ứng dụng đọa hàm trong giải toán đại số và giải tích

ng dng đo hàm trong gii bài toán i S& gii tích Phm Hng Lan- Trng THPT s 2TP Lào Cai 1 S GIÁO DC VÀ ÀO TO LÀO CAI TRNG THPT S 2 TP LÀO CAI CHUYÊN  : NG DNG O HÀM TRONG GII BÀI TOÁN I S & GII TÍCH Ngi vit : Phm Hng Lan T: Toán - Tin Trng: THPT s 2 TP Lào Cai Lào Cai, tháng 11 nm 2010 ng dng đo hàm trong gii bài toán i S& gii tích PHN M U I. Lí do chn đ tài -Nh ta đã bit, chuyên đ v bt đng thc, phng trình, bt phng trình, h phng trình và h bt phng trình chim mt lng khá ln trong chng trình ph thông ( i s, lng giác, ….). Tuy nhiên trong s các bài tp đó có mt lng ln bài tp mà ta không th gii đc bng phng pháp thông thng hoc có th gii đc nhng gp rt nhiu khó khn và phc tp. - Ta đã bit gia PT, BPT, HPT, HBPT và hàm s có mi liên quan rt cht ch. Khi đnh ngha PT, BPT, ta cng da trên khái nim hàm s, nu ta bit s dng hàm s đ gii các bài tp đó thì bài toán s đn gin hn. Tuy nhiên không phi bài nào cng có th s dng hàm s đ gii nhng ng dng đo hàm ca hàm s đ gii là rt ln, chính vì vy tôi chn đ tài sáng kin kinh nghim là: "S dng phng pháp hàm s trong gii bài toán đi s ". II. Mc tiêu đ tài - Trang b cho hc sinh thêm mt phng pháp hu hiu đ gii các bài toán: Chng minh bt đng thc, gii phng trình, bt phng trình, h phng trình, h bt phng trình - Cung cp thêm phng pháp cho hc sinh và giáo viên trong dy và hc toán. III. Gi thuyt khoa hc Nêu h thng hoá các kin thc liên quan cùng vi vic đa ra phng pháp cùng ví d minh ha c th thì s giúp hc sinh có thêm 1 phng pháp hay khi tìm li gii nhng bài toán đi s. Phm Hng Lan- Trng THPT s 2TP Lào Cai 2 ng dng đo hàm trong gii bài toán i S& gii tích IV. Bin pháp thc hin. - Nghiên cu các tài liê, các sách tham kho, đ thi đi hc, cao đng, các đ d b đi hc, đ thi th đi hc ca các trng… - Gii thiu khong 6 tit cho hc sinh lp 12 và hc sinh ôn thi đi hc V. Ni dung I . Kin thc c bn II. Phng pháp . hàm s bin lun phng trình, bt phng trình III. Các bài toán minh ha phng pháp hàm s IV. Bài tp t luyn NI DUNG I. KIN THC C BN 1. y = f (x) đng bin / (a, b) ⇔ ( ) 12 , x xab∀< ∈ ta có ( ) ( ) 12 f xfx< 2. y = f (x) nghch bin / (a, b) ⇔ ( ) 12 , x xab∀< ∈ ta có ( ) ( ) 12 f xfx> 3. y = f (x) đng bin / (a, b) ⇔ ƒ′(x) ≥ 0 ∀x∈(a, b) đng thi ƒ′(x) = 0 ti mt s hu hn đim ∈ (a, b). 4. y = f (x) nghch bin / (a, b) ⇔ ƒ′(x) ≤ 0 ∀x∈(a, b) đng thi ƒ′(x) = 0 ti mt s hu hn đim ∈ (a, b). 5. Cc tr hàm s: Hàm s đt cc tr ti đim ( ) k x xfx ′ =⇔ đi du ti đim b jjj xxx − ε+ε iii xxx−ε +ε a x k x Phm Hng Lan- Trng THPT s 2TP Lào Cai 3 ng dng đo hàm trong gii bài toán i S& gii tích 6. Giá tr ln nht và nh nht ca hàm s • Gi s y = ƒ(x) liên tc trên [a, b] đng thi đt cc tr ti () 1 , , , n x xab∈ . [] ( ) () ( ) ( ) ( ) { } 1 , Max Max , , , , ; n xab f xfxfxfaf ∈ =Khi đó: b [] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } 1 , M in M in , , , , n xab f xfxfxfaf ∈ = b • Nu y = f (x) đng bin / [a, b] thì [] ( ) ( ) [] ( )( , , Min ; Max xab xab ) f x f a f x f b ∈ ∈ == • Nu y = f (x) nghch bin / [a, b] thì [] ( ) ( ) [] ( )( , , Min ; Max xab xab ) f x f b f x f a ∈ ∈ == [ ] ;ab • Hàm bc nht ( ) fx x=α +β trên đon đt giá tr ln nht, giá tr nh nht ti các đu mút a; b Phm Hng Lan- Trng THPT s 2TP Lào Cai 4 ng dng đo hàm trong gii bài toán i S& gii tích II. PHNG PHÁP HÀM S BIN LUN PHNG TRÌNH, BT PHNG TRÌNH 1. Nghim ca phng trình u(x) = v(x) là hoành đ giao đim ca đ th ( ) y ux= vi đ th . ( ) y vx= 2. Nghim ca bt phng trình u(x) ≥ v(x) là α β b x a v(x) u(x) phn hoành đ tng ng vi phn đ th ( ) y ux= nm  phía trên . so vi phn đ th ( ) y vx= 3. Nghim ca bt phng trình u(x) ≤ v(x) là phn hoành đ tng ng vi phn đ th ( ) y ux= nm  phía di so vi phn đ th . ( ) y vx= 4. Nghim ca phng trình u(x) = m là hoành đ giao đim ca đng thng y = m vi đ th ( ) y ux= . 5. BPT u(x) ≥ m đúng ∀x∈I ⇔ ( ) I Min x ux m ∈ ≥ a b x y = 6. BPT u(x) ≤ m đúng ∀x∈I ⇔ ( ) I Max x ux m ∈ ≤ 7. BPT u(x) ≥ m có nghim x∈I ⇔ ( ) I Max x ux m ∈ ≥ 8. BPT u(x) ≤ m có nghim x∈I ⇔ ( ) I Min x ux m ∈ ≤ Phm Hng Lan- Trng THPT s 2TP Lào Cai 5 ng dng đo hàm trong gii bài toán i S& gii tích III. CÁC BÀI TOÁN MINH HA PHNG PHÁP HÀM S Bài 1. Cho hàm s () 2 23fx mx mx=+− a. Tìm m đ phng trình ƒ(x) = 0 có nghim x∈[1; 2] b. Tìm m đ bt phng trình ƒ(x) ≤ 0 nghim đúng ∀x∈[1; 4] c. Tìm m đ bt phng trình ƒ(x) ≥ 0 có nghim x∈ [ ] 1; 3− Gii: a. Bin đi phng trình ƒ(x) = 0 ta có: () () () () 22 22 33 230 23 2 11 f xmx mx mx x gx m xx x =+−=⇔ +=⇔ = = = + +− . 3 1 8 m ⇔ ≤≤  ƒ(x) = 0 có nghim x∈[1; 2] thì [] ( ) [] ( ) 1;2 1;2 Min Max x x g xm g x ∈ ∈ ≤≤ ( ) 2 2mx xb. Ta có ∀x∈[1; 4] thì ( ) 2 23fx mx mx 0 = +−≤ ⇔ 3 + ≤ ⇔ () [] 2 3 ,1; 4 2 gx m x xx =≥∀∈ + [] ( ) 1;4 Min x g xm ∈ ⇔≥ . () () 2 3 11 gx x = +− [] () () 1;4 1 Min 4 8 x g xg m ∈ = =≥Do gim trên [1; 4] nên ycbt ⇔ ( ) 2 23mx x + ≥c. Ta có vi x∈ [ thì ] 1; 3− ( ) 2 23f x mx mx 0 = +−≥ ⇔ . () [ 2 3 ,1; 2 gx x xx =∈ + t ] 3− . Xét các kh nng sau đây: + Nu thì bt phng trình tr thành nên vô nghim. 0x = .0 0 3m = ≥ + Nu thì BPT ⇔ ( ] 0;3x ∈ ( ] 0;3x ∈ ( ) g xm ≤ có nghim . ( ] () 0;3x M in g x m ∈ ⇔ ≤ () () 2 3 11 gx x = +− ( ] () () 0;3 1 3 5 x M in g x g m ∈ ⇔ ==≤ Do gim / ( nên ycbt ] 0;3 + Nu thì nên BPT [ ) 1; 0x ∈− 2 2xx+<0 ( ) g xm ⇔ ≥ có nghim [ ) 1; 0x ∈− () ( ) () [] 2 2 32 2 0, 1;0 2 x gx x xx −+ ′ =≤∀∈ + [ ) ( ) 1;0 M ax g x m − ⇔≥. Ta có − . nghch bin nên ta có Do đó ( ) g x [ ) ( ) ( ) 1;0 13 M ax g x g m − = −=−≥ ( ] ) 1 ;3 ; 5 m ⎡ ⇔ ∈−∞− +∞ ⎢ ⎣ U Kt lun: ƒ(x) ≥ 0 có nghim x∈ [ ] 1; 3− Phm Hng Lan- Trng THPT s 2TP Lào Cai 6 ng dng đo hàm trong gii bài toán i S& gii tích 3 3 1 32xmx x − −+ −< Bài 2. Tìm m đ bt phng trình: nghim đúng ∀x ≥ 1 () 32 34 112 32,13mx x x m x f x x x xx ⇔<−+∀≥⇔<−+= ∀≥ Gii: BPT ,1 . () 52 5 2 2 42 2 42 4 2 222fx x x xx x x x − ⎛⎞ ′ =+ − ≥ − = > ⎜⎟ ⎝⎠ Ta có 0 suy ra tng. ( ) f x () () () 1 2 3, 1 min 1 2 3 3 x f xmx fxf m ≥ ⇔>∀≥⇔ ==>⇔> YCBT m Bài 3. Tìm m đ bt phng trình () 2 .4 1 .2 1 0 xx mm m + + −+−> đúng x∀∈¡ Gii: t thì đúng () 2 .4 1 .2 1 0 xx mm m + +− +−> 2 x t => x ∀ ∈ ¡ 0 ()() ( ) 22 . 4 1. 10, 0 4141, 0mt m t m t m t t t t⇔+−+−>∀>⇔ ++>+∀> () 2 41 , 41 t 0 g tm tt + ⇔= <∀> ++ t () () 2 2 2 42 0 41 tt gt tt −− ′ = < ++ . Ta có nên ( ) g t nghch bin trên [ suy ra ycbt ⇔ ) 0; +∞ ( ) ( ) 0 01 t M ax g t g m ≥ = =≤ ( ) 12 5 4 x xx m x x + += −+ − Bài 4. Tìm m đ phng trình: có nghim. () 12 54 xx x f xm xx ++ ⇔ == −+ − Gii: iu kin . Bin đi PT . 0x≤≤4 Chú ý: Nu tính ri xét du thì thao tác rt phc tp, d nhm ln. ( ) f x ′ () () 3 1 12 0 0 2 212 gx xx x g x x x ′ =++>⇒ = + > + Th thut: t () () 11 540 25 24 hx x x h x xx − ′ =−+−>⇒ = − < −− 0 () 1 0 hx > và tng; > 0 và gim hay và tng Suy ra: ( ) 0gx> () hx () ( ) () g x fx hx = tng. Suy ra ( ) f xm = có nghim ⇒ [] () [] () () () [] ( ) 0;4 0;4 min ; max 0 ; 4 2 15 12 ;12mfxfxff ⎡ ⎤ ⎡⎤⇔∈ = = − ⎣ ⎦ ⎣⎦ ( 3 32 31 1xx mxx+−≤ −− ) Bài 5. Tìm m đ bt phng trình: có nghim. () 3 1xx Gii: iu kin . Nhân c hai v BPT vi 1 x ≥ 0 + −> ta nhn đc () () () 3 32 31 1 f xx x xx=+− +−≤ bt phng trình m . () () () 3 32 31 ; 1gx x x hx x x=+ − = + − t () () () 2 2 11 360,1; 3 1 221 gx x x x hx x x xx ⎛⎞ ′′ =+>∀≥ = +− + > ⎜⎟ − ⎝⎠ Ta có 0 . Do và tng ; và tng nên ( ) 0gx> 1 x ∀≥ ( ) 0hx> ( ) ( ) ( ) . f x g xhx= tng 1 x ∀≥ Phm Hng Lan- Trng THPT s 2TP Lào Cai 7 ng dng đo hàm trong gii bài toán i S& gii tích Khi đó bt phng trình () f xm ≤ có nghim ( ) ( ) 1 min 1 3 x f xf m ≥ ⇔ ==≤ Bài 6. Tìm m đ [ ] 4, 6x∀∈− ()() 2 46 2 x xx xm+−≤−+ nghim đúng Cách 1. BPT [ ] 4, 6x∀∈− () ( )( ) 2 246 f xx x x x⇔=−+++−≤m đúng () ()() () ()() 22 1 22 1 2 0 24 6 4 6 x 1 f xx x x xx xx −+ ⎛⎞ ′ =− + + = − + = ⇔ = ⎜⎟ +− +− ⎝⎠ Lp bng bin thiên suy ra Max [] ( ) ( ) 4,6 16 M ax f x f m − = =≤ ()() ( ) ( ) 46 46 2 xx txx ++− =+ −≤ = Cách 2. t 5 4x=− + + . Ta có tx . Khi đó bt phng trình tr thành 22 22 [] () [ ] 22 24, 0;5 24 ; 0;5ttm t fttt mt≤− + + ∀ ∈ ⇔ = + − ≤ ∀ ∈ . Ta có: ( ) [ ] ;0;5ft m t ≤ ∀∈ ⇔ ( ) 210ft t ′ =+> ⇒ () f t tng nên [] ( ) ( ) 0;5 max 5 6 f tf m = =≤ Bài 7. Tìm m đ 22 36183xx xxmm++ −− + − ≤ −+1 − đúng ∀∈ [] 3, 6x Gii: () ()( t 36txx=++−>0 ) 2 2 36 9236txx x ⇒ x = ++ − =+ + − ⇒ ()() ()() 2 99 23693 618txxxx≤=+ + −≤+++−= ()() () 22 1 18 3 3 6 9 ; 3;3 2 2 xx x x t t ⎡ ⎤ ⇒+−=+ −= −∈ ⎣ ⎦ () () () () 2 3;3 2 9 1 ; 1 0; 3;3 2 max 3 3 22 ft t t f t t t ft f ⎡⎤ ⎣⎦ ⎡⎤ ′ =− + + = − < ∀ ∈ ⇒ = = ⎣⎦ Xét ycbt () 22 3;3 2 max 3 1 2 0 1 V m 2ft mm mm m ⎡⎤ ⎣⎦ ⇔ =≤ − +⇔ − −≥⇔ ≤− ≥ Bài 8. ( TSH khi A, 2007) Tìm m đ phng trình 4 2 31 12 1xmx x++= − có nghim thc. − Gii: K: , bin đi phng trình 1 x ≥ 4 11 32 11 xx m xx −− ⇔− + = ++ . t 0 13 1 ( ) g t ′ + 0 – ( ) g t 0 13 – 1 [ ) 4 4 1 2 10 11 x u xx − ==−∈ ++ t ,1 . Khi đó () 2 32 g ttt=− + =m Phm Hng Lan- Trng THPT s 2TP Lào Cai 8 ng dng đo hàm trong gii bài toán i S& gii tích () 1 620 3 gt t t ′ =− + = ⇔ = 1 1 3 m ⇔ −< ≤ Ta có . Do đó yêu cu Bài 9. ( TSH khi B, 2007): Chng minh rng: Vi mi , phng 0m > trình () 2 28 2xx mx+−= − luôn có đúng hai nghim phân bit. x 2 + ∞ ( ) g x ′ + ( ) g x 0 + ∞ Gii: iu kin: . 2x ≥ Bin đi phng trình ta có: ()() () 26xx mx⇔− += −2 2 ()() () 22 26xx mx⇔− + = − () ( ) () 32 32 263202 V gx 632 x xx m x xx⇔− + −− =⇔= =+ −=m . ycbt ( ) g xm⇔= có đúng mt nghim thuc khong . Tht vy ta có: ( ) 2; + ∞ ( ) ( ) 340,gx xx x ′ =+>∀>2 . Do đó đng bin mà liên tc và ( ) g x ( ) g x ( ) ( ) 20;lim x ggx →+∞ ==+∞ nên ( ) g xm = có đúng mt nghim ∈ . ( ) 2; + ∞ Vy , phng trình 0m∀> () 2 28 2xx mx + −= − có hai nghim phân bit. Phm Hng Lan- Trng THPT s 2TP Lào Cai 9 Bài 10. ( TSH khi A, 2008) Tìm m đ phng trình sau có đúng hai nghim thc phân bit: 44 2 2 26 26 x xxx+ + −+ −=m Gii: t () [ ] 44 2 2 26 26 ; 0;6 fxxxxxx=++−+− ∈ Ta có: () () () () 33 44 11 1 1 1 ,0; 2 26 26 fx x xx xx ⎛⎞⎛⎞ ′ =− +− ∈ ⎜⎟ ⎜⎟ − ⎝⎠ − ⎝⎠ 6 t () () () () () 33 44 11 11 ;0 26 26 , xux vx xx xx =− =− ∈ − − ,6 ( ) ( ) () () () () () () ,0,0,2 ,6 ( ) 220 ,0,2 ux vx x uv ux vx x ⎧ >∀∈ ⎪ ⇒== ⎨ ⎪ <∀∈ ⎩ () () 0, 0,2 () 0, 2,6 (2) 0 fx x fx x f ′ ⎧ >∀∈ ⎪ ′ ⇒<∀∈ ⎨ ⎪ ′ = ⎩ x 0 2 6 () f x ′ + 0 – f(x) 32 6 + 4 12 2 3+ 4 26 26+ Nhìn BBT ta có PT có 2 nghim phân bit ⇔ 4 26 26 32 6m + ≤< + Bài 11. ( TSH khi D, 2007): Tìm m đ h phng trình có nghim 33 33 11 5 11 15 10 xy xy xy m xy ⎧ +++= ⎪ ⎪ ⎨ + ++ = − ⎪ ⎪ ⎩ Gii: t 11 ;ux vy x y =+ =+ ta có ( ) ( ) 3 3 3 11 11 33 x xxxu xxx x u + =+ −⋅ + =− và 11 1 1 1 2. 2 ; 2.ux x x vy y xx x y y =+ = + ≥ = = + ≥ =2 Khi đó h tr thành () 33 5 5 8 31510 uv uv uv m uv uv m += ⎧ += ⎧ ⎪ ⇔ ⎨⎨ = − +− += − ⎪ ⎩ ⎩ ⇔ u là nghim ca phng trình bc hai ,v () 2 58 f tt t m = −+= [...]... Xác nh n c a nhà tr Ph m H ng Lan- Tr ng Ng ng THPT s 2TP Lào Cai i vi t 5 ng d ng o hàm trong gi i bài toán i S & gi i tích Ph m H ng Lan TÀI LI U THAM KH O 1 Sách giáo khoa gi i tích 12 c b n 2 Sách bài t p gi i tích 12 c b n 3 Sách giáo khoa gi i tích 12 nâng cao 4 Sách bài t p gi i tích 12 nâng cao 5 Báo Toán h c và tu i tr 6 thi 7 d b i h c t n m 2002-2010 i h c t n m 2002-2009 Ph m H ng Lan- Tr... x1 x2 4 4 ng d ng o hàm trong gi i bài toán i S & gi i tích K T LU N Xu t phát t m c ích, nhi m v c a nh ng v n tài, b n c p n chính sau : - Cung c p các ki n th c c b n liên quan a ra các ví d minh h a t - tài SKKN ã n ph ng pháp ng ng - Bài t p áp d ng Sau khi c rèn luy n h th ng ki n th c trên,các em h c sinh ã m nh d n h n ,linh ho t h n trong vi c dùng s d ng ph ng pháp hàm s toán Cái hay c a cách... c a hàm s ng trình, gi i b t ph ng trình, gi i h ng trình - Tránh c vi c bi n lu n theo tham s - Tránh ph i xét nhi u tr - Tránh vi c bình ph gi i ph ng h p m t s bài toán h t s c ph c t p m t s bài toán ng hai v d d n n sai sót ,th a nghi m và tránh vi c ng trình b c cao Trên ây là m t s trình và b t ph vi t gi i ng d ng mà theo tôi là hay g p trong khi gi i ph ng trình R t mong các th y cô và các... f u 2 v i a1 a a2 7 27 ab bc ca 2abc 1 2a bc a 1 a a 1 a f 0 i S & gi i tích ng bi n ,ngh ch bi n c a nó trên y trong nhi u tr ng h p ng h p có th nh n tra ngay t c bi t ta c n khôn khéo ng THPT s 2TP Lào Cai phát hi n ra chúng 3 ng d ng o hàm trong gi i bài toán IV BÀI T P T i S & gi i tích LUY N: Bài 1: Gi i các ph ng trình và b t ph a 2 log ( x 3) = x b 2log3(tgx) = log2(sinx) ng trình sau: 5 1... ng ph f a u ,còn trong các tr 1 c 1 d Min g b c d Min g 0 , g 1 b 0,1 c d 1 cd 1 1 hay ta có ( pcm) c b ng nhi u ph c b ng ph n i u c a hàm s ng pháp ng pháp s d ng tính gi i toán là m t ph n ng ng pháp này, i u c t y u là chúng ta c n xây d ng m t hàm s thích h p ,r i nghiên c u tính o n thích h p.Các hàm s Min f 0 , f 1 a 0,1 1 c 1 d b khác nhau , c ng có bài ch có th gi i i u c a hàm s S d ng tính...ng d ng o hàm trong gi i bài toán H có nghi m f t có 2 nghi m m L p B ng bi n thiên c a hàm s th a mãn t1 , t 2 v i f t –2 t i S & gi i tích 2 5/2 – + + 0 + f t 2 2; t 2 2 t – f t t1 + 22 2 7/4 7 4 Nhìn b ng bi n thiên ta có h có nghi m m 2 Bài 12 ( 1I.2 B TS H 1987-2001):... f 0 d 1, a, b, c, d gi i các bài toán d ng trên có bài ta gi i pháp hay và a f a là m t o n th ng nên 0,1 c d 1 1; g 0 g b 2 ng th c v hàm b c nh t bi n s a, tham s b, c, d, ta có: b c d 1 1, b, c, d g b , b và 0, 2 1 a 1 b 1 c 1 d 1 b 1 c 1 d y 0; 1 1 a 4 u là m t o n th ng 7 27 ab bc ca bc 4, a, b, c 2 b 2 c f a , a f 1 th 2 a b c 1 b 1 c 1 d a y 2 1 3 2 ng th c v hàm b c nh t bi n s a, tham s b,... Bài 14 (IMO 25 – Ti p Kh c 1984): Ph m H ng Lan- Tr a2 là m t o n th ng v i 3 2 6a 5 2 a nên 2, 2 x2 6a 5 0 trong f u u Ch ng minh r ng: 2 c 2a 2 0 0 g u x2 0 2 g Bài 13 Cho f u 2 g 0 g u y ¡ 2, 2 u Do úng v i 1 0 , 2, 2 x2 2x u m 22 a ng THPT s 2TP Lào Cai b c 1 2 ng d ng o hàm trong gi i bài toán Cho a , b, c 0 a b c 1 Gi i: a b c th y 1 2a bc a 1 a f u 1 2a u v i 2 giá tr f 1 1 a 4 Do f 1 1 a 4 . THPT s 2TP Lào Cai 5 ng dng đo hàm trong gii bài toán i S& gii tích III. CÁC BÀI TOÁN MINH HA PHNG PHÁP HÀM S Bài 1. Cho hàm s () 2 23fx mx mx=+− a. Tìm m. Hng Lan- Trng THPT s 2TP Lào Cai 3 ng dng đo hàm trong gii bài toán i S& gii tích 6. Giá tr ln nht và nh nht ca hàm s • Gi s y = ƒ(x) liên tc trên [a, b] đng thi. 5 ng dng đo hàm trong gii bài toán i S& gii tích Phm Hng Lan TÀI LIU THAM KHO 1. Sách giáo khoa gii tích 12 c bn. 2. Sách bài tp gii tích 12 c bn.