Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 15 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
15
Dung lượng
358,4 KB
Nội dung
ng dng đo hàm trong gii bài toán i S& gii tích Phm Hng Lan- Trng THPT s 2TP Lào Cai 1 S GIÁO DC VÀ ÀO TO LÀO CAI TRNG THPT S 2 TP LÀO CAI CHUYÊN : NG DNG O HÀM TRONG GII BÀI TOÁN I S & GII TÍCH Ngi vit : Phm Hng Lan T: Toán - Tin Trng: THPT s 2 TP Lào Cai Lào Cai, tháng 11 nm 2010 ng dng đo hàm trong gii bài toán i S& gii tích PHN M U I. Lí do chn đ tài -Nh ta đã bit, chuyên đ v bt đng thc, phng trình, bt phng trình, h phng trình và h bt phng trình chim mt lng khá ln trong chng trình ph thông ( i s, lng giác, ….). Tuy nhiên trong s các bài tp đó có mt lng ln bài tp mà ta không th gii đc bng phng pháp thông thng hoc có th gii đc nhng gp rt nhiu khó khn và phc tp. - Ta đã bit gia PT, BPT, HPT, HBPT và hàm s có mi liên quan rt cht ch. Khi đnh ngha PT, BPT, ta cng da trên khái nim hàm s, nu ta bit s dng hàm s đ gii các bài tp đó thì bài toán s đn gin hn. Tuy nhiên không phi bài nào cng có th s dng hàm s đ gii nhng ng dng đo hàm ca hàm s đ gii là rt ln, chính vì vy tôi chn đ tài sáng kin kinh nghim là: "S dng phng pháp hàm s trong gii bài toán đi s ". II. Mc tiêu đ tài - Trang b cho hc sinh thêm mt phng pháp hu hiu đ gii các bài toán: Chng minh bt đng thc, gii phng trình, bt phng trình, h phng trình, h bt phng trình - Cung cp thêm phng pháp cho hc sinh và giáo viên trong dy và hc toán. III. Gi thuyt khoa hc Nêu h thng hoá các kin thc liên quan cùng vi vic đa ra phng pháp cùng ví d minh ha c th thì s giúp hc sinh có thêm 1 phng pháp hay khi tìm li gii nhng bài toán đi s. Phm Hng Lan- Trng THPT s 2TP Lào Cai 2 ng dng đo hàm trong gii bài toán i S& gii tích IV. Bin pháp thc hin. - Nghiên cu các tài liê, các sách tham kho, đ thi đi hc, cao đng, các đ d b đi hc, đ thi th đi hc ca các trng… - Gii thiu khong 6 tit cho hc sinh lp 12 và hc sinh ôn thi đi hc V. Ni dung I . Kin thc c bn II. Phng pháp . hàm s bin lun phng trình, bt phng trình III. Các bài toán minh ha phng pháp hàm s IV. Bài tp t luyn NI DUNG I. KIN THC C BN 1. y = f (x) đng bin / (a, b) ⇔ ( ) 12 , x xab∀< ∈ ta có ( ) ( ) 12 f xfx< 2. y = f (x) nghch bin / (a, b) ⇔ ( ) 12 , x xab∀< ∈ ta có ( ) ( ) 12 f xfx> 3. y = f (x) đng bin / (a, b) ⇔ ƒ′(x) ≥ 0 ∀x∈(a, b) đng thi ƒ′(x) = 0 ti mt s hu hn đim ∈ (a, b). 4. y = f (x) nghch bin / (a, b) ⇔ ƒ′(x) ≤ 0 ∀x∈(a, b) đng thi ƒ′(x) = 0 ti mt s hu hn đim ∈ (a, b). 5. Cc tr hàm s: Hàm s đt cc tr ti đim ( ) k x xfx ′ =⇔ đi du ti đim b jjj xxx − ε+ε iii xxx−ε +ε a x k x Phm Hng Lan- Trng THPT s 2TP Lào Cai 3 ng dng đo hàm trong gii bài toán i S& gii tích 6. Giá tr ln nht và nh nht ca hàm s • Gi s y = ƒ(x) liên tc trên [a, b] đng thi đt cc tr ti () 1 , , , n x xab∈ . [] ( ) () ( ) ( ) ( ) { } 1 , Max Max , , , , ; n xab f xfxfxfaf ∈ =Khi đó: b [] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } 1 , M in M in , , , , n xab f xfxfxfaf ∈ = b • Nu y = f (x) đng bin / [a, b] thì [] ( ) ( ) [] ( )( , , Min ; Max xab xab ) f x f a f x f b ∈ ∈ == • Nu y = f (x) nghch bin / [a, b] thì [] ( ) ( ) [] ( )( , , Min ; Max xab xab ) f x f b f x f a ∈ ∈ == [ ] ;ab • Hàm bc nht ( ) fx x=α +β trên đon đt giá tr ln nht, giá tr nh nht ti các đu mút a; b Phm Hng Lan- Trng THPT s 2TP Lào Cai 4 ng dng đo hàm trong gii bài toán i S& gii tích II. PHNG PHÁP HÀM S BIN LUN PHNG TRÌNH, BT PHNG TRÌNH 1. Nghim ca phng trình u(x) = v(x) là hoành đ giao đim ca đ th ( ) y ux= vi đ th . ( ) y vx= 2. Nghim ca bt phng trình u(x) ≥ v(x) là α β b x a v(x) u(x) phn hoành đ tng ng vi phn đ th ( ) y ux= nm phía trên . so vi phn đ th ( ) y vx= 3. Nghim ca bt phng trình u(x) ≤ v(x) là phn hoành đ tng ng vi phn đ th ( ) y ux= nm phía di so vi phn đ th . ( ) y vx= 4. Nghim ca phng trình u(x) = m là hoành đ giao đim ca đng thng y = m vi đ th ( ) y ux= . 5. BPT u(x) ≥ m đúng ∀x∈I ⇔ ( ) I Min x ux m ∈ ≥ a b x y = 6. BPT u(x) ≤ m đúng ∀x∈I ⇔ ( ) I Max x ux m ∈ ≤ 7. BPT u(x) ≥ m có nghim x∈I ⇔ ( ) I Max x ux m ∈ ≥ 8. BPT u(x) ≤ m có nghim x∈I ⇔ ( ) I Min x ux m ∈ ≤ Phm Hng Lan- Trng THPT s 2TP Lào Cai 5 ng dng đo hàm trong gii bài toán i S& gii tích III. CÁC BÀI TOÁN MINH HA PHNG PHÁP HÀM S Bài 1. Cho hàm s () 2 23fx mx mx=+− a. Tìm m đ phng trình ƒ(x) = 0 có nghim x∈[1; 2] b. Tìm m đ bt phng trình ƒ(x) ≤ 0 nghim đúng ∀x∈[1; 4] c. Tìm m đ bt phng trình ƒ(x) ≥ 0 có nghim x∈ [ ] 1; 3− Gii: a. Bin đi phng trình ƒ(x) = 0 ta có: () () () () 22 22 33 230 23 2 11 f xmx mx mx x gx m xx x =+−=⇔ +=⇔ = = = + +− . 3 1 8 m ⇔ ≤≤ ƒ(x) = 0 có nghim x∈[1; 2] thì [] ( ) [] ( ) 1;2 1;2 Min Max x x g xm g x ∈ ∈ ≤≤ ( ) 2 2mx xb. Ta có ∀x∈[1; 4] thì ( ) 2 23fx mx mx 0 = +−≤ ⇔ 3 + ≤ ⇔ () [] 2 3 ,1; 4 2 gx m x xx =≥∀∈ + [] ( ) 1;4 Min x g xm ∈ ⇔≥ . () () 2 3 11 gx x = +− [] () () 1;4 1 Min 4 8 x g xg m ∈ = =≥Do gim trên [1; 4] nên ycbt ⇔ ( ) 2 23mx x + ≥c. Ta có vi x∈ [ thì ] 1; 3− ( ) 2 23f x mx mx 0 = +−≥ ⇔ . () [ 2 3 ,1; 2 gx x xx =∈ + t ] 3− . Xét các kh nng sau đây: + Nu thì bt phng trình tr thành nên vô nghim. 0x = .0 0 3m = ≥ + Nu thì BPT ⇔ ( ] 0;3x ∈ ( ] 0;3x ∈ ( ) g xm ≤ có nghim . ( ] () 0;3x M in g x m ∈ ⇔ ≤ () () 2 3 11 gx x = +− ( ] () () 0;3 1 3 5 x M in g x g m ∈ ⇔ ==≤ Do gim / ( nên ycbt ] 0;3 + Nu thì nên BPT [ ) 1; 0x ∈− 2 2xx+<0 ( ) g xm ⇔ ≥ có nghim [ ) 1; 0x ∈− () ( ) () [] 2 2 32 2 0, 1;0 2 x gx x xx −+ ′ =≤∀∈ + [ ) ( ) 1;0 M ax g x m − ⇔≥. Ta có − . nghch bin nên ta có Do đó ( ) g x [ ) ( ) ( ) 1;0 13 M ax g x g m − = −=−≥ ( ] ) 1 ;3 ; 5 m ⎡ ⇔ ∈−∞− +∞ ⎢ ⎣ U Kt lun: ƒ(x) ≥ 0 có nghim x∈ [ ] 1; 3− Phm Hng Lan- Trng THPT s 2TP Lào Cai 6 ng dng đo hàm trong gii bài toán i S& gii tích 3 3 1 32xmx x − −+ −< Bài 2. Tìm m đ bt phng trình: nghim đúng ∀x ≥ 1 () 32 34 112 32,13mx x x m x f x x x xx ⇔<−+∀≥⇔<−+= ∀≥ Gii: BPT ,1 . () 52 5 2 2 42 2 42 4 2 222fx x x xx x x x − ⎛⎞ ′ =+ − ≥ − = > ⎜⎟ ⎝⎠ Ta có 0 suy ra tng. ( ) f x () () () 1 2 3, 1 min 1 2 3 3 x f xmx fxf m ≥ ⇔>∀≥⇔ ==>⇔> YCBT m Bài 3. Tìm m đ bt phng trình () 2 .4 1 .2 1 0 xx mm m + + −+−> đúng x∀∈¡ Gii: t thì đúng () 2 .4 1 .2 1 0 xx mm m + +− +−> 2 x t => x ∀ ∈ ¡ 0 ()() ( ) 22 . 4 1. 10, 0 4141, 0mt m t m t m t t t t⇔+−+−>∀>⇔ ++>+∀> () 2 41 , 41 t 0 g tm tt + ⇔= <∀> ++ t () () 2 2 2 42 0 41 tt gt tt −− ′ = < ++ . Ta có nên ( ) g t nghch bin trên [ suy ra ycbt ⇔ ) 0; +∞ ( ) ( ) 0 01 t M ax g t g m ≥ = =≤ ( ) 12 5 4 x xx m x x + += −+ − Bài 4. Tìm m đ phng trình: có nghim. () 12 54 xx x f xm xx ++ ⇔ == −+ − Gii: iu kin . Bin đi PT . 0x≤≤4 Chú ý: Nu tính ri xét du thì thao tác rt phc tp, d nhm ln. ( ) f x ′ () () 3 1 12 0 0 2 212 gx xx x g x x x ′ =++>⇒ = + > + Th thut: t () () 11 540 25 24 hx x x h x xx − ′ =−+−>⇒ = − < −− 0 () 1 0 hx > và tng; > 0 và gim hay và tng Suy ra: ( ) 0gx> () hx () ( ) () g x fx hx = tng. Suy ra ( ) f xm = có nghim ⇒ [] () [] () () () [] ( ) 0;4 0;4 min ; max 0 ; 4 2 15 12 ;12mfxfxff ⎡ ⎤ ⎡⎤⇔∈ = = − ⎣ ⎦ ⎣⎦ ( 3 32 31 1xx mxx+−≤ −− ) Bài 5. Tìm m đ bt phng trình: có nghim. () 3 1xx Gii: iu kin . Nhân c hai v BPT vi 1 x ≥ 0 + −> ta nhn đc () () () 3 32 31 1 f xx x xx=+− +−≤ bt phng trình m . () () () 3 32 31 ; 1gx x x hx x x=+ − = + − t () () () 2 2 11 360,1; 3 1 221 gx x x x hx x x xx ⎛⎞ ′′ =+>∀≥ = +− + > ⎜⎟ − ⎝⎠ Ta có 0 . Do và tng ; và tng nên ( ) 0gx> 1 x ∀≥ ( ) 0hx> ( ) ( ) ( ) . f x g xhx= tng 1 x ∀≥ Phm Hng Lan- Trng THPT s 2TP Lào Cai 7 ng dng đo hàm trong gii bài toán i S& gii tích Khi đó bt phng trình () f xm ≤ có nghim ( ) ( ) 1 min 1 3 x f xf m ≥ ⇔ ==≤ Bài 6. Tìm m đ [ ] 4, 6x∀∈− ()() 2 46 2 x xx xm+−≤−+ nghim đúng Cách 1. BPT [ ] 4, 6x∀∈− () ( )( ) 2 246 f xx x x x⇔=−+++−≤m đúng () ()() () ()() 22 1 22 1 2 0 24 6 4 6 x 1 f xx x x xx xx −+ ⎛⎞ ′ =− + + = − + = ⇔ = ⎜⎟ +− +− ⎝⎠ Lp bng bin thiên suy ra Max [] ( ) ( ) 4,6 16 M ax f x f m − = =≤ ()() ( ) ( ) 46 46 2 xx txx ++− =+ −≤ = Cách 2. t 5 4x=− + + . Ta có tx . Khi đó bt phng trình tr thành 22 22 [] () [ ] 22 24, 0;5 24 ; 0;5ttm t fttt mt≤− + + ∀ ∈ ⇔ = + − ≤ ∀ ∈ . Ta có: ( ) [ ] ;0;5ft m t ≤ ∀∈ ⇔ ( ) 210ft t ′ =+> ⇒ () f t tng nên [] ( ) ( ) 0;5 max 5 6 f tf m = =≤ Bài 7. Tìm m đ 22 36183xx xxmm++ −− + − ≤ −+1 − đúng ∀∈ [] 3, 6x Gii: () ()( t 36txx=++−>0 ) 2 2 36 9236txx x ⇒ x = ++ − =+ + − ⇒ ()() ()() 2 99 23693 618txxxx≤=+ + −≤+++−= ()() () 22 1 18 3 3 6 9 ; 3;3 2 2 xx x x t t ⎡ ⎤ ⇒+−=+ −= −∈ ⎣ ⎦ () () () () 2 3;3 2 9 1 ; 1 0; 3;3 2 max 3 3 22 ft t t f t t t ft f ⎡⎤ ⎣⎦ ⎡⎤ ′ =− + + = − < ∀ ∈ ⇒ = = ⎣⎦ Xét ycbt () 22 3;3 2 max 3 1 2 0 1 V m 2ft mm mm m ⎡⎤ ⎣⎦ ⇔ =≤ − +⇔ − −≥⇔ ≤− ≥ Bài 8. ( TSH khi A, 2007) Tìm m đ phng trình 4 2 31 12 1xmx x++= − có nghim thc. − Gii: K: , bin đi phng trình 1 x ≥ 4 11 32 11 xx m xx −− ⇔− + = ++ . t 0 13 1 ( ) g t ′ + 0 – ( ) g t 0 13 – 1 [ ) 4 4 1 2 10 11 x u xx − ==−∈ ++ t ,1 . Khi đó () 2 32 g ttt=− + =m Phm Hng Lan- Trng THPT s 2TP Lào Cai 8 ng dng đo hàm trong gii bài toán i S& gii tích () 1 620 3 gt t t ′ =− + = ⇔ = 1 1 3 m ⇔ −< ≤ Ta có . Do đó yêu cu Bài 9. ( TSH khi B, 2007): Chng minh rng: Vi mi , phng 0m > trình () 2 28 2xx mx+−= − luôn có đúng hai nghim phân bit. x 2 + ∞ ( ) g x ′ + ( ) g x 0 + ∞ Gii: iu kin: . 2x ≥ Bin đi phng trình ta có: ()() () 26xx mx⇔− += −2 2 ()() () 22 26xx mx⇔− + = − () ( ) () 32 32 263202 V gx 632 x xx m x xx⇔− + −− =⇔= =+ −=m . ycbt ( ) g xm⇔= có đúng mt nghim thuc khong . Tht vy ta có: ( ) 2; + ∞ ( ) ( ) 340,gx xx x ′ =+>∀>2 . Do đó đng bin mà liên tc và ( ) g x ( ) g x ( ) ( ) 20;lim x ggx →+∞ ==+∞ nên ( ) g xm = có đúng mt nghim ∈ . ( ) 2; + ∞ Vy , phng trình 0m∀> () 2 28 2xx mx + −= − có hai nghim phân bit. Phm Hng Lan- Trng THPT s 2TP Lào Cai 9 Bài 10. ( TSH khi A, 2008) Tìm m đ phng trình sau có đúng hai nghim thc phân bit: 44 2 2 26 26 x xxx+ + −+ −=m Gii: t () [ ] 44 2 2 26 26 ; 0;6 fxxxxxx=++−+− ∈ Ta có: () () () () 33 44 11 1 1 1 ,0; 2 26 26 fx x xx xx ⎛⎞⎛⎞ ′ =− +− ∈ ⎜⎟ ⎜⎟ − ⎝⎠ − ⎝⎠ 6 t () () () () () 33 44 11 11 ;0 26 26 , xux vx xx xx =− =− ∈ − − ,6 ( ) ( ) () () () () () () ,0,0,2 ,6 ( ) 220 ,0,2 ux vx x uv ux vx x ⎧ >∀∈ ⎪ ⇒== ⎨ ⎪ <∀∈ ⎩ () () 0, 0,2 () 0, 2,6 (2) 0 fx x fx x f ′ ⎧ >∀∈ ⎪ ′ ⇒<∀∈ ⎨ ⎪ ′ = ⎩ x 0 2 6 () f x ′ + 0 – f(x) 32 6 + 4 12 2 3+ 4 26 26+ Nhìn BBT ta có PT có 2 nghim phân bit ⇔ 4 26 26 32 6m + ≤< + Bài 11. ( TSH khi D, 2007): Tìm m đ h phng trình có nghim 33 33 11 5 11 15 10 xy xy xy m xy ⎧ +++= ⎪ ⎪ ⎨ + ++ = − ⎪ ⎪ ⎩ Gii: t 11 ;ux vy x y =+ =+ ta có ( ) ( ) 3 3 3 11 11 33 x xxxu xxx x u + =+ −⋅ + =− và 11 1 1 1 2. 2 ; 2.ux x x vy y xx x y y =+ = + ≥ = = + ≥ =2 Khi đó h tr thành () 33 5 5 8 31510 uv uv uv m uv uv m += ⎧ += ⎧ ⎪ ⇔ ⎨⎨ = − +− += − ⎪ ⎩ ⎩ ⇔ u là nghim ca phng trình bc hai ,v () 2 58 f tt t m = −+= [...]... Xác nh n c a nhà tr Ph m H ng Lan- Tr ng Ng ng THPT s 2TP Lào Cai i vi t 5 ng d ng o hàm trong gi i bài toán i S & gi i tích Ph m H ng Lan TÀI LI U THAM KH O 1 Sách giáo khoa gi i tích 12 c b n 2 Sách bài t p gi i tích 12 c b n 3 Sách giáo khoa gi i tích 12 nâng cao 4 Sách bài t p gi i tích 12 nâng cao 5 Báo Toán h c và tu i tr 6 thi 7 d b i h c t n m 2002-2010 i h c t n m 2002-2009 Ph m H ng Lan- Tr... x1 x2 4 4 ng d ng o hàm trong gi i bài toán i S & gi i tích K T LU N Xu t phát t m c ích, nhi m v c a nh ng v n tài, b n c p n chính sau : - Cung c p các ki n th c c b n liên quan a ra các ví d minh h a t - tài SKKN ã n ph ng pháp ng ng - Bài t p áp d ng Sau khi c rèn luy n h th ng ki n th c trên,các em h c sinh ã m nh d n h n ,linh ho t h n trong vi c dùng s d ng ph ng pháp hàm s toán Cái hay c a cách... c a hàm s ng trình, gi i b t ph ng trình, gi i h ng trình - Tránh c vi c bi n lu n theo tham s - Tránh ph i xét nhi u tr - Tránh vi c bình ph gi i ph ng h p m t s bài toán h t s c ph c t p m t s bài toán ng hai v d d n n sai sót ,th a nghi m và tránh vi c ng trình b c cao Trên ây là m t s trình và b t ph vi t gi i ng d ng mà theo tôi là hay g p trong khi gi i ph ng trình R t mong các th y cô và các... f u 2 v i a1 a a2 7 27 ab bc ca 2abc 1 2a bc a 1 a a 1 a f 0 i S & gi i tích ng bi n ,ngh ch bi n c a nó trên y trong nhi u tr ng h p ng h p có th nh n tra ngay t c bi t ta c n khôn khéo ng THPT s 2TP Lào Cai phát hi n ra chúng 3 ng d ng o hàm trong gi i bài toán IV BÀI T P T i S & gi i tích LUY N: Bài 1: Gi i các ph ng trình và b t ph a 2 log ( x 3) = x b 2log3(tgx) = log2(sinx) ng trình sau: 5 1... ng ph f a u ,còn trong các tr 1 c 1 d Min g b c d Min g 0 , g 1 b 0,1 c d 1 cd 1 1 hay ta có ( pcm) c b ng nhi u ph c b ng ph n i u c a hàm s ng pháp ng pháp s d ng tính gi i toán là m t ph n ng ng pháp này, i u c t y u là chúng ta c n xây d ng m t hàm s thích h p ,r i nghiên c u tính o n thích h p.Các hàm s Min f 0 , f 1 a 0,1 1 c 1 d b khác nhau , c ng có bài ch có th gi i i u c a hàm s S d ng tính...ng d ng o hàm trong gi i bài toán H có nghi m f t có 2 nghi m m L p B ng bi n thiên c a hàm s th a mãn t1 , t 2 v i f t –2 t i S & gi i tích 2 5/2 – + + 0 + f t 2 2; t 2 2 t – f t t1 + 22 2 7/4 7 4 Nhìn b ng bi n thiên ta có h có nghi m m 2 Bài 12 ( 1I.2 B TS H 1987-2001):... f 0 d 1, a, b, c, d gi i các bài toán d ng trên có bài ta gi i pháp hay và a f a là m t o n th ng nên 0,1 c d 1 1; g 0 g b 2 ng th c v hàm b c nh t bi n s a, tham s b, c, d, ta có: b c d 1 1, b, c, d g b , b và 0, 2 1 a 1 b 1 c 1 d 1 b 1 c 1 d y 0; 1 1 a 4 u là m t o n th ng 7 27 ab bc ca bc 4, a, b, c 2 b 2 c f a , a f 1 th 2 a b c 1 b 1 c 1 d a y 2 1 3 2 ng th c v hàm b c nh t bi n s a, tham s b,... Bài 14 (IMO 25 – Ti p Kh c 1984): Ph m H ng Lan- Tr a2 là m t o n th ng v i 3 2 6a 5 2 a nên 2, 2 x2 6a 5 0 trong f u u Ch ng minh r ng: 2 c 2a 2 0 0 g u x2 0 2 g Bài 13 Cho f u 2 g 0 g u y ¡ 2, 2 u Do úng v i 1 0 , 2, 2 x2 2x u m 22 a ng THPT s 2TP Lào Cai b c 1 2 ng d ng o hàm trong gi i bài toán Cho a , b, c 0 a b c 1 Gi i: a b c th y 1 2a bc a 1 a f u 1 2a u v i 2 giá tr f 1 1 a 4 Do f 1 1 a 4 . THPT s 2TP Lào Cai 5 ng dng đo hàm trong gii bài toán i S& gii tích III. CÁC BÀI TOÁN MINH HA PHNG PHÁP HÀM S Bài 1. Cho hàm s () 2 23fx mx mx=+− a. Tìm m. Hng Lan- Trng THPT s 2TP Lào Cai 3 ng dng đo hàm trong gii bài toán i S& gii tích 6. Giá tr ln nht và nh nht ca hàm s • Gi s y = ƒ(x) liên tc trên [a, b] đng thi. 5 ng dng đo hàm trong gii bài toán i S& gii tích Phm Hng Lan TÀI LIU THAM KHO 1. Sách giáo khoa gii tích 12 c bn. 2. Sách bài tp gii tích 12 c bn.