skkn dùng ẩn phụ để giải phương trình

Trờng Trung Học Cơ Sở Hồng Quang Sáng kiến kinh nghiệm "Dùng ẩn phụ để giải phơng trình" Mục lục Phần thứ Lời mở đầu trang 03 I Cở sở khoa học SKKN Cơ sở lý luận trang 03 Cơ sở thực tiễn trang 03 II Mục đích SKKN trang 03 III Đối tợng SKKN; Phạm vi nghiên cứu trang 06 IV Phơng pháp nghiên cứutrang 06 V Kế hoạch nghiên cứu trang 06 Phần thứ hai Nội dung .từ trang 05 đến trang 21 Trong đó: A/ Nội dung lý luận liên quan trực tiếp đến vấn đề nghiên cứu tổng kết kinh nghiệm - Những kiến thức . trang 06 B/ Thực trạng vấn đề nghiên cứu trang 07 C/ Mô tả giải pháp mà tác giả thực làm cho việc bồi dỡng học sinh giỏi có chất lợng hiệu trang 08 I/ Giải phơng trình bậc cao phơng pháp đặt ẩn phụ trang 08 II/ Giải phơng trình vô tỷ phơng pháp đặt ẩn phụ trang 16 III/ Hệ thống tập vận dụng trang 21 Phần thứ ba Kết luận .trang 23 Những kết luận, đánh giá nội dung, ý nghĩa, hiệu SKKN trang 24 Những đề xuất, khuyến nghị trang 24 Phần thứ t Tài liệu tham khảo trang 25 Phần thứ năm: Kết chấm SKKN trang 26 Tài liệu tham khảo cho học sinh giỏi lớp ôn thi vào lớp 10 THPT chuyên Vũ Sỹ Hiệp Phó hiệu trởng Trờng THCS Hồng Quang-Ân Thi-Hng Yên Trờng Trung Học Cơ Sở Hồng Quang Sáng kiến kinh nghiệm "Dùng ẩn phụ để giải phơng trình" Phần thứ Mở đầu I Cơ sở khoa học SKKN: Cơ sở lý luận: Qua việc giảng dạy toán Phổ thông nhận thấy: Việc giải phơng trình hệ phơng trình vấn để trọng tâm chơng trình toán học phổ thông Có phơng trình hệ phơng trình có đờng lối giải Cơ sở thực tiễn: Ví dụ nh phơng trình bậc ẩn số (học Toán lớp 8), phơng trình bậc ẩn số (học Toán lớp 9) chí phơng trình bậc 3, bậc ẩn số có đờng lối giải nh sách phát triển Toán trình bầy hệ phơng trình bậc ẩn số (Toán lớp 9) Nhng dạy bồi dỡng học sinh giỏi toán lớp dạy ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên ban A lớp 10 THPT khiếu Toán - Lý - Hoá gặp giải phơng trình, hệ phơng trình đờng lối giải dẫn đến việc giải khó khăn có giải đợc, ví dụ nh đề thi chọn học sinh giỏi cấp, đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT năm gần có giải phơng trình hệ phơng trình đờng lối giải Nếu dùng số thuật giải việc giải phơng trình dễ dàng Một thuật giải mà muốn trình bầy là: "Dùng ẩn phụ để giải phơng trình" II Mục đích SKKN: Đây kiến thức mà tổng hợp đợc qua việc dạy bồi dỡng học sinh giỏi toán, qua việc ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 PTTH chuyên ban A kiểm nghiệm thực tế dạy chuyên đề: "Dùng ẩn phụ để giải phơng trình" viết trớc Việc dùng ẩn phụ để giải phơng trình coi đờng lối chủ yếu để giúp giáo viên, học sinh có cách nhìn sâu hơn, rộng giải phơng trình, đặc biệt bồi dỡng học sinh giỏi Tài liệu tham khảo cho học sinh giỏi lớp ôn thi vào lớp 10 THPT chuyên Vũ Sỹ Hiệp Phó hiệu trởng Trờng THCS Hồng Quang-Ân Thi-Hng Yên Trờng Trung Học Cơ Sở Hồng Quang Sáng kiến kinh nghiệm "Dùng ẩn phụ để giải phơng trình" Dùng ẩn phụ, ta đa từ phơng trình phức tạp, phơng trình bậc cao, phơng trình vô tỉ phơng trình bậc thấp hơn, đơn giản phơng trình biết cách giải Ví dụ 1: Giải phơng trình: (x + 1)4 + (x + 3)4 = 16 Nếu ta hớng dẫn học sinh giải phơng trình cách khai triển thông thờng kiến thức lớp dẫn đến phơng trình bậc cha có đờng lối giải cụ thể Tuy nhiên, ta đặt ẩn phụ: t = x + Thì ta đa phơng trình trở thành: (t - 1)4 + (t + 1)4 = 16 t4 + 6t2 - = Đây phơng trình trùng phơng mà học sinh biết cách giải phơng pháp đặt ẩn phụ (đổi biến số) nh trang 54-57 sách giáo khoa Toán lớp trình bầy * Ví dụ 2: Giải phơng trình: x4 - 4x3 + 2x2 + 4x - = Rõ ràng phơng trình bậc đầy đủ (lùi) mà học sinh cha có công thức, đờng lối giải Nhng nhờ phơng pháp đổi biến số (đặt ẩn phụ) vài bớc biến đổi tơng đơng học sinh biết cách giải x4 - 4x3 + 2x2 + 4x -3 = (x4 - 4x3 + 4x2) - (2x2 - 4x) - = (x2 - 2x)2 - 2(x2 - 2x) - = Khi ta đặt: t = x2 - 2x Lúc phơng trình đựơc đa dạng: t2 - 2t - = Đến việc giải đơn giản nhiều * Ví dụ 3: Giải phơng trình: 19 + 10x4 - 14x2 = (5x2 - 38) x Nếu không dùng ẩn số phụ chắn dự thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh năm học sinh giải đợc toán Nhng học sinh đợc dạy chuyên đề học sinh giải toán cách dễ dàng độc đáo Điều kiện: x R ; x Đặt: t = x ; (t R ; t ) Khi phơng trình cho trở thành: Tài liệu tham khảo cho học sinh giỏi lớp ôn thi vào lớp 10 THPT chuyên Vũ Sỹ Hiệp Phó hiệu trởng Trờng THCS Hồng Quang-Ân Thi-Hng Yên Trờng Trung Học Cơ Sở Hồng Quang Sáng kiến kinh nghiệm "Dùng ẩn phụ để giải phơng trình" 19 + 10(t + 4t + 4) - 14(t2 + 2) = [5(t2 + 2)- 38]t Hay 10t4 - 5t3 + 26t2 + 28t + 31 = 10t2(t- 203 ) + t + 28t + 31 = (*) Ta thấy vế trái (*) lớn 0, t Từ suy phơng trình cho vô nghiệm Quả thật, dùng ẩn phụ giúp ta giải đợc toán cách nhanh gọn xác Chính mà phơng pháp đổi biến số (đặt ẩn phụ) việc giải phơng trình điều kiện tốt, rèn luyện khả sáng tạo toán học cho học sinh, vận dụng linh hoạt kiến thức vào giải phơng trình nh biến đổi đồng Giúp học sinh giỏi khái quát vấn đề cụ thể, cách giải tổng quát phơng trình, qua góp phần rèn luyện nâng cao t biện chứng cho học sinh Ngoài ra, tạo cho học sinh biết nhìn nhận vật tợng theo quan điểm động Dùng ẩn phụ để giải phơng trình hệ phơng trình ví dụ sống động chủ đề phơng trình, hệ phơng trình Trong chơng trình phổ thông phơng pháp đổi biến số cha đợc đề cập hệ thống hoá thành công cụ quan trọng cách giải phơng trình, hệ phơng trình Nó đợc giới thiệu qua, học sinh học giải hệ phơng trình bậc hai ẩn số trang 19-20 giải phơng trình quy phơng trình bậc hai trang 54-57 sách giáo khoa Toán lớp đợc giới thiệu đợc phổ biến khái quát lớp khiếu, lớp bồi dỡng chuyên đề cho học sinh giỏi Chính mà viết đề tài xin trân trọng giới thiệu đồng nghiệp lắng nghe đóng góp Ban giám khảo, độc giả để đề tài đợc hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn./ Địa góp ý xin liên hệ với: Vũ Sỹ Hiệp Phó hiệu trởng trờng THCS Hồng Quang-Ân Thi-Hng Yên ĐTCQ: 0321.3832216; NR: 03213832099; DĐ: 01668859018 Tài liệu tham khảo cho học sinh giỏi lớp ôn thi vào lớp 10 THPT chuyên Vũ Sỹ Hiệp Phó hiệu trởng Trờng THCS Hồng Quang-Ân Thi-Hng Yên Trờng Trung Học Cơ Sở Hồng Quang Sáng kiến kinh nghiệm "Dùng ẩn phụ để giải phơng trình" III Đối tợng nghiên cứu, Phạm vi nghiên cứu: Là phơng trình bậc cao phơng trình vô tỷ chơng trình THCS, đề thi chọn học sinh giỏi thi vào lớp 10 THPT chuyên năm gấn gải phải đặt ẩn phụ gải đợc; Đề tài dạy cho học sinh giỏi cấp trờng đợc tập trung bồi dỡng tuần ba buổi, buổi ba tiết từ đầu năm học đến thi chọn học sinh giỏi cấp huyện (cuối tháng 12) xong tiếp tục ôn luyện để thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh (đầu tháng 4) thi vào lớp 10 THPT chuyên (đầu tháng 7) IV Phơng pháp nghiên cứu: - Phơng pháp phân tích; - Phơng pháp tổng hợp đồ t duy; - Phơng pháp phân tích tổng hợp; - Phơng pháp khái quát hóa tổng hợp hóa; - Phơng pháp đặc biệt hóa V Kế hoạch nghiên cứu: Tổng hợp kiến thức viết thành đề cơng hớng dẫn chi tiết, lập kế hoạch chi tiết cho phần giai đoạn Chọn đối tợng học sinh tiến hành dạy chuyên đề song với việc trải nghệm thực tế đề thi có liên quan đến vấn đề cần giải Phần thứ hai Nội dung A Nội dung lý luận liên quan trực tiếp đến vấn đề nghiên cứu tổng kết kinh nghiệm (những kiến thức bản): I Hiểu ẩn phụ nh cho đầy đủ: Trớc hết ẩn phụ phải xem ẩn ban đầu cho toán Việc thay ẩn phụ mong rằng: Bài toán với ẩn phụ dễ giải toán cho Quy trình thống việc giải toán trờng hợp bao gồm hai bớc: Tài liệu tham khảo cho học sinh giỏi lớp ôn thi vào lớp 10 THPT chuyên Vũ Sỹ Hiệp Phó hiệu trởng Trờng THCS Hồng Quang-Ân Thi-Hng Yên Trờng Trung Học Cơ Sở Hồng Quang Sáng kiến kinh nghiệm "Dùng ẩn phụ để giải phơng trình" + Bớc 1: Xuất phát từ toán cho, chọn ẩn phụ thích hợp (có thể nhiều ẩn phụ) chuyển toán cho thành toán ẩn phụ + Bớc 2: Tìm ẩn phụ trở tìm ẩn số ban đầu II Dấu hiệu để nhận biết toán đặt ẩn phụ để giải: - Chỉ có toán mà đại lợng tham gia toán có mối liên hệ mà nhờ mối liên hệ này, đại lợng biểu diễn đợc qua đại lợng có khả đặt đợc ẩn phụ - Với toán mà ẩn phụ có tác dụng thay đổi dạng toán dấu hiệu dùng đợc ẩn phụ thông thờng biết, đợc đúc kết lý thuyết kinh nghiệm có tính chất kỹ viện, ví dụ nh việc đặt ẩn phụ để giải phơng trình trùng phơng - Toán lớp III Về việc tìm điều kiện cho ẩn phụ: Khi chuyển toán từ ẩn ban đầu sang toán ẩn phụ, công việc phải làm là: Chuyển điều kiện ẩn ban đầu sang điều kiện cho ẩn phụ đúng, xác * Ví dụ: Giải phơng trình: x + + 10 x = x2 + Điều kiện ban đầu x2 10 x 10 ; 10 x U = x + Đặt ẩn phụ: V = 10 x U V 10 Ta có hệ phơng trình: U + V = Với điều kiện ẩn phụ là: 2 U + V = 13 U V 10 B/ Thực trạng vấn đề nghiên cứu: Trong khuôn khổ chuyên đề, xin trình bầy hai loại mà thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT, THPT Chuyên ban, THPT khiếu thi học sinh giỏi cấp thờng gặp là: Giải phơng trình bậc cao phơng pháp đặt ẩn phụ giải phơng trình vô tỷ phơng pháp đặt ẩn phụ Tài liệu tham khảo cho học sinh giỏi lớp ôn thi vào lớp 10 THPT chuyên Vũ Sỹ Hiệp Phó hiệu trởng Trờng THCS Hồng Quang-Ân Thi-Hng Yên Trờng Trung Học Cơ Sở Hồng Quang Sáng kiến kinh nghiệm "Dùng ẩn phụ để giải phơng trình" C/ Mô tả giải pháp mà tác giả thực làm cho việc bồi dỡng học sinh giỏi có chất l ợng hiệu I Giải phơng trình bậc cao phơng pháp đặt ẩn phụ: Phơng trình bậc cao loại phơng trình mà cách giải phức tạp Trong chơng trình dạy học nhà trờng phổ thông vấn đề cha đợc đề cập sâu Phơng trình bậc cao đề cập đến loại phơng trình bậc hai, phơng trình trùng phơng Các phơng trình bậc cao với hệ số số thực cha có cách giải tổng quát, phơng trình giải đợc phơng trình đặc biệt, phơng trình cụ thể (dễ) Còn phơng trình phức tạp, phơng pháp giải cụ thể, học sinh lúng túng giải Để giải phơng trình bậc ba, bậc bốn ta dùng phép thử trực tiếp để tìm nghiệm đặc biệt, nhóm số hạng để phân tích thành tích đa thức bậc bậc hai Phơng pháp đặt ẩn phụ phơng pháp đợc áp dụng để giải số phơng trình loại Ta dùng ẩn phụ để đa phơng trình bậc thấp dễ giải Trong phần trình bầy cách giải số loại phơng trình bậc cao hay gặp kỳ thi chọn học sinh giỏi thi tuyển sinh phơng pháp đặt ẩn phụ (đổi biến số) nhằm hỗ trợ em học sinh số hiểu biết phơng trình bậc cao Phơng pháp tạo cho em có định hớng tốt tiếp xúc với phơng trình bậc cao, góp phần rèn luyện khả sáng tạo toán học Phơng trình dạng: a[f(x)]4 + b[f(x)]2 + c = (1) Trong đó: f(x) biểu thức chứa ẩn; a, b, c R Cách giải: Đối với phơng trình dạng ta đặt ẩn phụ để đa phơng trình bậc hai với ẩn phụ đó, tức ta đa phơng trình bậc thấp có cách giải đơn giản Đến ta thấy dễ dàng giải đợc phơng trình ta đa dạng phơng Tài liệu tham khảo cho học sinh giỏi lớp ôn thi vào lớp 10 THPT chuyên Vũ Sỹ Hiệp Phó hiệu trởng Trờng THCS Hồng Quang-Ân Thi-Hng Yên Trờng Trung Học Cơ Sở Hồng Quang Sáng kiến kinh nghiệm "Dùng ẩn phụ để giải phơng trình" trình mà sách giáo khoa đề cập rõ ràng cách giải (phơng trình bậc hai ẩn số) Giải phơng trình: ax2 + bx + c = 0; (a 0) c a C1: Nếu a + b + c = => x = 1; x = C2: Nếu a - b + c = => x = -1 ; x = - C3: Nếu 0; ( ' ) => x + x = - c a b c x x = => a a x1 = m x2 = n C4: Nếu b = 2b' => ' = b'2 - ac C5: Nếu b 2b' => = b2 - ac C6: Phân tích vế trái thành tích thừa số bậc (hạ bậc) để giải: A = A.B = B = Nh sách giáo khoa Toán trình bầy từ trang 40-53 * Ví dụ: Giải phơng trình: (x2 + 2x)4 - 15(x2 +2x)2 - 16 = 0; ( 1.1) Đặt: t = (x2 + 2x)2; Điều kiện t Khi phơng trình cho trở thành: t2 - 15t - 16 = Giải ta đợc giá trị: t = - (loại) t = 16 (nhận) Với t = 16, thay vào ta có: (x2 + 2x)2 = 16 x + 2x = x + x = x2 + x = x + x + = (Vn0 ) x1 = + x1 = Vậy phơng trình cho có nghiệm: x = -1 + x = - - Qua cách giải giáo viên khái quát để giải phơng trình dạng tổng quát a[f (x)]2n + b[f(x)]n + c = 0; ( 1) Trong đó: f(x) biểu thức chứa ẩn; a,b,c R Cách giải: Tài liệu tham khảo cho học sinh giỏi lớp ôn thi vào lớp 10 THPT chuyên Vũ Sỹ Hiệp Phó hiệu trởng Trờng THCS Hồng Quang-Ân Thi-Hng Yên Trờng Trung Học Cơ Sở Hồng Quang Sáng kiến kinh nghiệm "Dùng ẩn phụ để giải phơng trình" n Đặt: t = [f(x)] ; Điều kiện t n chẵn với cách đặt ẩn phụ ta đa phơng trình cho dạng: at2 + bt + c = 0; (1'.1) biết cách giải Phơng trình đẳng cấp biểu thức chứa ẩn: Dạng tổng quát: ay2 + byz + cz2 = 0; (2) Điều kiện: y = y(x); z = z(x); a, b, c R; a2 +b2 + c2 > Cách giải: Nếu z(x) = y(x) = không nghiệm (2) Chia vế (2) cho z2 (x) ta đợc: y z y z a( )2 + b( ) + c = y z Sử dụng phơng pháp đặt ẩn phụ cách đặt t = ( ) đa phơng trình dạng: at2 + bt + c = biết cách giải * Ví dụ 1: Giải phơng trình: 3(x2 - x + 1)2 - 2(x+ 1)2 = 5(x3+1); (2.1) 3(x2 - x + 1)2 - 5(x + 1)(x2 - x + 1) - 2(x+ 1)2 = Xét thấy x = - không nghiệm phơng trình, chia hai vế phơng trình cho: (x + 1)2 0, ta đợc: (ở y(x) = x2 - x + 1; z(x) = x + 1) 3.( x2 x +1 x2 x +1 ) 2=0 x +1 x +1 x2 x +1 Đặt: t = x +1 Phơng trình (2.1) trở thành: 3t2 - 5t - = Giải ta đợc: t = 2; t = - Thay vào ta có: x1 = + 13 13 x = 2 Là nghiệm phơng trình cho Tài liệu tham khảo cho học sinh giỏi lớp ôn thi vào lớp 10 THPT chuyên 10 Vũ Sỹ Hiệp Phó hiệu trởng Trờng THCS Hồng Quang-Ân Thi-Hng Yên Trờng Trung Học Cơ Sở Hồng Quang Sáng kiến kinh nghiệm "Dùng ẩn phụ để giải phơng trình" * Ví dụ 2: Giải phơng trình: (x + 3)4 - (x2 + x - 6)2 = 2(x - 2)4 ; ( 2.2) Ta biến đổi phơng trình để đa dạng tổng quát (2) x2 + x - = (x + 3)(x - 2) nên: (2.2) (x + 3)4 - (x + 3)2(x - 2)2 - 2(x-2)4 = Nhận xét: x = không nghiệm phơng trình, chia hai vế phơng trình cho: (x - 2)4 0, ta đợc: ( x+3 x+3 ) - ( ) -2=0 x2 x2 (ở ta thấy với y(x) = x+3 ; z(x) = x - 2) x2 Do dùng phơng pháp đặt ẩn phụ nh sau: Đặt t = ( x+3 ) ; Điều kiện t Ta có phơng trình là: t2 - t - = Đến x2 học sinh dễ dàng giải đợc tiếp Phơng trình dạng: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = m Hoặc [f(x) + a][f(x) + b][f(x) + c][f(x) + d] = m; (3) Thoả mãn điều kiện: a + b = c + d; v a + c = b + d; v a + d = b + c Cách giải: Biến đổi phơng trình cho tơng đơng với: [(f(x))2 + (a + b).f(x) + ab][(f(x))2 + (c + d).f(x) + cd] = m Do: a + b = c + d nên ta đặt : t = (f(x))2 + (a + b).f(x) + ab Khi phơng trình trở thành: t(t - ab + cd) = m t2 + (cd - ab)t - m = Đến việc giải tiếp dễ dàng Qua ta thấy đợc u điểm phơng pháp đặt ẩn phụ giải phơng trình bậc cao cách hạ bậc phơng trình ban đầu để đa dạng phơng trình bậc thấp có cách giải Tài liệu tham khảo cho học sinh giỏi lớp ôn thi vào lớp 10 THPT chuyên 11 Vũ Sỹ Hiệp Phó hiệu trởng Trờng THCS Hồng Quang-Ân Thi-Hng Yên Trờng Trung Học Cơ Sở Hồng Quang Sáng kiến kinh nghiệm "Dùng ẩn phụ để giải phơng trình" Chia vế cho x2 0, ta đợc (4.1) => (x + Đặt: t = x + 12 12 + 8)( x + + 7) =2 x x 12 + Ta có phơng trình: x t(t - 1) = t2 - t - = t = - 1; t = Giải lần lợt phơng trình: x + x + 12 +8=-1 x 12 + = Ta có nghiệm phơng trình cho x Phơng trình dạng: [f(x) + a]4 + [f(x) + b]4 = c; (5) Trong đó: f(x) biểu thức chứa x; a,b,c R Cách giải: Đặt: p = a+b ab ;q= => a = p + q ; b = p - q 2 Khi phơng trình trở thành: (f(x) + p + q)4 + (f(x) + p - q)4 = c Và đặt: t = f(x) +p Lúc ta đợc phơng trình tơng đơng sau: (t + q)4 + (t - q)4 = c Hay: 2t4 + 12q2t2 + 2q4 = c Nh vậy, ta đa phơng trình cha có hớng giải phơng trình có cách giải phơng trình với ẩn số t Mấu chốt ta áp dụng phơng pháp đặt ẩn phụ: t = t(x) + p * Ví dụ: Giải phơng trình: (x + 3)4 + (x +5)4 = 16; (5.1) Đặt: t = x + Ta có: (t -1)4 + (t+ 1)4 = 16 Tài liệu tham khảo cho học sinh giỏi lớp ôn thi vào lớp 10 THPT chuyên 13 Vũ Sỹ Hiệp Phó hiệu trởng Trờng THCS Hồng Quang-Ân Thi-Hng Yên Trờng Trung Học Cơ Sở Hồng Quang Sáng kiến kinh nghiệm "Dùng ẩn phụ để giải phơng trình" Hay: 2t + 12t + = 16 t4 + 6t2 - = Đặt y = t2; Điều kiện t => y2 + 6y - = => y = (nhận); y = -7 (loại) => t2 = t = x + = x = Thay vào ta có: x + = x = Vậy nghiệm phơng trình cho là: x1 = -3; x2= -5 Phơng trình lùi bậc 4: ax4 + bx3 + cx2 + dx + k = 0; (6) Hoặc: ax4 + bx3 + cx2 + b x + a2 = ( 6) * Ví dụ: Giải phơng trình: x4 - x3 - 10x2 + 2x + = 0; (6) Nhận thấy: = ; x = nghiệm phơng trình Chia hai vế phơng trình cho x2 0, ta đợc phơng trình mới: x => x2 + ( )2 - (x Đặt: t = x - ) - 10 =0 x x Phơng trình trở thành: t2 - t - = Giải ta đợc: t = 2; t2 = Với t = 2; x - = x2 - 2x - =0 x => x1 = + ; x = Với t = - 3; x - =-3 x x2 + 3x - = => x = + 17 17 x = 2 Tài liệu tham khảo cho học sinh giỏi lớp ôn thi vào lớp 10 THPT chuyên 14 Vũ Sỹ Hiệp Phó hiệu trởng Trờng THCS Hồng Quang-Ân Thi-Hng Yên Trờng Trung Học Cơ Sở Hồng Quang Sáng kiến kinh nghiệm "Dùng ẩn phụ để giải phơng trình" Vậy phơng trình cho có nghiệm là: x = + 3; x = ; x = + 17 17 ; x4= 2 Phơng trình lùi bậc 5: a x + a1 x + a x + a x + a13 x + a = ; (7) Trong đó: a 0; Nếu phơng trình có dạng trên, ta thấy x = - nghiệm Ta chia VT' cho x + đợc: (x + )(b0 x + b1 x + b2 x + b3 x + b4 ) = Trong đó: (b0 x + b1 x + b2 x + b3 x + b4 ) = phơng trình lùi bậc * Ví dụ: Giải phơng trình: x5 + x4 + x3 + 2x2 + 8x + 32 = 0; ( 7.1) Nhận thấy: = (7.1) (x - 2)(x4 - x3 + 3x2 - x + 16) = Hoặc: x - = x = Hoặc: x4 - x3 + 3x2 - 4x + 16 = Nhận xét: x = nghiệm Chia hai vế cho x2 ta đợc: 4 x2 + ( )2 - ( x + ) + = x x Đặt: t = x + ta đợc phơng trình mới: x t2 - t - = => t = 1+ 21 21 ;t = 2 Thay vào đợc hai phơng trình bậc hai với ẩn ban đầu x dễ dàng giải tiếp x + x + + 21 = x (1 + 21) x + = x 21 x (1 21) x + = = x II Giải phơng trình vô tỉ phơng pháp đặt ẩn phụ: Tài liệu tham khảo cho học sinh giỏi lớp ôn thi vào lớp 10 THPT chuyên 15 Vũ Sỹ Hiệp Phó hiệu trởng Trờng THCS Hồng Quang-Ân Thi-Hng Yên Trờng Trung Học Cơ Sở Hồng Quang Sáng kiến kinh nghiệm "Dùng ẩn phụ để giải phơng trình" Phơng trình vô tỉ phận quan trọng chơng trình toán học phổ thông Ngay từ đầu lớp học sinh làm quen dạng đơn giản (định nghĩa bậc hai số học) đặc biệt chơng trình ôn thi chọn học sinh giỏi thi tuyển sinh vào THPT, THPT chuyên ban THPT khiếu Vấn đề thật nặng so với trình độ học sinh cuối cấp THCS Song nhờ có chuyên đề mà học nhiều năm gần có nhiều học sinh thi đỗ học sinh giỏi cấp tỉnh thi đỗ vào THPT chuyên ban, khiếu nh em Nguyễn Trung Hiếu (HQ); Nguyễn Đình Tùng (HQ); Nguyễn Hữu Thịnh (HQ); Mai Văn Nguyên (HQ); Nguyễn Anh Tuấn; Vũ Khánh Chi; Nguyễn Thị Hờng (HV); Nguyễn Hồng Hạnh (HV) Phơng trình vô tỉ đợc hiểu phơng trình có ẩn số nằm dấu Khi xét phơng trình vô tỉ có nhiều phơng pháp giải, phơng pháp phổ biến thờng dùng biễn đổi phơng trình cho thành chơng trình tơng đơng, cách luỹ thừa hai vế để giảm bớt thức (phơng pháp hữu tỉ hoá - đ/n bậc hai số học), dùng số phơng pháp đặc biệt khác Một phơng pháp mà không đề cập tới là: Phơng pháp đổi biến số (hay đặt ẩn phụ) Trong phần trình bầy ứng dụng phơng pháp đặt ẩn phụ vào giải phơng trình vô tỉ phổ biến hay gặp đề thi gần đây, nhằm nâng cao hiểu biết đặc biệt rèn luyện khả sáng tạo, khám phá học sinh giỏi toán Trớc vào cụ thể, ta cần lu ý số kiến thức sau: a 0, x a = x 2 x = ( a ) = a a có nghĩa a A = A = A A = - A A < A.B = A = B A B ( A ;B ) A B ( A 0; B > 0) A B = A B ; (B ) Tài liệu tham khảo cho học sinh giỏi lớp ôn thi vào lớp 10 THPT chuyên 16 Vũ Sỹ Hiệp Phó hiệu trởng Trờng THCS Hồng Quang-Ân Thi-Hng Yên Trờng Trung Học Cơ Sở Hồng Quang Sáng kiến kinh nghiệm "Dùng ẩn phụ để giải phơng trình" A = B B AB ; ( AB 0; B ) = A m B ; (A 0; B 0; A B) A B A B a = x a = x3 A3 B = A2 m AB + B ; (A B ) A B * Ví dụ: Giải phơng trình: 10 x + = 3(x2 - x + 6); (1) Điều kiện x - Để phát ẩn phụ, ta tìm mối liên hệ biểu thức chứa ẩn tham gia phơng trình là: x+ 2; x2 - x + x2 - 2x + Dễ thấy rằng: (x+2) ( x2 - 2x + 4) = x3 + Chắc nghĩ đến mối liên hệ thể hệ thức sau: (x+2)(x2 - 2x + 4) = x2 - x + Khi phơng trình (1) đợc biến đổi dạng: 10 x + - x x + = 3[(x+2) +(x - 2x + 4)] ẩn phụ xuất ta chia hai vế cho x - 2x + , x R Phơng trình biến đổi dạng: x+2 x+2 = 3[ +1] x 2x + x 2x + 10 Đặt U = x+2 ; Điều kiện U x 2x + Thì phơng trình với ẩn phụ u có dạng: 3U - 10U + = U = U = Tài liệu tham khảo cho học sinh giỏi lớp ôn thi vào lớp 10 THPT chuyên 17 Vũ Sỹ Hiệp Phó hiệu trởng Trờng THCS Hồng Quang-Ân Thi-Hng Yên Trờng Trung Học Cơ Sở Hồng Quang Sáng kiến kinh nghiệm "Dùng ẩn phụ để giải phơng trình" Trở tìm x, cách giải hai phơng trình: x+2 = 9x2 - 19x + 34 = (Phơng trình vô nghiệm) x 2x + x+2 = x2 - 11x - 14 = x 2x + Vậy phơng trình có nghiệm : x = x = 11 177 (nhận) 11 + 177 11 177 ; x2 = 2 * Ví dụ2: Giải phơng trình: x x + x + x = 2; (2) Nhận xét : x x x + x = 1; Với x Đặt t = x x ; Điều kiện: t Ta đa đợc (2) phơng trình: t+ =2 t Hay: t2 - 2t + 1= (t -1)2 = t = Với t = thay vào ta có: x x =1 x x = x x = x-1 2 x = (nhận) x 1= ( x 1) Vậy nghiệm phơng trình x = * Ví dụ : Giải phơng trình: x + 13 x = ; (3) x Điều kiện: x 13 13 x Ta sử dụng phơng pháp đổi biến số: Tài liệu tham khảo cho học sinh giỏi lớp ôn thi vào lớp 10 THPT chuyên 18 Vũ Sỹ Hiệp Phó hiệu trởng Trờng THCS Hồng Quang-Ân Thi-Hng Yên Trờng Trung Học Cơ Sở Hồng Quang Sáng kiến kinh nghiệm "Dùng ẩn phụ để giải phơng trình" U = x Đặt V = 13 x ; Điều kiện U 0;V U = x Ta có : U2 + V2 = 13 V = 13 x Giải phơng trình (3) tơng đơng với việc giải hệ phơng trình sau: U + V = 13 (U + V ) 2UV = 13 U + V = U + V = UV = U + V = U = 2;V = U = 3;V = (loại) Vậy phơng trình vô nghiệm * Ví dụ 4: Giải phơng trình: (4x- 1) x + =2x2 + 2x + 1; (4) Để khử tính vô tỉ, ta chọn u = x + để làm xuất u2 = x2 + 1, phơng trình cho biến đổi dạng (4x - 1) x + = 2( x + 1) + (2 x 1) (4x - 1)u = 2u2 + (2x-1) 2u - (4x-1)u - (2x+1) = Đây rõ ràng phơng trình ẩn u mà hệ số chữa x Có: = (4x - 1)2 - 8(2x+1) = (4x - 3) 0; x R Phơng trình ẩn phụ u có nghiệm là: x x ( x 3) u= = (loai ) Trở tìm x, ta giải phơng trình: x2 + = 2x Tài liệu tham khảo cho học sinh giỏi lớp ôn thi vào lớp 10 THPT chuyên 19 Vũ Sỹ Hiệp Phó hiệu trởng Trờng THCS Hồng Quang-Ân Thi-Hng Yên Trờng Trung Học Cơ Sở Hồng Quang Sáng kiến kinh nghiệm "Dùng ẩn phụ để giải phơng trình" x 2 x + = (2 x 1) x x = 3 x x = Vậy phơng trình cho có nghiệm là: x = =1 3 * Ví dụ 5: Giải phơng trình: x2 + x + =5; (5) Điều kiện: x , ta chọn u = x + ; u u = + x Ta có hệ phơng trình: x = u (Là hệ hai phơng trình hai ẩn, ẩn x ẩn u) Ta có hệ phơng trình tơng đơng sau: u = x + 2 u x = u + x u + x = u = x + u x = u = x + u = x + (u + x)(u x 1) = u = x (a) u = x + u = x + (b) u = x + Từ hệ (a) ta thu đợc phơng trình: x2 - x - = x= + 21 (loại u ) x= 21 (nhận) Từ hệ (b) ta có phơng trình: x= x2 + x - = + 17 (nhận) Tài liệu tham khảo cho học sinh giỏi lớp ôn thi vào lớp 10 THPT chuyên 20 Vũ Sỹ Hiệp Phó hiệu trởng Trờng THCS Hồng Quang-Ân Thi-Hng Yên Trờng Trung Học Cơ Sở Hồng Quang Sáng kiến kinh nghiệm "Dùng ẩn phụ để giải phơng trình" x= 17 (loại u ) Vậy thoả mãn điều kiện x , phơng trình có hai nghiệm là: x1= + 17 21 x = 2 III - hệ thống tập vận dụng: Trong phần xin trình bày thêm số tập tơng tự đợc su tập từ tài liệu tham khảo nhằm cho học sinh giỏi có nhiều bài tập áp dụng Hỗ trợ tích cực cho ví dụ dạng giúp học sinh tập dợt nghiêm cứu tìm tòi sáng tạo lời giải x4 - 7x3 + 8x2 + 7x + = ĐS: x1 = 2; x2 = + 2; x3 = x4 - x3 - 10x2 + 2x + = 0; 29 + 29 ; x4 = 2 ĐS: x = + 3; x2 = 3; x3,4 = 17 x 48 x + =10( + ) ; x2 x ĐS: x 1,2 = (2x -1)(2x+3)(x+2)(x+4) + = 0; ĐS: x1,2 = 73 ; x = 1; x = 1 + = ; ( x + 1) x( x + 2) 12 ĐS : Vô nghiệm 3x 2x = ; x + x + ( x + x + 1) ĐS: Vô nghiệm (x - 1) (x - 3)(x + 5)(x + 7) = 297; ĐS: x1 = 4; x2 = 8 (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12; ĐS: x1 =1; x2 =2 x(x+1)(x+2)(x+3) = 3; ĐS: x1,2 =3 13 Tài liệu tham khảo cho học sinh giỏi lớp ôn thi vào lớp 10 THPT chuyên 21 Vũ Sỹ Hiệp Phó hiệu trởng Trờng THCS Hồng Quang-Ân Thi-Hng Yên Trờng Trung Học Cơ Sở Hồng Quang Sáng kiến kinh nghiệm "Dùng ẩn phụ để giải phơng trình" 10 x(x + 1)(x -1)(x + 2) = 24; ĐS: x1 = 3; x2 = 11 (x -4)(x - 5)(x - 6)(x - 7) = 1680; ĐS: x = 1; x2 = 12 12 (2x + 1)( x + 1)2(2x + 3) = 18; ĐS: x1 = ; x2 = 13 (x2 - 6x + 9)2 - 15(x2 - 6x + 10) = 1; ĐS: x = 1; x2 = 14 (x2 + x - 2)(x2 + x - 3) = 12; ĐS: x = 2; x = 15 3(x2 + 1 19 ) = ( x )+ ; x x2 ĐS: x1 = ; x2 = 16 ( 2 17 + 17 ; x 3= ; x4 = 4 x+2 x+2 ) +6 = 0; x x ĐS: x = 4; x = 2,5 17 6x4 + 7x3 - 36x2 - 7x + = 0; 1 ĐS: x = 2; x = ; x3 = 3; x = 18 x4 + (x-1)4 = 97; ĐS: x1 = 3; x2 = 19 (x + 1)4 + (x - 3)4 = 82; ĐS: x = 1; x = 20 (x - 1)4 + (x -2)4 = 1; ĐS: x = 1; x = 21 (x - 7)4 + (x - 8) = 82; ĐS: x1 = 7; x2 = 4 2 2001 x + x x + 2001 + x 22 = 2001 ; 2000 ĐS: x = + 8001 ; x2 = + 8001 23 3x2 + x x + x + = x 15 x 24 x2 - 2x + 2(x+1) 25 ( x 3)( x + 1) = (5 ) x + (5 + ) x = 10 ; ĐS: Vô nghiệm ĐS: Vô nghiệm ĐS: x = 2; x = Tài liệu tham khảo cho học sinh giỏi lớp ôn thi vào lớp 10 THPT chuyên 22 Vũ Sỹ Hiệp Phó hiệu trởng Trờng THCS Hồng Quang-Ân Thi-Hng Yên Trờng Trung Học Cơ Sở Hồng Quang Sáng kiến kinh nghiệm "Dùng ẩn phụ để giải phơng trình" x 14 26 x = 3; ĐS: x 3+ x 27 - 14 3x + + 34 x + = 0; ĐS: x = Phần thứ ba Kết luận Những kết luận, đánh giá nội dung, ý nghĩa, hiệu SKKN: Nhiều năm học qua, thờng xuyên đợc Ban giám hiệu nhà trờng giao trọng trách tuyển chọn bồi dỡng học sinh giỏi môn Toán Vật lý nhà trờng Năm học trờng có học sinh giỏi cấp huyện, đợc cấp tuyên dơng động viên khích lệ Niềm vui nối tiếp niềm vui, năm học từ năm 1991-2008, góp phần nhỏ bé vào thành tích mũi nhọn nhà trờng nói riêng huyện nhà nói chung, với đồng nghiệp đào tạo đợc nhiều em học sinh giỏi cấp huyện có em đợc dự thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh, nh em học sinh: Trần Thị Vân T6 (HV); TRần Thị Hải Minh T9 (HL); Đỗ Thị Minh T9 (HL); Nguyễn Thị Thắm T7 (HL); Nguyễn Thành Trung T7,8,9 (HL); Nguyễn Duy Hiếu T6 (HL); Nguyễn Thị Hạnh T7 (HL); Nguyễn Xuân Hiệp T9 (HQ); Vũ Đình Đạt L8 (HQ); Nguyễn Thị Toán T9 (HV); Mai Văn Nguyên L9 (HQ); Mai Duy Thành T9 (HQ); Nguyễn Hồng Hạnh L9 (HV); Nguyễn Thị Hờng T9 (HV); Nguyễn Trung Hiếu T6,7,8,9 (HQ); Nguyễn Hữu Thịnh L9 (HQ); Nguyễn Anh Tuấn T6,9 (HQ); Vũ Khánh Chi T8,9 Có đợc thành tích nh vậy, phải nhờ đến đạo Phòng Giáo dục Đào tạo huyện Ân Thi, Ban giám hiệu, quyền địa phơng bạn bè đồng nghiệp định hớng, tạo điều kiện tốt cho đợc xây dựng bồi dỡng đào tạo mũi nhọn học sinh giỏi nhiều năm qua Chính mà có nhiều chuyên đề nhỏ, sáng kiến kinh nghiệm cá nhân đợc thể kiểm nghiệm qua thực tế dạy học liên tục Một chuyên đề thành công chuyên đề: "Dùng ẩn phụ để giải phơng trình" tài liệu dùng bồi dỡng học sinh giỏi toán trang tham khảo bổ ích cho học Tài liệu tham khảo cho học sinh giỏi lớp ôn thi vào lớp 10 THPT chuyên 23 Vũ Sỹ Hiệp Phó hiệu trởng Trờng THCS Hồng Quang-Ân Thi-Hng Yên Trờng Trung Học Cơ Sở Hồng Quang Sáng kiến kinh nghiệm "Dùng ẩn phụ để giải phơng trình" sinh ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên ban A lớp 10 THPT Năng khiếu lớp Toán-Lý-Hoá Có đối tợng học sinh hiếu học, có định hớng cấp lãnh đạo, có đồng tình ủng hộ phụ huynh học sinh có đội ngũ giáo viên tốt, có học sinh giỏi "sẽ có" có sau bồi dỡng năm mà phải đến năm miễn là, không sợ chê bai, không dấu dốt Phải kiên trì, cần cụ, nhẫn lại có lòng tin Để có kết lớp ta phải định hớng bồi dỡng đào tạo từ lớp chí trớc lớp (học sinh Tiểu học) Để học sinh tiếp thu "tiêu hoá" đợc đề tài thật học sinh phải đủ khả năng, lĩnh toán học cần thiết từ trớc (đã đợc trang bị) Tuy nhiên với khả có hạn kinh nghiệm cha nhiều, nên viết chuyên đề tránh khỏi thiếu sót hạn chế, nhng với ý thức phấn đấu vơn lên, mạnh dạn thể trớc độc giả mong nhận đợc nhiều ý kiến đóng góp phê bình Ban giám khảo, bạn bè đồng nghiệp để lần sau viết tốt Những đề xuất, khuyến nghị: Để đề ti sáng kiến kinh nghiệm giáo đ ợc viết áp dụng có hiệu thiết thực nữa, đề nghị cấp chấm sáng kiến kinh nghiệm cấp giấy chứng nhận cho sáng kiến kinh nghiệm đoạt giải; Về phía nhà trờng, đề nghị tạo điều kiện thuận lợi giáo viên học sinh đợc trải nghiệm thực tế kiểm nghiệm sáng kiến kinh nghiệm đoạt giải cao năm trớc làm học kinh nghiệm tốt Tôi xin chân thành cảm ơn./ Hồng Quang, tháng năm 2012 Ngời viết Vũ Sỹ Hiệp Tài liệu tham khảo cho học sinh giỏi lớp ôn thi vào lớp 10 THPT chuyên 24 Vũ Sỹ Hiệp Phó hiệu trởng Trờng THCS Hồng Quang-Ân Thi-Hng Yên Trờng Trung Học Cơ Sở Hồng Quang Sáng kiến kinh nghiệm "Dùng ẩn phụ để giải phơng trình" Phần thứ tài liệu tham khảo - Sách giáo khoa sách tập toán lớp 8, NXB Bộ GD&ĐT - Bài tập: Nâng cao số chuyên đề toán Bùi Văn Tuyên - Nâng cao phát triển toán tập 1,2 Vũ Hữu Bình - Nâng cao phát triển toán tập 1,2 Vũ Hữu Bình - Một số vấn đề phát triển đại số Vũ Hữu Bình - 23 chuyên đề giải 1001 toán sơ cấp Nguyễn Văn Vĩnh - Các đề thi chọn học sinh giỏi cấp đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên tỉnh Hng Yên năm gần Nhận xét Hội đồng chấm sáng kiến kinh nghiệm trờng THCS Hồng Quang-Ân Thi-Hng Yên: Tài liệu tham khảo cho học sinh giỏi lớp ôn thi vào lớp 10 THPT chuyên 25 Vũ Sỹ Hiệp Phó hiệu trởng Trờng THCS Hồng Quang-Ân Thi-Hng Yên Trờng Trung Học Cơ Sở Hồng Quang Sáng kiến kinh nghiệm "Dùng ẩn phụ để giải phơng trình" Nhận xét Hội đồng chấm sáng kiến kinh nghiệm Phòng giáo dục đào tạo huyện Ân Thi: Nhận xét Hội đồng chấm sáng kiến kinh nghiệm Sở giáo dục đào tạo tỉnh Hng Yên: Tài liệu tham khảo cho học sinh giỏi lớp ôn thi vào lớp 10 THPT chuyên 26 Vũ Sỹ Hiệp Phó hiệu trởng Trờng THCS Hồng Quang-Ân Thi-Hng Yên Trờng Trung Học Cơ Sở Hồng Quang Sáng kiến kinh nghiệm "Dùng ẩn phụ để giải phơng trình" Tài liệu tham khảo cho học sinh giỏi lớp ôn thi vào lớp 10 THPT chuyên 27 Vũ Sỹ Hiệp Phó hiệu trởng Trờng THCS Hồng Quang-Ân Thi-Hng Yên [...]... Sáng kiến kinh nghiệm "Dùng ẩn phụ để giải phơng trình" 2 x 1 0 2 2 2 x + 1 = (2 x 1) 1 x 4 x = 2 3 3 x 2 4 x = 0 Vậy phơng trình đã cho có một nghiệm là: x = 4 1 =1 3 3 * Ví dụ 5: Giải phơng trình: x2 + x + 5 =5; (5) Điều kiện: x 5 , ta chọn u = x + 5 ; u 0 u 2 = 5 + x Ta có hệ phơng trình: 2 x = 5 u (Là hệ hai phơng trình hai ẩn, ẩn x và ẩn u) Ta có hệ phơng trình tơng đơng sau:... nghiệm "Dùng ẩn phụ để giải phơng trình" U = x Đặt V = 13 x ; Điều kiện U 0;V 0 U 2 = x Ta có : 2 U2 + V2 = 13 V = 13 x Giải phơng trình (3) tơng đơng với việc giải hệ phơng trình sau: U 2 + V 2 = 13 (U + V ) 2 2UV = 13 U + V = 1 U + V = 1 UV = 6 U + V = 1 U = 2;V = 3 U = 3;V = 2 (loại) Vậy phơng trình vô nghiệm * Ví dụ 4: Giải phơng trình: (4x- 1) x 2 + 1 =2x2 + 2x + 1; (4) Để. .. Quang Sáng kiến kinh nghiệm "Dùng ẩn phụ để giải phơng trình" A 1 = B B AB ; ( AB 0; B 0 ) 1 = A m B ; (A 0; B 0; A B) A B A B 3 a = x a = x3 1 3 A3 B = 3 A2 m AB + 3 B 2 ; (A B ) A B 3 * Ví dụ: Giải phơng trình: 10 x 3 + 8 = 3(x2 - x + 6); (1) Điều kiện x - 2 Để phát hiện ẩn phụ, ta hãy tìm các mối liên hệ giữa các biểu thức chứa ẩn tham gia trong phơng trình đó là: x+ 2; x2 - x + 6 và... nhất của tôi đó là chuyên đề: "Dùng ẩn phụ để giải phơng trình" tài liệu dùng bồi dỡng học sinh giỏi toán và là trang tham khảo rất bổ ích cho học Tài liệu tham khảo cho học sinh giỏi lớp 9 và ôn thi vào lớp 10 THPT chuyên 23 của Vũ Sỹ Hiệp Phó hiệu trởng Trờng THCS Hồng Quang-Ân Thi-Hng Yên Trờng Trung Học Cơ Sở Hồng Quang Sáng kiến kinh nghiệm "Dùng ẩn phụ để giải phơng trình" sinh ôn thi tuyển sinh... Trung Học Cơ Sở Hồng Quang Sáng kiến kinh nghiệm "Dùng ẩn phụ để giải phơng trình" Trở về tìm x, bằng cách giải hai phơng trình: x+2 = 3 9x2 - 19x + 34 = 0 (Phơng trình vô nghiệm) x 2x + 4 2 1 x+2 = x2 - 11x - 14 = 0 2 x 2x + 4 3 Vậy phơng trình có 2 nghiệm : x 1 = x = 11 177 (nhận) 2 11 + 177 11 177 ; x2 = 2 2 * Ví dụ2: Giải phơng trình: x x 2 1 + x + x 2 1 = 2; (2) Nhận xét : x... Cách giải: Đặt: p = a+b ab ;q= => a = p + q ; b = p - q 2 2 Khi đó phơng trình trở thành: (f(x) + p + q)4 + (f(x) + p - q)4 = c Và đặt: t = f(x) +p Lúc này ta đợc phơng trình tơng đơng sau: (t + q)4 + (t - q)4 = c Hay: 2t4 + 12q2t2 + 2q4 = c Nh vậy, ta đã đa phơng trình cha có hớng giải về phơng trình đã có cách giải là phơng trình với ẩn số mới là t Mấu chốt ở đây là ta áp dụng phơng pháp đặt ẩn phụ: ... Trung Học Cơ Sở Hồng Quang Sáng kiến kinh nghiệm "Dùng ẩn phụ để giải phơng trình" Chia cả 2 vế cho x2 0, ta đợc (4.1) => (x + Đặt: t = x + 12 12 + 8)( x + + 7) =2 x x 12 + 8 Ta có phơng trình: x t(t - 1) = 2 t2 - t - 2 = 0 t 1 = - 1; t 2 = 2 Giải lần lợt 2 phơng trình: x + và x + 12 +8=-1 x 12 + 8 = 2 Ta có nghiệm của phơng trình đã cho x 5 Phơng trình dạng: [f(x) + a]4 + [f(x) + b]4 = c; (5)... Hờng (HV); Nguyễn Hồng Hạnh (HV) Phơng trình vô tỉ đợc hiểu là phơng trình có ẩn số nằm trong dấu căn Khi xét phơng trình vô tỉ có rất nhiều phơng pháp giải, một phơng pháp khá phổ biến thờng dùng là biễn đổi phơng trình đã cho thành chơng trình tơng đơng, bằng cách luỹ thừa cả hai vế để giảm bớt căn thức (phơng pháp hữu tỉ hoá - đ/n căn bậc hai số học), hoặc dùng một số phơng pháp đặc biệt khác Một... kiến kinh nghiệm "Dùng ẩn phụ để giải phơng trình" * Ví dụ: Giải phơng trình: (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = 3; (3.1) a = 1, b = 2, c = 3, d = 4 Ta thấy: a + d = b + c Do đó: (3.1) (x+1)(x+4)(x+2)(x+3) = 3 (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) = 3 Đặt: t = x2 + 5x + 4; Khi đó (3.1) trở thành t(t + 2) = 3 t2 + 2t - 3 = 0 Giải ra ta đợc: t 1 = 1 và t 2 = -3 Cuối cùng ta đợc nghiệm của phơng trình là: x1 = 5... Sáng kiến kinh nghiệm "Dùng ẩn phụ để giải phơng trình" Phơng trình vô tỉ là một bộ phận quan trọng trong chơng trình toán học phổ thông Ngay từ đầu lớp 9 học sinh đã làm quen ở dạng đơn giản (định nghĩa căn bậc hai số học) đặc biệt là chơng trình ôn thi chọn học sinh giỏi và thi tuyển sinh vào THPT, THPT chuyên ban và THPT năng khiếu Vấn đề này quả thật là khá nặng so với trình độ học sinh cuối cấp ... nghiệm "Dùng ẩn phụ để giải phơng trình" Dùng ẩn phụ, ta đa từ phơng trình phức tạp, phơng trình bậc cao, phơng trình vô tỉ phơng trình bậc thấp hơn, đơn giản phơng trình biết cách giải Ví dụ 1: Giải. .. chuyên đề: "Dùng ẩn phụ để giải phơng trình" viết trớc Việc dùng ẩn phụ để giải phơng trình coi đờng lối chủ yếu để giúp giáo viên, học sinh có cách nhìn sâu hơn, rộng giải phơng trình, đặc biệt... phơng trình hệ phơng trình đờng lối giải Nếu dùng số thuật giải việc giải phơng trình dễ dàng Một thuật giải mà muốn trình bầy là: "Dùng ẩn phụ để giải phơng trình" II Mục đích SKKN: Đây kiến thức