MỞ ĐẦUĐịnh nghĩa hàm số và các khái niệm liên quan đến hàm số đã được trình bày ở chương trình sách giáo khoa lớp 10.. Nhưng để hiểu rõ các tính chất và các ứng dụng của hàm số thì cần c
Trang 1MỞ ĐẦU
Định nghĩa hàm số và các khái niệm liên quan đến hàm số đã được trình bày ở chương trình sách giáo khoa lớp 10 Nhưng để hiểu rõ các tính chất và các ứng dụng của hàm số thì cần có kiến thức về giải tích mà cụ thể là đạo hàm của hàm số Kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm được trình bày ở chương trình sách giáo khoa cuối lớp 11 và đầu lớp 12
Dùng đạo hàm của hàm số giúp chúng ta tìm được GTLN, GTNN , xét được khoảng đồng biến , nghich biến của hàm số và xét được tính lồi lõm của đồ thị hàm số
Từ các ứng dụng đạo hàm của hàm số giúp chúng ta giải được một số bài toán trong phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức, xét sự hội tụ của dãy số và chứng minh bất đẳng thức
Trong bài viết này chúng ta tìm hiểu một số ứng dụng của phương pháp hàm số vào trong giải toán
Trang 2I- Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình.
1) Định lí 1: Nếu hàm số f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên D thì số
nghiệm của phương trình f(x) = k trên D không nhiều hơn một và f(x) = f(y) x = y với mọi x,
y D
Chứng minh:
a) Giả sử phương trình f(x) = k có nghiệm x = a tức là f(a) = k
Nếu x > a thì f(x) > f(a) = k suy ra phương trình vô nghiệm
Nếu x < a thì f(x) < f(a) = k suy ra phương trình vô nghiệm
b) Nếu x > y thì f(x) > f(y) suy ra phương trình f(x) = f(y) vô nghiệm
Nếu x < y thì f(x) < f(y) suy ra phương trình f(x) = f(y) vô nghiệm
2) Định lí 2: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến) và hàm số y = g(x)
luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) và liên tục trên D thì số nghiệm của phương trình f(x)
= g(x) không nhiều hơn một
Chứng minh:
Giả sử phương trình f(x) = g(x) có nghiệm x = a tức là f(a) = g(a)
Nếu x > a thì f(x) > f(a) = g(a) > g(x) suy ra phương trình vô nghiệm
Nếu x < a thì f(x) < f(a) = g(a) < g(x) suy ra phương trình vô nghiệm
3) Định lí 3: Nếu đồ thị hàm số y = f(x) lồi (lõm) trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = 0
nếu có nghiệm thì có tối đa 2 nghiệm
Ví dụ 1: Giải phương trình 3x = 4 - x
Giải: Tập xác định D= R Phương trình tương đương với 3x + x - 4 = 0
Xét hàm số f(x ) = 3x + x - 4 Hàm số xác định và liên tục trên R
f’(x) = 3x.ln3 + 1 > 0 x R Vậy hàm số f(x) đồng biến trên R
Mặt khác phương trình có một nghiệm x =1 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1
Bài tập 1: Giải phương trình: log x 11 x
Bài tập 2: Giải phương trình: 9x2 (13 x2).3x2 9x2 36 0
Ví dụ 2: Giải phương trình :
2
2
3 2
3
2x 4x 5
x
Giải: Tập xác định D = R Phương trình đã cho tương đương với
log (x x 3) ( x x 3) log (2x 4x 5) (2x 4x 5) (*)
Xét hàm số f(t) = log t t3 Hàm số xác định và liên tục trên khoảng(0;+ )
f’(t) = 1 1
.ln 3
t > 0 t > 0 Vậy hàm số f(t) đồng biến trên khoảng(0;+ )
Phương trình (*) f(x2 +x + 3) = f(2x2 + 4x + 5)
x2 +x + 3 = 2x2 + 4x + 5 x = - 1 v x = - 2
Bài tập 1: Giải hệ phương trình
2 2
y
Bài tập 2: Giải hệ phương trình
2 2
y
Bài tập 3: Giải hệ phương trình 3 10 5
Bài tập 4 : Tìm m để hệ phương trình có nghiệm
3 3 2
Trang 3Ví dụ 3: Giải phương trình 3x = 2x + 1
Giải: Tập xác định D = R Phương trình đã cho tương đương với 3x - 2x - 1 = 0
Xét hàm số f(x) = 3x -2x - 1, f’(x) = 3xln3 - 2, f’’(x) = 3x (ln3)2 > 0 x R
Mặt khác phương trình co hai nghiệm x = 0 và x =1 Vậy phương trình có đúng hai nghiệm x =
0 và x = 1
Bài tập 1: Giải phương trình: 2009x + 2010x = 4017x + 2
Bài tập 2: Giải phương trình: 3x 1 x log (1 2x)3
Bài tập 3: Giải phương trình: 1 cos x 2 4 cosx 3.4cosx
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình
3 2
3 2
3 2
2 2 2
Giải: Xét hàm số f(t) = t3 + t2 + t - 2 f’(t) = 3t2 + 2t + 1 > 0 t R Vậy hàm số f(t) đồng biến trên R
Giả sử x = maxx,y,z hay x y và x z suy ra x = f(y) f( z) = y và x= f(y) f(x) = z Từ
đó ta có y z và y x Suy ra f(y) f(z) hay z x Do đó x y z x từ đó x = y = z = 1
Bài tập 1: Giải hệ phương trình
Bài tập 2: Giải hệ phương trình
2x 2x 18
2z 3z 18
Bài tập 3: Giải hệ phương trình
2 2z 1 2z 2x 1
Ví dụ 5: Giải bất phương trình x6 7 x 1
Giải: Tập xác định D = - 6; 7 Xét hàm số f(x) = x6 7 x
Ta có f’(x) = 1 1 0
2 x6 2 7 x x (- 6; 7)
Vậy hàm số f(x) đồng biến trên đoạn - 6; 7
Mặt khác f(3) = 1 Do đó bất phương trình tương đương với f(x) f(3) x 3
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = 3; 7
Bài tập 1: Giải bất phương trình x3 3x2 6x 16 2 3 4 x
Bài tập 2: Giải bất phương trình 6 8 6
3 x 2 x
Trang 4II - Sử dụng GTLN,GTNN của hàm số để tìm giá trị tham số để phương trình, bất
phương trình, hệ phương trình có nghiệm.
Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a;b)
1) Định lý 1: Phương trình f(x) = m có nghiệm thuộc đoạn a;b min ( )a b; f x mmax ( )a b; f x 2) Định lý 2: Bất phương trình f(x) m có nghiệm thuộc đoạn a;b max ( )a b; f x m
3) Định lý 3: Bất phương trình f(x) m có nghiệm thuộc đoạn a;b min ( )a b; f x m
4) Định lý 4: Bất phương trình f(x) m nghiệm đúng với mọi x a;b min ( )a b; f x m 5) Định lý 5: Bất phương trình f(x) m nghiệm đúng với mọi x a;b ma bax ( ); f x m Chú ý: Định lý 1,2,3,4,5 dùng để giải các bài toán về phương trình, hệ phương trình, hệ bất
phương trình, bất phương trình chứa tham số
Ví dụ 1: Tìm m để phương trình sau 4x 2 3 21 4 x x 2 m
a) Có nghiệm
b) Có đúng 1 nghiệm
c) có 2 nghiệm phân biệt
Giải : Tập xác định D= -7;3, Xét hàm số f x( ) 4 x 2 3 21 4 x x 2 , ta có
2
3(2 ) '( ) 4
21 4
x
f x
x x
, f’(x) = 0 x= - 6 (Loại) v x = 2
Ta có bảng biến thiên của hàm số f(x)
x -7 2 3
f’(x) + 0
-f(x)
15
-30 10
a) Phương trình có nghiệm khi min ( )7;3 f x m max ( ) 7;3 f x
- 30 m 15 b) Phương trình có đúng 1 nghiệm khi - 30 m < 10 hoặc m = 15
c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi 10 m < 15
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình 4(sin4x + cos4x) + (5 - 2m)cos2x + 9 - 3m = 0
a) Có nghiệm
b) Có đúng 2 nghiệm thuộc đoạn 0;
3
Giải : Đặt t = cos2x với - 1 t 1 Phương trình trở thành
2
2 5 11
2 3
m t
Xét hàm số f(t) =
2
2 5 11
2 3
t
Ta có
2
2
4 12 7 '( )
(2 3)
f t
t
, f’(t) = 0 t = 7
2
(Loại) v t = 1
2 Bảng biến thiên
t -1 1/2 1
f(t)
7/2
Trang 5a) Phương trình có nghiệm khi min ( )1;1 f t mmax ( )1;1 f t 7/2 m 8.
b) Khi x 0;
3
thì 2x 0;2
3
hay 1 1
2 t
Phương trình có hai nghiệm thuộc đoạn
0;
3
khi phương trình ẩn t có hai nghiệm t thuộc đoạn 1;1
2
hay 7/2 < m 18/5
Bài tập 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực 3 x1m x 1 24 x2 1
Bài tập 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực
2
4
Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm 1 1 2 1 1 2
Bài tập 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm x2 4x m x2 4x 3 m2 0
Bài tập 5: Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt:
42x 2x2 64 x 2 6 x m
Bài tập 6: Tìm m để phương trình 3 1 x2 2 x3 2x2 có nghiệm duy nhất thuộc1 m
đoạn 1;1
2
Bài tập 7: Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt thuộc đoạn ;
4 4
sin x + cos x + cos 4x = m
4
x
x
nghiệm thực
Bài tập 9: Tìm m để phương trình sau có nghiệm 4 6 x x2 3x m x2 2 3 x
Bài tập 10:Tìm m để phương trình sau có nghiệm
Ví dụ 3: Tìm m để bất phương trình: x3 3mx 2 31
x
nghiệm đúng x 1
Giải: BPT 3mx x3 13 2, x 1 3m x2 14 2 f x , x 1
x
4 2 2
Suy ra f x đồng biến trên khoảng (1; + )
1
2
3
x
Bài tập 1: Tìm m để bất phương trình 2
x x m x nghiệm đúng với mọi giá trị x 2; 2 3
Bài tập 2: Tìm m để bất phương trình 4x 6 x x2 2x m nghiệm đúng
x
Trang 6Bài tập 3: Tìm m để bất phương trình 3x 6 x 18 3 x x 2 m2 m nghiệm 1 đúng x 3,6
Ví dụ 4: Tìm m để phương trình: x x x12 m 5 x 4 x có nghiệm
Giải: Chú ý: Nếu tính f x rồi xét dấu thì thao tác rất phức tạp, dễ nhầm lẫn
x
Suy ra: g x và tăng; 0 h x > 0 và giảm hay h x 1 0 và tăng
g x
f x
h x
tăng Suy ra f x m có nghiệm
0;4 0;4
Bài tập 1: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: x 1m x 3 2 m
Bài tập 2: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm x3 3x2 1m x x13
Ví dụ 5: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm
Giải: Đặt u x 1x;v y 1yta có 3 3
3
x
và u x 1 x 1 2 x.1 2 ; v y 1 2 y.1 2
Khi đó hệ trở thành
3 3
8
u v, là nghiệm của phương trình bậc hai 2
5 8
Hệ có nghiệm f t m có 2 nghiệm t t thỏa mãn 1, 2 t1 2; t2 2
Lập Bảng biến thiên của hàm số f t với t 2
22
+
Nhìn bảng biến thiên ta có hệ có nghiệm 7 2 m 22
4 m
Bài tập 1: Chứng minh rằng m > 0 hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất
ln(1 ) ln(1 )
x y
y x m
Trang 7Bài tập 2: Tìm m để hệ: 4
(m là tham số)
có nghiệm x; y thỏa mãn điều kiện x 9
Trang 8III - Sử dụng tính đơn điệu, GTLN, GTNN của hàm số để chứng minh bất đẳng thức 1) Định lý 1: Nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) thì f(a) < f(x) < f(b) với mọi x
(a;b)
2) Định lý 2: Nếu hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b) thì f(a) > f(x) > f(b) với mọi x
(a;b)
3) Định lý 3: Nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) thì f(a) f(x) f(b) với mọi x
a;b
4) Định lý 4: Nếu hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b) thì f(a) f(x) f(b) với mọi x
a;b
Chú ý: Định lí 1,2,3,4 dùng để chứng minh bất đẳng thức bằng cách xét hàm số.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng
2 2
sin cosx x
x
2
x
Giải: Xét hàm số f(x) = sin
cos
x x
x , với x 0;2
1 cos 2 cos cos (1 cos )
2cos cos 2 cos cos
f x
2
x
Do đó hàm số f(x) đồng biến trên khoảng 0;
2
Từ đó f(x) > f(0)
2 2
sin cos
x x
x đpcm
Bài tập 1: Chứng minh rằng
a) 1- 2 cos
2!
x
x
, với x ≠ 0
b)
3
sin
3!
x
x x, với x > 0
c)
2 4
cos 1
2! 4!
d)
3 5
sin
3! 5!
xx , với x > 0
e) ex 1 + x , x R
f) ln x x
e
, với x > 0 và x ≠ e
g) 2ln x 1
2
1
x
x , với x > 0 và x ≠ e
h)
3
sinx
cosx
x
, với (0; )
2
Bài tập 2: Chứng minh rằng
a) sinxtanx2x, với 0
2
b) 1tan 2sin
2 x 3 x x, với 0 x 2
c) (2 cos ) 3sinx x x, với x > 0
d) sin x 2x
, với 0;
2
x
e) x(1 x) sin x4 (1x x), với x (0;1)
Trang 9Bài tập 3: Chứng minh rằng:
a) e x 1 xe x, với x > 0
b) e x 1 x x e2 x, với x > 0
c) 2 1
x
x
x e e , với x > 0
d) e x (1 x)1 x
, với x > 0
Bài tập 4: Chứng minh rằng
ln 1 1 x ln x
x
, với x > 0
b) ln 1
1
x x
x
, với x > 0
c) 1 x2 xln2 x, với x > 0
2
ln 1 cos ln 2
4
x x
với x0;
Bài tập 5: Chứng minh rằng:
a) sin tan x x, với 0;
4
x
b) tan sin x x, với 0;
3
x
Ví dụ 2: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình 2 2
2
12
m
Tìm m để
2 2
1 2
A x x đạt GTNN, GTLN
Giải :
m
Trang 10
Bài tập 1:Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình 2
2
1 0
a
Tìm m để 4 4
1 2
Px x đạt GTNN
Bài tập 2: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x2 (a1)x a 2 0 Tìm GTNN của
1 2
1 1
P
Ví dụ 3: Tìm GTNN của
2 2
2 2
( ; ) 3 x y 8 x y
f x y
Giải:
Bài tập 1: Tìm GTNN, GTLN của
2 2
sin 2sin 3 sin 3sin 4
P
m
m
m
m
m
Trang 11Bài tập 2: Tìm GTLN, GTNN của P 2sin 2x 21 cos 2x
Bài tập 3: Tìm GTNN, GTLN của
4 4 2 2 2
P
Bài tập 4: Tìm GTLN,GTNN của 2
2
cos cos
x x
Ví dụ 4: Cho x, y ≥ 0 thoả mãn x2 + y2 = 1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
2
P
Giải:
Nếu x = 0 thì từ giả thiết x2 + y2 = 1 ta có y = 1 Suy ra P = 1
Nếu x 0 thì đặt y = tx, t ≥ 0 Từ giả thiết ta có x2 + y2 = 1 x2 + t2x2 = 1 2
2
1 1
x
t
Ta có P =
Xét hàm số f(t) =
2 2
, f ’(t) =
2
12 4 (3 2 1)
, f ’(t) = 0 t = 0 v t = 1
3
(Loại) Bảng biến thiên
t 0 +
f(t)
1
-1
Từ bảng biến thiên ta có Min(P) = - 1 đạt được khi t = 0 x = 1; y = 0
Max(P) = 1 đạt được khi x = 0; y = 1
Bài tập 1: Cho hai số thực x,y thay đổi và thỏa mãn hệ thức x2 + y2 = 1 Tìm GTNN, GTLN của
2
2
2( 6x )
1 2x 2
P
Bài tập 2: Cho hai số thực dương x, y thay đổi và thỏa mãn điều kiện xy y - 1 Tìm GTNN
của biểu thức
2 3
2 9 3
P
Ví dụ 5: Cho hai số thực x,y thỏa mãn x2 + xy + y2 = 1 Tìm GTLN,GTNN của A = x2 - xy + y2 Giải:
Trang 12Bài tập 1: Cho hai số thực x,y thỏa mãn x2 - xy + y2 = 1 Tìm GTLN,GTNN của A = x4 + y4 -
x2y2
Ví dụ 6: Cho hai số thực x,y thỏa mãn x2 - xy + y2 = xy(x + y) Tìm GTLN của 3 3
A
Giải:
Trang 13Bài tập 1: Cho x,y dương thỏa mãn x + y = 1 Tìm GTNN của 2 2 2 2
Bài tập 2: Cho các số thực không âm x,y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1 Tìm GTLN, GTNN
của biểu thức 2 2
Bài tập 3: Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn x y 3 4xy2 Tìm GTNN của biểu thức 4 4 2 2 2 2
Ví dụ 7: Cho hai số x,y (0;1) thảo mãn x + y = 1 Tìm GTNN của biểu thức ( ; )f x y x y y x
Giải:
Trang 14Ví dụ 8: Cho , , 0
1
a b c
a b c
27
Giải:
1 2 1 1 2 1 1 2
Đồ thị yf u 1 2a u a 1 a với 0 2 1 2
a
b c
là một đoạn thẳng với 2 giá trị đầu mút
2
Do đồ thịyf u là một đoạn thẳng với 0;11 2
4
và 0 7
27
f a nên f u 277 Đẳng thức xảy ra 1
3
a b c
Bài tập 1: Cho , , 0
3
a b c
a b c
Chứng minh rằng: a2 b2 c2 abc4
Bài tập 2: Chứng minh rằng: 2 a b c ab bc ca 4, a b c , , 0, 2
Ví dụ 9: Cho x,y,z > 0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x y xyz
Giải :
Áp dụng trình tự các bước sau
+)
2
4
x y
xy , dấu bằng xảy ra khi x = y
+) Nếu cho A, B > 0, m n > 0 và A < 2B thì A 2n A 2m
+) Nếu cho m n > 0, A mn thi A n. A m.
+)
2 2
(2)
2
( )(1 )(1 ) ( ) 1 ( )
2
1
4
x y
z
x y
Trang 15+)
(3)
2 2
( 1)
2
4
z
+) 2 2 (1 2 ),
1 ( 1)
P
đặt t z,0 Xét hàm số t 1
2
( ) (2 3) ?
( ) (2 3) ?
Bài tập 1: Cho a,b,c>0 và a2 b2 c2 Chứng minh1
2 2 2 2 2 2
3 3 2
Ta đã biết tiếp tuyến của hàm số y=f(x) tại mọi điểm bất kì trên khoảng lồi luôn nằm phía trên
đồ thị và tiếp tuyến tại mọi điểm trên khoảng lõm luôn nằm phía dưới đồ thị nên ta có nhận xét sau
Nhận xét:Nếu y=ax+b là tiếp tuyến của đồ thị hàm số yf x( ) tại điểm A x y( ; ) 0 0
( A không phải là điểm uốn) , khi đó tồn tại một khoảng I chứa điểm x0 sao cho
f x ax b x I hoặc ( )f x ax b x I
Ví dụ 10: Cho , ,a b c và0 a b c 6 Cmr : a4 b4 c4 2(a3 b3c3)
Giải: Bđt cần chứng minh a4 2a3 b4 2b3 c4 2c3 0
( ) ( ) ( ) 0
với f x( )x4 2x3
Ta thấy đẳng thức xảy ra khia b c 2
Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x 2là: y=8x-16
Ta có: f x( ) (8 -16) x x4 2x3 8x16 ( x 2) (2 x2 2x4) 0 x
5
Bài tập 2: Cho a,b,c>0 Cmr :
5
Bài tập 3: Cho , ,a b c Cmr: 0 (a b c)(1 1 1) 4( a b c ) 3