"NGUYÊN KHẮC AN - ĐỖ CƠNG ĐỐN
Trang 2
NGUYEN KHÁC AN - ĐỖ CÔNG ĐỐN
Trang 3Cơng ty cổ phần Dịch vụ xuất bản giáo dục Gia Định —
Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam giữ quyền công bố tác phẩm
Trang 4LOI NOI DAU
Cuốn sach On /uyén kién thuc va kinang m6n Toán THPT, tập
một — Đại số và Giải tích này nằm trong bộ sách Ôn /uyện kiến thúc và kĩ năng môn Toán từ Tiều học đến THPT, gồm bốn
cuốn Nội dung mỗi cuốn sách của bộ sách này nhằm hệ thống hố tồn bộ kiến thức về mơn Tốn của chương trình mơn Tốn
từ cấp Tiểu học đến cấp Trung học phổ thông, giúp học sinh
trong việc nám vững một cách có hệ thống những kiến thức mới
và củng cố, tra cứu lại những kiến thức cũ đã học
Các cuốn sách “Ôn /uyệên kiến thúc và kĩ năng môn Tốn Tiểu
học” và “Ơn luyện kiến thúc và kĩ năng mơn Tốn THCS” đã được xuất bản và phát hành, nay chúng tôi xin được giới thiệu
tiếp các cuốn “Ôn /uyện kiến thức và kĩ năng mơn Tốn THPT”,
gồm hai tập, tập một — Đại số và Giải tích; tập hai — Hình học
Trong cuốn tập một này, toàn bộ kiến thức cơ bản và
những kí năng tối cần thiết của môn Đại số và Giải tích các lớp
10, 11, 12 được hệ thống lại và sắp xếp trong 8 chương để học sinh và bạn đọc dễ sử dụng Nội dung các chương bao gồm :
— Chương 0 : Kiến thức cơ bản về lượng giác, luỹ thừa, lôgarit
Trang 5Mỗi chương, mục được cấu trúc như sau : A Kiến thức cơ bản
B Ki năng cơ bản
© Bài tập tự luyện
D Hướng dẫn và đáp số
Như vậy, cuốn sách như một cuốn “ Sổ £ay ra cứư', kèm theo hướng dẫn thực hành, rất phù hợp cho việc rèn luyện giải bài tập toán, củng cố khái niệm, hơn nữa nó lại bao gồm tất cả kiến
thức cơ bản, rất thuận tiện cho người học Các kĩ năng cơ bản
được tổng kết theo từng “Chuyên đẻ”, có phương pháp giải, ví dụ cụ thể, dễ hiểu, dễ áp dụng mà lại rất cơ bản Phan Bai tap tu’
luyện được biên soạn có hệ thống, các bài tập từ dễ đến khó hơn, từ áp dụng trực tiếp đến suy luận, vận dụng kiến thức tổng
hợp, có hướng dẫn, tự học
Chính vì vậy, các tác giả hi vọng rằng cuốn sách này là tài
liệu quan trọng, là cầm nang học tập với mọi đối tượng học sinh
từ yếu đến khá, giỏi, có thể dùng nó trong quá trình ôn luyện kiến thức THPT, chuẩn bị cho các kì thi tốt nghiệp và thi vào Đại
học — Cao đẳng
Lần dầu tiên viết sách về tổ chức kiến thức và rèn luyện kĩ
năng cho mọi đối tượng học sinh, từ trung bình, khá, giỏi và các thầy, cô giáo, bạn đọc khác vẫn tham khảo tốt được, đòi hỏi nhiều về phương pháp, về tri thức tổng hợp Giáo dục học ; chác
rằng cuốn sách khó tránh khỏi những sai sót, kính mong được bạn đọc góp ý xây dựng
Thư góp ý xin được gửi về theo địa chỉ :
Ban Biên tập Tốn — Tin, Cơng ty cổ phần DVXB Giáo dục
Gia Dinh — Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam tại TP Hồ chí Minh
231 Nguyễn Văn Cừ, Quận 5, TP Hồ Chí Minh
Trang 6
„uy on
r2 KIEN THUC CƠ BẢN VỀ LƯỢNG GIÁC, ~ ` = ` ae
C LUY THUA VA LOGARIT
0.1 GOC VA CUNG LUONG GIAC
A KIEN THUC CO BAN
1) Đường tròn định hướng và cung lượng giác
— Đường tròn định hướng là một đường tròn mà } +
trên đó ta đã chọn chiều chuyển động để đi từ điểm A
này đến điểm kia của đường tròn, còn gọi là chiều Af - quay từ điểm này đến điểm kia Ta quy ước chiều
đương là chiều quay ngược với chiều quay của kim Hình 1
đồng hồ, chiều ngược lại là chiều âm (hình 1) B
— Cung lượng giác AB là một cung trên đường
tròn định hướng tạo bởi một điểm M di động trên M đường tròn luôn theo một chiều từ điểm A đến
điểm B cho trước, điểm A gọi là điểm đầu (điểm A gốc), điểm B gọi là điểm cuối (điểm ngọn) của cung
lượng giác AB Chú ý rằng khi cho trước các điểm A và B trên đường tròn định hướng sẽ có vô số cung lượng giác với điểm đầu là A, điểm cuối là B và đều
được kí hiệu là AB (hình 2) B
2) Góc lượng giác và đường tròn lượng giác M
Hình 2
— Trên đường tròn định hướng tâm O, ứng với một cung lượng giác AB, khi điểm M chuyển động trên đường tròn từ A đến B thì đồng thời tia OM quay xung quanh gốc O từ vị trí OA tới
Trang 7kí hiệu góc lượng giác đó là (OA, OB) Như thé ta ay
luôn có sự tương ứng một — một giữa cung lượng 1
giác và góc lượng giác (hình 3) — Đường tròn lượng giác (còn gọi là đường
tròn đơn vị) là đường tròn định hướng có bán
kính bằng 1, có tâm trùng với gốc toạ độ của
mặt phẳng toạ độ Oxy Trên đường tròn ấy, ta
luôn lấy điểm A(1; 0) làm điểm gốc của đường
tròn đó (hình 4)
3) Số đo của cung và góc lượng giác Hình 4
— Số đo của cung lượng giác là số đo của góc lượng giác tương ứng Số do của cung lượng giác và của góc lượng giác có thể mang dấu âm và về trị tuyệt đối có thể lớn hơn 360° (hay 2z), đây là điểm khác biệt giữa “góc lượng giác” và “góc
hình học”
— Ngoài số đo bằng “độ”, người ta còn dùng số đo bằng “radian” (đọc là ra-đi-an) — 1 radian (1 rađ) là số đo của cung lượng giác có độ dài bằng bán kính đường tròn ấy, như thế cung nửa đường tròn có số đo là x radian, viét la 7 rad
— Quan hệ giữa số đo “độ” và “radian” ° 1° =— rad; má =(“) 180 T Bảng chuyển đổi số đo của một số góc lượng giác đặc biệt DO | — 30°| 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 270° | 360° | 450° | 540° radian | _ = 0 Tt bì 3“ | 2m | 5% | 3w 2 2 6 6 ela wla via
— Số đo của các cung lượng giác có cùng điểm đầu và điểm cuối sai khác nhau
một bội của 2 hay một bội của 360°
4) Giá trị lượng giác của một cung
~Giả sử trên đường tròn lượng giác cho cung ẤNÑ có số đo bang a, tia cuối
Trang 8+ sin cua a, ki hiéu la sina, la tung độ
của điểm M, như vậy sina = y
+ côsin của ơ, kí hiệu là cosz, là hoành độ của điểm M, như vậy cosa = x
+ tang cia a, ki hiéu 1a tana, la ti sé
giữa tung độ và hoành độ của điểm M, như
vậy tana=~
x
+ cotang cla o,, ki hiéu 1a cota, là tỉ số
giữa hoành độ và tung độ của điểm M, như
vay cota = Ss Hinh 5
y
Các giá trị sinœ, cosơ, tanœ, cotœ được gọi là các giá trị lượng giác của cung ứ — Cac giá trị lượng giác của một cung có các tính chất sau :
+ với mọi œ thì |sinơ| < 1; |cosơ| <1
+ tana xac dinh véi moi a aot kn (k EZ) + cotz xác định với moi a # kn (k EZ)
Trang 91 cosa 1 x5 2 = 0 -1 0 1 2 2 2 tana | 0 ` 1 | dl 0 I 0 v3 cota} | ve} 1 | S| o) i | o | i
~ Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt :
Hai góc đối nhau : ava -a Hai góc bù nhau : ở và Tt - a@
sin(-a) = -sina sin(-ơ) = sinœ
cos(-a) = cosa cos(t-a) = -cosa
tan(-œ) = -tanœ tan(z-a) = -tana
cot(-a) = -cota cot(m-a) = =cotœ
Hai géc phu nhau: ava > Nói Hai góc hơn kém nhau x
ot ý 4
sin( a -a) = cosa sin(m+a) = -sina
cost + -a) = sina €OS(+Œ) = =coSŒ
tan( 2 -a) = cota tan(z+a) = tana
cot( : -a) = tana cot(m+a) = cota
Hai géc hon kém nhau 5
2 ft LH ‘
sin( 7 +a) = cosa cos( 2 +a) = -sina
T T
tan( +a) = -cota cot( 5 +0) = =tanœ
Trang 10B KINANG CO BAN 1) Phân biệt góc lượng giác và góc hình học Phương pháp
Góc œ Xác định Chiều quay Don vi do $6 do — d6 lén Phan mat Không phân Độ 0° <œ<360°
phẳng giới hạn | biệt chiểu quay | „ 1 4g
| bởihaitia giữa hai tia P= sep sóc đầy
Soe cùng xuất phát ol
hình từ một điểm - hộic 1 180
học gắn với một góc bẹt
hình hình học
Phần mặt Phân biệt tia Độ và radian Là một số thực, phẳng giới hạn | đầu, tia cuối, 1 radian (1 rad) là |dấu của nó bởi hai tỉa chiều quay từ số đo của cung | tương ứng với
cùng xuất phát | tia đầu đến tia lượng giác có độ chiểu quay từ
Góc | từmột điểm - | cuối (ngược đài bằng bán kính | tia đầu đến tia
lượng gắn với một chiều kim đồng | đường tròn cuối ; các góc side | cung lượng hồ là chiều 18099 có cùng tia
giác, với đương, ngược Irad = (“) đầu, tia cuối đường tròn lại là chiều âm) PM hơn kém nhau
định hướng ~51 bội số của 2x
Ví dụ
a) Cho đường tròn tâm O và hai điểm A và B trên đường tròn sao cho góc AOB bằng 609, tính độ dài dây cung AB, biết bán kính đường tròn bằng đơn vị
b) Cho đường tròn tâm O và hai điểm A và B trên đường tròn sao cho góc AOB bằng 609, biết rằng tia OM quay từ tia OA đến tia OB cùng chiểu kim đồng hồ Xác định góc lượng giác (OA, OB) và tính độ dài dây cung AB, biết bán kính đường tròn bằng đơn vị
Giải
a) Dễ thấy tam giác OAB là tam giác đều, vì vậy độ đài đây cung AB bằng bán kính đường tròn, bằng 1
b) (OA, OB) = - 60° + k.360° ; AB = 1 (h.6)
A
Trang 112) Liên hệ giữa độ dài của một cung và số đo bằng radian của nó Phương pháp
Cung có số do œ rad của đường tròn bán kính R có độ đài 1= Ra
Cả đường tròn có số đo 2+ rad, độ dài của đường tròn bán kính R là !=2zR
Ví dụ
a) Trên đường tròn có bán kính R = 30 cm lấy hai điểm A và B sao cho cung
AB có số đo là = - Tìm độ dài của cung AB — b) Cung MN của một đường tròn bán kính 5m có độ dài là 1m Hãy tính số đo le của cung MN Giải ¬ a) Gọi độ dài cung MN là Ï, ta có 1 = Ra = 30 = = = = 35,3 (cm) ca b) Giả sử số đo của cung MN là œ rad, từ công thức l = Rata cé I1 œ=—=- (rad) RS (rad) 3) Đổi “độ” ra “radian” va ngugc lai Phương pháp Vận dụng công thức đổi độ thành radian và ngược lại ° A’ = End 3 arad = (228°) Ầ Ví dụ
a) Đổi các góc sau đây từ độ thành radian : 25°, 46° , ~739
Trang 12b) arad (S8) apr -(2) (`) ~11928; T 5 5.74 T1 ° ° «nd= (SE) - =72°; T4 5 5.0 .180 \° 180 \? arad =( ) 2-ina (5 ) =-36° T 5 5 4) Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác Phương pháp
— Nắm chắc khái niệm đường tròn lượng giác, lấy điểm A(1; 0) làm điểm gốc của các cung lượng giác, chiều quay ngược kim đồng hồ là chiều dương, các cung lượng
giác có chung điểm cuối với điểm đầu A(1; 0) sai khác nhau bội 2z hoặc bội của 3601
An, Kes ig bow AE 3:
— Nhớ điểm cuối của một số cung có số đo đặc biệt như ` & mR om 61413921027” Ví dụ a) Trên đường tròn lượng giác hãy biểu diễn các cung có số đo : Eun 405°, -300° 8
b) Trên đường tròn lượng giác cho cung AŸ có số đo tương ứng là = ;42;— 1,5 Hãy xác định điểm cuối B nằm ở cung phần tư nào của đường tròn lượng giác ?
Giải
a) Xem hình 7.a), chú ý lin _ 12
A LMT _E_ gn—™ ; 405° = 360° + 45° ; -300° = 60° - 360° 3 3 3 Z
Trang 135) Xác định giá trị lượng giác của weeks đặc biệt trên đường tròn lượng giác Phương pháp
— Nắm chắc định nghĩa của giá trị lượng giác của một góc
— Xác định đúng điểm cuối trên đường tròn lượng giác của góc đặc biệt đó ~ Giải tam giác vuông để tìm ra các giá trị lượng giác của góc đó
Ví dụ
Tính giá trị lượng giác của góc có số đo bằng : Ệ
Giải
Trên hình vẽ ta thấy điểm cuối M của cung AM cùng với điểm MỸ là điểm đối xứng
với M qua trục Ox (trục côsin) và gốc toạ độ
Trang 146) Cho trước một giá trị lượng giác của một góc, tính các giá trị còn lại Phương pháp — Nắm chắc định nghĩa của giá trị lượng giác của một góc và các hệ thức cơ bản — Nắm được dấu của các giá trị lượng giác của một cung Ví dụ Cho cosa=—= và biết 7 < œ <= Tinh sin, tang và côtang của góc œ Giải 5 BH mye us sử 2A ơi Sử Vin<a ss nên sinơ < 0 Từ công thức sin” œ+cos” œ =1 suy ra : sin” œ=l~ cos” œ = 1-5-2 a 5 sina V5, 1 2 Vay sina =-—, tana = = va cota= == 3 cosa 2 tana V5 7) Chứng minh đẳng thức lượng giác Phương pháp
Nắm được các hệ thức cơ bản, giá trị lượng giác của những cung có liên quan
đặc biệt và các phép biến đổi đại số, biến đổi vế này thành vế kia, vận dụng các điều kiện cho trước (nếu có)
Ví dụ
1+2sinacosa _ sina +cosa
a) Chiing minh rang —> sin’a—cos?a sina—cosa” b) Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có sin(A+B) = sinC Giải a) Từ công thức sin” œ+cos” œ =1 ta có :
1+2sinacosa _ sin? a +cos* a+2sinacosa _ (sina + cosa)”
sin” œ — cos” œ s sin? a —cos* a ” (sinơ + cosơ)(sin œ — cosơ) _ sina +cosa
~ sina cosa”
Trang 158) Sử dụng máy tính bỏ túi để chuyển đổi số đo và tính giá trị lượng giác của một góc
Phương pháp
Dùng máy tính bỏ túi có chức năng thực hiện các phép toán phức tạp, chẳng
hạn CASIO fx - 500MS Ví dụ
a) Chuyển đổi độ thanh radian : chuyển 18942 thành radian
b) Chuyển đổi rađian thành độ : chuyển 3,1 rad thành độ
©) Tính giá trị lượng giác của một góc : sin20°36 và tan m
Giải
a) Ấn liên tiếp MODE chọn Rad (bấm phím 2) để xuất hiện R phía bên phải
phía trên màn hình rồi ấn tiếp 18 o,„ 42 0,,, SHIFT DRG 1 = 0.32637657
b) Ấn liên tiếp MODE chọn Deg (bấm phím 1) để xuất hiện D phía bên phải phía trên màn hình rồi ấn tiếp 3.1 SHIFT DRG 2 = o,„ được 177937 ©) + Tính sin20°36 : Ấn MODE ba lần rồi ấn liên tiếp các phím 1 sin 20 o,,, 36 0, = được 0,35 (đã làm tròn) 3m + Tính tan 17! Ấn MODE ba lần rồi ấn liên tiếp các phím 2 tan (3 SHIFT x + 17) = được 0,619 (đã làm tròn) C BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1 Đổi số đo của các cung sau đây thanh radian a) 13° b) 36°12" c) - 29° d) - 127°46 2 Đổi số đo của các cung sau đây thành độ, phút, giây TL 3m 3 — b)-— -2,5 d) = 2 18 ) 19 9 ) ⁄
3 Kim phút của một chiếc đồng hồ quay từ đúng nửa đêm hôm trước đến 9 giờ sáng ngày hôm sau một góc bao nhiêu độ ?
4 Biểu diễn các cung sau đây trên đường tròn lượng giác :
Trang 165 Tìm độ dài của các cung sau đây trên một đường tròn đường kính 10 m, biết số
đo lần lượt là:
a) TT b)3,2 c) 43°
5
6 Dùng máy tính bỏ túi, tính các giá trị lượng giác sau :
a) sin b) cos3,6 c) tan(- 2,5) d) sin42°13
7 Tính giá trị lượng giác của cung œ trong mỗi trường hợp sau đây :
a) sing =2 và „uc b) cosœ =~0,27 và nace
5 „3m ẩ T
c) tana=-> va —<a<2n d) cota =2,3 va 0<a<—
3 2; 2
8 Dùng đường tròn lượng giác, tinh œ biết :
a) sina =-1 b) cosa =0 c) tana=1 đ) cosơ =—l
e) sina=1 f) cosa=1 g) sina=0 h) cota =~-1 9 Chứng minh các đẳng thức sau : 8 8 tanx sinx a) tan” x—sin” x = tan” x.sin” x b) ——-—— =cosx sinx cotx 8 in2 cosx _ l+sinx 1+sin“ œ D đ) ———=142tan’ a
l-sinx cosx 1=sin“ œ
10 Trong tam giác ABC, chứng minh các đẳng thức sau :
A+B Cc
=cos—
2
a) cos(A +B) =—cosC b) sin
D HUGNG DAN VA DAP SO
Tea) A? = Arad =513° = 213 - 13% (rag) 180 180 180
Trang 17° ° 2.a) and-(SSE = trad- (=) =10° T 18 18 ° © © b) and-| #8) —- na (2n (%) ~-28°25` T 19 19 19 ° ° ° 9 and-( S88) >- 2srad=—( 25180) -(*) ~-143° TL TL TL ° ° ° d) urad-( 120) = 3rad-(22°) -(2) ~ 24933', ™ ở 7m 7
Trang 185.a)/=Ra =10 : = 142 43,98 (m) b)!=Rø = 10 3,2 = 32 (m) ©) 43° = 243 _ 430g), 180 180 1= Rơ =10, 425 - 43-7 5 (m), 180 18 6.4)02079 b)-08967 Q07470 d)06719 7 a) Vì oo m nén cosa, tana va cota déu nhận giá trị âm Từ công thức ä ở 25_ 24 sin? œ+cos? ơ =1 ta suy ra cos? a =1-sin? a=1-— = — 49° 2/6 lã 246 5 Vay cosa = ———, tana =-—= va cota =-—— 7 2/6 5
b)Vìi m<œ< = nén sina < 0, tana va cota déu nhan gid tri duong Từ công thức
sin? a+cos*a=1 suy ra sin? œ=1—cos? œ=1—(—0,27)? =0,9271
Vậy sinơ ~ — 0,963 ; tanơ ~ 3,567, cotơ ~ 0,28 "NHA “ 1 €Vì Fas 2m nên cosơ > 0, sina < 0 Từ công thức 1+tan? œ= z— SUy Ta €OS“ Œ 3 1 9 cos°œ=————= ay 59" 1+tanˆ œ 1#t- ? 3 3 Vậy cosă=—2~ snPael— =2 shg==— 34" 34 34” v34“ => „cptr== 5 d) Từ công thức 1+cot” œ=— 5 sin’ o 1 1 1 x gi —— =—— ~0,159, do vay sina =0,399 1+cotœ 145,29 6,29 8 Cần vẽ đường tròn lượng giác, với các trục sin, côsin, tang, côtang : và 0<œé< : suy ra sin? a=
a) sina=-1, a= 4 Oke b) cosa=0, a= F+ke ©) tana=1, a= pike d) cosa=-1, a= x+2k
e) sina=1, a= 5+ 2kn f) cosa=1, a= 2kn
Trang 19‘ „2 - sinx sin? x 9 a) tan? x—sin? x =(-—)? —sin? x = 5 ~—sinˆx cosx cos* x _ sin? x(1-cos*x) _ sin?x cos? x cos? x
b) tanx sinx _cotx.tanx _ sinx
ssin? x = tan’ x.sin? x sinx cotx sinx.cotx COSX sinx 1 sin”x _ 1—sinˆx TT c0x— sinx.SS COSX ~ COSX Tex sinx cosx _1+sinx ° = 1-sinx cosx ©cos? x =(1+ sinx)(1—sinx) ©cos?x=1—sin? x ©> sin? x+cos” x =1 1 sin? ce 2 S2 ats zt tan’ o q) Ursin o _ cos*a cos”ơ _ cos”ơ 1 ind
1—sinˆ œ 1 i sin’ a 7 —tan2 tan’ a
COSỐœ cos*a Cos’ a
2 2
1+ tan“ ơ + tan“ œ
“———~=I+2tanÊ œ
1+ tan” œ —tan” œ
10 a) Vì A, B,C là ba góc của một tam giác nên A+B+C = œ, suy ra A+B = 7r- C Từ đó cos(A +B) = cos(—C) =—cosC (đpcm)
b) Từ A+B+C = r, suy ra as ~z:swy ra sin 28 sig
0.2 BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC
A KIEN THUC CO BAN
Khi giải các bài toán về lượng giác ta cần sử dụng một số công thức lượng giác để biến đổi Để đễ nhớ, ta chia các công thức lượng giác thành các nhóm sau đây :
~ Công thức cơ bản
~— Công thức cộng và công thức nhân
Trang 201) Công thức cơ bản sin” œ+cos œ =1 sinœ tana = + cosa Một số công thức khác như l+tan°œ= COS“ Œ công thức cơ bản
2) Công thức cộng và công thức nhân
cos(a + b) = cosa.cos b—sina.sinb cos(a — b) = cosa.cos b + sina.sinb sin(a +b) = sina.cosb + cosa.sinb
sin(a — b) = sina.cosb— cosa.sinb
tarflsa: B] tana + tanb 1~ tana.tanb tan(a— B]= tana - tanb
1+ tana.tanb `
ng + ke được suy ra từ T `
Từ những công thức này, thay b bằng a, ta sẽ có công thức góc nhân đôi như sau : cos2a = cos”a —sin”a = cos2a =2cos°a—1=1—2sin?a (1) sin2a = 2sinacosa 2tana tan2a = ——- 1-tanˆa Từ công thức (1) ta lại suy ra được công thức ha bac 2 1+cos2a 2 1—cos2a cos” a = ————— sin’ a= 2 3) Công thức biến đổi
Trang 21b) Biến đổi tích thành tổng (vế trái là tích) cosa.cosb = 2Ieosa +b)+cos(a — b)]
sina.sinb = ~seos(a +b)—cos(a —b)] sina.cosb = 2|sn(a+b)+sin(a -b)]
Từ các công thức này ta có thể tìm tòi, suy ra những công thức khác, chẳng hạn công thức tính theo tang của góc chia đôi, nhằm chuyển bài toán lượng giác thành
bài toán đại số :
eae a 4 x 2t
néu dat tant thi sina =——;; cosas 3; tana=—,
1+ 1+
4) Một vai bất đẳng thức lượng giác cơ bản |sinœ|<1 hay —1<sinơ <1 với mọi œ |cosơ|<1 hay —1< cosơ <1 với mọi œ
binơ+coso|<./2' hay ¬2 <sinơ +cosơ < V2 với mọi œ
jasina + bcosal<, ‘a’ +b? với mọi ơ, mọi a, b
B KĨ NĂNG CƠ BẢN
1) Tính toán các biểu thức lượng giác
Phương pháp
— Áp dụng các công thức như công thức cơ bản, công thức cộng, công thức
nhân, hạ bậc, biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng
— Nắm chắc giá trị lượng giác của những góc đặc biệt, mối quan hệ giữa các góc
có liên quan đặc biệt
Trang 232m (si 4n =) (s 6n - ”) =sin— +*| sin———sin— |+| sin——sin—— 7 7 7 7 7 OT x TL "x =sin— =sin(t——) =sin— # 7 7 Vậy 2A =1 hay A= 2 1 2) Biến đổi một tổng thành tích Phương pháp
Vận dụng công thức biến đổi tổng thành tích, nhằm giúp rút gọn biểu thức hoặc giải phương trình lượng giác sau này
Ví dụ 1 Biến đổi thành tích biểu thức A = sinx + sin2x + sin3x Giải A =sinx+sin2x +sin3x = (sinx +sin3x) + sin2x = 2sin(Š °*)(* 2) sin2x 2 2 = 2sin2xcos(—x) + sin2x =sin2x(2cosx+]) Vay A =sin2x.(2cosx +1) Ví dụ 2 Rút gọn biểu thức 1+ sina + cos2a + sin3a M= 5 1+2sina Giai
M= (I+cos2a) + (sina +sin3a) _ 2cos?a+2sin2acosa _ 2cosa(cosa + sin2a)
Trang 24Giai a) Vi tant =1 và áp dụng công thức cộng cung ta có : T at tan— + tana 'butana tan(—+a)= z = (dpem) I-tan™tana }~tana 4 1 tan ” —tana 1—tlfiš b) Tương tự tan(——a) = = (đpcm) 1+tana T 1+tan—tana 4 Ví dụ 2 Chứng minh : cos2a cosa-sina a) = l+sin2a cosa+sina “ 3+ cos4œ b) cos°g+sinÌg = TT”: Giải COS2A _ cos?a —sin?a _ (cosa + sina)(cosa —sina) 1+sin2a 1+sin2a sin? a +cos”a +2sinacosa _ (cosa+sina)(cosa—sina) _ cosa—sina (dpcm) (cosa +sina)ˆ cosa+sina b) Áp dụng công thức hạ bậc cos! a +sin‘ a = (cos? a +sin? a)? —2sin? acos? a =1-5-Qsinacosa)? =1 ssi? 2a 1 1I-cos2.2œ _ 3+cos4œ —=.————=— (ảpem) 2 2 4 4) Chứng minh bất đẳng thức Phương pháp
~ Áp dụng bất đẳng thức đại số nói chung như bất đẳng thức Cô-si, B.C.S
~ Chú ý đến tính bị chặn của sin và côsin (bất đẳng thức lượng giác cơ bản) Ví dụ 1 Chứng minh rằng
Trang 25Giai
Ta cé nhiéu cach dé chting minh bat dang thtic nay
Cách thứ nhất : Áp dụng bất đẳng thức B.C.S cho 4 số là sinơ, cosœ và hai số 1
ta có
|sin a + cosa|=|1.sina +1.cosa|< VP +P sin? a+ cos? a
Vi sin’ œ + cos”œ = 1 nén ta suy ra
|sina +cosa|< VP +P v1 =2 hay ¬2 <sina+cosa <2 Cách thứ hai : Ap dung công thức biến đổi tổng thành tích
sina+cosa =sina+ sin -—a) at+(x-a) a-C—a) =2sin-—*—— cos ——_+>—_ =2sin “cos(œ ca =2.cos(œ afl, 2 2 4 4 4 Vi costa) <1 nén suy ra |sina + cosa|< 2: Ví dụ 2 Chứng minh rằng
a) Trong tam giác ABC ta luôn có
tan A + tan B + tanC = tan A.tan B.tanC
b) Nếu ABC là tam giác có ba góc nhọn thì
T =tanA + tanB+ tanC > 3/3
Giải
a) Ta có A+B+C =n nên A+B = x- C, suy ra tan(A + B) = tan(x—C) tart tan =-tanC = tanA + tanB = =tanC + tan A tan B.tanC 1-tanA.tanB
hay tanA +tanB+ tanC = tan A.tan B.tanC (đpcm)
b) Nếu tam giác ABC là nhọn thì tanA, tanB, tanC đều là những số dương, áp
dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương này ta có : _ > ŸtanA.tanB.tanC
Theo kết quả câu a) ta suy ra
x>kT =T2>27T = T? 227 hayT>3V3 (dpem)
Trang 26C BAITAP TU LUYEN 1 Không dùng máy tính bỏ túi, tính các giá trị lượng giác của các cung có số đo : 111 5a 15° b) 105° — d)-— a) ) ©) s ) 2
2 Khơng dùng máy tính bỏ túi, hãy tính :
a) A=sin59° cos14° —sin14° cos59° b) B= sin F cos cost 16 8
510° sin50° sin 70° Tt 2m 4m
c) C=sin10°.sin50°.sin70' d) D= cog 008; 7 -C0E 7
3 Biến đổi các biểu thức sau thành tích :
a) sina + sinb + sin(a+b) b) 1 + sina + cosa
c) sinx + sin3x + sin5x + sin7x đ) sin3x— 2sin” 3x + cos2xsinx
4 Chứng minh các công thức sau :
a) sin3x =3sinx —4sin* x b) cos3x =4cos’ x —3cosx
c) tanx+cotx =
sin2x `
5 Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta luôn có :
a) sinA +sinB +sinC=4cos 2.cos co»
b) cos”? A +cos? B+ cos?C =1—2cos A.cosB.cosC
6 Cho biểu thức f(œ) =asinœ +bcosơ với a và b không đồng thời bằng 0
Trang 27b) sin105° =sin(60° + 45°) = B+ ;¡ cos105°=~^—; 4 tan105° ==2~ 3 ; cot105° =~2+/3 4 4 12 V3 VZ_ end 22272 4 cos(_Š)„ Về 2 ; tan(-2%) =-(2+3); co(-25) = = 3-2 12 4 12
in59° cost4° —sin14° cos59° =sin(59° —148)=sin45° = Ý2
2 a) A=sin59° cos14° —sin14° cos59° = sin(59° —14°) = sin45' T°
b) B=sin= cos cos® =" asin®.cos®).cos® =! sin® cost =! sint 22
16 16 8 2 16 16 8 2 8 84 4 8
c) C =sin10°.sin50°.sin70° =sin10°.sin70°.sin50°
= ~ (cos80° —cos60°).sin50° = ~}eos 80° sin50° + asin509
~1, (gin1309 —sin305)+- sin50° =- sin309=.1, 22 4 4 8 d) D=cos%.cos~#.cos St, nhân hai vế của D với 2sn2 taco: aa nà 2x 4n _ 21 2T 4n 1 4n 4m 2sin—D=2sin—cos—.cos=—.cos=— = sin—cos—.cos—— = —sin-——cos— 7 7 7 ih 7 = 2sin 50 = sin SE — Psin{ns 2) =—Lsine =2p 1 =>p=-1, 8 3 Biến đổi các biểu thức sau thành tích : (a+b)
a) sina+ sinb +sin(a+b) = 2sinŠ SP cosŠ —Ô +sin 2
=2sin2=? cos2—® + 2sin'2*P) (63:6)
Trang 28=2snŠ® (cos3-ð + cọ;t8 | 2 2 fF Ð) Bia) =4sin——cos—cos— 2 2 2 ụ a „2a b) sina heosa=-6c0s2, sind: =2c0s?242sin2 cos? =2cos2(cos2+sin2) 2 2 2 =2cos2 (cos? +cos(=-2))=2V2 coscos(2-*), 2 2 22 2 2 4
©) sinx + sin3x + sin5x + sin7x = sinx + sin7x + sin3x + sin5x =
=2sin4x cos 3x + 2sin4xcosx = 2sin4x(Cos3x + cosX) =4sin4x.cos2x.cosx
d) sin3x—2sin® 3x + cos 2x sinx = sin3x(1—2sin’ x) + cos 2x sinx
= sin3x cos 2x + cos 2xsinx = cos 2x(sin3x + sinx) = 2sin2x.cos2x.cosx = sin4xcosx 4 Chứng minh các công thức a) sin3x =sin(x+2x)=sinxcos2x +cosxsin2x =sinx(1-2sin’ x) + cosx.2sinx.cosx =sinx—2sin? x+2sinx(1—sin? x)
=sinx—2sin? x +2sinx—2sin’ x=3sinx—4sin’ x (dpem)
b) cos3x =cos(x + 2x) = cosx.cos2x —sinx.sin2x
= cos x(2cos* x -1)—2sin? x.cosx
Trang 29=14 SOIR OIE 6 cos? C=1+ cos(A +B)cos(A —B) + cos2 C =1~cosC(cos(A —B) + cos(A + B)) =1~cosCcos(A ~B) + cos? C=1~cosC(cos(A —B)—cosC) =1~2cosA.cosB.cosC (đpcm) 6 Áp dụng bất đẳng thức B.C.S ta có :
|f(œ)|=|asinơ +bcoso|< va? +bÊ.vsin? œ + cos”œ =va? +b
Khia=b=1 tacó: |f(œ)|=|sinœ+coso|< V2
Dấu bằng “=” xảy ra khi sna re sina = C050 co =2 +kế (dễ thấy điều
này trên đường tròn lượng giác, k là một số nguyên)
0.3 LUỸ THỪA A KIẾN THỨC CƠ BẢN
1) Luỹ thừa với số mũ nguyên
Với a là số thực tuỳ ý, n là một số nguyên dương, ta định nghĩa
Nếu n= 0, ta quy ước a° =1; _ nếu a#0, ta cũng định nghĩa a" = =
Vì thế ta luôn xác định được a”, với m là số nguyên Biéu thttc0° va 0 khong
có nghĩa
Khi biểu thức a”" có nghĩa, m và n là số nguyên, ta luôn có các tính chất :
(ab)™=a™b™ am an ~amtn
2) Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ
Người ta cũng mở rộng định nghĩa a” với m là số hữu tỉ, a > 0, chẳng hạn
mm p.q là những số nguyên như sau :
q
P
m =a1 = ÄÍậP , đọc là căn bậc q (4 >2) của a luỹ thừa p Chẳng hạn
Trang 301 1
a2 = fa san =Wa (a>0,n>2)
Khi mở rộng, các tính chất của luỹ thừa với số mũ hữu tỉ cũng tương tự như
tính chất của luỹ thừa với số mũ nguyên Khái niệm căn bậc hai, căn bậc ba đã
học là những trường hợp riêng của luỹ thừa với số mũ hữu tỉ
a khi n=2k+l
Lưu ý: Nam = ” { khi n=2k,keZ * 3) Luỹ thừa với số mũ thực
Người ta còn tiếp tục mở rộng định nghĩa a” với m là số thực (tức là m có thể hữu tỉ hoặc vô tỉ) mà các tính chất của luỹ thừa cũng vẫn tương tự như luỹ thừa
với số hữu tỉ Cụ thể như sau :
Giả sử a và b là những số thực dương; ơ,B là những số thực tuỳ ý, ta luôn có :
(a.b)*=a".b" a% ab =a?
tang (a*)! =asP =aP |
4) So sánh hai luỹ thừa của cùng một cơ số
Giả sử a là số thực dương; ø,ð là những số thực tuỳ ý, thé thi:
a) Nếu a >1 thì a#> a © œ»B
b) Nếu a<1 thì a“>aP ©> œ<p
5) Bảng tóm tắt luỹ thừa a”“
Số mũ ø Cơ số của luỹ thừa a Luỹ thừa a“
Trang 31B KINANG CO BAN
1) Tính toán các biểu thức luỹ thừa va căn thức Phương pháp
— Nắm vững các tính chất của luỹ thừa, nhớ vài luỹ thừa cơ số 2, 3, 5
Trang 322) Biến đổi luỹ thừa và căn thức Phương pháp = Nắm vững các tinh chất của luỹ thừa, các lưu ý liên quan đến căn thức khi khai căn bậc lẻ — Thực hiện thành thạo các phép biến đổi đại số, thứ tự các phép tính, các hằng đẳng thức Ví dụ 1 Rút gọn các biểu thức 4 4 a) A=Ÿa5b!? -(@} Bi B-Š TU, Wx+jy va-vb _ va + Ÿab ee OC Me a+ Giải
a)A=Đ sÍa5b!2 -(Wa} =la|b? -abể
Trang 33Giai a+a? a(a+l) afte _- =a a) A= = , ata? atl ed a4} a4+1 b) B= ~ ara gi, (3 #1) =1) “| Jaa a Vat” sf i ` va+1 * a4 +a? a2}a4+1 (A) eae tiese 3) So sánh các số Phương pháp
Nắm vững các tính chất của luỹ thừa để đưa về luỹ thừa của cùng một cơ số,
đặc biệt chú ý tính chất : nếu a là số thực dương ; œ,B là những số thực tuỳ ý, thế thì: a) Nếu a >1 thì a“>a?©> œ>B b) Nếu a<1 thì a”> a”© œ<B Ví dụ 1 So sánh các cặp số sau : a) 43 va a? b) 2%3 va 27! 14 v2 + 3,14 9 (3) »(3) 2 2 2 §} +} - 5 5 Giải
Trang 362` {FEE 05.6.5) _{ EY 2 35.2_15 3.2 (W 36) bì 8-5) (85) =H v [ese] (eBaP)- gts _ fab
0 ab +b?Va_ đạp + đạp? arb? (Ya la +$ $) ae ‘ab
Trang 37
b) 5Ì <25 œ 8Ì <‹52 ©|a|{2œ»~2<œ<2
7 Ya? +3fa%b? +b? + Jab? = (ý +b? Binh phuong hai vế ta có :
:
a? + Vath? +b? + Yao! +2? Vato? fb? + Varb* = (3a? + V62
at + Yatb? +b? + Jab? +2 (a?.+ Pato? )(b2 + ato*) =(¥o? +86")
oa? + Path? +b? + YarbY +2a%b? +a" arb" +b?ar? +a°b? =(¥a? + Yb?)
a? + Yatb? +b? + Yar! +2 (lato? +70") = (ae? +b)
o> (QF) + (868) +58 a (SA) (A AY
Đẳng thức sau cùng là đẳng thức đúng, từ đó ta suy ra điều phải chứng minh
0.4LÔGARIT
A KIEN THUC CO BAN
1) Khái niệm lôgarit
Cho số dương a khác 1 và một số dương N Số œ thoả mãn đẳng thức a“ =N được gọi là lôgarit theo cơ số a của N và kí hiệu là log, N Nhu vậy ta ln có œ=log,NĐ ©a“=N
Người ta còn nói lôgarit theo cơ số a của N là số mũ của luỹ thừa mà a phải
Trang 382) Tính chất của lôgarit
se Chỉ có số dương mới có lôgarit, nghĩa là biểu thức log,N chỉ xác định với N đương
® Với a,b 30 và a #1, œ là số thực bất kì thì log,1=0; log,a=1
b=al98:°, lop, (a“ ) =a
® Với a, bị, bạ 30 và a#1 : log, bb, = log, b, + log, bạ log, Py = log, b, —log, b„
bạ
log b log.a
se Công thức đổi cơ số: log, b= với a, b, c >0 và a,c #1
— Dac biét : log, b= hay log, b.log,a=1 logya
® log ; b” = Tho b a,b30 và a#1
— Dac biét: log, Yb = dog, b va log b= ze, b với k khác 0
n
3) So sánh các lơgarit cùng cơ số
®Nếu a>1Ithì log,x>log,y<â>x>y>30 sđNu 0< a<Ithỡ log,x>log,yô> 0<xéy B KĨ NĂNG CƠ BẢN 1) Tính tốn lơgarit Phương pháp — Nắm vững định nghĩa lôgarit, các tính chất, lôgarit của cơ số và lôgarit của đơn vị
~ Luôn nắm vững các phép toán về luỹ thừa và các tính chất của luỹ thừa Vi dự 1 Tìm lôgarit theo cơ số 2 của các số sau đây :
16; 64; 512; 1024; tìm 30,25
Giai
Trang 39log, 512=9 vi 2° =512 log, 1024 =10 vi 2'° = 1024 1 «eg, 1 eae logạ—=-3 vì 2”=— 8g ™ 8 logạ——=-8 82 356 vì2“=—— 256 log, 0,25 =log, += -2 vi 2? =0,25 Ví dụ 2 Tính : 1 1
a) log, 16+log, — ) log, Š: 12 b) log, 27 ) logs + log; ——log1000 Bs 55 [8
c) logy;8—log, 3V3 + log, 36 d) 1og0,01+ 282 — Jog, L Š log8 3 27 Giải 1 a) log, 16+ log; —=4-3=1 ) logs 85 55 1
b) log, 27 +log, ) logs 27 + log; = — log ——log1000 = 3-3-3=-3
Trang 40Giai
a) Đổi về cùng cơ số 2 rồi áp dụng tính chất của lôgarit
A =log;16+log¡ 32—log¡ 64 = log;2' +log,-2 2 log 2
4 2
5
2122 4 5 15 ‘
‘3s
=log, 2* +log,2 2 -log;2'5 =log, ———
b) B log, —logi 27—log,729 =~4+3—log ¿ 3” ==4+3~3=~4 3 Slog32 _ alog32° cì C=3” 83" = 3°83 =32 1 d) D=2log, 6— Flog, 400+ 3log, 45 = log, 6 —log 400? + log, (Y45)° 3 3 3 3 3 3 = log; 36 “hei2e eles 149 4081 2548 _ 109,38 3 3 20 Ví dụ 2 Cho log; 5= œ Hãy tính lạ 1250 nhan a Giai log, 1250 = log,» (2.5) = sions) 1 1
= 5 (logs 2+log, 54 ) = (1+ 4log, 5)
Vay log, 1250= xi +4ơ)
3) Chứng minh đẳng thức lôgarit
Phương pháp