Phương trình vô tỉ là một chủ đề hay và rất quan trọng trong chương trình ôn thi Đại học, Cao đẳng và thi học sinh giỏi. Trong những năm gần đây phương trình vô tỉ thương xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng, chọn học sinh giỏi các cấp. Vì vậy cần trang bị cho học sinh những kiến thức liên quan đến phương trình vô tỉ và phương pháp giải chúng là rất quan trọng.
SỞ GIÁO DỤCDỤC VÀ ĐÀO TẠOTẠO VĨNH PHÚC SỞ GIÁO VÀ ĐÀO VĨNH PHÚC TRƯỜNG TRƯỜNGTHPT THPTTRẦN TRẦNHƯNG HƯNGĐẠO ĐẠO =====***===== =====***===== BÁO BÁOCÁO CÁOKẾT KẾTQUẢ QUẢ NGHIÊN NGHIÊNCỨU, CỨU,ỨNG ỨNGDỤNG DỤNGSÁNG SÁNGKIẾN KIẾN Tên Tênsáng sángkiến: kiến:SửSửdụng dụngphương phươngpháp phápđặt đặtẩnẩnphụ phụđểđểgiải giảiphương phươngtrình trìnhvơvơtỉ tỉ Tác Tácgiả giảsáng sángkiến: kiến:Nguyễn NguyễnThị ThịPhương Phương Mã Mãsáng sángkiến: kiến:0952.04 0952.04 Tam Dương, Năm 2018 Tam Dương, Năm 2018 BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu Phương trình vơ tỉ chủ đề hay quan trọng chương trình ôn thi Đại học, Cao đẳng thi học sinh giỏi Trong năm gần phương trình vơ tỉ thương xuất đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng, chọn học sinh giỏi cấp Vì cần trang bị cho học sinh kiến thức liên quan đến phương trình vơ tỉ phương pháp giải chúng quan trọng Có nhiều phương pháp giải chúng, phương pháp có nét độc đáo riêng Tuy nhiên, xuất phát từ trình tự học, tự nghiên cứu thân kinh nghiệm q trình giảng dạy, tơi nhận thấy phương pháp đặt ẩn phụ phương pháp hay, phong phú giải số lượng lớn tập phương trình vơ tỷ Hơn phương pháp phát huy tốt khả tư sáng tạo, khả phân tích phán đốn học sinh Với ưu điểm trên, chọn đề tài:”Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình vơ tỉ” để viết chun đề chun mơn để làm tài liệu dạy học trao đổi với đồng nghiệp Tên sáng kiến: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình vơ tỉ Tác giả sáng kiến: - Họ tên: Nguyễn Thị Phương - Địa tác giả sáng kiến: Trường THPT Trần Hưng Đạo – Tam Dương – Vĩnh Phúc - Số điện thoại: 0983142433 - E_mail: nguyenthiphuong.gvtranhungdao@vinhphuc.com.vn Chủ đầu tư tạo sáng kiến : Nguyễn Thị Phương Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: -Trong chương trình Tốn THPT nhiều chuyên đề phức tạp nhận thức học sinh Tuy nhiên phạm vi đề tài này, nghiên cứu chủ đề phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình vơ tỉ - Về phía học sinh, tơi lựa chọn hai nhóm học sinh lớp 10A5 nhóm thực nghiệm, 10A6 nhóm đối chứng, trường THPT Trần Hưng Đạo – Tam Dương – Vĩnh Phúc, trực tiếp giảng dạy năm học 2017 – 2018 Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: Năm học 2017 -2018 Mô tả chất sáng kiến: 7.1 NỘI DUNG 7.1.1 Cơ sở lý thuyết Định nghĩa bậc hai số học Với số a khơng âm thì: Điều kiện để thức bậc hai có nghĩa: có nghĩa Các cơng thức biến đổi Cách giải biện luận phương trình ax2 + bx +c =0 (a ≠ 0) Δ = b2 - 4ac Kết luận ∆>0 (2) có nghiệm phân biệt ∆=0 ∆ 0, ∀x ∈ ¡ 2 Ta thấy 2 Đặt t = x + x + 28; t ≥ t = t − 5t − 24 = ⇔ t = −3 ( l ) Khi ta phương trình: x = −9 x + x + 28 = ⇔ x = ( thỏa mãn) Với t = ⇒ Vậy phương trình có nghiệm x = -9,x = Ví dụ Giải phương trình x ( x + 5) = x2 + x − − Giải: Đặt t = x + x − t = −2 t − 2t + = ⇔ t − 2t + = ( *) Khi ta phương trình: Phương trình (*) vơ nghiệm x = −2 ⇒ x + x − = −2 ⇔ x + x + = ⇔ x = −3 Với t = -2 Vậy phương trình có nghiệm x = -2,x =-3 Ví dụ 4: Cho phương trình ( x − 3) ( x + 1) + ( x − 3) x +1 = m x−3 (1) a Giải pương trình với m = -3 b Tìm m để phương trình có nghiệm Giải: x ≤ −1 x +1 ≥0⇔ x > Điều kiện: x − x +1 = t ⇔ t = ( x − ) ( x + 1) ( x − 3) x−3 Đặt Khi ta phương trình: t + 4t − m = (2) a Với m = -3 phương trình có nghiệm x = ± 13, x = − b Để phương trình (1) có nghiệm (2) có nghiệm ⇔ ∆ ' ≥ ⇔ + m ≥ ⇔ m ≥ −4 Ví dụ 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x + x + 2m − x − x = m Giải: t = − x − x = − ( x + 1) ⇒ t ∈ 0; Đặt: 2 Khi phương trình trở thành t − 2mt + m − = ( *) ⇔ t = m ± Phương trình cho có 0 ≤ m + ≤ − ≤ m ≤ − ⇔ t ∈ 0; nghiệm (*) có nghiệm hay 0 ≤ m − ≤ ≤ m ≤ + B Bài tập áp dụng Bài Giải phương trình sau: a.x − x + = x − x + ( − x ) ( + x ) = x − x − 12 ( + x ) ( − x ) = x − x − 12 b − c d x + 10 x + = − x − x e.( x − 3) + x − 22 = x − 3x + Bài 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm a (1 + x) ( − x ) = x − x + + m b − x + x + (3 − x) ( x + 1) = m − Trường hợp Nếu toán chứa f ( x) ± g ( x) ; f ( x) g ( x) f ( x) ± g ( x) = t Ta đặt A Các ví dụ Ví dụ Giải phương trình: a x + + x − = x − 12 + x − 16 b.2 ( + x ) + − x + ( − x) =0 Giải: a x + + x − = x − 12 + x − 16 Ta đặt x + + x − = t ≥ ⇒ t = x + x − 16 t = t − t − 12 = ⇔ t = −3 ( l ) Ta phương trình: Với t = ⇔ x − 16 = − x ⇔ x = Vậy phương trình có nghiệm x = b.2 ( + x ) + − x + ( − x) =0 (1) ĐK: −1 ≤ x ≤ Nhận xét x = ±1 không nghiệm phương trình t = −1 1+ x t= ≥ ⇒ ( 1) ⇔ 2t + + = ⇒ x +1 1− x t = − + =1 1− x t ( 1) ⇔ 1− x 1+ x Đặt Vậy phương trình vơ nghiệm B Bài tập áp dụng Giải phương trình a x + x + + x + x = 35 − x b x − + x − = x − + 3x − x + 2 c.1 + x − x2 = x + − x ( ĐHQGHN-HVNH-2000) d x + + x + = 3x + 2 x + x + − e x + + x − + 49 x + x − 42 = 181 − 14 x f x+ 4+ x− = x + x2 − 16− g x+ x h x+ k) x = 2x + = 2x + +4 2x ( ĐHTN- KA, B - 2001) −7 2x z − + z + + ( z − 1)( z + 3) = − z i) (KTQS‘01) 3x − + x − = x − + 3x − x + Trường hợp Một số phương trình giải phương pháp đặt ẩn phụ ẩn phụ không xuất mà phải biến đổi để xuất ẩn phụ Để giải tập đòi hỏi cần phải có khả nhận xét , phân tích đề Ví dụ số phương trình sau: A Các ví dụ Ví dụ Giải phương trình x − x2 − + x + x2 − = Giải: Điều kiện: x ≥ Nhận xét: Đặt x − x − x + x − = x − x − = t ; t > , Ta phương trình: Với t = 1, Ta có: t + = ⇔ t − 2t + = ⇔ t = t x − x − = ⇔ x − = x − ⇔ x = 1( tm ) Vậy phương trình có nghiệm x = Ví dụ Giải phương trình x2 − x − = x + Giải: x≥− Điều kiện : Đặt t = x + ; t ≥ x= t2 − , Thay vào ta phương trình: t − 10t + 25 − t − − = t ⇔ t − 22t − 8t + 27 = 16 2 ⇔ t + 2t − t − 2t − 11 = ( )( ( ) ) t = −1 ± 2 t = −1 + 2 ⇔ ⇔ t = ± t = + (Vì t ≥ ) x + = −1 + 2 ⇔ x = − Với t = −1 + 2 ta có: Với t = + ta có: 4x + = + ⇔ x = + Vậy phương trình có nghiệm x = − 2; x = + Nhận xét : Ta bình phương hai vế phương trình với điều kiện: x − x − ≥ x ( x − 3) − ( x − 1) = Ta phương trình: , từ ta tìm nghiệm tương ứng Nhưng đơn giản đặt 2t − = x + đưa hệ đối xứng ( Xem phần đặt ẩn phụ dạng 4) Ví dụ Giải phương trình )( ( x = 2004 + x − − x ) Giải: Điều kiện : ≥ x ≥ Đặt t = − x ; ≥ t ≥ ta phương trình: ( − t ) = ( 2005 − t ) ( − t ) 2 ⇔ 2( − t ) 2 ( ( ) ⇔ ( − t ) ( + t ) = 2005 − t ( − t ) 2 t = t + t − 1002 = ⇔ −1 ± 4009 ⇔ t = 1( ≤ t ≤ 1) t = 2 ) Với t = ta có = − x ⇔ x = Vậy phương trình có nghiệm x = Ví dụ Giải phương trình x2 + x x − = 3x + x Giải: Điều kiện −1 ≤ x < Chia hai vế phương trình cho x ta được: x+2 x− Đặt 1 1 = 3+ ⇔ x − + x − −3= x x x x t = x− x , t ≥ ; ta phương trình: t = t + 2t − = ⇔ ⇔ t =1 t = −3 (vì t ≥ ) 1+ x= ⇔ x = 1+ = x − ⇔ x2 − x − = ⇔ x 1− x = Với t = ta có 1+ x= Vậy phương trình có nghiệm Ví dụ Giải phương trình x + 14 x + − x − x − 20 = x + ( 1) Giải: Điều kiện: x ≥ ( 1) ⇔ x + 14 x + = x − x − 20 + x + ⇔ x2 − 5x + = (x ⇔ x2 − 5x + = ( x + ) ( x − ) ( x + 1) ( ) ) − x − 20 ( x + 1) ⇔ x − x − + 3( x + ) = ( x + 4) ( x2 − x − 5) x2 − x − x2 − x − ⇒2 −5 + = ( x ≥ 5) x+4 x+4 Đặt t= x2 − 4x − ≥0 x+4 ± 61 x = t = ⇒ x = 2t − 5t + = ⇔ x = − t = Ta phương trình: Với x ≥ , phương trình có nghiệm x = 8, B Bài tập tương tự Giải phương trình: x= + 61 2 a x + x − x = x + b x + + x − = c d e x − x2 − + x + x2 − = ( 10 x3 + = x − x + ) x3 − = x + 3x − Nhận xét: Đối với cách đặt ẩn phụ giải lớp toán, nhiên phương trình với ẩn phụ phức tạp, khó giải Dạng 2: Đặt ẩn phụ ẩn ban đầu (Phương pháp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn ) A Các ví dụ Ví dụ Giải phương trình : ) ( x2 + − x2 + x = + x2 + t = t − ( + x ) t − + 3x = ⇔ t = x − Giải: Đặt t = x + , ta có : Nhận xét: Đối với dạng khơng phải phương trình đặt ẩn phụ mà cần phải nhận xét, phân tích để chọn biến đổi phương trình theo ẩn phụ đó, ví dụ số phương trình sau: x + 1) Ví dụ Giải phương trình : ( x2 − 2x + = x2 + Giải: Đặt : t = x − x + 3, t ≥ ⇔ x + − ( x + 1) t = Khi phương trình trở thnh : ( x + 1) t = x + Bây ta thêm bớt , để phương trình bậc theo t có ∆ chẵn : t = x − x + − ( x + 1) t + ( x − 1) = ⇔ t − ( x + 1) t + ( x − 1) = ⇔ t = x − Ví dụ Giải phương trình: 2 x + + − x = x + 16 Giải Bình phương vế phương trình: ( x + ) + 16 ( − x ) + 16 ( − x ) = x + 16 10 ( ) t = − x2 ≥ Ta được: x − 16t − 32 + x = x = α ( − x ) + ( + 2α ) x − 8α Ta phải tách cho ∆ t có dạng phương Ta đặt : B Bài tập đề nghị: Bài 1.Giải phương trình sau: x − x + = ( x − 21x − 20 ) x − 3x + ( x + 2) ĐS: − 6x = ĐS: x = ± 13 x −1 1 = 1− + x − x x x Đặt Bài Giải phương trình sau 1) ( x − 1) 3) 2) x + = 2x + 2x + ± 193 17 ± 73 , x= 4 Đặt y = x + , ĐS: x = 2, x = − ( x − 3x + ) = x + 2x + x= t = 1+ 1+ x= x , ĐS: 2(1 − x ) x + x − = x − x − 4) x2 + x + 12 x + = 36 1+ x − 2x2 = 4x2 − − 2x + 12 12 12 − + x − = x x x 6) 5) 1+ x − = x + 1− x + 1− x2 Dạng 3: Đặt ẩn phụ đưa phương trình bậc biến : 2 Chúng ta biết cách giải phương trình: u + α uv + β v = (1) cách u u ÷ + α ÷+ β = v Xét v ≠ phương trình trở thành : v v = thử trực tiếp Các trường hợp sau đưa (1) a A ( x ) + bB ( x ) = c A ( x ) B ( x ) α u + β v = mu + nv Chúng ta thay biểu thức A(x) , B(x) biểu thức vơ tỉ nhận phương trình vơ tỉ theo dạng a A ( x ) + bB ( x ) = c A ( x ) B ( x ) a) Phương trình dạng : Xuất phát từ đẳng thức : x + = ( x + 1) ( x − x + 1) x + x + = ( x + x + 1) − x = ( x + x + 1) ( x − x + 1) ( )( ) x4 + = x2 − 2x + x2 + 2x + 11 x + = ( x − x + 1) ( x + x + 1) Hãy tạo phương trình vơ tỉ dạng ví dụ như: x − 2 x + = x + Để có phương trình đẹp , phải chọn hệ số a,b,c cho phương trình bậc hai at + bt + c = giải “ nghiệm đẹp” Ví dụ Giải phương trình : Giải: ( x + ) = x3 + Đặt u = x + 1, v = x − x + 2( u + v Phương trình trở thành : ± 37 x= Tìm được: Ví dụ 2: giải phương trình sau : ) u = 2v = 5uv ⇔ u = v x + x − = x3 − Giải: Đk: x ≥ Nhận xét : Ta viết α ( x − 1) + β ( x + x + 1) = Đồng thức ta được: ( ( x − 1) ( x + x + 1) ) ( x − 1) + x + x + = ( x − 1) ( x + x + 1) v = 9u 3u + 2v = uv ⇔ v = u Đặt u = x − ≥ , v = x + x + > , ta được: Ta : x = ± Ví dụ Giải phương trình : x3 − 3x + ( x + 2) − 6x = Giải: Nhận xét : Đặt y = x + ta biến pt phương trình bậc x y x = y x3 − x + y − x = ⇔ x3 − xy + y = ⇔ x = −2 y Pt có nghiệm : x = 2, x = − 2 b) Phương trình dạng : α u + β v = mu + nv 12 Phương trình cho dạng thường khó “phát “ dạng , ta bình phương hai vế đưa dạng Ví dụ giải phương trình : x2 + x2 − = x4 − x2 + Giải: Ta đặt : u = x v = x − 2 phương trình trở thành : u + 3v = u − v Ví dụ 2.Giải phương trình sau : x + x + x − = 3x2 + x + Giải Đk x≥ (x 2 Bình phương vế ta có : ) + x ( x − 1) = x + ⇔ (x ) ( ) + x ( x − 1) = x + x − ( x − 1) 1− v u = 2 uv = u − v ⇔ u = x + x 1+ u= v v = x − Ta đặt : ta có hệ : 1+ 1+ u= v ⇔ x2 + 2x = ( x − 1) 2 Do u , v ≥ Ví dụ giải phương trình : x − 14 x + − x − x − 20 = x + Giải: − x − 20 ) ( x + 1) Đk x ≥ Chuyển vế bình phương ta được: x − x + = α ( x − x − 20 ) + β ( x + 1) α , β Nhận xét : không tồn số để : ta đặt u = x − x − 20 v = x + x2 − 5x + = Nhưng may mắn ta có : Ta viết lại phương trình: toán giải (x (x − x − 20 ) ( x + 1) = ( x + ) ( x − ) ( x + 1) = ( x + ) ( x − x − ) ( x − x − ) + ( x + ) = ( x − x − 5)( x + 4) Đến 13 Bài tập đề nghị Giải phương trình : x − 3x + = − x + x2 + a b x − x + = x x − c ( ) x − 3x + = x3 + Dạng 4: Đặt ẩn phụ đưa hệ k phương trình với k ẩn phụ Trường hợp 1: Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình thơng thường u = a ( x) ,v = b( x) Đặt , Từ tìm mối kiên hệ a(x) b(x) Tù tìm hệ phương trình với u v n Đối với phương trình dạng: Ta đặt: n a − f ( x) = u , a − f ( x) + m b + f ( x) = c m b + f ( x) = v u + v = c n u + vm = a + b Khi ta hệ phương trình: A Các ví dụ Ví dụ 1: Giải phương trình ( ) x 35 − x3 x + 35 − x3 = 30 Giải: 3 3 Đặt y = 35 − x ⇒ x + y = 35 x + y = 35 xy ( x + y ) = 30 Ta hệ phương trình Giải hệ phương trình ta (x;y) =(3;2), (x;y) =(2;3) Vậy phương trình ban đầu có hai nghiệm x = 2, x=3 Ví dụ 2: Giải phương trình x + + x −1 = Giải: Đặt a = x − 1; b = + x − ( a ≥ 0; b ≥ ) a + b = ( 1) b − a = 5( 2) Ta hệ phương trình Lấy (1) – (2) Ta phương trình a = −b ( l ) ( a + b ) ( a − b + 1) = ⇒ a = b − 14 Với a = b – ta có: x ≤ 11 − 17 x −1 +1 = + x −1 ⇔ x −1 = − x ⇔ ⇔ x= x − 11x + 26 = 11 − 17 x= Vậy phương trình ban đầu có nghiệm −1 − x + x = Ví dụ Giải phương trình: Giải: Điều kiện: ≤ x ≤ − − − x = u ⇒0≤u≤ x = v Đặt 2 − 1,0 ≤ v ≤ − 1 u = −v u + v = ⇔ u + v = − − v + v = − ÷ Ta đưa hệ phương trình sau: 2 (v + 1) − v + ÷ = 2 Giải phương trình thứ 2: , từ tìm v thay vào tìm nghiệm phương trình B Bài tập tương tự Giải phương trình a − x = − x − b − x = − x − ( 34 − x ) x + − ( x + 1) 34 − x c d e 34 − x − x + = 30 24 + x = − 12 − x x + =1+ x − x + x − x ( − x ) − x ( − x ) = −1 f + − x ( − x ) − g ( + x ) = + − x2 x + x ( − x ) + ( − x ) = − x + x3 + x ( − x ) h 3 7− x − x−5 =6− x 3 − x + x − i Trường hợp 2: Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình đối xứng loại I 15 n Đối phương trình dạng: Ta đặt: n a − f ( x) = u , a − f ( x) + n b + f ( x) = c n b + f ( x) = v u + v = c n u + = a + b Khi ta hệ phương trình: A Các ví dụ Ví dụ 1: Giải phương trình: Giải: Điều kiện: −2 ≤ x ≤ + x + − x =1+ ( + x) ( − x) Đặt u = + x ≥ 0; v = − x ≥ Ta hệ phương trình u + v = + u.v u + v = + u.v v + u = u + v = + u.v ⇔ ⇔ ⇔ 2 u + v = u.v = ( u + v ) − 2uv = ( + uv ) − 2uv = X =1 X − 3X + = ⇔ X = Ta có u; v nghiệm phương trình: Với + x = u = ⇔ ⇔ x = −1 v = − x = + x = u = ⇔ ⇔x=2 v = − x = Với Vậy phương trình ban đầu có hai nghiệm x = -1,x = 4 Ví dụ 2: Giải phương trình x + 17 − x = Giải: Điều kiện: ≤ x ≤ 17 4 Đặt u = x ≥ 0; v = 17 − x ≥ Ta hệ phương trình u + v = 2 − 2u v = 17 u + v = u +v ⇔ ⇔ 4 2 u + v = 17 u + v = ( u + v ) − 2uv − 2u v = 17 ( ) u + v = u + v = uv = ⇔ 2 ⇔ u + v = 2u v − 36uv + 64 = uv = 16 u + v = X =1 X − 3X + = ⇔ X = Với uv = Ta có u; v nghiệm phương trình: x = u = ⇒ ⇔ ⇔ x =1 v = 17 − x = 16 Hoặc x = u = ⇔ ⇔ x = 16 v = 17 − x = u + v = Với uv = 16 Ta có u; v nghiệm phương trình: X − X + 16 = (Phương trình vơ nghiệm.) Vậy phương trình ban đầu có hai nghiệm x = 16,x = ( − x2 = − x Ví dụ 3: Giải phương trình Giải: ) Điều kiện: ≤ x ≤ Đặt u = x ≥ 0; v = − x ≥ Ta hệ phương trình u + v = u + v = ⇔ ( *) 4 u + v = v = − u Ta có u + v) ( 2 u +v ≥ =2 u + v4 (u ≥ + v2 u = ( *) ⇔ v = Ta hệ phương trình Do đó: ) =2 x = ⇔ x =1 2 − x = Vậy phương trình ban đầu có nghiệm x = B Bài tập tương tự Giải phương trình a x + + 10 − x = b c + x + − x + ( + x ) ( − x ) = −1 + x + x2 + − x − x2 = Trường hợp 3: Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình đối xứng loại II * Khi gặp phương trình có dạng Đặt f n ( x ) + b = a n af ( x ) − b t = f ( x ) , y = n af ( x ) − b ta có hệ n t + b = ay n y + b = at Ví dụ 1: Giải phương trình x + = 2 x − ĐS: x = 1, x = −1 ± Ví dụ 2: Giải phương trình x2 + x = x+3 17 Giải ĐK x ≥ −3 x2 + x = x+3 ⇔ ( x + 1) − = ( x + 1) + 2 ⇔ ( x + 1) − = 2 x +1 +1 x +1 t t +1 = + ⇒ y2 − = 2 Đặt 2 t − = y y2 − = t Giải thêm chút ta kết quả! Ta hệ phương trình −3 − ± 17 −5 ± 13 x= , x= 4 ĐS: t = x + 1, y = Chú ý: sử dụng phương pháp bình phương khơng nhẩm nghiệm, nên ta phải biến đổi để xuất biểu thức giống từ ta đặt ẩn phụ Ví dụ 3: Giải phương trình x + x + = x + x = −1, x = − , x = 4 ĐS: Chú ý: Bài sử dụng phương pháp bình phương Ví dụ Giải phương trình: x − x = 2 x − Giải: x≥ Điều kiện: Ta có phương trình viết lại là: ( x − 1) − = 2 x − x − x = 2( y − 1) y − = x − Đặt ta đưa hệ sau: y − y = 2( x − 1) Trừ hai vế phương trình ta ( x − y )( x + y ) = Giải ta tìm nghiệm phương trình là: x = + Kết luận: Nghiệm phương trình {1 − 2; + 3} Ví dụ Giải phương trình: 2x2 − 6x −1 = 4x + Giải x≥− Điều kiện Ta biến đổi phương trình sau: x − 12 x − = x + ⇔ (2 x − 3) = x + + 11 Đặt y − = x + ta hệ phương trình sau: 18 (2 x − 3) = y + ⇒ ( x − y )( x + y − 1) = (2 y − 3) = x + Với x = y ⇒ x − = x + ⇒ x = + Với x + y − = ⇒ y = − x → x = − Bài tập đề nghị : Giải phương trình sau 1) 2) x + = 23 x − x3 + = 33 3x − x+4 4) 5) x2 −1 = x + 7) − x + = 2− x 8) 5− 5+ x = x 9) 7x2 + 7x = 10) 4− 4+ x = x 4x + ,x > 28 3) (x2 + 3x - 4)2 + 3(x2 + 3x - 4) = 6) x2 + − x = (ĐHAN-D) x − = ( x − 3) + Dạng 5: Đặt nhiều ẩn phụ đưa tích Ví dụ Giải phương trình : x = − x − x + − x − x + − x − x Giải : u = − x ( u + v ) ( u + w ) = 2 − u = uv + vw + wu v = − x 3 − v = uv + vw + wu ⇔ ( u + v ) ( v + w ) = w = − x , ta có : 5 − w = uv + vw + wu ( v + w ) ( u + w ) = , 30 239 u= ⇔x= 60 120 giải hệ ta được: Ví dụ Giải phương trình sau : x − + x − 3x − = x + x + + x − x + Giải a = b = c = Ta đặt : d = 2x2 − x − 3x − 2x2 + 2x + x2 − x + , 19 a + b = c + d ⇔ x = −2 2 2 a − b = c − d ta có : B Bài tập áp dụng Giải phương trình sau 1) x2 + 5x + − x2 − x + = x − 2) x + x ( − x ) + ( − x ) = − x + x3 + x ( − x ) 3) 4) x + − x2 − x − + x − 8x + = 3x + + − x + x − − x − = 7.2 KẾT QUẢ THỰC HIỆN SAU KHI THỰC HIỆN Kết kiểm tra theo nhóm tỉ lệ: Nhóm Số học sinh Kết thực nhiệm Giỏi Khá T.bình Yếu SL % SL % SL % SL % Đối chứng 10A6 0 20 20 60 Thực nghiệ m 10A5 20 60 20 0 Những thông tin cần bảo mật (nếu có): Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: - Giáo viên: Nhiệt tình, có trách nhiệm cao, đầu tư chuyên môn, chuẩn bị kĩ câu hỏi thảo luận dự kiến phương án trả lời - Học sinh: Chuẩn bị kiến thức phương trình vơ tỉ có, sách giáo khoa đồ dùng học tập khác - Thiết bị dạy học: Máy tính, máy chiếu, sách giáo khoa… 20 10 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả theo ý kiến tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể áp dụng thử (nếu có) theo nội dung sau: 10.1 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả: Qua trình thực nghiệm viết chun đề “Phương trình vơ tỉ” tơi nhận thấy việc chia nhỏ dạng đặt ẩn phụ cách thức dạy học có hiệu tối ưu Đồng thời giúp học sinh lĩnh hội kiến thức cách khoa học, có hệ thống sâu sắc Từ em thấy mối liên hệ kiến thức mơn học Tóm lại, đề tài nghiên cứu hi vọng đóng góp phần nhỏ bé cơng sức vào cơng đổi dạy học nhà trường phổ thông nay, góp phần làm cho việc học phương trình vô tỉ đơn giản đạt hiệu cao 10.2 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tổ chức, cá nhân: Đề tài nghiên cứu có tính khả thi, ứng dụng vào thực tiễn, mang lại hiệu cao trình học học sinh chun đề phương trình vơ tỉ Giúp học sinh có niềm say mê hứng thú với chuyên đề đồng thời cung cấp cho học sinh tài liệu chuyên đề Với sáng kiến nhỏ này, người viết mong nhận ý kiến đóng góp đồng nghiệp nhằm bổ sung cho đề tài sâu sắc thiết thực Tôi xin chân thành cảm ơn! 11 Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có): Số TT Tên tổ chức/cá nhân Địa Phạm vi/Lĩnh vực Nguyễn Thị Phương Trường THPT Trần Hưng Đạo Phương trình vơ tỉ Nhóm 10 học sinh khá, giỏi lớp 10 Lớp 10 trường THPT Trần Hưng Đạo Phương trình vơ tỉ áp dụng sáng kiến , ngày tháng năm , ngày tháng năm Tam Dương, ngày 12 tháng năm 21 Thủ trưởng đơn vị/ Chính quyền địa phương (Ký tên, đóng dấu) CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ (Ký tên, đóng dấu) 2018 Tác giả sáng kiến (Ký, ghi rõ họ tên) Nguyễn Thị Phương 22 ... tài: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình vơ tỉ để viết chun đề chun mơn để làm tài liệu dạy học trao đổi với đồng nghiệp Tên sáng kiến: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương. .. f(x)=g(x) 7.1.2 Các dạng đặt ẩn phụ I Phương pháp đặt ẩn phụ dạng Phương pháp đặt ẩn phụ dạng việc sử dụng ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu phương trình gồm ẩn phụ Trường hợp 1: Nếu toán... với cách đặt ẩn phụ giải lớp toán, nhiên phương trình với ẩn phụ phức tạp, khó giải Dạng 2: Đặt ẩn phụ ẩn ban đầu (Phương pháp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn ) A Các ví dụ Ví dụ Giải phương trình :