CHUYEN DE HINH HOC GIAI TICH TRONG MAT PHANG
§ 1: DUONG THANG A LY THUYET
1 Dinh nghia vé vecto chi phuwong (vtep) va vecto phap tuyén (vtpt)
Vectơ chỉ phương của đường thing
Vectơ 7 # 0 được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng A nếu giá của nĩ song song hoặc trùng với A — Nếu là một VTCP của A thì #w (k # 0) cũng là một VTCP của A (nĩi cách khác một đường thắng cĩ vơ số vtcp, các vecto này sai khác nhau bởi một hằng số & Z0 )
— Một đường thang hồn tồn được xác định nêu biết một điểm và một VTCP Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
Vectơ 7i z 0 được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thắng A nếu giá của nĩ vuơng gĩc với A — Nếu đ là một VTPT của A thì #đ (k # 0) cũng là một VTPT của A
— Một đường thắng hồn tồn được xác định nếu biết một điểm và một VTPT
- Nếu # là một VTCP và 7 là một VTPT của A thì a L 7
2 Phương trình đường thẳng
a Phương trình tham số của đường thắng
Cho đường thắng A đi qua M@ o(Xe;:7¿) Và cĩ vtcp # = („,;u„) cĩ phương trình là x=X,+tu, l x (1) (tla tham so thuc) Y=\ +t, Xx=x, +1u, Y=) +l,
Gọi k là hệ sơ gĩc của A: k= tanœ, với œ= x4y, œ # 907 Điểm M(x;y) eA ©3teR: | rẻ u rẻ Voi k= —, voi u, #0 b Phương trình chính tắc của đường thắng Cho đường thắng A đi qua A⁄Z„(x,:y„) và cĩ VTCP Z = (w,;w,) cĩ phương trình là “— 1 Uy (u¡ #0, uạ # 0)
Trong trường hợp u¡ = 0 hoặc u; = 0 thì đường thăng khơng cĩ phương trình chính tắc
c Phương trình tổng quát của đường thẳng ax+ by +c =0 với a? +b? #0
Trang 3
c=0 ax+by =0 A đi qua gốc toạ độ O
a=0 by+c=0 A // Ox hoac A = Ox b=0 ax+c=0 A // Oy hoac A = Oy - Nếu A qua hai điểm A(a;0), B(0;b) (a, b z 0) thì phương trình của A: + =1 (goi la phương trình a
đường thắng theo đoạn chắn)
- Nếu A qua điểm Ä⁄¿(xạ;yạ) và cĩ hệ số gĩc k thì phương trình của A: y„— „ = &(x— x„) (gọi là phương trình đường thẳng theo hệ số gĩc) _ 3 Vị trí trơng đối của hai đường thang
Hai đường thẳng Ai: ax+b,y+đ =0 và A¿: ax+b,y+e; =0 Toạ độ giao điểm của A¡ và Aa là
nghiệm của hệ phương trình: ll ‘eae a (i) axt+b,y+c, =90 A; cat Ap Hệ (1) cĩ một nghiệm ak a, Bb, (néu a,,b,,c, #0) Ay I! A Hé (1) vơ nghiệm a _đ ot a4 b © (néu a,,b,,c, #0) A, =A) Hệ (1) cĩ vơ SỐ nghiệm a — b, _¢ a, ˆ by ˆ C; (néu a,,b,,c, #0)
4 Gĩc giữa hai đường thăng
Cho hai đường thăng A¡: øx+5 y+c¿ =0 cĩ vtpt 7 =(a,;b,) va Az:a,x+b,y+e, =0 cĩ vtpt n, = (a,;Ð, ) — ii, 7 khi (fi, ,7,) < 90° (A,,A,) = (aR ; iM 2) 180° —(n,,n,) khi (n,,n,) > 90 Im7,| a,b, + a,b, | cos(A,, A, )= cos(ii, fi, )=—— = số " In,|.|7:| Ja, +” as +b; Dac biét:
A, LA, & a,a, + bb, =0
Cho hai duéng thing Ay: y=k,x+m,,Ao: y=k,x+m, :
+ Nếu A¡ /J Ấa © kì =k
+ Néu A; L Ap & ky ky =-1 ;
5 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho đường thắng A: øx+ by + e = 0 và một điểm M⁄,(xạ; „ạ) thì khoảng cách từ Mạ đến A là
Trang 4lax, + by, + c|
a’ +b?
6 Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng
Cho đường thăng A: ax+ by + = 0 và hai điểm M(x„;y„), N(x„;yy) £ A
d(M,,A)=
— Hai diém M, N nam cùng phía đối với A © (ax, +by,, +c)(ax, +by, +c) >0 — Hai diém M, N nam khác phía đơi với A © (ax, +by,, +c)(axy + by, +c) <0
7 Phương trình các đường phân giác của các gĩc tạo bởi hai đường thang Cho hai dwong thang Ay: ax+by+c, =0 va Ao: ax+b,y+c, =90
Phuong trinh cdc duéng phan gidc cia cdc géc tao béi hai duéng thang A, va A> cat nhau là: axtbhy+q, _ + axt+by+e,
Ja; +b, ˆ Va; +b;
B CAC DANG BAI TAP THUONG GAP
Dang 1: Viét phwong trinh đường thang Phuong phap: 1 Đê lập phương trình tham sơ và phương trình chinh tac của đường thăng A ta cân xác định: X=X, + tu, Một điểm M o(Xa:7¿) EA và một vfcp # = (w,;1,) Khi đĩ phương trình tham số của A: | , Y= tu, Phương trình chính tắc của A: 4a Eo (u¡ + 0, uy #0) Uy Uy
2 Đề lập phương trình tổng quát của đường thắng A ta cần xác định:
Một điểm 4⁄, (xạ; yạ) eA và một vtpt n= (a:b) Khi đĩ phương trình của A: ø(x — xạ) + ð(yT— yạ) = 0 3 Đường thăng A đi qua hai đểm 4(x,;y„) ,B(w;; y;)(Với x„ # x;, y„ # y; ) cĩ phương trình là
X-#¿ _ Yrs
Xg —*X„ ˆ va Fa
4 Duong thang A đi qua hai điểm A(a;0), B(0;b) (a, b # 0) cĩ phương trình là * tr =] a
5 Duong thang A di qua diém M,(x,;y,) va c6 hé s6 géc k cĩ phương trình là y— yạ = &(x — xạ)
Loại 1: Sử dụng phương trình đoạn chan
THÍ DỤ MINH HỌA
Thí dụ I: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Lập phương trình đường thắng qua Ä⁄ (2: 1) và tạo với các trục tọa độ một tam giác cĩ diện tích bang 4 Giải: Gọi d là đường thắng cần tìm và 4 (a;0),B(0;5) là giao điểm của d với Ox, Oy, suy ra: đ: * tr =1 a Theo gia thiết, ta cĩ: 2 + =], a
Khi ab=8 thì 2b+a=8 Nên: b=2;a=4>4d,:x+2y—-4=0
Trích trong tập 10 chuyên đề OTĐH”
ab|=8
Trang 5Khi ab=-8 thi 2b+a=-8 Taco: b? +4b-4=0 3 b=-2+2v2 Với b =-24 2V2 = d, :(1-V2x)+2(14+V2)y-4=0
V6i b=-2-2V2 = d, :(1+V2x)+2(1-V2)y+4=0
Thi du 2: Trong mat phang toa d6 Oxy, cho hai diém M (3; 1) va I (2:-2) Viết phương trình đường thẳng đ đi qua và cắt trục Ox, Oy lần lượt tai A va B sao cho tam giác IAB cân tại 1 Giải: Giá sử đường thẳng đ cắt truc Ox, Oy lan luot tai A(a;0), B(0;b), (a,b # 0) Phương trình đường thắng đ cĩ dạng: * tr =] a Do d qua M(3;1) nén TH =l () a Đồng thoi, AJAB cân tại 7 nên az—b a=b+4
V6i a =—b, thay vao (1) ta duge a = 2;b = —2 nén phuong trinh duong thang d la x- y—2 =0 Voi a=b+4, thay vao (1) ta duge (a;b) = (6;2) hoac (a;b) = (2;-2)
Từ đĩ, phương trình đường thẳng đ là x+3y—6=0 hoặc x— y—2=0
Vậy cĩ hai đường thắng thỏa mãn yêu cầu bài tốn là Z :x+3y—6 =0 hoặc đ:x— y—2=0
IA= 1B © v|(a—2)) +(0+2)) =4|(0—2)? +(b+2)” ©|a~3|=+2le|
dương các trục tọa độ Ox, Oy thứ tự tại P, Q sao cho diện tích tam giác OPQ nhỏ nhật Thí dụ 3: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(3;1) Lập phương trình đường thắng d qua A và cắt chiều
Giải:
Từ giả thiệt ta cĩ P(z;0);@(0;5),a > 0,5 >0 Đường thăng d cĩ phương trình: 7 ia =] a Duong thang d qua A(3; 1) nên 42 =l=l>2, le = Vab > 23 a a 7y xX = 6 Dấu bŠp xí) tả Lhị và chỉ Chị CC cÀI ÚC b=2 a=6
Ta cĩ Syop9 = = ab > v3 Nên S„„„„ nhỏ nhất (= V3 ) khi va chi khi
Vậy đường thắng d cĩ phương trình: n + = =]
Trang 6
a= 3b =6 Ma OA+30B =a+3b> 2V3ab =12 > (OA+30B),,,, =12243 1 2% a b Phương trình đường thắng d là: etal ©x+r3y-6=0 Ox, Oy tuong tng tai A va B sao cho OA+OB dat gia tri nho nhat Thí dụ 5: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(3;1) Viết phương trình đường thắng qua M và cắt 2 trục tọa độ Giải: Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là: ” tr =1.Với 4(a;0) và B(0;5) a 3,1 _, a b 7 Ø4+O8 =|d|+|>|z+8|= [a+ð||Š+> |> (V3 +0 3 1 a a 6 _ mỡ => Min(OA + OB) = (V3 +1) & 3 3 ” a3 = b=143 > a =3453 ab = 0 ~ 4 2] 34/3 14 3 | Phuong trinh
Thí dụ 6: Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy Cho hai đường thắng: d,:x—2y+2=0; d,:2x+3y-17=0 Đường thắng d đi qua giao điểm của d, va d, cat hai tia Ox, Oy lần lượt tại A và B Viết phương trình | + oe op nhỏ nhất đường thăng d sao cho: Giải:
Gọi M là giao điểm của hai đường thắng đ,,đ, thì M(4;3)
OL + = = = (trong đĩ H là chân đường cao hạ từ O xuống AB
Xét tam giác OAB vuơng tại O ta cĩ: của tam giác OAB)
2 | ê
OA’
Khi đĩ d nhận véc tơ OM làm véc to phap tuyén OM = (4;3) Phương trình đường thắng đ :4x + 3y— 25 = 0 + * nhỏ nhất thì 2 nhỏ nhất O7ï lớn nhất H =M OB Loại 2: Sử dụng phương trình tổng quát THÍ DỤ MINH HỌA
Thí dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuơng cân tại A Biết phương trình cạnh BC là
(4):x+7—31=0, điểm W(7;7) thuộc đường thắng AC, điểm M (2;—3)thuộc AB và nằm ngồi đoạn AB
Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC
Giải:
Đường thắng AB đi qua M nên cĩ phương trình ø(x—2)+b(y+3)=0 (a’ +b’ # 0)
“ Trich trong tap 10 chuyén dé OTDH” 5 https://www.facebook.com/trithuc.viet.37
Trang 7
_ |a+7b) |e 4b
15042? +? 4a =-3
Nếu3z = 45, chọn a = 4, b = 3 ta được (8)-4xsaysi=0 (4C):3x-4y+7=0
Từ đĩ 4(-1;1)và 8(-4;5) Kiểm tra M8 =2M4 nên M nằm ngồi đoạn AB (thỏa mãn) Từ đĩ tìm được C(3; 4) Nếu 4z = -3b, chọn ø=3, b =-4 được (4B): 3x—4y—18=0, (4C):4xz+3y—49 =0 Từ đĩ A(10;3) và B(10;3) (loa (4B;BC)=45" nên cos45° =
Thí dụ 2: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường trịn (C) cĩ phương trình: x?+y?—2x+2y—-8§=0 và đường thắng A: 4x+2y—11=0 Lập phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tạo với A một gĩc bằng 45°
Giải:
Theo bài (C ) cĩ tâm7 (1;—1), bán kính R =x/10
Giả sử tiếp tuyến cĩ phương trình A': ax+by+ec=0, (2? +? z0) 2 = 3h Theo bai ta c6: cos4s? = 444201 _ Ý2 032 324 80p-06 * (20(a? +b) b =3a TH1 a=-3b Taco A':—3x+y+c=0 =14 : Ta cĩ đŒ,A')= v10 =)” gE XIN và A:T3x+y+14=0 TH2 5= 3a Ta cĩ A'2z+3y+c =E c=12
Taco d(/,A')= Vi0 >)" a => A':x+3y4+12=0 va A':x+3y-8=0
Vậy cĩ 4 tiép tuyén paige: —=3x+y—6=U; -3x+y+l4=0; x+3y+l2=0; x+3y-8§=0
Thí dụ 3: Trong mặt phăng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, phương trình đường thẳng AB, BC lần lượt là: x+2y—5 =0 và 3x— „+7 =0 Viết phương trình đường thắng AC, biết rằng AC đi qua F(1;-3)
GIải :
Gọi BC +2ý/ 5 =0 vaAB:3x— ÿ >/ 70
= VTPT cua AB la n, = (1;2), của BC là n, = (3;-1), Gọi VTPT của AC la i, = (a;b) voi a> +b? #0
Do AABC cân tại A nên các gĩc B và C đều nhọn và bằng nhau iA] [t,t 4 3a — ø| Bi Plnl 45 Va +P & 22a° +2b° —15ab = ve Ne Suy ra: cosB =cosC => lla =2b Với 2a = b, ta cĩ thể chọn a =1,b =2 > n, =(1;2) > AC // AB > khơng thoả mãn Với 11a = 2b, ta cĩ thể chọn a =2, b=11 => đ, =(2;11) Khi đĩ phương trình AC là: 2(x—1)+11(y+3)=0 © 2x+1Iy+31=0
Trang 8Giải: 4x+3y-4=0 =-—2 Tọa độ của A nghiệm đúng hệ phương trình: 4 OY & * => A(-2;4) x+2y—6=0 y=4 4x+3y-4=0 =] Tọa độ của B nghiệm đúng hệ phương tình : 1 0 of" 9 > B(b0) ° = y= Đường thắng AC đi qua điểm A(-2;4) nén phương trình cĩ dang: a(x+2)+b(y—4)=0 © ax+by+2a~— 4b = 0
Gọi A;¡ :4x+3y—-4=0;A;:x+2y—-6=0;A; :ax+by+2a— 4b =0
Từ giả thiết suy ra (A;;A;) =(A,:A;) Do đĩ |la+2b| |4.14+2.3] Nei 255 ơ â|a+2b|=2xla? +b © a(3a~4b)=0 © | 3a —Ab= 0 cos(A,;A, ) = cos(A,;A, )
+ Voia=0 >b#0.Dod6 A,:y—4=0
+ Với 3a — 4b = 0: Cĩ thể cho a = 4 thi b = 3 Suy ra A, :4x+3y—4=0 (tring voi A,) Do vậy, phương trình của đường thăng AC là y - 4= 0 y~4-0 fo > 54 x-y-1=0 = (5 ) Tọa độ của C nghiệm đúng hệ phương trình: | i y = Cách khác: :
Sau khi tìm được tọa độ điểm A va B Tim toa diém B’ đơi xứng với B qua duong thang AD Duong thang AC la duong thang di qua A va B’
Toa do diém C= ACABC= Toa do diém C
Thi du 5: Trong mat phang với hệ trục toạ độ Oxy cho cho hai đường thẳng đ,:2x—y+5=0
đ, :3x+6y—7=0 Lập phương trình đường thắng đi qua điểm P(2;-1) sao cho đường thăng đĩ cắt hai
đường thăng đ¡ và đ; tạo ra một tam giác cân cĩ đỉnh là giao điểm của hai đường thắng d), dp
Giải:
Đường thắng dị cĩ vectơ chỉ phương a, =(2;—l); d› cĩ vectơ chỉ phương a, = (3; 6)
Ta co: a,.a, =2.3-1.6=0 nén d, Ld, vad, cat dp tai một diém I khac P
Gọi d là đường thăng đi qua P(2;—1) cĩ phương trình: đ: 4(x— 2) + 8(y+1) =0 © 4x+8y—24+8=0
d cắt đị, dạ tạo ra một tam giác cân cĩ đỉnh I khi và chỉ khi d tạo với dị (hoặc d;) một gĩc 45°
2A — Bl ọ › ›
c- =cos45" ©3441 -8A4B—-3ðˆ =0<
\4?+8ˆ?4|22+(-UŸ
+Nếu 4=3ð ta cĩ đường thẳng đ :3x+ y— 5 = 0
+ Nếu B =-34 ta cĩ đường thắng đ :x— 3y— 5 =0
Vậy qua P cĩ hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài tốn đ :3x+ y— 5 =0 hoặc đ:x—3y— 5 =0
Cách 2: Gọi d là đường thăng cần tìm, khi đĩ d song song với đường phân giác ngồi của đỉnh là giao điểm của dị, dạ của tam giác đã cho
Trang 9l2x-y+5| _ Bx+6y—-7| 3x-9y+22=0 A, J2+cy V3?+6 9x+3y+8=0 A, + Nếu d // A¡ thì đ cĩ phương trình3x — 9y + c = 0 Do Pednén 6+9+c=0@c=-15>d:x-3y-5=0 + Nếu đ// A; thì đ cĩ phương trình9x + 3y + e =0 Do Pednờn IĐ-3+c=0<âc=-l5=:3x+y-5=0 Vy qua P cĩ hai đường thắng thoả mãn yêu cầu bài tốn đ :3x+ y— 5 =0 hoặc đ:x—3y—5= 0 ©32x=y+3|~lrráy7|se| cạnh cịn lại Thí dụ 6: Cho AABC đều, biết điểm 4(2;6) và đường thẳng (BC) : J3x~ 3y + 6 =0 Viết phương trình các Giải:
Giả sử AB qua 4(2;6) và cĩ véc tơ pháp tuyến là: n=(a;b) voi a? +b” #0(*) Khi d6 phuong trinh AB :a(x-—2)+6(y—6)=0=> ax+by—2a-6b=0
Giả sử AC qua A (2;6) va cĩ véc tơ pháp tuyến là: n =(c;d) voi c? +d? #0(**) Phương trình 4C: cx + đy— 2c — 6b = 0 Jav3—3P 1 |av3-30 Va? +B? (V3) +3) 2 Ia +B 12 <> J12(a +b’) = 2.|av3 - 32] (1) (AC,BC) = 60° < cos 60° = (4B, BC) = 60” © cos60” = lev3 -3d ch lev3 -3 dc°+4°2|\3)+( 3ÿ 2 ve +a? 12 © vJI2(c° +4”) = 2|eV3-3d] (2) (AB.AC) = 60° = 5 leeds PP NP ae 2Jac+ bd] (3) Va’? +B alc? +d’ Từ (1), (2) và (3) cĩ hệ phương trình: 12(a? +b?) = 4.(av3 — 3b) b(b — V3a) = 0;(1') 12(c? +d’) = 4.(cV3 -3dy’ © 4d(d -N3e) =0;(2)
(aˆ” +b”).(c° +đ”)= 4(ae + bđ)Ÿ (aˆ +Bˆ).(cˆ + đˆ) =4(a’c* + 2abed + b*d’);(3')
Từ hệ trên, ta tìm a, b thoả mãn (*) Tìm c, d thoa man (**), Từ phương trình (1°) chọn b = 0 suy ra a = ]
Thé vào phương trình (3°) ta được 3c? — đ? =0 Từ phương trình này chon d = V3 > c? =1
Thê d vào phương trình (2”) suy ra c = l
Vay c6 a= 1,b=0,c=1,d=v3
Vay AB:x-2=0 va AC: x+3y—2-6v3 =0
Thí dụ 7: Cho AABC cân đỉnh 4 Biết đường thắng (4B): x + y +1 = 0; đường thắng
(BC):2x—3y—5 =0 Viết phương trình cạnh 4C biết nĩ đi qua 4 (11)
Giải:
Gia st AC qua M (1;1) và cĩ véc tơ pháp tuyến là: ø =(4;b) với a? +ð? # 0(*)
Trích trong tập 10 chuyên đề OTĐH” https://www.facebook.com/trithuc.viet.37
Trang 10Khi đĩ phương trình AC :a(x-1)+b(y-1)=0> ax +by-—a-b=0 Theo bài, tam giác ABC cân đỉnh A nên ta cĩ gĩc B =C hay:
I2+1l(23| —— |2.a+(-3).b| 1 |2z—3»|
\U+Ua22+(C3) va?+ø2Aj22+(C32 7 2A3 Va? +0? V13 © V2? +ð2 =4J2.|2a—3b| © a? +b? =2.(2a—3b)? © a2 + bỲ = 8a? — 24ab + 18? b=l © 7a” -24ab+17b” =0 chọn a = 1 suy ra b 7 “17 Voia=1,b=1tacd AC:x+y—2=0 (loai vi AC //AB) 7 24 Với a=1,b=— ta cĩ: AC :x+——y——— =0 thoả mãn 17 17° 17 (AB, BC) = (AC, BC) = Loại 3: Sử dụng phương trình đường thẳng đi qua một điểm và cĩ hệ số gĩc k THÍ DỤ MINH HỌA
Thí dụ I: Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy cho đường thắng d cĩ phương trình: 2x+ 3+1 =0,
2x+3y+1=0 và điểm M(1;1) Viết phương trình đường thắng đi qua M tạo với đ một gĩc 45° Giải: Xét đường thẳng cần tìm song song với trục tung là: A:x~1=0=7a =(;0)= đ(A;đ) =—=— #—= 13 4/2
Gọi phương trình đường thăng cần tìm là:
A':y=k(x—1)+lL 22 >y+1—k =0 — nà: = (&;—1) => cos(A ›đ) |2k -3 1 - k=— Min: cos(A ;đ)=——————=-' !14Aj#? +1 v2 k=-5 5x+y-6=0 khoảng cách từ M tới đĩ băng 2 Thí dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy cho 2 điểm M(1;4) và N(6;2) Lập phương trình đường thang qua N sao cho iai: " trường hợp đường thăng cần tìm song song với trục tung là: A:x-6=0>d(M,A)=5#2 (loai) Gọi phương trình đường thắng cần tìm cĩ dạng: A': y= &(x— 6) +2 _ | y+2-6# —2 => l&&— y+2-6k =0—= d(M — A') k? +1 > 20 > A: = 20x +21ly —162=0
Trang 11Giải: Cách 1:
Xét các trường hợp
TH 1; A=Oy> H=A: khong thoa AH = d(H, Ox) TH 2: A= Ox > H =O: khong thoa AH = d(H, Ox) Phương trình đường thẳng A: y = kz (k # 0)
Đường thắng 4/7 1 A và đi qua A cĩ phương trình y = _3 +2 Toạ độ H = A ¬ AH là nghiệm của hệ 2k — kx x= » 1 > 4+] 2 => H| ——:x-— 2k 2K? y=—x†+Z _ 2k ke +1 k +1 7 kP+1 2 2 2 rach ation) = | 2k “( 2k 2 ¬ k?+1) |#?+1- _ 145 k? 2 t=+2+245 => ea! ° <0 (loai) _ > 2 2k* alee -# -1=0 + Cach 2:
Goi H(x,; )) 1a hinh chiêu của A xuống A
Ta co: AH = (X53, — 2), OH, = (X53.Vo) AH OH =0 = Xạ + yạ(yạ — 2) = 0 > Xg +7ạ —2yạ =0 AH =d(H,Ox) — |\/x2 +(y) —2° =|y9| Yo =-I+45 kh» ` b ==I#5 _ | |xi ==8+4V5 > > › = Xo =4y, —4 ¥y =-1-V5 x5 = -8 — 4,/5 <0(loai) Do gia thiét: › Xj —4y, +4=0 %, —4y, +4=0 os = tv4V5-8 = H(+V4v5 -8;-1+ V5) Phuong trinh: (/5 —1)x+/4V5 -8y =0 My =—-l+ 5
Dạng 2: Bài tốn viết phương trình đường thẳng và tìm điểm liên quan tới tam giác Phương pháp chung: Đề làm tốt các bài tốn liên quan tới tam giác chúng ta phải
Nhớ được định nghĩa, tính chât của tam giác như tam giác cân, tam giác đêu, tam giác vuơng, tam giác vuơng cân
Trang 12Nhớ tính chât các đường trong tam giác như đường cao, đường trung tuyên, đường trung trực, phân giác trong, phân giác ngồi
Nhớ tính chất các điểm đặc biệt trong tam giác như trọng tâm, trực tâm, tâm đường trịn nội tiếp, ngoại tiếp, bàng tiếp
Nhớ cơng thức tính diện tích tam giác, cơng thức tính bán kính đường trịn nội tiếp, ngoại tiếp Trong dạng bài tốn này chỉ giới thiệu về các đường và các điểm, cĩ rất nhiều cách giải, nhưng cách giải chung nhất là “đường cao — vuơng gĩc, phân giác — đối xứng; trung tuyến — trung điểm ” thường sử dụng phương trình tham số, chính tắc
THÍ DỤ MINH HỌA
Thí dụ ï: (DH — D 2009) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cĩ điểm M(2:0) là trung điểm của cạnh AB Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt cĩ phương trình 7x — 2y — 3 = 0 và 6x— y—4 =0 Viết phương trình cạnh AC Giải: — A(q,2) 1 7x-2y-3=0 =l Điêm A cĩ tọa độ là nghiệm của Me | + <ẩ =" 6x—-y-4=0
Diém M(2,0) 1a trung điểm của AB, vay suy ra B(3;-2)
Phương trình đường thắng BC cĩ dạng x + 6y + m =0 vì BC đi qua B và vuơng gĩc với đường thắng 6x — y —4=0suyram= 9, Suy ra phương trình BC cĩ đạng: x + 6y +9 = 0 Gọi trung điểm của BC là N, suy ra tọa độ N là nghiệm của hệ PT: 7x—2y-3=0 3 => N| 0,-= x+6y+9=0 2
Suy ra tọa độ điểm C(24;-1)
Vậy phương trình 4€: ~3x+4y—Š5=0
Thí dụ 2: (ĐH — B 2010) Trong mặt phăng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuơng tại A, cĩ đỉnh C(-4:1) phan giac trong goc A co phương trình x + y — 5 = Ư Viết phương trình đường thắng BC, biết điện tích tam giác ABC băng 24 và đỉnh A cĩ hồnh độ dương
Giải: Cach 1:
Goi C’ la diém doi xứng với C qua đường phân giác trong gĩc A nên C'{4;9) (bạn đọc tự tìm)
Đường trịn (T) cĩ tâm /(0;5) và bán kính ® =/C =xJ32 nên cĩ phương trình
(T):x° +(y-5} = 32
- Vì AABC vuơng tại A nên tọa độ điểm 4 = (7)4 là nghiệm của hệ
x'+(y-5)=32 => y=1=> 4(4,1)> AC =8 |7
x+y-5=0 x>0
- Đường thắng AB là đường thắng đi qua A và C' nên cĩ phương trình x—4 =0 Điểm 8 e 48 => B(4;b)
AABC vuơng tại A nên
Snape = AB.AC =24= AB=6 (b-1) =6>b=7=> B(4:7)
“ Trich trong tap 10 chuyén dé OTDH” 11 https://www.facebook.com/trithuc.viet.37
Trang 13Vậy phương trình của BC là: 3x + 4y — 16 = 0 Cách 2:
Vì C(-4;1) , A vuơng và phân giác trong gĩc A là đ :x+ y— 5 = 0 song song với đường phân giác cua gĩc
phan tư thứ II và thứ IV nén AC //Ox > y, = yp =1> x, =4 vi Aed va x, >0 nén A(4; 1) => AC=8 | \ 3
Mặt khác, AB vuơng gĩc với trục hồnh nên B(4;b),b >1 \ AABC vuơng tại A nên Syuge = ABAC = 24 => AB =6 <2 (b-1) =6>b=7> B(4:7) C A Vậy phương trình của BC là: 3x + 4y —16 = 0 SN > ¬ (d) Vậy điêm và đường thắng cân tìm là: #(4;7) và 8C: 3x— 4y — 16 = 0
Thi dy 3: (CD — 2009) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cĩ đỉnh C(—1;~2), đường trung tuyến kẻ từ A và đường cao kẻ từ B lần lượt cĩ phương trình là 5x + „—9 =0 và x+3y—5 =0 Tìm
tọa độ các đỉnh A và B
Giải:
Giả sử 4M :5x+y—9=0, BH:x+3y—5=0
- Đường thẳng AC đi qua C và vuơng gĩc với BH nên AC đi qua C và nhận Une = (3;-1) lam vtpt co phương trình 4C : 3(x+1)— 1(y+2)=0 © 3x- „+1=0 - Tọa độ điểm A = AC ¬ AM là nghiệm của hê 3x-y+1=0 "¬ =‡ ` = A(t) =] 5x+y—9=0 y=4 - Toa d6 diém B ¢ BH & B(5—3m;m) 2 4 — —2 M là trung điêm BC ⁄{ =" mt) 2 mat M2 -9=0 <> m=0=> B(50) Mặt khác điểm M e AM 5 Vậy tọa độ hai điểm cần tìm là A(1;4) va B(5;0)
Thí dụ 4: (ĐH - B 2008) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu vuơng gĩc của C trên đường thắng AB là điểm 7ƒ (-1;-1), đường phân giác trong của gĩc A cĩ phương trình x— „+2 =0 và đường cao kẻ từ B cĩ phương trình 4x + 3y— 1 = 0 Giải: Phương trình d qua H(—1; —1) và vuơng gĩc với Ấ: x — y + 2 = 0 cĩ phương trình 1(x+1)+1(y+1)=0€©x+y+2=0 x+y+2=0 Giao điểm I của đ và A là nghiệm hệ phương trình: >I (—2: 0) x-y+2=0
Gọi K là điểm đối xứng của H qua A thì I là trung điểm của H và K nên K(-3;1)
- Đường thắng AC qua K và vuơng gĩc đường cao: 4x+3y—1 =0 nên cĩ phương trình AC:3(x+3)— 4(y—]) =0<Ằ3x-4y+l3=0
Trang 14—4y+13= =
3x—-4y+13=0 Ũ ˆ= A(5:7) Tọa độ 4= 41DmA là nghiệm hệ: c©
x-y+2=0 y=7
- Đường thẳng CH qua H và vuơng gĩc với HA nên cĩ vipt HA= 2(3;4)
Phuong trinh CH :3(x+1)+4(y+1)=0 3x+4y+7=0 y — SỈ 0 3 1 Tọa độ C = CH ¬ AC là nghiệm hệ: 3x—4y+13=0 v2 3'4 CcẤC Hoặc giải hệ: + _._ —, AH.CH =0
Thí dụ 5: (ĐHDB 1 — A 2008) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC với đường cao kẻ từ đỉnh B và đường phân giác trong của gĩc A lân lượt cĩ phương trình là : 3x + 4y + I0=0 vàx—y +l1=0,
điểm 3 (0:2) thuộc đường thẳng AB đồng thời cách C một khoảng bằng V2 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC Giải: Đặt d¡ : 3x + 4y +I0=0 ; d:x-y+1=0 Gọi A là đường thắng đi qua điểm M và vuơng gĩc với d;, A cat dy tai I và cắt AC tại N cĩ phương trình A dy A:x+y-2=0 Điểm I= A © đạ Tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình : 1 X+y- 2-0 += 2 1 3 N -y+i=0 1 s S72 J8 lyse 2 M I
Tam giác AMN cĩ d¿; vừa là duong cao , vừa là phân giác
nên là tam giác cần tai > I la trung diém cua MN => N(1;1) B C AC la duong thang di qua diém N(1;1) va vuơng gĩc với dị
nén AC: 4(x—1) — 3(y—1) = 0 hay AC: 4x —3y-1 =0 đ;
Diem A = AC © d; Tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình : 4x-3y-1=0 > [x=4 = A(4;5) x-y+1=0 = AB là đường thăng đi qua điểm M(0;2) nhận MA= (4;3) lam vec tơ chỉ phương AB: X=2—“ œ>3x- Nuyế-0 4 3 Diem B = ABO d, Toa dé B la nghiệm của hệ phương trình 3x-4y+8=0 J*F 1 & _1 = B| -3; 3x+4y+10=0 yz 4 C cách M một khoảng bằng 2 nên C thuộc đường trịn (S) cĩ tâm M bán kính bằng v2 (S):x° +(y-2)° =2
Điểm C = AC n (S) Toa dé C là nghiệm hệ phương trình :
Trang 15_ 4x-l 4x—1 [y0 y 3 y= = x=1 >y=l c© 2 & © 31 33 2 _ 2_ — —=—— —= — x +-=2) =2 [A =2 |25x-56x+3l=0 |*~ 95 72795 = C(151) hoadc C 31 33 25 25 Vì d; là phân giác trong của gĩc A nên B và C nằm khác phía bờ là đ; © (%; — y; + 1).(xe —Ức +1)<0© =ức —ye+])<0 Cả hai điểm C trên đều thỏa mãn 1 31 33 Vậy A(4;5);B| -3;—— |;C(;]) hoặc C| —;—— ay AGS) | i] Ú;1) hoặc (= 5]
Thí dụ 6: (ĐHDB 1 — A 2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại đỉnh A cĩ trong tam G [3:2] , phương trình đường thắng BC là x— 2y— 4=0 và phương trình đường thắng BG là 7x—4y—8=0 Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C Giải: x-2y-4=0 Tx—4y-8=0 Vi AABC cAn tai A nén AG la durong cao cua AABC Vi GA L1 BC Phương trình đường thăng
Tọa độ đỉnh B là nghiệm của hệ 2 == S => B(0;-2) GA: a s-$) +1[ y-J]-042 20+ y-3 =O 2x4 y-320 : “> ,, |2x+y-3=0 x2 => GANBC =H langhiém cua hé & => H(2;-1) x-2y-4=0 y=-l Ta cĩ 4G =2GH với A(x;y) x=0 — (4 l oot 4 1 AGA =m2- yO =[2=201-2) > 1 g => A(0;3) 3 3 3 3 ——=y=-—— 3 3 yg = te Ta cĩ: => C(4;0) _VatyVet Ve oO 3 Vậy tọa độ các đỉnh cân tìm la A(0;3),C(4;0), B(0;-2)
Thí dụ 7: (DHDB 1 - B 2008) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC với 4B = V5 ; C(-1;- 1), đường thắng AB cĩ phương trình x+ 2y — 3 = 0 và trọng tâm tam giác ABC thuộc đường thăng
Trang 16x _ 2a-1 3(x¿ +1) = 2(ø + l) & Ga ~= 2ơ âG ;—— 3(y¿ +1)=2( +1) 2b-1 3 3 yg= 3 Ht B12 = 0 atb-4=0 (2) 206 = 20% «| ĐiểmG ex+y-2=0© Từ (1) và (2) = | : ° => 1(5;—1)
A, B thuộc đường trịn (C) tâm I bán kính nen (C) cĩ phương trình : (C) :(x— 5)“ +(y+ LÝ = = Tọa độ A và B là nghiệm của hệ phương trình sS<= 52> lo (x—5) tŒ+D =7 C2-2yŸ +@+1)! =7 (y+ĐỶ =7 Vay A-;).z|s-3] hoặc Aø~3).2[%=2] 2 2 2 2 trinh cac canh AB, AC theo thirty la 4x+ y+14=0; 2x+5y-—2=0 Timtoa d6 cac dinh A, B, C Thi du 8: (DHDB 2 — A 2007) Trong mat phang Oxy cho tam giác ABC cĩ trọng tâm G(—2,0) biét phuong Giải: => A(-4;2) 4x+y+14=0 =4
Tọa độ A là nghiệm của hệ wey 2x+5y—-2=0 of" y=2
Vì G(—2, 0) là trọng tâm của AABC nên bộ =x, tx„ +xá , + xe =—2 & 396 =VatVetVe (We t¥c =-2 Vi B(x; yz) € AB> y, =—-4x, —14 (2) (1) ` 2 DiemC (xe, Vo) € AC => y- = - = tệ (3) Thế (2) và (3) vào (1) ta cĩ xg +Xc =~2 2x 2 4x, -14-e + Bao 55 xX, =-3> y, =-2 _— |“ YB Xx-=1 >y.=0 Vay A(-4,2), B(-3,-2), €(1,0)
Thí dụ 9: (ĐH — D 2011) Trong mặt phắng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cĩ đỉnh B (—4;1), trọng tâm G(1;1) và đường thắng chứa phân giác trong của gĩc A cĩ phương trình x — y—1=0 Tim toa d6 cdc dinh A va C
Giải:
Gọi M là trung điểm của AC, ta cĩ BM = = BG oO M Za
Gọi N là điểm đối xứng của B qua phân giác trong A của gĩc A và H là giao điểm của A voi đường thắng BN
Trích trong tập 10 chuyên đề OTĐH” 15 https://www.facebook.com/trithuc.viet.37
Trang 17Đường thắng BN cĩ phương trình : x + y + 3 = 0 +y+3=0 Tọa độ H là nghiệm của hệ phương trình : ( » 1=0 => H(-1;-2) Xự =2X„ —x„ =2 }w =2Vw —}g =—5
Đường thăng AC qua 2 điểm M, N nên cĩ phương trình: 4x— y— 13 = 0
Điểm A là giao điểm của đường thắng A và đường thẳng AC nên tọa độ A là nghiệm của hệ : 4x-y-l3=0 ( —y-1=0 H là trung điểm của BN © | => A(4;3) 2 ` 2 2 Xc=2x„—x„=3 Điêm M là trung điêm của AC => C(3;-1) Yo =2Yy —Y4=71
Dạng 3: Bài tốn liên quan tới các hình
Phương pháp chung: Đề làm tốt các bài tốn liên quan tới tam giác chúng ta phải
Nhớ được định nghĩa, tính chất của các hình như hình bình hành, hình thang, hình thang cân, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuơng Nhớ tính chất các đường chéo của các hình, tâm đối xứng, trục đối xứng Nhớ cơng thức tính diện tích các hình THÍ DỤ MINH HỌA
Thí dụ ï: (ĐH — A 2012) Trong mặt phăng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuơng ABCD Gọi M là trung điểm
của cạnh BC, N là điểm trên cạnh CD sao cho CN = 2ND Giả sử M Ko và đường thắng AN cĩ phương
trình 2x— y—3=0 Tìm tọa độ điểm A Giải: Cách 1: Gọi cạnh hình vuơng là a tức là 4B = BC = CD = DÁ = a Trong tam giác vuơng ADN ` 2 2 AN=wNAD +DN a v10 A B Ta cĩ : <4 1 1 1 ¡ zAN= DN =—CN =—DC =—AD=~a 3 L 2 3 3 3 Trong tam giác vuơng ABM M " 2 2 AM =V AB’ + BM 5 5 Ta cĩ : 4 1 1 = AM =—_— D C BM =—BC =—a 2 N L 2 2
Trang 18Phương trình đường thắng AM: ax + by Sa -sb =0>7,, =(a;b) t=3 — 2 1 2 roe a cos MAN = 4) _ = —_ 3-8-3200) 1 (voit =4) J5(a2 +6?) V2 = b 2x—y—3=0 + Với ¿ =3 =› tọa độ A là nghiệm của hệ : 4“ 7 3x+y—17=0 = A(4:5) 2x-y-3=0
+ Với t=—+ = toa dd A lA nghigm cia he: 1°” _” 3 x—-3y—-4=0 => A(1;-1)
Vậy cĩ hai điểm A thỏa mãn là 4(4;5) hoặc 4(1;—1) Chú ý: Để tính gĩc Ä⁄4N = 45° ta cịn cĩ thể làm như sau Nhận xét: BAM + DAN =-~ NAM => tan NAM = cot(BAM + DAN) = = tan(BAM + DAN)
_ 1—tan BAM.tan DAN ¬ —_ =1= NAM = 45°
tan BAM + tan DAN + IN| WwW |e N |e w | Voi tan BAM _ BM 1 an pan - ON BA 2 A N | Wl wle Hoac: tan MAN = tan(DAM — DAN) = =i] +31 3 Cách 2:
Sau khi tính được MAN = 45°
Gia str diém A(a;2a—3)e AN 1 II-—-—3 2 | 15 3.5 22+( AI 25 2 d(M, AN) = 3/10 MH ~ MH V2 - 282 Trong tam giac vung AHM taco MA = — sin 45 2 2 2 =|s-5] +(20-2) ~ 3 o 5a° 2504200 4? 504-06) a=1 as) a=4 | A(4;5)
Trang 19Nhan xét: M ¢ AC,M ¢ AD AC cắt AD tại là nghiệm của hệ x+3y=0 ( —y+4=0 Vẽ MN // AD (N e AC) => A(-3;1) ; B Đường thăng MN đi qua M và song song với AN cĩ phương trình A la MN :3x-3y+4=0 2 K Trung diém cua MN : x(-2:3) 7 6 6
Vẽ KE L AD ( e AD) > KE: | x+Š |+| y-Š =0 => E(-2;2) 6 6 D = C
E là trung điểm AD = D(-—1; 3) Giao điểm của AC và EK : /(0:0) I là trung điểm BD = B(1;-3) 1 la trung diém AC > C(3;-1)
Cach 2:
Đường thẳng BD đi qua điểm M và cĩ vtpt n = (a;b) cĩ phương trình là a{ x43] +0(y-1)= 0 © 3ax+ 3y + a— 35 =0 De 3.(-D] - 3a — 35] Do DAC = BDA © cos DAC = cosBDA © VP +P P41" JP +1? VBay - Bb) a= 3b b=3a
Đến đây chia làm hai trường hợp tìm được đường thang BD, ta sé tim được tọa độ điểm D= 4D ¬ BD và tim toa do diém C
Loai truong hop b = 3a vi BD: x+3y-8=0//AC &> 2a” —10ab + 3b’ =0e|
Thí dụ 3: (ĐH — B 2002) Trong mat phăng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD cĩ tâm 7 lz: ) ›
phương trình đường thắng AB là x—2y+ 2= 0và 4ð = 24D Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C, D biết rằng A cĩ hồnh độ âm Giải: YA (1,4) = = Ab= § = AB=2(§ = BD =5 B ? H
Phuong trinh duong tron duong kinh BD: la — 3) +y= = ee |
Tọa độ A, B là nghiệm của hệ: ey O if I C x=2 1 2 25 —— 2 —“~ =2 ở | TY ET ol? „2 A(-2:0),B(2;2) vì x, <0 * x-2y+2=0 D- y=0 => C(3;0), D(-1;-2)
Vậy bốn đỉnh của hình chữ nhật là A(-2;0), 8(2;2), C(3;0), D(-1;-2)
Trang 20Cach 2:
Phương trình đường thắng qua I vuơng gĩc với AB là đ :2x+ y—1=0 Tọa độ giao điểm M của d và B là nghiệm của hệ: aan 45 = M(0;1)—= MI = Ÿ“ > AD =2MI = 45 = AM x-2y+2=0 2 Goi A(a;b) voi a <0 tacé: AM = Ja’ +(b-1)° = V5 Do A thuộc AB nén a—2b+2=0=> a =2(b-1) 5(b-1) =5> ; “6452 b=2>a=2 (loai) A2;2) B@:2) => +C(3;0) D(-1;-2) Chú ý:
Cĩ thê tìm tọa độ điểm H là hình chiếu của I trên đường thăng AB, sau đĩ tim A, B là giao điểm của đường trịn tâm H bán kính HA với đường thăng AB
Thí dụ 4: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật 48CD cĩ phương trình cạnh 4Ư:
x—2y—1=0, đường chéo BD: x-7y+14=0 và đường chéo 4C đi qua điểm E(2;1) Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật Giải: Cách 1: => B=(7; 3) , , _ 2 f = 0 =7 Điêm 8 = 41B¬BD > toạ độ điêm B là nghiệm của hệ: ; ” =Ù x—7y+l4=0 y=3 Gia su: A=(2a +]; a)€ AB:2-—2y-1=0; D=(7d -14; d)eBD:x—7y+14=0
= AB=(6-2a; 3—a), BD=(1d-21; d—3); AD =(7d —2a-15; d-a)
Vì 48 L 4D > 48.4D =0 ©(3~a)(I5đ —5a—30)=0 ©a=3( khơng thỏa ) hoặc 3đ — a— 6 = 0
=> a =3d -6 > 4D =(ä~3;6—2d) Hơn nữa: BC =(x¿„ —7; y„ —3)
ABCD là hình chữ nhật nên 4D BC Ey “ a ata 6— 2đ = y¿T—3 Vo =9-2d = FA =(6d -13; 3d-7), EC =(d +2; 8-2d) vad #3 Lại cĩ: E(2:1) e AC > EA, EC cùng phương <> (6d -13)(8-2d) =(d+2)(3d-7) > d’ -5d+6=0 @d=2>a=0>4(L0), 8(7;3), C(6;5), D(0;2) Vậy A(1;0),B(7;3),C(6;5),D(0;0) là các đỉnh của hình chữ nhật cần tìm Cách 2:
Ta cĩ BDm 4B = B(7;3), phương trình đường thăng BC: 2x + y— 17 = 0
Điểm A e 4B > A(2a +1;a),C e BC > C(c;17— 2ec),a # 3,c # 7,
1 enzeen
2 2
=> C=(d+4; 9-2d)
là trung điểm của AC, BD
Trang 21Điêm7 e 8D © 3c—a—18= 0 © a = 3c—18 => A(6c — 35; 3c —18) -Ä z ` —¡ n2 2 c=7 (loai) Ba diém E, A, C thang hang © FA,FEC cung phuong > c° —13c+42=00 C= Với c= 6 —> A(1;0), C(6;5) , D(0;2), B(7;3)
Thí dụ 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo lả: 3x+y—7=0, điểm B (0; -3) , điện tích hình thoi bằng 20 Tìm tọa độ các đỉnh cịn lai cua hinh thoi
Giải:
Vì 8(0;—3) khơng thuộc đường thẳng 3xz+ „—7 =0 nên Phương trình AC: 3x+ y—7=0, 8(0;-3)
Phương trình BD x-3y—9=0 A D
Toa d6 I= ACOBD => I(3;-2)
Do [ la trung diém BD nên (6;—])
Goi A(a;7-3a)€ AC tacd BD=2V10 1la-3Œ-~3)~°| ; nạ Suscp = 2S san © 2 Jeae 7 10 =10 B a=2 _ [| A@;1);CŒ(4;-5) C © do vậy a=4 A, (4;—5); C, (2;1) Cach khae: Sau khi tìm được tọa độ điểm D Ta cĩ A(a;7—3a) c ÁC, vì C đơi xumng voi A qua I nên C(6 —@;—l1+ 3a) 1 Suscp = 5 AD.BD =10 =© một phương trình theo a, từ đĩ ta được tọa độ điểm A và C
Trang 22
Thí dụ 7: Cho hình thang vuơng ABCD vuơng tại A và D cĩ đáy lớn là CD, đường thang AD co phuong trình 3x — y = 0, duong thang BD co phuong trinh x — 2y = 0, goc tạo bởi hai đường thăng BC va AB bang 45° Viết phương trình đường thắng BC biết diện tich hinh thang bang 24 va diém B cĩ hồnh độ dương Giải: 3x—y=0 =0 Tọa độ điểm D là: 4” 7ˆ” J7” = D(0;0)=O x-2y=0 y=0
Vecto pháp tuyến của đường thắng AD và BD lần lượt là 7, (3;—1),n; (1;—2)
=> cos ADB = = ADB= 45° > AD = AB (1) 5 Vì gĩc giữa đường thắng BC và AB bằng 45” => BCD = 45” = ABCD vuơng cân tai B= DC = 2AB 2 Theo bài ra ta cĩ: 5 ,sep = +(4B+ CD) AD = = = 24 => 4B=4= BD =4\2 Gọi tọa độ điểm B| xi5? } điều kiện x, >0 2 a) [so ($2) Bn 6œ „ - Ns of 0,408)
Vecto php tuyén cia BC 1a 1,, =(2;1)
Vậy phương trình đường thẳng BC là: 2x+ y— 4,/10 =0
Thí dụ 8: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ABCD là hình thang vuơng tại A và D cĩ BC = 2AB = 2AD Trung điểm của BC là điểm M(1; 0), đường thắng AD cĩ phương trình x — 43 y+3=0 Tìm tọa độ điểm A biết DC > 4B Giải: A B D ° Cc
Trang 23V6i m=2=> A(2V3 -3;2)
Với m=2xl3 ~2= A(3—2x3;2x3 —2]
Dạng 4: Bài tốn tìm điểm thuộc đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp: Đề tìm được tọa độ của điểm ta làm như sau
X =X, + at y=yạ+bi
Giả sử điểm M (x; y) cA<©M (x, + ats Vy + bt) Từ điều kiện cho trước dẫn tới một phương trình theo tham - Nếu đường thắng cho ở dạng tham số (chính tắc chuyền về tham số) cĩ dạng A:
số t, giải phương trình này tìm t từ đĩ tìm được điềm M - Nêu đường thăng cho 6 dang tong quat A: Ax+ By +C =0
Gia st diém M (xw:„ ) EAS Ax, + By, +C=0 (1) Tu điều kiện cho trước ta được phương trình (2) Từ (1) và (2) giải ra ta được tọa độ điểm M - :
Chú ý: Thường sử dụng phương trình tham sơ cho dê tính tốn vì cĩ một ân t, đương nhiên nêu cho dạng tơng quát thì vẫn chuyên được về tham sơ và ngược lại
THÍ DỤ MINH HỌA
Thí dụ 1: (ĐHDB 1 — D 2005) Trong mặt phăng với hệ tọa độ Oxy, cho đường trịn
(C):x? +? ~4x—6y—12 =0 Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thăng đ:2x— y+3=0 sao cho MI =2R, trong đĩ I la tâm và R là bán kính của đường trịn (C) Giải: Đường trịn (C) cĩ tâm7(2,3)., R = 5 Giả sử M (x„.y„ )€ (4) © 2xự — v„ +3=0<© y„ =2x„ +3 Theo gia thiét IM = (x, —2) +(», -3)° =10 © (xy 2) +(2xy +3-3) = 10 5x7, —4x,, -96 =0 xy =4> yy, ==> M(-4,-5) © =—— 24 =—-—>=M| —.— 63 24 63 Xu 5 es 4 ni
Thí dụ 2: (HDB 1 - D 2007) Trong mặt phẳng Oxy cho diém A(2, 1) lấy điểm B thuộc trục Ox cĩ hồnh
độ x > 0 và điêm C thuộc trục Ơy cĩ trung độ y = 0 sao cho AABC vuơng tại A Tìm B, C sao cho diện tích
AABC lớn nhất
Giải:
Ta cĩ 4(2;1),B(b;0),C(0;e) với b, e>0
Ta cĩ AABC vuơng tại A © 48.4C =0 với 4B =(b—2,—1), AC =(~2,e—1);
Do AABC vuơng tại A
= 4B-4€ =~2(b~2)—(e~1)=0e~1=~2(b~2)=>e=~2b+5>0=0<b<Š
NO
Ta lại cĩ S„„„ = 24B.AC = =e -IŸ +HJ4+(e—1Ÿ
Trích trong tập 10 chuyên đề OTĐH” 22 https://www.facebook.com/trithuc.viet.37
Trang 24Spc => (6-2) +1f4+4(b-2) =(b-2) +1 vi 0<b<Š nên Ÿ„„e =(b—2}” +1 lớn nhất © b= 0c = 5 Vậy các điềm cần tìm là 8(0,0) và C(0,5)
Thí dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 4 điểm 4(1;0), 8(—2;4),C(—1;4), (3:5) Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thắng A: 3z— y— 5 =0 sao cho hai tam giác MAB, MCD cĩ diện tích bằng nhau
Giải:
Viết phương trình đường AB: 4x+3y—4=0 và 4B =5
Viết phương trình đường CD: x—4y+17=0 và CD=J17 =f Phuong trinh tham so cua A: ( 34-5" MeA= M(t; 3t— 5) y=3t- Theo giả thiết Š,„; = S„„„ © đ(M, AB).AB = d(M,CD).CD ©/=-9ví =< => M(-9;-32), u(Z2| Vay co hai diém can tim 14 M(—-9;-32) v M ($2)
Trang 26
Thí dụ 5: (ĐH - B 2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(2;2) và các đường thắng đ.:x+y—2=0;đ, :x+ y—§=0 Tìm các điểm B và C lần lượt thuộc dị và d; sao cho tam giác ABC vuơng cân tại A Giải: Vì B e dị,C e d; nên B (b;2 — b), C(c;8 — c) Từ giả thiết ta cĩ hệ: AB.AC =0 bce—4b—c+2=0 os (6-1)(c -—4) =2 AB=AC b* —2b=c’ —8c +18 (b-1) -(c-4Y =3 Dat x =b-1; y=c—4 Giai hé taco: x =—2, y=—-1 hodc x =2, y= 1 B(-1;3), C(3;5) hoặc B(3;-1), C(5;3)
Thí dụ 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tai A, biết BAC =120° , M(1;2) 1a trung điểm của cạnh AC , đường thắng BC cĩ phương trình: x— y + 3 = 0 Tìm tọa độ điểm A biết điểm C cĩ
hồnh độ dương
Giải:
aT da Ute CHIẾU sac NGA 1-2 +3]
Goi H là hình chiêu của M lên BC; ta cĩ :M⁄H = đ(M; BC) = ¬ =42
` ˆ ` ^ 0 A ‘ , A MH
Vi AABC can tai A va BAC =120° > HMC =60 Taco: OS = IC
"` Ce BC:x-y+3=0=> C(a;a+3) voi a > 0
Vi MC =2V2 © MC? =8 8 (a—1) + (atl)? =8 Oa? =3 04a=V3 = C(V334 V3)
Thi du 7: (DH — D 2010) Trong mat phang toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cĩ đỉnh A(3;—7), trực tâm là H(3:—1) tâm đường trịn ngoại tiếp là 7 (—2:0) Xác định toạ độ đỉnh C, biết C cĩ hồnh độ dương
Giải:
Cach 1:
Noi dai AH cat đường trịn (C) tâm I tại đêm H"
= BC đi qua trung điêm HH' Phương trình AH : x= 3 Đường trịn (C) cĩ phương trình: (x+2)” + y? =74 HỈ là giao điểm của AH và đường trịn (C) > H'(3; 7)
Đường thăng BC cĩ phương trình: y = 3 cắt đường trịn (C) tại điểm C cĩ hồnh độ là nghiệm phương trình : (x+2)“ +3” = 74
—= x=65 —2 (lấy hồnh độ dương): y = 3
Vậy tọa độ điểm cần tìm là C( Vos — 2;3) Cach 2:
Gọi (C) là đường trịn tam I(—2;0), ban kinh R = [4=J74
Phương trình đường trịn (C) : (x+2)” + y7 =74
Gọi AA¡ là đường kính > BHCA; là hình bình hành —= HA; qua M trung điểm BC
Trang 27Phương trình BC qua M và vuơng gĩc AH: y-3=0 (x+2)}' + y” =74 Toạ độ C thoả hệ phương trình : ‡ y— 3 = 0 & | x>0 Vậy tọa độ điểm cần tìm là C(xj65 — 2;3) x=-2+~x/65 y=3
Thí dụ 8: (ĐH — B 2011) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thăng A : x— yT— 4= 0 và đ : 2x— y— 2 =0 Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d sao cho đường thắng ON cắt đường thăng A tại điểm M thỏa man OM.ON = 8 Giải: Cách 1: =at Phương trình ON cĩ dạng Ũ ĐH (a° +b’ #0), N(at,; bt,) va M (at,; bí, ) y = 4 a—b Điểm M = ON n đ: 2at; - btạ — 2= 0 ©>tạ= Điểm N = ON ^A: at - bt,—-4=0<>t¡= (a+b) 2azZb a, ) Suyra: N 4a _ 4b ,M 2a : 2
a—b a-D 2a—b 2a-b
Ta cĩ: OM.ON = 8 © aa +77 bana +; =8 © a” +b? =|a— b|Pa- b| a— a THI: a = 0 ta cĩ : b = bỶ, chọn b= 1 > W(0;-4), M (0;-2) TH2: a z 0, chọn a = 1 ta được: 1 + bŸ = |đ—b)(2—b)| © 1 + bỶ= |b?—3ð +2] b*—3b+2=1#P' o> bˆ -3b+2=—1—P” b= Oo | " 6 2 Vậy hai diém can tim la M (6; 2); N(S:; Cách 2: Điểm N e d>N (n; 2n—2) > ON =(n;2n-2) Diém M « A> M(m;m-4)> OM =(m;m—4) Nhận xét : 2 đường thắng d và A nằm cùng phía đối với điểm O nên OM.ON = 8 © OM.ON =8<m=5n(]) Ta cĩ OM cùng phương với ON © m.n+4n—2m= 0 (2) Từ (1) và (2) = 5n? ~ 6n = 0 n= 0 hay n= - Với n= 0 thì m= 0, ta cĩ điểm M (0;-4); N(0;-2)
Vớin= : thi m= 6, ta cĩ diém M (6;2); »[ $3)
BAI TAP VAN DUNG
Trang 28Bai 1: Trong mat phang toa dé Oxy, cho diém M (131) và hai đường thắng đ, :3x— y—5 =0,
đ,:x+y—4=0 Viết phương trình đường thắng d đi qua điểm M và cắt dị, dạ tương ứng tại A, B sao cho 2MA- 3MB =0
Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thắng đ, :x— y—2=0; đ;:2x+y—5 =0 Viết phương trình đường thắng A đi qua gốc tọa độ O cắt đ.; đ, lần luot tai A, B sao cho OA.OB = 10 Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường thắng A:3x—5y+2=0 và hai điểm A( -1; 2), B( 4; - 3) Viết phương trình đường thắng A; vuơng gĩc với đường thắng A đồng thời khoảng cách từ 8 đến đường
thắng A, bằng ba lần khoảng cách từ 4 đến đường thăng A,
Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thắng dị: 3x+ „+5 =0, dạ: 3x+y+l=0 và điểm /(1;-2) Viết phương trình đường thang di qua J va cat dị, d; lần lượt tại 4 và B sao cho 4B = 2/2
Bài 5: Trong mặt phăng Oxy, cho hinh vudng ABCD co M là trung điêm của cạnh BC, phương trình đường thăng
DM:x— y—2=0 và C(3;—3) Biết đỉnh A thuộc đường thắng đ : 3x + y— 2 =0, xác định toạ độ các đỉnh A, B, D
Bài 6: Trong hệ toạ độ vuơng gĩc Oxy, của mặt phẳng, hãy xác định toạ độ các đỉnh của tam giác nhọn ABC
biết chân đường cao lần lượt hạ từ đỉnh A, B, C là 77, (4;-1), H, (1:5), H, (-4;-5)
Bài 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A cĩ phương trình 2 cạnh AB, AC lần lượt là:
x+2y—2=0 và 2x+y+1=0, điểm 1⁄(1;2) thuộc đoạn BC Tìm tọa độ điểm D sao cho D8.DC cĩ giá trị
nhỏ nhất
Bài 8: Trong mặt phăng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD cĩ phương trình đường thăng AB, BD lân lượt là x—2y+1=0 và x—7y+14=0, đường thăng AC đi qua M(2;1) Tìm toạ độ điệm N thuộc BD sao cho
NA+NC nhỏ nhất
Bài 9: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuơng ABCD cĩ tâm7 33] , hai điểm A,B lần lượt nam trên đường thắng x+ y— 3=0 và đường thắng x+ y— 4= 0 Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuơng Bài 10: Trong mặt phăng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cĩ đường cao BH cĩ phương trình
3x+4y+10=0, đường phân giác trong gĩc A là AD cĩ phương trình là x — y +1 = 0, đêm M(0;2) thuộc đường thắng AB đồng thời cách C một khoảng bằng V2 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC,
Bài 11: Trong mặt phăng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A cĩ phương trình đường thăng
AB,AC lần lượt là 2x+ y—3=0 và x+2y—3 =0, đường thắng BC đi qua điểm 7(0;—1) Hãy xác định toa
độ các đỉnh A,B,C -
Bài I2: Trong mặt phăng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang vuơng ABCD vuơng tai A va D, diém A, B thuộc trục Ox, đường thăng BC cĩ phương trình x + y— 5 = 0, độ dài đoạn thăng AD = 2 Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang biết diện tích hình thang bằng 12 và tung độ các điểm C, D dương
Bài 13: Trong mặt phăng tọa độ Oxy, cho tam giác 48C cĩ trung điêm cạnh 48 là M/(—1;2), tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác là /(2;—1) Đường cao của tam giác kẻ từ 4 cĩ phương trình: 2x+ y+1=0 Tìm tọa độ đỉnh Œ
Bài 14: Trong mặt phăng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cĩ B(—12;1), đường phân giác trong gĩc 4 cĩ phương trình: x + 2y— 5 = 0 Trọng tâm tam giác ABC là G [s2] Viết phương trình đường thắng BC Bài 15: Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình đường thắng A sao cho A tạo với hai trục tọa độ một tam giác cĩ diện tích bằng = va chu vi bang 15
Trang 29a Tim toa độ các đỉnh B và C của hình vuơng OABC
b Gọi E và F theo thứ tự là các giao điểm của đường trịn (C) ngoại tiếp OABC với trục hồnh vả trục tung
(E và F khác gốc tọa độ O) Tìm tọa độ điểm M trên (C) sao cho tam giác MEF cĩ điện tích lớn nhất
Bài 17: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy
a Cho A(1;2) va B(4;3) Tim Me Ox sao cho ZAMB = 45°
b Cho hình vuơng ABCD, cĩ cạnh AB nằm trên đường thăng d: x— y + 8 = 0 Hai đỉnh C, D nằm trên parabol y = x? Viết phương trình tổng quát của CD
Bài 18: Trong mặt phẳng tọa dé Oxy, cho tam giác ABC với A(-1;4), B(3;0), e(-Zo), va diém M (1; 0) trên cạnh BC Hãy xác định tọa độ điểm N trên AB và điểm P trên AC sao cho chu vi tam giác MNP
nhỏ nhất
Bài 19; Trong mặt phăng tọa độ Oxy, cho diém A(1;1) và điêm B(3;2) Tìm điêm C trên trục Ox sao cho: a Tam giác ABC vuơng tại A Tính độ dài đường cao AH khi đĩ
b Chu vi của tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhât Bài 20: Trong mặt phăng tọa độ Oxy
1 Cho tam giác ABC cân tại C cạnh 48 :2x—3y+I1=0, cạnh 4Œ: x+5y—I4=0 Cạnh BC đi qua điệm M (3; 3) Hãy viết phương trình cạnh BC
2 Cho ba điểm A(-1;-2).,B(4;—1).C(3;2) và đường thắng đ:x—2y—2 =0 Tìm M thuộc d sao cho
MA + MB + MC| đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 21: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox;, cho các điểm 41(1;3), 8(—5;—3) Xác định tọa độ điểm M trên
đường thắng đ :x— 2yp+1=0 sao cho |2M4 _— MB| đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 22: Trong mặt phăng với hệ toạ độ Oxy cho điểm A(3;4) và hai điểm B, C lần lượt thuộc hai tia Ox và Oy sao cho A, B, C thăng hàng Xác định toạ độ điêm B và C sao cho diện tích tam giác OBC nhỏ nhât
Bài 23: Trong mặt phăng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cĩ đỉnh 4(-2;3) Đường cao CH nằm trên
đường thắng: 2x + „— 7 =0 và đường trung tuyến BM nằm trên đường thắng : 2x— „+ = 0 a Viết phương trình các cạnh và tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
b Tìm vị trí của điểm H trên trục Ox sao cho HA + HB + HC| nhỏ nhất? Tìm giá †r nhỏ nhất đĩ?
Bài 24: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam gidc ABC cé tam đường trịn ngoại tiếp là điểm 1(4;0) va phương trình hai đường thăng lần lượt chứa đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A cia tam giác là đ¡:x+ y—2=0 và đ, :x+2y—3=0 Viết phương trình các đường thắng chứa cạnh của tam giác
ABC :
Bài 25: Trong mặt phăng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biệt đường cao hạ từ đỉnh A cĩ phương trình
3/2
ai 9 9 « ff y 9 `
x—y=0, diém / (3:5) la tam duong tron ngoai tiép va khoang cach ttr I dén duong thang BC bang 7” đường thẳng đi qua đỉnh B cĩ phương trình x + 5y — 14 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết tung độ của A và B đêu khơng lớn hơn 2
Bài 26: Trong hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC, biết phương trình cạnh: (8C) :x— y+1= 0 Hai đường
phân giác trong của gĩc B vàC lần lượt cĩ phương trình đ, :2x+ y—1= 0;đ, :x+ y—3 = 0 Viết phương trình cạnh AB của tam giác ABC
Bài 27: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề-các vuơng gĩc (Ĩxy) cho tam giác 48C và đường thắng A cĩ
Trang 30đường cao kẻ từ Ư và trung điểm cạnh 4Ø Tìm tọa dé cac dinh cua tam gidc ABC biét rang trung diém M cua canh BC nam trén dudng thang A va diem M cĩ hồnh độ lớn hơn 2
Bài 28: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC cĩ A(1;1); B(—2;-4); C(5:—1) và đường thẳng A : 2x —3y+ 12=0 Tìm điểm M4 eA sao cho: |Ä#4+ Ä4B + MCT| nhỏ nhất
Bài 29: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Ĩxy, cho tam giác ABC cân tại A, cạnh BC năm trên đường thắng cĩ
phương trình x+2y— 2 = 0 Đường cao kẻ từ B cĩ phương trình z— y +4 = 0, điểm M (—1;0) thuộc đường
cao kẻ từ đỉnh C Xác định toạ độ các đỉnh của tam giác ABC
Bài 30: Trong mặt phăng với hệ toạ độ xy, cho tam giác ABC, phân giác trong AD cĩ phương trình x+y—2=0, đường cao CH cĩ phương trình x-2y+5=0 Điểm 4⁄(3;0) thuộc cạnh AC thoả mãn AB=24AM Xac dinh toạ độ các đỉnh của tam giác ABC
Bài 3l: Trong mặt phăng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác 1ZC cĩ phương trình đường thăng AB:2x+y_—]1=0, phương trình đường thăng 4C:3x+4y+6=0 và diém Ä⁄(l;—3) năm trên đường thắng 8C thỏa mãn 3MB = 2MC Tim toa dé trong tam G của tam giác ABC
Bai 32: Trong mat phang voi hé toa d6 Oxy, cho duong thang d:x-—3y-6=0 va diém N (3:4) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thắng d sao cho tam giác OM⁄N (O là gốc tọa độ) cĩ diện tích bằng =
Bài 33: Cho (P): yŸ = x và đường thắng d: x — y— 2 = 0 ct (P) tai hai diém A va B Tim diém C thudc cung AB sao cho A ABC cĩ điện tích lớn nhất
Bai 34: Trong mat phang voi hé toa dd Oxy, cho hinh chir nhat ABCD cĩ diện tích băng 12 Tâm 7 là giao điểm của hai đường thắng d,:x—y—3=0 va đường thắng đ,:x+ y—6=0 Trung điểm của cạnh AD là
giao điểm của đ, với trục hồnh Xác định tọa độ bốn đỉnh của hình chữ nhật
Bài 35: Trong mặt phăng tọa độ Oxy cho các điểm M (0;2), N (5;—3), P(—2;-2), Q (2;-4) lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuơng ABCD Tính diện tích hình vuơng đĩ
Bài 36: Cho tam giác nhọn 445C đường thăng chứa trung tuyên kẻ từ đỉnh 44 và đường thăng ĐC lân lượt cĩ phương trình: 3x+5y—8§=0,x— y—4=0 Đường thăng qua 4 kẻ vuơng gĩc với 8C cắt đường trịn ngoại
tiếp tam giác 48C tại điểm thứ hai là 72(4;-2) Viết phương trình các đường thăng 4ð, 4C, biết hồnh độ điểm 8 khơng lớn hơn 3
Bài 37: Trong mặt phăng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD cĩ diện tích băng 6, phương trình BD là 2x+y_—12=0, AB đi qua M(5;1), BC đi qua N(9;3) Việt phương trình các cạnh hình chữ nhật biệt hồnh độ của điểm B lớn hon 5
Bài 3§: Trong mặt phăng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD biệt phương trình của một đường chéo là:
3x+y—7=0,điểm #(0;-3) Tìm tọa độ các đỉnh cịn lại của hình thoi biết diện tích hình thoi bằng 20
Bài 39: Trong mặt phăng tọa độ Oxy, cho hình thang vuơng ABCD vuơng tai A va D cĩ đáy lớn là CD, đường thăng AD cĩ phương trình 3x — y = 0, đường thăng BD cĩ phương trình x — 2y = 0, gĩc tạo bởi hai đường thăng BC và AB băng 45” Viết phương trình đường thắng BC biết diện tích hình thang bằng 24 và điêm B cĩ hồnh độ dương
Bài 40: Viết phương trình đường thắng chứa các cạnh của tam giác ABC biết B(2;-1), dudng cao và
đường phân giác trong qua đỉnh A, C lần lượt là 3x— 4y +27 =0và x+2y—5=0
Bài 41: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, tìm điểm 4 thuộc trục hồnh và điểm Ø thuộc trục tung sao cho 4 và ð đối xứng với nhau qua đường thắng đ :2x— y+3= 0
Trang 31Bai 42: Trong mat phang tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cĩ A(3;4), trọng tâm s[Š2)] , trực tâm H(3;3) Tìm tọa độ các đỉnh B, C của tam giác
Bài 43: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với AB = X5, đỉnh C (—-1;—1), đường thang AB cĩ phương trình x + 2y— 3 = 0 và trọng tâm của tam giác ABC thuộc đường thắng x+ y— 2 = 0 Tìm tọa
độ các đỉnh A và B Ộ
Bài 44: Cho tam giác nhọn 48C Đường thăng chứa đường trung tuyên kẻ từ đỉnh 4 và đường thăng 8C lân lượt cĩ phương trình là 3x + 5y —8 = 0, x— y—4=0 Đường thăng qua 4 vuơng gĩc với đường thăng ƯC cắt đường trịn ngoại tiếp tam giác 4ĐC tại điểm thứ hai là D(4:-2) Viết phương trình các đường thắng 4ð,
AC; biết rằng hồnh độ của điểm khơng lớn hơn 3
Bài 45: Trong mặt phăng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD cĩ diện tích băng 6 và hai đỉnh
A(1;-2), 8(2;-3) Tìm tọa độ 2 đỉnh cịn lại, biết giao điểm 2 đường chéo của hình bình hành năm trên trục
Ox và cĩ hồnh độ dương
Bài 46: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cĩ diện tích bằng = , haidinh A (1;-2),
B(-2;2) Tim toa d6 dinh C, biết trong tâm tam giác thuộc đường thăng: x + y = 0 và cĩ hồnh độ đương Bài 47: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thắng đ, :2x— y—l=0; đ,:x+2y+2=0
và điểm /(3;1) Gọi A là giao điểm của dị và dạ Viết phương trình đường thắng A di qua I và cắt dị, d; lần
Bài 48: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cĩ diện tích bằng 4, đường thắng AB cĩ phương trình: x — y =0, trung điểm đoạn thăng BC la M(1;2) Tim toa độ trung điểm N của AC, biết N cĩ hồnh độ dương
Bài 49: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác 48C cĩ đỉnh 4(2;1), trực tâm #714; —7), đường trung tuyến kẻ từ đỉnh 8 cĩ phương trình: 9x — 5y — 7 =0 Tìm tọa độ các đỉnh ÿ và C
Bài 50: Trong mặt phắng tọa độ Oxy, cho tam giác 48C cân tại đỉnh 4, phương trình 4Ư: x + 2y— 4= 0, 8C: 3x +y—7=0 Tìm tọa độ các đỉnh 4 và C, biết rằng diện tích tam giác 48C bằng : và điểm 4 cĩ hồnh độ dương
Bài 51: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác 4C vuơng tại 4, biết 8 và C đối xứng nhau qua gốc tọa độ Ĩ Đường phân giác trong gĩc Ư của tam giác 4C là đường thắng (đ): x+ 2y— 5 =0 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác 48C, biết đường thắng 4C đi qua điểm K (6; 2)
Bai 52: Trong mat phang voi hé toa dd Oxy, cho tam gidc ABC cé dinh A(3;—4) Phuong trình đường trung trực cạnh 8C, đường trung tuyến xuất phát từ Œ lần lượt là x+y—1=0 và 3x—- y—9=0 Tìm tọa độ các đỉnh B, Ccủa tam giác 45C
Bai 53: Trong mat phang toa d6 Oxy, cho tam giac ABC co AB= AC dinh A(6; 6), duong thang Adi qua
trung điểm của các cạnh 4Ø và 4C cĩ phương trình (me R) điểm P(1;— 3) nắm trên đường cao
đi qua đỉnh C của tam giác ABC Tìm tọa độ các đỉnh Ø và C
Bài 54: Trong mp tọa độ Oxy, cho AABC cĩ A(2; ;5)» B(-4;0), C(5;-1) Viết phương trình đường thắng đi qua A và chia AABC thành 2 phần cĩ tỉ số diện tích bằng 2
Trang 32Bài 55: Trong mặt phăng tọa độ Oxy, cho tam giác 48C cĩ đường phân giác trong kẻ từ 4, đường trung tuyến kẻ từ ư và đường cao kẻ từ C lần lượt cĩ phương trình: x + y— 3 = 0,x— y+1=0,2x+y+1=0 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giac ABC
Bài 56: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi 4BCD cĩ 4(1; 0), 83; 2) và ABC =120° Xác định tọa d6 hai dinh C va D
Bai 57: Trong mat phang toa dd Oxy, cho hinh chir nhat ABCD cĩ diện tích bang 16, cac duong thang AB,
BC, CD, DA lần lượt đi qua các điềm M(4;5), N(6;5), P(5;2), Q(2;1) Viết phương trình đường thang AB
Bài 58: Trong mặt phăng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD cĩ diện tích § = 4, biêt A(1;0), B(2;0) va giao diém I của hai đường chéo AC và BD năm trên đường thăng y = x Tìm tọa độ các đỉnh C, D Bài 59: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác 4BC cĩ 4B = X5, C(-1;-1), duong thang AB cd phương trình là x+2y—3=0 và trọng tâm Ở của tam giác 4C thuộc duong thang A:x+ y—2=0 Tim
tọa độ các đỉnh 4 và B Ộ
Bài 60: Trong mặt phăng với hệ tọa độ Ĩxy, cho hình thoi 48CD cĩ 4Œ:x+7y—31=0, hai đính 8,D lần lượt thuộc các đường thắng đ, :x+ y—8=0, đ;:x—2y+3 =0 Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi biết rằng
diện tích của hình thoi bằng 75 và đỉnh 4 cĩ hồnh độâm
Bài 61: Trong mặt phăng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thăng d;//d; lân lượt cĩ phương trình là : đi :x—y+2=0; d:x-y—2=0
1 Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm 4(-2;0) và vuơng gĩc với d;
2 Viết phương trình đường thẳng dạ sao cho dị, da, dạ, dạ cắt nhau tạo thành một hình vuơng
Bài 62: Trong mặt phăng với hệ tọa độ 0xy cho hai đường thăng dị: x + 2y — 7 = Ư và d;: 5x + y— 8= 0 và điệm G(2;1) Tìm tọa độ điêm B thuộc dị điêm C thuộc d; sao cho tam giác ABC nhận điêm G làm trọng tâm
biệt A là giao điệm của dị và dạ
Bai 63: Trong mat phang hé toa dd Oxy, cho ba đường dị: x - 2y + I = 0; dạ: 3x— y— 2= 0; d;: 2x +y+ 1= 0 Tìm điểm M trên dị điểm N trên d; sao cho MN = V5 và MN Song song với đa
Bài 64: Trong mặt phẳng hệ toạ độ Oxy, viết phương trình các cạnh của tam giác ABC, biết 4(;3) và hai
trung tuyến cĩ phương trình la: d, :x -2y +1=0 va d,:y-1=0
Bài 65: Trong mặt phăng với hệ tọa độ Đề các vuơng gĩc Oxy, cho tam giác ABC, biết phương trình các đường thăng AB, AC lần lượt là: x+ y+3=0,2x— y—2 =0 Biết trung điểm của cạnh BC là 4⁄ [Ta )} Hãy viết phương trình đường thăng chứa cạnh BC
Bài 66: Trong mặt phăng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC Trung tuyến kẻ từ A và đường cao kẻ từ B lần lượt cĩ phương trình là x+3y+l=0 và x—y+1=0 Biết M(-1;2) là trung điểm AB Tìm tọa độ điểm C,
Bài 67: Trong mặt phăng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cĩ A(1;2), B(-5;-1),C(7;0) a Viết phương trình cạnh AB và tính độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ đỉnh C
b Tính gĩc BAC của tam giác ABC
Bài 68: Trong mặt phăng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cĩ B(0;2); trung điêm I của đoạn thắng AC năm trên đường thắng x + y— 4=0 và đường phân giác trong gĩc A cĩ phương trình x—1 =0 Xác định tọa độ điểm C biết tam giác ABC cĩ diện tích bằng 4
Bài 69: Trong mặt phăng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD đường thăng AB cĩ phương trình: x—2y+I= 0 đường thắng BD cĩ phương trình: x— 7y+14=0 đường thắng AC đi qua M(2,1) Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD
Trang 33Bài 70: Trong mặt phăng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD Cạnh AB và đường chéo BD, theo thứ tự đĩ nằm trên các đường thắng cĩ phương trình: đ,:x+7y—7=0 và đd, :x+2y—7 =0; một đỉnh cĩ toạ độ là (0;1) Viết phương trình các cạnh cịn lại
Bài 71: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuơng ABCD, điểm C (3;-3) và điểm A thuộc đường thắng d: 3x + y— 2 = 0 Gọi M là trung điểm của BC, đường thắng DM phương trình : x — y—2 = 0 Xác định tọa độ các diém A, B, D
Bai 72: Trong mat phang tọa độ Oxy, cho tứ giác MNPQ với M(TL-8).N[ 4-3 ].P(2).Ø(%) và
điểm 7 [i 5) Tim tọa độ các điểm A, B, C, D lần lượt nằm trên các đường thắng MN, NP, PQ, QM sao cho ABCD là hình bình hành nhận I lam tam
Bài 73: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD cĩ Œ (-2:3) đường thăng chứa cạnh CD đi
qua điểm 4⁄ (2;1) Đường thắng chứa BD cĩ phương trình: 2x + y — 11 = 0 Xác định tọa độ các đỉnh cịn lại
của hình chữ nhật trên
Bài 74: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình bình hành ABCD cĩ C(3;—1), đường thăng chứa BD và đường thắng chứa đường phân giác của gĩc ⁄D4C lần lượt cĩ phương trình là: x—2y—l1=0 và x—Il=0 Xác định tọa độ các đỉnh cịn lại của hình bình hành trên
Bài 75: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cĩ cạnh AC đi qua M (0;—1) Biết AB = 2AM, đường phân giác trong AD và đường cao CHl lần lượt cĩ phương trình là x- y=0 và 2x+ y+3=0 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC
Bài 76: Trong mặt phăng với hệ toạ độ 0xy, cho điêm A(2;1) Lay điệm năm trên trục hồnh co hồnh độ khơng âm sao cho tam giác 4C vuơng tại 44 Tìm toạ độ Z8, € đê tam giác 4C cĩ diện tích lớn nhat
Bài 77: Trong mặt phẳng với hệ tọa dd Oxy, cho tam giác 48C vuơng ở 4 Biết 4(-—1;4) 8(1;-4) và đường
, 2
thang BC di qua diém M Re Hay tim toa d6 dinh C
Bai 78: Trong mặt phăng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuơng 48CD Điểm M (3:7) là trung diém cia AB; Diém N nam trén doan AC sao cho AN =3NC Tim toa d6 diém 4 biết phương trình đường thắng DN là
2x#y=9
Bài 79: Trong mặt phăng tọa độ Oxy Cho AABC cĩ 4(-3;1), 8(;2),C;0)
a Viết phương trình cạnh BC và tìm tọa độ chân đường cao hạ từ A của tam giác ABC
b Viết phương trình đường thang qua A chia AABC thanh hai tam giác biết răng diện tích của tam giác đỉnh B gâp 3 lân diện tích tam giác đỉnh C
Bài 80: Trong mặt phăng Oxy, cho A ABC cĩ trọng tâm G(0;3), trung điểm của AB là (2;3) phương
trình phân giác trong của A là đ :x + 2y—7=0 Tìm toạ độ của A, B, C
Bài 81: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác 48C vuơng cân tại 4 Biết A⁄(3; —1) là trung điểm canh BC, o($:-] la trong tam tam giac ABC Tim toa d6 cac dinh B, C
Bài 82: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác 48C cĩ đường trung tuyến 8X và đường cao 4H lần lượt cĩ phương trình: 3x + 5y + 1 = 0 và 8x — yT— 5 = 0, và Ä⁄ (-1-3 là trung diém canh BC Xac dinh toa d6 cac dinh cua tam giac ABC
Trang 34Bài 83: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm C(2;-5), dudng thing A:3x-4y+4=0 Tim trén
đường thắng A hai điểm 4 và 8 đối xứng nhau qua J [2 ; sao cho diện tích tam giác 4BC bằng 15
Bài 84: Trong mặt phăng Oxy, cho hinh chit nhat ABCD cĩ điện tích bằng 12, tâm I la giao diém cua hai duong thang dj,d2 lan luot co phuong trinh: x- y—3=0 va x+ y—6+0 Trung diém M của cạnh AD là giao điểm của dị với trục Ox Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật
Bài 85: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cĩ 4B=x5,C (-1;-1),phuong trình cạnh
AB:x—2y—3=(0, trọng tâm G thuộc đường thang: x+y—2=0.Tim tọa độ các đỉnh A, B
Bài 86: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD cĩ 4:2x+ y—1=0, điểm 7(-3;2)
thuộc BD: 7 = 21D Tìm tọa độ A, B, C, D biết điểm D cĩ hồnh độ dương và AD = 2AB
Bài §7: Trong mặt phăng tọa độ Ĩxy, cho hình vuơng 4BCD trong đĩ 4 thuộc đường thắng x+ y—1=0 và CD cĩ phương trình 2x— y+3=0 Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuơng biết hình vuơng cĩ diện tích bằng 5
Bài 88: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD cĩ D(—6;—6) Đường trung trực của đoạn DC cĩ phương trình đ, :2x+3y +17 = 0 và đường phân giác gĩc < BÁC cĩ phương trình đ, :Š5x+ y—3=0 Xác định tọa độ các đỉnh cịn lại của hình bình hành
Bài 89: Trong mặt phăng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD cĩ G là trọng tâm ABCD, phương trình đường thăng DG: 2x— y + ] = 0, phương trình BD: 5x — 3y +2 = 0 và C(0;2) Tìm tọa độ các đỉnh A, B, D của hình bình hành
Bài 90: Trong mặt phẳng Oxy, cho 2 đường thắng d :2x— y—1=0, đ,:2x+y—3=0 Gọi I là giao điểm
của dị và dạ; A là điểm thuộc dị, A cĩ hồnh độ dương khác 1 (0 < xa # 1) Lập phương trình đường thắng
A đi qua A, cắt d; tại B sao cho diện tích ATAB bang 6 va IB = 31A
HUONG DAN GIẢI Bai 1: Ta cĩ A e dị nên 4(x,;3x, -5),B e d; nên B(x;;4— x;) oo _ |2M4=3MB (1) Vi A, B, M thăng hàng và 2MA =3MBnên| — 2MA=-3MB (2) 3.9 5 2(x, —1)=3(x, —] MDE J5E2 ——= 5 2.5) 3022) (M22 Từ (1) =| 2(3x, —6) = 3(3 — x,) #s = Suyra đ:x—y=0 ` 2(x, —1) =-3(x, -)) x, =1 _ Từ (2) © bai _6)=-33-—x,) © | > A(I;-2),8(;3) Suyra đ:x—1=0 Vậy cĩ hai đường thăng thỏa mãn là đ : x— y = 0 hoặc đ : x —l = 0 Bài 2:
Do A qua O, nên cĩ phương trình dạng : x = 0 hoặc y = kx
Nếu phương trình A: x=0 ; khi đĩ A= A“đ,:x—y—2=0= A(0;-2) Anđ,:2x+>y—5=0> B(0;5) => OA.OB = 10 (thỏa mãn)
Trích trong tập 10 chuyên đề OTĐH” 33
X;ạ—
Trang 35Nêu phương trình A: y = kx Do 4=Ar¬đ, nên tọa độ của A là nghiệm của hệ phương trình : 2 x-y-2=0 o |” 1-g ——;—— 2 ¬] y=k 2k I-k 1-k l-k Do ưB=A¬đ, nên tọa độ của A là nghiệm của hệ x= 5 2x+y-5=0 x+y o 24k he | yak _ Sk 2+k 2+k 2+k 4+4k? 25+25k” - I-## `“ 2+# k?Ề+1=k?+k—2 a9 ©|# +1) =(k? +k-2) “fee _ xế 7 t=-lg=1 2
Khi d6 OA.OB = 10 © O4’ OB? = 100 ©
=> Phuong trinh cua duong thang A la: y =3x;y =—-x; y = = Bai 3: Đường thẳng A, vuơng gĩc với đường thăng A — A, cĩ đạng: 5x + 3y +mm=0 II+m| — JL+ m=4=>A,:5x+3y+4=0 d(B,A,)=3d(4,A,)<< —— ( 1) ( >) J34 = J34 = m=—2 => A, :5x43y—2=0 Bai 4: Aeéd, => A(a;-3a—5);B ed, = B(b;-3b-1) TA=(a—l1;—3a—3) #0; IB = (b—1;~3b +1)
ơn Sa | Oa = k(a—1)
I, A, B thang hang => IB=kIA<&
—3b +1=k(-3a—3) Néu a=1>b=1=> AB =4 (loai)
Trang 36A B N M D Cc — = A 3;—7 Gọi A(¿-3+2).Ta 06: d(A,DM)=2d(C,DM) = A _ 24 , : =| ———-= & 7) 42 42 |i=Ã (-t5) Mặt khác A,C nằm về 2 phía của đường thăng DM nên chỉ cĩ A (—I;5) thoả mãn Goi D(m;m-2) c DM thì AD=(m+l;m—7),CD = (m ~3;m + l) T m=) DA.DC =0 c> DA=DC me | cm=5 Do ABCD là hình vuơng | (m+1) +(m-7) =(m-3) +(m+1) => D(5;3) Ta cĩ DC = (-2;-6) Goi B(x;:y,)=— AB =(%, FEF, —5) "sư ` " #, +17 -2 xX, =—3 Do ABCD là hình vuơng > AB = DC © c© => B(-3;-1) Vg -5=-6 yg =—l Kết luan A(-1;5), B(-3;-1), D(5;3) Bai 6: A H2 H3 B | Lb - H1 -
Nhận thấy H¡A là phân giác trong của gĩc H; vỉ vậy BC là tia phân giác ngồi do đĩ để tìm phương trình các cạnh AB;AC ; BC ta chỉ cân tìm phương trình đường phân giác ngồi của các gĩc H¡; H; ;H; của tam giác H;:H;H; thậy vậy:
Ta cĩ phương trình H,H, : 2x+y—7=0; HH, ;x—-2y-6=0; H,H,:2x—- y+3=0 Phương trình phân giác trong và ngồi của gĩc H; là: x+ y+ 9=0(1) va x—y-1=0 thay toạ độ H và H; vào (1) ta suy ra phương trình 4Ư :x+ „+9= 0
Tương tự : Phương trình 4C: y—5=0 Phương trình ØC :3x— y—13=0
Trang 37+y+9=0 ore => A(-14;5) Toạ độ A là nghiệm của hệ: +y+9=0 Toạ độ B là nghiệm của hệ: ử = B(;—10) 3x-—y-13=0 3x-—y-13=0 Toa d6 C là nghiệm của hệ: => C(6;5) Bai 7: Gọi vtpt AB, AC, BC lần lượt là: n, = (1;2),, = (2;1),n, = (a;b) Phương trình BC cĩ dạng: ø(x —1)+ b(y— 2) =0,ø” +b? >0 Tam giác ABC cân tại A nên: — — — — 2 2a+b =— cos B = cosC <= |cos(n,,7,)| =|cos(n, 7,)) <> jax 4 = | a | =)" ? V0 4B NS) Va +b? V5 a=b —2 | Voi a=-b chon b=-l>a=1> BC: x=y+I=0= BC |“: ] Khơng thỏa mãn M thuộc đoạn BC
Voi a=b chon a=b=1> BC:x+y-3=0 = B(4;-1);C(-4;7) Thoa man M thudc doan BC Gọi trung điểm của BC là /(0;3)
mãn _ _ _, _ = B 2 2
Ta cĩ: DB.DC = (DI + IB)(DI +IC) = DI? - - 4 ;
Dấu bằng xảy ra khi D =7 Vậy D(0:3)
Bài 8: ;
Tu giac ABCD la hinh chữ nhật nên gĩc giữa AC và AB băng gĩc giữa AB và BD, kí hiệu
nụ =(l;—-2); Nyy = (13-7); Nye = (a3b) (voi a? +b? > 0) lần lượt là vtpt của các đường thắng AB, BD, AC ——= — Khi đĩ ta cĩ: lcos(,ø.z} cos (4c Ọ Nap :———*šY as a=-b ©|a~2M|=-— va +) © 7a? +8áb+b” =0 b a=- = 7
Voi a=-b Chon a=1>b=-1 Khi đĩ Phương trình AC: x— y— 1=0
Trang 38IA = IB ABCD vuéng tam I nên 4_—, _ LA.IB =0 IA=IB =(a-š] +[s-s]" (5-3) +(3-0) (1) 2 2 2 2 TAB =0 ¢>{a->|(b-2|+(5—a}(5-b)=0 ce 2ab—4a-3b+7=0 2 2 3b-7 ˆ Lo Sa & 2a (b-2)=3b-7@ “= 76 2) (do b= 2 khơng thỏa mãn) (2) Thay (2) vào (1) -2b+3\ ` +|—_ | =28? -8b+— © (5-2bÝŸ , 34 8b? -32b+34 8h? -32b4+34 —= 2b—4 2b—4 4 4(b —2) 4 8b’ —32b+34=0 (3) > (b—2} =1 (4) Phương trình (3) vơ nghiệm b=1 a=2 (4) =ls-3>| Trường hợp 1: a = 2, b= 1 = A(2;1);B(13) Do I la trung điềm của AC, BD nên C(3;4);D(4;2) Trường hợp 2: a =1, b= 3 => 4(1;2): 8 (3:1) Do I là trung điểm của AC, BD nên C(4:3);/2(2;4) Bài 10: a=]
Gọi A là đường thăng đi qua điểm M và A L 4D, A cắt AD tại [ và cắt AC tạiN
Ta cĩ ø =(1;—1) là vtpt của AD, do A.L 4Ð => ø =(1;—1) là vtcp của A — phương trình tham số của x=t A:| ©A:x+y?£0 y=2-í A ` "A 3 x + y ~ 2 = 0 Do [=ANAD => tọa độ I là nghiệm của hpt: c© x-y+1=0 I | 2| | m
Tam giác AMN cĩ d; vừa là đường cao, vừa là phân giác nên là tam giác can tại => I la trung điểm của MN => N(1;1)
Cĩ m = (3;4) là VTPT của BH => ø¿ = (4;-3) là vtcp của BH, do 8H L 4C = „, =(4;—3) là vtpt của AC,
do AC đường thắng đi qua điểm N(1;1) nên 4C: 4(x—1)—3(y—1)=0 = AC: 4x- 3y—1 =0
Trang 39= A(4;5) 4x-—3y-1=0 =4 Do 4= 4C ¬ 4D > tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình: c© Ù x-y+l=0 y=5 AB là đường thẳng di qua điểm M(0;2) nhận MA =(4;3) lam vec to chi phuong ` kK» X= 41 — phương trình tham sơ của AB â AB:3x-4y+8=0 y=2+3t x=-3 ae ơ 3x-4y+§=0 1 Do B= ABO BH — tọa độ B là nghiệm của hpt & _1 = B| -3; 3x+4y+10=0 y=— 4 4 Goi C(a,b) AC > 4a-3b-1=0>b= — => c(a ‘a | ta co Me ={ a #X—7) >=lE=y=l 2 Theo giả thiết =2©.25a” -56a+31= 0< 31 33 = — => =— * 25 đ 25 = C(:1) hoặc C 31,33 25 25
Vì 4D:x— y+1=0 là phân giác trong gĩc A của tam giác ABC kiểm tra điều kiện
(x; — y; +1)(xe - y„e +1)< 0 cả hai điểm C trên đều thỏa mãn Bai 11: 2x+y-3=0 =| Toạ độ của A là nghiệm của hệ :J“” ”” xg?p-A=g” ©ƯỨN (1L) lv MI 1 MA Gọi M (x,;y, ) là trung điểm của BC, từ giả thiết ta cĩ: 9i M uy, là trung ă (Me) deat, a0 %o-(Xạ — L) + ạ +1)(% >]) =0 7 = Vo => |2xạ +wa—3| _ |xạ +2y¿ —3| © 4| *o †o =2 mA - v5 Xy +Yy —% —1=0 23 ofa dể 2x ¿—=xy=l=0 U — |2x,2-5x,+3=0 © xạ = yạ =lUx¿ =ÿ ==!U " °° hốt 2 2 l Jh.—> 2 + Với xạ = yạ =l ta cĩM = 44 (loại) — L1
+ VỚI x„ = y¿=— tacĩ M⁄| ——;—— a — Vo | 2 ;]
— Phương trình đường thắng BC :x+ y+1=0 suyra B(4;-5);C(-5;4) x ›=Ẻ 3 + Với 2 ta co M[Š:;) 1 2 v0 5 ` ` ‡ 4 1 5 2
= Phuong trinh duong thang BC :x- y—1=Osuyra B 3°3 ;C 313
Trang 40Vậy A(1;1),(4;-5),C(—5;4) hoặc A(it).8( 3:3 ).c( 3:2)
Bài 12: —
Tọa độ điêm B là nghiệm của hệ:
» et "> B(5;0) x+y-5=0 y=0
Vì C, D cĩ hồnh độ dương, AD = 2, ABCD là hình thang vuơng Suy ra C và D thuộc đường thăng cĩ phương trình y = 2
Tọa độ điêm C là nghiệm của hệ:
v) =3
» et > C(3;2)
x+y-5=0 y=2