Sáng kiến kinh nghiệm: Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi giải phương trình lượng giác cơ bản

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH TRUNG BÌNH KHI GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Người thực hiện: Trịnh Thị Lệ Chức vụ : Giáo viên SKKN mơn : Tốn THANH HOÁ NĂM 2013 MỤC LỤC Mục Lục A ĐẶT VẤN ĐỀ B.GIẢI QUYẾT VẤNĐỀ I Cơ sở lí luận II Thực trạng vấn đề III Giải pháp tổ chức thực Phương pháp giải phương trình lượng giác 1.1 Phương trình sinx=a 1.2 Phương trình cosx=a 1.3 Phương trình tanx=a 1.4 Phương trình cotx=a Một số sai lầm học sinh thường mắc phải 2.1 Sai lầm Các ví dụ minh họa 2.2 Sai lầm Các ví dụ minh họa 2.3 Sai lầm Các ví dụ minh họa IV Hiệu SKKN 1.Kết thực tiễn 2.Kết thực nghiệm C.KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ I.Kết luận II.Kiến nghị Trang 3 3 3 4 5 11 11 11 12 12 12 A.ĐẶT VẤN ĐỀ Phương trình lượng giác kiến thức quan trọng mơn Tốn THPT, chiếm phần kiến thức trọng tâm chương trình giải tích 11 đặc biệt học sinh có học lực trung bình giải phương trình lượng giác kiến thức tảng trọng tâm mà học sinh cần phải nắm Trong đề thi đại học, cao đẳng năm có phần giải phương trình lượng giác để học sinh có học lực trung bình làm dạng tốn từ ban đầu phải giải tốt phương trình lượng giác Tuy nhiên có số học sinh chưa hiểu rõ chất nên thường hay mắc sai lầm giải phương trình lượng giác , điều quan trọng phải để học sinh nhận thấy sai lầm biết cách khắc phục để đến kết Một số học sinh có học lực lực trung bình khơng phân biệt đơi nhầm lẫn cung lượng giác cung đặc biệt từ cách nhìn nhận sai lầm dẫn đến giải phương trình lượng giác lại đến kết sai, nhìn thấy yếu điểm học sinh tơi mạnh dạn đề xuất sáng kiến: “ Một số sai lầm thường gặp học sinh giải phương trình lượng giác bản” Nhằm khắc phục yếu điểm nêu từ đạt kết cao từ toán lượng giác tảng ban đầu học sinh cần nắm vững B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Cơ sở lí luận Dựa nguyên tắc trình nhận thức người từ sai đến gần đến khái niệm đúng, nguyên tắc dạy học đặc điểm trình nhận thức học sinh II Thực trạng vấn đề Ở trường trung học mà giảng dạy vùng nông thôn, giáp danh với miền núi, đời sống nhân dân dang cịn khó khăn, dân trí chưa cao, chất lượng học tập học sinh thấp phần lớn học sinh chiếm học lực trung bình cịn chiếm tỉ lệ cao Do việc củng cố lại việc học học sinh từ kiến thức điều quan trọng, muốn làm điều cần phải cho học sinh thấy sai lầm mà em mắc phải, từ khắc phục hạn chế để dạt dược kết cao học tập III Giải pháp tổ chức thực Phương pháp giải phương trình lượng giác phương trình lượng giác 1.1 Phương trình sinx=a (1) a.TH1: a  PT(1) vơ nghiệm b.TH2 : a 1 - Nếu a giá trị sin cung đặc biệt  sin x a  sin x sin   x   k 2   kZ  x     k 2 -Nếu a không giá trị sin cung đặc biệt   x arcsin a  k 2 sin x a   kZ  x   arcsin a  k 2  f ( x )  g ( x)  k 2 k Z * Chú ý : + sin f ( x) sin g ( x)    f ( x)   g ( x)  k 2  x    k 360 0 sin x  sin   +   x 180   1.2 Phương trình cosx=a (2) a TH1: a  PT(2) vô nghiệm b TH2 : a 1 - Nếu a giá trị cosin cung đặc biệt  (a=0,1, , , ) 2 cos x a  cos x cos   x    k 2 , k  Z -Nếu a giá trị cosin cung đặc biệt   x arccos a  k 2 cos x a    x  arccos a  k 2 kZ *Chú ý +> cos f ( x) cos g ( x)  f ( x) g ( x)  k 2 , k  Z +> cos x cos   x   k 360 , k  Z +> cos(  ) cos(   ) 1.3 Phương trình tanx=a (3)  Điều kiện xác định phương trình là: x   k , k  Z Phương pháp (a= 1,0, , ) tanx =a  tan x tan   x   k , k  Z -Nếu a giá trị tang cung đặc biệt  tan x a  x arctan a  k , k  Z -Nếu a giá trị tan cung đặc biệt  * Chú ý : Nếu tan x tan   x   k , k  Z Tổng quát : tan f ( x) tan g ( x)  f ( x)  g ( x)  k , k  Z 0 - Nếu tan x tan   x   k180 - - tan(  )  tan  1.4 Phương trình cotx=a (4) Điều kiện xác định phương trình x  k , k  Z Phương pháp -Nếu a giá trị cotang cung đặc biệt  (a 0 ,1 , , ) cot x a  cot x cot   x   k , k  Z -Nếu a không giá trị cotang cung đặc biệt cot x a  x arc cot a  k , k  Z * Chú ý : - cot x cot   x   k , k  Z Tổng quát : cot f ( x) cot g ( x)  f ( x)  g ( x)  k , k  Z - cot x cot   x   k180 , k  Z - cot(  )  cot  Một số sai lầm mà học sinh thường mắc phải 2.1 Sai lầm 1: học sinh đơi cịn nhầm lẫn giá trị lượng giác cung đặc biệt cung đặc biệt Ví dụ 1: Giải phương trình sau sinx= * Sai lầm thường gặp  sin x   sin x     x   k 2   5  x   k 2  kZ * Hướng khắc phục Học sinh cần phân biệt rõ cung đặc biệt giá trị sin cung đặc biệt   * Lời giải  sin x   sin x sin    x   k 2   kZ 5  x   k 2   5 Vậy nghiệm phương trình : x   k 2 x   k 2 k  Z 6 Ví dụ 2: Giải phương trình sau cosx = 2 cos x    cos x  * Sai lầm thường gặp    x   k 2    x   k 2  kZ * Hướng khắc phục Học sinh cần phân biệt rõ cung lượng giác đặc biệt giá trị cosin cung lượng giác đặc biệt   * Lời giải cos x    cos x cos   x   k 2    kZ  x   k 2     k 2 , k  Z Vậy nghiệm phương trình : x   k 2 x  4 Ví dụ 3: Giải phương trình  tan(2 x  )  3 * Sai lầm thường gặp    tan( x  )   tan( x  )  3    x    k 3   x k ,k  Z * Hướng khắc phục Học sinh cần phân biệt rõ cung lượng giác đặc biệt giá trị tang cung đặc biệt   * Lời giải    tan(2 x  )   tan(2 x  ) tan 3    x    k 3   x k ,k  Z  Vậy nghiệm phương trình : x k , k  Z Ví dụ 4: Giải phương trình  cot( x  ) 1 * Sai lầm thường gặp    cot(2 x  ) 1  cot(2 x  )  3    x    k    x  k ,k  Z 24 * Lời giải    cot(2 x  ) 1  cot(2 x  ) cot 3    x    k    x  k ,k  Z 24   ,k  Z Vậy nghiệm phương trình : x=- + k 24 2.2 Sai lầm 2: Ví dụ 1: Giải phương trình sau sin(3 x  1)  * Sai lầm thường gặp  x   arcsin  k 2  sin(3 x  1)    k Z 3 x    arcsin  k 2  1 2   x   arcsin  k   kZ 1  2  x    arcsin  k 3  * Hướng khắc phục Học sinh cần nắm rõ arcsin số cụ thể ,tránh sai lầm arcsin 1 arcsin 3 * Lời giải   x  arcsin  k 2 sin(3 x  1)    kZ 3 x    arcsin  k 2  1 1 2   x   arcsin  k   k Z 1  1 2  x    arcsin  k 3 3  Vậy nghiệm phương trình x 1 1 2 1  1 2  arcsin  k x    arcsin  k ,k  Z 3 3 3 3 Ví dụ 2: Giải phương trình sau  cos(2 x  )  * Sai lầm thường gặp   x   arccos  k 2   cos(2 x  )      x   arccos  k 2     x   arccos 10  k    x   arccos  k 10  ,k  Z * Lời giải :   x   arccos  k 2   cos(2 x  )      x   arccos  k 2   1   x   arccos  k    1 x   arccos  k  ,k  Z Vậy nghiệm phương trình : x  1  1  arccos  k x   arccos  k , k  Z 8 Ví dụ 3: giải phương trình sau tan(5 x  1)  * Sai lầm thường gặp 1 tan(5 x  1)   x  arctan  k , k  Z 2 1   x   arctan  k 10 * Lời giải 1 tan(5 x  1)   x  arctan  k , k  Z 2 1 1   x   arctan  k 5 1 1  ,k  Z Vậy nghiệm phương trình : x   arctan  k 5 Ví dụ 4: Giải phương trình  cot(3x  )  * Sai lầm thường gặp   cot(3 x  )   x  arc cot  k , k  Z 4    x  arc cot  k ,k  Z 12 * Lời giải   cot(3 x  )   x  arc cot  k , k  Z 4  1   x  arc cot  k ,k  Z 12 3 Vậy nghiệm phương trình : x   1   arc cot  k , kZ 12 3 2.3 Sai lầm 3: học sinh nhiều cơng thức nghiệm lại có tới đơn vị đo độ rađian Ví dụ 1: Giải phương trình sau sin(2 x  15 )  * Sai lầm thường gặp   x  15   k 2  3 sin(2 x  15 )    ,k  Z 2  x  15   k 2   15  x     k    kZ  15  x    k  * Lời giải  x  150 60  k 360   ,k  Z 0  x  15 120  k 360  45 x   k180    kZ 115 x   k180  45 115  k180 x   k180 , k  Z Vậy nghiệm phương trình x  2 sin(2 x  15 )  Ví dụ 2: Giải phương trình sau cos( x  45 ) cos 15 *Sai lầm thường gặp  x  45 15  k 2 cos(x  45 ) cos15   ,k  Z 0  x  45  15  k 2  x  30  k 2   kZ  x  60  k 2 * Lời giải :  x  45 150  k 360 cos( x  45 ) cos15   ,k  Z 0  x  45  15  k 360  x  30  k 360   kZ 0 x   60  k 360  0 10 Vậy nghiệm phương trình x  30  k 360 x  60  k 360 , k  Z Ví dụ 3: Giải phương trình tan(5 x  20 )  * Sai lầm thường gặp tan(5 x  20 )   tan(5 x  20 )  tan    k  20   x   k 30  x  20  * Lời giải : tan(5 x  20 )   tan(5 x  20 ) tan 30  x  20 30  k180  x 2  k180 Vậy phương trình có nghiệm x 2  k180 ,k Z * Hướng khắc phục : học sinh cần nắm rõ công thức nghiệm có đơn vị đo radian độ , đề có đơn vị đo độ bắt buộc công thức nghiệm phải dùng đơn vị đo độ IV.Hiệu sáng kiến kinh nghiệm kết từ thực tiễn Ban đầu học sinh có học lực trung bình gặp nhiều lỗi sai giải phương trình lượng giác Tuy nhiên giáo viên hướng dẫn học sinh tỉ mỉ phương pháp giải phương trình lượng giác sở nhấn mạnh đưa sai lầm mà em thường hay mắc phải để từ học sinh đưa lời giải Sau hướng dẫn học sinh hướng dẫn học sinh giải số toán sách giáo khoa giải tích 11 hầu hết em cẩn thận cách trình bày tránh sai lầm cần lưu ý từ em có lời giải kết thực nghiệm Sáng kiến kinh nghiệm áp dụng năm học 2011-2012,bài kiểm tra lớp có học lực trung bình lớp 11C (47 hs) lớp 11C (47hs) lớp 11C6 áp dụng sáng kiến kinh nghiệm cịn lớp 11C khơng áp dụng ,kết cho ta sau 11 Xếp loại Giỏi Trung bình Yếu Đối tượng 11C6 50% 40% 10% 0% 11C7 0% 2% 60% 38% Sau thực sáng kiến học sinh học tập tích cực hứng thú giải phương trình lượng giác bản, sở tảng để em vào giải dạng phương trình lượng Từ em hiểu rõ chất không máy móc trước nữa, việc thể hiện, phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo học sinh C.KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ I Kết luận Nghiên cứu, phân tích số sai lầm học sinh giải phương trình lượng giác có ý nghĩa lớn q trình dạy áp dụng sáng kiến giúp học sinh nhìn thấy điểm yếu điểm hiểu biết chưa thật thấu đáo vấn đề từ phát huy học sinh tư độc lập, lực suy nghĩ tích cực chủ động, củng cố trau dồi thêm kiến thức giải phương trình lượng giác từ chủ động kiến thức trình học tập kỳ thi II Kiến nghị Hiện nhà trường có số sách tham khảo nhiên chưa có sách tham khảo viết sai lầm học sinh giải tốn Vì nhà trường cần quan tâm loại để học sinh tìm tịi sai lầm thường mắc giải tốn để em có sai lầm làm tập XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 22 tháng năm ĐƠN VỊ 2013 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Kí tên Trịnh Thị Lệ 12 TÀI LIỆU THAM KHẢO Bài tập giải tích 11 ( Trần văn Hạo-Vũ Tuấn-Đào Ngọc Nam) Chuyên đề luyện thi vào đại học phần lượng giác (Trần văn Hạo chủ biên – Nguyễn Cam ) Cẩm nang ôn luyện thi đại học,cao đẳng môn toán tập : lượng giác (Huy Toan –Đào Thùy Linh ) Phương pháp giải toán lượng giác 11(Lê Quang Anh-Lê Qúy Mậu) 13 ... lầm dẫn đến giải phương trình lượng giác lại đến kết sai, nhìn thấy yếu điểm học sinh tơi mạnh dạn đề xuất sáng kiến: “ Một số sai lầm thường gặp học sinh giải phương trình lượng giác bản? ?? Nhằm... cot  Một số sai lầm mà học sinh thường mắc phải 2.1 Sai lầm 1: học sinh đơi cịn nhầm lẫn giá trị lượng giác cung đặc biệt cung đặc biệt Ví dụ 1: Giải phương trình sau sinx= * Sai lầm thường gặp. .. biệt học sinh có học lực trung bình giải phương trình lượng giác kiến thức tảng trọng tâm mà học sinh cần phải nắm Trong đề thi đại học, cao đẳng năm có phần giải phương trình lượng giác để học sinh