phương pháp giải phương trình lượng giác

Đưa phương trình lượng giác có chứa tham số về dạng phương trình lượng giác cơ bản...40 3.1.2.. Biện luận và giải phương trình lượng giác có chứa tham số bằng phương pháp khảo sát hàm số

A KIẾN THỨC CƠ SỞ 1

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 5

1 Một số phương trình lượng giác mẫu mực 5

1.1 Phương trình lượng giác cơ bản 5

1.2 Phương trình bậc hai đối với sinx, cosx, tanx, cotx 7

1.3 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx 8

1.4 Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx 11

1.5 Phương trình đẳng cấp bậc ba đối với sinx và cosx 13

1.6 Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx 15

1.7 Phương trình đối xứng đối với tanx và cotx 20

2 Một số phương pháp giải phương trình lượng giác không mẫu mực 24

2.1 Phương pháp đặt ẩn số phụ 24

2.2 Giải phương trình lượng giác bằng cách đưa về phương trình tích 29

2.3 Một số phương pháp khác 32

2.3.1 Phương pháp đưa về tổng các biểu thức không âm 32

2.3.2 Phương pháp đối lập 33

2.3.3 Phương pháp phản chứng 34

2.3.4 Phương pháp đoán nghiệm 38

2.3.5 Phương pháp đưa về tích 39

3 Một số dạng đặc biệt của phương trình lượng giác 40

3.1 Phương trình lượng giác có chứa tham số 40

3.1.1 Đưa phương trình lượng giác có chứa tham số về dạng phương trình lượng giác cơ bản 40

3.1.2 Biện luận và giải phương trình lượng giác có chứa tham số bằng phương pháp khảo sát hàm số 41

3.2 Phương trình lượng giác chứa dấu trị tuyệt đối 44

3.2.1 Sử dụng định nghĩa 44

3.2.2 Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ 48

3.2.3 Sử dụng các tính chất giá trị tuyệt đối 50

3.3 Phương trình lượng giác chứa căn thức 51

3.3.1 Biến đổi tương đương 52

3.3.2 Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ 53

C BÀI TẬP TỔNG HỢP 58

D BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 69

A KIẾN THỨC CƠ SỞ 1 Một số hệ thức cơ bản

) (

sin

cos

cot

) 2

( cos

sin

tan

1 cos

π α α

α

α

π

π α α

α

α

α α

k

k

≠

=

+

≠

=

= +

α α

2

tan

1

1 cot

tan

= +

=

1

2 3

4

c

c

2

1 sin 2+ α =(sinα+cos )α

2 Giá trị lượng giác của các cung (góc) liên quan đặc biệt

2.1 Hai cung (góc) đối nhau ( ,α α− )

2.2 Hai cung (góc) bù nhau (α −,π α)

2.3 Hai cung (góc) phụ nhau )

2,(α π −α

2.4 Hai cung (góc) hơn kém π( ,α π α+ )

2.5 Hai cung (góc) hơn kém

2

2,(α π +α

3 Công thức biến đổi lượng giác

3.1 Công thức cộng

2

αα

αα

αα

αα

cot)

cot(

tan)

tan(

cos)cos(

sin)

π

αα

π

αα

π

αα

π

cot)

cot(

tan)

tan(

cos)

cos(

sin)sin(

sin( ) sin cos cos sin

sin( ) sin cos cos sin

cos( ) cos cos sin sin

cos( ) cos cos sin sin

1 tan tancot cot 1cot( )

3.2 Công thức nhân đôi

3.3 Công thức hạ bậc

3.4 Công thức nhân ba

3.5 Công thức tính theo tan của cung chia đôi Đặt

2tanα

=

t (α ≠π +k2π)

3.6 Công thức biến đổi tổng thành tích

3.7 Công thức biến đổi tích thành tổng

2

sin 2 2sin cos

cos 2 cos sin

2cos 1 1 2sin

2 tantan 2

2

1 cos 2cos

2

1 cos 2tan

1 cos 2

αα

αα

αα

3 2

sin 3 3sin 4sin

3 tan tantan 3

cos cossin( )cot cos

21

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Nhìn chung có hai phương pháp để giải phựơng trình lượng giác là biến đổi phương trình về các phương trình lượng giác về dạng mẫu mực hay phương trình lượng giác dạng không mẫu mực

Các bước cơ bản để giải một phương trình lượng giác:

1 Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa

2 Dùng các công thức lượng giác đã biết biến đổi đưa phương trình đã cho

phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác

thì biến đổi để đưa về phương trình chứa hàm số lượng giác của cùng một cung

• Cần lưu ý tính bị chặn của hàm số sinx và cosx:

1cos1

1sin1

1 Một số phương trình lượng giác mẫu mực

1.1 Phương trình lượng giác cơ bản

π2

2

k a u

k a u

Vậy nghiệm của (3) là 11

tanα có nghiệm x = α +kπ thoả điều kiện cosx≠0

t t

2) cos 2 3cos 4cos2

t t

223

Điều kiện: cosx≠0 (*)

(3)⇔ +1 tan2x− +(1 3 tan) x− +1 3 0= ⇔tan2x− +(1 3 tan) x+ 3 0=

Đặt t=tanx

3

t t

1.3 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

Dạng phương trình: asinx b+ cosx c= (1)

Điều kiện có nghiệm: a2+ ≥b2 c2

Cách giải

(loại)

Cách 1: Chia hai vế của (1) cho a2 +b2 , ta được

a

a b b

a b

ϕϕ

=+ và

2 2

1cos

1

t x t

−

=+

=+ và

2 2

1cos

1

t x t

−

=+

1.4 Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx

có là nghiệm của (1) hay không

 Xét cosx≠0, chia hai vế của (1) cho cos x2 ta được:

atan2 x b+ tanx c d+ = (1 tan )+ 2x

Giải các phương trình sau:

1)2sin2x+ +(3 3 sin cos) x x+( 3 1 cos− ) 2x= −1 (1)

Giải

(1)⇔2sin2x+ +(3 3 sin cos) x x+( 3 1 cos− ) 2x= −sin2x−cos2x

không là nghiệm của phương trình

 Xét cosx≠0, chia hai vế của ( )1′ cho cos2x ta được phương trình:

23tan x+ +3 3 tanx+ 3 0=

tan 1

3tan

không là nghiệm của phương trình (2)

 Xét cosx≠0, chia hai vế của (2’) cho cos x2 , ta được phương trình:

4 tanx+ = +6 1 tan x⇔tan x−4 tanx− =5 0tan 1

,4tan 5 tan

có là nghiệm của (1) hay không

 Xétcosx≠0, chia hai vế của (1) cho cos x3 ta được:

sin cos cos 1 0

Vì a2+b2 = <2 c2 =9 nên phương trình trên vô nghiệm

Vậy nghiệm của (1) là

Do điều kiện (*), chia hai vế của (2’) cho cos x3 ta được:

(2’)⇔tan3x+4 tan2x−3tanx−3 1 tan( + 2x) =0

3 os 3cos sin cos sin sin 0 (3')

không là nghiệm của phương trình

 Xét cosx≠0, chia hai vế của (3’) cho cos3x ta được phương trình:

3 3tan+ x−tan x−tan x=0

4tan 1

Chú ý: Nếu là phương trình đẳng cấp bậc k đối với sinx và cosx thì chia hai vế

cho cosk x , ta được một phương trình bậc k theo t=tanx.

1.6 Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx

Dạng 1: a(sinx+cosx)+bsin cosx x c+ =0

Giải phương trình theo t kết hợp với điều kiên (*) suy ra t

Giải các phương trình sau:

1) 2(sinx+cos ) 3sin 2x + x=2 (1)

Giải

(1)⇔2 sin( x+cosx)+6sin cosx x=2 ⇔(sinx+cosx)+3sin cosx x=1 ( )1′

Đặt sin cos 2 sin

t t

Vậy nghiệm của (1) là x k= 2π , 2

⇔ + = ⇔cosx+sinx−2 2 sin cosx x=0 ( )2′

Đặt sin cos 2 sin

+ Với sinx+cosx= ⇔0 sinx= −cosx tan 1 ,

4

+ Với sin cosx x−sinx−cosx+ =1 0 ( )3′

Đặt sin cos 2 cos

Giải phương trình theo t kết hợp với điều kiện (*) suy ra t

Giải các phương trình sau:

1)6(sinx−cos ) sin cosx + x x+ =6 0 (1)

2 2

sin cos sin cos 4 5 0 2

( )

cos sin sin cos sin cos

sin cos 0 cos sin sin cos 0

+ Với cosx−sinx−sin cosx x=0 ( )3′

Đặt cos sin 2 cos

x= − − +α π k π

2

α = − ) (k∈Z)

1.7 Phương trình đối xứng đối với tanx và cotx

Dạng 1: a(tan2x+cot2 x)+b(tanx+cot )x + =c 0

Đặt t=tanx+cotx, điều kiện t ≥2

Suy ra tan2x+cot2x t= −2 2

Giải phương trình tanx+cotx t=

(1)⇔(tan2x+cot2x)+7 tan( x+cotx)+ =14 0 ( )1′

Đặt t=tanx+cotx, điều kiện t ≥2 Khi đó tan2 x+cot2x t= −2 2

(với tan 3 5, tan 3 5

Giải phương trình theo t và kết hợp với điều kiện (nếu có), suy ra t

Giải phương trình tanx−cotx t=

Ta có: sin cos sin2 cos2

Giải các phương trình sau:

1) 3(tan2 x+cot2x) 2( 3 1)(tan+ − x−cot ) 4 2 3 0x − − =

Điều kiện: sin 0 sin 2 0 ,

+ Tìm điều kiện cho ẩn số phụ t

+ Biến đổi phương trình đã cho thành một phương trình đã biết cách giải như phương trình bậc hai, bậc ba theo t

Một số dạng phương trình thường gặp

1 f(sinx, cosx) = 0, đặt

2tanx

t = (t∈¡ )

2 f(sin2x, sinxcosx) = 0, đặt t=tanx (t∈¡ )

3 f(sinx, cos2x) = 0, đặt t sin= x, t ≤1

4 f(cosx, cos2x) = 0, đặt t =cosx, t ≤1

2cos

8 f(tanx+cot , tanx 2x+cot , tan2x 3x+cot ) 03x = , đặt t =tanx+cotx, t ≥2

Khi đó tan2 x+cot2x t= −2 2 , tan3x+cot3x t t= ( 2−3)

9 f(tan2x+cot , tan2x 4 x+cot , tan4x 6 x+cot ) 06x = ,đặt t =tan2 x+cot2 x, t≥2

tan x cot x t+ = −2, 6 6 ( 2 )

tan x cot x t t+ = −3

10 Dạng: asin2 x b+ sin cosx x c+ cos2x=0, đặt t=tanx (t∈¡ )

11 Dạng: asin3x b+ sinx c+ cos3x=0hoặc asin3x b+ cosx c+ cos3x=0 Đặt t =tanx (t∈¡ )

t

cos

1cos +

hoặc

x x

t

cos

1cos −

t

sin

1sin +

hoặc

x x

t

sin

1sin −

= (t∈¡ )

Ví dụ minh họa

Giải

Điều kiện: cosx≠0 (*)

Đặt t=tanx Khi đó sin 2 2 2

1

t x t

=+

1

t t

t + =+

=+

So sánh với điều kiện (*), suy ra nghiệm của (5) là x k= 2π, 2

2cos

t t

22

2 tan cot 2 5 tan cot 6 0 (7')

 = −



(loại)

(loại)

cos 2 (cos sin )(cos sin )

sin cos

1 tan

cossin cos

có thừa số chung là sinx+cosx

b) 1 sin 2 ; cos 2 ; 1 tan ; 1 cot− x x − x − x có thừa số chung là sinx−cosx

c) sin x2 và tan x2 có thừa số chung (1 cos )(1 cos )− x + x .

9

9sin 2 0

2

x

ππ

ππ

1 cos 1 2sin cos 2 sin cos 0

1 cos 0 cos 1 sin cos 0 tan 1

2cos 2 cosx x 1 sin x cos 2 sinx x cos sinx x 1

(4) 2 tan 2sin 2 1 cos 2

Giải các phương trình sau:

1) 4cos2 x+3 tan2x−4 3 cosx+2 3 tanx+ =4 0 (1)

(loại)

4 cos 4 4cos 4 1 1 cos3 0

3

k x

Ta có sin 1 sin cos 2 2

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

2) sin 3 (cosx x−2sin 3 ) cos3 (1 sinx + x + x−2cos3 ) 0x = (2)

k k

ππ



Ví dụ minh họa

Giải các phương trình sau:

Giải

cos 2 0

x x

( ) sin 0 sin cos cos 2 1 0

Vậy nghiệm của (2) là x k= π , x= +π k2π (k∈Z)

Giải

(2)⇔cos 4x+ −1 sin 4x+4(sinx−cos ) 0x =

22cos 2 2sin 2 cos 2 4(sin cos ) 0cos 2 (cos 2 sin 2 ) 2(sin cos ) 0(cos sin )[(sin cos )(cos 2 sin 2 ) 2] 0

x x x

,2

x x x

+ Khi x> ⇒0 f x( )> f(0)⇒ + −1 x cosx> ⇔0 cosx< +1 x

Vậy ∀ >x 0 không là nghiệm của (1)

+ Khi x< ⇒0 f x( )< f(0)⇒ + −1 x cosx< ⇔0 cosx> +1 x

Vậy ∀ <x 0 không là nghiệm của (1)

Nên đồ thị của hàm số y= f x( ) cắt Ox tại một điểm duy nhất

Vậy nghiệm của (2) là x=0

1

A

A B

B A

A B

11

1

A

A B

B A

A B

Giải các phương trình sau:

1) cos 3 cos 22 x x−cos2x=0 (1)

x x

= −



cos 6 1

( )

sin sin 2 cos3 sin sin 3 cos 2 1 0sin sin 2 cos3 sin 3 cos 2 1 0sin sin 5 1

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

3 Một số dạng đặc biệt của phương trình lượng giác

3.1 Phương trình lượng giác có chứa tham số

3.1.1 Đưa phương trình lượng giác có chứa tham số về dạng phương trình lượng giác cơ bản

Phương pháp

+ Điều kiện có nghiệm của phương trình lượng giác

+ Kết hợp những kiến thức đã học đưa ra các điều kiện làm cho phương trình dạng cơ bản có nghiệm thỏa điều kiện cho trước

−

Vậy phương trình (1) có nghiệm khi m≤0, m=1

2) Định m để phương trình mcos2x−4sin cosx x m+ − =2 0 (2)

Vậy m∈( )1; 2 thì phương trình đã cho có nghiệm.

3.1.2 Biện luận và giải phương trình lượng giác có chứa tham số bằng phương pháp khảo sát hàm số

Giả sử phương trình lượng giác phụ thuộc m có dạng: g x m( , ) 0= (1) Định m để

Phương pháp

5) (1) có nghiệm x D∈ khi và chỉ khi (2) có nghiệm t T∈ khi

và chỉ khi y h m= ( ) có điểm chung với y= f t( )

sin 2 sin 41

1 cos 4 1 cos 42

  khi và chỉ khi ( )3′′ có hai nghiệm

phân biệt trên [ ]0;1

−

tf’(t)f(t)

1 2

−

Từ bảng biến thiên, ta thấy yêu cầu bài toán tương đương 2 17

Xét 3cosx−4sinx = 25 sin( 2 x+cos2x) =5

3cosx 4sinx 5 3cosx 4sinx 5 0

3cosx−4sinx− m−1 − < ∀6 0, x

Bảng biến thiên

Suy ra phương trình f x( ) 0= luôn có một nghiệm ∀ ∈m R

3.2 Phương trình lượng giác chứa dấu trị tuyệt đối

Phương pháp

+ Giải và biện luận (2)

+ Giải và biện luận (3)

+ Kết luận (tập nghiệm của (1) là hợp của hai tập nghiệm (2),(3))

( ) 0 ( ) ( )

(II)( ) 0 ( ) ( )

 Nếu g(x) không chứa tham số ta chọn phép biến đổi (I)

 Nếu f(x) không chứa tham số ta chọn phép biến đổi (II)

313cos 12cos 0

3cos 012cos

13

x x x

(2) 2

2

1tan 0 (2.1)

sin

1cot tan (2.2)

sin

x x

223

Do đó họ nghiệm này thỏa (2.1)

3.2.2 Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ

Phương pháp

+ Để loại bỏ dấu trị tuyệt đối trong phương trình ta lựa chọn việc đặt ẩn phụ cho biểu thức chứa trị tuyệt đối

+ Nếu biểu thức có chứa:

• sin x và sin2k x, ta đặt t= sinx , điều kiện 0≤ ≤t 1

• cos x và cos2k x, ta đặt t= cosx , điều kiện 0≤ ≤t 1

• tan x và tan2k x, ta đặt t= tanx , điều kiện t≥0

• cot x và cot2k x, ta đặt t= cotx , điều kiện t≥0

2

1 174

+ Với t = ⇔0 sinx = ⇔0 sinx= ⇔ =0 x kπ, k∈Z

t t

(3)⇔ sinx + cosx =2 2 sin cosx x (3’)

2

t

Vì sin2x+cos2x=1 nên 0≤ sinx ≤1, 0≤ cosx ≤1

Do đó sinx(1 sin− x)+ cosx(1 cos− x) ≥0

2

t t

+ Với 2 sin cos 2 sin 2 1 ,

tan 1tan 1

x k x

x

k x

3.3.1 Biến đổi tương đương

Dạng 1: f x( )= g x( ) ⇔ f x( )=g x( ) 0≥ (với điều kiện f(x), g(x) có nghĩa)

( ) 0 ( ) ( )

sin cos 0 sin 2 0

sin 2 0

cos 2 0

4cos 2 1

x

x x

Vậy nghiệm của (2) là

sin cos 0 (3.1)sin cos 2sin 2

sin cos 2sin 2 (3.2)

Nếu bài toán chứa

 f x( )và f(x), đặt t= f x( ), điều kiện t≥0 suy ra f x( )=t2

2

t k

f x g x = −

Ngoài ra, ta cũng có thể sử dụng các phương pháp đặt ẩn phụ giải các phương trình vô tỉ như sau:

với một ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn còn chứa x

+ Với t = ⇔1 sinx+ 3 cosx = ⇔1 sinx+ 3 cosx=1

t t

t t

2

t t t

+ Với u= ⇔0 32 tan− x = ⇔0 tanx= =2 tanα ⇔ = +x α k kπ, ∈Z

4

u= ⇔ − x = ⇔ x= ⇔ = +x π k kπ ∈Z

+ Với u= − ⇔2 3 2 tan− x = − ⇔2 tanx=10 tan= β ⇔ = +x β k kπ, ∈Z

Vậy nghiệm của (3) là

4

x= +π kπ

, x= +α kπ , x= +β kπ(với tanα =2, tanβ =10) (k∈Z)

3.3 Lượng giác hóa phương trình vô tỉ

Nếu phương trình vô tỷ có dạng:

Vậy nghiệm của (1) là x=1, 1

x

x x

t t

So sánh với điều kiện (*) ta được nghiệm của (1) là x k= 2π (k∈Z)

2) cot tan 2cos 4

Điều kiện: sin 2x≠ ⇔0 cos 2x≠ ±1 (*)

sin cos sin cos

14

)2cos1

(

2 2

24

tan 1 tanx + x − −1 5 tanx= ⇔0 tanx−1 3tan x+3tanx+ =1 0

So sánh với điều kiện (*), suy ra phương trình đã cho vô nghiệm

10) 4sin3x+3cos3x−3sinx−sin2xcosx=0 (10)

2

,2

1 cos 2sin 2cos 2sin cos 1 0

sin cos sin cos 4 5 0 (12')

22

t t

Đặt cos sin 2 sin ,0 2

t t

cosx sinx 1 1 sin 2x 1

22

3sin 2

20) Cho phương trình sin 2x+ 3m=2cosx+ 3 sinm x (20) Tìm những giá trị của m để phương trình trên có nhiều hơn một nghiệm trong khoảng (0; )π .

m

m x

m m

ππ

26

23) Giải phương trình: 3tan2x+4sin2 x−2 3 tanx−4sinx+ =2 0 (23)

2 ,6

1

sin

62

3) 2sin2x−2 2 sinx+3 tan2x−2 3 tan 2x+ =2 0

4) 3sin 2x+cos 2x−4cotx+ =1 0

2sin sin 2

6) sin 3x+cos3x+2cosx=0

7) 2 cos( 6 sin6 ) sin cos

8) cos 2x+ 1 sin 2+ x =2 sinx+cosx

9) sin4 x−cos4 x= sinx +cosx

15)cos4x+sin4 x−2(1 sin− 2 xcos )sin cos2x x x−sinx−cosx=0

21)2sin cos 2x x+sin 2 cos 2x x=sin 4 cosx x

22)3 tanx+1(sinx+2cos ) 5(sinx = x=3cos )x

23)sin3x− 3 cos3x=sin cosx 2x− 3 sin2xcosx

24)Định m để phương trình 3sin4x−2(m+2)sin2 xcos2x+ −(1 m2) cos4x=0