SKKN Ứng dụng đạo hàm và ẩn phụ để tìm tham số trong bài toán phương trình, bất phương trình

Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1.Cơ sở thực tiễn của vấn đề nghiên cứu Trên thực tế học sinh THPT đã được học rất nhiều dạng toán về PT, BPT và hệ PT cụ thể là : Lớp 10 có PT, BPT, hệ PT quy về bậc hai, chứa ẩn dưới dấu căn và chứa ẩn dưới dấu giá trị tuyệt đối. Lớp 11 có PT lượng giác. Lớp 12 có PT, BPT, hệ PT mũ và logarit. Trong đó có khá nhiều dạng bài toán cần phải thực hiện phương pháp đặt ẩn phụ khi tiến hành lời giải và hầu hết đó là các bài toán không chứa tham số. Tuy nhiên trong các đề thi tuyển sinh Đại học và đề thi học sinh giỏi thường có các bài toàn đề cập đến PT, BPT chứa tham số hoặc tìm GTLN, GTNN mà khi tiến hành lời giải thì phải đặt ẩn phụ và tìm ĐK của ẩn phụ. Với mười năm làm nghề dạy học tôi đã may mắn được tham gia giảng dạy cho khá nhiều lớp ôn thi Đại học và ôn thi học sinh giỏi tôi thấy có một số vấn đề cần phải giải quyết: Một là: Viếc biến đổi PT, BPT hoặc đặt ẩn phụ để quy PT đã cho về các PT bậc cao thì học sinh được giải quyết khá nhiều ở lớp 10 và lớp 11, nhưng khảo sát hàm số bằng cách ứng dụng đạo hàm thì đến lớp 12 mới được học nên khi làm bài cần phải kết hợp hai việc trên với nhau thì học sinh rất lúng túng nên lời giải nhiều khi không chặt chẽ. Hai là: Khi học sinh làm bài tập về PT, BPT hoặc tìm GTLN, GTNN của biểu thức có ĐK mà trong lời giải có bước đặt ẩn phụ thì tôi thấy nhiều học sinh mắc phải một trong những sai lầm: hoặc là đặt ẩn phụ mà không nghĩ đến tìm ĐK của ẩn phụ hoặc tìm sai ĐK của nó, hoặc đã tìm chính xác ĐK của ẩn phụ nhưng khi lập luận trên PT, BPT theo ẩn phụ thì lại không xét trên ĐK ràng buộc của nó nên dẫn đến kết luận không chính xác. Ba là: Từ năm 2006 sách giáo khoa không nói đến định lý đảo về dấu tam thức bậc hai, trong khi đó sách tham khảo suất bản trước đó có rất nhiều bài 1 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng toán sử dụng định lý đó để thực hiện việc so sánh các nghiệm của một tam thức bậc với các số cho trước nên học sinh đọc sách rất hoang mang. Do đó người giáo viên phải định hướng cho học sinh biến đổi về bài toán sử dụng đạo hàm để khảo sát hàm số nếu là tình huống không thể giải quyết đơn thuần theo kiểu tính biệt thức đenta. Những vấn đề trên chính là lý do để tôi chọn đề tài: Ứng dụng đạo hàm và ẩn phụ để tìm tham số trong bài toán phương trình, bất phương trình 2. Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm Những vấn đề tôi trình bày trong bản sáng kiến với mục đích sau: Một là: Làm sáng tỏ sự liên hệ giữa số nghiệm của PT một ẩn với số giao điểm của hai hai đồ thị hai hàm số ở hai vế của PT đó, nghiệm của PT chính là hoành độ các giao điểm nghĩa là từ các giao điểm mà chiếu vuông góc lên trục hoành ta sẽ tìm được các nghiệm tương ứng. Hai là: Trong khi giải quyết các bài toán về PT, BPT hoặc bài toán tìm GTLN , GTNN của một biểu thức có ĐK mà phải thực hiện việc đặt ẩn phụ thì việc tìm ĐK của ản phụ là rất cần thiết, việc tìm ĐK của ẩn phụ thực ra là tìm tạp giá trị của ẩn phụ trên tập xác định của bài toán đã cho. Sau khi tìm được ĐK của ẩn phụ thì những yêu cầu của đề bài đối với bài toán theo ẩn chính phải được quy về những yêu cầu tương ứng cho bài toán theo ẩn phụ trên ĐK của nó. Các vấn đề tôi trình bày trong bài viết của mình có thể hỗ trợ cho các em học sinh lớp 12 có cách nhìn toàn diện hơn về bài toán PT, BPT có tham số hoặc bài toán tìm GTLN, GTNN có liên quan đến phép đặt ẩn phụ. 3. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu Để hoàn thành được bài viết của mình với đề tài nói trên tôi đã phải nghiên cứu trên các dạng toán về PT, BPT và các bài toán tìm GTLN, GTNN 2 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng đặc biệt là các bài toán về PT, BPT chứa tham số và trong lời giải có việc đặt phụ. Phạm vi nghiên cứu của đề tài là toàn bộ chương trình đại số và giải tích thuộc môn toán Trung học phổ thông đặc biệt là các phần: PT, BPT, hệ PT quy về bậc cao một ẩn. PT, BPT chứa ản dưới dấu căn bậc hai và chứa ẩn dưới dấu giá trị tuyệt đối. PT lượng giác. PT, BPT mũ và logarit. 4 . Kế hoạch nghiên cứu Trong quá trình dạy học với những trăn trở như đã trình bày trong phần cơ sở thực tiến để đưa ra lý do chọn đề tài tôi đã cho các em học sinh từ lớp 10 làm các bài toán về PT, BPT quy về bậc hai, PT, BPT chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai có liên quan đến tham số và đặt ẩn phụ. Các em học sinh lớp 11 làm các bài toán về PT lượng giác có liên quan đến tham số, bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thưc lượng giác nói trung là đều phải đặt ẩn phụ. Khi đó học sinh có thể làm được các bài toán mà sau khi đặt ẩn phụ quy về PT bậc hai có thể tính toán đơn thuần thông qua biệt thức đenta hoặc sau khi biến đổi cô lập tham số ta được một vế là hàm số bậc hai đối với ẩn phụ, nhưng nhiều em vẫn làm không chính xác do không để ý tìm ĐK của ẩn phụ hoặc có tìm ĐK của ẩn phụ nhưng tìm không chính xác. Với các bài toán có tham số mà sau khi đặt ẩn phụ lại quy về PT, BPT có chứa hàm số đa thứ bậc ba, bạc bốn hoặc hàm số phân thức thì học sinh không thể giải được vì khi đó các em chưa được học khảo sát các loại hàm số này. Các vướng mắc nói trên sẽ được giải quyết toàn diện khi học sinh đã học về ứng dụng của đạo hàm để khảo sát hàm số. Do đó từ đầu năm học 2009 – 2010 tôi đã nghiên cứu đề tài nói trên thông qua một số tiết tự chon nâng cao tại hai lớp 12A4, 12A6 và từ đó xây dựng, hoàn thiện bài viết của mình. 3 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng 4 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1. Cơ sở lý luận a) Tìm số nghiệm của phương trình Xét PT ( ) ( )f x g m= , (1) . Trong đó x là ẩn thực và m là tham số thực - Số nghiệm của PT (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số ( )y f x= ( có thể nhận thấy hình dạng đồ thị hàm số thông qua BBT của nó ) và đường thẳng ( )y g m= là đường thẳng vuông góc với trục Oy tại điểm có tung độ bằng ( )g m . - các nghiệm 1 2 , , , n x x x của PT (1) chính là hoành độ của các giao điểm. b) Quy tắc tìm GTLN và GTNN của hàm số * Từ việc lập BBT của hàm số ( )f x trên tập xác định của nó ta sẽ tìm thấy những điểm trên đồ thị có tung độ lớn nhất ( nhỏ nhất ) các giá trị đó chính là GTLN ( GTNN ) của hàm số . * Nếu hàm số ( )f x xác định và liên tục trên đoạn [ ] ;a b thì ta có thể tìm GTLN và GTNN theo các bước sau : 5 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng - Tìm các điểm 1 2 , , , n x x x trên đoạn [ ] ;a b mà tại đó ' ( )f x bằng 0 hoặc ' ( )f x không xác định - Tính các giá trị 1 2 ( ), ( ), ( ), ( ), , ( ) n f a f b f x f x f x - Số lớn nhất ( bé nhất ) trong các số trên là GTLN (GTNN ) của hàm số ( )f x trên đoạn [ ] ;a b c) Tìm tham số trong bài toán bất phương trình Nếu hàm số ( )f x có GTLN và GTNN trên tập xác định D khi đó BPT : ( ) ( )f x g m≥ thỏa mãn x D∀ ∈ khi và chỉ khi min ( ) ( ) D f x g m≥ ( ) ( )f x g m≤ thỏa mãn x D∀ ∈ khi và chỉ khi max ( ) ( ) D f x g m≤ ( ) ( )f x g m≥ có nghiệm x D∈ khi và chỉ khi ax ( ) ( ) D m f x g m≥ ( ) ( )f x g m≤ có nghiệm x D∈ khi và chỉ khi min ( ) ( ) D f x g m≤ Trong trường hợp hàm số ( )f x không có GTLN hoặc GTNN trên tập D ta phải kết hợp với BBT hoặc đồ thị của nó để có kết luận thích hợp 2. Thực trạng của vấn đề Để thực hiện được đề tài của mình tôi đã thực hiện khảo sát thực tế như sau: Trong đợt ôn tập hè năm 2009 cho các em học sinh lớp 11 chuẩn bị lên lớp 12 trong phần ôn tập môn toán có một số tiết ôn tập về phần PT, BPT đã học ở lớp 10 và lớp 11 tôi đã cho học sinh làm một số bài về PT, BPT có chứa tham số và có phải thực hiện việc đặt ẩn phụ và dặn các em về ôn tập thêm để đến đầu năm học lớp 12 tôi cho học sinh lớp 12A4 và 12A6 làm bài kiểm tra khảo sát 55 phút trong giờ tự chọn nâng cao với đề kiểm tra như sau: Câu I. ( 3 điểm ) Tìm tham số m để PT sau có nghiệm duy nhất: 6 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng 2 4 3 2 0, 1 x x m x − + − = − (1) Câu II. ( 3 điểm ) Tìm GTLN và GTNN của hàm số 2 2 4 2 os os 2 1 1 x x y c c x x = − + + + Câu III. ( 4 điểm ) Cho PT: 2 2 sinx 2 sin sinx. 2 sin ,x x m+ − + − = (2) 1. Giải PT (2) khi 3m = 2. Tìm tham số m để PT (2) có nghiệm Kết quả thu được với các mức điểm được tính tỉ lệ phần trăm như sau: Điểm Lớp 1 – 2,5 3 – 4,5 5 – 6,5 7 – 8,5 9 – 10 Lớp 12A4 ( 55 HS ) 11% 27% 42% 16,5% 3,5% Lớp 12A6 ( 55 HS ) 18% 36% 35% 11% 0% Để phân tích lý do có kết quả thấp như trên tôi xin trình bày một lời giải đúng: Câu I . ĐK 1x > ; PT (1) ⇔ 2 2 4 3 2 0 4 3 2 ,x x m x x m− + − = ⇔ − + = (1a) PT (1) có nghiệm duy nhất ⇔ PT (1a) có đúng một nghiệm thỏa mãn 1x > tức là đường thẳng 2y m= cắt đồ thị hàm số 2 ( ) 4 3y f x x x= = − + tại đúng một điểm trên khoảng ( ) 1;+∞ ( )f x là hàm số bậc hai có hệ số a dương nên có bảng biến thiên sau: 7 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng Từ BBT suy ra 0 2 0 1 2 1 2 m m m m ≥  ≥   ⇔   = − = −   là ĐK phải tìm Câu II . TXĐ: ¡ ; Đặt 2 2 1 x x α = + Theo BĐT Cosi : [ ] 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1;1 1 x x x x x α α + ≥ = ⇔ ≤ ⇒ ≤ ⇔ ∈ − + Ta được 2 os2 os 2 2 os os 1y c c c c α α α α = − + = − + Đặt [ ] [ ] os , 1;1 os1;1t c t c α α = ∀ ∈ − ⇒ ∈ ( để học sinh hiểu rõ tính chất trên cần biểu diễn trên đường tròn lượng giác ) Thì 2 ( ) 2 1,y f t t t= = − + với [ ] os1;1t c∈ Bảng biến thiên của hàm số bậc hai ( )f t Từ BBT suy ra 2 max (1) 2; min ( os1) 2 os 1 os1 1y f y f c c c= = = = − + Câu III. TXĐ: ¡ ; Đặt ( ) 2 2 2 2 sinx 2 sin sinx 2 sint x t x= + − ⇒ = + − 2 2 2 sinx. 2 sin 2 t x − ⇒ − = x ( )f x 1 2 + 0 -1 +∞ t ( )f t 1 8 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng PT (2) trở thành: 2 1 1 , 2 t t m+ − = (2a) 1. Khi 3m = ta có PT: 2 2 2 8 0 4 t t t t =  + − = ⇔  = −  Với 2 2 2 sinx 2 sin 2 2 sin 2 sinxt x x= ⇒ + − = ⇔ − = − ( ) 2 2 2 sin 2 sinx sinx 1 2 2 x x k π π − = − ⇔ = ⇔ = + Với 2 4 sinx 2 sin 4t x= − ⇒ + − = − , vô nghiệm vì vế trái 1 4≥ − > − Vậy khi 3m = PT đã cho có nghiệm 2 2 x k π π = + 3. Ta phải tìm ĐK của t sinx 1x∀ ∈ ⇒ ≥ −¡ và 2 2 sin 1x− ≥ 0; 0 sinx 1t t⇒ ≥ = ⇔ = − Mặt khác theo tính chất ( ) 2 2 2 2 2 2 2( )a b a b ab a b+ = + + ≤ + ( ) ( ) 2 2 2 2 2 sinx 2 sin 2 sin 2 sin 4t x x x⇒ = + − ≤ + − = ⇒ 2; 2 sinx 1t t≤ = ⇔ = Vậy [ ] 0;2x t∀ ∈ ⇒ ∈¡ PT (2) có nghiệm ⇔ PT (2a) có nghiệm [ ] 0;2t ∈ Xét hàm số 2 1 ( ) 1 2 f t t t= + − trên đoạn [ ] 0;2 Có bảng biến thiên Từ BBT suy ra ĐK phải tìm là 1 3m− ≤ ≤ t ( )f t -1 0 1 -1 3 9 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng Những sai lầm của học sinh trong khi làm bài kiểm tra : Câu I : Sau khi biến đổi về PT (1a) - Một số trường hợp chỉ yêu cầu biệt thức đenta bằng không mà không quan tâm đến ĐK - Một số trường hợp đã tính các nghiệm và so sánh với số 1 nhưng xét chưa hết các trường hợp Câu II : Sau khi đặt ost c α = - Một số trường hợp không có ĐK của t - Một số trường hợp cho rằng [ ] 1;1t ∈ − Câu III : a. Một số trường hợp không có lời giải mặc dù ý này có thể giải theo nhiều cách: đặt một ẩn phụ như trên hoặc đặt hai ẩn phụ và quy PT đã cho về hệ PT. b. Hầu hết học sinh làm sai vì không nghĩ đến việc tìm ĐK của ẩn phụ hoặc có tìm ĐK nhưng tìm không chính xác. 3. Các phương pháp đã tiến hành Vì những hạn chế của học sinh như đã trình bày trong phần lý do chọn đề tài và phần khảo sát thực tiễn nên trong quá trình dạy lớp 12, bắt đầu là phần ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số, với các tiết học tự chọn nâng cao, tôi đã lồng ghép các bài tập liên quan đến tìm tham số và đặt ẩn phụ. Nhưng vì thời gian không có nhiều, hơn thế để học sinh chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên ứng với mỗi phần tôi cho học sinh một số bài tập để các em về nhà nghiên cứu tìm lời giải. Trên lớp tôi cho một số học sinh lên bảng làm bài và một số học sinh khác nhận xét lời giải. Sau đó tôi phân tích lời giải cho cả lớp để các em tìm được lời giải tối ưu và nhấn mạnh một số điểm quan trọng trong mỗi bài, qua mỗi dạng. 10 [...]... kinh nghiệm Hưng Nguyễn Hà Để cho việc tiếp thu bài học được dễ dàng tôi chia nội dung bài viết của mình thành bốn phần sau: - Phương trình , bất phương trình bậc cao một ẩn - Phương trình , bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn - Phương trình lượng giác - Phương trình , bất phương trình mũ và logarit PHẦN I : PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO MỘT ẨN Bài 1 Tìm tham số a để PT: x 3 − 3x 2 − a = 0... ) = 21 nên ta phải có m3 + 20m ≤ 21 ⇔ m ≤ 1 [ 0;3] Tóm lại ĐK phải tìm là m ≤ 1 Nhận xét: Việc tìm tham số để hệ BPT đã cho có nghiệm được quy về bài toán tìm tham số để một BPT có nghiệm trên một tập cho trước và đã được chuyển về bài toán tìm GTLN hoặc GTNN của hàm số Bài 7 Cho hàm số y = 4 x3 + (a + 3) x 2 + ax Hãy tìm tham số a để y ≤ 1, ∀x ∈ [ −1;1] Giải Giả sử y ≤ 1, ∀x ∈ [ −1;1] suy ra 18 Sáng... (t ) = ; do đó ≥ 0 ⇔ m ≥1 [ 0;+∞ ) m2 m2 Vậy ĐK phải tìm là m ≥ 1 Nhận xét: Trong lời giải bài toán trên sau khi đặt ẩn phụ ta được một hàm số bậc hai do đó không cần sử dụng đạo hàm ta vẫn lập được BBT của hàm số Tuy nhiên tôi vẫn trình bày ở đây để tiện liên hệ với bài 11 trong trường hợp không cô lập được tham số Bài 13 Biện luận theo tham số m số nghiệm của PT x 4 − (m − 1) x 3 + 3 x 2 − ( m − 1)... các điều kiện hiển nhiên vì sau khi tìm được ẩn phụ u ta còn phải thay vào bước đặt để tìm ẩn chính x - Nếu trong bài toán có tham số thì việc tìm ĐK của u là không thể bỏ qua và không được làm sai Việc tìm ĐK của u như trên thực chất là việc tìm tập giá trị của hàm số f ( x) trên tập xác định của PT đã cho 34 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng Bài 6 Tìm tham số m để PT sau có nghiệm: m( 1 + x 2 −... 0; 2    f (0) = 1; f ( 2) = Vậy ĐK phải tìm là 2 −1 2 −1 ≤ m ≤ 1 Nhận xét: 35 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng Lời giải của bài tập 6 và 5 có phương pháp như nhau nhưng việc tìm ĐK của ẩn phụ trong bài số 6 không dùng đạo hàm mà thực hiện một số phép biến đổi kéo theo nên cần phải thấy rõ tập gía trị của ẩn phụ trên TXĐ của PT (6) Bài 7 Tìm tham số m để PT sau có nghiệm: 3 x + 1 + m x + 1 = 2... ax 2 − 4 = 0 2 Biện luận theo m số nghiệm của PT x 2 + (3 − m) x + 3 − 2m = 0 so sánh các nghiệm đó với các số -3 và -1 3 Tìm tham số m để PT sau có ba nghiệm dương phân biệt: x 3 − x 2 + 18mx − 2m = 0 4 Cho hàm số f ( x) = − x 3 + 3mx − 4 Tìm tham số m để f ( x) ≤ − 5 Biện luận theo m số nghiệm âm của PT: 1 , ∀x ≥ 1 x3 x2 − 2 x + 9 = m( x − 2) + 2 x −2 6 Tìm tham số m để hệ PT sau có nhiều hơn hai... Xét hàm số f (t ) = trên nửa khoảng [ 0;+∞ ) 1 + 4t 2 PHẦN II: PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN Bài 1 Biện luận theo tham số m số nghiệm của PT x + 3 = m x 2 + 1 (1) Giải x+3 PT (1) ⇔ x2 + 1 = m , (1a) Xét hàm số f ( x) = x+3 x2 + 1 trên ¡ Số nghiệm của PT (1) bằng số nghiệm của PT (1a) và là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) với đường thẳng y = m x2 + 1 − f ( x) = ' lim... Với kiến thức của học sinh lớp 10 có thể giải được bài toán trên theo cách bình phương hai vế nhưng rất phức tạp vì phải so sánh các nghiệm của tam thức bậc hai với các số cho trước - Với ứng dụng của đạo hàm như trên ta có lời giải rất rõ ràng - Bài toán trên còn có thể được phát biểu theo cách tìm miền giá trị của hàm số f ( x) Bài 2 Tìm tham số m để PT sau có hai nghiệm thực phân biệt : x 2 + mx... nghiệm phân biệt Nhận xét: Việc ứng dụng đạo hàm chỉ sử dụng sau khi đã biến đổi về PT (4b) và đương nhiên là phải khảo sát hàm số trong phạm vi PT đã cho xác định Bài 5 Tìm tham số a để PT sau có nghiệm: 3 + x + 6 − x − (3 + x)(6 − x) = a , (5) Giải ĐK : −3 ≤ x ≤ 6 Đặt u = 3 + x + 6 − x ⇒ u 2 = ( 3+ x + 6− x ) 2 ⇒ (3 + x )(6 − x ) = u2 − 9 2 Để tìm ĐK của u ta xét hàm số u = f ( x) = 3 + x + 6 − x với... kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng - Trong BBT ta thấy ∀u < −2 ⇒ f ' (u ) < −11 ⇒ f ' (u ) < 0 ∀u > 2 ⇒ f ' (u ) > 13 ⇒ f ' (u ) > 0 b) Với ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số ta có thể giải quyết bài toán tìm tham số, tìm GTLN, GTNN của một biểu thức và những bài toán giải PT, BPT, hệ PT  y 3 − 9 x 2 + 27 x − 27 = 0  3 2  z − 9 y + 27 y − 27 = 0  x3 − 9 z 2 + 27 z − 27 = 0  Bài 10 Giải hệ PT Giải  y 3 . là lý do để tôi chọn đề tài: Ứng dụng đạo hàm và ẩn phụ để tìm tham số trong bài toán phương trình, bất phương trình 2. Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm Những vấn đề tôi trình bày trong bản. sau: - Phương trình , bất phương trình bậc cao một ẩn - Phương trình , bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn - Phương trình lượng giác - Phương trình , bất phương trình mũ và logarit PHẦN I : PHƯƠNG. f x f x - Số lớn nhất ( bé nhất ) trong các số trên là GTLN (GTNN ) của hàm số ( )f x trên đoạn [ ] ;a b c) Tìm tham số trong bài toán bất phương trình Nếu hàm số ( )f x có GTLN và GTNN trên