phương pháp giải phương trình lượng giác

MỤC LỤC A. KIẾN THỨC CƠ SỞ 1 B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 5 1. Một số phương trình lượng giác mẫu mực 5 1.1. Phương trình lượng giác cơ bản 5 1.2 Phương trình bậc hai đối với sinx, cosx, tanx, cotx 7 1.3 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx 8 1.4 Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx 11 1.5 Phương trình đẳng cấp bậc ba đối với sinx và cosx 13 1.6 Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx 15 1.7 Phương trình đối xứng đối với tanx và cotx 20 2. Một số phương pháp giải phương trình lượng giác không mẫu mực 24 2.1 Phương pháp đặt ẩn số phụ 24 2.2 Giải phương trình lượng giác bằng cách đưa về phương trình tích 29 2.3 Một số phương pháp khác 32 2.3.1 Phương pháp đưa về tổng các biểu thức không âm 32 2.3.2 Phương pháp đối lập 33 2.3.3 Phương pháp phản chứng 34 2.3.4 Phương pháp đoán nghiệm 38 2.3.5 Phương pháp đưa về tích 39 3. Một số dạng đặc biệt của phương trình lượng giác 40 3.1 Phương trình lượng giác có chứa tham số 40 3.1.1. Đưa phương trình lượng giác có chứa tham số về dạng phương trình lượng giác cơ bản 40 3.1.2. Biện luận và giải phương trình lượng giác có chứa tham số bằng phương pháp khảo sát hàm số 41 3.2. Phương trình lượng giác chứa dấu trị tuyệt đối 44 3.2.1. Sử dụng định nghĩa 44 3.2.2 Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ 48 3.2.3. Sử dụng các tính chất giá trị tuyệt đối 50 3.3. Phương trình lượng giác chứa căn thức 51 3.3.1. Biến đổi tương đương 52 3.3.2. Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ 53 C. BÀI TẬP TỔNG HỢP 58 D. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 69 A. KIẾN THỨC CƠ SỞ 1. Một số hệ thức cơ bản )( sin cos cot ) 2 ( cos sin tan 1cossin 22 πα α α α π π α α α α αα k k ≠= +≠= =+ α α α α αα 2 2 2 2 sin 1 cot1 cos 1 tan1 1cot.tan =+ =+ = 4 4 2 6 6 2 1 sin os 1 sin 2 2 3 sin os 1 sin 2 4 c c α α α α α α + = − + = − 2 2 1 sin 2 (sin os ) 1 sin 2 (sin os ) c c α α α α α α + = + − = − Một số phương pháp giải phương trình lượng giác 011/22/2014 2. Giá trị lượng giác của các cung (góc) liên quan đặc biệt 2.1. Hai cung (góc) đối nhau ( , ) α α − 2.2. Hai cung (góc) bù nhau ),( απα − 2.3. Hai cung (góc) phụ nhau ) 2 ,( α π α − 2.4. Hai cung (góc) hơn kém π ( , ) α π α + 2.5. Hai cung (góc) hơn kém 2 π ) 2 ,( α π α + 3. Công thức biến đổi lượng giác 3.1. Công thức cộng 2 αα αα αα αα cot)cot( tan)tan( cos)cos( sin)sin( −=− −=− =− −=− ααπ ααπ ααπ ααπ cot)cot( tan)tan( cos)cos( sin)sin( −=− −=− −=− =− sin( ) cos tan( ) cot 2 2 cos( ) sin cot( ) tan 2 2 π π α α α α π π α α α α − = − = − = − = sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan cot( ) cot π α α π α α π α α π α α + = − + = − + = + = sin( ) cos tan( ) cot 2 2 cos( ) sin cot( ) tan 2 2 π π α α α α π π α α α α + = + = − + = − + = − sin( ) sin .cos cos .sin sin( ) sin .cos cos .sin cos( ) cos .cos sin .sin cos( ) cos .cos sin .sin α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β + = + − = − + = − − = + tan tan tan( ) 1 tan .tan tan tan tan( ) 1 tan .tan cot .cot 1 cot( ) cot cot cot .cot 1 cot( ) cot cot α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β β α + + = − − − = + − + = + + − = − Một số phương pháp giải phương trình lượng giác 011/22/2014 3.2. Công thức nhân đôi 3.3. Công thức hạ bậc 3.4. Công thức nhân ba 3.5. Công thức tính theo tan của cung chia đôi Đặt 2 tan α =t )2( ππα k+≠ 3.6. Công thức biến đổi tổng thành tích 3.7. Công thức biến đổi tích thành tổng 3 2 2 2 2 2 sin 2 2sin .cos cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin 2 tan tan 2 1 tan α α α α α α α α α α α = = − = − = − = − 2 2 2 1 cos2 sin 2 1 cos 2 cos 2 1 cos2 tan 1 cos 2 α α α α α α α − = + = − = + 3 3 3 2 sin 3 3sin 4sin cos3 4cos 3cos 3tan tan tan3 1 3tan α α α α α α α α α α = − = − − = − 2 2 2 2 2 1 2 sin cos tan 1 1 1 t t t t t t α α α − = = = + + − cos cos 2cos cos 2 2 cos cos 2sin sin 2 2 sin sin 2sin cos 2 2 sin sin 2cos sin 2 2 α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β + − + = + − − = − + − + = + − − = sin( ) tan tan cos .cos sin( ) cot cos sin .sin α β α β α β α β α β α β ± ± = ± ± = Một số phương pháp giải phương trình lượng giác 011/22/2014 * Chú ý: 4 [ ] [ ] [ ] 1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 α β α β α β α β α β α β α β α β α β = + + − = − + − − = + + − ( ) 2 2 2 2 2 2 sin cos 2 sin 2 cos 4 4 sin cos 2 sin 2 cos 4 4 .sin .cos .sin( ) os = sin cos .sin x x x x x x x x a a x b x a b x c a b a x b x a b x π π π π ϕ ϕ ϕ     + = + = −  ÷  ÷         − = − = − +  ÷  ÷       + = + +  ÷ +   − = + − cot 0 2 cot 1 4 cot 1 4 x x k x x k x x k π π π π π π = ⇔ = + = ⇔ = + = − ⇔ = − + tan 0 tan 1 4 tan 1 4 x x k x x k x x k π π π π π = ⇔ = = ⇔ = + = − ⇔ = − + Một số phương pháp giải phương trình lượng giác 011/22/2014 B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Nhìn chung có hai phương pháp để giải phựơng trình lượng giác là biến đổi phương trình về các phương trình lượng giác về dạng mẫu mực hay phương trình lượng giác dạng không mẫu mực. Các bước cơ bản để giải một phương trình lượng giác: 1. Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa. 2. Dùng các công thức lượng giác đã biết biến đổi đưa phương trình đã cho về phương trình dạng cơ bản. 3. Tìm nghiệm 4. Đối chiếu với điều kiện loại các nghiệm không thỏa mãn các điều kiện. Chú ý: • Nghiệm của phương trình lượng giác là một tập hợp vô hạn và được biểu diễn dưới dạng một họ nghiệm. • Nếu phương trình chứa nhiều hàm số lượng giác thì biến đổi tương đương về phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác. • Nếu phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác của nhiều cung khác nhau thì biến đổi để đưa về phương trình chứa hàm số lượng giác của cùng một cung • Cần lưu ý tính bị chặn của hàm số sinx và cosx: 1cos1 1sin1 ≤≤− ≤≤− x x 1. Một số phương trình lượng giác mẫu mực 1.1. Phương trình lượng giác cơ bản • sinu = sina    +−= += ⇔ ππ π 2 2 kau kau • cosu = cosa π 2kau +±=⇔ • tanu = tana π kau +=⇔ • cotu = cota π kau +=⇔ Trường hợp đặc biệt: 5 sin 0 sin 1 2 2 sin 1 2 2 x x k x x k x x k π π π π π = ⇔ = = ⇔ = + = − ⇔ = − + cos 0 2 cos 1 2 cos 1 2 x x k x x k x x k π π π π π = ⇔ = + = ⇔ = = − ⇔ = + Một số phương pháp giải phương trình lượng giác 011/22/2014 Ví dụ minh họa 1) Giải phương trình sin 2 sin 3 0 4 3 x x π π     − + + =  ÷  ÷     (1) Giải (1) sin 2 sin 3 4 3 x x π π     ⇔ − = − +  ÷  ÷     sin 2 sin 3 4 3 x x π π     ⇔ − = − −  ÷  ÷     2 2 3 2 4 3 60 5 , 19 2 3 2 2 4 3 12 k x x k x k x x k x k π π π π π π π π π π π   − = − − + = − +    ⇔ ⇔ ∈      − = − − − + = − +  ÷       Z Vậy nghiệm của (1) là 2 60 5 k x π π = − + , 19 2 12 x k π π = − + ( ) k ∈Z 2) Giải phương trình cos3 2sin .cosx x x = (2) Giải (2) cos3 sin 2 cos3 cos 2 2 x x x x π   ⇔ = ⇔ = −  ÷   2 3 2 2 5 2 2 10 5 2 , 3 2 2 2 2 2 2 2 k x x k x x k k x x k x k x k π π π π π π π π π π π π    = − + = + = +     ⇔ ⇔ ⇔ ∈        = − − + = − + = − +  ÷         Z Vậy nghiệm của (2) là 2 10 5 k x π π = + , 2 2 x k π π = − + ( ) k ∈Z 3) Giải phương trình tan 3 .tan 2 1 3 5 x x π π     + − =  ÷  ÷     (3) Giải (3) tan 3 cot 2 3 5 x x π π     ⇔ + = −  ÷  ÷     tan 3 tan 2 3 2 5 x x π π π       ⇔ + = − −  ÷  ÷         7 7 tan 3 tan 2 3 2 3 10 3 10 11 11 5 , 30 150 5 x x x x k k x k x k π π π π π π π π π     ⇔ + = − ⇔ + = − +  ÷  ÷     ⇔ = + ⇔ = + ∈Z 6 Một số phương pháp giải phương trình lượng giác 011/22/2014 Vậy nghiệm của (3) là 11 150 5 k x π π = + ( ) k ∈Z 1.2 Phương trình bậc hai đối với sinx, cosx, tanx, cotx Dạng: 2 2 2 2 sin sin 0 cos cos 0 tan tan 0 cot cot 0 a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c + + = + + = + + = + + = Cách giải Đặt sin ( -1 t 1)t x= ≤ ≤ cos (-1 t 1) tan cot t x t x t x = ≤ ≤ = = Chú ý: − Nếu α là một số cho trước mà tan α xác định thì phương trình tanx = tan α có nghiệm x = α + kπ thoả điều kiện cos 0x ≠ . − Phương trình tanP(x) = tanQ(x) thì cần phải chú ý đến điều kiện cosP(x) ≠ 0 và cosQ(x) ≠ 0. Ví dụ minh họa Giải các phương trình sau: 1) 2 1 5sin 2cos 0x x− + = (1) Giải (1) 2 1 5sin 2(1 sin ) 0x x⇔ − + − = 2 2sin 5sin 3 0x x⇔ + − = Đặt sint x = ( 1 1t − ≤ ≤ ) Khi đó phương trình trở thành: 2 2 5 3 0t t+ − = 1 2 3 t t  =  ⇔  = −  Với 1 1 sin 2 2 t x= ⇔ = 2 6 , 5 2 6 x k k x k π π π π  = +  ⇔ ∈   = +   Z Vậy nghiệm của (1) là 2 6 x k π π = + , 5 2 6 x k π π = + ( ) k ∈Z 7 (loại) Một số phương pháp giải phương trình lượng giác 011/22/2014 2) 2 cos2 3cos 4cos 2 x x x− = (2) Giải (2) 2 1 cos 2cos 1 3cos 4 2 x x x + ⇔ − − = 2 2cos 5cos 3 0x x⇔ − − = Đặt cost x= ( 1 1t− ≤ ≤ ) Khi đó phương trình trở thành: 2 2 5 3 0t t− − = 1 2 3 t t  = −  ⇔  =  Khi 1 1 2 cos cos 2 2 3 t x π = − ⇔ = − = 2 2 3 , 2 2 3 x k k x k π π π π  = +  ⇔ ∈   = − +   Z Vậy nghiệm của (2) là 2 2 3 x k π π = + , 2 2 3 x k π π = − + ( ) k ∈Z 3) ( ) 2 1 1 3 tan 1 3 0 cos x x − + − + = (3) Giải Điều kiện: cos 0x ≠ (*) (3) ( ) 2 1 tan 1 3 tan 1 3 0x x⇔ + − + − + = ( ) 2 tan 1 3 tan 3 0x x⇔ − + + = Đặt tant x= Khi đó phương trình trở thành: ( ) 2 1 3 3 0t t− + − = 1 3 t t =  ⇔  =  + Với 1 tan 1t x = ⇔ = , 4 x k k π π ⇔ = + ∈Z + Với 3 tan 3t x= ⇔ = , 3 x k k π π ⇔ = + ∈Z So sánh với điều kiện (*) suy ra nghiệm của phương trình là: 4 x k π π = + , 3 x k π π = + ( ) k ∈Z 1.3 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx Dạng phương trình: sin cos (1)a x b x c+ = Điều kiện có nghiệm: 2 2 2 a b c+ ≥ Cách giải 8 (loại) Một số phương pháp giải phương trình lượng giác 011/22/2014 Cách 1: Chia hai vế của (1) cho 2 2 a b+ , ta được ( ) 2 2 2 2 2 2 1 sin cos a b c x x a b a b a b ⇔ + = + + + Vì 2 2 2 2 2 2 1 a b a b a b     + =  ÷  ÷ + +     nên ta đặt 2 2 2 2 sin cos a a b b a b ϕ ϕ  =  +    =  +  Phương trình trở thành: ( ) 2 2 2 2 sin sin cos cos cos c c x x x a b a b ϕ ϕ ϕ + = ⇔ − = + + Đặt 2 2 cos c a b α = + ta được phương trình lượng giác cơ bản Cách 2: • Xét cos 0 2 , k 2 x x k π π = ⇔ = + ∈Z có là nghiệm của (1) không • Xét cos 0 2 , 2 x x k k π π ≠ ⇔ ≠ + ∈Z Đặt tan 2 x t = . Khi đó 2 2 sin 1 t x t = + và 2 2 1 cos 1 t x t − = + Phương trình trở thành: ( ) 2 2 2 2 2 1 . . 2 0 (2) 1 1 t t a b c b c t at c b t t − + = ⇔ + − + − = + + Giải (2) theo t, tìm được t thay vào tan 2 x t = suy ra x Cách 3: Nếu 0a ≠ chia 2 vế cho a rồi ta đặt tan b a α = 2 2 π π α   − < <  ÷   Phương trình trở thành: sin sin cos os c x x c a α α + = os sin sin cos os sin( ) os c c c x x c x c a a α α α α α ⇔ + = ⇔ + = Đặt sin cos c a ϕ α = ta được phương trình lượng giác cơ bản sin( ) sinx α ϕ + = Ví dụ minh họa 1) Giải phương trình 2 sin 3 6 cos3 2x x+ = (1) 9 Một số phương pháp giải phương trình lượng giác 011/22/2014 Giải (1) sin 3 3cos3 2x x⇔ + = sin 3 tan cos3 2 3 x x π ⇔ + = 2 sin 3 cos sin cos3 2 cos sin 3 3 3 3 3 2 x x x π π π π   ⇔ + = ⇔ + =  ÷   2 3 2 3 2 3 4 36 3 12 , 3 5 5 2 3 2 3 2 3 4 12 36 3 k x k x x k k k x k x k x π π π π π π π π π π π π π π    + = + = − + = − +    ⇔ ⇔ ⇔ ∈       + = + = + = +       Z Vậy nghiệm của (1) là 2 36 3 k x π π = − + , 5 2 36 3 k x π π = + ( ) k ∈Z 2) Giải phương trình ( ) 2 3 sin cos 2 3x x+ − = + (2) Giải  Xét cos 0 2 2 x x k π π = ⇔ = + không là nghiệm của phương trình (2)  Xét cos 0 2 x ≠ Đặt tan 2 x t = . Khi đó 2 2 sin 1 t x t = + và 2 2 1 cos 1 t x t − = + Phương trình (2) trở thành: ( ) 2 2 2 2 1 2 3 2 3 1 1 t t t t − + − = + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 2 1 2 3 1 1 1 3 2 2 3 3 3 0 3 t t t t t t t ⇔ + − + = + + =  ⇔ + − + + + = ⇔  =  + Với 1 tan 1 2 x t = ⇔ = 2 , 2 4 2 x k x k k π π π π ⇔ = + ⇔ = + ∈Z + Với 3 tan 3 2 x t = ⇔ = 2 2 , 2 3 3 x k x k k π π π π ⇔ = + ⇔ = + ∈Z Vậy nghiệm của (2) là 2 2 x k π π = + , 2 2 3 x k π π = + ( ) k ∈Z 3) Giải phương trình ( ) 2 2 sin cos cos 3 cos 2x x x x+ = + (3) Giải (3) 2 2 2 sin cos 2 2 cos 3 cos2x x x x⇔ + = + ( ) 2 sin 2 2 1 cos2 3 cos2x x x⇔ + + = + 10 [...]... 2 2 2 Một số phương pháp giải phương trình lượng giác không mẫu mực 2.1 Phương pháp đặt ẩn số phụ Phương pháp Dùng phương pháp đặt ẩn số phụ ta có thể đưa một phương trình lượng giác thành một phương trình đại số + Đặt t= f(x) + Tìm điều kiện cho ẩn số phụ t + Biến đổi phương trình đã cho thành một phương trình đã biết cách giải như phương trình bậc hai, bậc ba theo t Một số dạng phương trình thường... (với cos α = 1− 5 k ∈ Z ) )( 2 2.2 Giải phương trình lượng giác bằng cách đưa về phương trình tích Phương pháp Dùng các công thức biến đổi lượng giác, hệ thức cơ bản, nhóm các hạng tử, chia đa thức,….để đưa phương trình cần giải về dạng tích các phương trình cơ bản, phương trình đơn giản như phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx, phương trình đối xứng, phương trình đẳng cấp,… A = 0 A.B.C = 0 ⇔... , ta được một phương trình bậc k theo t = tan x 14 Một số phương pháp giải phương trình lượng giác 011/22/2014 1.6 Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx Dạng 1: a ( sin x + cos x ) + b sin x cos x + c = 0 Cách giải π  Đặt t = sin x + cos x = 2 sin  x + ÷ 4  Điều kiện: t ≤ 2 (*) Suy ra sin x cos x =  t 2 −1 2 Khi đó phương trình trở thành: bt 2 + 2at + 2c − b = 0 Giải phương trình theo t kết... Khi đó tan 2 x + cot 2 x = t 2 + 2 Phương trình trở thành: a (t 2 + 2) + bt + c = 0 ⇔ at 2 + bt + c + 2a = 0 Giải phương trình theo t và kết hợp với điều kiện (nếu có), suy ra t Giải phương trình tan x − cot x = t Cách 1: Ta có tan x − 1 = t ⇔ tan 2 x − t tan x − 1 = 0 tan x Đây là phương trình bậc hai theo tanx Cách 2: 22 Một số phương pháp giải phương trình lượng giác Ta có: ⇔ 011/22/2014 sin x cos... (*), suy ra t 20 Một số phương pháp giải phương trình lượng giác 011/22/2014 Giải phương trình tan x + cot x = t Cách 1: Ta có tan x + 1 = t ⇔ tan 2 x − t.tan x + 1 = 0 tan x Đây là phương trình bậc hai theo tanx Cách 2: Ta có: sin x cos x sin 2 x + cos 2 x 2 + =t ⇔ = t ⇔ sin 2 x = cos x sin x sin x cos x t Đây là phương trình cơ bản của sin2x Ví dụ mimh họa Giải phương trình (tan x + 7) tan x + (cot...Một số phương pháp giải phương trình lượng giác ⇔ 2 sin 2 x + ( 011/22/2014 ) 2 − 1 cos 2 x = 3 − 2 Điều kiện có nghiệm của phương trình: a 2 + b 2 ≥ c 2 Khi đó: 2 + ( ) ( 2 2 −1 ≥ 3 − 2 ) 2 ⇔ 5 − 2 2 ≥ 11 − 6 2 (không thỏa) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm 1.4 Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx Dạng phương trình: a sin 2 x + b sin x cos x + c cos... k ∈ Z) 2.3 Một số phương pháp khác 2.3.1 Phương pháp đưa về tổng các biểu thức không âm A = 0 A2 + B 2 = 0 ⇔  B = 0 Ví dụ minh họa Giải các phương trình sau: 4 cos 2 x + 3 tan 2 x − 4 3 cos x + 2 3 tan x + 4 = 0 (1) 1) Giải Điều kiện: cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ ( π + kπ (*) 2 ) ( ) 2 2 (1) ⇔ 4 cos x − 4 3 cos x + 3 + 3 tan x + 2 3 tan x + 1 = 0 32 Một số phương pháp giải phương trình lượng giác ( ⇔ 2 cos x... ÷ 4  Điều kiện: t ≤ 2 (*) Suy ra sin x cos x =  1− t2 2 Khi đó phương trình trở thành: bt 2 − 2at − 2c − b = 0 Giải phương trình theo t kết hợp với điều kiện (*) suy ra t π  2 sin  x − ÷ = t , suy ra x 4  Giải phương trình lượng giác cơ bản Ví dụ minh họa Giải các phương trình sau: 1) 6(sin x − cos x) + sin x cos x + 6 = 0 (1) Giải π  Đặt t = sin x − cos x = 2 sin  x − ÷ Điều kiện: t ≤ 2... 2 4 2 27 Một số phương pháp giải phương trình lượng giác 011/22/2014 So sánh với điều kiện (*), suy ra nghiệm của (5) là x = k 2π , x = − π + k 2π ( k ∈ Z) 2 Giải phương trình 5sin 2 x − 12(sin x − cos x ) + 12 = 0 (6) 6) Giải (6) ⇔ 10sin x cos x − 12(sin x − cos x) + 12 = 0 π 4 Đặt t = sin x − cos x = 2 sin( x − ) Điều kiện − 2 ≤ t ≤ 2 Khi đó sin x cos x = 1− t2 2  1− t2  Phương trình trở thành:... x = 3 2 2 2 + Với sin x cos x − cos x − 1 = 0 ⇔ Vì a 2 + b 2 = 2 < c 2 = 9 nên phương trình trên vô nghiệm Vậy nghiệm của (1) là x = 2) π + kπ 2 ( k ∈ Z) Giải phương trình sin 2 x(tan x + 1) = 3sin x(cos x − sin x) + 3 (2) Giải Điều kiện: cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ π + kπ , k ∈ Z 2 13 (*) Một số phương pháp giải phương trình lượng giác  sin x 011/22/2014  2 + 1÷ = 3sin x ( cos x − sin x ) + 3 Khi đó (2) ⇔ sin . + Một số phương pháp giải phương trình lượng giác 011/22/2014 B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Nhìn chung có hai phương pháp để giải phựơng trình lượng giác là biến đổi phương trình. 1 B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 5 1. Một số phương trình lượng giác mẫu mực 5 1.1. Phương trình lượng giác cơ bản 5 1.2 Phương trình bậc hai đối với sinx, cosx, tanx, cotx 7 1.3 Phương. cosx 15 1.7 Phương trình đối xứng đối với tanx và cotx 20 2. Một số phương pháp giải phương trình lượng giác không mẫu mực 24 2.1 Phương pháp đặt ẩn số phụ 24 2.2 Giải phương trình lượng giác bằng