Đây là một bộ tài liệu hay, có chất lượng cao, giúp các thầy cô trong việc giảng dạy và giúp các em học sinh củng cố và nâng cao kiến thức và luyện thi. Hy vọng bộ tài liệu sẽ giúp ích cho các thầy cô trong việc bồi dưỡng HSG và giúp các em học sinh học tập tốt bộ môn và luyện thi đạt kết quả tốt.
y u r u r 1 M M 2 CHUN ĐỀ : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG A. LÝ THUYẾT I. Tọa độ 1. Hệ trục toạ độ Oxy gồm ba trục Ox, Oy đơi một vng góc với nhau với ba vectơ đơn vị ,i j r ur ( ) 1i j = = r r . 2. ( ) ; u x u x y i y j = ⇔ + uur ur r uur ; M(x;y)⇔ 1 2 OM OMOM xi y j + = = + uuuuur r uur uuuuur uuuuur 3. Tọa độ của vectơ: cho ( ; ), ( '; ')u x y v x y r r a. '; 'u v x x y y= ⇔ = = r r b. ( ) '; 'u v x x y y± = ± ± r r c. ( ; )ku kx ky= r d. . ' 'u v xx yy = + ur r e. ' ' 0u v xx yy⊥ ⇔ + = r r f. 2 2 u x y = + r , 2 2 v x y ′ ′ = + r g. ( ) cos , . . = ur r r r r r u v u v u v . 4. Tọa độ của điểm: cho A(x A ;y A ), B(x B ;y B ) a. ( ) ; B A B A AB x x y y= − − uuur b. ( ) ( ) 2 2 B A B A AB x x y y= − + − c. G là trọng tâm tam giác ABC ta có: GA GB GC O+ + = uuur uuur uuur ur , 3 OA OB OC OG + + = ⇒ uuur uuur uuur uuur x G = 3 A B C x x x+ + ; y G = 3 A B C y y y+ + d. M chia AB theo tỉ số k: MA kMB= ⇒ uuur uuur ; 1 1 A B A B M M x kx y ky x y k k − − = = − − Đặc biệt: M là trung điểm của AB: ; . 2 2 A B A B M M x x y y x y + + = = e) Tứ giác ABCD là hình bình hành AB DC= uuur uuur h) Tính chất đường phân giác: Gọi AD, AE lần lượt là đường phân giác trong và ngồi của góc A (D ∈ BC; E ∈ BC), ta có: DB AB AC DC = − uuur uuur ; EB AB AC EC = uuur uuur k) Diện tích ∆ : * Công thức tính diện tích tam giác ABC với : AB uuur = (x 1 ;y 1 ), AC uuur = ( x 2 ;y 2 ) thì S = 2 1 | x 1 y 2 – x 2 y 1 | * Cơng thức khác: 1 1 sin ( )( )( ) 2 2 4 a abc S ah ab C pr p p a p b p c R = = = = = − − − (Với a, b, c là ba cạnh, a h là đường cao thuộc cạnh a, 1 ( ) 2 p a b c= + + , R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp ∆ ABC) g/ → u cùng phương với ' → u ⇔ ' ' yy xx = xy’ – x’y = 0 -A,B,C phân biệt thẳng hàng khi 1 1 2 2 x y AB k AC x y = ⇒ = uuur uuur , với AB uuur = (x 1 ;y 1 ), AC uuur = ( x 2 ;y 2 ), k 0 ≠ II. Phương trình đường thẳng 1. Một đường thẳng ∆ được xác định khi biết một điểm M(x 0 ;y 0 ) và một vectơ pháp tuyến ( ) ;n A B= r hoặc một vectơ chỉ phương ( ) ;u a b= r ta có thể chọn ( ) ;u a B b A= = = − r xo i r j r M *Phương trình tổng quát ( ) ( ) 0 0 0 0A x x B y y Ax By C− + − = ⇒ + + = . *Phương trình tham số: 0 0 x x at y y bt = + = + , ( ) t R∈ . ( ) 0 0 ( ) ;M M x at y bt∈ ∆ ⇔ + + *Phương trình đường thẳng qua M(x 0 ;y 0 ) có hệ số góc k: ( ) 0 0 y k x x y= − + . * Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(x A ;y A ), B(x B ;y B ): A A B A B A x x y y x x y y − − = − − 2. Khoảng cách từ một điểm M(x M ;y M ) đến một đường thẳng ∆: 0Ax By C+ + = là: ( ) 2 2 , M M Ax By C d M A B + + ∆ = + . Hoặc dựng đường thẳng qua M vuông góc cắt ∆ tại H thì ( ) ,d M MH∆ = 3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng. Cho hai đường thẳng 0: 0: 2222 1111 =++∆ =++∆ cybxa cybxa Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng 21 ∆∆ và ta xét số nghiệm của hệ phương trình =++ =++ 0 0 222 111 cybxa cybxa (I) Chú ý: Nếu a 2 b 2 c 2 0≠ thì : 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 21 // c c b b a a c c b b a a b b a a ==⇔∆≡∆ ≠=⇔∆∆ ≠⇔∆∩∆ 4. Góc giữa hai đường thẳng. *Góc giữa hai đường thẳng 21 ∆∆ và của (I) có VTPT →→ 21 nvàn được tính theo công thức: 2 2 2 1 2 2 2 1 2121 21 21 2121 . || |||| |.| ),cos(),cos( bbaa bbaa nn nn nn ++ + ===∆∆ →→ →→ →→ hoặc tính theo véc tơ chỉ phương thay n r bằng u r * Góc giữa hai đường thẳng:( ∆ ): y = k 1 x + b và ( ∆ ’): y = k 2 x + b’ là: tan 2 1 1 2 ( ; ') 1 . k k k k − ∆ ∆ = + (Công thức tan) III. Phương trình đường tròn 1. Một đường tròn được xác định khi biết tâm I(a;b) và bán kính r. Phương trình: Dạng 1: ( ) ( ) 2 2 2 x a y b r− + − = . Dạng 2: 2 2 2 2 0x y ax by d+ − − + = , điều kiện 2 2 0a b d+ − > và 2 2 r a b d= + − .Tâm I(a;b) a n ∆ (C) r ∆ I M 2. Điều kiện để đường thẳng ∆: 0Ax By C+ + = (1) tiếp xúc với đường tròn (C) là: ( ) 2 2 , Aa Ba C d I r A B + + ∆ = = + Đôi khi ta xét b= 0 thay xét trực tiếp và sau đó xét b 0≠ thì đường thẳng (1) thành y kx b= + hoặc 0kx y b− + = thì bài toán đơn giản hơn. * Nếu a 2 + b 2 – c = 0 thì chỉ có một điểm I(a ; b) thỏa mãn phtr: x 2 + y 2 - 2ax - 2by + c = 0 * Nếu a 2 + b 2 – c < 0 thì không có điểm M(x ; y) nào thỏa mãn phtr: x 2 + y 2 - 2ax - 2by + c = 0 2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại M 0 . Tiếp tuyến tại điểm M 0 (x 0 ; y 0 ) của đường tròn tâm I(a ; b) có phương trình: ( ) ;M x y ∈∆ 0 . 0 O IM M M = uuuur uuuuuur ta có (x – x 0 ) (x 0 – a)+ (y – y 0 ) (y 0 – b)= 0 hoặc 0 0 0 0 ( ) ( ) 0x x y y a x x b y y c+ − + − + + = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 0 0 0 0 .( ) 0 0IM IM IM IM IM IM x a x a y b y b R − = ⇔ − = ⇔ − − + − − = uuuur uuuur uuur uuuur uuuuruuur IV. Ba đường conic Elip 1. Phương trình chính tắc: 2 2 2 2 1 x y a b + = , (a>b>0). 2. Các yếu tố: 2 2 2 c a b= − , a> c>0.,a>b>0 Tiêu cự: F 1 F 2 =2c; Độ dài trục lớn A 1 A 2 =2a Độ dài trục bé B 1 B 2 =2b. Hai tiêu điểm ( ) ( ) 1 2 ;0 , ;0F c F c− . Bốn đỉnh: 2 đỉnh trên trục lớn ( ) ( ) 1 2 ;0 , ;0A a A a− , 2 đỉnh trên trục bé ( ) ( ) 1 2 0; , 0;B b B b− . Tâm sai: 1 c e a = < Bán kính qua tiêu điểm: M( 0 0 ;x y )thuộc (E) thì 1 1 0 2 2 0 MF r a ex MF r a ex = = + = = − 3. Điều kiện để đường thẳng Ax+By+C=0 tiếp xúc với elip là: A 2 a 2 +B 2 b 2 =C 2 . hoặc dùng điều kiện nghiệm kép của ph trình hoành độ hoặc tung độ giao điểm. Hyperbol 1. Phương trình chính tắc: 2 2 2 2 1 x y a b − = , (a> b>0). 2. Các yếu tố: 2 2 2 c a b= + , c>a>0. Tiêu cự: F 1 F 2 =2c; Độ dài trục thực A 1 A 2 =2a Độ dài trục ảo B 1 B 2 =2b. Hai tiêu điểm ( ) ( ) 1 2 ;0 , ;0F c F c− . Hai đỉnh: đỉnh trên trục thực ( ) ( ) 1 2 ;0 , ;0A a A a− , Bán kính qua tiêu điểm: M( 0 0 ;x y )thuộc (H) : x y F 2 F 1 B 2 B 1 A 2 A 1 O M y= b a x y=- b a x B 1 B 2 A 2 F 2 A 1 F 1 O y x 0 x a≥ thì 1 0 2 0 c MF a x a c MF a x a = + = − + 0 x a≤ − thì 1 0 2 0 c MF a x a c MF a x a = − − = − hoặc tổng quát: 1 0 2 0 c MF a x a c MF a x a = + = − Hai đường tiệm cận: b y x a = ± Tâm sai: 1 c e a = > 3. Điều kiện để đường thẳng Ax+By+C=0 tiếp xúc với hypebol là: A 2 a 2 −B 2 b 2 =C 2 . Parabol 1. Phương trình chính tắc: 2 2y px= , (p>0 gọi là tham số tiêu). 2. Các yếu tố: Một tiêu điểm ;0 2 p F ÷ , đường chuẩn 2 p x = − B. BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 1. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(1; -2), đường cao : 1 0CH x y− + = , phân giác trong : 2 5 0BN x y+ + = .Tìm toạ độ các đỉnh B,C và tính diện tích tam giác ABC Hướng dẫn: + Do AB CH ⊥ nên AB: 1 0x y+ + = . Giải hệ: 2 5 0 1 0 x y x y + + = + + = ta có (x; y)=(-4; 3). Do đó: ( 4;3)AB BN B∩ = − . + Lấy A’ đối xứng A qua BN thì 'A BC∈ . - Phương trình đường thẳng (d) qua A và Vuụng gúc với BN là (d): 2 5 0x y− − = . Gọi ( )I d BN= ∩ . Giải hệ: 2 5 0 2 5 0 x y x y + + = − − = . Suy ra: I(-1; 3) '( 3; 4)A⇒ − − + Phương trình BC: 7 25 0x y+ + = . Giải hệ: 7 25 0 1 0 x y x y + + = − + = Suy ra: 13 9 ( ; ) 4 4 C − − . + 2 2 450 ( 4 13 / 4) (3 9 / 4) 4 BC = − + + + = , 2 2 7.1 1( 2) 25 ( ; ) 3 2 7 1 d A BC + − + = = + . Suy ra: 1 1 450 45 ( ; ). .3 2. . 2 2 4 4 ABC S d A BC BC= = = Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I là giao điểm của đường thẳng 03: 1 =−− yxd và 06: 2 =−+ yxd . Trung điểm của một cạnh là giao điểm của d 1 với trục Ox. Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật. Hướng dẫn: B 2 F 2 y x O B C A H N A B I Ta cú: Idd 21 = . To ca I l nghim ca h: = = =+ = 2/3y 2/9x 06yx 03yx . Vy 2 3 ; 2 9 I Do vai trũ A, B, C, D nờn gi s M l trung im cnh AD OxdM 1 = Suy ra M( 3; 0) Ta cú: 23 2 3 2 9 32IM2AB 22 = + == Theo gi thit: 22 23 12 AB S AD12AD.ABS ABCD ABCD ===== Vỡ I v M cựng thuc ng thng d 1 ADd 1 ng thng AD i qua M ( 3; 0) v vuụng gúc vi d 1 nhn )1;1(n lm VTPT nờn cú PT: 03yx0)0y(1)3x(1 =+=+ . Li cú: 2MDMA == To A, D l nghim ca h PT: ( ) =+ =+ 2y3x 03yx 2 2 ( ) ( ) = = =+ += =+ += 13x x3y 2)x3(3x 3xy 2y3x 3xy 2 2 2 2 = = 1y 2x hoc = = 1y 4x . Vy A( 2; 1), D( 4; -1) Do 2 3 ; 2 9 I l trung im ca AC suy ra: === === 213yy2y 729xx2x AIC AIC Tng t I cng l trung im ca BD nờn ta cú B( 5; 4) Vy to cỏc nh ca hỡnh ch nht l: (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; -1) Bi 3: Trong mt phng ta Oxy cho hỡnh ch nht ABCD cú tõm 1 ( ;0) 2 I ng thng AB cú phng trỡnh: x 2y + 2 = 0, AB = 2AD v honh im A õm. Tỡm ta cỏc nh ca hỡnh ch nht ú. HNG DN +) 5 ( , ) 2 d I AB = AD = 5 AB = 2 5 BD = 5. +) PT ng trũn K BD: (x - 1/2) 2 + y 2 = 25/4 +) Ta A, B l nghim ca h: 2 2 2 1 25 2 ( ) ( 2;0), (2;2) 2 4 2 2 2 0 0 x y x y A B x x y y = = + = = + = = (3;0), ( 1; 2)C D Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC biết A(2; - 3), B(3; - 2), có diện tích bằng 3 2 và trọng tâm thuộc đờng thẳng : 3x y 8 = 0. Tìm tọa độ đỉnh C. H ớng dẫn : Ta có: AB = 2 , M = ( 5 5 ; 2 2 ), pt AB: x y 5 = 0 S ABC = 1 2 d(C, AB).AB = 3 2 d(C, AB)= 3 2 Gọi G(t;3t-8) là trọng tâm tam giác ABC thì d(G, AB)= 1 2 d(G, AB)= (3 8) 5 2 t t = 1 2 t = 1 hoặc t = 2 D C G(1; - 5) hoặc G(2; - 2) Mà 3CM GM = uuuur uuuur C = (-2; 10) hoặc C = (1; -4) Bài 5: Trong mặt phẳng Oxy cho elip (E): 2 2 1 4 3 x y + = và đờng thẳng :3x + 4y =12. Từ điểm M bất kì trên kẻ tới (E) các tiếp tuyến MA, MB. Chứng minh rằng đờng thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định. H ớng dẫn: Gọi M(x 0 ;y 0 ), A(x 1 ;y 1 ), B(x 2 ;y 2 ) Tiếp tuyến tại A có dạng 1 1 1 4 3 xx yy + = Tiếp tuyến đi qua M nên 0 1 0 1 1 4 3 x x y y + = (1) Ta thấy tọa độ của A và B đều thỏa mãn (1) nên đờng thẳng AB có pt 0 0 1 4 3 xx yy + = do M thuộc nên 3x 0 + 4y 0 =12 4y 0 =12-3x 0 0 0 4 4 4 4 3 xx yy + = 0 0 4 (12 3 ) 4 4 3 xx y x + = Gọi F(x;y) là điểm cố định mà AB đi qua với mọi M thì (x- y)x 0 + 4y 4 = 0 { { 0 1 4 4 0 1 x y y y x = = = = Vậy AB luôn đi qua điểm cố định F(1;1) Bi 6: Trong mt phng vi h to Oxy cho im C(2;-5 ) v ng thng :3 4 4 0x y + = . Tỡm trờn hai im A v B i xng nhau qua I(2;5/2) sao cho din tớch tam giỏc ABC bng15. Hng dn: 1. Gi 3 4 16 3 ( ; ) (4 ; ) 4 4 a a A a B a + . Khi ú din tớch tam giỏc ABC l 1 . ( ) 3 2 ABC S AB d C AB= = . Theo gi thit ta cú 2 2 4 6 3 5 (4 2 ) 25 0 2 a a AB a a = = + = ữ = Vy hai im cn tỡm l A(0;1) v B(4;4). Bi 7: 1.Trong mt phng vi h to Oxy cho elớp 2 2 ( ) : 1 9 4 x y E + = v hai im A(3;-2) , B(-3;2) . Tỡm trờn (E) im C cú honh v tung dng sao cho tam giỏc ABC cú din tớch ln nht. Hng dn: Ta cú PT ng thng AB:2x+3y=0 Gi C(x;y) vi x>0,y>0.Khi ú ta cú 2 2 1 9 4 x y + = v din tớch tam giỏc ABC l 1 85 85 . ( ) 2 3 3 2 13 3 4 2 13 ABC x y S AB d C AB x y= = + = + 2 2 85 170 3 2 3 13 9 4 13 x y + = ữ Du bng xy ra khi 2 2 2 1 3 9 4 2 2 3 2 x y x x y y + = = = = . Vy 3 2 ( ; 2) 2 C . Bi 8: Trong mt phng to Oxy cho hai ng thng (d 1 ) : 4x - 3y - 12 = 0 v (d 2 ): 4x + 3y - 12 = 0. Tỡm to tõm v bỏn kớnh ng trũn ni tip tam giỏc cú 3 cnh nm trờn (d 1 ), (d 2 ), trc Oy. Hng dn: Gi A l giao im d 1 v d 2 ta cú A(3 ;0) Gi B l giao im d 1 vi trc Oy ta cú B(0 ; - 4) Gi C l giao im d 2 vi Oy ta cú C(0 ;4) Gi BI l ng phõn giỏc trong gúc B vi I thuc OA khi ú ta cú I(4/3 ; 0), R = 4/3 Bi 9: Cho im A(-1 ;0), B(1 ;2) v ng thng (d): x - y - 1 = 0. Lp phng trỡnh ng trũn i qua 2 im A, B v tip xỳc vi ng thng (d). Hng dn: Gi s phng trỡnh cn tỡm l (x-a) 2 + (x-b) 2 = R 2 Vỡ ng trũn i qua A, B v tip xỳc vi d nờn ta cú h phng trỡnh 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 ) (1 ) (2 ) ( 1) 2 a b R a y R a b R + + = + = = 2 0 1 2 a b R = = = Vy ng trũn cn tỡm l: x 2 + (y - 1) 2 = 2 Bi 10 : Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C): x 2 + y 2 - 2x - 2my + m 2 - 24 = 0 cú tõm I v ng thng : mx + 4y = 0. Tỡm m bit ng thng ct ng trũn (C) ti hai im phõn bit A,B tha món din tớch tam giỏc IAB bng 12. Hng dn : ng trũn (C) cú tõm I(1; m), bỏn kớnh R = 5. Gi H l trung im ca dõy cung AB. Ta cú IH l ng cao ca tam giỏc IAB. IH = 2 2 | 4 | | 5 | ( , ) 16 16 m m m d I m m + = = + + 2 2 2 2 2 (5 ) 20 25 16 16 m AH IA IH m m = = = + + Din tớch tam giỏc IAB l 12 2 12S IAB IAH S = = 2 3 ( , ). 12 25 | | 3( 16) 16 3 m d I AH m m m = = = + = B i 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với )5;2(,)1;1( BA , đỉnh C nằm trên đờng thẳng 04 =x , và trọng tâm G của tam giác nằm trên đờng thẳng 0632 =+ yx . Tính diện tích tam giác ABC. H ớng dẫn: Ta có );4( C yC = . Khi đó tọa độ G là 3 2 3 51 ,1 3 421 CC GG yy yx += ++ == + = . Điểm G nằm trên đờng thẳng 0632 =+ yx nên 0662 =+ C y , vậy 2= C y , tức là )2;4(=C . Ta có )1;3(,)4;3( == ACAB , vậy 5 = AB , 10=AC , 5. =ACAB . Diện tích tam giác ABC là ( ) 2510.25 2 1 2 1 2 22 == ACABACABS = 2 15 Bài 12: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với )2;1(,)1;2( BA , trọng tâm G của tam giác nằm trên đờng thẳng 02 =+ yx . Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC bằng 13,5 . H ớng dẫn: I A B H 5 Vì G nằm trên đờng thẳng 02 =+ yx nên G có tọa độ )2;( ttG = . Khi đó )3;2( ttAG = , )1;1( =AB Vậy diện tích tam giác ABG là ( ) [ ] 1)3()2(2 2 1 2 1 22 2 22 +== ttABAGABAGS = 2 32 t Nếu diện tích tam giác ABC bằng 13,5 thì diện tích tam giác ABG bằng 5,43:5,13 = . Vậy 5,4 2 32 = t , suy ra 6=t hoặc 3=t . Vậy có hai điểm G : )1;3(,)4;6( 21 == GG . Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên )(3 BaGC xxxx += và )(3 BaGC yyyy += . Với )4;6( 1 =G ta có )9;15( 1 = C , với )1;3( 2 =G ta có )18;12( 2 = C Bài 13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đờng tròn (C): x 2 + y 2 - 2x + 4y - 4 = 0 và đờng thẳng d có phơng trình x + y + m = 0. Tìm m để trên đờng thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ đợc hai tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC vuông. H ớng dẫn : Từ phơng trình chính tắc của đờng tròn ta có tâm I(1;-2), R = 3, từ A kẻ đợc 2 tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn và ACAB => tứ giác ABIC là hình vuông cạnh bằng 3 23= IA = = == 7 5 6123 2 1 m m m m Bi 14: Trong mp (Oxy) cho ng thng () cú phng trỡnh: x 2y 2 = 0 v hai im A (-1;2); B (3;4). Tỡm im M () sao cho 2MA 2 + MB 2 cú giỏ tr nh nht. Hng dn : M (2 2; ), (2 3; 2), (2 1; 4)M t t AM t t BM t t + = + = uuuur uuuur 2 2 2 2 15 4 43 ( )AM BM t t f t+ = + + = Min f(t) = 2 15 f ữ => M 26 2 ; 15 15 ữ Bi 15: Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn (C) cú phng trỡnh: 2 2 4 3 4 0x y x+ + = . Tia Oy ct (C) ti A. Lp phng trỡnh ng trũn (C), bỏn kớnh R = 2 v tip xỳc ngoi vi (C) ti A. Hng dn: A(0;2), I(-2 3 ;0), R= 4, gi (C) cú tõm I Pt ng thng IA : 2 3 2 2 x t y t = = + , 'I IA => I( 2 3 ;2 2t t + ), 1 2 ' '( 3;3) 2 AI I A t I= = => uur uuur (C): ( ) ( ) 2 2 3 3 4x y + = Bi 16: Trong mt phng vi h to Oxy, cho hỡnh ch nht ABCD cú cnh AB: x -2y -1 =0, ng chộo BD: x- 7y +14 = 0 v ng chộo AC i qua im M(2;1). Tỡm to cỏc nh ca hỡnh ch nht. Hng dn: (7;3)BD AB B = , pt g thng BC: 2x + y 17 = 0 (2 1; ), ( ;17 2 ), 3, 7A AB A a a C BC C c c a c + , I = 2 1 2 17 ; 2 2 a c a c+ + − + ÷ là trung điểm của AC, BD. I 3 18 0 3 18 (6 35;3 18)BD c a a c A c c∈ ⇔ − − = ⇔ = − ⇒ − − M, A, C thẳng hàng ,MA MC uuur uuuur cùng phương => c 2 – 13c +42 =0 7( ) 6 c loai c = = c = 6 =>A(1;0), C(6;5) , D(0;2), B(7;3) Bài 17: Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn có phương trình ( ) 2 2 1 : 4 5 0C x y y+ − − = và ( ) 2 2 2 : 6 8 16 0.C x y x y+ − + + = Lập phương trình tiếp tuyến chung của ( ) 1 C và ( ) 2 .C Hướng dẫn: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 : 0;2 , 3; : 3; 4 , 3.C I R C I R= − = Gọi tiếp tuyến chung của ( ) ( ) 1 2 ,C C là ( ) 2 2 : 0 0Ax By C A B∆ + + = + ≠ ∆ là tiếp tuyến chung của ( ) ( ) 1 2 ,C C ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 2 2 2 3 1 ; ; 3 4 3 2 B C A B d I R d I R A B C A B + = + ∆ = ⇔ ⇔ ∆ = − + = + Từ (1) và (2) suy ra 2A B= hoặc 3 2 2 A B C − + = Trường hợp 1: 2A B= . Chọn 1 2 2 3 5 : 2 2 3 5 0B A C x y= ⇒ = ⇒ = − ± ⇒ ∆ + − ± = Trường hợp 2: 3 2 2 A B C − + = . Thay vào (1) được Bµi 18: 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn 2 2 ( ) : – 2 – 2 1 0,C x y x y+ + = 2 2 ( '): 4 – 5 0C x y x+ + = cùng đi qua M(1; 0). Viết phương trình đường thẳng qua M cắt hai đường tròn ( ), ( ')C C lần lượt tại A, B sao cho MA= 2MB. Hướng dẫn: + Gọi tâm và bán kính của (C), (C’) lần lượt là I(1; 1) , I’(-2; 0) và 1, ' 3R R= = , đường thẳng (d) qua M có phương trình 2 2 ( 1) ( 0) 0 0, ( 0)(*)a x b y ax by a a b− + − = ⇔ + − = + ≠ . + Gọi H, H’ lần lượt là trung điểm của AM, BM. Khi đó ta có: 2 2 2 2 2 2 ' ' 'MA MB IA IH I A I H= ⇔ − = − ( ) ( ) 2 2 1 ( ; ) 4[9 ( '; ) ]d I d d I d⇔ − = − , .IA IH > ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 9 4 ( '; ) ( ; ) 35 4. 35 a b d I d d I d a b a b ⇔ − = ⇔ − = + + 2 2 2 2 2 2 36 35 36 a b a b a b − ⇔ = ⇔ = + Dễ thấy 0b ≠ nên chọn 6 1 6 = − = ⇒ = a b a . Kiểm tra điều kiện IA IH> rồi thay vào (*) ta có hai đường thẳng thoả mãn. Bài 19: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trực tâm (1;0)H , chân đường cao hạ từ đỉnh B là (0; 2)K , trung điểm cạnh AB là (3;1)M . Hướng dẫn: + Đường thẳng AC vuông góc với HK nên nhận ( 1; 2)HK = − uuur làm vtpt và AC đi qua K nên ( ) : 2 4 0.AC x y− + = Ta cũng dễ có: ( ) : 2 2 0BK x y+ − = . + Do ,A AC B BK∈ ∈ nên giả sử (2 4; ), ( ; 2 2 ).A a a B b b− − Mặt khác (3;1)M là trung điểm của AB nên ta có hệ: 2 4 6 2 10 4 . 2 2 2 2 0 2 a b a b a a b a b b − + = + = = ⇔ ⇔ + − = − = = Suy ra: (4; 4), (2; 2).A B − + Suy ra: ( 2; 6)AB = − − uuur , suy ra: ( ) :3 8 0AB x y− − = . + Đường thẳng BC qua B và vuông góc với AH nên nhận (3; 4)HA = uuur , suy ra: ( ):3 4 2 0.BC x y+ + = KL: Vậy : ( ) : 2 4 0,− + =AC x y ( ) :3 8 0− − =AB x y , ( ):3 4 2 0.+ + =BC x y Bài 20: (đề 2010) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d 1 : 3 0+ =x y và d 2 : 3 0x y− = . Gọi (T) là đường tròn tiếp xúc với d 1 tại A, cắt d 2 tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B. Viết phương trình của (T), biết tam giác ABC có diện tích bằng 3 2 và điểm A có hoành độ dương. Hướng dẫn: . Ta thấy 1 2 ,d d tạo với Oy góc 0 30 Từ đó · · 0 0 60 ; 30AOB ACB= = 2 2 1 3 3 3 . 1 2 2 2 2 ABC S AB BC AB AB AB ∆ = = ⇒ = ⇒ = 2 2 1 . ; 1 3 3 3 OA AB A = = ⇒ − ÷ 4 2 2 ; 2 3 3 OC OA C = = ⇒ − − ÷ Đường tròn (T) đường kính AC có: 1 3 ; , 1 2 2 2 3 AC I R − − = = ÷ Phương trình (T): 2 2 1 3 1 2 2 3 x y + + + = ÷ ÷ Bài 21: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6), đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x + y − 4 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B và C, biết điểm E(1; −3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho. Hướng dẫn: Gọi ∆ là đường thẳng đi qua trung điểm của AC và AB Â [...]... sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất 3 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho elip (E) có phương trình x2 y2 + = 1 Xét điểm M chuyển động trên tia Ox và điểm N chuyển động trên tia Oy sao cho 16 9 đường thẳng MN luôn tiếp xúc với (E) Xác định tọa độ điểm M, N để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất đó ( ) ( ) ĐS: M 2 7 ;0 , N 0; 21 , MN min = 7 4 Trong mặt phẳng với hệ... B(3;2) 5 Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(2; 1), đường cao qua đỉnh B có phương trình là x−3y – 7 = 0 và đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình: x + y + 1= 0 Xác định toạ độ các đỉnh B và C của tam giác ABC x2 y2 + =1 4 1 Tìm tọa độ các điểm A, B thuộc (E), biết rằng hai điểm A, B đối xứng với nhau qua trục hoành và tam giác ABC là tam giác đều 6 Trong mặt phẳng với hệ tọa... phẳng với hệ toạ độ Oxy, tìm điểm A thuộc trục hoành và điểm B thuộc trục tung sao cho A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x −2y+3=0 ĐS: A(2;0), B(0;4) 10 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): (x−1)2+(y+2)2=9 và đường thẳng d: 3x−4y+m=0 Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB tới (C) (A, B là các tiếp điểm) sao cho tam giác PAB đều... các tiếp điểm) sao cho tam giác PAB đều ĐS: m=19, m=−41 11 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có M(2;0) là trung điểm của cạnh AB Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là 7x−2y−3=0 và 6x−y−4=0 Viết phương trình đường thẳng AC ĐS: AC: 3x−4y+5=0 12 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6;2) là giao điểm của hai đường chéo AC và... cạnh CD thuộc đường thẳng ∆: x+y−5=0 Viết phương trình đường thẳng AB ĐS: AB: y−5=0; x−4y+19=0 13 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy viết phương trình chính tắc của elip (E) biết rằng (E) x2 y2 5 có tâm sai bằng và hình chữ nhật cơ sở của (E) có chu vi bằng 20., ĐS: + =1 9 4 3 13 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0;2), B(−2;−2) và C(4;−2) Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M... ĐS: x2+y2−x+y−2=0 14 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho các đường thẳng d1: x+y+3=0, d2: x−y−4=0, d3: x−2y=0 Tìm tọa độ điểm M mằm trên đường thẳng d3 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d1 bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2 ĐS: M1(−22;−11), M2(2;1) 15 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng d1: x−y=0 và d2: 2x+y−1=0 tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh... 19 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C): (x−2)2+y2=4/5 và hai đường thẳng ∆1: x−y=0, ∆2: x−7y=0 Xác định tọa độ tâm K và bán kính đường tròn (C1); biết đường tròn (C1) tiếp xúc với các đường thẳng ∆1, ∆2 và tâm K thuộc đường tròn (C) ĐS: 2 2 8 4 K ; , R = 5 5 5 20 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu vuông góc... thẳng AB bằng 6 43 27 ĐS: C1 ( 7;3) , C 2 − ;− 11 11 ^ 26 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có AB=AC, BAC = 90 0 Biết M(1;−1) là 2 trung điểm cạnh BC và G ;0 là trọng tâm tam giác ABC Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C 3 ĐS: A(0;2), B(4;0), C(−2;−2) 1 27.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I ;0 , phương trình 2 đường thẳng AB là x−2y+2=0... các đỉnh B, D thuộc trục hoành ĐS: A(1;1), B(0;0), C(1;−1), D(2;0) hoặc A(1;1), B(2;0), C(1;−1), D(0;0) ( ) 16 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(0;2) và B − 3;−1 Tìm tọa độ trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB ĐS: H ( ) ( ) 3;−1 , I − 3;1 17 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy xét tam giác ABC vuông tại A, phương trình đường thẳng BC là 3 x − y − 3 = 0 , các đỉnh A và B thuộc... ( 0; −4 ) C ( −4;0 ) hoặc B ( −6; 2 ) C ( 2; −6 ) C BÀI TẬP TỰ RÈN 1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có C(−1; −2), đường trung tuyến kẻ từ A và đường cao kẻ từ B lần lượt có phương trình là 5x+y−9=0 và x+3y−5=0 Tìm tọa độ các đỉnh A và B ĐS: A(1;4), B(5;0) 2 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C) x 2 + y 2 + 4 x + 4 y + 6 = 0 và đường thẳng ∆ : x + . 45 ( ; ). .3 2. . 2 2 4 4 ABC S d A BC BC= = = Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I là giao điểm của đường thẳng 03: 1 =−− yxd . E ∈ BC), ta có: DB AB AC DC = − uuur uuur ; EB AB AC EC = uuur uuur k) Diện tích ∆ : * Công thức tính diện tích tam giác ABC với : AB uuur = (x 1 ;y 1 ), AC uuur = ( x 2 ;y 2 ) thì. BẢN Bài 1. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(1; -2), đường cao : 1 0CH x y− + = , phân giác trong : 2 5 0BN x y+ + = .Tìm toạ độ các đỉnh B,C và tính diện tích tam giác ABC Hướng