Chuyên đề sử dụng lượng giác giải bài toán dãy số

MỞ ĐẦU:Dãy số là một dạng toán rất hay và khó trong chương trình toán phổ thông, đặc biệt là trong kì thi HSG chúng ta thường gặp rất nhiều dạng toán về dãy số.. ngoài những dạng dãy số

Tác giả : NGUYÊN NGỌC MINH TRAI

PHẦN MỞ ĐẦU:

Dãy số là một dạng toán rất hay và khó trong chương trình toán phổ thông, đặc biệt là trong kì thi HSG chúng ta thường gặp rất nhiều dạng toán về dãy số ngoài những dạng dãy số sai phân tuyến tính mẫu mực còn có rất nhiều dạng không mẫu mực mà cách giải thường là sử dụng phương pháp lượng giác Hôm nay, tôi xin mạo mụi viết một tập tài liệu nhỏ về cách sử dụng lượng giác để giải các bài toán dạng này Đây là tập tài liệu đầu tay của tôi nên sai sót là điều không thể tránh khỏi, hi vọng nhận được các ý kiến từ các bạn… qua email tinh_vo_tan_124@yahoo.com.vn

hoặc nhoc_vip_katudo_kid@yahoo.com.vn Trong tập tài liệu này, tác giả có sử dụng một số tài liệu về dãy số trong ebook của thầy Nguyễn Tất Thu_THPT

Lê Hồng Phong_Đồng Nai xin chân thành cảm ơn thầy.

Long Thành ngày 3-9, năm 2009 Lớp 11A2 , Nguyễn Ngọc Minh Trai

II Phương pháp

1)_CẦN NẮM VỮNG CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Cos2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sin2a Sin2a = 2sinacosa

Cos3a = 4cos3a – 3cosa Sin3a = - 4sin3a + 3sina Tan(a+b) =

b a

b a

tan tan 1

tan tan

− +

Tan3a =

a

a a

2

3

tan 3 1

tan tan

3

− +

2)_ Đọc kĩ giả thiết của đề bài … => phân tích đặc điểm của dãy số => chọn hàm số lượng giác phủ hợp => giải bài toán…

(Chú ý khi dụng hàm sin và cos cần phải có trị tuyệt đối nhỏ hơn 1)

PHẦN 3 BÀI TẬP

Bài 1: (Olympic 30/4/2003)

Cho dãy {un} định bởi:

1

1

3

2 1

n n

n

u

u u

u

+

 =



Tính u2003

Nhận xét : với giả thiết của bài ta liên tưởng ngay đến CT:

b a

b a

b a

tan tan 1

tan tan

) tan(

−

+

=

8 tan 1

2− = π

, u1=

3 tanπ

Lời giải

Ta có:

1

1

3

*

2 1

n n

n

u

u u

u

+

 =



Ta đã biết: 2 1

8

2

2 8

8

tg

tg tg

tg

π

π

Từ (*) ta có: 1 8 1( )

1

8

n n

n

u tg u

u tgπ

+

+

=

−

Theo nguyên lý quy nạp, từ (1) và u1 = 3.suy ra

n

u =tgπ + −n π

u =tgπ + π=tgπ π+ 

Bài 2: (đề thi đề nghị Olympic 30.4)

Cho dãy số xác định bởi:

a0=1, a1000=0

an+1=2a1an - an-1

tính : a1999 + a1

hướng dẫn giải:

+ nếu thay n=2 thì ta được a2 = 2a 1 – 1 vậy nên nếu muốn sử dụng lượng giác(ở đây

là hàm cos, vì cos2a = 2cos 2 a – 1) ta cần phải chứng minh được |a1|≤1 thì mới có thể dặt a1=cosa

+ quả vậy, nếu |a1| ≥ 1, thì |a2|= |2a1 – 1| ≥ 1, suy ra |a3|= |2a2 – 1| ≥ 1…….|a1000| ≥ 1(trái với giả thiết) vậy nên |a1|≤1 , đặt a1=cosa

Bằng quy nạp, ta chứng minh được rằng:

an+1= cos(n+1)a

ta có: a1000 = cos1000a = 0, => 1000a = π 2kπ

2 +

 a1999=cos1999a=cos(π +2kπ −a)= -cosa = -a1

 a1999 + a1 = 0

Bài 3: Cho dãy {un} và {vn} như sau: (tạp chí THTT)

0

2 1

2 2 2

2

u



=







và

0

2 1

1

n

n

v

v v

v

+

=





=





Chứng minh rằng:2 n 2 2 n 2

+ < < +

Giải:

Ta có: 0 2 sin 2 , 1 2 1 cos 2 sin 3

Vậy: 2 1 cos 2 1 sin 2

+ +

Tương tự: 0 1 2

2

v = =tg π

2

2

1 1

2

tg

π

+

− +

Bằng cách xét: f x( ) =sinx x− , ( ) ; 0;

2

g x =tgx x x−  π

∈  ÷

2

x< <x tgx x  π 

∀ ∈  ÷

2πn 2πn tg2πn

+ < + < + 2 k 2 2 k 2

Bài 4:

Cho a 0 = 2, b0 = 1 Lập hai dãy số{an},{bn}với n = 0, 1, 2, theo quy tắc sau: 1

2 n n

n

n n

a b a

a b

+ =

1 1

b+ = a + b

Chứng minh rằng các dãy {a n},{bn} có cùng một giới hạn khi n→ ∞ Tìm giới hạn đó.

Giải:

Ta chú ý: 0

1 1 2

1 cos

a

π

= =

, b0 =1

0 0 1

2

0 0

0 0

cos 1 cos

a b a

a b

a b

1 1 0

1 cos 6

b a b

π

Từ đó, bằng quy nạp, ta chứng minh rằng:

1

cos cos cos cos

−

1

−

Lưu ý rằng: 2 1

sin 3

2.3 2 3 2 3 2 3 2 sin

2 3

n n

n

π

Ta có: 2 sin2 3 ( )1

sin cos

3 2 3

n n n

n

a

π

2 sin

2 3 sin 3

n n n

b

π π

Từ (1), (2) tồn tại limn a n

→∞ và limn b n

→∞

Ngòai ra:

lim lim

9 sin cos sin

n n n

n

a

π

→∞ = →∞ = =

2 3 lim lim lim cos

9

2 3

→∞ = →∞ →∞ =

Vậy hai dãy {an},{bn}có cùng giới hạn chung là2 3

9

π

Bài 5: (Kỳ thi quốc gia lần XXVIII-1990)

Cho dãy số{xn}, n∈¥ , x1 <1được xác định bởi hệ thức:

2 1

3 3 2

n

x+ − + −

=

a.Có cần thêm diều kiện gì đối với x 1 để dãy tòan số dương

b.Dãy số này có tuần hòan không? Tại sao?

Giải:

a Để xn > 0, trước hết ta phải có x1 > 0 và x2 <0

Nhưng x2 > 0 tức là 3 3− x n2 > x hay1 2

1

3 4

x <

Suy ra: 0 1 3

2

x

< <

Ngược lại, nếu0 1 3

2

x

< < thì tồn tại 0;

3

π

α ∈ ÷sao cho sinα =1 x1 Khi đó:

2 3cos 1sin sin ,0

x = π −α− π −α= α

Từ đó suy ra:x1 =x3 = = sinα >0

Vậy điều kiện là:0 1 3

2

x

< <

b Xét hai trường hợp đối với x1:

• Trường hợp x1 ≥0:

- Nếux2 ≥0 thì tương tự phần a ta có:x3 ≥0,x4 ≥0 và

1 3 ; 2 4

x =x = x =x =

- Nếu x2 < 0 thì x3 >0 và cũng có x3 =x1

2

3 3 2

=

1 2 1

3 3− x =2x +x 1 2 ( ) ( )2

2 1 2

3 3x 2x x 2

Do (1) mà: 2x1+x2 >0.Suy ra:

1 2 1 1 2 1 2

2x +x = +x x +x > −x x >0(x1 ≥0,x2 <0)

Vì thế từ (2) ta có: 2

2 1 2

3 3− x =2x +x

3 3 2

Tương tự:x2 =x4

Vậy ta có:{xn} là dãy tuần hòan

• Trường hợp x1 < 0

Khi đó x2 > 0 và theo trường hợp 1 suy ra xn kể từ hạng thứ hai trở đi là dãy tuần hòan

bài toán 6 :

Cho hai dãy {an},{bn} như sau: a < b cho trước

1

2

a b

a = +

; b1 = a a 1

1 1

2

2

a b

a = +

; b2 = a b2.1

1 1

2

n

a = − + −

; b n = a b n n−1 a.Tìm limn b n

→∞

b.Tìm limn a n

→∞

Giải:

a.Đặt cos a

b

2

π α

 < < 

Ta có

2 1

1

cos 2 cos 2

a b

b b

α α

 =





 =



⇔

1 1

a b

+







Bằng quy nạp ta dễ dàng có:

2 1

2 1

.sin cos

2 cos cos cos

2 sin cos cos cos

2

n

n n

n n

b

a b

b

b b

α α

α

α

−

−



















2 sin sin

n n

n

b

α

α

sin lim n

n

b

α

→∞

b.Ta cũng có: cos

2

a =b α

2

→∞ = →∞ =

Bài 7: Cho dãy {un} xác định bởi: 2n 2 2 2

n

Tìmlimn u n

→∞

Giải:

Đây là bài tóan đơn giản và quen thuộc Ta sẽ chứng minh:

( ) 1

2 2 2 2cos 1

2

+

Rõ ràng với n = 1 thì (1) hiển nhiên đúng

Giả sử đúng khi n = k, nghĩa là: 2cos 1

2

+

2

+ = + = + +

2

Vậy (1) đúng khi n = k+1, suy ra (1) đúng với mọi n

Ta có: 2n 2 2 2

n

1

2 sin 2 sin

2

2

1 lim lim 2 sin

n

+

→∞ = →∞

2

2

sin

lim 2 2

n

n

n

π π π

+

→∞

+

=

lim

2

n

→∞

Bài 8: Cho dãy {un} xác định bởi: 1 2

1 2

4

u u − u −





1

cot

n

i

S arc g u

=

Tìmlimn S n

→∞

Giải:

1 1 4 2

Thật vậy:u n(4u n−1) =u n−1(4u n)

( 2) 1( 1 1)

u u u − u − u + u −

1 1 1 2 2 3 1 4

u u u+ − u u u− − u u u

Ta có:

cot

4

n

u arc gu =arccotg u  

  ÷

( 1 1) 2

1 1

n n n

u u u arccotg

u u u

+ − + −

+

−

1 1 1 1

1

n n

u u

u u arccotg

u u

+

− +

−

=

1

1

arccotg arccotg

+

−

arcotg u arcotg u arcotg u

Ta sẽ chứng minh rằng n 1

n

u u

−

có giới hạn bởi vì0<u n−1 <u n n 1 1

n

u u

−

Mặt khác n 1

n

u

u

−

là dãy giảm, suy ralim n 1 1

n n

u u

+

→∞ ≤

Mà:u n =4u n−1−u n−2

1 2

− −

1

− − −

−

Nếu đặt: lim n 1

n

n

u x

u

−

→∞

=

2

1 4x x

n n

u u

+

→∞

12

n

→∞ = + =

Bài 9: (Tạp chí tóan học và tuổi trẻ năm 2005)

Dãy {hn} được cho bởi điều kiện 1

1 2

h =

1

2

n n

h

Đặt

1

;

n

i

=

=∑ ∀ ∈¥ Hãy chứng minh rằng:lim n 1,03

n

S

→∞ <

Giải:

Ta có: 1 1 sin sin

h = = π = π

2 sin

3.2

Ta sẽ chứng minh rằng: sin

3.2

h = π

iả sử rằng: sin sin

3.2

h = π

1

h

π

+

Mặt khác: sin ; 0;

2

x x x  π

< ∀ ∈  ÷

1

n

i

=

1

2 3.2

π

< +

Do Sn là dãy tăng nênlim 1 1,03

2 3.2

n n

→∞ ≤ + <

⇒đpcm

Bài 10: (đề thi HSG quốc gia lầnXXV-1987)

Cho cấp số cộng gồm 1987 số hạng với số hạng đầu 1

1987

u = π

và công sai là

3974

π

Tính giá trị:S =∑cos(± ±u1 u2 ±u1987)ở đó tổng ∑ chứa tất cả các số hạng ứng với tất cả các cách khác nhau có thể được để lấy dấu cộng hay trừ trước các số

1, , ,2 1987

u u u

Giải:

Ta sẽ chứng minh từ bài tóan tổng quát hơn Bài tóan thực chất là:

{ }1

n

j

u

∀ (kí hiệu dãy) ( 1 2 1987)

1

cos 2 n n cos

j j

=

Ta chứng minh bằng quy nạp:

Với n = 1:

( )

cosu +cos −u =2cosu

Với n = 2:

( 1 2) ( 1 2) ( 2 1) ( 1 2)

cos u +u +cos u −u +cos u −u +cos − −u u

( )

2cos cosu u 2cos u cosu 4cos cosu u

Giả sử bài tóan đúng với n, khi đó:

1

1

1

2n n cos 2 2 n n cos cos

+

+

+

( 1 2 1987) 1

2 cos u u u cosu n+

( 1 2 1987)

cos u u u

Trở lại bài tóan ta có:

1987 1987 1

j

=

Do {uj} là cấp số cộng nên:

1987 1 1985

u = +u d

1987 2.1987 2

Bài 11: (Kì thi quốc gia lần XXVII - 1984)

Cho dãy số u1, u2 như sau:u1=1, u2=2,un+1=3un-un-1

Dãy số v1,v2 được theo quy luật:

1

cot

n

i

v arc gu

=

Hãy tìmlimn v n

→∞

Giải:

Trước hết nhận xét rằng dãy u1, u2 chính là các số hạng lẻ của dãy Fibonaci:1,1,2, 3, 5, Gọi dãy đó là t1,t2, t3, t4

Ta có:t1 = =t2 1vàt n+2 =t n+1+t n n( ≥1)

a. Trước hết ta chứng minh rằng:

cot cot cot cot n cot n

arc gt −arc gt −arc gt − −arc gt + =arc gt + ( )1

Thật vậy theo công thức cộng cung ta có:

2 2 1 2 2 1

1

+

+

1 2 3 ( 1)m

t + t + −t t + = −

Nếu đặtm=2n−1 thì t t2n.2n+1−t2n−1 2.t n+2 = −1

Từ đó:t t2n.2n+1+ =1 t2n−1 2.t n+2

Suy ra:arccotgt2n −arccotgt2n+1 =arccotgt2n+2( )2

Trong (2) lần lượt thay n=1, 2,3, rồi cộng lại sẽ được (1)

b. Từ (1) suy ra:

2 2 2

i

arc gu arc gu arc gt +

=

Do:lim 2n 2

n t +

→∞ = +∞ nên lim arccotgt2n+2 =0

Từ đó suy ra

2

4

n

i

arc gu arc gu π

=

Vậy:

2

n

n

i

→∞ =

Bài tập 12

(103 trigonometry problems from the training of the USA IMO team)

Cho dãy số {an} xác định bởi:

X1 = t

Xn+1= 4Xn( 1 - Xn )

Tìm các giá trị của t để X1998 = 0 ?

Hướng dẫn giải : Thoạt nhìn chúng ta thường phân tích ngay 4Xn( 1 - Xn ) =1 - (2Xn - 1)2

và bắt đầu suy nghĩ xem nên dùng hàm lượng giác nào cho phù hợp………=> hoàn toàn sai lầm ………… Bản chất của việc phân tích 4Xn( 1 - Xn ) =1 - (2Xn - 1)2 là để chứng minh |xn| ≤ 1

Ta có |xn| ≤ 1 => 0 ≤ t ≤1 vì nếu ngược lại thì ta có ngay: x2 < 0 =>x3 < 0 =>

……… => X1998 < 0(trái với giả thiết)…

Sau đó ta đặt t = sin2a …………=> công thức tổng quát của Xn rồi giải… cách giải không khác bài 2 là mấy…

Phần IV : các bài tập tự giải.

bài tập 1:

Cho dãy {xn}:

X1 = a

Xn = 2xn-12 – 1

Tìm công thức tổng quát của dãy {xn}

(hướng dẫn giải : xét 2 trường hợp |a| ≤ 1 , và |a| ≥ 1.)

Bài tập 2 :

Cho dãy

X1= m

Xn= 4xn-13 – 3un-1

Xác định số hạng tổng quát của dãy: {xn}

(giải tương tự bài tập 1)

Bài tập 3

Cho hai dãy số {xn} và {yn} xác định như sau:

X0 = 0 , y0= cosa

Xn = xn-1 + 2yn-1sin2a

Yn= yn-1 + 2xn-1cos2a

Tính xn và yn

( hướng dẫn: Xn + mYn= (1 + 2 mcos2a) xn-1 + (m + 2sin2a)yn-1

Ta cần chọn m để :

(m + 2sin2a) = m(1 + 2 mcos2a)

Ta cần chọn như vậy vì mục đích là:

Xn + mYn = (1 + 2 mcos2a)( Xn-1 + mYn-1)=… = (1 + 2 mcos2a)n( X0 + mY0) (1)

n dấu căn

Với cách chọn trên ta được m = tana hoặc m = -tana

Thay 2 giá trị này vào(1), rồi giải hệ thì coi như ta đã giải quyết xong.)

Bài tập 4 (trích từ quyển 103 trigonometry problems from the training of the USA IMO team)

Cho hai dãy số {xn} và {yn} xác định như sau:

X1= 3 xn = xn-1 +

2 1

1+x n−

và

Y1= 3 yn=

1

1

1

−

+

n

y y

Chứng minh rằng : 2 < xn yn < 3

(lời giải được đề cập rất rõ trong quyển 103 trigonometry problems from the training of

Bài tập 5 (THTT 369)

Tìm lim









+ + +

− +

−

− 2 2 2 2 2 2 2 2 2

Bài tập 6 (THTT 335)

Cho dãy số {xn} xác định:

X1 = 1/2

Xn+1 =

2

1

1− −a2

Chứng minh rằng :

X1 + X2 +……+X2005 < 1.03

Bài tập 7 (THTT 313)

Cho dãy số {xn} xác định:

X1 = a

Xn+1 = 2 Xn2 - 1

BÀI TẬP 8

Cho dãy số {xn} xác định:

X1 = a

Xn=

1

1

−

−

+

n

n

bX

b X

Tìm dãy số tổng quát của {xn}

Hướng dẫn

Đây là bài toán tổng quát của bài toán 1

Các bạn có thể giải theo hướng dẫn sau:

Đặt a = tanα, b = tanβ

Chứng minh bằng quy nạp ta được:

Xn = tan[ α + (n - 1) β]

Phần 3… đề thi HSG toán tỉnh Đồng Nai vòng 1 –

2007 _ 2008

Câu 1 (3,5 điểm)

Giải hệ phương trình

Câu 2 (3,0 điểm)

Cho tứ giác lồi ABCD;Gọi A, B, C, D lần lượt là số đo của

; Biết Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp

Câu 3 (3,5 điểm)

Cho hàm số f(x)= Hãy cho biết có phải là số hữu tỉ hay không

và giải thích điều khẳng định đó

(Với là đạo hàm cấp 5 của hàm số f(x) tại điểm )

Câu 4 (3,5 điểm)

Cho tứ diện PQRS có PQ=PR=RS và QR=QS=SP

Chứng minh rằng: < <3

Câu 5 (3,0 điểm)

Tìm tất cả các số chính phương abcd sao cho dcba là số chính phương

( với a,b,c,d là số tự nhiên có thể bằng nhau thỏa mãn a,b,c,d 9 và ad khác 0

Câu 6 (3,5 điểm)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy Cho tam giác LMN nôị tiếp đường tròn tâm I ; biết trọng tâm E( 15;4) , trực tâm U(1;7), đỉnh L(0;7)

Chứng minh rằng điểm I nằm bên trong tam giác LMN

Nhận xét : đề thi tỉnh Đồng Nai không khó lắm… không đánh đúng vào những dạng toán hay và khó của chương trình phổ thong như : bất đẳng thức, phương trình hàm, dãy số ………

The end

To be continue…