SKKN Ứng dụng đạo hàm và ẩn phụ để tìm tham số trong bài toán phương trình, bất phương trình

Với mười năm làm nghề dạy học tôi đã may mắn được tham gia giảngdạy cho khá nhiều lớp ôn thi Đại học và ôn thi học sinh giỏi tôi thấy có một sốvấn đề cần phải giải quyết: Một là: Viếc b

1.Cơ sở thực tiễn của vấn đề nghiên cứu

Trên thực tế học sinh THPT đã được học rất nhiều dạng toán về PT,BPT và hệ PT cụ thể là : Lớp 10 có PT, BPT, hệ PT quy về bậc hai, chứa ẩndưới dấu căn và chứa ẩn dưới dấu giá trị tuyệt đối Lớp 11 có PT lượng giác.Lớp 12 có PT, BPT, hệ PT mũ và logarit Trong đó có khá nhiều dạng bài toáncần phải thực hiện phương pháp đặt ẩn phụ khi tiến hành lời giải và hầu hết đó

là các bài toán không chứa tham số Tuy nhiên trong các đề thi tuyển sinh Đạihọc và đề thi học sinh giỏi thường có các bài toàn đề cập đến PT, BPT chứatham số hoặc tìm GTLN, GTNN mà khi tiến hành lời giải thì phải đặt ẩn phụ vàtìm ĐK của ẩn phụ

Với mười năm làm nghề dạy học tôi đã may mắn được tham gia giảngdạy cho khá nhiều lớp ôn thi Đại học và ôn thi học sinh giỏi tôi thấy có một sốvấn đề cần phải giải quyết:

Một là: Viếc biến đổi PT, BPT hoặc đặt ẩn phụ để quy PT đã cho về các

PT bậc cao thì học sinh được giải quyết khá nhiều ở lớp 10 và lớp 11, nhưngkhảo sát hàm số bằng cách ứng dụng đạo hàm thì đến lớp 12 mới được học nênkhi làm bài cần phải kết hợp hai việc trên với nhau thì học sinh rất lúng túngnên lời giải nhiều khi không chặt chẽ

Hai là: Khi học sinh làm bài tập về PT, BPT hoặc tìm GTLN, GTNNcủa biểu thức có ĐK mà trong lời giải có bước đặt ẩn phụ thì tôi thấy nhiều họcsinh mắc phải một trong những sai lầm: hoặc là đặt ẩn phụ mà không nghĩ đếntìm ĐK của ẩn phụ hoặc tìm sai ĐK của nó, hoặc đã tìm chính xác ĐK của ẩnphụ nhưng khi lập luận trên PT, BPT theo ẩn phụ thì lại không xét trên ĐK ràngbuộc của nó nên dẫn đến kết luận không chính xác

Ba là: Từ năm 2006 sách giáo khoa không nói đến định lý đảo về dấutam thức bậc hai, trong khi đó sách tham khảo suất bản trước đó có rất nhiều bàitoán sử dụng định lý đó để thực hiện việc so sánh các nghiệm của một tam thứcbậc với các số cho trước nên học sinh đọc sách rất hoang mang Do đó ngườigiáo viên phải định hướng cho học sinh biến đổi về bài toán sử dụng đạo hàm

để khảo sát hàm số nếu là tình huống không thể giải quyết đơn thuần theo kiểutính biệt thức đenta

Những vấn đề trên chính là lý do để tôi chọn đề tài:

Ứng dụng đạo hàm và ẩn phụ để tìm tham số trong bài toán phương trình,

bất phương trình

2 Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm

Những vấn đề tôi trình bày trong bản sáng kiến với mục đích sau:

Một là: Làm sáng tỏ sự liên hệ giữa số nghiệm của PT một ẩn với sốgiao điểm của hai hai đồ thị hai hàm số ở hai vế của PT đó, nghiệm của PTchính là hoành độ các giao điểm nghĩa là từ các giao điểm mà chiếu vuông góclên trục hoành ta sẽ tìm được các nghiệm tương ứng

Hai là: Trong khi giải quyết các bài toán về PT, BPT hoặc bài toán tìmGTLN , GTNN của một biểu thức có ĐK mà phải thực hiện việc đặt ẩn phụ thìviệc tìm ĐK của ản phụ là rất cần thiết, việc tìm ĐK của ẩn phụ thực ra là tìmtạp giá trị của ẩn phụ trên tập xác định của bài toán đã cho Sau khi tìm được

ĐK của ẩn phụ thì những yêu cầu của đề bài đối với bài toán theo ẩn chính phảiđược quy về những yêu cầu tương ứng cho bài toán theo ẩn phụ trên ĐK của nó Các vấn đề tôi trình bày trong bài viết của mình có thể hỗ trợ cho các

em học sinh lớp 12 có cách nhìn toàn diện hơn về bài toán PT, BPT có tham sốhoặc bài toán tìm GTLN, GTNN có liên quan đến phép đặt ẩn phụ

3 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

Để hoàn thành được bài viết của mình với đề tài nói trên tôi đã phảinghiên cứu trên các dạng toán về PT, BPT và các bài toán tìm GTLN, GTNNđặc biệt là các bài toán về PT, BPT chứa tham số và trong lời giải có việc đặtphụ

Phạm vi nghiên cứu của đề tài là toàn bộ chương trình đại số và giảitích thuộc môn toán Trung học phổ thông đặc biệt là các phần: PT, BPT, hệ PTquy về bậc cao một ẩn PT, BPT chứa ản dưới dấu căn bậc hai và chứa ẩn dướidấu giá trị tuyệt đối PT lượng giác PT, BPT mũ và logarit

4 Kế hoạch nghiên cứu

Trong quá trình dạy học với những trăn trở như đã trình bày trong phần

cơ sở thực tiến để đưa ra lý do chọn đề tài tôi đã cho các em học sinh từ lớp 10làm các bài toán về PT, BPT quy về bậc hai, PT, BPT chứa ẩn dưới dấu căn bậchai có liên quan đến tham số và đặt ẩn phụ Các em học sinh lớp 11 làm các bàitoán về PT lượng giác có liên quan đến tham số, bài toán tìm GTLN, GTNN củabiểu thưc lượng giác nói trung là đều phải đặt ẩn phụ Khi đó học sinh có thểlàm được các bài toán mà sau khi đặt ẩn phụ quy về PT bậc hai có thể tính toánđơn thuần thông qua biệt thức đenta hoặc sau khi biến đổi cô lập tham số tađược một vế là hàm số bậc hai đối với ẩn phụ, nhưng nhiều em vẫn làm khôngchính xác do không để ý tìm ĐK của ẩn phụ hoặc có tìm ĐK của ẩn phụ nhưngtìm không chính xác

Với các bài toán có tham số mà sau khi đặt ẩn phụ lại quy về PT, BPT

có chứa hàm số đa thứ bậc ba, bạc bốn hoặc hàm số phân thức thì học sinhkhông thể giải được vì khi đó các em chưa được học khảo sát các loại hàm sốnày

Các vướng mắc nói trên sẽ được giải quyết toàn diện khi học sinh đãhọc về ứng dụng của đạo hàm để khảo sát hàm số Do đó từ đầu năm học 2009

– 2010 tôi đã nghiên cứu đề tài nói trên thông qua một số tiết tự chon nâng caotại hai lớp 12A4, 12A6 và từ đó xây dựng, hoàn thiện bài viết của mình

* Nếu hàm số f x( ) xác định và liên tục trên đoạn a b thì ta có thể tìm; 

GTLN và GTNN theo các bước sau :

c) Tìm tham số trong bài toán bất phương trình

Nếu hàm số f x( )có GTLN và GTNN trên tập xác định D khi đó

BPT : f x( )g m( ) thỏa mãn  x D khi và chỉ khi min ( )D f x g m( )

f x( )g m( ) thỏa mãn  x D khi và chỉ khi max ( )D f x g m( )

f x( )g m( ) có nghiệm x D khi và chỉ khi ax ( )m D f x g m( )

f x( )g m( ) có nghiệm x D khi và chỉ khi min ( )D f x g m( )

phải kết hợp với BBT hoặc đồ thị của nó để có kết luận thích hợp

Câu I ( 3 điểm ) Tìm tham số m để PT sau có nghiệm duy nhất:

f x( ) là hàm số bậc hai có hệ số adương nên có bảng biến thiên sau:

Bảng biến thiên của hàm số bậc hai f t( )

Từ BBT suy ra maxyf(1) 2; miny f c( os1) 2 os 1 c 2  cos1 1

Câu III TXĐ:  ; Đặt tsinx 2 sin 2x  t2 sinx 2 sin 2x2

Với t 4 sinx 2 sin 2x  , vô nghiệm vì vế trái 4   1 4

Những sai lầm của học sinh trong khi làm bài kiểm tra :

Câu I : Sau khi biến đổi về PT (1a)

- Một số trường hợp chỉ yêu cầu biệt thức đenta bằng không mà không quan tâmđến ĐK

- Một số trường hợp đã tính các nghiệm và so sánh với số 1 nhưng xét chưa hếtcác trường hợp

Câu II : Sau khi đặt t c os

- Một số trường hợp cho rằng t   1;1

Câu III :

a Một số trường hợp không có lời giải mặc dù ý này có thể giải theo nhiều

cách: đặt một ẩn phụ như trên hoặc đặt hai ẩn phụ và quy PT đã cho về hệ PT

b Hầu hết học sinh làm sai vì không nghĩ đến việc tìm ĐK của ẩn phụ hoặc có

tìm ĐK nhưng tìm không chính xác

3 Các phương pháp đã tiến hành

Vì những hạn chế của học sinh như đã trình bày trong phần lý dochọn đề tài và phần khảo sát thực tiễn nên trong quá trình dạy lớp 12, bắt đầu làphần ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số, với các tiết học tự chọn nâng cao,tôi đã lồng ghép các bài tập liên quan đến tìm tham số và đặt ẩn phụ Nhưng vìthời gian không có nhiều, hơn thế để học sinh chủ động chiếm lĩnh kiến thứcnên ứng với mỗi phần tôi cho học sinh một số bài tập để các em về nhà nghiêncứu tìm lời giải Trên lớp tôi cho một số học sinh lên bảng làm bài và một sốhọc sinh khác nhận xét lời giải Sau đó tôi phân tích lời giải cho cả lớp để các

em tìm được lời giải tối ưu và nhấn mạnh một số điểm quan trọng trong mỗibài, qua mỗi dạng

Để cho việc tiếp thu bài học được dễ dàng tôi chia nội dung bài viết củamình thành bốn phần sau:

- Phương trình , bất phương trình bậc cao một ẩn

- Phương trình , bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn

- Phương trình lượng giác

- Phương trình , bất phương trình mũ và logarit

PHẦN I : PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO MỘT ẨN

Bài 1 Tìm tham số a để PT: x3 3x2  a , (1) có ba nghiệm phân biệt trong 0

đó có đúng một nghiệm bé hơn 1

Giải

PT (1)  x3 3x2  , (1a) a

Yêu cầu của đề bài tương đương với PT (1a) có ba nghiệm phân biệt x x x1, ,2 3

sao cho x1 1 x2 x3 tức là đường thẳng y a phải cắt đồ thị hàm số

Từ BBT suy ra điều kiện phải tìm là 4a2

Nhận xét: Nghiệm của (1a) là hoành độ giao điểm của đường thẳng y a với

đồ thị hàm số yf x( ) tức là từ mỗi giao điểm ta chiếu vuông góc lên trụchoành sẽ suy ra vị trí các nghiệm

Bài 2 Biện luận theo a số nghiệm của PT: x 133(x 1)2a0, (2)

Từ BBT ta thấy

- Nếu a  0 ( 2a) không có nghiệm t 0 nên ( 2) vô nghiệm

- Nếu a  0 ( 2a) có một nghiệm t 0 nên ( 2) có một nghiệm x 1

- Nếu a  0 ( 2a) có một nghiệm t 0 nên ( 2) có hai nghiệm phân biệt

Yêu cầu của đề bài tương đương với   m  4;0 đường thẳng y m phải cắt

đồ thị hàm số yf x( ) x3 ax2  4 tại ba điểm phân biệt 

4

0

CD CT

4

427

1 nên PT (4) có hai nghiệm phân biệt

PT (4) có ba nghiệm phân biệt

(4) có bốn nghiệm phân biệt

Bài 5 Chứng minh rằng  a 0 hệ PT sau có nghiệm duy nhất:

2 2

2 2

22

a

y a

Bang biến thiên

Từ BBT suy ra  a 0 đường thẳng y a 2 luôn cắt đồ thị hàm số yf x( ) tại đúng một điểm có hoành độ dương suy ra hệ PT đã cho có đúng một nghiệm

Nhận xét:

- Khi giải hệ PT đố xứng loại hai có dạng như hệ PT (1) và (2) nói trêncách giải truyền thống là lấy các PT trừ cho nhau để tính một ẩn theo ẩncòn lại sau đó thế lại một trong hai PT đã cho

- Hệ PT trên có lời giải rất ngắn gọn như vậy vì ta nhân xét được tính chất

- Sau khi biến đổi về PT (*) là PT bậc ba nên nếu không sử dụng đạo hàm

để khảo sát hàm số thì việc tìm lời giải là vô cùng khó khăn

Bài 6 Tìm tham số m để hệ sau có nghiệm



Việc tìm tham số để hệ BPT đã cho có nghiệm được quy về bài toán tìm tham

số để một BPT có nghiệm trên một tập cho trước và đã được chuyển về bài toántìm GTLN hoặc GTNN của hàm số

Bài 7 Cho hàm số y4x3 (a3)x2 ax

Hãy tìm tham số a để y    1, x  1;1

Giải

Giả sử y    1, x  1;1 suy ra

(1) 1( 1) 1112112

y y y y

3

a a a

Trong lời giải của bài toán trên việc giả sử y    1, x  1;1 chỉ có thể suy

được điều kiện thỏa mãn yêu cầu đề bài trong bước kiểm chứng ngược lại

Bài 8 Chứng minh rằng BPT : qx4  px3 1 0,(8) thỏa mãn x

a) Trong lời giải bài toán trên cần lưu ý:

( )( )( )

mà x y z  suy ra x y z 

Các trường hợp còn lại ( chẳng hạn z y x  ) tương tự đều suy x y z 

Bảng biến thiên

Từ BBT  max ( )f x 4 27 Vậy ĐK phải tìm là m 4 27

Nhận xét:

thừa số chung và thực hiện việc chia cả hai vế cho biểu thức dương để cô lậptham số

Bài 12 Tìm tham số m để BPT m x2 4  2x2 m0, (12) thỏa mãn x

1min ( )f t m

1

m

m m



Vậy ĐK phải tìm là m 1

Nhận xét:

Trong lời giải bài toán trên sau khi đặt ẩn phụ ta được một hàm số bậc hai do

đó không cần sử dụng đạo hàm ta vẫn lập được BBT của hàm số Tuy nhiên tôivẫn trình bày ở đây để tiện liên hệ với bài 11 trong trường hợp không cô lậpđược tham số

Bài 13 Biện luận theo tham số m số nghiệm của PT

m m

m m

- Mặc dù PT trên là PT bậc bốn đối xứng có thể giải theo cách chia cả hai

vế cho x 2 0 sau đó đặt ẩn phụ để quy về PT bậc hai tuy nhiên cách giải



 



72

1.Tìm tham số a để PT sau có nghiệm duy nhất: x3ax2  4 0

2 Biện luận theo m số nghiệm của PT x2 (3 m x)  3 2m0 so sánh các nghiệm đó với các số -3 và -1

8 Tìm tham số m để hệ BPT sau có nghiệm:

9 Giải hệ PT:

2 2 2 2 2 2

4

1 44

1 44

1 4

x

y x y

z y z

x z

Xét hàm số

2 2

4( )

PHẦN II: PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH

CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN

Bài 1 Biện luận theo tham số m số nghiệm của PT x 3 m x2  (1)1

11

- Với ứng dụng của đạo hàm như trên ta có lời giải rất rõ ràng

- Bài toán trên còn có thể được phát biểu theo cách tìm miền giá trị củahàm số f x( )

Bài 2 Tìm tham số m để PT sau có hai nghiệm thực phân biệt :

12



 

Sau khi biến đổi PT (2) về PT (2a) ta có thể thực hiện lời giải theo cách so

Từ PT (3a)  m x  20 mà m 0 x2 do đó ta chỉ cần xét PT (3a) với

Bài 4 Biện luận theo tham số m số nghiệm của PT:

và không được làm sai Việc tìm ĐK của unhư trên thực chất là việc tìmtập giá trị của hàm số f x( ) trên tập xác định của PT đã cho.

f(0) 1; f  2  2 1

Vậy ĐK phải tìm là 2 1  m 1

Nhận xét:

Lời giải của bài tập 6 và 5 có phương pháp như nhau nhưng việc tìm ĐK của

ẩn phụ trong bài số 6 không dùng đạo hàm mà thực hiện một số phép biến đổikéo theo nên cần phải thấy rõ tập gía trị của ẩn phụ trên TXĐ của PT (6)

Bài 7 Tìm tham số m để PT sau có nghiệm:

3 x 1 m x 1 24 x2  1, (7)

Giải

ĐK: x 1, khi đó x   và PT (7) 1 0

2 4

(1) 0;g  xlim ( ) 1 g x  Như vậy   x 1 t 0;1

PT đã cho trở thành: 3t2 2t m , (7a) với ĐK t 0;1

PT (7) có nghiệm khi và chỉ khi PT (7a) có nghiệm t 0;1

Trong lời giải trên việc tìm ĐK của t và việc khảo sát hàm số f t( ) không

nhất thiết phải sử dụng đạo hàm nhưng việc ứng dụng đạo hàm sẽ làm cho lờigiải tự nhiên và dễ dàng hơn

Bài 8 Tìm tham số m để BPT sau có nghiệm:

Với kiến thức của lớp 10 học sinh có thể giải được bài toán trên thông qua việc

so sánh các nghiệm của tam thức bậc hai với số 0, tuy nhiên khá phức tạp

2 2

6 Tìm tham số a để BPT: a 2x2 7  nghiệm đúng với mọi x a x

PHẦN III : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Bài 1 tìm tham số m để PT m c os 22 x 4sin x cosx m  2 0 , (1)

và 1 nhưng khá phức tạp và phải xét nhiều khả năng có thể xảy ra

Bài 2 Tìm tham số mđể PT: cos2x mc os2x 1 t anx , (2)

PT (2)

2 2

1 t anxos

- Cần để ý sự liên hệ giữa cos2 ,x cos2x và t anx

- Việc tìm ĐK của u có thể thực hiện theo cách khảo sát hàm số

Bài 3 Tìm tham số a để PT sau có nghiệm:

PT (3)  3(1 cot ) 3tan 2 x  2x m (t anx cotx) 1 0  

 3(tan2xcot ) 22x  m(t anx cotx) 0 

 3(tan2xcot )2x 2  4m(t anx cotx) 0  với chú ýt anx.cotx 1 0 

Đặt ut nx cotxa   u t nx cotxa  t anx  cotx

2

u u

Bài 4 Tam giác ABC có ba góc thỏa mãn ĐK: A>B>C Tìm số nghiệm của PT

x sinA x sinB  x sin ,C (4)

Có thể thay đề bài trên bởi bài tập tương tự là tìm GTLN và GTNN của biểu

thức ở vế trái trên đoạn 0;

1 cos 1 os2 1 os3

PHẦN IV : PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

Bài 1 Tìm tham số m để PT sau có nghiệm duy nhất: log( ) 2,

- Đề bài có thể phát biểu tương tự thay PT là BPT

- Lưu ý phải tìm ĐK chính xác của ẩn phụ, học sinh thường làm sai bướcnày và sai theo nhiều kiểu khac nhau

,1

thuộc khoảng 0;1 và hoành độ giao điểm thứ hai trong khoảng  1; 

Hàm số

2 2

số nghiệm theo ẩn phụ và số nghiệm theo ẩn chính

Bài 4 Biện luận theo tham số m số nghiệm của PT:

-1

55100



34



-3

x x

 trên nửa khoảng 1;

BPT (6) nghiệm đúng  x D BPT (6a) nghiệm đúng   t 1 min ( )1;  f t m

2

có nghiệm thuộc khoảng 32;

7 Tìm tham số m để BPT: (m 1).4x 2x 1 m 1 0

4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Trong quá trình thực hiện đề tài với việc cho học sinh lên bảng làm một

số bài tập người giáo viên có thể nắm bắt được tình hình tiếp thu bài học.Nhưng để có được sự kết luận toàn diện nên cuối học kỳ I năm học 2009 – 2010khi học sinh đã học song các phần liên quan đến nội dung của bài viết này tôi đãcho các lớp 12A4 , 12A6 , 12A5 và 12A9 làm bài kiểm tra 55 phút Trong đóhai lớp 12A4 và 12A6 là các lớp thực nghiệm trong quá trình triển khai đề tàicòn hai lớp 12A5 và 12A9 là các lớp đối chứng không tham gia trong việc triểnkhai đề tài

Với đề kiểm tra như sau:

Câu I ( 2,5 điểm ) Tìm ĐK của m để PT sau có sáu nghiệm phân biệt: