Vỡ (17 , 29) = 1 ⇒ phửụng trỡnh coự nghieụm nguyeđn
(1) ⇒ x = 6 + 2y - 217+5y. ẹaịt 217+5y = t ∈Z ⇒ y = 3t + 2. t -15 ;ủaịt t -15 = u∈Z⇒ t = 5u + 1 = 5u + 1
Vaụy : x = 29u + 11 ; y = 17u + 3
Vỡ x , y > 0 ⇒ 29u + 11 > 0 vaứ 17u + 3 > 0 ⇒u > 17-3 vaứ u∈Z ⇒u = 0 , 1 , 2 , ...Nghieụm nguyeđn dửụng nhoỷ nhaõt laứ x = 11 ; y = 3 khi u = 0 Nghieụm nguyeđn dửụng nhoỷ nhaõt laứ x = 11 ; y = 3 khi u = 0
{Sửỷ dỳng tớnh chia heõt cụa ủa thửực }
Tỡm nghieụm nguyeđn dửụng cụa phửụng trỡnh : z=x − +xxy+1 xy+1
2 2
Ta coự yz = x - 1 + 1+ 2y - xxy + 1 ⇒ 1 + 2y - x = 0 hoaịc 1 + 2y - x ≥ xy + 1
Neõu 1 + 2y - x = 0 thỡ yz = x - 1 neđn yz = 2y ⇒ z = 2 ; y = t ∈ N* ; x = 1 + 2tNeõu 1 + 2y - x ≥ xy + 1 thỡ 2y ≥ x(y + 1) hay x ≤ y + 12y = −2 2+ < Neõu 1 + 2y - x ≥ xy + 1 thỡ 2y ≥ x(y + 1) hay x ≤ y + 12y = −2 2+ <
1 2
y ⇒ x = 1 ; y = 1 ; z
= 2
6) Tỡm nghieụm (x , y) nguyeđn cụa phửụng trỡnh : y2 = x5 + 2x4 - 3x3 - 4x2 + 4x
Ta coự y2 = x.(x - 1)2(x + 2)2 ⇒ x = t2 vụựi t ∈Z⇒ y = ± t.(t2 - 1)(t2 + 2) hoaịc khi x = -2 thỡ y = 0 y = 0
Vụựi múi x nguyeđn dửụng, chửựng minh raỉng caực ủa thửực sau ủađy chia heõt cho ủa thửực x2 + x + 1 1
Vụựi múi x nguyeđn dửụng, chửựng minh raỉng caực ủa thửực sau ủađy chia heõt cho ủa thửực x2 + x + 1 1
⇒ vụựi k ∈ N : x3k≡ 1k≡ 1 ; x3k + 1 ≡ x ; x3k + 2≡ x2 (mod x2 + x + 1 )
⇒ vụựi 3 soõ a, b, c chia cho 3 cho caực soõ dử khaực nhau ủođi moụt thỡ xa + xb + xc≡ 0 (mod x2
+ x + 1 )
{ Tửụng tửù : Chửựng minh raỉng x7 + x11 + x1995 chia heõt cho ủa thửực x2 - x + 1 }Cho p laứ moụt soõ nguyeđn toõ , haừy giại phửụng trỡnh y=x2+x-px−1 Cho p laứ moụt soõ nguyeđn toõ , haừy giại phửụng trỡnh y=x2+x-px−1
1 trong taụp Z
Ta coự y = x + 1 + p + x-1p ⇒x - 1 = ± 1 ; ± p
Toăn tỏi hay khođng nghieụm nguyeđn cụa phửụng trỡnh : 2x - 3y = - 5xy + 39
Ta coự 2x - 3y = - 5xy + 39 ⇔ 2x = y.(3 - 5x) + 39 ⇒ y = 23 5x−−39x
ẹeơ y nguyeđn thỡ ủieău kieụn caăn ( chửa laứ ủk ủụ ) laứ 2x - 39≥3 - 5x ⇒ (2x - 39)2≥