SKKN: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình lượng giác

Sáng kiến “Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình lượng giác” giúp học sinh hình thành kĩ năng giải phương trình lượng giác bằng phương pháp đặt ẩn phụ và nâng cao thêm kiến thức cho các em. Mời quý thầy cô và các em tham khảo sáng kiến trên.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI TRƯỜNG THPT SỐ TP LÀO CAI * * * - SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: " SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC" Mơn: Tốn Người thực : Vũ Thị Kim Oanh Giáo viên mơn Tốn Chức vụ: Tổ trưởng chun môn Năm học : 2011 – 2012 A MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Phương trình lượng giác kiến thức chương trình Đại số giải tích 11 nói riêng chương trình Tốn phổ thơng nói chung Có nhiều cách để giải phương trình lượng giác - cách thường sử dụng là: Phương pháp đặt ẩn phụ Trong Sách giáo khoa Đại số giải tích lớp 11 hành, chưa hình thành rõ nét phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình lượng giác nên học sinh bước đầu cịn khó khăn vận dụng Song số toán lượng giác giải phương pháp đơn giản tối ưu phương pháp khác, đề thi Đại học - Cao đẳng thường xuất loại tốn Vì vậy, tơi viết đề tài để giúp học sinh hình thành kĩ giải phương trình lượng giác phương pháp đặt ẩn phụ nâng cao thêm kiến thức cho em II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: Trong đề tài tơi chia thành nội dung cần làm rõ sau: Đặt điều kiện kiểm tra điều kiện Kết hợp nghiệm Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình lượng giác Với nội dung trình bày theo hệ thống lơ gíc chặt chẽ từ toán đơn giản, đến phức tạp phân tích vấn đề Từ hình thành kĩ giải phương trình lượng giác phương pháp đặt ẩn phụ III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: Các kiến thức phương trình lượng giác chương trình tốn THPT IV ĐỐI TƯỢNG KHẢO SÁT, THỰC NGHIỆM : Ôn tập kiến thức cho học sinh 11 chương trình Ơn thi ĐH V PHẠM VI VÀ KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU : Phạm vi nghiên cứu: Trường THPT số Thành phố Lào Cai Kế hoạch nghiên cứu: - Thời gian bắt đầu: Tháng 09 năm 2011 - Thời gian hoàn thành: Tháng 12 năm 2011 VI PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Nghiên cứu tài liệu liên quan đến đề tài - Quan sát, điều tra - Tổng kết kinh nghiệm - Lập bảng biểu, thống kê … B NỘI DUNG I CƠ SỞ KHOA HỌC Cơ sở lý luận * Các công thức biến đổi lượng giác a) Công thức cộng: cos(a - b) = cosacosb + sinasinb ; cos(a + b) = cosacosb - sinasinb sin(a + b) = sinaccosb + cosasinb ; sin(a - b) = sinacosb - cosasinb tan(a  b)  tan a  tan b  tan a.tan b b) Công thức nhân đôi: cos2a = cos2a - sin2a = 2cos2a - = 1- 2sin2a tan 2a  ; sin2a = 2sinacosa tan a      a   k , a   k   tan a  2 cos a  c) Công thức hạ bậc:  cos 2a d) Công thức biến đổi: - Tích thành tổng: cos a cos b  cos(a  b)  cos(a  b) sin a sin b  cos(a  b)  cos(a  b) sin a cos b  sin(a  b)  sin(a  b) - Tổng thành tích: cos a  cos b  2cos ab a b cos 2 cos a  cos b  2sin sin a  sin b  2sin ab ab sin 2 ab ab cos 2 ; sin a   cos 2a sin a  sin b  2cos ab a b sin 2 * Phương trình lượng giác a) Phương trình sinx = a : - Trường hợp a  : Phương trình vơ nghiệm - Trường hợp a  :  x    k 2 (k  Z ) với sin   a Phương trình có nghiệm là:   x      k 2        Nếu số thực  thỏa mãn điều kiện  2 ta viết   arcsina Khi sin   a  x  arcsina  k 2 (k  Z ) đó, phương trình có nghiệm là:   x    arcsina  k 2 b) Phương trình cosx = a : - Trường hợp a  : Phương trình vơ nghiệm - Trường hợp a  : Phương trình có nghiệm là: x    k 2 ( k  Z ) với cos  a 0     Nếu số thực  thỏa mãn điều kiện  ta viết   arccosa Khi đó, cos  a phương trình có nghiệm là: x  arccosa  k 2 (k  Z ) c) Phương trình tanx = a : - Điều kiện phương trình : x    k ( k  Z ) Phương trình có nghiệm là: x    k ( k  Z ) với tan   a        Nếu số thực  thỏa mãn điều kiện  2 ta viết   arctana Khi  tan   a đó, phương trình có nghiệm là: x  arctana  k (k  Z ) d) Phương trình cotx = a : - Điều kiện phương trình : x  k (k  Z ) Phương trình có nghiệm là: x    k (k  Z ) với cot   a 0     ta viết   arccota Khi đó, Nếu số thực  thỏa mãn điều kiện  cot   a phương trình có nghiệm là: x  arccota  k (k  Z ) Cơ sở thực tiễn Phần lý thuyết cách giải phương trình lượng giác phương pháp đặt ẩn phụ sách giáo khoa hành viết lồng vào cách giải phương trình lượng giác cụ thể nên chưa tách biệt rõ Các kiến thức có liên quan phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình lượng giác trình bày đơn giản, hệ thống ví dụ chưa phong phú Chính sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình lượng giác em học sinh cịn lúng túng, việc định hướng cịn gặp nhiều khó khăn Các tập sách giáo khoa cịn khơng đa dạng nên gây khó khăn cho học sinh ôn tập dạng toán đặc biệt ôn thi Đại học – Cao đẳng Qua khảo sát thực tiễn 40 học sinh lớp 11, kết đạt sau: Kết Số học sinh Tỷ lệ Điểm giỏi 2,5% Điểm 12,5% Điểm trung bình 13 32,5% Điểm yếu 10 25% Điểm 11 27,5% II MƠ TẢ, PHÂN TÍCH CÁC GIẢI PHÁP ĐẶT ĐIỀU KIỆN VÀ KIỂM TRA ĐIỀU KIỆN - Đối với việc giải phương trình lượng giác bước đặt điều kiện cho phương trình bước làm quan trọng khơng thể bỏ qua, định việc tìm nghiệm hay sai - Hầu hết tập ta đưa điều kiện cụ thể ẩn Song số tập ta cần đưa điều kiện trung gian mà không cần đưa điều kiện cụ thể ẩn điều khơng cần thiết phức tạp Ví dụ 1: Giải phương trình:  tan x  cot x (cos x  sin x) cot x  (1) Giải: tan x  cot x  cot x    sin x  Điều kiện : sin x   cot x  cos x   sin x  (*) Với điều kiện (*) : tan x  cot x  cot x   sin x cos x sin x.2 sin x cos x  cos x(1  sin x)    cos x sin x cos x sin x sin x cos x  sin x sin x Do đó: (1)  sin x  2 (cos x  sin x).sin x  cos x  cos x  sin x Kết hợp với điều kiện (*) ta : x     k 2 , k Z Kết luận : Phương trình cho có nghiệm x     k 2 , k Z *, Như vậy: Với cách đặt điều kiện dạng điều kiện trung gian (*) giúp ta giải tốn dễ dàng việc tìm điều kiện x thoả mãn (*) phức tạp giải phương trình ta cần kiểm tra điều kiện dạng hệ điều kiện (*) đủ - Khi giải phương trình lượng giác bước kiểm tra điều kiện bước quan trọng giúp ta định hướng lời giải tìm nghiệm phương trình cho Bước kiểm tra điều kiện đơn so sánh xem ẩn tìm thoả mãn điều kiện đặt hay chưa? Song với số tập bước kiểm tra điều kiện khơng có vậy, bao gồm việc kiểm tra ẩn số yếu tố có liên quan đến ẩn khác có thoả mãn giả thiết tốn đưa hay khơng? Ví dụ 2: Cho cos x  10  với 0  x  90 Hãy tìm sin x , từ suy x Giải: Ta có : +, sin x    10  62  16 Vì 0  x  90 nên sin x  sin x  +, sin x  sin x cos x  10  62 ; cos x  cos x  sin x   10  +, sin x  sin x cos x  2  x  k Như vậy: sin x  cos x    x    k 2 5  , kZ  x  180 Vì 0  x  90 nên   x  30 Nhận thấy: cos 30   10  nên x  30 khơng thoả mãn Kết luận : Phương trình cho có nghiệm x = 180 *, Đối với tập trình giải phương trình ta kiểm tra điều kiện 0  x  90 Tuy nhiên: Khi tìm sin x suy x kiểm tra điều kiện 0  x  90 chưa đủ có x  30 khơng thoả mãn Mà ta kiểm tra điều kiện cos 30  10  , điều kiện giá trị lượng giác x điều kiện x KẾT HỢP NGHIỆM - Giải phương trình lượng giác dạng tốn khó, khơng gây cho ta khó khăn tìm điều kiện, tìm phương pháp giải mà trở ngại thường gặp phải việc kết hợp nghiệm - Với số tập việc tìm điều kiện, tìm phương pháp giải đơn giản song việc kết hợp nghiệm lại phức tạp, câu trả lời nghiệm phương trình lại khơng thể đưa dạng hệ điều kiện mà có giá trị nghiệm trùng điều kiện hệ đưa - Để giải khó khăn ta sử dụng cơng cụ hữu hiệu đường trịn lượng giác, người giải cần nắm rõ quy tắc biểu diễn cung lượng giác đường trịn lượng giác Ví dụ 3: Giải phương trình: cos x  sin 3x  (2) Giải: +, Trường hợp 1: cos x   k 2   x   k 2 (*) , k  Z Với điều kiện (*), phương trình (2) trở thành :      x    l sin( x  )  ,( l , n  Z ) cos x  sin x   sin(  x)  sin x     x     n  cos(   x)        x    m 2   Kết hợp với (*) ta  x    m 2    x  3  m2  +, Trường hợp 2: cos x     k 2  x  y , mZ O x 3  k 2 (**) , k  Z Với điều kiện (**), phương trình (2) trở thành :     x   l sin( x  )     4  cos x  sin x   sin( x  )  sin x       x   n  cos(  x)    ( l, n  Z ) y 5   x   m2  9 Kết hợp với (**) ta  x   m2    x  10  m2  , mZ Kết Luận: Phương trình cho có nghiệm x   x   k 2 , x  , O   k 2 , 3 5 9 5  k 2 , x   k 2 , x   k 2 , x   k 2 , k  Z 8 *, Qua tập ta thấy việc định hướng tìm lời giải tương đối dễ dàng song việc tìm nghiệm phương trình phức tạp nhiều ta phải sử dụng đường tròn lượng giác để kết hợp nghiệm trường hợp tìm nghiệm cuối phương trình x SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Khi giải phương trình lượng giác ta thường gặp số phép đặt ẩn phụ sau: Đặt t  tan x phương trình có dạng f (sin x, cos x)  2 Đặt t  tan x phương trình có dạng f (sin x, sin x)  Đặt t  tan x  cot x , t  phương trình cho phương trình đối xứng tan x cot x Đặt t  sin x , t  phương trình có dạng f (sin x, cos x)  Đặt t  cos x , t  phương trình có dạng f (cos x, cos x)  Đặt t  cos x , t  phương trình có dạng f (sin m x, cos n x)  Đặt t  1 , t  phương trình có dạng f ( , tan x)  cos x cos x Đặt t  1 , t  phương trình có dạng f ( , cot x)  sin x sin x Đặt t  sin x  cos x , t  phương trình có dạng f (sin x  cos x, sin x)  10 Đặt t  f ( x)  g ( f ( x)  phương trình có dạng f ( x) 1 , f ( x)  )0 f ( x) f ( x) Ví dụ 4: Giải phương trình: (  1)(sin x  cos x)  sin x cos x    (3) Giải: Đặt t  sin x  cos x , t  sin x cos x  t  Khi : phương trình (3) trở thành t  t  (  1)t     ( thoả mãn ) t     x   k  Với t  ta có : sin x  cos x   cos( x  )   , kZ   x    k 2   5 Với t   ta có : sin x  cos x    cos( x  )    x   k 2 , k  Z 4 Kết luận: Phương trình cho có nghiệm x    k , x    k , x  5  k 2 , k Z *, Qua ví dụ ta thấy với phương pháp đặt ẩn phụ , đặt t  sin x  cos x ( t  ) tốn trở nên đơn giản dễ giải Tuy nhiên: Khi sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ số phếp biến đổi khơng tương đương, sau tìm giá trị ẩn phụ ta cần phải kiểm tra lại điều kiện Và điều cần ý : Khi sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ ta cần phải điều kiện ẩn phụ, việc làm quan trọng giúp ta giải toán nhanh loại số giá trị không phù hợp đặc biệt toán giải biện luận giúp ta định hướng có câu trả lời xác Ví dụ 5: Tìm điều kiện tham số để phương trình sau có nghiệm? 2a (sin x  cos x)  sin x  a  (4) (a tham số) Giải: Đặt t  sin x  cos x , t  sin x  t  Khi đó: phương trình (4) trở thành t  2at  a   (4’) t  a  Ta có :    nên phương trình (4’) có nghiệm  t  a    a   Phương trình (4) có nghiệm  t      a     1  a  1 Kết luận: Phương trình cho có nghiệm    a   *, Qua ví dụ ta thấy, điều kiện ẩn phụ có vai trị lớn q trình giải tốn, giúp ta có lời giải xác đầy đủ Như vậy: ta khơng đưa điều kiện t  việc trả lời câu hỏi “điều kiện để phương trình có nghiệm?” gặp nhiều khó khăn ta phải đưa dạng phương trình lượng giác để giải tiếp *, MỘT SỐ BÀI TẬP : Bài 1: Giải phương trình sau: 1, sin x  cos x   Giải: Nhận thấy x    k 2 nghiệm phương trình Đặt t  tan x 2t 1 t sin x  ;  cos x 1 t 1 t Khi đó: phương trình cho trở thành  3 t  3t  6t      3 t   Với t  x 3 3 3 tan   x  2arctan  k 2 , k  Z 3 Với t  x 3 3 3 tan   x  2arctan  k 2 , k  Z 3 Kết luận: Phương trình cho có nghiệm x  2arctan x  2arctan 3  k 2 , 3  k 2 , k  Z sin x(tan x  1)  3(cos x  sin x)  (2) 2, Giải: Điều kiện : cos x   x    k (*) , k  Z Chia hai vế phương trình (2) cho cos x , ta : sin x cos x sin x sin x (tan x  1)  .(  )  cos x cos x cos x cos x cos x  tan x(tan x  1)  tan x(1  tan x)  3(1  tan x) (2’) Đặt t  tan x phương trình (2’) trở thành t  1  t  t  3t    t  t       x    n  tan x  1    Khi :  tan x    x   n   tan x      x     n  , n  Z ( thoả mãn điều kiện (*) ) Kết luận: Phương trình cho có nghiệm x   x    k , x    k ,  k , k  Z  cos x  cos x   (3) 3, Giải: Ta có : (3)  2 cos x   cos x    cos x   (3’) Đặt t  cos x , t  phương trình (3’) trở thành  t  2 ( thoả mãn ) 4t     t        x    k 2 cos x  Khi :    x   2  k 2 cos x     , kZ Kết luận: Phương trình cho có nghiệm x     k 2 , x   2  k 2 , k  Z sin x  2 (sin x  cos x)   (4) 4, Giải: Đặt t  sin x  cos x , t  sin x   t Khi : phương trình (4) trở thành t  2t    t  3  Với t  sin x  cos x   sin( x  )   x   k 2 , k  Z Kết luận : Phương trình cho có nghiệm x  5, 3  k 2 , k  Z sin 2 x  cos x  (5) Giải: Ta có : (5)  2(1  cos 2 x)  cos x   cos 2 x  cos x   (5’) Đặt t  cos x , t  phương trình (5’) trở thành t  1 2t  5t     t    (thoả mãn) (loại) Với t  1 ta có : cos x  1  x    k , k  Z Kết luận: Phương trình cho có nghiệm x    k , k  Z   cos x  sin x  cos( x  ).sin(3 x  )   (6) 4 6, Giải: Ta có : (6)   sin x cos x  (sin x  cos x)    sin 2 x  sin x   (6’) Đặt t  sin x , t  phương trình (6’) trở thành t  t2  t     t  2 (thoả mãn) (loại) Với t  ta có : sin x   x    k , k  Z Kết luận: Phương trình cho có nghiệm x    k , k  Z tan x  cot x  tan x  cot x   (7) 7, Giải: Điều kiện: x  k  (*) Đặt t  tan x  cot x , t  tan x  cot x  t  Khi : phương trình (6) trở thành t  1 t  3t     t  2 (loại) (thoả mãn) Với t  2 ta có : tan x  cot x  2  1 sin x  1  sin x  1  x   Kết luận: Phương trình cho có nghiệm x   8, sin x  (1  sin x)  17 (8) Giải: Đặt t  sin x  1 ,   t  sin x  t  2 2 Khi : phương trình (8) trở thành    m , m  Z (thoả mãn (*) )  k , k  Z  t  4 (t  )  (t  )  17  16t  24t  135    2 t    Với t   (loại) (thoả mãn) 3  ta có : sin x     sin x  1  x    k 2 , k  Z 2 2 Kết luận: Phương trình cho có nghiệm x     k 2 , k  Z Bài 2: Tìm a để phương trình sau có nghiệm khoảng (0;  12 ): cos x  cos 3x  a sin x (1) (a tham số) Giải: Ta có : (1)  cos x  cos 2 x  (a  3) cos x  a   (1’) Đặt t  cos x , t  phương trình (1’) trở thành t  4t  4t  (a  3)t  a     a  t   Với t  : Phương trình (1) khơng có nghiệm x  (0; Với t   12 ) a3  : Ta thấy x  (0; ) cos x  ( ;1) 12 đó: Phương trình (1’) có nghiệm khoảng (0;   12 ) 3 a3  t 1  1  a 1 4 Kết luận: Phương trình cho có nghiệm khoảng (0;  12 ) < a < Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm khoảng (0;  ) sin x  2m (sin x  cos x)  2m   (1) (m tham số) Giải:  Đặt t  sin x  cos x  sin( x  ) , t  sin x  t  Khi : phương trình (1) trở thành  t  2t  2m 2t  2m      t   2 (2m  1) Với t  7 phương trình (1) có nghiệm (0;  ) x  12 Với t  (2m  1) 2   sin( x  ) = (2m  1)  sin( x  ) = (2m  1) (1’) 4 Như vậy: phương trình (1) có nghiệm (0;  )  phương trình (1’) có nghiệm khác 7 (0;  ) 12  7 2 t  Ta thấy : x  (0;  ) sin( x  )  ( ;1 x  đó: phương trình (1’) có nghiệm khác 12 7 (0;  ) 12 1   m  (2m  1)       2 m  2 m     1  m  Kết luận: Phương trình cho có nghiệm khoảng (0;  )  2 m   III KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Chuyên đề áp dụng vào giảng dạy lớp đạt kết tốt: - 100% học sinh nắm thể loại yêu cầu đề - 100% học sinh nắm phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình lượng giác - 90% học sinh đạt điểm kiểm tra từ trung bình trở lên khơng có học sinh đạt điểm Cụ thể kết kiểm tra 40 em học sinh sau: Kết Số học sinh Tỷ lệ Điểm giỏi 20% Điểm 15 37,5% Điểm trung bình 13 32,5% Điểm yếu 10% C KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ - Trên vài trao đổi nhỏ phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình lượng giác thơng qua số ví dụ tập Qua học sinh phần nắm lý thuyết hình thành kỹ giải phương trình lượng giác phương pháp đặt ẩn phụ để từ vận dụng tốt vào việc giải tập Tuy nhiên, để làm tốt dạng toán học sinh cần nắm vững lý thuyết, có kỹ biến đổi lượng giác nhằm đưa phương trình dạng quen thuộc đặt ẩn phụ Hy vọng chuyên đề đóng góp phần vào việc ơn tập có hệ thống phát huy khả sáng tạo em học sinh - Trên vấn đề lượng giác mà muốn đề cập đến điều mà tơi muốn làm rõ phương pháp tìm lời giải cho toán giúp cho em học toán nhẹ nhàng hơn, thú vị sáng tạo hơn.Qua đúc rút kinh nghiệm giảng dạy đối tượng học sinh áp dụng chủ quan đánh giá học sinh tiếp nhận tương đối tốt phần đạt kết định Tuy nhiên, với kinh nghiệm giảng dạy cịn chưa nhiều kiến thức vơ tận nên khuôn khổ hạn hẹp chuyên đề chắn cịn thiếu sót, tơi mong nhận đóng góp tổ chun mơn, bạn đồng nghiệp em học sinh Xin cảm ơn ý kiến phê bình đóng góp Tơi tiếp tục hoàn thiện vấn đề nêu có ý tưởng D TÀI LIỆU THAM KHẢO SGK SBT ĐSGT lớp 11 Phân loại phương pháp giải toán lượng giác 11 Tác giả: Lê Mậu Thống, Trần Đức Huyên, Lê Mậu Thảo Các chuyên đề luyện thi vào đại học lượng giác Tác giả: Trần Văn Hạo (chủ biên), Nguyễn Cam , Nguyễn Mộng Hy, Trần Đức Huyên , Cam Duy Lễ, Nguyễn Sinh Nguyên, Nguyễn Vũ Thanh Toán nâng cao lượng giác Tác giả: Phan Huy Khải Tạp chí Tốn học tuổi trẻ, đề thi ĐH số tài liệu khác E MỤC LỤC Trang A Mở đầu I Lí chọn đề tài II Mục đích nghiên cứu III Đối tượng nghiên cứu IV Đối tượng khảo sát, thực nghiệm V Phạm vi kế hoạch nghiên cứu VI Phương pháp nghiên cứu B Nội dung I Cơ sở khoa học Cơ sở lí luận Cơ sở thực tiễn II Mơ tả, phân tích giải pháp Đặt điều kiện kiểm tra điều kiện Kết hợp nghiệm Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình lượng giác 10 III Kết nghiên cứu 17 C Kết luận kiến nghị 18 D Tài liệu tham khảo 18 Lào Cai, ngày 20 tháng 12 năm 2011 Người viết Vũ Thị Kim Oanh ... nghiệm phương trình phức tạp nhiều ta phải sử dụng đường tròn lượng giác để kết hợp nghiệm trường hợp tìm nghiệm cuối phương trình x SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC... nhỏ phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình lượng giác thơng qua số ví dụ tập Qua học sinh phần nắm lý thuyết hình thành kỹ giải phương trình lượng giác phương pháp đặt ẩn phụ để từ vận dụng. .. phương trình lượng giác cụ thể nên chưa tách biệt rõ Các kiến thức có liên quan phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình lượng giác trình bày đơn giản, hệ thống ví dụ chưa phong phú Chính sử dụng