Cơng ty cổ phần Dịch vụ xuất bản giáo dục Gia Định — Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam giữ quyền cơng bồ tác phẩm
Trang 4
LOI NOI DAU
Cuốn sách Ơn luyện kiến thức và kĩ năng mơn Tốn THPT, tập hai - Hình
học này nằm trong bộ sách Ơn luyện kiến thức và kĩ năng mơn Tốn từ Tiểu
học đến THPT, gồm bốn cuốn Nội dung mỗi cuốn sách của bộ sách nhằm hệ thống hố tồn, bộ kiến thức về mơn Tốn của chương trình mơn ,Tốn từ cấp
Tiểu học đến cấp Trung học phổ thơng, giúp học sinh trong việc nắm vững một cách cĩ hệ thống những kiến thức mới và củng cĩ, tra cứu lại những kiến thức cũ đã học
Các cuốn sách "Ơn luyện kiến thức và kĩ năng mơn Tốn Tiểu học" và “Ơn
luyện kiến thức và kĩ năng mơn Tốn THCS” đã được xuất bản và phát hành,
nay chúng tơi xin được giới thiệu tiếp các cuốn “Ơn luyện kiến thức và kĩ năng mơn Tốn THPT”, gồm hai tập, tập một — Đại số và Giải tích; tập hai — Hình học
Trong cuốn tập hai này, tồn bộ kiến thức cơ bản và những kĩ năng tối cần
thiết của mơn Hình học các lớp 10, 11, 12 được hệ thống lại và sắp xếp trong 9
chương để học sinh và bạn đọc dễ sử dụng Nội dung các chương bao gồm :
~— Chương I VECTƠ
— Chương 2 TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ UNG DUNG
~ Chương 3 PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
~ Chương 4 CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHANG
= Chương 5 ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHƠNG GIAN -
QUAN HỆ SONG SONG
— Chương 6 VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN - QUAN HỆ VUƠNG GĨC
TRONG KHƠNG GIAN
~ Chương7 KHỐI ĐA DIỆN
~ Chương 8 MẶT CÂU - MẶT TRỤ - MAT NON
— Chương 9 PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
Mỗi chương, mục được cấu trúc như sau :
A Kiến thức cơ bản
B Các bài tốn và kĩ năng cơ bản
Trang 5Như vậy, cuốn sách như một cuốn “Sổ fay fra cứu", kèm theo hướng dẫn thực hành, rất phù hợp cho việc rèn luyện giải bài tập tốn, củng cố khái niệm, hơn nữa nĩ lại bao gồm tắt cả kiến thức cơ bản, rất thuận tiện cho người học Các kĩ
năng cơ bản được tổng kết theo từng “Chuyên đề”, cĩ phương pháp ví dụ
cụ thể, dễ hiểu, dễ áp dụng Phần Bài tập tự luyện được biên soạn cĩ hệ thống, các bài tập từ dễ đến khĩ hơn, từ áp dụng trực tiếp đến suy luận, vận dụng kiến thức tổng hợp, cĩ hướng dẫn, tự học
Chính vì vậy, các tác giả hi vọng rằng cuốn sách này là tài liệu quan trọng, là
2 he tên 06 aaa XE ni 060 142 -3U0aT Rịa enero it
câm nang học tập với mọi đổi tượng học sinh từ yêu đến khá, giỏi, cĩ thê dùng nĩ trong quá trình ơn luyện kiến thức THPT, chuẩn bị cho các kì thi tốt nghiệp và thi vào Đại học — Cao đẳng
Lần đầu tiên viết sách về tổ chức kiến thức và rèn luyện kĩ năng cho mọi đối
tượng học sinh, từ trung bình, khá, giỏi đồng thời cũng là tài liệu tham khảo cho
các thầy, cơ giáo Đây cũng là cuốn sách địi hỏi nhiều về phương pháp, về tri
thức tổng hợp Giáo dục học nên sẽ khĩ tránh khỏi những sai sĩt, kính mong được bạn đọc gĩp ý xây dựng
Thư gĩp ý xin được gửi về theo địa chỉ :
Ban Biên tập Tốn - Tin, Cơng ty cỗ phần DVXB Giáo dục Gia Định —
Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam tai TP Hé Chí Minh 231 Nguyễn Văn Cù, Quận 5, TP Hồ Chí Minh
Trang 6Chương ¡ VECTƠ Cor: A KIEN THUC CO BAN 1 Định nghĩa vectơ
~ Vectơ là một đoạn thẳng định hướng
~ Vectơ cĩ điểm đâu A, điểm cuối B được kí hiệu là AB 3 Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng
~ Giá của một vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của veetơ đĩ
- Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau
~ Hai vectơ AB va CD cùng phương và cĩ cùng hướng đi từ trái sang phải thì ta nĩi AB và CD cùng hướng Hai vectơ AB và EF cùng phương nhưng cĩ hướng ngược nhau thì ta nĩi AB và EE ngược hướng (h.1) A B C D —>———>——~e> F E Hình L1 < ~ Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai veetơ AB và AC cùng phương 8 Vectơ bằng nhau
~ Mỗi veetơ cĩ một độ dài, đĩ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm
củối của veetơ đĩ Độ dài của AB được kí hiệu là [ABÌ, như vậy [ABÌ =
— Hai vectơ a và D được goi la bang nhaw nếu chúng cùng hướng và
cĩ cùng độ dài, kí hiệu a = b Suy ra |ABI=|BA
Trang 7~ Vectơ-khơng là vectơ cĩ điểm đầu và điểm cuối trùng nhau Kí hiệu
vectơ-khơng là 0 Chẳng hạn veetơ AA, vectơ này nằm trên mọi đường
thẳng đi qua A Ta quy ước vectơ-khơng cùng phương, cùng hướng với mọi
vectơ và cũng quy ước |AA| = 0 5 Tổng của hai vectơ
~ Cho hai vectơ a và b Lấy một điểm A tuỳ ý, vẽ AB=a và BC=b
Vectơ AC được gọi là tổng của hai vectơ a và b Ta kí hiệu tổng của hai vecto a va b là a + b Vậy AC =a+b (h.1.2) IX DX Hinh 1.2 ~ Phép tốn tìm tổng hai veetơ a và b cịn được gọi là phép cộng hai vectơ a và b ~ Với ba điểm tuỳ ý M, N, P ta luơn cĩ MN+NP = MP 6 Quy tắc hình bình hành Nếu ABCD là hình bình hành thì B c AC =AB+AD (h.1.3) 7 Tính chất của tổng các vectơ A D Với mọi vectơ a, b, € ta cĩ 4 +b=b + a (tính chất giao hốn) (ã +B)+ € = a +(B + €) (tính chất kết hợp)
a+0=0+a=a (tinh chat cia vecto - khong)
Trang 8— Cho vectơ a Veet cĩ cùng độ dai va nguge huéng véi a được gọi là uectơ đối của vectơ a, kí hiệu là =a Mỗi vectơ đều cĩ vectơ đối, chẳng hạn vectơ AB cĩ vectơ đối là vectơ BA, như vậy -AB=BA Vectơ đối của Ư là vecto 0
~ Cho hai veetơ a và b Ta gọi hiệu của hai vectơ a và b là vectơ
a+(-b), ki higu a — b Vay a~B=a+(-B]
9 Tích của một số với một vectơ
Cho số k z 0 và vectơ a#0 Tích của số k với vectơ a là một vectơ, kí hiệu là ka, cùng hướng với a nếu k > 0, ngược hướng với a nếu k < 0 và cĩ
độ dai bằng |k |l|
Quy ước 0.4 = Ư,k.0 = Ư
10 Tính chất tích của một số với một vectơ
Với mọi vectơ a và b, với mọi số h và k, ta cĩ k(a+b)=ka+kb (h+k)a=ha+ka h(ka) = (hkja La =a,(-D.a Ap dung a) Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thi với mọi điểm M ta cĩ MÃ+MB =2MI b) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M ta cĩ MA+MB+MC=3MG
11 Điều kiện để hai vectơ cùng phương
Trang 9Cho hai vecto a va b khong cing phuong Khi d6 moi vecto x déu
phân tích được một cách duy nhất theo hai vectơ a và b, nghĩa là cĩ duy
nhất cặp số h, k sao cho x=ha+kb
18 Trục và độ dài đại số trên trục
a) Trục toạ độ (hay gọi tắt là ¿rục) là một đường thẳng trên đĩ đã xác định một điểm O gọi là điểm gốc và một vectơ đơn vị e
Ta kí hiệu trục là (O; e)
oe M
+, _ Ft
b) Cho M là một điểm tuỳ ý trên trục (O; e) Khi đĩ cĩ duy nhất một số k
sao cho OM = ke 7 gọi số k đĩ là toạ độ của điểm M đối uới trục đã cho
©) Cho hai điểm A và B trên trục (O; e) Khi đĩ cĩ duy nhất số a sao
cho AB=ae Ta gọi số a đĩ là độ dài đại số của uectơ AB dối uới trục đã
cho va ki hiệu a= AB
s Nếu AB cùng hướng với e thi AB = AB, cịn nếu AB ngược hướng
véi ¢ thi AB =-AB
_ Nếu bai điểm A và B trên trục (O;e ) cĩ toa dé lan lượt là a và b thì AB =b-a 14 Hệ trục toạ độ a) Định nghĩa Hệ trục toạ độ (O; e,,e,) gồm bai trục (O; e,) và (O;e,) vuơng gĩc với
nhau Điểm gốc O chung của hai trục gọi là gốc toa do True (0; €,) được gọi là trực hồnh và cịn kí hiệu là Ox, trục (O;e,) được gọi là trực tung
Trang 10
Hinh 1.4
Mặt phẳng mà trên đĩ đã cho một hệ trục toạ độ Oxy được gọi là mặt phẳng toạ độ Oxy hay gọi tắt là mặt phẳng Oxy
Chú ý Người ta cịn dùng hệ trục toạ độ (O; Ï, j) gồm hai trục (O; 1)
và (O; j) vuơng gĩc với nhau thay cho hệ trục toạ độ (O; e,, €, )
b) Tog dé ctia vecta
Trong mặt phẳng Oxy cho một vectơ u tuỳ ý Khi đĩ cĩ duy nhất một
cặp số (u¡; u;) sao cho u=uei +u;e2 Ta gọi cặp số (uy; uạ) đĩ là toa
6 ctia vecto u đối với hệ toạ độ Oxy và
viết u = (uy; uạ) hoặc u(u;; u;) Số thứ nhất uạ gọi là hồnh độ, số thứ hai u, goi là tưng độ của vectơ u
ú=(0,:u, )€>ú= tiết +u,62
Chư ý Hai uectơ bằng nhau khi uà chỉ khi các toạ độ tương ứng của
chúng bằng nhau
Nếu u =(0;u,), u` =(00;
Mỗi oectơ được hồn tồn xác định khi biết toạ độ của nĩ
e) Toạ độ của một điểm
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho một điểm M tuỳ ý Toạ độ của vectơ
Trang 11Nhu vay, c&p s0 (x ; y) la toa do cia diém M khi va chi khi OM = (x;y)
Khi đĩ ta viết M(x ; y) Số x được gọi là hồnh độ, cịn số y được gọi là
tưng độ của điểm M Hồnh độ của điểm M cịn được kí hiệu là x,„, tung
độ của điểm M cịn được kí hiệu là yụự,
d) Liên hệ giữa toạ độ của điểm uà toạ độ của uectơ trong mặt phẳng
Cho hai điểm AGx,; yạ) và B(xp; yụ) Ta cĩ AB=(Xy —XẠ? Yg—YA)- 15 Toạ độ của các vectơ U+V, u—v, ku Cho u =(0;0;), v=(v,:v,) Khi đĩ: N+V =(0y + Vụ ty + Vạ) U-V = (u,— Vị; ty — Vạ) ku =(kuy ku ),k eR
Chú ý Hai vecto u = (uj; uy), V = (bạ 0y ) cùng phương khi uà chỉ khi cĩ một số k sao cho wu, = kv; va wy
Ủy
16 Toạ độ trung điểm của đoạn thẳng Toạ độ trọng tâm của tam giác a) Cho đoạn thẳng AB cĩ A(x,; y„), B(x„; y„) Toạ độ trung điểm IGx; y,) của đoạn thẳng AB được tính theo cơng thức: Xat%p _YatYp petty b) Cho tam giée ABC 06 A(x,; ¥,), BOXps ) Khi đĩ toa p) CŒc; Ÿc độ trọng tâm G(xụ„; y„,) của tam giác ABC được tính theo cơng thức: — X4 +Xp +, _Yat¥ptYe _ 3— Ge 3
B CÁC BÀI TỐN VÀ KĨ NĂNG CƠ BẢN
Bài tốn 1 Xác định một vectơ Chứng minh hai veetơ bằng nhau
Phương pháp
Trang 12Muốn chứng minh hai vectơ bằng nhau ta cĩ thể
se Dùng định nghĩa: chứng minh hai vectơ đĩ cùng hướng, cùng độ dài; © Dung tinh chất hình bình hành;
© Chứng minh hai vectơ đĩ cùng bằng một vectơ thứ ba Ví dụ 1 Cho tam giác A
ABC Các điểm M, N và P lần
lượt là trung điểm của các cạnh N M AC, AB_ va BC Hay ching t6
ring MN = PB = CP
Hinh1.5
B K c
Hướng dân
Dễ thấy MN là đường trung bình của tam giác ABC Trước tiên cả ba vectơ MN, PB và CP cùng hướng vì giá của chúng song song hoặc trùng nhau Mặt khác do tính chất đường trung bình của tam giác ta cĩ MN = PB = CP BC Từ đĩ, theo định nghĩa vectơ bằng nhau suy ra điều phải
chứng minh (h.1.5)
Ví dụ 2 Cho tứ giác MNPQ Hãy chứng tị nếu tứ giác MNPQ là hình bình hành thì MN = QP Ngược lại, nếu trong tứ giác MNPQ ta cĩ MN = QP thì MNP@ cĩ trở thành hình bình hành hay khơng? Hướng dẫn Nếu tứ giác MNPQ là hình bình hành thì MN / QP và MN = QP (h.1.6), từ đĩ suy ra hai vectơ MN_ và QP cùng hướng và cùng độ dài nên MN = QP
Ngược lại, giả sử trong tứ giác MNPQ ta cĩ MN = QP, từ định nghĩa
bằng nhau của hai vectơ ta cĩ MN // QP và MN = QP, từ đĩ ta khẳng định được tứ giác MNP là hình bình hành
M N
Q P Hình 1.6
Trang 13Huéng dan
Vì H là trực tâm tam giác ABC nên ta cĩ (h.1.7):
D
Hinh 1.7
AH LBC (1) BD là đường kính đường trịn (O) nên DC L.BC (2) Từ (1) và (2) suy ra AH // DC Tương tự ta cũng suy ra được CH // DA Từ đĩ suy ra tứ giác ADCH là hình bình hành Theo kết quả ví dụ 2 ở trên ta suy ra
AH = DC va AD = HC
Bài tốn 3 Xác định phương, độ dải một vectơ Phương pháp
Khi đã cho một veetơ trên một hình nào đĩ, để tính chiều đài veetơ ta
thường gắn nĩ với một hình cĩ thể xác định được yếu tố như:
© tam giác đều, tam giác vuơng ;
e hình vuơng, hình thoi
Ví dụ 1 Cho tam giác ABC Các điểm M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC So sánh phương, hướng và độ dài của các vectơ
NM va BC,
Hướng dẫn
'Vì MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN // BC và MN = 20C Từ đĩ ta cĩ các kết luận sau:
e Hai vectơ NM và BC cùng phương « Hai vectơ NM va BC ngược hướng
i = 1 | nay fc} =2)
Vi du 2 Cho hình thoi ABCD cạnh a cĩ gĩc nhọn A = 60” Tính độ dai của các vectơ ACvà BD theo a
Hướng dẫn
Trang 14
Ta đã biết trong tam giác đều cạnh a thì đường cao của nĩ là
từ đĩ ta suy ra [Ac] V3 và PB| =a
Bài tốn 3 Tìm tập hợp điểm thoả mãn đẳng thức vectơ
Phương pháp
Xác định yếu tố khơng đổi liên quan đến sự chuyển động của điểm thoả mãn đẳng thức vectơ như độ dài hay phương của vectơ
Ví dụ 1 Tìm tập hợp điểm ngọn của các vectơ cĩ điểm gốc là O cố định
cho trước và cùng phương với vecto a # 6 cho trước
Hướng dẫn
Gọi d là giá của ä Các vectơ cĩ gốc O cùng phương với ä cĩ điểm ngọn nằm trên đường thẳng / di qua O và song song với d (h.1.8)
Ngược lại, lấy một điểm M bất kì trên / Khi đĩ vectơ OM cùng
phương với vectơ a
Hình 18
Vậy tập hợp điểm ngọn của các vectơ cĩ điểm gốc là O cố định cho trước và cùng phương với vectơ a #0 cho trước là đường thẳng / đi qua O và song song với đường thẳng d
Vi dụ 2 Cho vectơ a #0 Tìm tập hợp điểm ngọn của các vectơ bằng vectơ a cĩ điểm gốc chạy trên một đường trịn cho trước
Hướng dẩn
Trang 15Phân thuận Giả sử đường trịn cho trước cĩ tâm O bán kính R Từ O ta
dựng vectơ v=a Gọi điểm ngọn của vectơ v là O' VậyO' là điểm cố
định Từ điểm A trên đường trịn tâm O, dựng vectơ u=a Gọi
iém
ngọn của vectơ u là B Khi đĩ tứ giác OO BA là hình bình hành (theo định nghĩa hai veetơ bằng nhau) nên O'B = OA = R khơng đổi Do đĩ B
nằm trên đường trịn tâm O“ bán kính R (h.19)
Phân đảo Lấy một điểm BỈ bất kì trên đường tron tam O' Dựng điểm A” sao cho OO BỶ A' là hình bình hành Khi đĩ OA'= OB= R Như vậy
w=Al
Trang 16Vi dụ Cho hình bình hành ABCD Từ đỉnh A hãy dựng vec tơ AM
sao cho AM =BA Tiép dé , dung vects MN =DA, NP =DC va PQ =BC
Ching minh ring AQ =0
Hướng dan
Hai vectơ BA và DC cùng phương (vì ABCD là hình bình hành) nên AM và NP cùng phương Đơng thời từ Pe| BA| (hai cạnh đối của hình
bình hành) suy ra [AN|-[“P| Do đĩ tứ giác AMNP là hình bình hành (vì
cĩ hai cạnh đối song song và bằng nhau) Tương tự hai vectơ MN và
PQ cùng phương và cĩ độ dài bằng nhau Tứ giác MNPQ cũng là hình bình hành Lại cĩ PA và PQ cùng song song với MN nên trùng nhau Đơng thời,
do [MN | và PA = MN (do AMNP là hình bình hành) suy ra PA = PQ
Do đĩ A=Q Vậy AQ =0
Bài tốn ð Tính độ đài cửa veetơ tổng và vectơ hiệu Phương pháp
~ Gắn veetơ với các hình đã biết cách tính độ dài của các cạnh, chẳng hạn: tam giác vuơng, tam giác đêu, hình chữ nhật, hình thoi
~ Dùng tính chất của tổng và hiệu các vect
Vi du 1 Cho tam giác đều ABC cạnh a Tính độ dài của vectơ AB+ AC
Hướng dẫn
Theo quy tắc hình bình hành thì AB+A€ =AD (h.1.10) Dé thay, AD = 2AH
vay {AB+ AC|=|AD :
Vi dụ 2 Cho tam giác vuơng ABC cĩ AB = 4m, AC = ?m và BAC=é0°
Tinh độ dài của vectơ AB-AC Hình 110 8
Hướng dẩn
Ta biết tam giác đều cĩ chân đường cao chia đơi cạnh đáy Như vậy, tam giác ABC đã cho là nửa tam giác đều (h.1.11)
c
Trang 17-AG = CB, Vậy iesl-4 B25 em
, Hinh 1.11
Bài tốn 6 Chứng minh đẳng thức veetơ
Phương pháp
Sử dụng các tính chất của các phép tính cộng, trừ và phép nhân vectơ
với một số và sử dụng định nghĩa hai vectơ bằng nhau (cùng hướng, độ dài bằng nhau)
Ví dụ 1 Cạnh BC của tam giác ABC cĩ trung điểm là M Chứng minh AB+ AC =2.AM
Hướng dẫn Bài tốn cĩ hai cách giải (h.1.12)
Cách 1 Dùng quy tắc ba điểm của phép cộng vectơ =AB =AC AB+AC=AM+MB+AM+MC = 2AM+MB+MC =0 Hình 1.12
Cách 3 Dễ thấy tam giác ABC là một nửa của hình bình hành nếu coi cạnh BC với trung điểm M là một đường chéo
AB+AC =AD =2AM
Trang 18ä và b cùng phuong <> a=kb, k là một số
trong đĩ a và b tương ứng là những vectơ chỉ phương của hai đường
thẳng, hoặc tương ứng là hai vectơ nào đĩ cĩ được từ ba điểm đã cho Vi du: Cho tam giác ABC Hai điểm M và N thoả mãn đẳng thức
MỀ-MB+ MÃ =ư và NÄ+ĐB-3N€ =ư
a) Chứng minh M, B và G thẳng hàng, với G là trọng tâm của tam giác
b) Chứng minh MĐ cùng phương với AC Hướng dẫn a) MẺ- MB MÃ =ỗ ©(WG+6c)-(Wư +68): (MG+ 0Ä ©>MG+GA +GB+GC~2GB =0 <= MG=2GB =0 Vậy M, G va B thang hang b) MC-MB+MA=0 <=BC+MA=0 (a NA+NB-3NG=0 © NA+NA+AB- 3(NA+AC)=6 © AB-NA-3AC=0 (2)
Tit (1) va (2) ta e6: AB-NA-3AC+BC+MA =0 hay 2AC=MN
Vậy MN cùng phương với AC
Bài tốn 8 Chứng minh hai điểm trủng nhau Phương pháp
Hai điểm A và B trùng nhau khi và chỉ khi AB =Ư
Trang 19
nên GIGạ =0 Vậy Gị =G;
Bài tốn 9 Tìm toa độ cửa một điểm, toa độ cửa một vectơ Phương pháp
Để tìm tọa độ của một diém M(x ; y) hay một vectơ m = (x ; y) ta
thường tìm những hệ thức vectơ cho phép ta lập một hệ phương trình mà hai ẩn là tọa độ (x ; y) Các hệ thức này thường được chia thành hai loại:
` s ở hi
Loại 1: Vectơ bằng nhau a=besj 17” aạ =bạ
Loại 9: Vectơ cùng phương a= kb €>aibạ =a;bị =0
Trang 20_ XA +Xp +XC XG © Gla trong tam tam giác ABC œ 3 =YAtyptyc y= IA =1B TA=IC
Vi dụ 1 Cho tam giác ABC cĩ A(- 3 ; 6), B(9;- 10), C(-5; 4)
a) Tìm toạ độ trọng tâm G, tâm I đường trịn ngoại tiếp và trực tâm H
của tam giác ABC
b) Biết H cĩ toạ độ là H(-5 ; 4) Chứng minh I, G, H thang hang Hướng dẩn « 1 là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC e> { =Yatyptyc _ 6-10+4 _ 3 3 YG Vậy trọng tâm tam giác ABC là (3:0) IA=IB 1x ; y) là tâm đường trịn ngoại tiép tam gidc ABC > {i Ic ae et x~9)? +(y+I0)2 ° ° AP =c? (x +3)? +(y-6)? = (x +5)? +(y-4) 24x -32y = 136 ° x=3 4x+áy=4 y=-2
Vậy đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC cĩ tâm I(8 ; ~ 2)
Vi du 2 Cho tam giác ABC cĩ A(1 ;~1), B(5 ;— 3), đỉnh C trên Oy va
trọng tâm G trên Ox Tính toạ độ của Ơ Hướng dẫn
Vì C nằm trên Oy nên ta đặt C(0 ; y), ta cĩ G là trọng tâm tam giác ABC
Trang 21XA+Xp+Xc _14+5+0_ xe= 2 ® 3 XA †Yp+YC oe 3 7y Mặt khác G € Ox © yg =0© y = 4 Vậy ta cĩ C(0 ; 4) C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1 Cho đoạn thẳng AB Nếu xem A là điểm đâu, B là điểm cuối thì ta cĩ
vectơ AB Hãy xác định vectơ BA, nĩi rõ điểm nào là điểm đầu, điểm nào là điểm cuối?
Hướng dẫn
Vects BA cĩ điểm đầu là điểm B, điểm cuối là điểm A, là veetơ đối của veetơ AB
2 Cho hình bình hành ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại O Hãy xác
định các vectơ cùng phương cùng hướng, cùng phương ngược hướng cĩ cĩ
được từ hình bình hành đã cho (chẳng hạn BC va AD cùng hướng, AO
va CO cùng phương ngược hướng)
Hướng dẫn
-
~ Cae vi vectơ cùng “hướng (đương nhiên là cùng phương): AB và DC; BC va AD; BO va oD; OA va CO viv
— Các vectơ cùng phương ngược hướng: trong từng cặp đã nêu ra của các vectơ cùng hướng, chỉ việc thay một veetơ bằng vectơ đối của nĩ là ta cĩ câu trả lời, chẳng hạn cặp BA và DC hoặc cặp AB và CD là cùng phương ngược hướng
Trang 225 Cho tam giác ABC cĩ M là trung điểm cạnh BC và G là trọng tâm Hãy
xác định chiêu dài của các vectơ AG, GM nếu chiểu đài của vectơ AM
bằng m?
Hướng dẫn
Nếu chiều dài của vectơ AM bằng m thì theo tính chất của trọng tâm
tam giác, ta cĩ: |AG| = m „ lưMl = zm Từ đĩ suy ra [AG|= 2|GMỈ
6 Cho lục giác đều ABCDEF, tâm O, biết bán kính đường trịn ngoại tiếp
lục giác bằng R Xác định các vectơ bằng vectơ OB và tính chiều dài các
vects AD, BE va CF
Hướng dan
Các vectơ bằng veetơ OB 1a FA,DC va EO
Chiểu đài các vectơ AD, BE và CEbằng đường kính đường trịn ngoại
tiếp lục giác nên bằng 2R
7 Cho hình vuơng ABCD, tâm O, cạnh bằng a Các mệnh đẻ sau đây đúng hay sai? a) AC=BD b) AC= 20C ° |xel-|an| a d) |Ac|=[B0| Huéng din a) ACvà BD khơng thể bằng nhau vì khơng cùng phương, vậy a) sai b) AC= 20C là đáp án đúng © JA| bø| = &, là câu trả lời sai vì lAe| bằng đường chéo của bình vuơng cạnh a a le |b aV2 la dap an ding, dung chéo của hình vuơng cạnh a luơn bằng ay2
8 Cho tam giác ABC, trọng tâm G, cĩ diện tích S khơng đổi và AB cố định Tìm tập hợp điểm ngọn của vectơ AG
Hướng dẩn
Trang 23Vì diện tích tam giác khơng đổi và AB cố định nên đỉnh C luơn nằm
trên đường thẳng song song với AB, cách AB một khoảng bằng h ri
AB
Vì G là trọng tâm tam giác nên G nằm trên đường thẳng song song với
AB, cách AB mt khodng bing 1= 4h = 4,25 75 3 lAB| 3|AB|
Tập hợp điểm ngọn của vectơ AG nằm trên hai đường thẳng song song
cách đêu đường thẳng AB một khoảng bằng /
9 Cho vectơ a #0 Tìm tập hợp điểm ngọn của các vectơ bằng độ dài của veetơ a cĩ điểm gốc là tâm của một đường trịn cho trước
Hướng dẫn
Đĩ chính là đường trịn đồng tâm với đường trịn đã cho, cĩ bán kính bằng RỊ- 10 Cho ba veetơ cùng phương khác Ư Chứng minh rằng cĩ ít nhất hai
vectơ cùng hướng
Hướng dẫn
Giá của ba veetơ đã cho cùng song song với một đường thẳng, giả sử cĩ
hai vectơ ngược hướng (ta quy định một hướng là dương, hướng kia là âm),
vì vậy vectơ cịn lại phải cùng hướng với một trong hai veetơ trên
11 Cho hai vectơ khơng cùng phương Chứng minh rằng khơng thể cĩ một
vectơ khác Ư cùng phương với cả hai vecto đã cho Hướng dẩn
Giá của hai veetơ đã cho cắt nhau tại một điểm Nếu cĩ một veetơ nào
đĩ khác Ơcùng phương với cả hai vectơ đã cho thì giá của nĩ song song với hai đường thẳng cắt nhau, nghĩa là qua một điểm ở ngồi một đường thẳng cĩ thể kẻ được hai đường thẳng song song với đường thẳng đã cho, vơ lí !
12 Chứng minh rằng: nếu AB = CŨ, thì BD = AC
Hướng đẩn
Nếu AB và CỔ khơng cùng giá va AB = CD thi ti giác ABDC là hình bình hành, từ đĩ suy ra BỠ = AC
Nếu AB và CD cùng giá, thì A, B, D và C thẳng hàng Khi đĩ cẩn chứng minh hai vectơ bằng nhau khi chúng éng hướng, cùng độ dài
Trang 2418 Cho hình vuơng ABCD cạnh a
a) Tính độ dài của vectơ tổng của hai vectơ AB và 8C
b) Tính độ dài của vectơ tổng của hai vectơ AB và AC
Huéng dan
a) |AB+BE|=œ/2 b) |AB+ A€|=ov5
14 Gọi O là tâm của tam giác đều ABC Chứng minh Ộ+O8+O€ =Ư
15 Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD Chứng minh GÄ+G©8+O€ + Oõ =0
Hướng dẫn
Sử dụng tính chất hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
16 Cho hai vects OA va ©B Độ dài của chúng phải thoả điều kiện gì để
giá của vectơ Ộ+OB là phân giác của gĩc tạo bởi giá của hai vectơ
OK va 08?
Hudng din
Điều kiện đủ để giá của vectơ OA+OB thành phân giác của gĩc tạo bởi giá của hai vectơ OA và OB là độ dài của chúng bằng nhau
17 Cho hình ngũ giác ABCDE Chứng minh
ÄB+BC + CŨ = AE - DẼ
Hướng dẩn
Dùng tính chất tổng của các veetơ liên tiếp và quy tắc ba điểm 18 Cho M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD của tứ giác ABCD
OG = ¿ (Đà + Ư8 + Đ€ + ĐÕ), với điểm O bất ki
Trang 25Tax, GC+>GD Tir đĩ ta cĩ 1
19 Cho G là trọng tâm của tam giác đều ABC Gọi L, M và N lần lượt là chân đường vuơng gĩc hạ từ điểm O tuỳ ý xuống các cạnh của tam giác ABC Chứng minh ƠL+ƯM+ƯĐ= i98
Hướng dấn
Trang 2620 Chứng minh rằng néu ba diém A, B va C thang hàng, thì sẽ cĩ một số
k sao cho MỂ=(-k)MÃ+kMB, với M là một điểm bất kì Hướng dẫn
Do ba điểm A, B và Ơ thẳng hàng, thì sẽ cĩ một số k sao cho
AC=k.AB
Với M là một điểm bất kì, ta áp dụng quy tắc ba điểm
ANi+ MẺ=k(ANi+ MB) o> MG ~AM + AM +.B <= MC =(I-k)MA+K.MB 21 Chứng minh rằng nếu MỂ = (1-k).MÃ +kMB, thì ba điểm A, B và C thẳng hàng Hướng dẩn Chứng minh AC =k.AB 22 Cho M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD của tứ giác ABCD Chứng minh rằng: A€ +BD = AD+B€ =2MN Hướng dẫn Chú ý trong tam giác MDC thì MO+MC =2MN Mat khac MB -DWi= -z(DÄ+B8) và MỂ = -CMi- -> (CÄ +8)
28 Tam giác ABC cĩ trung tuyến là AM (M là trung điểm của BC) Phân
tích vectơ AM theo hai vects AB va AC Hướng dẫn
Gọi A là điểm đối xứng với A qua M, dùng quy tắc hình bình hành,
ANi~ 3 (AB+ AC)
24 Chứng minh rằng: Hai tam giác ABC và A'B'C' cĩ các trọng tâm trùng
nhau khi và chỉ khi AA'+B8'+CC'=Ư
Hướng dẫn
Gọi G và Œ là trọng tâm tương ứng của hai tam giác ABC va A’B’C’ Chứng minh GG' =0
25 Cho tam giác ABC Dựng AB'=BC, CA'= AB và BC =CÄ
a) Ching minh A là trung điểm của B.C
b) Chứng minh các đường thẳng AA', BB' và CC' đồng quy
Trang 27
Hướng din
a) Cần chứng minh AB +AC
b) Dùng kết quả câu a) dễ thấy rằng ba đường thẳng đĩ đồng quy tại
trọng tâm G của tam giác ABC (cũng là trọng tâm của tam giác A'B'C')
26 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm MŒ ; 1)
a) Tìm toạ độ của điểm A đối xứng với M qua truc Ox;
b) Tìm toạ độ của điểm B đối xứng với M qua trục Oy; ©) Tim toạ độ điểm © đối xứng với M qua gốc O Hướng dẫn a)A2;~U b)BC2;1) e)C-8;-1 27 Cho hình bình hành ABCD cĩ A(1 ; ~2), B(3 ; 2), C(-4 ; ~1) Tìm toạ độ đỉnh D Hướng dẩn Gia sir D = (x; y) DC =(-4-x;-I-y), AB=(2;4) -4-x=2 -l-y=4" Vi ABCD là hình bình hành nên AB=DC, suy ra { Từ đĩ suy ra x=— 6; y =~õ Vay D = (- 6; - 5) 28 Cho a =(2;3), b =(-1; 4) Hay phan tich vecto ¢ = (3 ; -1) theo hai vecto a va b Hướng dẫn - te Qm-n=3 Giả sử ¢ = ma+ nb Từ đĩ suy ra 3m+4n=-1 „ Giải hệ phương trình
nay suy ra m=1van=-1 Vay ¢ =a-b
Trang 28Hướng dẫn
Hai vectơ u và v cùng phương nếu cĩ số k z 0 sao cho u=kv Với
- 1 - 3 2
u=(—;-3) va v=(m;4), G ) vi (m; 4) từ đĩ suy ra kar = vane =e¿ qvam= 3
31 Các điểm A'-1 ; 1), B(2 ; 4) và C( ; -3) lần lượt là trung điểm các
cạnh BC, CA và AB của tam giác ABC Tính toạ độ các đỉnh của tam
giác này Chứng minh rằng trọng tâm của hai tam giác ABC và A'B'C' trùng nhau Thử giải bài tốn tổng quát Huéng din Gọi I là trung điểm của BC Suy ra I = (2 ; 1) Dé thay A(x ; y) déi at) xứng với A’ qua I, hay I 1a trung điểm của AA Từ đĩ suy ra c ,ta y Ta 5
tính được A = (5 ; 1) Làm tương tự khi biết C là trung điểm của AB và B'
là trung điểm của AC Kết quả B = (-1 ; -5) va C = (-1; 7)
Giả sử G và G tương ứng là trọng tâm của hai tam giác ABC va A’B'C’ Dùng cơng thức tính toạ độ trọng tâm của tam giác ta cĩ G = (1 ; 1) và
G=(1; 1) Vậy G = G
Tổng quát, đối với tam giác ABO bất kì với các điểm A', B và Ơ lần
lượt là trung điểm các cạnh BC, CA và AB thì trọng tâm của hai tam giác
ABC và A'BC trùng nhau
33 Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm M(-1 ; 3) , N(4 ; 2) và P(8 ; 5) a) Chứng tỏ ba điểm M, N, P khơng thẳng hàng;
Trang 29Chương 2 “3 TÍCH VƠ HƯỚNG C ~_ CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG A KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 Định nghĩa giá trị lượng giác của một gĩc y Với mỗi gĩc œ (0° < ơ < 180°) ta xác
định một điểm M trên nửa đường trịn đơn vị (h.2.1) sao cho xĨM = ơ và giả sử điểm M c6 toa dé M(x; yo) Khi đĩ:
+ sin của gĩc a 1A yo, ki higu sina = yo
+ cơsin của gĩc a là xạ, kí hiệu cosơ = Xạ
+ tang của gĩc œ là 22 (x0), ki hiệu tana = 22
Xo Ry
äidiking dầu vào oi 3ã ~Š 132x044 haga cote = ~Š.,
Yo Yo
Cac sé sina, cosa, tana, cota dude goi la cae gid tri lượng giác của gĩc ơ Nhận xét Nếu @ 1a géc ti thi cosa < 0
2 Tính chất của giá trị lượng giác của một gĩc
kine|<1, kosơ|<1, tang = 5, cotạ = S238 coset sina
sin a = sin (180° - a) tan @ = ~ tan (180° ~ a)
cos œ = — cos (180° — a) cot a = — cot (180° - a)
3 Gĩc giữa hai veetơ
Cho hai vectơ a va b đều khác vectơ Ú Từ một điểm O bất kì ta vẽ OA =a va OB=b Gĩc AOB với số đo từ 0° đến 180° được gọi là gĩc giữa
hai vecto @ va B (h.2.2)
Trang 30Hinh 2.2 Ạ a X °
Kí hiệu gĩc giữa hai vectơ a và b là (4, b)
Néu(a, b) = 90° thì ta nĩi rằng a và b vuơng gĩc với nhau, kí hiệu là a1 b hose b La Gĩc giữa hai vectơ cùng hướng bằng 0 Gĩc giữa hai vecto nguge huéng bằng 180° Gĩc giữa hai vectơ khơng xác định nếu một trong hai vectơ ấy là veetơ - khơng BANG GIA TRI LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GĨC ĐẶC BIỆT Gĩc œ 0 0 6 ° ° yo Giá tì 0 30 45° | 60° | 90° | 180 lượng giác - 1 sin a 0 5 1 0 c08 œ 1 8 2 o |} -1 ] tan œ 0 Tc 1 3 ll 0 1 cốt ơ ll vã 1 xã 0 lI
4 Định nghĩa tích vơ hướng của hai vectơ
Cho hai veetơ a và b khác vectơ Ư Tích v6 hướng của a uà b là một
số, kí hiệu là a.b hayab, được xác định bởi cơng thức sau:
4.5 = lai, lBleos(a, b)
Trang 31« Nếu một trong hai veetơ a và b bing vects 0 ta quy ước a.b + 4.b =0 < ab, nghia la (a, b) = 90°
« Tích vơ hướng a.a kí hiệu là a được gọi là bình phương uơ hướng
của Ueclỡ 4
Chứý a
5 Các tính chất của tích vơ hướng
(bình phương vơ hướng bằng bình phương mơ đun)
Với mọi veetơ ä, b, € và mọi số k ta cĩ: a.b = ba (tinh chat giao hốn)
a(b+c)=a.b+a.c (tinh chất phân phối)
6 Biểu thức toạ độ của tích vơ hướng
"Trong mặt phẳng toạ độ (O ; eạ , ©; ), cho hai vectơ ä = (a;; a;), B = (by; by) Khi đĩ a.b sab, +a, 7 Ứng dụng Cho hai vectơ ä = (a¡; a,), b = (bị; bạ) « aLb © ahi + a,bạ= 0, aibi +a¿b;
lol yay +a} (ead hse +b3
« Khoảng cách giữa hai điểm AGx,; yạ) và B(xp; yp):
8 Giải tam giác
Trong tam giác ABC bất kì với BC = a, CA = b, AB = c, R là bán kính đường trịn ngoại tiếp, r là bán kính đường trịn nội tiếp, p là nửa chu vi, 8
Trang 32
là diện tích, h,, hụ, hạ m,, My, Me, ys fy 4 lần lượt là độ đài đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác trong ứng với các cạnh a, b,e của tam giác, ta cĩ: « Định lí hàm số sin: a bie sinA sinB sinC « Định lí hàm số cơsin: a2 =bˆ +cŸ ~2bccos A b? =a" a? +b? —2abcosC «Cac cong thite tinh dién tich tam gide: =2R +7 —2accosB 1 1 1 Sử ah, =2 Bhụ =2 ch =+absinc=+besin 2 2 A = 2 abe 4R §=pr
S=p(p—a)(p—b)\(p—e) (cong thite He-rong)
« Các cơng thức tính độ dài đường cao, trung tuyến, phân giác trong của tam giác:
acsin B
an bte bate 78 ath
« Hệ thức lượng trong tam giác uuơng ABC (Ä =90°, AH là đường cao)
BA? =BH.BC , CA? =CH.CB ,HA? = HB.HC
roti
AH? AB? AC?
BC? = AB? + AC”, AH.BC = AB.AC
Trang 33B CAC BAI TOAN VA Ki NANG CO BAN
Bài tốn 1 Dùng định nghĩa xác định giá trị lượng giác cửa một
gĩc đặc biệt
Phương pháp
Dựng gĩc trên nửa đường trịn đơn vị, tỉa đầu trùng với trục Ox, tim
giao điểm của tia cuối với đường trịn đơn vị Áp dụng định nghĩa và giải tam giác vuơng để tìm các giá trị lượng giác của gĩc
Ví dụ Tìm giá trị lượng giác của gĩc 30°
Hướng dẫn
Trên nửa đường trịn đơn vị dựng gĩc 30° sao cho tia đầu trùng với trục
Ox, tia cuối cắt nửa đường trịn đơn vị tại điểm M (h.2.3) Gọi H, K lần lượt
là hình chiếu vuơng gĩc của M trên Ox và Oy Dễ thấy sin 30° = OK;
cos 30°= OH = MK Tam giác OMB là tam giác đều cĩ cạnh bằng 1 và
đường cao MK, do đĩ MK= may va OK = 0B me M3 1 Vay sie sin 30°= — va cos 30°=— 2 2 Từ đây ta cũng suy ra S tan 30°= = va cot 30°= V3 Hinh 2.3
Bai toan 2 Xac dinh gc gitfa hai vecto cho trude Phuong pháp Cho hai vecto a và b khác 3 TH, 4 ỹ vectơ 0 Từ một điểm O bất kì ta z dung OA va OB=b Gĩc AOB chính là gĩc giữa hai vectơ a va b (h.2.4), =a Hinh 2.4 °
Ví dụ Cho tam giác đều ABC, đường cao AH Xác định gĩc giữa các
cặp vectơ sau đây:
a) AB, AC b) AB, BC
Trang 34©) HA, AC d) HB, AC Hướng dẫn Xem hình 9.5 Age i “= B c Hinh 2.5 b
a) Lấy điểm A làm gốc, thấy ngay (AB, AC) = 60°
b) Lấy điểm A làm gốc, dựng vectơ AC'=B€ do đĩ (AB, BC) = 120°
©) Lấy điểm H làm gốc, dựng vectơ HD = AC do đĩ (HA, AC) = 150°
4) Lấy điểm B làm gốc, dựng vectơ BHÌ= HB do đĩ (HB, BC) = 180°
Bài tốn 8 Tìm các giá trị lượng giác cửa một gĩc tủ Phương pháp Quy về gĩc nhọn, sử dụng các tính chất:
sin o = sin (180° ~ a) tan a =~ tan (180° ~ @) cos œ = — eos (180° œ) cot œ = — cot (180° — a)
Trang 350° 2 _ 1 1 =Í ý cosi50° V3 2 hoặc — tan150° = col3)°<—L_.~-V§, tan 150”
b) sin115° =sin(180° —65°) = sin65°
cos115° = cos(180° 65°) = =cos65” v.v
Bài tốn 4 Tìm các giá trị lượng giác cửa một gĩc biết một giá trị
lượng giác đã cho
Phương pháp
Trừ trường hợp các gĩc đặc biệt mà giá trị lượng giác của chúng được cho cosa
in” œ+cos” 2 œ =1, tang = nơ „ 00t0 =
trong bảng, ta dùng hệ thức cosa sina <
nhận xét nếu ơ là gĩc tù thi cosa < 0
Trang 361 1 _ v2 a 3 tangs SS 5 —3 a= 8, pote, =i? si cos a 2/2 4 ss 3 Bài tốn ð Tính tích vơ hướng cửa hai vectơ cho trước Phương pháp
Luu ý các vectơ trong những hình biệt như tam giác đều, hình vuơng, tam giác vuơng cân Dùng trực tiếp định nghĩa tích vơ hướng của hai veetơ, điều quan trọng là cần xác định đúng độ dài mỗi vectơ và gĩc giữa hai veetơ đã cho
Ví dụ 1 Cho tam giác ABC đều cĩ cạnh bằng 1, đường cao AH Hãy
tính AB.AC, AB.BC, AH.AC và AHB€
Hướng dẫn A
Xem hinh 2.6
AB.AC =|AB| {AC|.cos60” =1.1 As 2
AB.BC =|AB] {BC|.cos120° = 1.1 {- & [AH|.|AC.cos309 =.I AFLBC =|AR|,|BC|.cos90°
Ví dụ 3 Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(1; 2), B(8; 3) và C(; 4) Tính độ dài AB, AC và BC và tính AB.AC, AB.BC
Hướng dẫn
=(2;0), AC =(0; 2), va BC = (-9 ; 9) Do vậy
soba =2, AC=V0? +2? =2 va BC=y(-2)? +2? =2V2
Trang 37Bài tốn 6 Tính khoảng cách giữa hai điểm Phương pháp
Dùng cơng thức tính khoảng cách giữa hai điểm hoặc dựa trên tính
chất đặc biệt của hình đã cho
Ví dụ Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC biết A(-4 ; 1), B@ ; 4), C(2 ; -2) Tính chu vi tam giác ABC Tam giác ABC là tam giác gì? Hướng dẩn Ta cần tính độ dài các cạnh AB, BC va CA AB= (244)? +(4-1? = V5 =3V5 BC = (2-2)? +-2-4)? = V36 =6 caA=V2+4? +-2-1 = V5 = NS
Chu vi tam giác là: AB + BC+CA = 6(1+¥5) Tam giác ABC là tam giác cân
Bài tốn 7 Chứng minh hệ thức vectơ, chứng minh hai vectơ vuơng gĩc Phương pháp
Dùng các tính chất của các phép tốn đối với vectơ, nhất là tính chất của tích vơ hướng, điều kiện để hai vectơ vuơng gĩc 41b€©äb =aib, + a;bạ= 0 Ví dụ 1 Hãy chứng minh (a-b)? = (a)’ -2a.b+()’ Hướng dấn (4B =(a~B).(a=b) ~B)~B/a=B)=
ab=ba+(Đ)Ỷ = (a)? -2a.b+ (by
Ví dụ 3 Trong mặt phẳng Oxy cho đường trịn sao cho gốc O nằm trong đường tron Giả sử các trục toạ độ cắt đường trịn lần lượt tại A, B và C, D Chọn điểm P sao cho tứ giác OCPA là hình chữ nhật Chứng mình rằng OP L DB,
=(a) =
Trang 38
Hướng din ở Xem hình vẽ 2.7 Giả sử A = (a; 0), B = (b; 0), C = (0; c) va D = (0; d) Do OCPA là hình chữ nhật nên điểm P = (a; e) OP = &;e),DB= (b;~d) Xét OP.DB=ab-cd Vì bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường trịn nên OAOB = OC.OD hay ab = cả Từ đĩ suy ra:
OP.DB =ab—cd =0 hay OP 1 DB
Trang 39Vi dụ 3 Cho tam giác MNP cĩ MN = 9, MP = 12 va NP = 20 Tính các gĩc của tam giác MNP Hướng dẫn Ta cĩ cosM= 0.81 => M=144°5 a+ cos N = = 0,94 > Nx19°7 2ac 2+b2—c?
cosP ==? 2ab =" x0,96 = Ê*16948 , hoặc P=180°-(M+N)
Bài tốn 9 Dùng định lí hàm số sin để tính các cạnh, các gĩc và bán kính đường trịn ngoại tiếp cửa tam giác Phương pháp ~ Khi biết một cạnh và hai gĩc tuỳ ý, để tính các cạnh cịn lại cĩ thể dùng cơng thức: sinA B
~ Khi biết một cạnh và gĩc đối điện cạnh đĩ, ta cĩ thể tính bán kính đường trịn ngoại tiếp theo cơng thức:
a bc
2sinA 2sinB 2sinC
Trang 40_ 10sin60°
sin80°
Vay AB ~ 8,79 va AC ~ 6,53
Vi du 2 Cho tam giác MNP cĩ M=75,NP=18 Tính đường kính của đường trịn ngoại tiếp tam giác MNP
Hướng dan
~8,79
Vậy đường kính của đường trịn ngoại tiếp tam giác MNP là d = 18,63 Bài tốn 10 Tính diện tích cửa tam giác và đa giác, giải tam giác
Phương pháp
~— Ta thường dùng các cơng thức tính diện tích đã tĩm tắt ở đầu chương
~ Ngồi ra ta cĩ thể chia tam giác hoặc đa giác thành các hình nhỏ hơn, tìm diện tích từng phần rồi cộng lại
~ Để giải tam giác, tức là tìm các yếu tố của một tam giác khi đã biết các yếu tố khác ta thường dùng các định lí sin, cơsin vá các cơng thức tính điện tích tam giác để tính các yếu tố cịn lại từ yếu tố đã cho
Ví dụ 1 Cho tam giác ABC cĩ AB = 3, AC = 4 và Â =60° a) Tính điện tích tam giác ABC
b) Tính đường cao h, ứng với cạnh BC của tam giác Hướng dấn 13 4,sin60° =3y3 a) Ta c6 Sago ~5ABACsinA = b) Ta cĩ a =bŸ +c” ~2bc cos A =9+16~2.3.4cos60° =x/13 Mặt khác từ S= ah, suy ra h, 2
Vi dy 2 Cho tam giác MNP cĩ diện tích 8 và nội tiếp đường trịn cĩ bán kính R Hãy chứng minh hệ thức §=2R sinMsinNsinP Tính đường kính của đường trịn ngoại tiếp tam giác MNP