 2 + 2 y2 x y x -11 Dơng thế nam - THCS Thanh Lãng S dng bt ng thc Bunhiacopski trong ging dy mụn toỏn THCS [ ] A = t 4 5t 2 + t + 4 = (t 2 2) 2 2 (t 2 2) + t = (t 2 2)(t 2 3) + t 2 Do t 2 t 2 4, t 2 3 ... nht l vn bi dng hc sinh gii nõng cao cht lng, thay i th hng v giỏo dc ca huyn nh so vi cỏc huyn th khỏc trong tnh PHN C KT LUN - Mt bi toỏn cú th cú rt nhiu cỏch gii song vic tỡm ra mt li gii hp lý, ngn gn thỳ v v c ỏo l mt vic khụng d.Do ú õy ch l mt chuyờn trong hng chuyờn , mt phng phỏp trong hng vn phng phỏp giỳp phỏt trin t duy, s sỏng to ca hc sinh Giỏo viờn trc ht phi cung cp cho hc sinh...S dng bt ng thc Bunhiacopski trong ging dy mụn toỏn THCS -Vớ d 4: Cho x,y,z tha món x,y,z 1 v x+y+z=1 Tỡm MaxA bit A = 1+ x + 1+ y + 1+ z Li gii: Theo B.C.S ta cú A = 1 + x + 1 + y +... 0, y 0, z 0, x+y+z=1 12 Tỡm giỏ tr ln nht ca hm s:f(x,y)=2 x + y Trong ú x 0, y 0, x 3 + y 3 1 4 KT QA ti ny ó c thc hin ging dy khi tụi tham gia dy i tuyn hc sinh gii lp 8-9 vũng huyn v vũng tnh Trong quỏ trỡnh hc ti ny, hc sinh thc s thy t tin khi gp cỏc bi toỏn v bt ng thc, to hng thỳ vi hc toỏn, to cho hc sinh nim am mờ, yờu thớch mụn toỏn, m ra cho hc sinh cỏch nhỡn nhn, vn dng, linh hot,... -Xin chõn thnh cỏm n! Bình Xuyên, ngày 10 tháng10 năm 2007 Ngi vit Dơng Th NAm -15 Dơng thế nam - THCS Thanh Lãng . giải tương đối có hiệu lực là việc sử D¬ng thÕ nam - THCS Thanh L·ng 1 Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski trong giảng dạy môn toán ở THCS dụng các bất đẳng thức cơ bản để giải. Học sinh được. về bất đẳng thứcvà rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh. PHẦN II NỘI DUNG D¬ng thÕ nam - THCS Thanh L·ng 2 Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski trong giảng dạy môn toán ở THCS I. CƠ SỞ LÝ. trị nhỏ nhất của các biểu thức a, A=x 2 +y 2 +z 2 b, B=x 4 +y 4 +z 4 D¬ng thÕ nam - THCS Thanh L·ng 12 Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski trong giảng dạy môn toán ở THCS 10. Cho: a, b,c ≥