TRAN DUC HUYÊN - NGUYỄN DUY HIẾU
TÀI LIỆU CHUYÊN TOÁN TRUNG HOC PHO THONG
chuyen de :
NCUVEN HAN -TICH PHAN VA UNG DUNC
Trang 4LỜI NÓI ĐẦU
Tp theo Bộ sách Giải toán dành cho học sinh lớp chuyên, nhóm tác giả trường THPT chuyên Lê Hồng Phong biên soạn Bộ sách Tài liệu chuyên toán THPT theo chuyên đề nhằm giúp các em học sinh tự học để nắm được trọng
tâm kiến thức và luyện tập giải toán, qua đó giúp học sinh tự ôn thi vào đại
học đạt kết quả tốt
Cuốn sách Tài liệu chuyên Toán THPT chuyên đề : Nguyên hàm - Tích phân
và ứng dụng gồm hai phần chính :
Phần một: Lí thuyết và phương pháp giải toán, gồm 7 chương :
Chuong | NGUYEN HAM
Chương II MOT SO PHUONG PHAP TIM NGUYEN HAM
Chương Ill, TICH PHAN
Chương IV MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TICH PHAN
Chương V UNG DUNG TICH PHAN BE TINH DIỆN TÍCH HINH PHANG Chương VI UNG DỤNG TICH PHAN BE TINH THE TICH VAT THỂ
Chuong Vil BE TOÁN TONG HOP
Phần hai: Ung dung để giải các đề thi tuyển sinh đại học
Phần này tập hợp các bài toán về Nguyên hàm - Tích phân trong các đề thi
tuyển sinh đại học từ năm 2005 đến nay cùng với lời hướng dẫn giải cho từng bài toán
Rất mong cuốn sách này giúp ích cho các em học sinh tự học và tự ôn thi vào đại học thành công
Mặc dù rất cố gắng trong quá trình biên soạn nhưng những khiếm khuyết
là không thể tránh khỏi, chúng tôi rất mong nhận được các ý kiến đóng góp
của các quý thầy cô và các em học sinh yêu toán để các lần tái bản sau, cuốn sách được hoàn chỉnh hơn
Mọi ý kiến đóng góp xin gửi về theo địa chỉ :
Ban Biên tập Toán - Tin, Công ty CP Dịch vụ xuất bản giáo dục Gia Định - Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam - 231 Nguyễn Văn Cừ, quận 5, TP Hồ Chí Minh
Trang 6Ƒ Li THUYET | -
VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TDÁN
( CHƯƠNG I, NGUYEN HAM
A TOM TAT Li THUYET
I KHAI NIEM NGUYEN HAM
1 Dinh nghia
Cho hai hàm số F và f xác định trên K trong đó K là một khoảng, một đoạn
hoặc một nửa khoảng nào đó :
K=(a, b) hoặc K = [a, b] hoặc K = (a, b] hoặc K = [a, b)
Nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc K thì hàm số F được gọi là một nguyên hàm
của hàm số f trên K
2 Định lí
Nếu hàm số F là một nguyên hàm của hàm số f trên K thì :
a) Với mỗi hằng số C, hàm số y = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f trên K
b) Ngược lại, với mỗi nguyên hàm G của f trên K thì tồn tại một hằng số C
sao cho G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc K
Như vậy, nếu F là một nguyên hàm của hàm số f trên K thì mọi nguyên hàm của
hàm sơ f trên K đều có dạng F(x) + C với C € R Khi đó : F(x) + C, CC e R
được gọi là họ tất cả các nguyên hàm của f trên K, kí hiệu là J foodx :
Jfoodx =F(x) +C với C e R
Chú ý :
+ (Jfeodx] = 100
Trang 7Il BANG NGUYEN HAM CO BAN 1) [0dx =C 2) Jax = fidx =x+C atl 3) |x? dx = * œ+l +C (a#-1) 4) {Lax =Injx|+C x
5) |sinxdx =—cosx+C ; Jsinkxdx = ix 6) | cosxdx =sinx+C ; ƒcoskxdx = $m kx
kx 7) |e*dx=e*+C ; [s4 ==—+tc a® 8) JaXdx = —-+C (0<a¥l) Ina cos* x 10) ƒ 9) dx = [(+ tan? x)dx = tanx +C a dx = f (1+ cot? x)dx=—cotx +C sin* x
II MỘT SO TINH CHAT CO BAN CUA NGUYEN HAM
Định lí
Nếu £, g là hai hàm số liên tục trên K thì : a) ÍIfx)+g@)Jdx = J foodx + Jecodx
b) Với ke RỶ : J kf(x)dx =k J f(x)dx
6
+C (k#0)
Trang 8B CAC BAI TOAN VA PHUONG PHAP GIAI
mm
| Chứng minh F(x) là một nguyên hàm của f(x)
1 PHƯƠNG PHÁP
Để chứng mỉnh F(x) là một nguyên ham cua f(x) trên K, ta chứng minh
F(x) = f(x), Vx eK 2 CAC BAI TOAN
đài toán 1
a) Chứng minh rằng ham s6 F(x) =Va2 +x? 1a m6t nguyên hàm của hàm số
x
f(x) =
b) Chứng minh rằng ham sé F(x) =In |sin x| là một nguyên hàm của hàm số
f(x) = cotx
c) Chứng minh rằng hàm số F(x) = —In|eosx| là một nguyên hàm của hàm số
f(x) = tanx
Giải
E2 2ÝY 2x x
a) Ta cé : F(x) = ( a2+x 'Ì“-=-
2Va2 +x? Va? +x?
nên F(x) 1a một nguyên hàm của hàm số f(x)
=f(x)
(sinx)’ _ cosx
sinx sinx
b) Ta có : Ff(x)= =cotx =f(x) nên F(x) là một nguyên hàm của hàm sé f(x)
(cos x)’ _ sin x
c) Ta có : F(x)= — =tanx =f(x)
COSX C0SX
nên F(x) là một nguyên hàm của hàm 86 f(x)
đài toán 2 Cho a # 0 Ching minh rang :
a) Ham sé F(x) = J P=]
Trang 9b) Ham s6 F(x) = In lx +yx2 +a2| là một nguyên hàm của hàm số f(x) =
Vx2 +22
c) Ham s6 F(x) = inlx+-Vx2 -a2| là một nguyên hàm của hàm số Ñx)= 1
engl Giải ea) d)Tadố:F@d=cL2t/.L (28 á+K
2a a-X 2a (a+x)2 a—x
a+x
+1 =1
=—————= =f(x
(a+x)\(a-x) a?- x? 6)
nên F(x) là một nguyên hàm của hàm s6 f(x)
' %
(x+Vx? +2?) aa a
b) Taco : F(x) = _ / =- vx +42 -_——ÌL — —r()
xtVx24a2 0 xtVx2+a2 Vx? 402
nên F(x) là một nguyên hàm của ham sé f(x)
Ũ x
(x+ fx? 2?) l+—==
c) Ta có : F'(x)= ^——————=—Y——— Wx =8” sy
x+Vx?-a2 x+Vx?-a2 x?-a?
nên F(x) la một nguyên hàm của hàm s6 f(x)
Bai toán 3
ax+4 3
a) Tìm a để hàm số F(x) = là một nguyên hàm của hàm số f(x) = `
x-7 thế (x-7/
b) Xác định m, n, p sao cho F(x) = (mx? + nx + p)V2x—I 1a mét nguyên hàm
| 2_
của hàm sô f(x) = i) Saas Sea trong (F+)
Trang 10F(x) la một nguyên hàm của hàm số f(x) sy -Ta-4 my 3 (x-7)? (x7)? ” ©-7?a-4=3œ©a=-l Vx#7 b) Với mọi x (5 š +0} 1005: F'(x) = (2mx +n)V2x —1+(mx? +nx +p) _ (2mx+n)(2x —1)+(mx? +nx +p) V2x-1 _ 5mx? +(-2m+3n)x~=n+p V2x-1 F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) 24 (2 - 2 Smx” + (~2m+3n)x=n+p _ lŠx xt vxe(3i +=] v2x-1 © 5mx? +(~2m+3n)x—n+p =15x2 3x +], wxô[ ;+o 5m =l m=3 â-2m+3n=-3 â $n=l —=n+p=l p=2 mm | Tìm họ nguyên hàm của hàm số 1 PHƯƠNG PHÁP Tính J f(x)dx
~ Phân tích f(x) thành tổng của các hàm cơ bản Áp dụng các tính chất và công thức nguyên hàm cơ bản
Trang 112 CAC BAI TOAN
Bai todn 1 Tim cac ho nguyén ham sau :
a) [48 (G8 +x72-2% +5 )dx ; » f= te Dix: -x c) fer (=% Jo x x
4) jae 3 dx trên khoảng (0 ; +) ;
Trang 12vx —13 xVx -3x+3vx -1 303 41 8 en oleae 3 $38 “= 2 =[l1— C+—x 2 |qx=x—6/x+3lnx+-=+C + ont v3Ÿx +€, 2 1 2 e) (+ | ] «i[xt mến Ja =
đài tốn 2 Tìm các họ nguyên hàm sau : a) | sin7x.cos 5x.cos xdx ;
Scos*x—3cot?x 2sin? x +4tan? x
b) —_, NT.“ dx ; €OS“ X SIn“X cos X — sin x c) |————«; 1+sin 2x d) [a + sinx)? + (1+ cosx)? }dx 5 e) ng * ax 4 4 Giải
a) | sin7x.cos Šx.cos xdx =sjsn 7x(cos6x +cos4x) =5 [(Sin13x+sinx +sin1lx +sin3x)dx dx
=—-Leos13x—.Leosx~-L-eosl Ix~-Leos3x+C
44 12
Độ —auy Đổ ow) 2
Ð) ƒ Seos* x=3cot* x | 2sin” x+4tan “Jace f(7- 3,4 Ja
cos? x sin? x sin?x cos2x
=7x+3cotx+4tanx+C
é —— —— 1 aC
1+sin 2x (sin x +cos x)? sin x +cos xX "
Trang 13d) [[t+smŸ +(I+eosx) lx =[(3+2sinx+2cosx)dx
=3x~2cosx +2sin x +
e) {{sint X+cost ax -ÍÍ ~2sin2 Š cos2 ax
4 4 2 2 = f{1—fsie x ax -l-=?)» 2 4 = (3+ e052x)ar =O din dk + 4.4 48 Wem
| Tim một nguyên hàm của hàm số thoả mãn điều kiện cho trước
1 PHƯƠNG PHÁP
Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả mãn điều kiện F(a) = b “Ta thực hiện hai bước sau :
— Tim ho nguyén ham cua f(x) la : F(x) = G(x) + C
~ Giải điều kiện F(a) = b © G(a) + € =b C =b - G(a)
~ Kết luận F(x) = G(x) + C, với C tìm được ở trên
2 CÁC BÀI TỐN
đài tốn 1 Tìm một nguyên hàm F(x) của f(x) thoả điều kiện cho trước : a) f(x) = 4x3 — 6x? + 2x + 3 ; F(2) = 3; b) fx) =e " ;FƑ(1)=e Giải a) Ta có : [f(x)dx = x#=2xŸ + x2 +3x +C = F(x) E(2) =3 © l6~ l6+4+6+C=3œC=~7 Vậy F(x) =x4#—2x3+x2+3x—7
b) Ta có : f(x) = eŸ hŠ = e*eh = sex =f&)&x =Đe*+C=F(x)
F()=eôâ5e+C=e<âC=-ỏ4c
Vậy F(x) = 5e — 4e
Trang 14đài toán 2 Cho f(x) = 6x” ~ (2m - 4)x + m Xác định m để nguyén ham F(x)
của f(x) thoả mãn điều kiện F(0) = 3 và F(2) = I
Giải Taco: J foodx = 2x3 —(m-2)x? +mx +C = F(x) lo ef F(2) =1 16-4(m—2)+2m+3=1 Vay m= 13
A TOM TAT Li THUYET
I PHƯƠNG PHÁP DOI BIEN SO
Định lí 1 Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y = f(u)
liên tục sao cho f[u(x)] xác định trên K Khi đó :
Nếu F là một nguyên hàm của f, tức là : jr(@)du =F(u)+C thi:
Íf[uŒ)lu'G)dx =F[u()]+C II PHUONG PHAP NGUYEN HAM TUNG PHAN
Định lí 2 Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì :
ju@)v)4x = u(x)v(x)= Í v(x).u (x)dx
Cơng thức trên có thể viết gọn dưới dạng : fuav =uv- Ỉ vdu
Trang 15B CAC BAI TOAN VA PHUONG PHAP GIAI
WET ics
| Phương pháp đổi biến số
Biết [f(u)du = F(u)+C Tính [f(u(x)).u{x)dx- (1)
— Đặt : t = u(x) => dt= u(x)dx
~ Khi đó : (1)= [f(Đ.át= F()+C = F((x))+C
DẠNG 1 Nguyên hàm các hàm số đơn giản
1 PHƯƠNG PHÁP Cho u là hàm số theo x, ta có : ° ƒdu=u+C yor! u%du = +C (œ#-l +! atl ( ) [f*=nl|+C (u(x)#0) u [Fe=2a+c (u(x) > 0)
© Truong hop diac biét: u=ax +b (a¥0):
Dùng phương pháp đồi biến số và áp dụng kết quả sau :
Nếu jf&)&x =F(x)+C thi ffx +b)dx = | Bay + b)+C
Trang 16
+ Lin ch phan ich: t= if F l ) Vk #0
A(A+k) k\A A+k
2 CÁC BÀI TOÁN
đài tốn 1 Tìm các họ nguyên hàm sau :
Trang 1716 3 A+B+C=0 An =|3A+2B+C=lelB=4 — t(t+1)(t+2) L2 — 3¿-2_—_—5— 2t t+l 2(t+2) (as 2A=-3 ce-2 2 x43 5 #, my [3 =1 4 tát HH ;Fš 2t 7g “a =~ŠInl|+ln|t+1|~Š In[t+2|+C § 8
=—3in\xd]+ inlet +1|—Sinfxt +2] +
8 8 d) Dat: t=x-1 => dt=dx t+l =In|t| +C=1 -I-— n= J dt -lÍ*; a n|t| 14C= In|x —I| TC 4 dt = 4x3dx = x3dx = e) Dat: t=l+x*> x4 =t-1 tl -1 =lqm®:lme =zÍ(t-z}" =-Inll+z-+C=~Inll+x4|+ +C 4 4t 4 4(1+x4)
đài tốn 2 Tìm các họ nguyên hàm sau :
Trang 18dx b) Dat: t=In(Inx) > dt= xInx dx dt = | Saxinnw 7S pt +C= tanga |+c
c) Dat: t=VI+Inx > t? ~iwlnx=z5tdt=lấ x =Í TH qv= [2Dát=20+C=20+Inx)) +C DẠNG 2 Nguyên hàm của hàm số mũ 1 PHƯƠNG PHÁP Cho u là hàm số theo x, ta có : *fetdu=e"+C u +[a"du = mm (0<a#l) na ® Trường hợp đặc biệt : u = ax + b (a # 0) : # fem*bax = T ax+b_C a mx+n «[amxtndu me +C (0<azl,mz0) m.Ina 2 CÁC BÀI TỐN
Bai tốn 1 Tìm các họ nguyên hàm sau :
a) flee Jax: Đ[[x2+3 e9:
c) Jx2eX Max; d) Ja
Giải
Trang 19b) Dat: t=x? + 2x = dt = (3x? + 2)dx = (2 +d =F
(x3+2x)
= f(x? +2je Max = fet = +c=Š +
3 3 3 2 dt c) Dit :t=x? + 1 > dt= 3x? dx > xdt= d) Dat: t=3+e* | fa af X eX dx = joe ={(1-2)a 3+e% 3+e%
=t~3In|t|+C =3+eŠ ~3In(3+eX)+C
đài tốn 2 Tìm các họ nguyên hàm sau :
Trang 201 i 1 1 ) 1 =—~ || — —— ]dt= In 2InŠS AT ti nề 3 3 x 1 In (3) 1 +C= 1 In ~ 5 x s 2n= |ÍŠ 2In= 3 |G) 3 5X 3% sx+3* +C, b) Đặt : t=e*% > dt = e*dx > Í e?Xdx = tdt te lữ n
=3(u-9) -ya+t3 jee
=s({u-e# ~jd+e*)Ÿ ne
c) Dat t= cosx + 1 => dt =—sinxdx
=> ƒesxn sin xdx = -fetdt =~et +C=e£05X†] + C,
“j =G dt -2
DẠNG 3 Nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ
1 PHƯƠNG PHÁP
P(x)
Q(x)
* Nếu bậc P(x) < bậc Q(x)
Ta biến đổi f{x) về tổng (hiệu) các hàm số đơn giản rồi tìm nguyên hàm
x Nếu bậc P(x) > bac Q(x)
Ta thực hiện phép chia đa thức P(x) cho Q(x) rồi biến đổi f(x) về tổng (hiệu)
các hàm sô đơn giản và tìm nguyên hàm
y=fx)= (P(x), Q(x) là đa thức)
Lưu ý cách phân tích sau :
e Nếu tam thức ax? +bx +e có hai ngiém XỊ› Xq thi:
ax?+bx+c= a(x—xI)(X—X¿)
Trang 21
*Í—————w=————j } - b dx
a(x —x,)(x-X5) a(x —X))" | X-X,
=axn n~l
e Cho P(x) AnX” tan XP” ” + + 4X Tao
Q(x) = b,x" +b,_ xt! + P(x) = Q(x) (VxER) © (Phương pháp đồng nhất thức) 2 CÁC BÀI TOÁN
đài tốn 1 Tìm các ngun hàm sau :
Trang 22» J>—* _- Hats | Ja (x2 +x)(x?2 +x-2) x2+x— 2 x2 +x Taye dx (x- “We 5 x(x+1) 5 5 5 1 1 c dx = dx == - di aoa x Se x ‘(a z=) x 5 1 5 1
si ——L _—w-š(_——a Tư =n lene
"gpÌ|cag Tan let ea
Trang 2322 e) Cach 1: 5 5 5 5 x x 1 xX x dx = dx =— - dx ae len (35 +) 5 1, xd dx =A-B Tính A : ĐXf? v2] —ø me ặt: t=x”—2> x3=t+2 5 ind [ 3° x3-2 a= 9 fDi 2 Ja 3° 3t 9 t =F (t+ 2inft))+C=2 (x3 -242Infx* -2)) +c Tinh B: 3 dt = 3x2dx = x2dx = tt Dat: t=x°+1> x=t-l xã 3 =B=2[ 3 eS -;Í( ra Lye ty =g(t-Inll)+€=g(xŸ+I~n x3+l]+C x +1
Suy ra: laa = §(x3-2+2In|x3 -2) ~a(x°*I~Inls°+I|]+€ =gm(k`+I|œ2~2ˆ)+€
Cách 2:
5 Bat
ea Jao
Trang 25Bai todn 2 =——=L_— x3 —3x?2 42x 1 2 a) Cho f(x) = Tính Jfoodx b) Cho f(x) =— Tính ffoodx x7 —x°-x4+] Giải a) Cách 1: f(%) = 1 _ 1 x3-3x2+2x - x(x? —3x+2) wees 4-4) x(x—-I)(x-2) x\x-2 x-1 =—_-—1 4(52)}(4 x(x-2) x(x-l) 2\x-2 x x 1 + 11
= [f@608x =2 Inlx~2|~ln|x~I|+ 2Inlx|+C= 2Inlx(x=2)|—In|x=I|+€
Cách 2 : (dùng phương pháp đồng nhất thức) 1 eS pe A,B Cc “šœ-D@&-2 x x-l x-2 _ A(x =1)(x =2)+ Bx(x —2) +Cx(x 1) ” x(x —1)(x-2) f(x) _ (A+B+C)x? -(3A+2B+C)x+2A ” x(x —1)(x-2)
Như vậy với mọi x e IR\{0; 1; 2}, ta phải có hệ sau :
1
A+B+C=0 A=;
3A+2B+C=0<©4B=-l
2A=l 1
Trang 261 1 1
> Jfoodx =zInlx|~la|x=I|+ In |x —2)+C = SI fx(x —2)|—In|x-]+C
b) Cách 1 : f0) = 1 _ 1 $4(4-4) x3—x2-x41 0 (x+I(x-l)? 2 x-I(x-l x+l oe 1 1 po -HA-4) 2(x-U2 2@-D@&+D 2 @x-Ð2 4(x-l x+l : In 2 x-l 4 |x+l Cách 2 : (dùng phương pháp đồng nhất thức) -1)2 f(x)= 1 — A, BetC _ A(x=1)? +(Bx+ OR +)) (x+U@&-U2 x+l (x=1)? (x+!)(x=1)2 _ (A+B)x?+(B+C-2A)x+(A+€) (x+1)(x=1)?
Như vậy với mọi x € R\{-1; 1}, ta phải có hệ sau :
Trang 27DANG 4 Nguyên hàm của ham căn thức
1 PHƯƠNG PHÁP
Một số lưu ý khi tính ngun hàm có chứa dấu căn như sau :
a
=un (u>0)
~ Khử dấu bằng bằng cách nhân lượng liên hợp
~ Thường đồi biến : đặt t = Nu(x) > t =u(x)= n.tfÌđt =0 1{x)dx Với u là hàm số theo X, ta CÓ :
~ Dùng công thức biến đổi căn
[=2h+e (u(x) >0) © Truong hợp đặc biệt : u = ax + b (a # 0) : du 1 =—2Vax+b+C on a 2 CÁC BÀI TỐN
Bai tốn 1 Tìm các nguyên hàm sau :
Trang 28=Il|+-+C=In x2+Il+—L—+c 22 2(x2+I)
đài toán 2 Tìm các nguyên hàm sau :
a) Jha: b) J «x of ze
(vx+1-1) Vi+Vvx (1+x2)°
Giải
1=(+ >dx=2(t+l)dt
apa? tee er oH)
Trang 29ở [_-“—= => 1 x (L+x?)` lạ: Vee dt =—*_dx Đặt : t=vI+x? VI+x? 2 =l+x2 =[—S_- a lee te V1+x? fey Pt
DẠNG 5 Nguyên hàm của hàm số lượng giác
1 PHƯƠNG PHÁP
> Với u là hàm số theo x, tacd: * foosudu =sinu+C
* fsin udu =-cosu+C
af 4 du = f (1+ tan? udu = tanu+C
cos? u
1
——du = [ (1+ cot? u)du =-cotu+C
$ lay J > Trường hợp đặc biệt : u = ax + b (a # 0) ° [eos(ax +b)dx = | sinfax +b) +C a + Jsin(ax +b)dx = ` +b)+C a 1 2 1
$ Fey (ax + b)]dx =o tenant b)+€
1 1
—.———-dx = [[1+ cot? (ax + b)Jdx = ——cot(ax +b) +C
“ng It I a ( )
Trang 30> Tinh J£coax với
_asinx+Bcosx _ u(x)
f 2„g2 2+b2x0
œ) asinx+bcosx v(x)’ (a +0, a7 th” v )
Biến đổi : f(x) = Â10)+Bv 0)
v(x)
— A(asin x+bcos x)+ B(a cos x —bsin x)
asinx+bcosx
_ (aA —bB)sin x +(Ab +aB) cos x
asin x + bcosx Dùng phương pháp đồng nhất thức :
(aA —bB)sinx +(Ab+aB)cosx= asinx+PBcosx, Vxe Dự
“p suy ra Ab+aB=B A và B Suy ra:
_ƒA.v(x)+B.v(x) - v(x) -
[teox= [NT dx =f Adx +B] ae dx = Ax +Bln|v(x)|+C
Nhắc lại một số công thức lượng giác thường gặp :
® sin2a = 2sina.cosa
© cos2a =cos? a—sin? a =2cos?a-1=1-2sin2a sina = 2 1+t? a 1-1? ® t=tan— = cosa =-—> l+t tan a = 2 1-t? 3cosa +cos3a e cos3a = 4cos°a—3cosa „ cos a =
A a 4 ở 3sina —sin 3a
e sin3a= 3sina-4sina ; sin} a =
Trang 31cosa.cosb = 7 [eos(a —b) + cos(a £ )] ® sina.sinb =2 [eos(a ~b)~cos(a+ )]
° sina.cosb =2 [sin(a —b)+ sin(a + b)
2 CÁC BÀI TỐN
Bai tốn 1 Tính các họ nguyên hàm sau : 3)[—T— b) [sinxIn( l+cosx)dx ; sin4 xcosx’ Giải -j{e cos xdx 3)Ï—T——
Dat : t= sinx > dt = cosxdx
MP
sin4 x cosx sint x(l- sin? x)
sin? x cosx “lage
1, |t “Aglt 1 17 2 |t-I| t 1, |sinx+l = In|— 2 |sinx-l
vy fine * dx = f tan? x(1+tan? x) a
Trang 32c) Dat t= 1+ cosx => dt =— sinxdx > [sinxIn(I+eosx)dx = -fin tdt
1
Đặt: u=lnt -® dụ= cá dv=dt v=t
> Jsinx.in (1+ cosx) dx =-[tint~[dt]=—tIint+t+C
=(1+cosx)[1—In(1+cosx) ]+C
d) Dat : t= sinx => dt = cosx.dx
= Joss xdx =[d-sin? x)2.cos x.dx =[d-24t =[d-?2 +t#)dt
3x 4s ind
ate 84) 8 4cesinx—Zsin x+=sin”x+C
3 5 3 5
Bai todn 2 Tính các họ nguyên hàm sau :
sin x cos? X 4 a) x 5 b) ng 1+cos? x la = I+eosx ` c) J xsinx.cos?xdkx ; 4) f tan4 xdx 5 e) fiané xdx; f) [tnŠ xdx Giải 2 dt = —2sin x cos xdx a) Dat: t=1+cos“x> 2 cos" x=t-1 i 3 sin Xx cos” x 1r(t-Ddt 1 ( 1) >Ì|—:= =-—||1 |dt J 1+cos? x 2Ì t 2Ì t = tttinft+c=—1a+cos? x) +4 in|1 +c0s? x[+C 2 2: 2 2 b) J dx =f sin xdx =Í sin xdx
sin xV1+cosx sin? xV1+cosx (1-cos? x)\Ï+ cosx
2tdt =—sin xdx
cosx=t2—l
Đặt : teitsexiEeIses>]
Trang 332tdt
> lal Viteosx - reap (2- yt _ faa -2)
a
“(es 2 ~ai4 Í EmH Band
1 1 1 s
=> sÍÍ<g ⁄2 ng”
“sees
Vit eosx -v2| , 1 +C, “ng "li Ni eosx +V2|" X]+cosx ng
€) J xsinx.cos?xdx = ;Í xsin x(I+ cos2x)dx
= 4 fxsinxdx +4 fxsin x cos 2xdx
2 2
7 5 fxsinxde + FJ xGin3x —sin x)dx
= 1 fxsinxdx-++ { xsin3xdx
4 4
., fu=x du = dx
Đặt : >
dv = sin xdx v=-cosx
= + fxsinxdx =1[-xcosx + foosxdx ]=-+xeosx+4sinx +
4 4 4 4
du = dx ¬=
Đặt : : > 1
dy = sin 3xdx V005
= +f xsin3xdx at —xe0s3x ++ feos 3xdx =~ ixcosixi st sindx EC
4 4 3 4 36
d) ftan4 xdx = fant x-1).dx +Ídx = J (tan? x—1)(tan2 x+1)dx + [dx
tan? x
= J (tan? x —1d(tan x) + f dx = —tanx+x+C
Trang 34e) ftan® xdx = | (tan® x +1)dx — Í dx
=[(tan? x+1)(tan4 x—tan? x+1)dx—[ax
= f(tan4 x —tan? x+1)d(tan x)-fax
5 3 tan? x tan”x = Ss +tanx—x+C 5 ind int SH" X sin"x f) [tan xdx =f z dx =f 3, sin xdx cos? x cos? x
Dat : t= cosx => dt =— sinxdx
-12)2 242 44 = ftan5 xax =-j = daft Tá
1 1 1
=-[g#+2[sa- [ta
= ~-È —Inl|+C= mm —In|eosx|+€
4cos4x cos2x
Bai todn 3 Tính các họ nguyên hàm sau :
Sỉn X =€0S X dx
a) jk ; sinx +2cosx b) J: 4sinx+3cosx—5
dx 1.» 1 1 ©)Ì————; d) | —sin—cos—dx; Fomor I x Xx dx e) | dx aes —sinx Giải a) Dùng phương pháp đồng nhất thức ta có :
Trang 35Đồng nhất hệ số : (A—2B)sinx + (2A +B)cosx = sinx —cosx A-2B=1 — |AT75 eS 2A+B=
sin x —cos x 1 psinx +2cosx (sinx +2cosx)'
J - dx =-=f - a3!
sin x +2cosx sinx +2cosx sin x +2cosx
=—Äx— Inlsinx+2eosx|+C 5 5 1 2dt at =4{t+tan? © )ax ox = 28, # x 2 2 1+? b) Đặt t= tan—= 2 1-1? sinx = I+Ở dx 2dt => f——* 4sinx +3cosx—5 (1+t?) dt ‘la “lop of 0
sin? x —Ssinx.cosx cos? x(tan? x —5 tan x)
Đặt : t= tan x = dt= 2 dx cos* x dt 1 1 ool =——" ==l|—— lút
1= Ssin x.cos x lạ anally 1)
"m.i THÔI co,
Trang 361.1 1 $ lr
=> J ysin eos dx = -Ƒsin t.cos t.dt = ~Join 2tdt
= feos 2t+C =1eo2+C
x T
cos| x+— |dx
dx 1 dx 1 ( 3
9 ieee a! oos{ x + Ầ mst 1-sin?(x+2) T1
Dat: tsin( +2) a = oos{ +2 dy
dx 1z dt 1 1 1 = kk = - = | 5 = - |] — - Itt (arene sla 4 (4 4) sin{ x2 }-1 =- n1 c=-1n—À—6_— lc t sin x42} 1 mm | Phương pháp nguyên hàm từng phần
Ta có : judv = uy= [ vdu
DANG 1 Tim nguyên hàm : [P(&«).mQ()dx
1 PHƯƠNG PHÁP
« Đặt {i =InQ(x) 5 In ý
dv=P(x)dx v=?
° jP@&) InQ(x)dx =uv -[vdu 2 CÁC BÀI TOÁN
Bai todn 1 Tinh :
a) fvxin xdx; b) Íx.Ind+x2)dx Ệ €) jx? In(2x)dx
Trang 3736 u=Inx a) Dat: bon an > =[Xinxd= 2xx Inx us In(1+x2) dv = xdx b) Đặt : | 1+x? = fxind +x?)dx = u=ln2x dv=x?dx c) Dat: | Giải du= Láx x 2 =x 3 I4 v= đức ~[Ndx=2xVxInx=axVx+C 2x du= dx 1+x? 1+x2 v= 2 l+x2 x?
In(I+x?)- Í xdx = n(t + x2) — [ xdx 7 int InI+x?)=—+C x2)
du = ax 2x xã v=— 3 3 3
> fx? In(2x)dx = XS in(ax) 2 fx2ax = Sinan) Ex +C
đài toán 2 Tính : a) [(2x+1).In(%+1)dx; c) Jxin2(x-+Ddx u=ln(x+l) a) Đặt : dv=(2x+l)dx In(sin x) ii: b) f sin? x Gidi 1 du =——dx > x+I v=x2?+x
> Jex+D.In(x +I) dx =(x? +x)In(x +1)= f xdx
2
Trang 38u =ln(sin x) _ C0SX du dx = cot xdx b) Dat : dv=— 5 dx 1 > sinx sin? x v=-cotx In(sin x) Z 2
> J =] dx = —cot x In(sin x)+ [cot xdx
sin* x
=-cot x In(sin x+ƒd +cot2 x)dx — [dx =~cot x Ïn(sin x)— cotx—x+€
5 dụ=atŒ&+Ù u=ln“(x+l) ss x+l dv = xdx v= x? -1 2 dx c) Dat: | 2
=> Íx.In?(x+1)dx = 7 In? (x +1) (x=1) In(x + Idx
1 v (ey dae TÚM Dat: > dv = (x-1)dx yo X22 2K=3 _ (K+ 1X3) 2 2 2_ x 5 Ì m2 +0)-2[& +])(x~3)ln(x +1)-J(x-3)dx] > Jxin2(x + Dax = De == 5 * in? (x41) =3 (+ 1x —3) n(x 41) +5 x2 3x +C
DANG 2 JPco.(sin x, cos x,e* Jax
1 PHUONG PHAP
u=P(x) => du = P'(x)dx
Dat
dv =(sin x,cosx,e*)dx = v= fsinxdx (v=[cosxdx,v= [e*dx } ° fPco,(sin X,COS x,0% dx = uy= [ vdu
Trang 392 CÁC BÀI TỐN Bai tốn 1 Tính : a) Jx**dx 3 b) f (x? —1)cos? xdx ; c) j*? cos2xdx ; d) [+ sin? x Giải du =3x2d > "XD [x9e*dx=exx3 ~3[x?e*dx v=ex du = 2xdx => v=e
> ) =e) ~3[e*x? = 2] xeXdx | =e%x3 —3e%x? +6f xe*dx
u=x du=dx
Đặt : >
dv=e*dx v=e
> ) =e%x3 —3e%x? +6[xe* ~Jerax]
=eXx3 ~3eXx2 + 6xeX — 6eX +C
b) Í (x2 —1)cos2 xdx =5 Joe =J(I+eos2x)dx
-sÍ(# =I) ax +5 f(x? ~1]eox2xdx ® Tính : sis? ~1)dx “em ~zx+C/ « Tính : 51x =1)cox2xdx du = 2xdx axe Đặt: J)=X ; > 1 dv =cos2xdx ý =zsin 2x
= 5 (x? -1)oox2xdx =z -1)sin 2x~2 [xsin2xủx ()
Trang 40s Tính : J xsin2xdx
du = dx
u=x
Đặt: 5 = 1
{or a WmE cos ox
3 1 1 1 II
> Íxsin2xdx =~ x c0s 2x +— | cos2xdx =->xcos2x +—sin2x+C,
2 2 4
() =5)(? =1)cox2xdx =4(? =1)sin 2x-2|~2xeot2x +ayïn 2x+€, | =4(x2 =1)sin2x +x eos2x—4sin2x-+C 4 4 8
Vậy :
fo? ~1) cos? xdx ws ~ax+- (x2 ~l]sin2x + ~xeos2x—2 sin 2x +,
6 4 §
=2 =x2 du = 2xdx
c) Dat : u > Ht x
dy = cos 2xdx v= sin 2x = fx? cos 2xdx - sin 2x ~[xsin2xdx
du = dx
Đặt : uex : > 1
dv = sin 2xdx v= +02