Chuyên đề Hình giải tích trong mặt phẳng Phương trình đường thẳn

Lập phương trình đường thắng qua Ä⁄ 2: 1 và tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bang 4... Nhớ tính chât các đường trong tam giác như đường cao, đường trung tuyên, đường tru

Trang 1

Bese

Fe" SIỆ"

BÀI GIẢNG CHUYÊN ĐÈ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

TRONG MAT PHANG

Trang 2

CHUYEN DE HINH HOC GIAI TICH TRONG MAT PHANG

§ 1: DUONG THANG

A LY THUYET

1 Dinh nghia vé vecto chi phuwong (vtep) va vecto phap tuyén (vtpt)

Vectơ chỉ phương của đường thing

Vectơ 7 # 0 được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng A nếu giá của nó song song hoặc trùng với A

— Nếu là một VTCP của A thì #w (k # 0) cũng là một VTCP của A (nói cách khác một đường thắng có vô

số vtcp, các vecto này sai khác nhau bởi một hằng số & Z0 )

— Một đường thang hoàn toàn được xác định nêu biết một điểm và một VTCP

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Vectơ 7i z 0 được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thắng A nếu giá của nó vuông góc với A

— Nếu ñ là một VTPT của A thì #ñ (k # 0) cũng là một VTPT của A

— Một đường thắng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTPT

- Nếu # là một VTCP và 7 là một VTPT của A thì a L 7

2 Phương trình đường thẳng

a Phương trình tham số của đường thắng

Cho đường thắng A đi qua M@ o(Xe;:7¿) Và có vtcp # = („,;u„) có phương trình là

Gọi k là hệ sô góc của A: k= tanœ, với œ= x4y, œ # 907

Điểm M(x;y) eA ©3teR: |

Trong trường hợp u¡ = 0 hoặc u; = 0 thì đường thăng không có phương trình chính tắc

c Phương trình tổng quát của đường thẳng ax+ by +c =0 với a? +b? #0

- Nếu A có phương trình ax + by +c =0 thiA co vipt là ñ = (a;b) và vtcp ở = (—b;a) hoặc ở = (b;—a)

- Nếu A đi qua Ä⁄¿(xạ;yạ) và có vtpt 7 =(a;b) thì phương trình của A là: a(x— xạ) + (y— yạ) = Ö

Trang 3

c=0 ax+by =0 A đi qua gốc toạ độ O

- Nếu A qua hai điểm A(a;0), B(0;b) (a, b z 0) thì phương trình của A: + =1 (goi la phương trình

a đường thắng theo đoạn chắn)

- Nếu A qua điểm Ä⁄¿(xạ;yạ) và có hệ số góc k thì phương trình của A: y„— „ = &(x— x„) (gọi là phương trình đường thẳng theo hệ số góc) _

3 Vị trí trơng đối của hai đường thang

Hai đường thẳng Ai: ax+b,y+đ =0 và A¿: ax+b,y+e; =0 Toạ độ giao điểm của A¡ và Aa là

nghiệm của hệ phương trình: ll ‘eae a (i)

4 Góc giữa hai đường thăng

Cho hai đường thăng A¡: øx+5 y+c¿ =0 có vtpt 7 =(a,;b,) va

A, LA, & a,a, + bb, =0

Cho hai duéng thing Ay: y=k,x+m,,Ao: y=k,x+m, :

+ Nếu A¡ /J AÁa © kì =k

+ Néu A; L Ap & ky ky =-1 ;

5 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho đường thắng A: øx+ by + e = 0 và một điểm M⁄,(xạ; „ạ) thì khoảng cách từ Mạ đến A là

Trích trong tập 10 chuyên đề OTĐH” 2 https://www.facebook.com/trithuc.viet.37

Trang 4

lax, + by, + c|

a’ +b?

6 Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng

Cho đường thăng A: ax+ by + = 0 và hai điểm M(x„;y„), N(x„;yy) £ A

d(M,,A)=

— Hai diém M, N nam cùng phía đối với A © (ax, +by,, +c)(ax, +by, +c) >0

— Hai diém M, N nam khác phía đôi với A © (ax, +by,, +c)(axy + by, +c) <0

7 Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thang

Cho hai dwong thang Ay: ax+by+c, =0 va Ao: ax+b,y+c, =90

Phuong trinh cdc duéng phan gidc cia cdc géc tao béi hai duéng thang A, va A> cat nhau là:

axtbhy+q, _ + axt+by+e,

Ja; +b, ˆ Va; +b;

B CAC DANG BAI TAP THUONG GAP

Dang 1: Viét phwong trinh đường thang

Phuong phap:

1 Đê lập phương trình tham sô và phương trình chinh tac của đường thăng A ta cân xác định:

X=X, + tu, Một điểm M o(Xa:7¿) EA và một vfcp # = (w,;1,) Khi đó phương trình tham số của A: | ,

Y= tu,

Phương trình chính tắc của A: 4a Eo (u¡ + 0, uy #0)

2 Đề lập phương trình tổng quát của đường thắng A ta cần xác định:

Một điểm 4⁄, (xạ; yạ) eA và một vtpt n= (a:b) Khi đó phương trình của A: ø(x — xạ) + ð(yT— yạ) = 0

3 Đường thăng A đi qua hai đểm 4(x,;y„) ,B(w;; y;)(Với x„ # x;, y„ # y; ) có phương trình là

X-#¿ _ Yrs

Xg —*X„ ˆ va Fa

4 Duong thang A đi qua hai điểm A(a;0), B(0;b) (a, b # 0) có phương trình là * tr =]

a

5 Duong thang A di qua diém M,(x,;y,) va c6 hé s6 géc k có phương trình là y— yạ = &(x — xạ)

Loại 1: Sử dụng phương trình đoạn chan

THÍ DỤ MINH HỌA

Thí dụ I: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Lập phương trình đường thắng qua Ä⁄ (2: 1) và tạo với các trục tọa

độ một tam giác có diện tích bang 4

Trích trong tập 10 chuyên đề OTĐH”

ab|=8

https://www.facebook.com/trithuc.viet.37

Trang 5

Khi ab=-8 thi 2b+a=-8 Taco: b? +4b-4=0 3 b=-2+2v2

Với b =-24 2V2 = d, :(1-V2x)+2(14+V2)y-4=0

Thi du 2: Trong mat phang toa d6 Oxy, cho hai diém M (3; 1) va I (2:-2) Viết phương trình đường thẳng đ

đi qua và cắt trục Ox, Oy lần lượt tai A va B sao cho tam giác IAB cân tại 1

a=b+4 V6i a =—b, thay vao (1) ta duge a = 2;b = —2 nén phuong trinh duong thang d la x- y—2 =0

Voi a=b+4, thay vao (1) ta duge (a;b) = (6;2) hoac (a;b) = (2;-2)

Từ đó, phương trình đường thẳng đ là x+3y—6=0 hoặc x— y—2=0

Vậy có hai đường thắng thỏa mãn yêu cầu bài toán là Z :x+3y—6 =0 hoặc đ:x— y—2=0

IA= 1B © v|(a—2)) +(0+2)) =4|(0—2)? +(b+2)” ©|a~3|=+2le|

dương các trục tọa độ Ox, Oy thứ tự tại P, Q sao cho diện tích tam giác OPQ nhỏ nhật Thí dụ 3: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(3;1) Lập phương trình đường thắng d qua A và cắt chiều

Giải:

Từ giả thiệt ta có P(z;0);@(0;5),a > 0,5 >0

Đường thăng d có phương trình: 7 ia =]

Ta có Syop9 = = ab > v3 Nên S„„„„ nhỏ nhất (= V3 ) khi va chi khi

Vậy đường thắng d có phương trình: n + = =]

Trang 6

a= 3b =6

Ma OA+30B =a+3b> 2V3ab =12 > (OA+30B),,,, =12243 1 2%

a b Phương trình đường thắng d là: etal ©x+r3y-6=0

Gọi M là giao điểm của hai đường thắng đ,,đ, thì M(4;3)

OL + = = = (trong đó H là chân đường cao hạ từ O xuống AB

Xét tam giác OAB vuông tại O ta có:

của tam giác OAB)

2 |

ê

OA’

Khi đó d nhận véc tơ OM làm véc to phap tuyén OM = (4;3)

Phương trình đường thắng đ :4x + 3y— 25 = 0

Thí dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông cân tại A Biết phương trình cạnh BC là

(4):x+7—31=0, điểm W(7;7) thuộc đường thắng AC, điểm M (2;—3)thuộc AB và nằm ngoài đoạn AB

Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

Giải:

Đường thắng AB đi qua M nên có phương trình ø(x—2)+b(y+3)=0 (a’ +b’ # 0)

“ Trich trong tap 10 chuyén dé OTDH” 5 https://www.facebook.com/trithuc.viet.37

Trang 7

_ |a+7b) |e 4b

15042? +? 4a =-3

Nếu3z = 45, chọn a = 4, b = 3 ta được (8)-4xsaysi=0 (4C):3x-4y+7=0

Từ đó 4(-1;1)và 8(-4;5) Kiểm tra M8 =2M4 nên M nằm ngoài đoạn AB (thỏa mãn)

Giải:

Theo bài (C ) có tâm7 (1;—1), bán kính R =x/10

Giả sử tiếp tuyến có phương trình A': ax+by+ec=0, (2? +? z0)

Vậy có 4 tiép tuyén paige: —=3x+y—6=U; -3x+y+l4=0; x+3y+l2=0; x+3y-8§=0

Gọi VTPT của AC la i, = (a;b) voi a> +b? #0

Do AABC cân tại A nên các góc B và C đều nhọn và bằng nhau

Trang 8

Giải:

4x+3y-4=0 =-—2 Tọa độ của A nghiệm đúng hệ phương trình: 4 OY & * => A(-2;4)

x+2y—6=0 y=4 4x+3y-4=0 =]

Tọa độ của B nghiệm đúng hệ phương tình : 1 0 of" 9 > B(b0)

Đường thắng AC đi qua điểm A(-2;4) nén phương trình có dang:

a(x+2)+b(y—4)=0 © ax+by+2a~— 4b = 0

Gọi A;¡ :4x+3y—-4=0;A;:x+2y—-6=0;A; :ax+by+2a— 4b =0

Từ giả thiết suy ra (A;;A;) =(A,:A;) Do đó

+ Voia=0 >b#0.Dod6 A,:y—4=0

+ Với 3a — 4b = 0: Có thể cho a = 4 thi b = 3 Suy ra A, :4x+3y—4=0 (tring voi A,)

Do vậy, phương trình của đường thăng AC là y - 4= 0

Sau khi tìm được tọa độ điểm A va B Tim toa diém B’ đôi xứng với B qua duong thang AD

Duong thang AC la duong thang di qua A va B’

Toa do diém C= ACABC= Toa do diém C

Thi du 5: Trong mat phang với hệ trục toạ độ Oxy cho cho hai đường thẳng đ,:2x—y+5=0

đ, :3x+6y—7=0 Lập phương trình đường thắng đi qua điểm P(2;-1) sao cho đường thăng đó cắt hai

đường thăng đ¡ và đ; tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường thắng d), dp

Giải:

Đường thắng dị có vectơ chỉ phương a, =(2;—l); d› có vectơ chỉ phương a, = (3; 6)

Ta co: a,.a, =2.3-1.6=0 nén d, Ld, vad, cat dp tai một diém I khac P

Gọi d là đường thăng đi qua P(2;—1) có phương trình: đ: 4(x— 2) + 8(y+1) =0 © 4x+8y—24+8=0

d cắt đị, dạ tạo ra một tam giác cân có đỉnh I khi và chỉ khi d tạo với dị (hoặc d;) một góc 45°

c- =cos45" ©3441 -8A4B—-3ðˆ =0<

\4?+8ˆ?4|22+(-UŸ

+Nếu 4=3ð ta có đường thẳng đ :3x+ y— 5 = 0

+ Nếu B =-34 ta có đường thắng đ :x— 3y— 5 =0

Vậy qua P có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán đ :3x+ y— 5 =0 hoặc đ:x—3y— 5 =0

Cách 2: Gọi d là đường thăng cần tìm, khi đó d song song với đường phân giác ngoài của đỉnh là giao điểm của dị, dạ của tam giác đã cho

Các đường phân giác của góc tạo bởi dị, d; có phương trình

A=3B B=-3A

Trang 9

l2x-y+5| _ Bx+6y—-7| 3x-9y+22=0 A,

Giả sử AB qua 4(2;6) và có véc tơ pháp tuyến là: n=(a;b) voi a? +b” #0(*)

Khi d6 phuong trinh AB :a(x-—2)+6(y—6)=0=> ax+by—2a-6b=0

Giả sử AC qua A (2;6) va có véc tơ pháp tuyến là: n =(c;d) voi c? +d? #0(**)

(aˆ” +b”).(c° +đ”)= 4(ae + bđ)Ÿ (aˆ +Bˆ).(cˆ + đˆ) =4(a’c* + 2abed + b*d’);(3')

Từ hệ trên, ta tìm a, b thoả mãn (*) Tìm c, d thoa man (**),

Từ phương trình (1°) chọn b = 0 suy ra a = ]

Thé vào phương trình (3°) ta được 3c? — đ? =0 Từ phương trình này chon d = V3 > c? =1

Thê d vào phương trình (2”) suy ra c = l

Vay c6 a= 1,b=0,c=1,d=v3

Vay AB:x-2=0 va AC: x+3y—2-6v3 =0

Thí dụ 7: Cho AABC cân đỉnh 4 Biết đường thắng (4B): x + y +1 = 0; đường thắng

(BC):2x—3y—5 =0 Viết phương trình cạnh 4C biết nó đi qua 4 (11)

Giải:

Gia st AC qua M (1;1) và có véc tơ pháp tuyến là: ø =(4;b) với a? +ð? # 0(*)

Trích trong tập 10 chuyên đề OTĐH”

Trang 10

Khi đó phương trình AC :a(x-1)+b(y-1)=0> ax +by-—a-b=0

Theo bài, tam giác ABC cân đỉnh A nên ta có góc B =C hay:

\U+Ua22+(C3) va?+ø2Aj22+(C32 7 2A3 Va? +0? V13

Thí dụ I: Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy cho đường thắng d có phương trình: 2x+ 3+1 =0,

2x+3y+1=0 và điểm M(1;1) Viết phương trình đường thắng đi qua M tạo với đ một góc 45°

Gọi phương trình đường thăng cần tìm là:

A':y=k(x—1)+lL 22 >y+1—k =0 — nà: = (&;—1)

Thi du 3: (DH — D 2010) Trong mat phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(0;2) và A là đường thẳng đi qua O Gọi

H là hinh chiếu vuông góc của A trên A Viết phương trình đường thắng A, biết khoảng cách từ H đến trục hoanh bang AH

Trang 11

Giải:

Cách 1:

Xét các trường hợp

TH 1; A=Oy> H=A: khong thoa AH = d(H, Ox)

TH 2: A= Ox > H =O: khong thoa AH = d(H, Ox)

Phương trình đường thẳng A: y = kz (k # 0)

Đường thắng 4/7 1 A và đi qua A có phương trình y = _3 +2

Toạ độ H = A ¬ AH là nghiệm của hệ

Goi H(x,; )) 1a hinh chiêu của A xuống A

Ta co: AH = (X53, — 2), OH, = (X53.Vo)

Dạng 2: Bài toán viết phương trình đường thẳng và tìm điểm liên quan tới tam giác

Phương pháp chung: Đề làm tốt các bài toán liên quan tới tam giác chúng ta phải

Nhớ được định nghĩa, tính chât của tam giác như tam giác cân, tam giác đêu, tam giác vuông, tam giác vuông cân

Trang 12

Nhớ tính chât các đường trong tam giác như đường cao, đường trung tuyên, đường trung trực, phân giác trong, phân giác ngoài

Nhớ tính chất các điểm đặc biệt trong tam giác như trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp, bàng tiếp

Nhớ công thức tính diện tích tam giác, công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp

Trong dạng bài toán này chỉ giới thiệu về các đường và các điểm, có rất nhiều cách giải, nhưng cách giải chung nhất là “đường cao — vuông góc, phân giác — đối xứng; trung tuyến — trung điểm ” thường sử dụng phương trình tham số, chính tắc

Phương trình đường thắng BC có dạng x + 6y + m =0 vì BC đi qua B và vuông góc với đường thắng 6x — y

Suy ra tọa độ điểm C(24;-1)

Vậy phương trình 4€: ~3x+4y—Š5=0

Thí dụ 2: (ĐH — B 2010) Trong mặt phăng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C(-4:1) phan giac trong goc A co phương trình x + y — 5 = Ö Viết phương trình đường thắng BC, biết điện tích tam giác ABC băng 24 và đỉnh A có hoành độ dương

Giải:

Cach 1:

Goi C’ la diém doi xứng với C qua đường phân giác trong góc A nên C'{4;9) (bạn đọc tự tìm)

Đường tròn (T) có tâm /(0;5) và bán kính ® =/C =xJ32 nên có phương trình

(T):x° +(y-5} = 32

- Vì AABC vuông tại A nên tọa độ điểm 4 = (7)4 là nghiệm của hệ

x'+(y-5)=32 => y=1=> 4(4,1)> AC =8 |7

x+y-5=0 x>0

- Đường thắng AB là đường thắng đi qua A và C' nên có phương trình x—4 =0 Điểm 8 e 48 => B(4;b)

AABC vuông tại A nên

Snape = AB.AC =24= AB=6 (b-1) =6>b=7=> B(4:7)

Trang 13

Vậy phương trình của BC là: 3x + 4y — 16 = 0

Cách 2:

Vì C(-4;1) , A vuông và phân giác trong góc A là đ :x+ y— 5 = 0 song song với đường phân giác cua góc

phan tư thứ II và thứ IV nén AC //Ox > y, = yp =1> x, =4 vi Aed va x, >0 nén A(4; 1)

Mặt khác, AB vuông góc với trục hoành nên B(4;b),b >1 \

AABC vuông tại A nên

Giả sử 4M :5x+y—9=0, BH:x+3y—5=0

- Đường thẳng AC đi qua C và vuông góc với BH nên AC đi qua C và nhận Une = (3;-1) lam vtpt co

x-y+2=0 Gọi K là điểm đối xứng của H qua A thì I là trung điểm của H và K nên K(-3;1)

- Đường thắng AC qua K và vuông góc đường cao: 4x+3y—1 =0 nên có phương trình

AC:3(x+3)— 4(y—]) =0<Ằ3x-4y+l3=0

Trang 14

—4y+13= = 3x—-4y+13=0 Ũ ˆ= A(5:7) Tọa độ 4= 41DmA là nghiệm hệ: c©

- Đường thẳng CH qua H và vuông góc với HA nên có vipt HA= 2(3;4)

Phuong trinh CH :3(x+1)+4(y+1)=0

3x+4y+7=0 y — SỈ 0 3 1

Tọa độ C = CH ¬ AC là nghiệm hệ: 3x—4y+13=0 v2 3'4

CcAÁC Hoặc giải hệ: + _._ —,

Tam giác AMN có d¿; vừa là duong cao , vừa là phân giác

nên là tam giác cần tai > I la trung diém cua MN => N(1;1) B C

AC la duong thang di qua diém N(1;1) va vuông góc với dị

Diem A = AC © d; Tọa độ A là nghiệm của hệ phương

Điểm C = AC n (S) Toa dé C là nghiệm hệ phương trình :

Trang 15

Giải:

x-2y-4=0 Tx—4y-8=0

Vi AABC cAn tai A nén AG la durong cao cua AABC

Vi GA L1 BC Phương trình đường thăng

Tọa độ đỉnh B là nghiệm của hệ 2

Trang 16

A, B thuộc đường tròn (C) tâm I bán kính nen (C) có phương trình : (C) :(x— 5)“ +(y+ LÝ = =

Tọa độ A và B là nghiệm của hệ phương trình

Vì G(—2, 0) là trọng tâm của AABC nên

Thí dụ 9: (ĐH — D 2011) Trong mặt phắng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B (—4;1), trọng tâm

G(1;1) và đường thắng chứa phân giác trong của góc A có phương trình x — y—1=0 Tim toa d6 cdc dinh A

va C

Giải:

Gọi M là trung điểm của AC, ta có BM = = BG oO M Za

Gọi N là điểm đối xứng của B qua phân giác trong A của góc A và H là giao điểm của A voi đường thắng

BN

Trang 17

Đường thắng BN có phương trình : x + y + 3 = 0

+y+3=0 Tọa độ H là nghiệm của hệ phương trình : ( » 1=0 => H(-1;-2)

Xự =2X„ —x„ =2 }w =2Vw —}g =—5 Đường thăng AC qua 2 điểm M, N nên có phương trình: 4x— y— 13 = 0

Điểm A là giao điểm của đường thắng A và đường thẳng AC nên tọa độ A là nghiệm của hệ :

Dạng 3: Bài toán liên quan tới các hình

Phương pháp chung: Đề làm tốt các bài toán liên quan tới tam giác chúng ta phải

Nhớ được định nghĩa, tính chất của các hình như hình bình hành, hình thang, hình thang cân, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông

Nhớ tính chất các đường chéo của các hình, tâm đối xứng, trục đối xứng

Nhớ công thức tính diện tích các hình

Thí dụ ï: (ĐH — A 2012) Trong mặt phăng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD Gọi M là trung điểm

của cạnh BC, N là điểm trên cạnh CD sao cho CN = 2ND Giả sử M Ko và đường thắng AN có phương

trình 2x— y—3=0 Tìm tọa độ điểm A

Tương tự trong tam giác vuông CMN ta tính được ÄMN = =

Theo định lý hàm số cosin trong tam giác MAN ta co

Trang 18

Phương trình đường thắng AM: ax + by Sa -sb =0>7,, =(a;b)

2x-y-3=0

+ Với t=—+ = toa dd A lA nghigm cia he: 1°” _” 3 x—-3y—-4=0 => A(1;-1)

Vậy có hai điểm A thỏa mãn là 4(4;5) hoặc 4(1;—1)

_ 1—tan BAM.tan DAN ¬ —_ =1= NAM = 45°

tan BAM + tan DAN

Sau khi tính được MAN = 45°

Gia str diém A(a;2a—3)e AN

1 II-—-—3

Thí dụ 2: (ĐH — D 2012) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD Các đường thắng

AC va AD lần lượt có phương trình là x+ 3y =0 và zx— y+4= 0; đường thắng BD đi qua điểm w[-sa] Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD

Trang 19

Vẽ KE L AD ( e AD) > KE: | x+Š |+| y-Š =0 => E(-2;2) 6 6 D = C

E là trung điểm AD = D(-—1; 3) Giao điểm của AC và EK : /(0:0)

I là trung điểm BD = B(1;-3) 1 la trung diém AC > C(3;-1)

Cach 2:

Đường thẳng BD đi qua điểm M và có vtpt n = (a;b) có phương trình là

a{ x43] +0(y-1)= 0 © 3ax+ 3y + a— 35 =0

Loai truong hop b = 3a vi BD: x+3y-8=0//AC

&> 2a” —10ab + 3b’ =0e|

Thí dụ 3: (ĐH — B 2002) Trong mat phăng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có tâm 7 lz: ) ›

phương trình đường thắng AB là x—2y+ 2= 0và 4ð = 24D Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C, D biết rằng A

Phuong trinh duong tron duong kinh BD: la — 3) +y= = ee |

Tọa độ A, B là nghiệm của hệ: ey O if I C

Vậy bốn đỉnh của hình chữ nhật là A(-2;0), 8(2;2), C(3;0), D(-1;-2)

Trang 20

Cach 2:

Phương trình đường thắng qua I vuông góc với AB là đ :2x+ y—1=0

Tọa độ giao điểm M của d và B là nghiệm của hệ:

Thí dụ 4: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật 48CD có phương trình cạnh 4Ö:

x—2y—1=0, đường chéo BD: x-7y+14=0 và đường chéo 4C đi qua điểm E(2;1) Tìm tọa độ các

= AB=(6-2a; 3—a), BD=(1d-21; d—3); AD =(7d —2a-15; d-a)

Vì 48 L 4D > 48.4D =0 ©(3~a)(I5đ —5a—30)=0 ©a=3( không thỏa ) hoặc 3đ — a— 6 = 0

=> a =3d -6 > 4D =(ä~3;6—2d) Hơn nữa: BC =(x¿„ —7; y„ —3)

ABCD là hình chữ nhật nên 4D BC Ey “ a ata 6— 2đ = y¿T—3 Vo =9-2d

Ta có BDm 4B = B(7;3), phương trình đường thăng BC: 2x + y— 17 = 0

Điểm A e 4B > A(2a +1;a),C e BC > C(c;17— 2ec),a # 3,c # 7,

1 enzeen

=> C=(d+4; 9-2d)

là trung điểm của AC, BD

Trang 21

Điêm7 e 8D © 3c—a—18= 0 © a = 3c—18 => A(6c — 35; 3c —18)

Thí dụ 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo lả:

3x+y—7=0, điểm B (0; -3) , điện tích hình thoi bằng 20 Tìm tọa độ các đỉnh còn lai cua hinh thoi

Giải:

Vì 8(0;—3) không thuộc đường thẳng 3xz+ „—7 =0 nên

Phương trình AC: 3x+ y—7=0, 8(0;-3)

Toa d6 I= ACOBD => I(3;-2)

Do [ la trung diém BD nên (6;—])

Goi A(a;7-3a)€ AC tacd BD=2V10

Trang 22

Thí dụ 7: Cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và D có đáy lớn là CD, đường thang AD co phuong trình 3x — y = 0, duong thang BD co phuong trinh x — 2y = 0, goc tạo bởi hai đường thăng BC va AB bang 45° Viết phương trình đường thắng BC biết diện tich hinh thang bang 24 va diém B có hoành độ dương

Vecto pháp tuyến của đường thắng AD và BD lần lượt là 7, (3;—1),n; (1;—2)

=> cos ADB = = ADB= 45° > AD = AB (1)

Vecto php tuyén cia BC 1a 1,, =(2;1)

Vậy phương trình đường thẳng BC là: 2x+ y— 4,/10 =0

GoiN la trung điểm của AD, E là hình chiếu của B trên MN

Theo giả thiệt

Trang 23

V6i m=2=> A(2V3 -3;2)

Với m=2xl3 ~2= A(3—2x3;2x3 —2]

Dạng 4: Bài toán tìm điểm thuộc đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp: Đề tìm được tọa độ của điểm ta làm như sau

X =X, + at y=yạ+bi Giả sử điểm M (x; y) cA<©M (x, + ats Vy + bt) Từ điều kiện cho trước dẫn tới một phương trình theo tham

- Nếu đường thắng cho ở dạng tham số (chính tắc chuyền về tham số) có dạng A:

số t, giải phương trình này tìm t từ đó tìm được điềm M

- Nêu đường thăng cho 6 dang tong quat A: Ax+ By +C =0

Gia st diém M (xw:„ ) EAS Ax, + By, +C=0 (1) Tu điều kiện cho trước ta được phương trình (2)

Từ (1) và (2) giải ra ta được tọa độ điểm M - :

Chú ý: Thường sử dụng phương trình tham sô cho dê tính toán vì có một ân t, đương nhiên nêu cho dạng tông quát thì vẫn chuyên được về tham sô và ngược lại

Thí dụ 1: (ĐHDB 1 — D 2005) Trong mặt phăng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn

(C):x? +? ~4x—6y—12 =0 Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thăng đ:2x— y+3=0 sao cho MI =2R, trong đó I la tâm và R là bán kính của đường tròn (C)

Thí dụ 2: (HDB 1 - D 2007) Trong mặt phẳng Oxy cho diém A(2, 1) lấy điểm B thuộc trục Ox có hoành

độ x > 0 và điêm C thuộc trục Ôy có trung độ y = 0 sao cho AABC vuông tại A Tìm B, C sao cho diện tích

AABC lớn nhất

Giải:

Ta có 4(2;1),B(b;0),C(0;e) với b, e>0

Ta có AABC vuông tại A © 48.4C =0 với 4B =(b—2,—1), AC =(~2,e—1);

Do AABC vuông tại A

= 4B-4€ =~2(b~2)—(e~1)=0e~1=~2(b~2)=>e=~2b+5>0=0<b<Š

Ta lại có S„„„ = 24B.AC = =e -IŸ +HJ4+(e—1Ÿ

Trang 24

Viết phương trình đường AB: 4x+3y—4=0 và 4B =5

Viết phương trình đường CD: x—4y+17=0 và CD=J17

=f

Phuong trinh tham so cua A: ( 34-5" MeA= M(t; 3t— 5)

y=3t- Theo giả thiết Š,„; = S„„„ © đ(M, AB).AB = d(M,CD).CD

©/=-9ví =< => M(-9;-32), u(Z2|

Vay co hai diém can tim 14 M(—-9;-32) v M ($2)

Thí dụ 4: (ĐH - B 2009) Trong mặt phẳng với hé toa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh 4(-1;4)

và các đỉnh B, C thuộc đường thắng A: x— y— 4= 0 Xác định các điểm B và C biết diện tích tam giác ABC

Trang 25

Hoặc Ø(m;im — 4) 6A vì C đối xứng với H qua B nên C(7—m;3-m)

Goi H là hình chiêu cua diém A a đường thăng A, suy ra H là trung điêm của BC

Trang 26

Thí dụ 5: (ĐH - B 2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(2;2) và các đường thắng

đ.:x+y—2=0;đ, :x+ y—§=0 Tìm các điểm B và C lần lượt thuộc dị và d; sao cho tam giác ABC

vuông cân tại A

Goi H là hình chiêu của M lên BC; ta có :M⁄H = đ(M; BC) = ¬ =42

Vi AABC can tai A va BAC =120° > HMC =60 Taco: OS = IC

"` Ce BC:x-y+3=0=> C(a;a+3) voi a > 0

Vi MC =2V2 © MC? =8 8 (a—1) + (atl)? =8 Oa? =3 04a=V3 = C(V334 V3)

Noi dai AH cat đường tròn (C) tâm I tại đêm H"

= BC đi qua trung điêm HH' Phương trình AH : x= 3

Đường tròn (C) có phương trình: (x+2)” + y? =74

HỈ là giao điểm của AH và đường tròn (C) > H'(3; 7)

Đường thăng BC có phương trình: y = 3 cắt đường tròn (C) tại điểm C có hoành độ là nghiệm

phương trình : (x+2)“ +3” = 74

—= x=65 —2 (lấy hoành độ dương): y = 3

Vậy tọa độ điểm cần tìm là C( Vos — 2;3)

Cach 2:

Gọi (C) là đường tròn tam I(—2;0), ban kinh R = [4=J74

Phương trình đường tròn (C) : (x+2)” + y7 =74

Gọi AA¡ là đường kính > BHCA; là hình bình hành

—= HA; qua M trung điểm BC

Ta có IM là đường trung bình của AA¡AH

Trang 27

Phương trình BC qua M và vuông góc AH: y-3=0

(x+2)}' + y” =74 Toạ độ C thoả hệ phương trình : ‡ y— 3 = 0 & |

Thí dụ 8: (ĐH — B 2011) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thăng A : x— yT— 4= 0 và đ : 2x— y—

2 =0 Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d sao cho đường thắng ON cắt đường thăng A tại điểm M thỏa man OM.ON = 8

Giải:

Cách 1:

=at Phương trình ON có dạng Ũ ĐH (a° +b’ #0), N(at,; bt,) va M (at,; bí, )

Ta có: OM.ON = 8 © aa +77 bana +; =8 © a” +b? =|a— b|Pa- b|

Vớin= : thi m= 6, ta có diém M (6;2); »[ $3)

BAI TAP VAN DUNG

Trang 28

Bai 1: Trong mat phang toa dé Oxy, cho diém M (131) và hai đường thắng đ, :3x— y—5 =0,

đ,:x+y—4=0 Viết phương trình đường thắng d đi qua điểm M và cắt dị, dạ tương ứng tại A, B sao cho 2MA- 3MB =0

Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thắng đ, :x— y—2=0; đ;:2x+y—5 =0 Viết phương trình đường thắng A đi qua gốc tọa độ O cắt đ.; đ, lần luot tai A, B sao cho OA.OB = 10

Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường thắng A:3x—5y+2=0 và hai điểm A( -1; 2), B( 4; - 3) Viết phương trình đường thắng A; vuông góc với đường thắng A đồng thời khoảng cách từ 8 đến đường

thắng A, bằng ba lần khoảng cách từ 4 đến đường thăng A,

Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thắng dị: 3x+ „+5 =0, dạ: 3x+y+l=0 và điểm /(1;-2) Viết phương trình đường thang di qua J va cat dị, d; lần lượt tại 4 và B sao cho 4B = 2/2

Bài 5: Trong mặt phăng Oxy, cho hinh vudng ABCD co M là trung điêm của cạnh BC, phương trình đường thăng

DM:x— y—2=0 và C(3;—3) Biết đỉnh A thuộc đường thắng đ : 3x + y— 2 =0, xác định toạ độ các đỉnh A, B, D

Bài 6: Trong hệ toạ độ vuông góc Oxy, của mặt phẳng, hãy xác định toạ độ các đỉnh của tam giác nhọn ABC

biết chân đường cao lần lượt hạ từ đỉnh A, B, C là 77, (4;-1), H, (1:5), H, (-4;-5)

Bài 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có phương trình 2 cạnh AB, AC lần lượt là:

x+2y—2=0 và 2x+y+1=0, điểm 1⁄(1;2) thuộc đoạn BC Tìm tọa độ điểm D sao cho D8.DC có giá trị

nhỏ nhất

Bài 8: Trong mặt phăng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thăng AB, BD lân lượt

là x—2y+1=0 và x—7y+14=0, đường thăng AC đi qua M(2;1) Tìm toạ độ điệm N thuộc BD sao cho

NA+NC nhỏ nhất

Bài 9: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có tâm7 33] , hai điểm A,B lần lượt nam trên đường thắng x+ y— 3=0 và đường thắng x+ y— 4= 0 Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông Bài 10: Trong mặt phăng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đường cao BH có phương trình

3x+4y+10=0, đường phân giác trong góc A là AD có phương trình là x — y +1 = 0, đêm M(0;2) thuộc đường thắng AB đồng thời cách C một khoảng bằng V2 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC,

Bài 11: Trong mặt phăng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có phương trình đường thăng

AB,AC lần lượt là 2x+ y—3=0 và x+2y—3 =0, đường thắng BC đi qua điểm 7(0;—1) Hãy xác định toa

độ các đỉnh A,B,C -

Bài I2: Trong mặt phăng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang vuông ABCD vuông tai A va D, diém A, B thuộc trục Ox, đường thăng BC có phương trình x + y— 5 = 0, độ dài đoạn thăng AD = 2 Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang biết diện tích hình thang bằng 12 và tung độ các điểm C, D dương

Bài 13: Trong mặt phăng tọa độ Oxy, cho tam giác 48C có trung điêm cạnh 48 là M/(—1;2), tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là /(2;—1) Đường cao của tam giác kẻ từ 4 có phương trình: 2x+ y+1=0 Tìm tọa

độ đỉnh Œ

Bài 14: Trong mặt phăng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có B(—12;1), đường phân giác trong góc 4 có phương trình: x + 2y— 5 = 0 Trọng tâm tam giác ABC là G [s2] Viết phương trình đường thắng BC Bài 15: Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình đường thắng A sao cho A tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng = va chu vi bang 15

Bài 16: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông OABC có đỉnh A(3;4) và điểm B có hoành độ âm

Trang 29

a Tim toa độ các đỉnh B và C của hình vuông OABC

b Gọi E và F theo thứ tự là các giao điểm của đường tròn (C) ngoại tiếp OABC với trục hoành vả trục tung

(E và F khác gốc tọa độ O) Tìm tọa độ điểm M trên (C) sao cho tam giác MEF có điện tích lớn nhất

Bài 17: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy

a Cho A(1;2) va B(4;3) Tim Me Ox sao cho ZAMB = 45°

b Cho hình vuông ABCD, có cạnh AB nằm trên đường thăng d: x— y + 8 = 0 Hai đỉnh C, D nằm trên

parabol y = x? Viết phương trình tổng quát của CD

Bài 18: Trong mặt phẳng tọa dé Oxy, cho tam giác ABC với A(-1;4), B(3;0), e(-Zo), va diém

M (1; 0) trên cạnh BC Hãy xác định tọa độ điểm N trên AB và điểm P trên AC sao cho chu vi tam giác MNP

nhỏ nhất

Bài 19; Trong mặt phăng tọa độ Oxy, cho diém A(1;1) và điêm B(3;2) Tìm điêm C trên trục Ox sao cho:

a Tam giác ABC vuông tại A Tính độ dài đường cao AH khi đó

b Chu vi của tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhât

Bài 20: Trong mặt phăng tọa độ Oxy

1 Cho tam giác ABC cân tại C cạnh 48 :2x—3y+I1=0, cạnh 4Œ: x+5y—I4=0 Cạnh BC đi qua điệm

M (3; 3) Hãy viết phương trình cạnh BC

2 Cho ba điểm A(-1;-2).,B(4;—1).C(3;2) và đường thắng đ:x—2y—2 =0 Tìm M thuộc d sao cho

MA + MB + MC| đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 21: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox;, cho các điểm 41(1;3), 8(—5;—3) Xác định tọa độ điểm M trên

đường thắng đ :x— 2yp+1=0 sao cho |2M4 _— MB| đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 22: Trong mặt phăng với hệ toạ độ Oxy cho điểm A(3;4) và hai điểm B, C lần lượt thuộc hai tia Ox và

Oy sao cho A, B, C thăng hàng Xác định toạ độ điêm B và C sao cho diện tích tam giác OBC nhỏ nhât

Bài 23: Trong mặt phăng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh 4(-2;3) Đường cao CH nằm trên

đường thắng: 2x + „— 7 =0 và đường trung tuyến BM nằm trên đường thắng : 2x— „+ = 0

a Viết phương trình các cạnh và tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

b Tìm vị trí của điểm H trên trục Ox sao cho HA + HB + HC| nhỏ nhất? Tìm giá †r nhỏ nhất đó?

Bài 24: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam gidc ABC cé tam đường tròn ngoại tiếp là điểm 1(4;0) va phương trình hai đường thăng lần lượt chứa đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A cia tam giác là đ¡:x+ y—2=0 và đ, :x+2y—3=0 Viết phương trình các đường thắng chứa cạnh của tam giác

độ của A và B đêu không lớn hơn 2

Bài 26: Trong hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC, biết phương trình cạnh: (8C) :x— y+1= 0 Hai đường

phân giác trong của góc B vàC lần lượt có phương trình đ, :2x+ y—1= 0;đ, :x+ y—3 = 0 Viết phương trình cạnh AB của tam giác ABC

Bài 27: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề-các vuông góc (Óxy) cho tam giác 48C và đường thắng A có

phương trình A: x—3y—1= 0 Giả sử D(4;2), E(1;1), N(3;3) theo thứ tự là chân đường cao kẻ từ 44, chân

Trang 30

đường cao kẻ từ Ö và trung điểm cạnh 4Ø Tìm tọa dé cac dinh cua tam gidc ABC biét rang trung diém M cua canh BC nam trén dudng thang A va diem M có hoành độ lớn hơn 2

Bài 28: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A(1;1); B(—2;-4); C(5:—1) và đường thẳng A : 2x

—3y+ 12=0 Tìm điểm M4 eA sao cho: |Ä#4+ Ä4B + MCT| nhỏ nhất

Bài 29: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Óxy, cho tam giác ABC cân tại A, cạnh BC năm trên đường thắng có

phương trình x+2y— 2 = 0 Đường cao kẻ từ B có phương trình z— y +4 = 0, điểm M (—1;0) thuộc đường

cao kẻ từ đỉnh C Xác định toạ độ các đỉnh của tam giác ABC

Bài 30: Trong mặt phăng với hệ toạ độ xy, cho tam giác ABC, phân giác trong AD có phương trình x+y—2=0, đường cao CH có phương trình x-2y+5=0 Điểm 4⁄(3;0) thuộc cạnh AC thoả mãn AB=24AM Xac dinh toạ độ các đỉnh của tam giác ABC

Bài 3l: Trong mặt phăng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác 1ZC có phương trình đường thăng AB:2x+y_—]1=0, phương trình đường thăng 4C:3x+4y+6=0 và diém Ä⁄(l;—3) năm trên đường thắng 8C thỏa mãn 3MB = 2MC Tim toa dé trong tam G của tam giác ABC

Bai 32: Trong mat phang voi hé toa d6 Oxy, cho duong thang d:x-—3y-6=0 va diém N (3:4) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thắng d sao cho tam giác OM⁄N (O là gốc tọa độ) có diện tích bằng =

Bài 33: Cho (P): yŸ = x và đường thắng d: x — y— 2 = 0 ct (P) tai hai diém A va B Tim diém C thudc cung AB sao cho A ABC có điện tích lớn nhất

Bai 34: Trong mat phang voi hé toa dd Oxy, cho hinh chir nhat ABCD có diện tích băng 12 Tâm 7 là giao điểm của hai đường thắng d,:x—y—3=0 va đường thắng đ,:x+ y—6=0 Trung điểm của cạnh AD là

giao điểm của đ, với trục hoành Xác định tọa độ bốn đỉnh của hình chữ nhật

Bài 35: Trong mặt phăng tọa độ Oxy cho các điểm M (0;2), N (5;—3), P(—2;-2), Q (2;-4) lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD Tính diện tích hình vuông đó

Bài 36: Cho tam giác nhọn 445C đường thăng chứa trung tuyên kẻ từ đỉnh 44 và đường thăng ĐC lân lượt có phương trình: 3x+5y—8§=0,x— y—4=0 Đường thăng qua 4 kẻ vuông góc với 8C cắt đường tròn ngoại

tiếp tam giác 48C tại điểm thứ hai là 72(4;-2) Viết phương trình các đường thăng 4ð, 4C, biết hoành độ điểm 8 không lớn hơn 3

Bài 37: Trong mặt phăng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích băng 6, phương trình BD

là 2x+y_—12=0, AB đi qua M(5;1), BC đi qua N(9;3) Việt phương trình các cạnh hình chữ nhật biệt hoành độ của điểm B lớn hon 5

Bài 3§: Trong mặt phăng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD biệt phương trình của một đường chéo là:

3x+y—7=0,điểm #(0;-3) Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi biết diện tích hình thoi bằng 20

Bài 39: Trong mặt phăng tọa độ Oxy, cho hình thang vuông ABCD vuông tai A va D có đáy lớn là CD, đường thăng AD có phương trình 3x — y = 0, đường thăng BD có phương trình x — 2y = 0, góc tạo bởi hai đường thăng BC và AB băng 45” Viết phương trình đường thắng BC biết diện tích hình thang bằng 24 và điêm B có hoành độ dương

Bài 40: Viết phương trình đường thắng chứa các cạnh của tam giác ABC biết B(2;-1), dudng cao và

đường phân giác trong qua đỉnh A, C lần lượt là 3x— 4y +27 =0và x+2y—5=0

Bài 41: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, tìm điểm 4 thuộc trục hoành và điểm Ø thuộc trục tung sao cho 4 và ð đối xứng với nhau qua đường thắng đ :2x— y+3= 0

Trang 31

Bai 42: Trong mat phang tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(3;4), trọng tâm s[Š2)] , trực tâm H(3;3) Tìm tọa độ các đỉnh B, C của tam giác

Bài 43: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với AB = X5, đỉnh C (—-1;—1), đường thang

AB có phương trình x + 2y— 3 = 0 và trọng tâm của tam giác ABC thuộc đường thắng x+ y— 2 = 0 Tìm tọa

Bài 44: Cho tam giác nhọn 48C Đường thăng chứa đường trung tuyên kẻ từ đỉnh 4 và đường thăng 8C lân lượt có phương trình là 3x + 5y —8 = 0, x— y—4=0 Đường thăng qua 4 vuông góc với đường thăng ÖC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác 4ĐC tại điểm thứ hai là D(4:-2) Viết phương trình các đường thắng 4ð,

AC; biết rằng hoành độ của điểm không lớn hơn 3

Bài 45: Trong mặt phăng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có diện tích băng 6 và hai đỉnh

A(1;-2), 8(2;-3) Tìm tọa độ 2 đỉnh còn lại, biết giao điểm 2 đường chéo của hình bình hành năm trên trục

Ox và có hoành độ dương

Bài 46: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng = , haidinh A (1;-2),

B(-2;2) Tim toa d6 dinh C, biết trong tâm tam giác thuộc đường thăng: x + y = 0 và có hoành độ đương Bài 47: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thắng đ, :2x— y—l=0; đ,:x+2y+2=0

và điểm /(3;1) Gọi A là giao điểm của dị và dạ Viết phương trình đường thắng A di qua I và cắt dị, d; lần

Bài 48: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng 4, đường thắng AB có phương trình: x — y =0, trung điểm đoạn thăng BC la M(1;2) Tim toa độ trung điểm N của AC, biết N có hoành độ dương

Bài 49: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác 48C có đỉnh 4(2;1), trực tâm #714; —7), đường trung tuyến kẻ từ đỉnh 8 có phương trình: 9x — 5y — 7 =0 Tìm tọa độ các đỉnh ÿ và C

Bài 50: Trong mặt phắng tọa độ Oxy, cho tam giác 48C cân tại đỉnh 4, phương trình 4Ö: x + 2y— 4= 0, 8C: 3x +y—7=0 Tìm tọa độ các đỉnh 4 và C, biết rằng diện tích tam giác 48C bằng : và điểm 4 có hoành độ dương

Bài 51: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác 4C vuông tại 4, biết 8 và C đối xứng nhau qua gốc tọa độ Ó Đường phân giác trong góc Ö của tam giác 4C là đường thắng (đ): x+ 2y— 5 =0 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác 48C, biết đường thắng 4C đi qua điểm K (6; 2)

Bai 52: Trong mat phang voi hé toa dd Oxy, cho tam gidc ABC cé dinh A(3;—4) Phuong trình đường trung trực cạnh 8C, đường trung tuyến xuất phát từ Œ lần lượt là x+y—1=0 và 3x—- y—9=0 Tìm tọa độ các đỉnh B, Ccủa tam giác 45C

Bai 53: Trong mat phang toa d6 Oxy, cho tam giac ABC co AB= AC dinh A(6; 6), duong thang Adi qua

trung điểm của các cạnh 4Ø và 4C có phương trình (me R) điểm P(1;— 3) nắm trên đường cao

đi qua đỉnh C của tam giác ABC Tìm tọa độ các đỉnh Ø và C

Bài 54: Trong mp tọa độ Oxy, cho AABC có A(2; ;5)» B(-4;0), C(5;-1) Viết phương trình đường thắng đi qua

A và chia AABC thành 2 phần có tỉ số diện tích bằng 2

Trang 32

Bài 55: Trong mặt phăng tọa độ Oxy, cho tam giác 48C có đường phân giác trong kẻ từ 4, đường trung tuyến kẻ từ ö và đường cao kẻ từ C lần lượt có phương trình: x + y— 3 = 0,x— y+1=0,2x+y+1=0 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giac ABC

Bài 56: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi 4BCD có 4(1; 0), 83; 2) và ABC =120° Xác định tọa d6 hai dinh C va D

Bai 57: Trong mat phang toa dd Oxy, cho hinh chir nhat ABCD có diện tích bang 16, cac duong thang AB,

BC, CD, DA lần lượt đi qua các điềm M(4;5), N(6;5), P(5;2), Q(2;1) Viết phương trình đường thang AB

Bài 58: Trong mặt phăng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có diện tích § = 4, biêt A(1;0), B(2;0) va giao diém I của hai đường chéo AC và BD năm trên đường thăng y = x Tìm tọa độ các đỉnh C, D Bài 59: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác 4BC có 4B = X5, C(-1;-1), duong thang AB cd phương trình là x+2y—3=0 và trọng tâm Ở của tam giác 4C thuộc duong thang A:x+ y—2=0 Tim

Bài 60: Trong mặt phăng với hệ tọa độ Óxy, cho hình thoi 48CD có 4Œ:x+7y—31=0, hai đính 8,D lần lượt thuộc các đường thắng đ, :x+ y—8=0, đ;:x—2y+3 =0 Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi biết rằng

diện tích của hình thoi bằng 75 và đỉnh 4 có hoành độâm

Bài 61: Trong mặt phăng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thăng d;//d; lân lượt có phương trình là :

đi :x—y+2=0; d:x-y—2=0

1 Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm 4(-2;0) và vuông góc với d;

2 Viết phương trình đường thẳng dạ sao cho dị, da, dạ, dạ cắt nhau tạo thành một hình vuông

Bài 62: Trong mặt phăng với hệ tọa độ 0xy cho hai đường thăng dị: x + 2y — 7 = Ö và d;: 5x + y— 8= 0 và điệm G(2;1) Tìm tọa độ điêm B thuộc dị điêm C thuộc d; sao cho tam giác ABC nhận điêm G làm trọng tâm

biệt A là giao điệm của dị và dạ

Bai 63: Trong mat phang hé toa dd Oxy, cho ba đường dị: x - 2y + I = 0; dạ: 3x— y— 2= 0; d;: 2x +y+ 1=

0 Tìm điểm M trên dị điểm N trên d; sao cho MN = V5 và MN Song song với đa

Bài 64: Trong mặt phẳng hệ toạ độ Oxy, viết phương trình các cạnh của tam giác ABC, biết 4(;3) và hai

trung tuyến có phương trình la: d, :x -2y +1=0 va d,:y-1=0

Bài 65: Trong mặt phăng với hệ tọa độ Đề các vuông góc Oxy, cho tam giác ABC, biết phương trình các đường thăng AB, AC lần lượt là: x+ y+3=0,2x— y—2 =0 Biết trung điểm của cạnh BC là 4⁄ [Ta )} Hãy viết phương trình đường thăng chứa cạnh BC

Bài 66: Trong mặt phăng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC Trung tuyến kẻ từ A và đường cao kẻ từ B lần lượt có phương trình là x+3y+l=0 và x—y+1=0 Biết M(-1;2) là trung điểm AB Tìm tọa độ điểm

C,

Bài 67: Trong mặt phăng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1;2), B(-5;-1),C(7;0)

a Viết phương trình cạnh AB và tính độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ đỉnh C

b Tính góc BAC của tam giác ABC

Bài 68: Trong mặt phăng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có B(0;2); trung điêm I của đoạn thắng AC năm trên đường thắng x + y— 4=0 và đường phân giác trong góc A có phương trình x—1 =0 Xác định tọa

độ điểm C biết tam giác ABC có diện tích bằng 4

Bài 69: Trong mặt phăng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD đường thăng AB có phương trình: x—2y+I= 0 đường thắng BD có phương trình: x— 7y+14=0 đường thắng AC đi qua M(2,1) Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD

Trang 33

Bài 70: Trong mặt phăng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD Cạnh AB và đường chéo BD, theo thứ tự

đó nằm trên các đường thắng có phương trình: đ,:x+7y—7=0 và đd, :x+2y—7 =0; một đỉnh có toạ độ là (0;1) Viết phương trình các cạnh còn lại

Bài 71: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD, điểm C (3;-3) và điểm A thuộc đường thắng d: 3x + y— 2 = 0 Gọi M là trung điểm của BC, đường thắng DM phương trình : x — y—2 = 0 Xác định tọa độ các diém A, B, D

Bai 72: Trong mat phang tọa độ Oxy, cho tứ giác MNPQ với M(TL-8).N[ 4-3 ].P(2).Ø(%) và

điểm 7 [i 5) Tim tọa độ các điểm A, B, C, D lần lượt nằm trên các đường thắng MN, NP, PQ, QM sao cho ABCD là hình bình hành nhận I lam tam

Bài 73: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có Œ (-2:3) đường thăng chứa cạnh CD đi

qua điểm 4⁄ (2;1) Đường thắng chứa BD có phương trình: 2x + y — 11 = 0 Xác định tọa độ các đỉnh còn lại

của hình chữ nhật trên

Bài 74: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình bình hành ABCD có C(3;—1), đường thăng chứa BD và đường thắng chứa đường phân giác của góc ⁄D4C lần lượt có phương trình là: x—2y—l1=0 và x—Il=0 Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình bình hành trên

Bài 75: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có cạnh AC đi qua M (0;—1) Biết AB = 2AM, đường phân giác trong AD và đường cao CHl lần lượt có phương trình là x- y=0 và 2x+ y+3=0 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

Bài 76: Trong mặt phăng với hệ toạ độ 0xy, cho điêm A(2;1) Lay điệm năm trên trục hoành co hoành độ không âm sao cho tam giác 4C vuông tại 44 Tìm toạ độ Z8, € đê tam giác 4C có diện tích lớn nhat

Bài 77: Trong mặt phẳng với hệ tọa dd Oxy, cho tam giác 48C vuông ở 4 Biết 4(-—1;4) 8(1;-4) và đường

thang BC di qua diém M Re Hay tim toa d6 dinh C

Bai 78: Trong mặt phăng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông 48CD Điểm M (3:7) là trung diém cia AB; Diém N nam trén doan AC sao cho AN =3NC Tim toa d6 diém 4 biết phương trình đường thắng DN là 2x#y=9

Bài 79: Trong mặt phăng tọa độ Oxy Cho AABC có 4(-3;1), 8(;2),C;0)

a Viết phương trình cạnh BC và tìm tọa độ chân đường cao hạ từ A của tam giác ABC

b Viết phương trình đường thang qua A chia AABC thanh hai tam giác biết răng diện tích của tam giác đỉnh B gâp 3 lân diện tích tam giác đỉnh C

Bài 80: Trong mặt phăng Oxy, cho A ABC có trọng tâm G(0;3), trung điểm của AB là (2;3) phương

trình phân giác trong của A là đ :x + 2y—7=0 Tìm toạ độ của A, B, C

Bài 81: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác 48C vuông cân tại 4 Biết A⁄(3; —1) là trung điểm canh BC, o($:-] la trong tam tam giac ABC Tim toa d6 cac dinh B, C

Bài 82: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác 48C có đường trung tuyến 8X và đường cao 4H lần lượt có phương trình: 3x + 5y + 1 = 0 và 8x — yT— 5 = 0, và Ä⁄ (-1-3 là trung diém canh BC Xac dinh toa d6 cac dinh cua tam giac ABC

Trang 34

Bài 83: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm C(2;-5), dudng thing A:3x-4y+4=0 Tim trén

đường thắng A hai điểm 4 và 8 đối xứng nhau qua J [2 ; sao cho diện tích tam giác 4BC bằng 15

Bài 84: Trong mặt phăng Oxy, cho hinh chit nhat ABCD có điện tích bằng 12, tâm I la giao diém cua hai duong thang dj,d2 lan luot co phuong trinh: x- y—3=0 va x+ y—6+0 Trung diém M của cạnh AD là giao điểm của dị với trục Ox Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật

Bài 85: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có 4B=x5,C (-1;-1),phuong trình cạnh

AB:x—2y—3=(0, trọng tâm G thuộc đường thang: x+y—2=0.Tim tọa độ các đỉnh A, B

Bài 86: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có 4:2x+ y—1=0, điểm 7(-3;2)

thuộc BD: 7 = 21D Tìm tọa độ A, B, C, D biết điểm D có hoành độ dương và AD = 2AB

Bài §7: Trong mặt phăng tọa độ Óxy, cho hình vuông 4BCD trong đó 4 thuộc đường thắng x+ y—1=0

và CD có phương trình 2x— y+3=0 Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông biết hình vuông có diện tích bằng 5

Bài 88: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có D(—6;—6) Đường trung trực của đoạn

DC có phương trình đ, :2x+3y +17 = 0 và đường phân giác góc < BÁC có phương trình đ, :Š5x+ y—3=0 Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình bình hành

Bài 89: Trong mặt phăng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có G là trọng tâm ABCD, phương trình đường thăng DG: 2x— y + ] = 0, phương trình BD: 5x — 3y +2 = 0 và C(0;2) Tìm tọa độ các đỉnh A, B,

D của hình bình hành

Bài 90: Trong mặt phẳng Oxy, cho 2 đường thắng d :2x— y—1=0, đ,:2x+y—3=0 Gọi I là giao điểm

của dị và dạ; A là điểm thuộc dị, A có hoành độ dương khác 1 (0 < xa # 1) Lập phương trình đường thắng

A đi qua A, cắt d; tại B sao cho diện tích ATAB bang 6 va IB = 31A

HUONG DAN GIẢI Bai 1:

Ta có A e dị nên 4(x,;3x, -5),B e d; nên B(x;;4— x;)

oo _ |2M4=3MB (1)

Vi A, B, M thăng hàng và 2MA =3MBnên| —

2MA=-3MB (2) 3.9

Do A qua O, nên có phương trình dạng : x = 0 hoặc y = kx

Nếu phương trình A: x=0 ; khi đó A= A“đ,:x—y—2=0= A(0;-2)

Anđ,:2x+>y—5=0> B(0;5) => OA.OB = 10 (thỏa mãn)

Trích trong tập 10 chuyên đề OTĐH” 33

X;ạ—

Định dạng
Số trang	69
Dung lượng	29,12 MB