Neõu (xo , yo) laứ moụt nghieụm cụa ax + by = 1 vụựi (a , b) = 1 thỡ (cxo , cyo) laứ moụt nghieụm cụa phửụng trỡnh (2) nghieụm cụa phửụng trỡnh (2)
Neõu (xo , yo) laứ moụt nghieụm nguyeđn cụa (2) vụựi (a , b) = 1 thỡ múi nghieụm nguyeđn cụa noự ủửụùc xaực ủũnh bụỷi heụ thửực : nguyeđn cụa noự ủửụùc xaực ủũnh bụỷi heụ thửực :
x = xo + bt
y = yo - at ; vụựi t∈Z
Thaụt vaụy , vỡ (xo , yo) laứ moụt nghieụm nguyeđn cụa (2) ⇒ axo + byo = 1 ⇒ axo + byo = ax +by by ⇒ x = axo +by −by a o = xo + b y( oa−y) ⇒ { (a , b) = 1 ⇒ yoa− =y t∈ Z ⇒ y = yo - at } Phửụng trỡnh vođ ủũnh dỏng x2 + y2 = z2( Phửụng trỡnh Pithago )
Thaụt vaụy , vỡ (xo , yo) laứ moụt nghieụm nguyeđn cụa (2) ⇒ axo + byo = 1 ⇒ axo + byo = ax +by by ⇒ x = axo +by −by a o = xo + b y( oa−y) ⇒ { (a , b) = 1 ⇒ yoa− =y t∈ Z ⇒ y = yo - at } Phửụng trỡnh vođ ủũnh dỏng x2 + y2 = z2( Phửụng trỡnh Pithago ) cođng thửực
( ẹũnh lyự tỡm nghieụm naứy ủaừ ủửụùc bieõt tửứ Euclide ) :
x = u.v ;y =u2 −2v2 ; z = u2 +2v2vụựi u , v∈Z ; u , v lẹ ; u > v ; (u, v) vụựi u , v∈Z ; u , v lẹ ; u > v ; (u, v) = 1 Vớ dỳ * Khi u = 3 ; v = 1 ⇒ x = 3 ; y = 4 ; z = 5 * Khi u = 5 ; v = 3 ⇒ x = 15 ; y = 8 ; z = 17
Phửụng trỡnh vođ ủũnh dỏng x2 - Py2 = 1 ( Phửụng trỡnh Pell ) ( P ∈Z+ , khođng laứ soõ chớnh phửụng ) phửụng )
{ ẹađy laứ moụt dỏng phửụng trỡnh Diophante baục 2, xuaõt phaựt tửứ moụt baứi toaựn do Archimeứdeủaịt ra, baứi toaựn coự 8 aơn soõ thoỷa maừn 7 phửụng trỡnh, ủửa ủeõn vieục tỡm nghieụm nguyeđn cụa ủaịt ra, baứi toaựn coự 8 aơn soõ thoỷa maừn 7 phửụng trỡnh, ủửa ủeõn vieục tỡm nghieụm nguyeđn cụa phửụng trỡnh : x2 - 4729494y2 = 1 (1). Naớm 1880 ngửụứi ta ủaừ tỡm ra nghieụm nguyeđn dửụng nhoỷ nhaõt cụa (1) vụựi x laứ soõ coự 45 chửừ soõ , y coự 38 chửừ soõ }
{ ẹađy laứ moụt dỏng phửụng trỡnh Diophante baục 2, xuaõt phaựt tửứ moụt baứi toaựn do Archimeứdeủaịt ra, baứi toaựn coự 8 aơn soõ thoỷa maừn 7 phửụng trỡnh, ủửa ủeõn vieục tỡm nghieụm nguyeđn cụa ủaịt ra, baứi toaựn coự 8 aơn soõ thoỷa maừn 7 phửụng trỡnh, ủửa ủeõn vieục tỡm nghieụm nguyeđn cụa phửụng trỡnh : x2 - 4729494y2 = 1 (1). Naớm 1880 ngửụứi ta ủaừ tỡm ra nghieụm nguyeđn dửụng nhoỷ nhaõt cụa (1) vụựi x laứ soõ coự 45 chửừ soõ , y coự 38 chửừ soõ }
Phửụng trỡnh Pell luođn coự vođ soõ nghieụm khođng taăm thửụứng.
Giạ sửỷ xo , yo laứ caực soõ nguyeđn dửụng nghieụm ủuựng phửụng trỡnh Pell, theõ thỡcaực caịp soõ (xo , -yo) ; (-xo , yo) ; (-xo , yo) cuừng laứ nghieụm. Do ủoự ủeơ tỡm nghieụm khođng taăm caực caịp soõ (xo , -yo) ; (-xo , yo) ; (-xo , yo) cuừng laứ nghieụm. Do ủoự ủeơ tỡm nghieụm khođng taăm thửụứng cụa phửụng trỡnh Pell, ta chư caăn tỡm caực nghieụm nguyeđn dửụng cụa phửụng trỡnh ủoự. Taõt cạ caực nghieụm nguyeđn dửụng (xk ; yk ) cụa phửụng trỡnh ủửụùc xaực ủũnh tửứ ủaỳng thửực :