Chuyên đề sử dụng lượng giác giải bài toán dãy số

NGUYỄN NGỌC MINH TRAI, lớp 11A2, thpt LONG THÀNH, huyện LONG THÀNH, ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2009-2010 Thpt_LongThành Tác giả : NGUYÊN NGỌC MINH TRAI Where there is a will , there is a way 1 NGUYỄN NGỌC MINH TRAI, lớp 11A2, thpt LONG THÀNH, huyện LONG THÀNH, ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2009-2010 PHẦN . MỞ ĐẦU: Dãy số là một dạng toán rất hay và khó trong chương trình toán phổ thông, đặc biệt là trong kì thi HSG chúng ta thường gặp rất nhiều dạng toán về dãy số. ngoài những dạng dãy số sai phân tuyến tính mẫu mực còn có rất nhiều dạng không mẫu mực mà cách giải thường là sử dụng phương pháp lượng giác. Hôm nay, tôi xin mạo mụi viết một tập tài liệu nhỏ về cách sử dụng lượng giác để giải các bài toán dạng này. Đây là tập tài liệu đầu tay của tôi nên sai sót là điều không thể tránh khỏi, hi vọng nhận được các ý kiến từ các bạn…. qua email tinh_vo_tan_124@yahoo.com.vn hoặc nhoc_vip_katudo_kid@yahoo.com.vn. Trong tập tài liệu này, tác giả có sử dụng một số tài liệu về dãy số trong ebook của thầy Nguyễn Tất Thu_THPT Lê Hồng Phong_Đồng Nai__xin chân thành cảm ơn thầy. Long Thành. ngày 3-9, năm 2009 Lớp 11A 2 , Nguyễn Ngọc Minh Trai Where there is a will , there is a way 2 NGUYỄN NGỌC MINH TRAI, lớp 11A2, thpt LONG THÀNH, huyện LONG THÀNH, ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2009-2010 II. Phương pháp 1)_CẦN NẮM VỮNG CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Cos2a = 2cos 2 a – 1 = 1 – 2sin 2 a Sin2a = 2sinacosa Cos3a = 4cos 3 a – 3cosa Sin3a = - 4sin 3 a + 3sina Tan(a+b) = ba ba tantan1 tantan − + Tan3a = a aa 2 3 tan31 tantan3 − + 2)_ Đọc kĩ giả thiết của đề bài … => phân tích đặc điểm của dãy số => chọn hàm số lượng giác phủ hợp => giải bài toán… (Chú ý khi dụng hàm sin và cos cần phải có trị tuyệt đối nhỏ hơn 1) Where there is a will , there is a way 3 NGUYỄN NGỌC MINH TRAI, lớp 11A2, thpt LONG THÀNH, huyện LONG THÀNH, ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2009-2010 PHẦN 3. BÀI TẬP Bài 1: (Olympic 30/4/2003) Cho dãy {u n } định bởi: ( ) 1 1 3 2 1 1 1 2 n n n u u u u +  =   + −  =  + −   Tính 2003 u Nhận xét : với giả thiết của bài ta liên tưởng ngay đến CT: ba ba ba tantan1 tantan )tan( − + =+ . Đồng thời ta còn có 8 tan12 π =− , u 1 = 3 tan π . Lời giải Ta có: ( ) ( ) 1 1 3 *2 1 1 1 2 n n n u u u u +  =   + −  =  + −   Ta đã biết: 2 1 8 tg π = − 2 2 8 1 2. 4 8 1 8 tg tg tg tg π π π π   = = =  ÷   − ⇒ 2 1 8 tg π = − Where there is a will , there is a way 4 NGUYỄN NGỌC MINH TRAI, lớp 11A2, thpt LONG THÀNH, huyện LONG THÀNH, ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2009-2010 Từ (*) ta có: ( ) 1 8 1 1 8 n n n u tg u u tg π π + + = − Theo nguyên lý quy nạp, từ (1) và 1 3u = .suy ra Suy ra: ( ) 1 3 8 n u tg n π π   = + −     Vậy: 2003 2002 3 8 3 4 u tg tg π π π π     = + = +  ÷  ÷     ( ) 2 3= − + Bài 2: (đề thi đề nghị Olympic 30.4) Cho dãy số xác định bởi: a 0 =1, a 1000 =0 a n+1 =2a 1 a n - a n-1 tính : a 1999 + a 1 hướng dẫn giải: + nếu thay n=2 thì ta được a 2 = 2a 1 2 – 1. vậy nên nếu muốn sử dụng lượng giác(ở đây là hàm cos, vì cos2a = 2cos 2 a – 1) ta cần phải chứng minh được |a 1 |≤1 thì mới có thể dặt a 1 =cosa. + quả vậy, nếu |a 1 | ≥ 1, thì |a 2 | = |2a 1 2 – 1| ≥ 1, suy ra |a 3 | = |2a 2 2 – 1| ≥ 1…….|a 1000 | ≥ 1(trái với giả thiết). vậy nên |a 1 |≤1 , đặt a 1 =cosa. Bằng quy nạp, ta chứng minh được rằng: a n+1 = cos(n+1)a ta có: a 1000 = cos1000a = 0, => 1000a = π π k2 2 +  a 1999 =cos1999a=cos( ak −+ ππ 2 )= -cosa = -a 1  a 1999 + a 1 = 0 Bài 3: Cho dãy {u n } và {v n } như sau: (tạp chí THTT) 0 2 1 2 2 2 1 1 2 n n u u u +  =     = − −   và 0 2 1 1 1 1 n n n v v v v + =    + − =   Chứng minh rằng: 2 2 2 . 2 . n n n n u v π + + < < Giải: Ta có: 0 1 2 2 3 2 2 sin , 1 cos sin 2 2 2 2 2 u u π π π = − = − = Where there is a will , there is a way 5 NGUYỄN NGỌC MINH TRAI, lớp 11A2, thpt LONG THÀNH, huyện LONG THÀNH, ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2009-2010 Vậy: 2 1 2 2 1 cos sin 2 2 2 n n u π π + + = − = Tương tự: 0 2 1 2 v tg π = = 2 1 1 2 1 1 1 1 1 cos 2 2 2 2 2 n n n n n n tg v tg tg tg π π π π π + + + + + − + = = = Bằng cách xét: ( ) sinf x x x= − , ( ) ; 0; 2 g x tgx x x π   = − ∈  ÷   Ta suy ra: sin ; 0; 2 x x tgx x π   < < ∀ ∈  ÷   Khi đó: 2 2 2 sin 2 2 2 n n n tg π π π + + + < < 2 2 2 . 2 . k k n n u v π + + ⇔ < < ⇒ đpcm Bài 4: Cho a 0 = 2, b 0 = 1. Lập hai dãy số{a n },{b n }với n = 0, 1, 2, theo quy tắc sau: 1 2 . n n n n n a b a a b + = + ; 1 1 . n n n b a b + + = Chứng minh rằng các dãy {a n },{b n } có cùng một giới hạn khi n → ∞ . Tìm giới hạn đó. Giải: Ta chú ý: 0 1 1 2 1 cos 2 3 a π = = , 0 1b = 0 0 1 2 0 0 0 0 2 2 2 1 1 1 cos 1 cos 3 6 a b a a b a b π π = = = = + + + 1 1 0 1 cos 6 b a b π = = Từ đó, bằng quy nạp, ta chứng minh rằng: 1 2 1 cos .cos cos .cos 2.3 2 .3 2 .3 2 .3 n n n a π π π π − −   =  ÷   1 2 1 cos .cos cos .cos 1 2.3 2 .3 2 .3 2 .3 n n n b n π π π π − −   = ∀ ≥  ÷   Where there is a will , there is a way 6 NGUYỄN NGỌC MINH TRAI, lớp 11A2, thpt LONG THÀNH, huyện LONG THÀNH, ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2009-2010 Lưu ý rằng: 2 1 sin 3 cos .cos cos .cos 1 2.3 2 .3 2 .3 2 .3 2 .sin 2 .3 n n n n n π π π π π π − = ∀ ≥ Ta có: ( ) 2 .sin 2 .3 1 sin .cos 3 2 .3 n n n n a π π π = ; 2 .sin 2 .3 sin 3 n n n b π π = (2) Từ (1), (2) tồn tại lim n n a →∞ và lim n n b →∞ Ngòai ra: 2 .sin 2 3 2 .3 3 lim lim 9 sin .cos sin 3 3 2 .3 n n n n n n a π π π π π π →∞ →∞ = = = 2 3 lim lim .lim cos 9 2 .3 n n n n n n b a π π →∞ →∞ →∞ = = Vậy hai dãy {an},{bn}có cùng giới hạn chung là 2 3 9 π Bài 5: (Kỳ thi quốc gia lần XXVIII-1990) Cho dãy số{x n }, n ∈ ¥ , 1 1x < được xác định bởi hệ thức: 2 1 3 3 2 n n n x x x + − + − = a.Có cần thêm diều kiện gì đối với x 1 để dãy tòan số dương. b.Dãy số này có tuần hòan không? Tại sao? Giải: a. Để x n > 0, trước hết ta phải có x 1 > 0 và x 2 <0. Nhưng x 2 > 0 tức là 2 3 3 n x− > 1 x hay 2 1 3 4 x < . Suy ra: 1 3 0 2 x< < . Ngược lại, nếu 1 3 0 2 x< < thì tồn tại 0; 3 π α   ∈  ÷   sao cho 1 1 sin x α = . Khi đó: 2 3 1 cos sin sin ,0 2 2 3 3 3 x π π π α α α α   = − = − < − <  ÷   Ta lại có: 3 3 1 cos sin sin 2 3 2 3 x π π α α α     = − − − =  ÷  ÷     Where there is a will , there is a way 7 NGUYỄN NGỌC MINH TRAI, lớp 11A2, thpt LONG THÀNH, huyện LONG THÀNH, ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2009-2010 Từ đó suy ra: 1 3 sin 0x x α = = = > Vậy điều kiện là: 1 3 0 2 x< < b. Xét hai trường hợp đối với x 1 : • Trường hợp 1 0x ≥ : - Nếu 2 0x ≥ thì tương tự phần a ta có: 3 0x ≥ , 4 0x ≥ và 1 3 2 4 ; x x x x= = = = - Nếu x 2 < 0 thì x 3 >0 và cũng có x 3 = x 1 Thật vậy từ: 2 1 1 2 3 3 2 x x x − + − = Suy ra: ( ) 2 1 2 1 3 3 2 1x x x− = + ( ) ( ) 2 2 2 1 2 3 3 2 2x x x⇒ − = + Do (1) mà: 1 2 2 0x x+ > .Suy ra: ( ) 1 2 1 1 2 1 2 2 0x x x x x x x+ = + + > − > ( 1 2 0, 0x x≥ < ) Vì thế từ (2) ta có: 2 2 1 2 3 3 2x x x− = + Suy ra: 2 2 2 1 3 3 3 2 x x x x − + − = = Tương tự: 2 4 x x= Vậy ta có:{x n } là dãy tuần hòan. • Trường hợp x 1 < 0. Khi đó x 2 > 0 và theo trường hợp 1 suy ra x n kể từ hạng thứ hai trở đi là dãy tuần hòan. bài toán 6 : Cho hai dãy {a n },{b n } như sau: a < b cho trước 1 2 a b a + = ; 1 1 .b a a= 1 1 2 2 a b a + = ; 2 2 1 .b a b= 1 1 2 n n n a b a − − + = ; 1 . n n n b a b − = a.Tìm lim n n b →∞ b.Tìm lim n n a →∞ Giải: a.Đặt cos a b α = 0 2 π α   < <  ÷   Where there is a will , there is a way 8 NGUYỄN NGỌC MINH TRAI, lớp 11A2, thpt LONG THÀNH, huyện LONG THÀNH, ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2009-2010 Ta có 2 1 1 cos 2 cos 2 a b b b α α  =     =   ⇔ 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 cos cos cos cos 2 2 2 2 2 cos cos cos cos 2 2 2 2 a b a b b b a b b b α α α α α α α α +    = = + =  ÷       = = =   Bằng quy nạp ta dễ dàng có: 2 1 2 1 .sin cos . 2 .cos cos .cos 2 2 2 2 .sin 2 .sin . .cos cos .cos 2 2 2 2 .sin 2 n n n n n n n n n n n b a b b b b α α α α α α α α α α α − −   = =      = =     Vậy: sin 2 . 2 .sin sin 2 2 n n n n n b b b α α α α α = = sin lim n n b b α α →∞ ⇒ = b.Ta cũng có: .cos 2 n n n a b α = sin sin lim .lim cos 2 n n n n b b a α α α α α →∞ →∞ = = Bài 7: Cho dãy {u n } xác định bởi: 2 2 2 2 n n u = − + Tìm lim n n u →∞ Giải: Đây là bài tóan đơn giản và quen thuộc. Ta sẽ chứng minh: ( ) 1 2 2 2 2cos 1 2 n k v π + = − + = . Rõ ràng với n = 1 thì (1) hiển nhiên đúng. Giả sử đúng khi n = k, nghĩa là: 1 2cos 2 k k v π + = . Xét: 1 1 2 2 2cos 2 k k k v v π + + = + = + Where there is a will , there is a way 9 NGUYỄN NGỌC MINH TRAI, lớp 11A2, thpt LONG THÀNH, huyện LONG THÀNH, ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2009-2010 2 2 2 2.2cos 2cos 2 2 k k π π + + = = Vậy (1) đúng khi n = k+1, suy ra (1) đúng với mọi n. Ta có: 2 2 2 2 n n u = − + 1 2 2 2 1 2 .sin .2 .sin 2 2 2 n n n n π π + + + + = = Từ đó ta có: 2 2 1 lim lim .2 .sin 2 2 n n n n n u π + + →∞ →∞ = 2 2 sin 1 2 lim 2 2 n n n π π π + →∞ + = lim 2 n n u π →∞ ⇒ = Bài 8: Cho dãy {u n } xác định bởi: 1 2 1 2 2; 8 4 n n n u u u u u − − = =   = −  và ( ) 2 1 cot n n i i S arc g u = = ∑ Tìm lim n n S →∞ Giải: -Ta sẽ chứng minh: ( ) 2 1 1 . 4 2 i n n u u u n + − − = ∀ ≥ Thật vậy: ( ) ( ) 1 1 4 4 n n n n u u u u − − = ( ) ( ) 2 1 1 1n n n n n n u u u u u u − − + − ⇒ + = + 2 2 2 1 1 1 2 2 3 1 . 4 n n n n n n u u u u u u u u u + − − − ⇒ − = = = − = Ta có: 2 4 cot 4 n n n u arc gu arccotg u     =    ÷     ( ) 1 1 2 1 1 n n n n n n u u u arccotg u u u + − + − +   =   −   1 1 1 1 1 n n n n n n n n u u u u arccotg u u u u + − + −   +     =   −     1 1 n n n n u u arccotg arccotg u u + − = − Suy ra: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 n n i i i i i arcotg u arcotg u arcotg u = = = + ∑ ∑ Where there is a will , there is a way 10 [...]... huyện LONG THÀNH, ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2009-2010 Phần IV : các bài tập tự giải bài tập 1: Cho dãy {xn}: X1 = a Xn = 2xn-12 – 1 Tìm công thức tổng quát của dãy {xn} (hướng dẫn giải : xét 2 trường hợp |a| ≤ 1 , và |a| ≥ 1.) Bài tập 2 : Cho dãy X1= m Xn= 4xn-13 – 3un-1 Xác định số hạng tổng quát của dãy: {xn} (giải tương tự bài tập 1) Bài tập 3 Cho hai dãy số {xn} và {yn} xác định như sau: X0 = 0 , y0= cosa Xn... THÀNH, ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2009-2010 Tìm a để xn 0…… BÀI TẬP 8 Cho dãy số {xn} xác định: X1 = a Xn= X n −1 + b 1 − bX n −1 Tìm dãy số tổng quát của {xn} Hướng dẫn Đây là bài toán tổng quát của bài toán 1 Các bạn có thể giải theo hướng dẫn sau: Đặt a = tanα, b = tanβ Chứng minh bằng quy nạp ta được: Xn = tan[ α + (n - 1) β] Phần 3… đề thi HSG toán tỉnh Đồng Nai vòng 1 – 2007 _ 2008 Where there is... trigonometry problems from the training of the USA IMO team, nên tôi sẽ ko đề cập đền nữa) Bài tập 5 (THTT 369)   Tìm lim  2 − 2 2 − 2 + 2 2 − 2 + 2 + + 2    n dấu căn   Bài tập 6 (THTT 335) Cho dãy số {xn} xác định: X1 = 1/2 Xn+1 = 1 − 1 − a2n 2 Chứng minh rằng : X1 + X2 +……+X2005 < 1.03 Bài tập 7 (THTT 313) Cho dãy số {xn} xác định: X1 = a Xn+1 = 2 Xn2 - 1 Where there is a will , there is... 2009-2010 < Do Sn là dãy tăng nên lim S n ≤ n →∞ 1 π + 2 3.2 1 π + < 1, 03 2 3.2 ⇒ đpcm Bài 10: (đề thi HSG quốc gia lầnXXV-1987) Cho cấp số cộng gồm 1987 số hạng với số hạng đầu u1 = Tính giá trị: S = ∑ cos ( ±u1 ± u2 ± u1987 ) ở đó tổng ∑ π π và công sai là 1987 3974 chứa tất cả các số hạng ứng với tất cả các cách khác nhau có thể được để lấy dấu cộng hay trừ trước các số u1 , u2 , , u1987 Giải: Ta sẽ chứng... huyện LONG THÀNH, ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2009-2010 Câu 1 (3,5 điểm) Giải hệ phương trình Câu 2 (3,0 điểm) Cho tứ giác lồi ABCD;Gọi A, B, C, D lần lượt là số đo của ; Biết Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp Câu 3 (3,5 điểm) Cho hàm số f(x)= Hãy cho biết và giải thích điều khẳng định đó (Với có phải là số hữu tỉ hay không là đạo hàm cấp 5 của hàm số f(x) tại điểm ) Câu 4 (3,5 điểm) Cho tứ diện PQRS có PQ=PR=RS... = tana hoặc m = -tana Thay 2 giá trị này vào(1), rồi giải hệ thì coi như ta đã giải quyết xong.) Bài tập 4 (trích từ quyển 103 trigonometry problems from the training of the USA IMO team) Cho hai dãy số {xn} và {yn} xác định như sau: X1= 3 xn = xn-1 + 1 + x n −1 2 và Y1= 3 y n= y n −1 1 + 1 + y n −1 Chứng minh rằng : 2 < xn yn < 3 (lời giải được đề cập rất rõ trong quyển 103 trigonometry problems from... u1987 ) 1987 1987 Trở lại bài tóan ta có: S = 2 ∏ cos u j j =1 Do {uj} là cấp số cộng nên: Where there is a will , there is a way 12 NGUYỄN NGỌC MINH TRAI, lớp 11A2, thpt LONG THÀNH, huyện LONG THÀNH, ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2009-2010 u1987 = u1 + 1985d = π 1985π π + = 1987 2.1987 2 Bài 11: (Kì thi quốc gia lần XXVII 1984) Cho dãy số u1, u2 như sau:u1=1, u2=2,un+1=3un-un-1 n Dãy số v1,v2 được theo quy luật:... Câu 5 (3,0 điểm) Tìm tất cả các số chính phương abcd sao cho dcba là số chính phương ( với a,b,c,d là số tự nhiên có thể bằng nhau thỏa mãn a,b,c,d 9 và ad khác 0 Câu 6 (3,5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy Cho tam giác LMN nôị tiếp đường tròn tâm I ; biết trọng tâm E( 15;4) , trực tâm U(1;7), đỉnh L(0;7) Chứng minh rằng điểm I nằm bên trong tam giác LMN Nhận xét : đề thi tỉnh Đồng Nai không khó... u1987 Giải: Ta sẽ chứng minh từ bài tóan tổng quát hơn Bài tóan thực chất là: n n ∀ { u j } (kí hiệu dãy) ∑ cos ( ±u1 ± u2 ± u1987 ) = 2 ∏ cos u j 1 n j =1 Ta chứng minh bằng quy nạp: Với n = 1: cos u1 + cos ( −u1 ) = 2 cos u1 Với n = 2: cos ( u1 + u2 ) + cos ( u1 − u2 ) + cos ( u2 − u1 ) + cos ( −u1 − u2 ) = 2 cos u1 cos u2 + 2 cos ( −u1 ) cos u2 = 4 cos u1 cos u2 Giả sử bài tóan đúng với n, khi đó:... gia lần XXVII 1984) Cho dãy số u1, u2 như sau:u1=1, u2=2,un+1=3un-un-1 n Dãy số v1,v2 được theo quy luật: vn = ∑ arc cot gui i =1 Hãy tìm lim vn n →∞ Giải: Trước hết nhận xét rằng dãy u 1, u2 chính là các số hạng lẻ của dãy Fibonaci:1,1,2, 3, 5, Gọi dãy đó là t1,t2, t3, t4 Ta có: t1 = t2 = 1 và tn + 2 = tn +1 + tn ( n ≥ 1) a Trước hết ta chứng minh rằng: arc cot gt2 − arc cot gt3 − arc cot gt5 − . a aa 2 3 tan31 tantan3 − + 2)_ Đọc kĩ giả thi t của đề bài … => phân tích đặc điểm của dãy số => chọn hàm số lượng giác phủ hợp => giải bài toán… (Chú ý khi dụng hàm sin và cos cần phải có trị tuyệt. MỞ ĐẦU: Dãy số là một dạng toán rất hay và khó trong chương trình toán phổ thông, đặc biệt là trong kì thi HSG chúng ta thường gặp rất nhiều dạng toán về dãy số. ngoài những dạng dãy số sai. 3.2 π < + Do S n là dãy tăng nên 1 lim 1,03 2 3.2 n n S π →∞ ≤ + < ⇒ đpcm. Bài 10: (đề thi HSG quốc gia lầnXXV-1987) Cho cấp số cộng gồm 1987 số hạng với số hạng đầu 1 1987 u π = và công sai là 3974 π Tính