SKKN toán lớp 9 dùng ẩn phụ để giải phương trình

Sáng kiến kinh nghiệm Dùng ẩn phụ để giải phơng trình PHN TH NHT M U I. C s khoa hc ca SKKN: 1. C s lý lun: Qua vic ging dy toỏn Ph thụng tụi nhn thy: Vic gii phng trỡnh v h phng trỡnh l mt trong nhng vn rt trng tõm ca chng trỡnh toỏn hc ph thụng. Cú nhng phng trỡnh v h phng trỡnh ó cú ng li gii c bn. 2. C s thc tin: Vớ d nh phng trỡnh bc nht 1 n s (hc Toỏn lp 8), phng trỡnh bc 2 mt n s (hc Toỏn lp 9) thm chớ i vi phng trỡnh bc 3, bc 4 mt n s cng ó cú ng li gii c bn nh sỏch phỏt trin Toỏn 8 ó trỡnh by v h phng trỡnh bc nht mt n s (Toỏn lp 9) Nhng trong khi dy bi dng hc sinh gii toỏn lp 9 v dy ụn thi tuyn sinh vo lp 10 THPT chuyờn ban A v lp 10 THPT nng khiu Toỏn - Lý - Hoỏ thỡ chỳng ta gp khụng ớt nhng bi gii phng trỡnh, h phng trỡnh khụng cú ng li gii c bn dn n vic gii rt khú khn cú khi khụng th gii c, vớ d nh trong cỏc thi chn hc sinh gii cỏc cp, thi tuyn sinh vo lp 10 THPT trong nhng nm gn õy u cú bi gii phng trỡnh v h phng trỡnh khụng cú ng li gii c bn. Nu dựng mt s thut gii thỡ vic gii cỏc phng trỡnh ú s d dng hn. Mt trong nhng thut gii m tụi mun trỡnh by õy ú l: "Dựng n ph gii phng trỡnh". II. Mc ớch ca SKKN: õy l nhng kin thc m tụi tng hp c qua vic dy bi dng hc sinh gii toỏn, qua vic ụn thi tuyn sinh vo lp 10 PTTH chuyờn ban A v kim nghim trong thc t dy chuyờn : "Dựng n ph gii phng trỡnh" ó vit trc ú. Vic dựng n ph gii phng trỡnh cú th coi l mt trong cỏc ng li ch yu giỳp giỏo viờn, hc sinh cú cỏch nhỡn sõu hn, rng hn khi gii phng trỡnh, c bit trong bi dng hc sinh gii. 2 Sáng kiến kinh nghiệm Dùng ẩn phụ để giải phơng trình Dựng n ph, ta a t mt phng trỡnh phc tp, nht l cỏc phng trỡnh bc cao, phng trỡnh vụ t v nhng phng trỡnh bc thp hn, n gin hn v nhng phng trỡnh ú ó bit cỏch gii. Vớ d 1: Gii phng trỡnh: (x + 1) 4 + (x + 3) 4 = 16 Nu ta hng dn hc sinh gii phng trỡnh ny bng cỏch khai trin thụng thng cỏc kin thc lp 8 thỡ s dn n mt phng trỡnh bc 4 cha cú ng li gii c th. Tuy nhiờn, nu ta t n ph: t = x + 2. Thỡ ta a phng trỡnh trờn tr thnh: (t - 1) 4 + (t + 1) 4 = 16 <=> t 4 + 6t 2 - 7 = 0 õy l phng trỡnh trựng phng m hc sinh ó bit cỏch gii bng phng phỏp t n ph (i bin s) nh trang 54-57 sỏch giỏo khoa Toỏn lp 9 ó trỡnh by. * Vớ d 2: Gii phng trỡnh: x 4 - 4x 3 + 2x 2 + 4x - 3 = 0 Rừ rng õy l phng trỡnh bc 4 y (lựi) m hc sinh cha cú cụng thc, ng li gii. Nhng ch nh phng phỏp i bin s (t n ph) v mt vi bc bin i tng ng thỡ hc sinh s bit cỏch gii ngay. x 4 - 4x 3 + 2x 2 + 4x -3 = 0 <=> (x 4 - 4x 3 + 4x 2 ) - (2x 2 - 4x) - 3 = 0 <=> (x 2 - 2x) 2 - 2(x 2 - 2x) - 3 = 0 Khi ú ta t: t = x 2 - 2x. Lỳc ú phng trỡnh c a v dng: t 2 - 2t - 3 = 0 n õy vic gii n gin i rt nhiu. * Vớ d 3: Gii phng trỡnh: 19 + 10x 4 - 14x 2 = (5x 2 - 38) 2 2 x Nu khụng dựng n s ph thỡ chc chn khi d thi chn hc sinh gii cp tnh nm ú hc sinh s khụng th gii c bi toỏn ny. Nhng nu hc sinh ó c dy chuyờn ny thỡ hc sinh s gii bi toỏn ny mt cỏch d dng v c ỏo. iu kin: x R ; x 2 t: t = 2 2 x ; (t R ; t 0 ) Khi ú phng trỡnh ó cho tr thnh: 3 Sáng kiến kinh nghiệm Dùng ẩn phụ để giải phơng trình 19 + 10(t 4 + 4t 2 + 4) - 14(t 2 + 2) = [5(t 2 + 2)- 38]t Hay 10t 4 - 5t 3 + 26t 2 + 28t + 31 = 0 <=> 10t 2 (t- 4 1 ) 2 + 8 203 .t 2 + 28t + 31 = 0 (*) Ta thy v trỏi ca (*) ln hn 0, t 0 . T ú suy ra phng trỡnh ó cho vụ nghim. Qu tht, dựng n ph ó giỳp ta gii quyt c bi toỏn trờn mt cỏch nhanh gn v chớnh xỏc. Chớnh vỡ th m phng phỏp i bin s (t n ph) trong vic gii phng trỡnh l iu kin tt, rốn luyn kh nng sỏng to toỏn hc cho hc sinh, vn dng linh hot cỏc kin thc ca mỡnh vo gii phng trỡnh nh bin i ng nht Giỳp hc sinh gii cú th khỏi quỏt mt vn c th, cỏch gii tng quỏt ca mt phng trỡnh, qua ú cũn gúp phn rốn luyn v nõng cao t duy bin chng cho hc sinh. Ngoi ra, nú cũn to cho hc sinh bit nhỡn nhn mt s vt hin tng theo quan im ng. Dựng n ph gii phng trỡnh v h phng trỡnh l mt vớ d sng ng i vi ch phng trỡnh, h phng trỡnh. Trong chng trỡnh ph thụng hin nay thỡ phng phỏp i bin s cha c cp v h thng hoỏ thnh mt cụng c quan trng trong cỏch gii phng trỡnh, h phng trỡnh. Nú ch c gii thiu qua, khi hc sinh hc bi gii h phng trỡnh bc nht hai n s trang 19-20 v bi gii phng trỡnh quy v phng trỡnh bc hai trang 54-57 sỏch giỏo khoa Toỏn lp 9 v nú cng ch c gii thiu v c ph bin khỏi quỏt cỏc lp nng khiu, lp bi dng chuyờn cho hc sinh gii Chớnh vỡ vy m tụi vit ti ny xin trõn trng gii thiu cựng ng nghip v lng nghe nhng úng gúp ca Ban giỏm kho, ca c gi ti c hon thin hn. Tụi xin chõn thnh cm n./. a ch gúp ý xin liờn h vi: V S Hip Phú hiu trng trng THCS Hng Quang-n Thi-Hng Yờn TCQ: 0321.3832216; NR: 03213832099; D: 01668859018 4 Sáng kiến kinh nghiệm Dùng ẩn phụ để giải phơng trình III. i tng nghiờn cu, Phm vi nghiờn cu: L cỏc phng trỡnh bc cao v cỏc phng trỡnh vụ t trong chng trỡnh THCS, cỏc thi chn hc sinh gii v thi vo lp 10 THPT chuyờn cỏc nm gn õy khi gi phi t n ph mi gi c; ti ch dy cho hc sinh gii cp trng v c tp trung bi dng mi tun ba bui, mi bui ba tit ngay t u nm hc n khi thi chn hc sinh gii cp huyn (cui thỏng 12) xong tip tc ụn luyn thi chn hc sinh gii cp tnh (u thỏng 4) v thi vo lp 10 THPT chuyờn (u thỏng 7). IV. Phng phỏp nghiờn cu: - Phng phỏp phõn tớch; - Phng phỏp tng hp bng bn t duy; - Phng phỏp phõn tớch v tng hp; - Phng phỏp khỏi quỏt húa v tng hp húa; - Phng phỏp c bit húa. V. K hoch nghiờn cu: Tng hp kin thc vit thnh cng hng dn chi tit, lp k hoch chi tit cho tng phn tng giai on. Chn i tng hc sinh v tin hnh dy chuyờn song cựng vi vic tri nghm thc t cỏc thi cú liờn quan n vn cn gii quyt. PHN TH HAI NI DUNG A NI DUNG Lí LUN LIấN QUAN TRC TIP N VN NGHIấN CU TNG KT KINH NGHIM (NHNG KIN THC C BN): I. Hiu n ph nh th no cho y : Trc ht n ph phi xem l khụng phi n ban u ó cho ca bi toỏn. Vic thay n ph l mong rng: Bi toỏn vi n ph d gii hn bi toỏn ó cho. Quy trỡnh thng nht ca vic gii bi toỏn trong trng hp ny bao gm hai bc: 5 Sáng kiến kinh nghiệm Dùng ẩn phụ để giải phơng trình + Bc 1: Xut phỏt t bi toỏn ó cho, chn cỏc n ph thớch hp (cú th l 1 hoc nhiu n ph) ri chuyn bi toỏn ó cho thnh bi toỏn i vi n ph. + Bc 2: Tỡm n ph ri tr v tỡm n s ban u. II. Du hiu nhn bit cỏc bi toỏn t n ph gii: - Ch cú nhng bi toỏn m gia cỏc i lng tham gia trong bi toỏn cú mt mi liờn h no ú m chớnh nh mi liờn h ny, cỏc i lng ny biu din c qua cỏc i lng kia mi cú kh nng t c n ph. - Vi cỏc bi toỏn m n ph cú tỏc dng thay i dng bi toỏn thỡ cỏc du hiu dựng c n ph thụng thng ó bit, ó c ỳc kt trong lý thuyt hoc trong kinh nghim cú tớnh cht k vin, vớ d nh vic t n ph gii phng trỡnh trựng phng - Toỏn lp 9. III. V vic tỡm iu kin cho n ph: Khi chuyn bi toỏn t n ban u sang bi toỏn i vi n ph, mt trong cỏc cụng vic phi lm l: Chuyn iu kin ca n ban u sang iu kin cho n ph ỳng, chớnh xỏc. * Vớ d: Gii phng trỡnh: 5103 22 =++ xx iu kin ban u 2 2 3 0 10 0 x x + <=> x 2 10 <=> 10x ; t n ph: 2 2 3 10 U x V x = + = 3 0 10 U V Ta cú h phng trỡnh: =+ =+ 13 5 22 VU VU Vi iu kin ca n ph l: 100 3 V U B/ THC TRNG VN NGHIấN CU: Trong khuụn kh ca chuyờn , tụi xin trỡnh by hai loi c bn m khi thi tuyn sinh vo lp 10 THPT, THPT Chuyờn ban, THPT nng khiu v thi hc sinh gii cỏc cp thng gp ú l: Gii phng trỡnh bc cao bng phng phỏp t n ph v gii phng trỡnh vụ t bng phng phỏp t n ph. 6 Sáng kiến kinh nghiệm Dùng ẩn phụ để giải phơng trình C/ Mễ T CC GII PHP MI M TC GI THC HIN LM CHO VIC BI DNG HC SINH GII Cể CHT LNG V HIU QU. I. GII PHNG TRèNH BC CAO BNG PHNG PHP T N PH: Phng trỡnh bc cao l loi phng trỡnh m cỏch gii rt phc tp. Trong chng trỡnh dy hc nh trng ph thụng vn ny cha c cp sõu. Phng trỡnh bc cao mi ch cp n loi phng trỡnh bc hai, phng trỡnh trựng phng. Cỏc phng trỡnh bc cao vi h s l cỏc s thc cha cú mt cỏch gii tng quỏt, nhng phng trỡnh gii c ch l phng trỡnh c bit, ú l nhng phng trỡnh c th (d). Cũn nhng phng trỡnh phc tp, nu khụng cú phng phỏp gii c th, hc sinh s rt lỳng tỳng trong khi gii. gii mt phng trỡnh bc ba, bc bn ta cú th dựng phộp th trc tip tỡm ra mt nghim c bit, hoc nhúm cỏc s hng phõn tớch thnh tớch cỏc a thc bc nht hoc bc hai. Phng phỏp t n ph cng l mt phng phỏp c ỏp dng gii mt s phng trỡnh loi ny. Ta dựng n ph a phng trỡnh v bc thp hn d gii hn. Trong phn ny tụi trỡnh by cỏch gii mt s loi phng trỡnh bc cao hay gp trong cỏc k thi chn hc sinh gii v thi tuyn sinh bng phng phỏp t n ph (i bin s) nhm h tr cỏc em hc sinh mt s hiu bit v phng trỡnh bc cao. Phng phỏp ny s to cho cỏc em cú nh hng tt khi tip xỳc vi phng trỡnh bc cao, gúp phn rốn luyn kh nng sỏng to toỏn hc. 1. PHNG TRèNH DNG: a[f(x)] 4 + b[f(x)] 2 + c = 0 (1) Trong ú: f(x) l biu thc cha n; a, b, c R Cỏch gii: i vi phng trỡnh dng ny ta t n ph a v phng trỡnh bc hai vi n ph ú, tc l ta ó a v phng trỡnh bc thp hn ó cú cỏch gii hoc n gin hn. n õy ta thy d dng gii c phng trỡnh vỡ ta ó a v dng phng trỡnh m sỏch giỏo khoa ó cp rừ rng cỏch gii (phng trỡnh bc hai mt n s). 7 Sáng kiến kinh nghiệm Dùng ẩn phụ để giải phơng trình Gii phng trỡnh: ax 2 + bx + c = 0; (a 0) C1: Nu a + b + c = 0 => x 1 = 1; x 2 = a c C2: Nu a - b + c = 0 => x 1 = -1 ; x 2 = - a c C3: Nu 0; ( 0 ' ) => x 1 + x 2 = - a b v x 1 . x 2 = a c => = = nx mx 2 1 C4: Nu b = 2b ' => ' = b '2 - ac C5: Nu b 2b ' => = b 2 - 4 ac C6: Phõn tớch v trỏi thnh tớch 2 tha s bc nht (h bc) gii: A.B = 0 <=> = = 0 0 B A Nh sỏch giỏo khoa Toỏn 9 ó trỡnh by t trang 40-53. * Vớ d: Gii phng trỡnh: (x 2 + 2x) 4 - 15(x 2 +2x) 2 - 16 = 0; ( 1.1) t: t = (x 2 + 2x) 2 ; iu kin t 0 Khi ú phng trỡnh ó cho tr thnh: t 2 - 15t - 16 = 0 Gii ra ta c 2 giỏ tr: t = - 1 (loi) t = 16 (nhn) Vi t = 16, thay vo ta cú: (x 2 + 2x) 2 = 16 <=> =+ =+ 42 42 2 2 xx xx <=> 2 2 0 2 4 0 2 4 0 ( ) x x x x Vn + = + + = <=> = += 51 51 1 1 x x Vy phng trỡnh ó cho cú 2 nghim: x 1 = -1 + 5 v x 2 = - 1 - 5 . Qua cỏch gii trờn giỏo viờn cú th khỏi quỏt gii phng trỡnh dng tng quỏt. a[f (x)] 2n + b[f(x)] n + c = 0; ( 1) Trong ú: f(x) l biu thc cha n; a,b,c R Cỏch gii: t: t = [f(x)] n ; iu kin t 0 nu n chn vi cỏch t n ph trờn ta ó a phng trỡnh ó cho v dng: at 2 + bt + c = 0; (1 ' .1) ó bit cỏch gii. 8 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Dïng Èn phô ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP ĐỐI VỚI CÁC BIỂU THỨC CHỨA ẨN: Dạng tổng quát: ay 2ỏ + by ỏ z ỏ + cz 2ỏ = 0; (2) Điều kiện: y = y(x); z = z(x); a, b, c ∈ R; a 2 +b 2 + c 2 > 0 Cách giải: Nếu z(x) = 0 hoặc y(x) = 0 không là nghiệm của (2) Chia cả 2 vế của (2) cho z 2ỏ (x) ta được: a( z y ) 2ỏ + b( z y ) ỏ + c = 0 Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ bằng cách đặt t = ( z y ) ỏ đưa phương trình về dạng: at 2 + bt + c = 0 đã biết cách giải. * Ví dụ 1: Giải phương trình: 3(x 2 - x + 1) 2 - 2(x+ 1) 2 = 5(x 3 +1); (2.1) <=>3(x 2 - x + 1) 2 - 5(x + 1)(x 2 - x + 1) - 2(x+ 1) 2 = 0 Xét thấy x = - 1 không là nghiệm của phương trình, chia cả hai vế của phương trình cho: (x + 1) 2 ≠ 0, ta được: (ở đây y(x) = x 2 - x + 1; z(x) = x + 1) 3.( 1 1 2 + +− x xx ) 2 – 5. 1 1 2 + +− x xx – 2 = 0 Đặt: t = 1 1 2 + +− x xx Phương trình (2.1) trở thành: 3t 2 - 5t - 2 = 0 Giải ra ta được: t 1 = 2; t 2 = - 3 1 Thay vào ta có: x 1 = 2 133 + và x 2 = 2 133 − Là nghiệm của phương trình đã cho. * Ví dụ 2: Giải phương trình: (x + 3) 4 - (x 2 + x - 6) 2 = 2(x - 2) 4 ; ( 2.2) Ta đi biến đổi phương trình để đưa về dạng tổng quát (2) vì x 2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2) nên: 9 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Dïng Èn phô ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh (2.2) <=> (x + 3) 4 - (x + 3) 2 (x - 2) 2 - 2(x-2) 4 = 0 Nhận xét: x = 2 không là nghiệm của phương trình, chia cả hai vế của phương trình cho: (x - 2) 4 ≠ 0, ta được: ( 2 3 − + x x ) 4 - ( 2 3 − + x x ) 2 - 2 = 0 (ở đây ta thấy với y(x) = 2 3 − + x x ; z(x) = x - 2) Do đó dùng phương pháp đặt ẩn phụ như sau: Đặt t = ( 2 3 − + x x ) 2 ; Điều kiện t 0≥ . Ta có phương trình mới là: t 2 - t - 2 = 0. Đến đây học sinh dễ dàng giải được tiếp. 3. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = m Hoặc [f(x) + a][f(x) + b][f(x) + c][f(x) + d] = m; (3) Thoả mãn điều kiện: a + b = c + d; v a + c = b + d; v a + d = b + c Cách giải: Biến đổi phương trình đã cho tương đương với: [(f(x)) 2 + (a + b).f(x) + ab][(f(x)) 2 + (c + d).f(x) + cd] = m Do: a + b = c + d nên ta đặt : t = (f(x)) 2 + (a + b).f(x) + ab Khi đó phương trình trở thành: t(t - ab + cd) = m <=> t 2 + (cd - ab)t - m = 0 Đến đây việc giải tiếp dễ dàng. Qua đây ta cũng thấy được ưu điểm của phương pháp đặt ẩn phụ khi giải phương trình bậc cao bằng cách hạ bậc phương trình ban đầu để đưa về dạng phương trình bậc thấp hơn đã có cách giải. * Ví dụ: Giải phương trình: (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = 3; (3.1) a = 1, b = 2, c = 3, d = 4 Ta thấy: a + d = b + c. Do đó: (3.1) <=> (x+1)(x+4)(x+2)(x+3) = 3 10 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Dïng Èn phô ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh <=> (x 2 + 5x + 4)(x 2 + 5x + 6) = 3 Đặt: t = x 2 + 5x + 4; Khi đó (3.1) trở thành t(t + 2) = 3 <=> t 2 + 2t - 3 = 0 Giải ra ta được: t 1 = 1 và t 2 = -3 Cuối cùng ta được nghiệm của phương trình là: x 1 = 2 135 +− ; x 2 = 2 135 −− 4. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG: (ax + b 1 )(ax + b 2 )(ax + b 3 )(ax + b 4 ) = α x 2 ; (4) Thoả mãn điều kiện: b 1 b 2 = b 3 b 4 . Cách giải: Nếu x = 0 không là nghiệm của phương trình, chia cả hai vế của phương trình cho x 2 ≠ 0. Ta được phương trình mới: [(ax 2 ) + a (b 1 + b 2 ) x + b 1 b 2 ][(ax) 2 + a (b 3 + b 4 )x + b 3 b 4 ] = α x 2 => [a 2 x + x bb 21 + a(b 1 + b 2 )][a 2 x + x bb 43 + a(b 3 + b 4 )] = α Đặt: t = a 2 x + x bb 21 + a(b 21 b+ ) Khi đó phương trình trở thành: t 2 + a(b 3 + b 4 - b 1 - b 2 )t - α = 0 Đến đây ta đã có cách giải phương trình này. * Ví dụ: Giải phương trình: (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 6) = 2x 2 ; (4.1) Nhận xét: 2.6 =3.4 Và x = 0 không là nghiệm của phương trình Chia cả 2 vế cho x 2 ≠ 0, ta được (4.1) => (x + x 12 + 8)( x + x 12 + 7) =2 Đặt: t = x + x 12 + 8 Ta có phương trình: t(t - 1) = 2 11 [...]... 24 Sáng kiến kinh nghiệm Dùng ẩn phụ để giải phơng trình NHN XẫT CA HI NG CHM SNG KIN KINH NGHIM S GIO DC V O TO TNH HNG YấN: MC LC Phn th nht Li m u trang 03 I C s khoa hc ca SKKN 1 C s lý lun trang 03 2 C s thc tin trang 03 II Mc ớch ca SKKN trang 03 III i tng ca SKKN; Phm vi nghiờn cu trang 06 25 Sáng kiến kinh nghiệm Dùng ẩn phụ để giải phơng trình IV Phng phỏp nghiờn cutrang... TRn Th Hi Minh T9 (HL); Th Minh T9 (HL); Nguyn Th Thm T7 (HL); Nguyn Thnh Trung T7,8 ,9 (HL); Nguyn Duy Hiu T6 (HL); Nguyn Th Hnh T7 (HL); Nguyn Xuõn Hip T9 (HQ); V ỡnh t L8 (HQ); Nguyn Th Toỏn T9 (HV); Mai Vn Nguyờn L9 (HQ); Mai Duy Thnh T9 (HQ); Nguyn Hng Hnh L9 (HV); Nguyn Th Hng T9 (HV); Nguyn Trung Hiu T6,7,8 ,9 (HQ); Nguyn Hu Thnh L9 (HQ); Nguyn Anh Tun T6 ,9 (HQ); V Khỏnh Chi T8 ,9 Cú c thnh tớch... VN DNG: 19 Sáng kiến kinh nghiệm Dùng ẩn phụ để giải phơng trình Trong phn ny tụi xin trỡnh by thờm mt s bi tp tng t c su tp t cỏc ti liu tham kho nhm cho hc sinh gii cú nhiu bi bi tp ỏp dng ngay H tr tớch cc cho cỏc vớ d ca tng dng bi giỳp hc sinh tp dt nghiờm cu tỡm tũi sỏng to li gii mi 1 x4 - 7x3 + 8x2 + 7x + 1 = 0 S: x1 = 1 2; x2 = 1 + 2; x3 = 2 x4 - x3 - 10x2 + 2x + 4 = 0; 5 29 5 + 29 ; x4 =... n./ PHN TH 4 TI LIU THAM KHO - Sỏch giỏo khoa v sỏch bi tp toỏn lp 8, 9 ca NXB B GD&T - Bi tp: Nõng cao v mt s chuyờn toỏn 8 ca Bựi Vn Tuyờn - Nõng cao v phỏt trin toỏn 8 tp 1,2 ca V Hu Bỡnh - Nõng cao v phỏt trin toỏn 9 tp 1,2 ca V Hu Bỡnh - Mt s vn phỏt trin i s 9 ca V Hu Bỡnh 23 Sáng kiến kinh nghiệm Dùng ẩn phụ để giải phơng trình - 23 chuyờn gii 1001 bi toỏn s cp ca Nguyn Vn Vnh - Cỏc thi chn... Sáng kiến kinh nghiệm Dùng ẩn phụ để giải phơng trình 1 Nhng kt lun, ỏnh giỏ c bn v ni dung, ý ngha, hiu qu ca SKKN: Nhiu nm hc qua, tụi thng xuyờn c Ban giỏm hiu nh trng giao trng trỏch tuyn chn v bi dng hc sinh gii cỏc mụn Toỏn v Vt lý ca nh trng Nm hc no trng tụi cng cú hc sinh gii cp huyn, c cp trờn tuyờn dng ng viờn khớch l Nim vui ni tip nim vui, trong cỏc nm hc t nm 199 1-2008, tụi ó gúp phn... 10U + 3 = 0 U = 3 U = 1 3 Tr v tỡm x, bng cỏch gii hai phng trỡnh: x+2 = 3 9x2 - 19x + 34 = 0 (Phng trỡnh vụ nghim) 2 x 2x + 4 1 x+2 = x2 - 11x - 14 = 0 x 2x + 4 3 2 Vy phng trỡnh cú 2 nghim : x 1 = x = 11 177 (nhn) 2 11 + 177 11 177 ; x2 = 2 2 16 Sáng kiến kinh nghiệm Dùng ẩn phụ để giải phơng trình * Vớ d2: Gii phng trỡnh: x x 2 1 + x + x 2 1 = 2; (2) Nhn xột : x x 2 1 ... -4)(x - 5)(x - 6)(x - 7) = 1680; S: x 1 = 1; x2 = 12 12 (2x + 1)( x + 1)2(2x + 3) = 18; S: x1 = ; x2 = 13 (x2 - 6x + 9) 2 - 15(x2 - 6x + 10) = 1; S: x 1 = 1; x2 = 7 14 (x2 + x - 2)(x2 + x - 3) = 12; S: x 1 = 2; x 2 = 3 1 2 5 2 20 Sáng kiến kinh nghiệm Dùng ẩn phụ để giải phơng trình 1 1 19 15 3(x2 + 2 ) = 4( x ) + ; x 4 x 2 1 17 1 + 17 ; x 3= ; x4 = 3 4 4 3 2 S: x1 = ; x2 = 16 ( x+2 2 x+2 ) 5 +6 = 0;... cú hc sinh gii "s cú" l cú th cú ngay sau khi bi dng nm u tiờn m cng cú th phi n nhng nm tip theo min l, khụng s chờ bai, khụng du dt 22 Sáng kiến kinh nghiệm Dùng ẩn phụ để giải phơng trình Phi kiờn trỡ, cn c, nhn li cú lũng tin cú kt qu ca lp 9 ta phi nh hng bi dng o to ngay t lp 6 v thm chớ trc lp 6 (hc sinh ang Tiu hc) hc sinh tip thu v "tiờu hoỏ" c ti ny qu tht l hc sinh ú phi kh nng, bn lnh... cú: (t -1)4 + (t+ 1)4 = 16 Hay: 2t4 + 12t2 + 2 = 16 t4 + 6t2 - 7 = 0 t y = t2; iu kin t 0 => y2 + 6y - 7 = 0 => y = 1 (nhn); y = -7 (loi) => t2 = 1 t = 1 12 Sáng kiến kinh nghiệm Dùng ẩn phụ để giải phơng trình x + 4 = 1 x = 3 Thay vo ta cú: x + 4 = 1 x = 5 Vy nghim ca phng trỡnh ó cho l: x1 = -3; x2= -5 6 PHNG TRèNH LI BC 4: ax4 + bx3 + cx2 + dx + k = 0; (6) Hoc: ax4 + bx3 + cx2 +... x 1 = 1 + 3; x 2 = 1 3 ; x 3 = 3 + 17 3 17 ; x4= 2 2 7 PHNG TRèNH LI BC 5: 5 4 3 2 3 5 a 0 x + a1 x + a 2 x + a 2 x + a1 x + a 0 = 0 ; (7) Trong ú: a 0 0; 0 13 Sáng kiến kinh nghiệm Dùng ẩn phụ để giải phơng trình Nu phng trỡnh cú dng trờn, ta thy x = - l mt nghim Ta chia VT' cho x + v c: 4 3 2 (x + )(b0 x + b1 x + b2 x + b3 x + b4 ) = 0 4 3 2 Trong ú: (b0 x + b1 x + b2 x + b3 x + b4 ) = 0 . đưa phương trình chưa có hướng giải về phương trình đã có cách giải là phương trình với ẩn số mới là t. Mấu chốt ở đây là ta áp dụng phương pháp đặt ẩn phụ: t = t(x) + p. * Ví dụ: Giải phương trình: (x. 0≥ Thì phương trình với ẩn phụ u có dạng: 3U 2 - 10U + 3 = 0 <=>     = = 3 1 3 U U Trở về tìm x, bằng cách giải hai phương trình: 42 2 2 +− + xx x = 3 <=> 9x 2 - 19x + 34 = 0 (Phương. phương trình trở thành: t(t - ab + cd) = m <=> t 2 + (cd - ab)t - m = 0 Đến đây việc giải tiếp dễ dàng. Qua đây ta cũng thấy được ưu điểm của phương pháp đặt ẩn phụ khi giải phương trình