Một số phép biến đổi thường dùng khi giải phương trình lượng giác

Trong việc giải phương trình lượng giác việc xét mối quan hệ các góc của các hàm số rất quan trọng vì điều này sẽ giúp chúng ta áp dụng công thức lượng giác hợp lí. Tài liệu xin giới thiệu đến các bạn các phương pháp giải, một số phép biến đổi và một số kĩ năng cơ bản giúp các bạn nhận dạng và vận dụng các công thức lượng giác hợp lý để giải quyết tốt bài toán giải phương trình lượng giác.

MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI THƯỜNG DÙNG KHI GIẢI Vững vàng PHƯƠNG tảng, KhaiLƯỢNG sáng GIÁC tươg lai TRÌNH MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI THƯỜNG DÙNG KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI THƯỜNG DÙNG: “Để đưa PT tích hay để rút gọn” 1)  sin x  (sin x  cos x) ;  sin x  (sin x  cos x)2 2)  tan x  cos x  sin x sin x  cos x ,  cot x  , cos x sin x 3) sin x cos x  sin x 4) cos x  cos2 x  sin x   cos x  sin x   cos x  sin x  sin x   cos x  1  cosx  1  cos x  5) cos2 x   sin x  1  sin x  1  sin x  6) t anx+ cot x  sin x  cos2 x 2cos2x sin x  cos2 x , t anx  cot x    sin x.cosx sin x.cosx sin 2x sin 2x 7) sin x  cos3 x  (sin x  cos x)(1  sin x.cos x) , sin x  cos3 x  (sin x  cos x)(1  sin x.cos x) 8) cos x  sin x  cos x  sin x  cos x 1   cos x  sin x  cos4 x   2sin x.cos2 x   sin 2 x       cos x 2   4 3   cos x  sin x  cos6 x   3sin x.cos2 x   sin 2 x       cos x 4   8 3 3 3 9) sin   x   sin cos x  cos sin x   cos x 2   7 7  7  cos   x   cos cos x  sin sin x  sin x 2       sin  x    sin x.cos  cos x.sin   sin x  cos x  4 4  II MỘT SỐ KĨ NĂNG NHẬN DẠNG THƯỜNG DÙNG: “Để vận dụng công thức lượng giác hợp lý để giải tốn giải PTLG” Khi gặp PTLG có chứa: - “Bình phương, khác góc” ta thường sử sụng cơng thức hạ bậc - “Tích hàm số lượng giác sin cos” ta thường biến đổi tổng - “Tổng hàm số lượng giác sin cos” ta thường biến đổi tích - “Góc gấp đơi nhau” ta thường sử dụng công thức nhân đôi 3 7   x ta thường sử dụng công thức cộng - “Các góc đặc biệt”, VD như: x  , x  , 4 để biến đổi trước Lưu ý cặp gặp phụ Vững vàng tảng, Khai sáng tươg lai III MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG: Bài toán 1: Giải PTLG sau: cot x   cos x  sin x  sin x  tan x Nhận xét : “Ở toán ta vận dụng phép biến đổi để đưa PT tích” HD: Điều kiện: sin x.cos x  và tanx ≠ 1 cot x   PT  cos x  sin x  sin x  tan x cos x  sin x  cos x  sin x  cos x  sin x    sin x  sin x  cos x  cos x  sin x sin x cos x     sin x  cos x   sin x  cos x  0 sin x   (1) sin x  cos x    sin x  cos x   (2) sin x  ĐS: x    k   (1  sin x  cos 2x) sin  x   4  Bài toán 2: Giải PTLG sau:  cos x  tan x  Nhận xét : “Ở tốn ta thấy có chứa sin  x     sin x  cos x  mẫu có  chứa  tan x  4 sin x  cos x nên ta phân tích để rút gọn tử mẫu cho (sinx + cosx)” cos x HD: Điều kiện: cos x  và tanx ≠ 1 PT   (sin x  cos x) cos x  cos x sin x  cos x (1  sin x  cos x) (1  sin x  cos x).(sin x  cos x) cos x  cos x sin x  cos x  (1  sin x  cos x)   sin x  cos x  “Góc 2x 1x: nên sử dụng CThức nhân đơi” Vững vàng tảng, Khai sáng tươg lai  2sin x  sin x    sin x  1(loai) hay sin x    7 ÐS : x    k 2 hay x   k 2 ( k  ) 6 Bài toán 3: Giải PTLG sau:  sin x  7   sin   x      sin  x     7 3 Nhận xét: “Ở tốn ta thấy có chứa sin  x   sin   x  nên ta sử dụng     công thức cộng để biến đổi” HD: 3  sin  x   3 3   cos x.sin  cos x   sin x.cos 2  7 7  7  sin   x   sin cos x  cos sin x    sin x  cos x  4   Điều kiện: sin x  0, cos x  PT trở thành: 1     2(sin x  cos x)   (sin x  cos x)  2 20 sin x cos x  sin x.cos x     sin  x      5    ÐS : x    k , x   k , x   k 8  1 sin x   Bài toán 4: Giải PTLG sau:  cos x  sin x   tan x  cot x cot x  Nhận xét: “Ở toán ta vận dụng phép biến đổi để rút gọn vế phải, vế trái có chứa tanx + cot2x ta biến đổi trước” HD: Ta có: tan x  cot x  sin x.sin x  cos x.cos x cos  x  x    cos x.sin x cos x.sin x sin x Vững vàng tảng, Khai sáng tươg lai Điều kiện: sin2x.(tanx + cot2x)  cotx  PT   cos x  sin x    sin x  2.sin x  cos x  cos x  sin x sin x sin x Tìm nghiệm kết hợp điều kiện ta được: x     k 2  k   x Bài toán 5: Giải PTLG sau: cot x  sin x 1  tan x.tan    2 x Nhận xét: “Ở toán ta để ý vế trái có chứa 1  tan x.tan  ta biến đổi trước”  2 HD: x x cos  x  x  cos x.cos  sin x.sin   x 2  2  Ta có:  tan x.tan  x x cos x cos x.cos cos x.cos 2 Điều kiện: sinx ≠ 0, cosx ≠ PT  cot x  tan x   tan x  4.tan x    tan x     ĐS: x  arctan   k Bài toán 6: Giải PTLG sau: (1  2sin x) cos x  (1  2sin x)(1  sin x) Nhận xét: “Biến đổi sử dụng cách giải PT: a.sinx + b.cosx = c” HD: PT  cos x  sin x  1  sin x  2.sin x   cos x  sin x   cos x  sin x  “Ta chuyển góc qua vế để đưa dạng a.sinx + b.cosx”  cos x  sin x   cos x  sin x   3.sin x  cos x  sin x  3.cos x “Chia hai vế PT cho 2” Vững vàng tảng, Khai sáng tươg lai      sin  x    sin  x   6 3   ĐS: x    18 k 2 3 ,x   l 2 Bài toán 7: Giải PTLG sau: sin x  cos x sin 2x  cos3x  2(cos 4x  sin x) (B – 2009) Nhận xét: “Biến đổi sử dụng cách giải PT: a.sinx + b.cosx = c” Ở toán ta thấy có chứa tích: cosx.sin2x nên ta biến đổi tổng có sin3x nên ta sử dụng công thức nhân ba để hạ bậc 3” HD:  sin 3x  sin x   cos 3x  2(cos x  sin x  sin 3x) 4 3  sin 3x  sin x  cos 3x  2cos x  sin x  sin x 2 2 PT  sin x   sin 3x  cos3x  2cos x “Ta chuyển góc qua vế để đưa dạng a.sinx + b.cosx”  sin 3x  cos 3x  cos 4x “Chia hai vế PT cho 2” 2    cos  3x    cos 4x 6  ĐS: x   2  k ,x   k2 42 Bài toán 8: Giải PTLG sau: 2.sin 2 x  sin x   sin x Nhận xét: “Bình phương, khác góc ta thường sử dụng công thức hạ bậc” HD: PT   cos x  sin x   sin x  sin x  sin x  cos x  “Tổng ta thường biến đổi tích để đặt nhân tử chung”  cos x.s in3x  cos x   cos x(2s in3x  1)  cos x   sin 3x  sin   Vững vàng tảng, Khai sáng tươg lai KL : x   k  ,x   18 k 2 5 2 ,x  k Bài toán 9: Giải PTLG sau: cos 3x cos2x  cos x  Nhận xét: “Bình phương, khác góc ta thường sử dụng cơng thức hạ bậc” HD: cos 3x.cos2x  cos x   1+cos6x  cos x  1+cos2x   cos6x.cos 2x  “Tích ta thường biến đổi tổng”   cos8 x  cos x   2 “Góc 8x 4x: nên sử dụng cơng thức nhân đôi”  2.cos x  cos x   ÐS : x  k  Bài toán 10: Giải PTLG sau: sin 2x  cos2x  3s inx  cos x   Nhận xét: “Góc 2x 1x: nên sử dụng công thức nhân đôi để biến đổi” HD: PT  2sin x.cos x  cos x  3sin x  cos x   “Ở ta nhóm 2.sinx.cosx với cosx nhóm với 3.sinx ta không giải tiếp được”  cos x  2sin x  1  2sin x  3sin x    cos x  2sin x  1   2sin x  1  sin x      2sin x  1 cos x  sin x     2sin x   1  cos x  sin x     , PTVN ÐS : x    k 2 , x  5  k 2 Bài toán 11: Giải PTLG sau: 5.sin x   3.(1  sin x).tan x Nhận xét: “Đưa hàm số lượng giác” Ở tốn ta nhận thấy “cùng góc” nên sử dụng hệ thức lượng giác đưa PT hàm số sinx” Vững vàng tảng, Khai sáng tươg lai HD: PT  5sinx(1  sin x)  2(1  sin x) = 3(1  sinx).sin x  2sin x+sin x  5sinx+2=0  (t  1)(2t  3t  2)  (t = sinx) ÐS : x    k 2 , x    t  1, t  , t  2  k 2 Bài toán 12: Giải PTLG sau: cos3x  cos2x  cosx 1  Nhận xét: “Đưa hàm số lượng giác” Ở toán ta nhận thấy cos3x cos2x ta chuyển cosx nên sử dụng công thức nhân ba công thức nhân đôi để đưa PT hàm số sinx” HD: cos3x  cos2x  cosx    4.cos3 x  3.cos x  2cos x   cos x    (2 cos x  1)(cos x  1)   2cos3 x  cos x  2cosx    cos x  1 ,sin x  ÐS : x   2  k 2 , x  k Bài toán 13: Giải PTLG sau: sin x.sin x  sin x  cos3 x Nhận xét: “Biến đổi đưa PT dạng: a.sin x + b.cos x.sin x + c.cosx.sin x + d.sin x + e.cosx + f.cos x = ” HD: PT  2.sin x.cos x  3sin x  4sin x  6.cos3 x  Khi cosx =  sin x  (khơng thỏa phương trình) Khi cosx ≠ 0: Chia vế cho cos3x, đặt t = tanx ta được: t  2t  3t     t    t  3  Bài toán 14: Giải PTLG sau: sin x  cos3 x  sin x.cos x  3.sin x.cos x Nhận xét: “Biến đổi đưa PT dạng: Vững vàng tảng, Khai sáng tươg lai a.sin x + b.cos x.sin x + c.cosx.sin x + d.sin x + e.cosx + f.cos x = ” HD: Khi cosx =  sin x  (khơng thỏa phương trình) Khi cosx ≠ 0: Chia vế cho cos3x, đặt t = tanx ta được: t  3t  t    (t  3)(t 1)  ÐS : x    t   3, t  1   k , x     k    Bài toán 15: Giải PTLG sau: cos  x    cos  x    cos  x             x x   3  6    x   nên ta áp dụng công Nhận xét: “Ở ta nhận xét góc:  4  thức biến đổi tổng thành tích để biến đổi PT” HD:        PT  2.cos  x   cos  cos  x    cos  x    4 12 4 4    Bài toán 16: Giải PTLG sau: ĐS: x    x  HD: Điều kiện:      Ta có:   x     x   nên tan   x   cot   x  4 4   k  x phụ nhau, tử ta sử dụng phép biến đổi thường gặp”   sin x  cos x  cos x     tan   x  tan   x  4  4  Nhận xét: “Ở ta nhận xét góc       Khi đó: PT   cos x  cos x  cos x  cos x   Vững vàng tảng, Khai sáng tươg lai cos x   cos x    ... k 2 Bài toán 11: Giải PTLG sau: 5.sin x   3.(1  sin x).tan x Nhận xét: “Đưa hàm số lượng giác? ?? Ở toán ta nhận thấy “cùng góc” nên sử dụng hệ thức lượng giác đưa PT hàm số sinx” Vững vàng...   Bài toán 4: Giải PTLG sau:  cos x  sin x   tan x  cot x cot x  Nhận xét: “Ở toán ta vận dụng phép biến đổi để rút gọn vế phải, vế trái có chứa tanx + cot2x ta biến đổi trước” HD: Ta... 7: Giải PTLG sau: sin x  cos x sin 2x  cos3x  2(cos 4x  sin x) (B – 2009) Nhận xét: ? ?Biến đổi sử dụng cách giải PT: a.sinx + b.cosx = c” Ở tốn ta thấy có chứa tích: cosx.sin2x nên ta biến đổi