wWw.kenhdaihoc.com - Kênh thông tin - học tập - giải trí cho HS-SV HÌNH GIẢI TÍCH PHẲNG Phần I – Lý thuyết A. VEC TƠ _ ĐIỂM I. CHÚ Ý + Tọa độ của véc tơ: Trong mặt phẳng {xOy}: AB x, y AB xi yj + Độ dài véc tơ: 2 2 x a,b x a b r r + Góc của hai véc tơ 2 2 2 2 x a,b ac bd c x; y y c,d a b c d r r r r os x y ac bd 0 r r + Tọa độ điểm : Trong {xOy} M x; y OM x; y + 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 AB x x ;y y Cho x ; y ;B x ;y AB x x y y A Điểm đặc biệt + M chia AB theo tỉ số k A B M A B M x kx x 1 k MA kMB y ky y 1 k + Trung điểm AB M A B M A B 1 x x x 2 MA MB 0 1 y y y 2 + Trọng tâm tam giác ABC M A B C M A B C 1 x x x x 3 MA MB MC 0 1 y y y y 3 B. ĐƯỜNG THẲNG I. CHÚ Ý + Phương trình đường thẳng wWw.kenhdaihoc.com - Kênh thơng tin - học tập - giải trí cho HS-SV 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Cho x ;y .n A,B : A x x B y y 0 Ax By C 0 x ; y .u a,b x x at x x y y y y bt a b x ; y k R; r r M là VTPT của : Cho M là TVCP của : Cho M Đường thẳng đi qua M co 0 0 y k x x y y ax b ù hệ số góc là k: Cho đường thẳng không song song Oy trong mặt phẳng + Quan hệ của hai đường thẳng 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 Cho n .n 0 A A B B 0 k .k 1 A B C A B C / / k k hai đường thẳng và + Góc của hai đường thẳng 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 (M ;n ) (M ;n ) cos cos n ;n : y k x x y : y k x x y k k tan 1 k k Cho và tạo với nhau một góc Cho và +Khoảng cách của một điểm đến một đường thẳng 0 0 0 0 0 0 2 2 x ; y Ax By C 0 Ax By C d M ; A B Cho M và : C. ĐƯỜNG TRỊN I. CHÚ Ý 2 2 Ph a,b x a y b R ương trình của đường tròn tâm I bán kính R 2 2 x y 2ax 2by c 0 Phương trình tổng quát của một đườn g tròn: wWw.kenhdaihoc.com - Kênh thơng tin - học tập - giải trí cho HS-SV 2 2 Ax By C 0 C a,b ;R Aa Bb C d I, R R A B Đường thẳng : tiếp xúc với đường tròn tâm I D. CONIC I. CHÚ Ý 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 x y Trong M: MF MF 2a;FF 2c : 1 a b ( c,0)F (c,0) : 2c : a c 2a;2b c e a Oxy F tiêu điểm tiêu cự b Hình chữ nhật cơ sở: Tâm sai 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 x y Trong M : MF MF 2a;FF 2c : 1 a b ( c,0)F (c,0) : 2c : c a 2a;2b c e a b y x a Oxy F tiêu điểm tiêu cự b Hình chữ nhật cơ sở: Tâm sai Tiệm cận : 2 2 2 2 Trong M : MF MH,MH H : y 2px p x KvàFK p: 2 p ( ,0) : 2 c a 2a;2b Oxy : đường chuẩn ;FK tham số tiêu F tiêu điểm b Hình chữ nhật cơ sở: wWw.kenhdaihoc.com - Kênh thông tin - học tập - giải trí cho HS-SV Phần II – Bài tập vận dụng I – Bài tập ví dụ Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(-2;3), đường cao CH nằm trên đường thẳng: 2x + y -7= 0 và đường trung tuyến BM nằm trên đường thẳng 2x – y +1=0. Viết phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC. Đường thẳng chứa cạnh AB đi qua A (-2;3) và nhận véctơ chỉ phương CH u = (-1;2) của đường CH làm véctơ pháp tuyến nên có phương trình là: - 1(x+2) + 2(y-3) = 0 <=> - x + 2y - 8 = 0 Toạ độ điểm B là nghiệm hệ: 012 082 yx yx => B = (2; 5) Giả sử đỉnh C = (x o ; y o ) => M = ; 2 2 0 x 2 3 0 y Vì C CH nên 2x o + y o - 7 = 0 (1) Vì M BM nên: 01 2 3 2 2 .2 00 yx <=> 2x o - y o - 5 = 0 (2) Giải hệ (1), (2) ta có: 1 3 0 0 y x Vậy C= (3; 1) Phương trình đường thẳng AC là: 2x + 5y -11 =0 Phương trình đường thẳng BC là: 4x + 5y -13 =0 Bài 2.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho (E): 1 1 4 22 yx có hai tiêu điểm là 21 ; FF , gọi A ,B là hai điểm trên (E) sao cho 2 21 BFAF .Tính 12 BFAF . Vì A; B là hai điểm trên (E) nên ta có: 42 42 21 21 aBFBF aAFAF 68 122121 BFAFBFBFAFAF Bài 3.Trong hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng 1 2 :3 4 20 0, : 1 0 d x y d x y Viết phương trình đường tròn (C) biết rằng (C) có bán kính R=5, tiếp xúc với 1 d và có tâm nằm trên 2 d . Giả sử là 2 ( ; 1 ) I t t d tâm của đường tròn (C) Vì (C) tiếp xúc với 1 d nên 1 2 2 3 4( 1 ) 20 ( , ) 5 3 4 t t d I d R 24 25 1 24 25 24 25 49 t t t t t Với 1 1 (1; 2) t I ta được phương trình đường tròn 2 2 1 1 2 25 C x y Với 1 49 ( 49;48) t I ta được phương trình đường tròn wWw.kenhdaihoc.com - Kênh thơng tin - học tập - giải trí cho HS-SV 2 2 2 49 48 25 C x y II – Bài tập tự giải Bài 1.1 Cho tam giác ABC . A 1,5 B 4; 5 C 4; 1 Tính tọa độ chân đườn phân giác trong D và ngồi E của góc A. Suy ra tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác Bài 1.2 Cho tam giác ABC. A 2;6 B 1;0 C 7; 4 . Tính tọa đội tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác Bài 1.3 Tính giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau 2 2 2 2 a. x 10x 34 x 6x 1 b. c x 10cos x 61 c x 2cosx 5 os os Bài 1.4 Cho tam giác ABC có AB=c, AC=b, BC=a và độ dài đường phân giác trong AD=x thỏa mãn: 2 2 2 2 2 2 x bx b x cx c b bc c . Tính số đo của góc A Bài 2.1 1;1 B 4; 3 . x 2y 1 0 C;AB 6 Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A Tì m điểm C thuộc đường thẳng ( ): sao cho d Bài 2.2 1 2 1 2 1 2 3 a. : x y 1 0; : 2x y 0. 2;1 . b. : x y 3 0; : x y 4 0; : x 2y Trong mặt phẳng Oxy cho các đường th ẳng Điểm M Lập phương trình đường thẳn g đi qua M cắt lần lượt tại A,B sao cho MA=2MB 3 1 2 1 2 1 2 0 Tìm : d M; 2d M; y 4y 6 0; : 5x 12y 4 0 . 1,1 , . M c. Trong Ox cho : 3x cắt nhau tại M Lập phương trình ( ) đi qua K và cắt tại A,B MAB cân tại M Bài 2.3 Trong Oxy 0;4 B 5,0 cho A và đường thẳng :2x-2y+1=0 Lập phương trình đường thẳng đi qua A ,B nhận là đường phân giác Bài 2.4 Trong Oxy 2,3 . a,0 B 0,b cho M Lập phương trình đường thẳng đi qua M cắt Ox;Oy tại A với a>0, b>0 để cho OAB có diện tích lớn nhất Bài 2.5 wWw.kenhdaihoc.com - Kênh thơng tin - học tập - giải trí cho HS-SV y 1 0, 1,3 cao AH : x 2y 3 0. 4;3 . x 2y 5 0 a. Trong Oxy cho ABC có trung tuyến AM: điểm B , đường Lập phương trình đường thẳng AC b. Trong Oxy cho ABC có C Đường phân giác trong AD: và đường 4x 13y 10 0. c. 0; 1 ; AB 2AM. x y 0, 2x y 3 0. trung tuyến AM: Tìm tọa độ B Trong Oxy cho ABC có cạnh AC đi qua M Đường phân giác trong AD: đường cao CH: Tính tọa độ các đỉnh của ABC d. Tr 1, 1 x y 2 0 4x 3y 1 0 ong Oxy , hãy xá đònh tọa độ đỉnh C của ABC biết hình chiếu của C trên AB là H Đường phân giác trong AD: Đường cao BK Bai 2.6 1;3 , 2x 3y 10 0;AB : 5x y 8 0. Trong mặt phẳng Oxy cho ABC cân tại C. Biết đỉnh A đường cao BH: Tính tọa độ B và C Bai 2.7 Trong Oxy x 2y 2 0 0,2 . AB 2BC cho đường thẳng : và A Tìm trên h ai điểm B, C sao cho ABC vuông tại B và Bai 2.8 1 2 1 2 Trong Oxy 1,2 : x y 0 : x y 0.Tìm A Ox; B ; cho I và 2 đường thẳng C sao cho ABC vuông cân tại A và B,C đối xứng với nhau qua I Bai 2.9 1 2 1 2 a. Trong 2,0 : x y 0, : x y 1 0 2;2 : x y 2 0, : x y 8 0 Oxy cho A Tìm điểm B thuộc điểm C thuộc sao cho ABC vuông cân tại A b. Trong Oxy cho A .Tìm điểm B thuộc điểm C thuộc sao cho AB C vuông cân tại A Bai 2.10 Trong 1,0 , : x 2y 2 0 Oxy cho A Tìm điểm B thuộc Ox điểm C thuộc sao cho ABC đều Bai 2.11 Trong 2,0 B 2,0 1 . 3 Oxy cho ABC vuông tại C biết A và k hoảng cách từ trọng tâm G đến Ox bằng Tính tọa độ đỉnh C Bai 2.12 Trong 1,0 B 4;0 C 0,m m 0. m ? Oxy cho ABC A ; ; Tính tọa độ trọng tâm G của ABC theo m. Tìm để GAB vuông tại G Bai 2.13 1, 1 2 ;0 . 3 Trong Oxy cho ABC vuông cân tại A . M trung điểm của BC, trọng tâm G Tìm tọa độ các đỉnh ABC wWw.kenhdaihoc.com - Kênh thơng tin - học tập - giải trí cho HS-SV Bai 2.14 3 Trong . 2, 3 3, 2 2 3x y 8 0. Oxy cho tam giác ABC có S= Hai đỉnh A B và trọng tâm G thuộc : Tính tọa độ C Bài 2.15 Trong 2, 4 0,4 x y 2 0. Oxy cho ABC có C trọng tâm G và tru ng điểm Mcuar cạnh BC thuộc : Tìm tọa độ M để BC có độ dài nhỏ nhất Bai 2.16 13 13 ; . 5 5 4x y 3 0;AC : x y 7 0 Trong Oxy cho ABC có trực tâm H Lập phương trình cạnh BC biết AB: Bài 2.17 B D Trong Oxy x 3y 0;C 2x y 5 0;B,D x y 0.x x Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuôn g ABCD biết hai đỉnh đối diện A Bài 2.18 6,2 1;5 : x y 5 0 Trong Oxy cho hình chữ nhật ABCD có I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD Điểm M thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc Viết phương trình đường t hẳng AB Bài 3.1 1 2 1 2 : x 2y 3 0; : 4x 3y 5 0. Trong Oxy cho Lập phương trình đường tròn tâm I thuộc tiếp xúc với và R=2 Bài 3.2 2 2 y 4 3x 4 0. Trong Oxy cho (C):x Tia oy cắt (C) tạ i A> Lập phương trình (C') có R'=2 và tiếp xúc ngoài (C) tại A Bài 3.3 2 2 a. Trong x 1 y 4 2y 5 1 0 0,2 b. 0,2 3; 1 Oxy cho (C): và đường thẳng x cắt (C) tại A,B. Lập phương trình đường tròn đi qau A,B và K Cho A và B Lập phương trình của đường tròn ngoại tiếp 1,0 B 1, 3 . tam giác OAB c. Cho A Tìm tọa độ I của đường tròn nội tiếp tam giác OAB Bài 3.4 4,0 ,C 4,0 r 1 Trong Oxy cho tam giác ABC vuông tại A; B Lập phương trình đường tròn nội tiếp ABC biết Bài 3.5 3x y 0 Ox; 2 3 Trong Oxy cho tam giác ABO vuông tại A phương trình OA: B hoành độ tâm I của đường tròn n ội tiếp OAB là 6 . Tìm tọa độ A,B Bài 3.6 wWw.kenhdaihoc.com - Kênh thơng tin - học tập - giải trí cho HS-SV 2 2 y 2x 0. 1,4Trong Oxy cho (C): x Từ M kẻ hai tiếp tuyến MB,MB (A,B là 2 tiếp điểm). Lập phương trình AB và độ dài dây cung AB Bài 3.7 2 2 y 2x 2y 10 0. 1,1 . Trong Oxy cho (C) :x Điểm M Lập phươn g trình đường thẳng đi qua M cắt (C) tại hai điểm A,B sao cho MA=2MB Bài 3.8 2 2 2 2 0 I y 16;(C') : x y 2x 0 Trong Oxy cho hai đường tròn (C):x Lập phương trình đường tròn C tâm I : x =2 tiếp xúc trong (C) và ngoài (C' ) Bài 3.9 2 2 y 4x 0 3y 4 0Trong Oxy cho (C):x và đường thẳng x+ cắt nhau tại A,B. Tìm M (C) sao cho tam giác ABM vuông Bài 3.10 2 2 2 2 y 13 x 6 y 25Trong Oxy cho (C):x và (C'): cắt nhau tại A Lập phương trình đường thẳng đi qua A cắt 2 đường tròn theo 2 dây cung da øi bằng nhau Bài 3.11 3x y 3 0 A,B Ox r 2. Trong Oxy cho ABC vuông tại A. phương trình BC: và Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác Bài 3.12 6,0 Trong Oxy cho (C) tâm O; R=5. Lập phươ ng trình đường thẳng đi qua M cắt (C) tai A,B để cho OAB có diện tích lớn nhất Bài 3.13 2 2 1 2 1 2 y 2x 6y 6 0; 3,1 T T Trong Oxy cho (C):x M Gọi T là các ti ếp điểm cuả các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C). Lập phương trình T Bài 3.14 2 2 y 4x 4y 6 0 y 2m 3 0.Trong Oxy cho (C):x và đường thẳng x+m Gọi I là tâm (C) . Tìm m=? để cắt (C) tại A,B sao cho tam giác IAB có lớn nhất Bài 3.15 2 2 1 2 1 1 1 2 4 x 2 y x y 0; x 7y 0 5 Trong Oxy cho (C): = và các đường thẳng : : Xác đònh tọa độ tâm K của (C ) biết (C ) tiếp xúc và K (C) Bài 4.1 5 3 Trong Oxy hayx viết phương trình chính tắc của (E) biết tâm sai e= và hình chữ nhật cơ sở có chu vi bằng 20 Bài 4.2 2 2 x 2 6 y 1 3, 4 3 Trong Oxy cho (E): ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD. A Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của ABCD wWw.kenhdaihoc.com - Kênh thơng tin - học tập - giải trí cho HS-SV Bài 4.3 1 2 1 2 1 2 ( 4,0)F (4,0) 0,3 E 9MF Trong Oxy cho F và A Lập phương trình chính tắc của đi qua A và nhận F F làm tiêu điểm. Tìm tr ên (E) điểm M sao cho MF Bài 4.4 · 1 2 1 2 0 1 2 1,0 F 1,0 3 e . FMF 90 5 Trong Oxy cho F Lập phương trình chính tắc của (E) nhận F F làm tiêu điểm và Tìm trên (E) một điểm M: Bài 4.5 1 2 1 2 2 1 4,0 ; 4,0 ;A 2,0 . 2MF Trong Oxy cho F F Lập phương trình của ( H) đi qua A nhận FF làm tiêu điểm. Tìm M trên (H):MF Bài 4.6 0 6,4 . .CMR Trong Oxy cho M Lập phương trình chính t ắc của (H) đi qua M và mỗi đường tiệm cận tạo trục hoành một góc:30 tích các khoảng cách từ M (H) đến 2 đường tiệm cận là một hằ ng số Bài 4.7 x 1. i x y 1 0 Trong Oxy lập phương trình chính tắc c ủa (P) có đỉnh là gốc tọa độ và đường chuẩn Tìm tọa độ giao điểm của (P) vớ : Bài 4.8 2 x x y 2 0.Trong Oxy cho (P): y và : Tìm tọa độ giao điểm A,B của (P) với Tìm điểm C trên (P) để ABC có S=8 Bài 4.9 2 2 x y 1 : 2x y 2 0. 2 8 Trong Oxy cho (H): Tính tọa độ giao đ iểm A,B của (H) với ( ) Tìm trên (H) điểm C để diện tích ABC bằng 5 Câu lạc bộ Gia sư thủ khoa . wWw.kenhdaihoc.com - Kênh thông tin - học tập - giải trí cho HS-SV HÌNH GIẢI TÍCH PHẲNG Phần I – Lý thuyết A. VEC TƠ _ ĐIỂM I. CHÚ Ý + Tọa độ của véc tơ: Trong mặt phẳng {xOy}: AB x, y AB xi yj . đường chuẩn ;FK tham số tiêu F tiêu điểm b Hình chữ nhật cơ sở: wWw.kenhdaihoc.com - Kênh thông tin - học tập - giải trí cho HS-SV Phần II – Bài tập vận. = 0 (2) Giải hệ (1), (2) ta có: 1 3 0 0 y x Vậy C= (3; 1) Phương trình đường thẳng AC là: 2x + 5y -11 =0 Phương trình đường thẳng BC là: 4x + 5y -13 =0 Bài 2.Trong mặt phẳng với