sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình lượng giác

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI TRƯỜNG THPT SỐ 2 TP LÀO CAI * * * SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: " SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC" Môn: Toán Người thực hiện : Vũ Thị Kim Oanh Giáo viên môn Toán Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Năm học : 2011 – 2012 Sử dụng PP đặt ẩn phụ để giải PT lượng giác Vũ Thị Kim Oanh - THPT số 2 TP Lào Cai Chuyên đề: " Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình lượng giác " A. MỞ ĐẦU I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Phương trình lượng giác là một trong những kiến thức cơ bản của chương trình Đại số và giải tích 11 nói riêng và chương trình Toán phổ thông nói chung. Có nhiều cách để giải một phương trình lượng giác - một trong những cách thường sử dụng là: Phương pháp đặt ẩn phụ. Trong Sách giáo khoa Đại số và giải tích lớp 11 hiện hành, chưa hình thành rõ nét phương pháp đặt ẩn phụ khi giải các phương trình lượng giác nên học sinh bước đầu còn khó khăn khi vận dụng. Song một số bài toán lượng giác giải bằng phương pháp này sẽ đơn giản và tối ưu hơn các phương pháp khác, hơn nữa trong các đề thi Đại học - Cao đẳng thường xuất hiện các loại toán này. Vì vậy, tôi viết đề tài này để giúp học sinh hình thành kĩ năng giải phương trình lượng giác bằng phương pháp đặt ẩn phụ và nâng cao thêm kiến thức cho các em. II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: Trong đề tài này tôi chia thành 3 nội dung chính cần làm rõ sau: 1. Đặt điều kiện và kiểm tra điều kiện. 2. Kết hợp nghiệm. 3. Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình lượng giác . Với mỗi nội dung được trình bày theo một hệ thống lô gíc chặt chẽ từ các bài toán đơn giản, đến phức tạp phân tích vấn đề. Từ đó hình thành kĩ năng giải phương trình lượng giác bằng phương pháp đặt ẩn phụ. III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: Các kiến thức về phương trình lượng giác trong chương trình toán THPT . IV. ĐỐI TƯỢNG KHẢO SÁT, THỰC NGHIỆM : 1. Ôn tập kiến thức cơ bản cho học sinh 11 chương trình cơ bản. 2. Ôn thi ĐH. V. PHẠM VI VÀ KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU : 1. Phạm vi nghiên cứu: Trường THPT số 2 Thành phố Lào Cai 2. Kế hoạch nghiên cứu: - Thời gian bắt đầu: Tháng 09 năm 2011. 2 Sử dụng PP đặt ẩn phụ để giải PT lượng giác Vũ Thị Kim Oanh - THPT số 2 TP Lào Cai - Thời gian hoàn thành: Tháng 12 năm 2011. VI. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Nghiên cứu tài liệu liên quan đến đề tài. - Quan sát, điều tra. - Tổng kết kinh nghiệm. - Lập bảng biểu, thống kê … 3 Sử dụng PP đặt ẩn phụ để giải PT lượng giác Vũ Thị Kim Oanh - THPT số 2 TP Lào Cai B. NỘI DUNG I. CƠ SỞ KHOA HỌC 1. Cơ sở lý luận. * Các công thức biến đổi lượng giác. a) Công thức cộng: cos(a - b) = cosacosb + sinasinb ; cos(a + b) = cosacosb - sinasinb sin(a + b) = sinaccosb + cosasinb ; sin(a - b) = sinacosb - cosasinb tan tan tan( ) 1 tan .tan a b a b a b ± ± = m b) Công thức nhân đôi: cos2a = cos 2 a - sin 2 a = 2cos 2 a - 1 = 1- 2sin 2 a ; sin2a = 2sinacosa 2 2tan tan 2 , 1 tan 2 4 2 a a a k a k a π π π π   = ≠ + ≠ +  ÷ −   c) Công thức hạ bậc: 2 1 cos2 cos 2 a a + = ; 2 1 cos2 sin 2 a a − = d) Công thức biến đổi: - Tích thành tổng: [ ] 1 cos cos cos( ) cos( ) 2 a b a b a b= + + − [ ] 1 sin sin cos( ) cos( ) 2 a b a b a b= − − + [ ] 1 sin cos sin( ) sin( ) 2 a b a b a b= + + − - Tổng thành tích: cos cos 2cos cos 2 2 a b a b a b + − + = cos cos 2sin sin 2 2 a b a b a b + − − = − sin sin 2sin cos 2 2 a b a b a b + − + = sin sin 2cos sin 2 2 a b a b a b + − − = 4 Sử dụng PP đặt ẩn phụ để giải PT lượng giác Vũ Thị Kim Oanh - THPT số 2 TP Lào Cai * Phương trình lượng giác cơ bản. a) Phương trình sinx = a : - Trường hợp 1a > : Phương trình vô nghiệm. - Trường hợp 1a ≤ : Phương trình có các nghiệm là: 2 ( ) 2 x k k Z x k α π π α π = +  ∈  = − +  với sin a α = Nếu số thực α thỏa mãn điều kiện 2 2 sin a π π α α  − ≤ ≤    =  thì ta viết arcsina α = . Khi đó, phương trình có các nghiệm là: 2 ( ) 2 x k k Z x k π π π = +  ∈  = − +  arcsina arcsina b) Phương trình cosx = a : - Trường hợp 1a > : Phương trình vô nghiệm. - Trường hợp 1a ≤ : Phương trình có các nghiệm là: 2x k α π = ± + ( )k Z∈ với c a α =os Nếu số thực α thỏa mãn điều kiện 0 c a α π α ≤ ≤   =  os thì ta viết arccosa α = . Khi đó, phương trình có các nghiệm là: 2x k π = ± +arccosa ( )k Z∈ c) Phương trình tanx = a : - Điều kiện của phương trình : 2 x k π π ≠ + ( )k Z∈ Phương trình có các nghiệm là: x k α π = + ( )k Z∈ với tan a α = Nếu số thực α thỏa mãn điều kiện 2 2 tan a π π α α  − < <    =  thì ta viết arctana α = . Khi đó, phương trình có các nghiệm là: x k π = +arctana ( )k Z∈ d) Phương trình cotx = a : - Điều kiện của phương trình : x k π ≠ ( )k Z∈ Phương trình có các nghiệm là: x k α π = + ( )k Z∈ với cot a α = 5 Sử dụng PP đặt ẩn phụ để giải PT lượng giác Vũ Thị Kim Oanh - THPT số 2 TP Lào Cai Nếu số thực α thỏa mãn điều kiện 0 cot a α π α < <   =  thì ta viết arccota α = . Khi đó, phương trình có các nghiệm là: x k π = +arccota ( )k Z∈ 2. Cơ sở thực tiễn. Phần lý thuyết về cách giải phương trình lượng giác bằng phương pháp đặt ẩn phụ trong sách giáo khoa hiện hành được viết lồng vào cách giải của một phương trình lượng giác cụ thể nên chưa được tách biệt rõ. Các kiến thức có liên quan về phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình lượng giác được trình bày khá đơn giản, hệ thống ví dụ chưa phong phú. Chính vì vậy khi sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình lượng giác các em học sinh còn lúng túng, việc định hướng còn gặp nhiều khó khăn. Các bài tập trong sách giáo khoa còn ít và không đa dạng nên gây khó khăn cho học sinh khi ôn tập về dạng toán này đặc biệt là ôn thi Đại học – Cao đẳng. Qua khảo sát thực tiễn đối với 40 học sinh lớp 11, kết quả đạt được như sau: Kết quả Số học sinh Tỷ lệ Điểm giỏi 1 2,5% Điểm khá 5 12,5% Điểm trung bình 13 32,5% Điểm yếu 10 25% Điểm kém 11 27,5% II. MÔ TẢ, PHÂN TÍCH CÁC GIẢI PHÁP. 1. ĐẶT ĐIỀU KIỆN VÀ KIỂM TRA ĐIỀU KIỆN. - Đối với việc giải phương trình lượng giác bước đặt điều kiện cho phương trình là một bước làm quan trọng không thể bỏ qua, nó quyết định việc tìm ra nghiệm là đúng hay sai. - Hầu hết các bài tập ta đều đưa ra điều kiện cụ thể của ẩn. Song một số bài tập ta chỉ cần đưa ra điều kiện trung gian mà không cần đưa ra điều kiện cụ thể của ẩn vì điều đó là không cần thiết hoặc phức tạp. Ví dụ 1: Giải phương trình: 1cot )sin(cos2 2cottan 1 − − = + x xx xx (1) Giải: 6 Sử dụng PP đặt ẩn phụ để giải PT lượng giác Vũ Thị Kim Oanh - THPT số 2 TP Lào Cai Điều kiện :    ≠ ≠ ⇔          ≠ ≠ ≠ ≠− ≠+ 1cot 02sin 02sin 0cos 0sin 01cot 02cottan x x x x x x xx (*) Với điều kiện (*) : xxx xxxxx x x x x xx 2sin 1 2sin.cos )sin21(coscos.sin2.sin 2sin 2cos cos sin 2cottan 2 = −+ =+=+ x xx x sin sincos 1cot − =− Do đó: 2 2 cos sincos sin).sin(cos2 2sin)1( =⇔ − − =⇔ x xx xxx x Kết hợp với điều kiện (*) ta được : π π 2 4 kx +−= , Zk ∈ Kết luận : Phương trình đã cho có các nghiệm là π π 2 4 kx +−= , Zk ∈ *, Như vậy: Với cách đặt điều kiện dưới dạng điều kiện trung gian (*) đã giúp ta giải bài toán dễ dàng hơn vì việc tìm ra điều kiện của x thoả mãn (*) khá phức tạp trong khi giải phương trình ta chỉ cần kiểm tra điều kiện dưới dạng hệ điều kiện (*) là đủ. - Khi giải phương trình lượng giác thì bước kiểm tra điều kiện cũng là một trong những bước quan trọng giúp ta định hướng lời giải và tìm ra những nghiệm đúng của phương trình đã cho. Bước kiểm tra điều kiện chỉ đơn thuần là so sánh xem ẩn tìm được đã thoả mãn điều kiện đặt ra hay chưa? Song với một số bài tập bước kiểm tra điều kiện không chỉ có vậy, nó còn bao gồm cả việc kiểm tra ẩn và một số yếu tố có liên quan đến ẩn khác nữa có thoả mãn giả thiết của bài toán đưa ra hay không? Ví dụ 2: Cho 4 5210 cos + =x với 00 900 << x . Hãy tìm x4sin , từ đó suy ra x. Giải: Ta có : +, 4 526 16 5210 1sin − ±= + −±=x 7 Sử dụng PP đặt ẩn phụ để giải PT lượng giác Vũ Thị Kim Oanh - THPT số 2 TP Lào Cai Vì 00 900 << x nên 0sin > x do đó 4 526 sin − =x +, 4 5210 cossin22sin − == xxx ; 51sincos2cos 22 +=−= xxx +, 4 5210 2cos2sin24sin + == xxx Như vậy:       += = ⇔= 5 2 5 3 2 cos4sin ππ π kx kx xx , Zk ∈ Vì 00 900 << x nên     = = 0 0 30 18 x x Nhận thấy: ≠= 2 3 30cos 0 4 5210 + nên 0 30=x không thoả mãn. Kết luận : Phương trình đã cho có một nghiệm là x = 18 0 *, Đối với bài tập này trong quá trình giải phương trình ta đều kiểm tra điều kiện 00 900 << x . Tuy nhiên: Khi tìm được x4sin rồi suy ra x thì chỉ kiểm tra điều kiện 00 900 << x là chưa đủ vì có 0 30=x không thoả mãn. Mà ta còn kiểm tra cả điều kiện ≠ 0 30cos 4 5210 + , đây là điều kiện của giá trị lượng giác của x chứ không phải là điều kiện của x. 2. KẾT HỢP NGHIỆM. - Giải phương trình lượng giác là một dạng toán khó, nó không chỉ gây cho ta khó khăn khi tìm điều kiện, tìm phương pháp giải mà một trở ngại thường gặp phải đó là việc kết hợp nghiệm. - Với một số bài tập việc tìm điều kiện, tìm phương pháp giải rất đơn giản song việc kết hợp nghiệm lại khá phức tạp, trong khi câu trả lời về nghiệm của phương trình lại không thể đưa ra dưới dạng một hệ điều kiện mà trong đó có những giá trị của nghiệm trùng nhau ở các điều kiện trong hệ đưa ra. - Để giải quyết khó khăn trên ta sử dụng một công cụ rất hữu hiệu đó là đường tròn lượng giác, người giải chỉ cần nắm rõ quy tắc biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác. 8 Sử dụng PP đặt ẩn phụ để giải PT lượng giác Vũ Thị Kim Oanh - THPT số 2 TP Lào Cai Ví dụ 3: Giải phương trình: 03sincos =+ xx (2) Giải: +, Trường hợp 1: 0cos ≥x π ππ π 2 22 2 kxk +<<−⇔ (*) , Zk ∈ Với điều kiện (*), phương trình (2) trở thành :       −−= +−= ⇔       =− =+ ⇔=+−⇔=+ 28 4 0)2 4 cos( 0) 4 sin( 03sin) 2 sin(03sincos ππ π π π π π nx lx x x xxxx ,( Znl ∈, ) Kết hợp với (*) ta được          += +−= +−= π π π π π π 2 8 3 2 8 2 4 mx mx mx , Zm ∈ +, Trường hợp 2: 0cos < x π π π π 2 2 3 2 2 kxk +<<+⇔ (**) , Zk ∈ Với điều kiện (**), phương trình (2) trở thành :       += += ⇔       =+ =− ⇔=+−⇔=+− 28 4 0) 4 cos( 0) 4 2sin( 03sin) 2 sin(03sincos ππ π π π π π nx lx x x xxxx , ( Znl ∈, ) Kết hợp với (**) ta được          += += += π π π π π π 2 8 10 2 8 9 2 8 5 mx mx mx , Zm ∈ Kết Luận: Phương trình đã cho có các nghiệm là π π 2 4 kx +−= , π π 2 8 kx +−= , π π 2 8 3 kx += , π π 2 8 5 kx += , π π 2 8 9 kx += , π π 2 4 5 kx += , Zk ∈ 9 Sử dụng PP đặt ẩn phụ để giải PT lượng giác Vũ Thị Kim Oanh - THPT số 2 TP Lào Cai *, Qua bài tập này ta thấy việc định hướng và tìm ra lời giải tương đối dễ dàng song việc tìm ra nghiệm của phương trình thì phức tạp hơn nhiều và ta phải sử dụng đường tròn lượng giác để kết hợp nghiệm trong từng trường hợp và tìm ra nghiệm cuối cùng của phương trình. 3. SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC. Khi giải phương trình lượng giác ta thường gặp một số các phép đặt ẩn phụ sau: 1. Đặt 2 tan x t = khi phương trình có dạng 0)cos,(sin =xxf 2. Đặt xt tan= khi phương trình có dạng 0)2sin,(sin 2 =xxf 3. Đặt xxt cottan += , 2≥t khi phương trình đã cho là phương trình đối xứng của xtan và xcot 4. Đặt xt sin= , 1≤t khi phương trình có dạng 0)2cos,(sin =xxf 5. Đặt xt cos= , 1≤t khi phương trình có dạng 0)2cos,(cos =xxf 6. Đặt xt 2cos= , 1≤t khi phương trình có dạng 0)cos,(sin =xxf nm 7. Đặt x t cos 1 = , 1≥t khi phương trình có dạng 0)tan, cos 1 ( 2 =x x f 8. Đặt x t sin 1 = , 1≥t khi phương trình có dạng 0)cot, sin 1 ( 2 =x x f 9. Đặt xxt cossin ±= , 2≤t khi phương trình có dạng 0)2sin,cos(sin =± xxxf 10. Đặt )( 1 )( xf xft ±= khi phương trình có dạng 0) )( 1 )(, )( 1 )(( 2 2 =±± xf xf xf xfg Ví dụ 4: Giải phương trình: 021cos.sin2)cos)(sin12( =−+++− xxxx (3) Giải: Đặt xxt cossin += , 2≤t thì 1cos.sin2 2 −= txx Khi đó : phương trình (3) trở thành    −= = ⇔=−−− 2 1 02)12( 2 t t tt ( thoả mãn ) 10 [...]... 32,5% 10% Sử dụng PP đặt ẩn phụ để giải PT lượng giác Vũ Thị Kim Oanh - THPT số 2 TP Lào Cai C KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ - Trên đây là một vài trao đổi nhỏ của tôi về phương pháp đặt ẩn phụ khi giải phương trình lượng giác thông qua một số ví dụ và bài tập Qua đó học sinh đã phần nào nắm được lý thuyết và hình thành được kỹ năng giải phương trình lượng giác bằng phương pháp đặt ẩn phụ để từ đó vận dụng tốt... lời câu hỏi “điều kiện để phương trình có nghiệm?” gặp rất nhiều khó khăn vì ta phải đưa về dạng phương trình lượng giác cơ bản để giải quyết tiếp 11 Sử dụng PP đặt ẩn phụ để giải PT lượng giác Vũ Thị Kim Oanh - THPT số 2 TP Lào Cai *, MỘT SỐ BÀI TẬP : Bài 1: Giải các phương trình sau: 1, 3 sin x + 2 cos x − 1 = 0 Giải: Nhận thấy x = π + k 2π không phải là nghiệm của phương trình Đặt t = tan x 2t 1− t... ta thấy với phương pháp đặt ẩn phụ , đặt t = sin x + cos x ( t ≤ 2 ) thì bài toán trở nên đơn giản và dễ giải hơn Tuy nhiên: Khi sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ thì một số phếp biến đổi là không tương đương, do đó sau khi tìm được giá trị của ẩn phụ ta cần phải kiểm tra lại điều kiện Và một điều cần chú ý nữa là : Khi sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ ta cần phải chỉ ra điều kiện đối với ẩn phụ, việc làm... 2 Kết luận: Phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm trên khoảng 2 m ≠ 1  16 Sử dụng PP đặt ẩn phụ để giải PT lượng giác Vũ Thị Kim Oanh - THPT số 2 TP Lào Cai III KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Chuyên đề được áp dụng vào giảng dạy ở lớp tôi đã đạt được kết quả khá tốt: - 100% học sinh nắm được thể loại và yêu cầu của đề bài - 100% học sinh nắm được phương pháp đặt ẩn phụ khi giải phương trình lượng giác - 90% học... Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm trên khoảng (0; π ) khi 0 < a < 1 12 Bài 3: Tìm m để phương trình sau có đúng 3 nghiệm trên khoảng (0; π ) 15 Sử dụng PP đặt ẩn phụ để giải PT lượng giác Vũ Thị Kim Oanh - THPT số 2 TP Lào Cai 2 sin 2 x − 2m 2 (sin x + cos x) + 2m + 1 = 0 (1) (m là tham số) Giải: π Đặt t = sin x + cos x = 2 sin( x + ) , t ≤ 2 thì sin 2 x = t 2 − 1 4 Khi đó : phương trình (1)... 5 cos 2 x + 5 (5) Giải: Ta có : (5) ⇔ 2(1 − cos 2 2 x) = 5 cos 2 x + 5 ⇔ 2 cos 2 2 x + 5 cos 2 x + 3 = 0 (5’) 13 Sử dụng PP đặt ẩn phụ để giải PT lượng giác Vũ Thị Kim Oanh - THPT số 2 TP Lào Cai Đặt t = cos 2 x , t ≤ 1 thì phương trình (5’) trở thành (thoả mãn) t = −1 2t + 5t + 3 = 0 ⇔  t = − 3 2  2 (loại) Với t = −1 ta có : cos 2 x = −1 ⇔ x = π + kπ , k ∈ Z 2 Kết luận: Phương trình đã cho có các... k π (*) 2 Đặt t = tan x + cot x , t ≥ 2 thì tan 2 x + cot 2 x = t 2 − 2 Khi đó : phương trình (6) trở thành t = −1 t 2 + 3t + 2 = 0 ⇔  t = −2 (loại) (thoả mãn) Với t = −2 ta có : tan x + cot x = −2 ⇔ 1 1 sin 2 x 2 = −1 ⇔ sin 2 x = −1 ⇔ x = − Kết luận: Phương trình đã cho có các nghiệm là x = − 14 π + mπ , m ∈ Z (thoả mãn (*) ) 4 π + kπ , k ∈ Z 4 Sử dụng PP đặt ẩn phụ để giải PT lượng giác Vũ Thị... Z 2 Chia cả hai vế của phương trình (2) cho cos 2 x , ta được : sin 2 x sin x cos x sin x 1 (tan x + 1) = 3 .( − ) + 3 2 cos x cos x cos x cos x cos 2 x ⇔ tan 2 x (tan x + 1) = 3 tan x(1 − tan x ) + 3(1 + tan 2 x) (2’) Đặt t = tan x thì phương trình (2’) trở thành t = −1  t 3 + t 2 − 3t − 3 = 0 ⇔ t = 3 t = − 3  12 3− 2 3 + k 2π , 3 Sử dụng PP đặt ẩn phụ để giải PT lượng giác Vũ Thị Kim Oanh -... cứu 3 B Nội dung 4 I Cơ sở khoa học 4 1 Cơ sở lí luận 4 2 Cơ sở thực tiễn 6 II Mô tả, phân tích các giải pháp 6 1 Đặt điều kiện và kiểm tra điều kiện 6 2 Kết hợp nghiệm 9 3 Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình lượng giác 10 III Kết quả nghiên cứu 17 C Kết luận và kiến nghị 18 D Tài liệu tham khảo 18 Lào Cai, ngày 20 tháng 12 năm 2011 Người viết Vũ Thị Kim Oanh 19 ... và phương pháp giải toán lượng giác 11 Tác giả: Lê Mậu Thống, Trần Đức Huyên, Lê Mậu Thảo 3 Các chuyên đề luyện thi vào đại học lượng giác Tác giả: Trần Văn Hạo (chủ biên), Nguyễn Cam , Nguyễn Mộng Hy, Trần Đức Huyên , Cam Duy Lễ, Nguyễn Sinh Nguyên, Nguyễn Vũ Thanh 4 Toán nâng cao lượng giác Tác giả: Phan Huy Khải 5 Tạp chí Toán học và tuổi trẻ, các đề thi ĐH và một số tài liệu khác 18 Sử dụng PP đặt . phải sử dụng đường tròn lượng giác để kết hợp nghiệm trong từng trường hợp và tìm ra nghiệm cuối cùng của phương trình. 3. SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC. Khi giải. – 2012 Sử dụng PP đặt ẩn phụ để giải PT lượng giác Vũ Thị Kim Oanh - THPT số 2 TP Lào Cai Chuyên đề: " Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình lượng giác " A. MỞ ĐẦU I dạng phương trình lượng giác cơ bản để giải quyết tiếp. 11 Sử dụng PP đặt ẩn phụ để giải PT lượng giác Vũ Thị Kim Oanh - THPT số 2 TP Lào Cai *, MỘT SỐ BÀI TẬP : Bài 1: Giải các phương trình