SỬ DỤNG CÔNG CỤ BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Giáo dục và đào tạo bao giờ cũng là cội nguồn của một nền văn hoá dân tộc, là quốc sách hàng đầu của Đảng và Nhà nước ta, trong công cuộc công nghiệp hoá hiện đại hoá đất nước ta hiện nay thì Giáo dục và đào tạo lại càng trở nên có vị trí đặc biệt quan trọng, vì vậy việc phát hiện và bồi dưỡng nhân tài cho Đất nước là một vấn đề rất quan trọng và cần thiết trong việc dạy học toán hiện nay, nhằm phát huy năng lực tư duy của học sinh trong quá trình giải toán và phát hiện những học sinh có năng lực về toán học . Đúng như tiêu đề sáng kiến nhằm tổng hợp đưa ra các phương pháp giải toán có tính chất chọn lọc , nhờ khai thác phát triển và sử dụng bất đẳng thức học sinh đã được học trong chương trình toán THCS

Trang 1

TrườngTHCS Nguyễn đình Chiểu Năm học 2013-2014

dưỡng nhân tài cho Đất nước là một vấn đề rất quan trọng và cần thiết trong việcdạy học toán hiện nay, nhằm phát huy năng lực tư duy của học sinh trong quá trìnhgiải toán và phát hiện những học sinh có năng lực về toán học Đúng như tiêu đềsáng kiến nhằm tổng hợp đưa ra các phương pháp giải toán có tính chất chọn lọc ,nhờ khai thác phát triển và sử dụng bất đẳng thức học sinh đã được học trongchương trình toán THCS

Để đáp ứng nhu cầu tìm hiểu , học tập của giáo viên và học sinh nhiều phươngpháp giải những dạng toán khó đã được xây dựng ,sử dụng bất đẳng thức đã biết vàogiải quyết một số bài toán khác , nhằm mục đích đưa ra một tài liệu cho học sinh ,giáo viên tìm hiểu và tham khảo thêm và cũng là một tài liệu giúp cho việc bồi dưỡnghọc sinh giỏi, thi vào lớp 10-THPT, THPT chuyên của giáo viên được tốt hơn

Với rất nhiều mục đích mà sáng kiến đưa ra , nhưng với thời gian , kiến thức vàkinh nghiệm của bản thân còn khiêm tốn , việc biên soạn phụ thuộc vào nhiều yếu tố :tài liệu tham khảo, thực tế , thời gian…chắc chắn rằng nội dung của sáng kiến cònchưa được phong phú Nhưng với sự cố gắng của bản thân chắc chắn sáng kiến làmột tài liệu quan trọng cho những người quan tâm đến việc dạy học toán hiện nay Rất mong nhận được sự đóng góp chân thành của bạn đọc đẻ sáng kiến đượchoàn thiện hơn giúp ích cho việc dạy học toán ngày càng hiệu quả cao hơn

A CƠ SỞ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:

1 Thực trạng vấn đề cần giải quyết :

Xét một cách toàn diện, toàn bộ học sinh ở cấp THCS “ Rất ngại” phải “ Chạm trán”với những bài toán có nội dung tổng hợp Nguyên nhân chủ quan là các em

không định hướng

Trang 2

được cách giải , nguyên nhân khách quan là tính đa dạng của bài toán Trong khi đókiến thức và thời lượng mà các em được truyền thụ trong trường THCS còn hạn chế Nên hầu hết học sinh thường gặp khó khăn khi gặp các bài toán có nội dung tổnghợp , nhất là trong các kỳ thi học sinh giỏi , thi vào lớp 10-THPT chuyên , Vì vậyviệc rèn luyện kỹ năng , bồi dưỡng năng lực cho học sinh học tập bộ môn toán ở cấpTHCS là rất cần thiết Bài viết này giới thiệu cách giải một số bài toán thường gặptrong các kỳ thi học sinh giỏi , thi vào lớp 10-THPT …nhờ sử dụng công cụ đã biết Vậy, tôi mạnh dạn đề suất một sáng kiến nhỏ, nhằm góp phần nâng cao chấtlượng giảng dạy trong các nhà trường THCS hiện nay và chuẩn bị hành chang chohọc sinh học tập bộ môn toán ở các lớp trên đó là:

-Với nội dung của sáng kiến kinh nghiệm này không chỉ phù hợp với những học sinh

có học lực khá, giỏi mà những học sinh yếu hơn vẫn có thể tham khảo được

-Việc vận dụng của sáng kiến kinh nghiệm không những giới hạn ở cấp THCS màcòn vận dụng ở nhiều cấp học cao hơn

3 Cơ sở thực tế :

-Thực tế chương trình sách giáo khoa chưa xây dựng hoàn chỉnh về nội dung vàphương pháp giải của một số dạng toán khó ,thường chỉ mang tính chất giới thiệuchưa sâu về phương pháp của một số dạng toán mà chỉ mang tính chất giới thiệu -Những học sinh muốn tìm hiểu thêm còn lúng túng trong việc tìm tài liệu còn chưatập trung và mất nhiều thời gian tìm tòi lời giải

-Cần thiết phải xây dựng một số chuyên đề về toán học làm tài liệu tham khảo choviệc giảng dạy và học toán được tốt hơn

Trang 3

-Cần khai thác và phát triển cao hơn , đầy đủ và hoàn thiện hơn một số dạng toán cơbản ở trường THCS

-Việc viết sáng kiến kinh nghiệm là một công việc thường xuyên , một định hướngcủa ngành

4 Đối tượng nghiên cứu :

Học sinh lớp 9 THCS NGUYỄN ĐÌNH CHIỂU , dự thi học sinh giỏi , thi vào lớp THPT

10-B MỤC ĐÍCH VÀ YÊU CẦU :

1 Mục đích :

-Giới thiệu đầy đủ về phương pháp giải và nội dung một số dạng toán thường gặp ởcấp THCS

Nhờ “Sử dụng công cụ bất đẳng thức đại số,để giải một số bài toán liên quan”

-Làm cho học sinh hứng thú và yêu thích môn toán hơn, mong muốn được tìm hiểu

và nghiên cứu sự thú vị , phong phú của bộ môn toán học, ứng dụng vào thực tế -Phát hiện và bồi dưỡng những học sinh có năng khứu về môn toán

-Rèn luyện khả năng tự suy luận lôgic , phát triển trí tuệ và hoàn thiện nhân cách củahọc sinh một cách toàn diện

-Làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh nghiên cứu thêm

-Ứng dụng kết quả của các dạng toán vào giải quyết một số bài toán thực tế khác

Trang 4

A,B là hai vế của bất đẳng thức,ta có:

0 0

* A B A B , Dấu “=” xảy ra khi AB 0

* A B A B , Dấu “=” xảy ra khi AB 0

4.Công cụ sử dụng phương pháp giải

Trang 5

-Sử dụng bất đẳng thức CôSi khi giải bài toán cực trị

*Chú ý: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Côsi

*Bài toán xuất phát:

Cho x y , 0.Tìm Min (giá trị nhỏ nhất) của:S x y

Vậy: x=y thì Min S=2

*Nhận xét: Từ bài toán trên nếu ta thay đổi miền xác định, được một bài toán sau:

Thí dụ 1: Cho x 3.Tìm Min của S x 1

x

  mâu thuẫn với giả thiết x 3

+Phân tích và tìm tòi lời giải:

Trang 6

Lập bảng biến thiên của S x 1

1 5

19

1 20S

1

3

1 4 4

1 5 5

19 19

1 20 20Theo bảng biến thiên ta thấy khi x tăng thì S càng lớn và từ đó dẫn đến dự đoán khi x

=3 thì S nhận giá trị nhỏ nhất Ta có thể nói : 10

3

MinS  , đạt tại điểm rơi x=3

Do đó Bất đẳng thức Côsi xảy ra dấu bằng tại điều kiện các tham số tham gia phảibằng nhau

Nên ta nghĩ đến việc đưa tham số sao cho tại điểm rơi x=3 thì cặp số x

 và 1

xphảibằng nhau

+Xác định điểm rơi:x=3 cho cặp số: x 3

Trang 7

Thí dụ 3:Cho a,b,c >0 và a+2b+3c20

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 9 4

Từ (1) suy ra dấu “=” xảy ra khi: 1 x 4

Từ(2) suy ra dấu “=” xảy ra khi: 2 x 3

Vậy: T có giá trị nhỏ nhất là 4 khi 2 x 3

Thí dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất của S=xyz.(x+y)(y+z)(z+x)

1

Vây:

729

8 27

1

Thí dụ 6: Cho xy+yz+zx=1 Tìm giá trị nhỏ nhất của x4 y4 z4

Trang 8





y z x

Vậy : x4 y4 z4có giá trị nhỏ nhất là:

3

1khi

Thí dụ 7:Cho x,y là các số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A x y  x y  y

(Câu IV.2 thi ĐH khối B-năm 2007)

Giải: Ngoài cách giải bằng phương pháp toạ độ, xét tính chất biến thiên của hàm số,

sử dụng công cụ đạo hàm trong chương trình toán cấp THPT, ta cũng có thể giải bàitoán trên bằng phương pháp bất đẳng thức mà học sinh khá giỏi ở cấp THCS cũng cóthể giải được

*Chú ý:Từ bài toán trên ta có hướng giải bài toán tổng quát sau:

Cho x,y là các số thực thay đổi

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A (x a ) 2 y2  (x a ) 2 y2  y b

Trang 9

Gọi cạnh huyền của tam giác là 2a

đường cao thuộc cạnh huyền là h

Hình chiếu các cạnh góc vuông lên cạnh huyền là x và y Ta có:

xy a h a ah h y

Vì :a không đổi mà x+y =2a

Vây: S lớn nhất khi x.y lớn nhất  x  y

Vây: trong các tam giác có cùng cạnh huyền thì tam giác vuông cân có diện tích lớnnhất

b.Bài toán có nội dung cực trị hình học

I, Bài tập đưa về dạng vận dụng bất đẳng thức:( x+y) 2  0

Thí dụ 9: Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC có chu vi 8 cm , AB-AC=1cm sao

cho đoạn tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp song song với BC bị chắn bởi hai cạnh kia có giá trị lớn nhất

Giải: hình :1

Gọi đoạn tiếp tuyến là DE Đặt BC=x Ta có :

Vì:DE//BC nên ADEđồng dạng   

BC

DE ABC

ABC chuvi

ADE chuvi

4 4 ) 2 ( ) 4 ( 4

x x

x DE

Thí dụ 10: Cho tam giác ABC và AD, BE, CF là các phân giác trong của nó Gọi S0

và S lần lượt là diện tích của tam giác DEF và ABC Chứng minh rằng : 4S0 S

Giải:

Ký hiệu như hình 2, AB=c,BC=a,CA=b

S0=SDEF ,S=SABC ,S1=SAEF,S2=SBFD,S3=SCDE

Ta có :

4

3 4

S

S S

S

ATheo tính chất đường phân giác ta có: E

c a

bc AC

b AB

Trang 10

Suy ra:

) )(

(

1

c a b a

bc AC

AE AB

AF S

(

; ) )(

(

3 2

b c a c

ab S

S c b

S

S S

S S S

0 ) ( ) ( )

(

0 ) 2

( ) 2

(

6

6 3

3 3 3 3

3 4

4 4

4

) )(

)(

( 3 ) ( 4 ) ( 4 )

(

4

3 ) )(

( ) )(

(

2 2

2

2 2

2 2 2

2

2 2

a

b

b ab a

c c bc b

a c ac

a

b

abc ca

a c bc c b ab

b

a

abc ca

a c bc c b ab b a ca a c bc c b ab

b

a

a c c b b a a c ca c b bc b

a

ab

b c a c

ab c

b a b

ac c

a

b

a

bc

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng nên ta có điều phải chứng minh :

II Bài tập đưa về dạng vận dụng bất đẳng thức :(x y) 2 4xy

Thí dụ 11: Chứng minh rằng trong các tứ giác lồi có hai đường chéo bằng m và

vuông góc , hình vuông có chu vi nhỏ nhất

) 1 )(

( 4 ) )(

(

4

) (

)

cd bc ad ab d

b

c

a

d b c a d

)

2 / 2

a b

a b a

Tương tự:

2

; 2

/ / /

/ /

d d c c c b

Trang 11

Thí dụ 13:

Chứng minh rằng:

a, Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất

b, Trong các hình chữ nhật có cùng diện tích thì hình vuông có chu vi bé nhất

( bài tập 67, SBT toán 9 tập I-Nxb GD)

Giải: (ký hiệu như hình 4)

suy ra :

2

y x

2suy ra :

Cho tam giác ABC vuông tại A D là điểm nằm giữa hai điểm B và C E và F lần

l-ợt là hình chiếu của D lên AB và AC Hãy xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF có diện tích lớn nhất ?

( 2

.AC AE BE AF CF

 ; A F C( áp dụng BĐT: ab 2 ab; a,b 0), ta có: hình 5

2

2 2 2

) ).(

(

CF BE AF AE CF

AF BE

AE CF

AF BE AE

BE

(do AE=DF;AF=DE)(3)

Từ (1);(2)và (3)ta suay ra :

Trang 12

SABC  2 AE.AF. AE.AF  2AE.AF  2S AEDF S AEDF S ABC

Thí dụ 15:

Cho đường tròn (O;R) và hai điểm B và C cố định trên (O;R) thoả mãn góc BOC

bằng 1200.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1

MB MC Khi cho M di động trên cung nhỏ BC của đường tròn (O;R);M B M; C)

(Bài VI-Thi vào lớp 10-THPT chuyên Đà Nẵng:Năm học 2008-2009)

A

Giải : hình 6

Gọi A là điểm chính giữa của cung lớn BC

Khi đó tam giác ABC là tam giác đều

Trên cạnh AM lấy điểm I sao cho: IM =MB ,

R M: là điểm chính giữa của cung nhỏ BC

IV.Bài tập đưa về dạng vận dụng bất đẳng thức Bu –nhia-côp-xki:

)

)(

( )

2

2 1

2 2

2 1

2 2

a b

b

a

Max

R b

a b

a

2 1

2 5 )

2

(

5 ) )(

1 2 ( ) 1 2

Trang 13

hình 7 Vậy : Hình chữ nhật ABCD có chu vi lớn nhất bằng 2R 5  AD=4AB.Cách dựng hình chữ nhật đó được thể hiện trên hình 6 trong đó : OA/=2A/B/; OB/ cắt nửa đường tròn ở B

Thí dụ 17: Cho điểm M cố định thuộc miền trong của góc vuông xOy Một đường

thẳng d qua M cắt Ox và Oy theo thứ tự tại A và B Xác định vị trí của đường thẳng

Đặt OP =a,OQ =b, OA=x,OB =y Q M

Ta có:S OAB S OAM S OBM,suy ra:

Suy ra:2S OAB xy 4ab.Đẳng thức xảy ra chỉ khi:x 2 ;a y 2 ,b khi:d//PQ

Vậy: MinS OAB  2 ,ab khi:d//PQ

Vậy: Giá trị nhỏ nhất của OA OB  ( a b) 2  x a( a b y);  b( a b)

Thí dụ 18: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O bán kính

R.Gọi D,E,F lần lượt là giao điểm của các đường thẳng AO, với BC ,BO với AC ,COvới AB.Xác định dạng của tam giác ABC khi tổng:AD +BE +CF có giá trị nhỏ nhất

Giải: hình 9

Kí hiệu S là diện tích

Ta có: AOC AOB AOB AOC

ADC ABD ABC

Trang 14

II.Dùng bất đẳng thức để giải phương trình, hệ phương trình

Thí dụ 19:Giải phương trình sau:4 3x2  6x 19  5x2  10x 14  4  2x x2

Giải

Ta có:

16 16

3 19

6

3

2

2 2

x

9 9 ) 1 ( 5 14

Gọi vế trái và vế phải của (1) là A và B

Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho hai bộ số (1,1  x) và

Trang 15

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có:

2 2 2 ) 2 (

1 1

3 4 4

Thí dụ 23: Giải hệ phương trinh 3(1) ( , )

(Câu II.2.Thi ĐH khối A-năm 2007)

Giải: Ngoài cách giải thông thường trong chương trình toán THPT, ta có thể sử dụng

phương pháp bất đẳng thức mà học sinh khá giỏi cấp THCS cũng có thể giải được Điều kiên:

y x

z y x

4 4 4

1

Giải: áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

) (

2 2

2

2 2

2

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 4

4

z y x xyz yz x xy z xz y x y z x x z y z z

y

x

y z z y y x x z z y y x z

y

x

z y

x

4 4 4

Trang 16

Thí dụ 25: Giải hệ phương trình sau:

) 1 ( 8 4

2

x xy

y xy

0 ) 2 (

0 2

2

y x

III.Dùng bât đằng thức để giải phương trình nghiệm nguyên

Thí dụ 26:Tìm các số nguyên x, y z thoả mãn bất đẳng thức

3 2 3

0 ) 1 ( 1 2

3 2 0

) 1 2 ( 3 3 4

3 4

2 2

0 1

0 1 2

0 2

z y x

z y

y x

z y x

Thí dụ 27:Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:111 2

z y x

Giải:

Không mất tính tổng quát ta giả sử xyz

Ta có:

3 2 3 1

1

2      z

z z

y

x

Mà z nguyên dương nên z=1

Thay z=1 vào phương trình ta được: 11  1

y x

Theo giả sử xy 1 11 1  y 2

y y

x mà y nguyên nên y 1 ,hoặc y 2

Trang 17

Nên không có cặp số nguyên dương nào thoả mãn phương trình

Vây:phương trình có nghiệm duy nhất là:x=0;y=0

2

1 2010 2009

2010 1 0 3

9 5

4 3

1 2

y x

z

y

x

( thoả mãn điều kiện)

Vậy: nghiệm của phương trình là:(x;y;z)  ( 3 ; 7 ; 14 )

Trang 18

Thí dụ 31: Tìm nghiệm nguyên của phương trình :

( 6

1 0

10 6

1 2

4 ) ( 0 ) (

2 1 2 2

S xy

y x y

4 ) 10 2

(

6

1 1

2 1

2 1 1

4

2

1 2

1

S

S S

4

xy

y x xy

y x

Ta được các nghiệm nguyên : (x;y)của phương trình là:(-1;-3),(-3;-1),(0;2),(2;0)

Thí dụ 32:Tìm tất cả các cặp số tự nhiên x,y sao cho: x y  1989

.

4

1989 1989

.

2

1989 2

1989

1989 2

2

2 2

2

y x y

x

y

y x y

x

y

y x y

x y x y

x

y x y

x xy y

x xy

13 3



Vế phải (1989-x+y)2 là số chính phương

221 17

Phương trình có nghiệm là:(x;y)=(0;1989);(1989;0)

Việc sử dụng tính chất trên để giải toán mang lại một lời giải ngắn gọn , hiệu

quả Tuy nhiên cần linh hoạt sáng tạo để tìm cách giải sáng tạo hợp lý cho từng ờng hợp cụ thể Linh hoạt và sáng tạo đó là đức tính của con người năng động mà mỗi học sinh cần phải rèn luyện và phấn đấu để hoàn thiện chính mình , thực sự là

trư-những con người “Vừa hồng” ;

“ Vừa chuyên”, đáp ứng đựơc công cuộc đổi mới của đát nước ta hiện nay

Trang 19

D.KẾT QUẢ CỦA SKKN VÀ VIẾT CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC :

I Kết quả của việc thực hiện SKKN

Vừa phụ trách về chuyên môn và trực tiếp giảng dạy bộ môn toán lớp 9 nhiều nămcủa nhà trường, bằng nghiên cứu, kinh nghiệm thực tiễn trong quá trình dạy học cầnthiết phải xây dựng một số chuyên đề về toán học làm tài liệu tham khảo cho việcgiảng dạy và học toán được tốt hơn, nhằm khai thác và phát triển cao hơn , đầy đủ vàhoàn thiện hơn một số dạng toán cơ bản và nâng cao ở trường THCS

Việc “Sử dụng công cụ bất đẳng thức đại số,để giải một số bài toán liên quan”thường gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi , thi vào lớp 10-THPT, đã được đội

ngũ cán bộ giáo viên nhà trường và đồng nghiệp trong khu vực và địa bàn coi đây làmột chuyên đề hữu ích thêm một kênh nữa rất thiết thực trong việc giảng dạy và bồidưỡng năng lực học tập bộ môn toán của học sinh, một chuyên đề bồi dưỡng đượccác thầy cô giáo ôn thi học sinh giỏi lớp 9 của nhà trường nhiều năm qua trong việcgiảng dạy và luyện tập ,ôn tập cho học sinh thi học sinh giỏi môn toán lớp 9, ôn thivào lớp 10-THPT và nhân rộng trong phong trào thi đua dạy và học về việc đổi mớiphương pháp giảng dạy trong các nhà trường hiện nay Trong những năm học quathầy và trò trường THCS NGUYỄN ĐÌNH CHIỂU trong 4 năm học ,đã thu đượckết quả cụ thể sau đây:

1. Chất lượng mũi nhọn học sinh giỏi cấp Huyện :

Số học sinh trúng tuyển

%

Số học sinh đạt loại khá giỏi

Định dạng
Số trang	21
Dung lượng	485 KB