SKKN Ứng dụng đạo hàm trong trong giải bài toán đại số và giải tích

Đây là bộ đề tài hay, được tuyển chọn kĩ càng, có chất lượng cao, giúp các thầy cô giáo nâng cao trình độ chuyên môn, nghiệp vụ giảng dạy bộ môn, phục vụ tốt việc giảng dạy. Hy vọng tài liệu sẽ giúp ích đắc lực cho các thầy cô trong công tác giảng dạy.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI TRƯỜNG THPT SỐ 2 TP LÀO CAI

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH

Người viết : Phạm Hồng Lan

Tổ: Toán - Tin

Trường: THPT số 2 TP Lào Cai

PHẦN MỞ ĐẦU

I Lí do chọn đề tài

-Như ta đã biết, chuyên đề về bất đẳng thức, phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình chiếm một lượng khá lớn trong chương trình phổ thông ( Đại số, lượng giác, ….) Tuy nhiên trong số các bài tập đó có một lượng lớn bài tập mà ta không thể giải được bằng phương pháp thông thường hoặc có thể giải được nhưng gặp rất nhiều khó khăn và phức tạp

- Ta đã biết giữa PT, BPT, HPT, HBPT và hàm số có mối liên quan rất chặt chẽ Khi định nghĩa PT, BPT, ta cũng dựa trên khái niệm hàm số, nếu ta biết sử dụng hàm số để giải các bài tập đó thì bài toán sẽ đơn giản hơn Tuy nhiên không phải bài nào cũng có thể sử dụng hàm số để giải nhưng ứng dụng đạo hàm của hàm số để giải là rất lớn, chính vì vậy tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm là: "Sử dụng phương pháp hàm số trong giải bài toán đại

số "

II Mục tiêu đề tài

- Trang bị cho học sinh thêm một phương pháp hữu hiệu để giải các bài toán: Chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình,

hệ phương trình, hệ bất phương trình

- Cung cấp thêm phương pháp cho học sinh và giáo viên trong dạy và

học toán

III Giả thuyết khoa học Nêu hệ thống hoá các kiến thức liên quan cùng

với việc đưa ra phương pháp cùng ví dụ minh họa cụ thể thì sẽ giúp học sinh

IV Biện pháp thực hiện

- Nghiên cứu các tài liêụ, các sách tham khảo, đề thi đại học, cao đẳng, các đề dự bị đại học, đề thi thử đại học của các trường…

- Giới thiệu khoảng 6 tiết cho học sinh lớp 12 và học sinh ôn thi đại học

V Nội dung

I Kiến thức cơ bản

II Phương pháp hàm số biện luận phương trình, bất phương trình

III Các bài toán minh họa phương pháp hàm số

IV Bài tập tự luyện

NỘI DUNG

I KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 y = f (x) đồng biến / (a, b) ⇔ ∀ <x1 x2∈( )a b, ta có f x( )1 < f x( )2

2 y = f (x) nghịch biến / (a, b) ⇔ ∀ <x1 x2∈( )a b, ta có f x( )1 > f x( )2

3 y = f (x) đồng biến / (a, b) ⇔ ƒ′(x) ≥ 0 ∀x∈(a, b) đồng thời ƒ′(x) = 0 tại

một số hữu hạn điểm ∈ (a, b)

4 y = f (x) nghịch biến / (a, b) ⇔ ƒ′(x) ≤ 0 ∀x∈(a, b) đồng thời ƒ′(x) = 0 tại

một số hữu hạn điểm ∈ (a, b)

5 Cực trị hàm số: Hàm số đạt cực trị tại điểm x=x k ⇔ f′ ( )x đổi dấu tại điểm

b

x − ε x x + ε

i i i

x − ε x x + ε

k

x

6 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

• Giả sử y = ƒ(x) liên tục trên [a, b] đồng thời đạt cực trị tại x1, ,x n∈(a b, )

[ ], ( ) { ( )1 ( ) ( ) ( )}

x a b f x f x f x f a f

[ ], ( ) { ( )1 ( ) ( ) ( )}

x a b f x f x f x f a f

• Nếu y = f (x) đồng biến / [a, b] thì [ ] ( ) ( )

[ ] ( ) (

x a b x a b

)

f x f a f x f b

• Nếu y = f (x) nghịch biến / [a, b] thì [ ] ( ) ( )

[ ] ( ) (

x a b x a b

)

f x f b f x f a

[ ]a b;

• Hàm bậc nhất f x( )= α + βx trên đoạn đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ

nhất tại các đầu mút a; b

II PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

1 Nghiệm của phương trình u(x) = v(x) là hoành độ giao điểm của đồ thị

( )

y=u x với đồ thị y=v x( )

2 Nghiệm của bất phương trình u(x) ≥ v(x) là

a

v(x)

u(x)

phần hoành độ tương ứng với phần

đồ thị y=u x( ) nằm ở phía trên

so với phần đồ thị y=v x( )

3 Nghiệm của bất phương trình u(x) ≤ v(x) là

phần hoành độ tương ứng với phần đồ thị

( )

y=u x nằm ở phía dưới so với phần đồ thị y=v x( )

4 Nghiệm của phương trình u(x) = m là hoành độ

giao điểm của đường thẳng y = m với đồ thị y=u x( )

5 BPT u(x) ≥ m đúng ∀x∈I ⇔ ( )

I

Min

x u x m

y =

6 BPT u(x) ≤ m đúng ∀x∈I ⇔ ( )

I

Max

x u x m

7 BPT u(x) ≥ m có nghiệm x∈I ⇔ ( )

I

Max

x u x m

8 BPT u(x) ≤ m có nghiệm x∈I ⇔ ( )

I

Min

x u x m

III CÁC BÀI TOÁN MINH HỌA PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

Bài 1 Cho hàm số f x( ) =mx2 + 2mx− 3

a Tìm m để phương trình ƒ(x) = 0 có nghiệm x∈[1; 2]

b Tìm m để bất phương trình ƒ(x) ≤ 0 nghiệm đúng ∀x∈[1; 4]

c Tìm m để bất phương trình ƒ(x) ≥ 0 có nghiệm x∈[− 1;3]

Giải: a Biến đổi phương trình ƒ(x) = 0 ta có:

⇔ ≤ ≤

Để ƒ(x) = 0 có nghiệm x∈[1; 2] thì [ ] ( )

[ ] ( )

x g x m x g x

( 2 2 )

m x x

b Ta có ∀x∈[1; 4] thì f x( ) =mx2 + 2mx− ≤ 3 0 ⇔ + ≤ 3⇔

2

1;4

M in

x g x m

∈

( )

( ) 2

3

g x

x

=

1;4

1

8

x g x g m

Do giảm trên [1; 4] nên ycbt ⇔

( 2 2 ) 3

m x + x ≥

c Ta có với x∈ [− 1;3] thì f x( )=mx2 + 2mx− ≥ 3 0 ⇔

2

+ Đặt − 3] Xét các khả năng sau đây:

+ Nếu x= 0 thì bất phương trình trở thành m.0 0 3 = ≥ nên vô nghiệm

+ Nếu x∈(0;3] thì BPT ⇔ g x( )≤m có nghiệm x∈(0;3]

( ] ( ) 0;3

x Min g x m

∈

( )

( ) 2

3

g x

x

=

0;3

1 3 5

x Min g x g m

∈

Do giảm /(0;3] nên ycbt

+ Nếu x∈ −[ 1;0) thì 2 nên BPT

2

x + x< 0 ⇔ g x( )≥m có nghiệm x∈ −[ 1;0)

2

x

+

[ ) ( )

1;0

Max g x m

−

nghịch biến nên ta có

Do đó g x( )

( ; 3] 1; )

5

Kết luận: ƒ(x) ≥ 0 có nghiệm x∈[− 1;3]

3

1

x mx

x

−

Bài 2 Tìm m để bất phương trình: nghiệm đúng ∀x ≥ 1

( )

x

( )

4 2 2

−

1

2

3

x

≥

Bài 3 Tìm m để bất phương trình m.4x + (m− 1 2 ) x+2 + − >m 1 0 đúng ∀ ∈ ¡x

Giải: Đặt 2x thì m.4x + (m− 1 2 ) x+2 + − >m 1 0 đúng

( )

2

t t

+

2 2 2

t t

g t

t t

Ta có nên g t( ) nghịch biến trên [0; +∞) suy ra ycbt ⇔ ( ) ( )

t Max g t g m

x x + x+ =m − +x −x

x x x

Giải: Điều kiện 0 x≤ ≤ 4 Biến đổi PT

Chú ý: Nếu tính f′ ( )x rồi xét dấu thì thao tác rất phức tạp, dễ nhầm lẫn

x

′

+

−

′

( )1 0

h x >

và tăng; > 0 và giảm hay và tăng Suy ra: g x( )>0 h x( )

( )

g x

f x

h x

= tăng Suy ra f x( )=m có nghiệm

⇒

[ ] ( )

x + x − ≤m x − x− )

1

x x

Giải: Điều kiện x≥ 1 Nhân cả hai vế BPT với + − > 0 ta nhận được

f x = x + x − x+ x− ≤

g x =x + x − h x = x+ x−

Đặt

−

Do g x( )>0 và tăng ∀ ≥x 1; h x( ) 0 > và tăng nên f x( )=g x h x( ) ( ). tăng ∀ ≥x 1

Khi đó bất phương trình f x( )≤m có nghiệm ( ) ( )

1

x f x f m

≥

Bài 6 Tìm m để ( 4 +x)( 6 −x) ≤x2 − 2x+m nghiệm đúng ∀ ∈ −x [ 4, 6]

Cách 1 BPT ⇔ f x( ) = −x2 + 2x+ ( 4 +x)( 6 −x)≤ m đúng ∀ ∈ −x [ 4, 6]

( )

Lập bảng biến thiên suy ra Max

[ ] ( ) ( )

Max f x f m

( 4 )( 6 ) (4 ) (6 )

2

t= +x −x ≤ + + − =

4

x

Ta có t2 x2 2 2 Khi đó bất phương trình trở thành

t≤ − + +t m ∀ ∈t ⇔ f t =t + −t ≤m ∀ ∈t Ta có:

( ) ; [ ]0;5

f t ≤m ∀ ∈t ⇔

f′ t = t+ > ⇒ f t( ) tăng nên

[ ] ( ) ( ) 0;5

max f t = f 5 = ≤ 6 m

Bài 7 Tìm m để 3 + +x 6 − −x 18 3 + x−x2 ≤m2 − + 1m đúng∀ ∈x [− 3, 6]

Giải:

Đặt t= 3 + +x 6 − > 0x ⇒ t2 = 3 + +x 6 −x 2 = + 9 2 3 +x 6 −x)

⇒ 9 ≤t2 = + 9 2 3 ( +x)( 6 −x) ≤ + 9 ( 3 +x) ( + 6 −x) = 18

2

3;3 2

9

′

Xét

3;3 2

Bài 8 (Đề TSĐH khối A, 2007)

Giải: ĐK: x≥ 1, biến đổi phương trình

4

( )

( )

g t

x

u

−

Khi đó g t( ) = − 3t2 + 2t = m

( ) 6 2 0 1

3

3

m

⇔ − < ≤

Bài 9 (Đề TSĐH khối B, 2007): Chứng minh rằng: Với mọi m> 0, phương trình x2 + 2x− = 8 m x( − 2 ) luôn có đúng hai nghiệm phân biệt

( )

( )

g x

Giải: Điều kiện: x≥ 2

Biến đổi phương trình ta có:

(x 2)(x 6) m x( )

2

(x 2 )(x3 6x2 32 m) 0 x 2 V g x ( ) x3 6x2 32

ycbt ⇔g x( )=m có đúng một nghiệm thuộc khoảng (2; +∞) Thật vậy ta có:

( ) 3 ( 4) 0,

g x′ = x x+ > ∀ > 2x Do đó g x( ) đồng biến mà g x( ) liên tục và

( )2 0; lim ( )

x

→+∞

= = +∞ nên g x( )=m có đúng một nghiệm ∈(2; +∞)

Vậy ∀ >m 0, phương trình x2 + 2x− = 8 m x( − 2 )có hai nghiệm phân biệt

biệt: 4 2x+ 2x+ 2 6 4 − +x 2 6− = m x

Giải: Đặt f x( ) = 4 2x + 2x + 2 6 4 − +x 2 6 −x ; x∈[ ]0; 6

Ta có: ( )

−

−

6

Đặt ( )

, x

−

( ) ( )

, 6

( )

u x v x x

u x v x x

⎪

⎩

( )

(2) 0

f

′

⎪

′

⎪ ′ =

⎩

( )

4 12 2 3 +

4

2 6 2 6 +

Nhìn BBT ta có PT có 2 nghiệm phân biệt ⇔ 2 6 2 6 + 4 ≤ <m 3 2 6 +

Bài 11 (Đề TSĐH khối D, 2007):

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm

⎧ + + + =

⎪⎪

⎨

⎪

⎪⎩

Giải: Đặt u x 1;v y 1

3 3

và u x 1 x 1 2 x.1 2 ; v y 1 2 y. 1

8

uv m

+ =

⎩

Hệ có nghiệm ⇔ f t( )=m có 2 nghiệm t t1, 2 thỏa mãn t1 ≥ 2; t2 ≥ 2

Lập Bảng biến thiên của hàm sốf t( ) với t ≥ 2

( )

( )

f t +∞

22

+ ∞

Nhìn bảng biến thiên ta có hệ có nghiệm 7 2 m 22

Bài 12 (Đề 1I.2 Bộ đề TSĐH 1987-2001):

Tìm x để bất phương trình x2 + 2 sinx( y+ cosy)+ ≥ 1 0 đúng với ∀ ∈ ¡y

Giải: Đặt u=siny+cosy∈ −⎡⎣ 2, 2 ⎤⎦,

2, 2

u

∈ − ⎣ ⎦

Do đồ thị y=g u( ) là một đoạn thẳng với u∈ −⎡⎣ 2, 2 ⎤⎦ nên

( )

2 , 2

u

g u

( )

2 2

g

⎩

Bài 13 Cho , , 0 Chứng minh rằng: a b c

3

a b c

a b c

≥

⎧

⎨ + + =

⎩

2 + 2 + 2 +abc≥ 4

a b+c − bc+abc≥ ⇔a + −a + a− bc≥ 4

0

b c

Như thế đồ thị y= f u( ) là một đoạn thẳng với 0;1 (3 ) 2

4

u∈⎡ −a ⎤

⎣ ⎦ Ta có

( )0 2 2 6 5 2( )3 2 1 0; (1 (3 ) 2) 1 ( 1) ( 2 2)

f = a − a+ = a− + ≥ f −a = a− a+ ≥ 0

nên suy ra f u( )≥0; 0;1 (3 ) 2

4

Vậy a2 +b2 +c2 +abc≥ 4 Đẳng thức xảy ra ⇔ = = =a b c 1

Bài 14 (IMO 25 – Tiệp Khắc 1984):

Cho , , 0 Chứng minh rằng:

1

a b c

a b c

≥

⎧

⎨ + + =

⎩

7 2

27

ab+bc+ca− abc≤

Giải: a b( +c) (+ −1 2a bc) =a(1−a) (+ −1 2a bc) =a(1−a) (+ −1 2a u) = f u( )

Đồ thị y= f u( ) (= −1 2a u) +a(1− a) với 0 ( )2 ( 1 ) 2

a

b c

với 2 giá trị đầu mút ( )0 (1 ) (1 ) 2 1 7

f =a − ≤a ⎡ + − ⎤ = <

f −a = − a +a + = − a+ a− ≤

27

Do đồ thịy= f u( ) là một đoạn thẳng với 0;1 (1 ) 2

4

u∈⎡ −a ⎤

27

f < ;

(1 1 2) 7

f −a ≤

7 nên ( ) 7

27

f u ≤ Đẳng thức xảy ra 1

3

Bài 15 Chứng minh rằng: 2(a+b+c) (− ab+bc+ca)≤ ∀4, a b c, , ∈[ ]0, 2

Giải: Biến đổi bất đẳng thức về hàm bậc nhất biến số a, tham số b, c ta có

f a = − −b c a+ b+c −bc≤ ∀a b c∈

Đồ thị y= f a( )là một đoạn thẳng với a∈[ ]0, 2 nên f a( ) ≤ Max{f( ) 0 ;f( ) 2}

Ta có f( ) 0 = − 4 ( 2 −b)( 2 − ≤c) 4; f( ) 2 = − 4 bc≤ ⇒ 4 f a( ) ≤ ∀ 4, a b c, , ∈[ ]0, 2

Bài 16 CMR: ( 1 −a)( 1 −b)( 1 −c)( 1 −d) + + + + ≥ ∀a b c d 1, a b c d, , , ∈ 1[ ]0,

Giải: Biểu diễn bất đẳng thức về hàm bậc nhất biến số a, tham số b, c, d, ta có:

( ) [1 1 ( )( 1 )( 1 )] ( 1 )( 1 )( 1 ) 1, , , , [ ]0,1

f a = − −b −c −d a+ −b −c −d + + + ≥ ∀b c d a b c d∈

Đồ thị y= f a( ) , ∀ ∈a [0, 1] là một đoạn thẳng nên

[ ] ( ) { ( ) ( )}

0,1

Ta có f( ) 1 = + + + ≥ ∀b c d 1 1, b c d, , ∈ 0,1[ ]

( ) (0 1 )(1 )(1 ) ( ) [1 1( )(1 )] (1 )(1 )

f = −b −c −d + + + ⇔b c d g b = − −c −d b+ −c −d + + d c

Đồ thị y=g b( ) , ∀ ∈b [0, 1] là một đoạn thẳng nên

[ ] ( ) { ( ) ( )}

0,1

b g b Min g g

Ta có g( )1 = + + ≥c d 1 1;g( ) (0 = −1 c)(1−d)+ + = +c d 1 cd≥1

] 0,1

⇒ f ( ) 0 =g b( ) ≥ ∀ ∈ 1, b [ Vậy f a( )≥1 hay ta có (đpcm)

Để giải các bài toán dạng trên có bài ta giải được bằng nhiều phương pháp khác nhau , cũng có bài chỉ có thể giải được bằng phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số.Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải toán là một phương pháp hay Để sử dụng phương pháp này,điều cốt yếu là chúng ta cần xây dựng một hàm số thích hợp ,rồi nghiên cứu tính đồng biến ,nghịch biến của nó trên đoạn thích hợp.Các hàm số ấy trong nhiều trường hợp có thể nhận tra ngay từ

IV BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài 1: Giải các phương trình và bất phương trình sau:

a = x 2log5( x + 3 )

b 2log3(tgx) = log2(sinx)

c

x

1 2

1 2

2

x x 1 x

x

1

−

=

− −

=

d 2x = 2

x

3 + 1

e 3x2 =cosx

Bài 2: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm x−1+ x+1≤m2 +1

Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm

x sin x

cos

x

3 m 3

Bài 4: Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x ∈R:

(m 1)4cos 2 x 2.2cos 2 x m 1 0

>

+ + +

−

3 x

1 x ) 3 x ( 4 ) 1 x )(

3 x

−

+

− + +

−

a Giải phương trình với m = 3

b Tìm m để phương trình có nghiệm

c Tìm m để phương trình có nghiệm x ∈ ;[4 +∞)

d Tìm m để phương trình có nghiệm x ∈[4;5]

Bài 6: Cho bất phương trình: m.9 x 2 x (2m 1).6 2 x m.4 x 2 x 0

≥ +

+

Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thoả mãn

2

1

x ≥

Bài 7: Cho phương trình: (x−2)log 2 ( x − 8 ) =2m.(x−2)3

a Giải PT khi m = 2

b Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thoả mãn: x x 4

2

5

2

≤

KẾT LUẬN

Xuất phát từ mục đích, nhiệm vụ của đề tài, bản đề tài SKKN đã đề cập đến nhứng vấn đề chính sau :

- Cung cấp các kiến thức cơ bản liên quan đến phương pháp

- Đưa ra các ví dụ minh họa tương ứng

- Bài tập áp dụng

Sau khi được rèn luyện hệ thống kiến thức trên,các em học sinh đã mạnh dạn hơn ,linh hoạt hơn trong việc dùng sử dụng phương pháp hàm số để giải toán Cái hay của cách giải này là sử dụng linh hoạt tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức ,giải phương trình, giải bất phương trình, giải hệ phương trình

- Tránh được việc biện luận theo tham số ở một số bài toán hết sức phức tạp

- Tránh phải xét nhiều trường hợp ở một số bài toán

- Tránh việc bình phương hai vế dễ dẫn đến sai sót ,thừa nghiệm và tránh việc giải phương trình bậc cao

Trên đây là một số ứng dụng mà theo tôi là hay gặp trong khi giải phương trình và bất phương trình Rất mong các thầy cô và các đồng chí góp ý để bài viết được hoàn thiện hơn

Phạm Hồng Lan

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Sách giáo khoa giải tích 12 cơ bản

2 Sách bài tập giải tích 12 cơ bản

3 Sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao

4 Sách bài tập giải tích 12 nâng cao

5 Báo Toán học và tuổi trẻ

6 Đề thi Đại học từ năm 2002-2010

7 Đề dự bị Đại học từ năm 2002-2009