Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng phương trình đường thẳng

PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG u n d Các khái niệm cần học trƣớc đọc tài liệu: - Để làm toán chương này, em cần hiểu rõ khái niệm vecto phương( vecto phương với đường thẳng 𝑢) pháp tuyến ( vecto phương vng góc đường thẳng 𝑛) - Khi viết phương trình đường thẳng, ta phải biết điểm qua vecto pháp tuyến ( phương) - Nếu đường thẳng viết dạng ax+by+c=0 vecto pháp tuyến 𝑛 𝑎; 𝑏 vtcp 𝑢 −𝑏; 𝑎 𝑢 𝑏; −𝑎 - Trong phương trình tổng quát ta sử dụng vecto pháp tuyến, phương trình tắc tham số sử dụng vecto phương Phƣơng trình tham số đƣờng thẳng: Đường thẳng  qua M0 ( x0 ; y0 ) có VTCP u  (u1; u2 ) Phương trình tham số :  x  x0  tu1   y  y0  tu2 (1) ( t tham số) Phƣơng trình tắc đƣờng thẳng: Đường thẳng  qua M0 ( x0 ; y0 ) có VTCP u  (u1; u2 ) Phương trình tắc : x  x0 y  y0  u1 u2 (2) (u1  0, u2  0) Phƣơng trình tổng quát đƣờng thẳng: ax  by  c  với a2  b2  với VTPT n  (a; b) CHUYÊN ĐỂ 1: Chuyển đổi qua lại phương trình đường thẳng *) Chuyển phương trình đường thẳng từ dạng tổng quát ax+by+c=0 tham số, tắc: Phƣơng pháp: Cách 1: Tìm vtpt 𝑛 𝑎; 𝑏 ⇒ 𝑣𝑡𝑐𝑝 𝑢 −𝑏; 𝑎 Tìm điểm qua 𝑀 𝑥0 ; 𝑦0 ( cách cho trước giá trị, tính giá trị cịn lại theo giá trị vừa cho) Cách 2: Đặt 𝑥 = 𝑓 𝑡 𝑦 = 𝑓 𝑓 rút ẩn lại theo t để đưa dạng tham số Bài Cho phương trình đường thẳng 2x+ 3y = Hãy chuyển phương trình dạng tham số, tắc Trang HD: Cách 1: Tìm vtcp điểm qua, thay vào phƣơng trình tắc tham số Ta có: vtpt 𝑛 2; ⇒ 𝑣𝑡𝑐𝑝 𝑢 −3; Cho x = suy y = 𝑥 = − 3𝑡 ; 𝑡∈𝑅 𝑦 = + 2𝑡 Phương trình tham số là: Phương trình tắc : 𝑥−0 −3 = 𝑦−2 Cách 2: Đặt x y theo biểu thức chứa t ( em đặt x = 2t; t-1….tùy thích) Rút ẩn cịn lại theo t ta đƣợc phƣơng trình tham số, từ tham số chuyển tắc Đặt x = t-1 suy 2(t-1) +3y = ⇒ 𝑦 = − 𝑡 𝑥 = −1 + 𝑡 Vậy phương trình tham số là: 𝑦 = − 𝑡 ; 𝑡 ∈ 𝑅 3 Phương trình tắc là: 𝑥+1 = − 𝑦− *) Chuyển phương trình đường thẳng từ dạng tham số, tắc dạng tổng quát Phƣơng pháp: Cách 1: Tìm 𝑣𝑡𝑐𝑝𝑢 ⇒ 𝑣𝑡𝑝𝑡𝑛 Tìm điểm qua 𝑀 𝑥0 ; 𝑦0 thay vào phương trình tổng quát: 𝒂 𝒙 − 𝒙 𝟎 + 𝒃 𝒚 − 𝒚𝟎 = 𝟎 Cách 2: Khử t phương trình tham số: Bài Chuyển phương trình đường thẳng sau dạng tổng quát: 𝑥 = + 2𝑡 ; 𝑡∈𝑅 𝑦 = −2 + 5𝑡 HD: a) b) 𝑥−3 −1 = 𝑦+2 a) Cách 1: 𝑣𝑡𝑐𝑝 𝑢 2; ⇒ 𝑣𝑡𝑝𝑡 𝑛 −5; ; 𝑐𝑕𝑜 𝑡 = 𝑠𝑢𝑦 𝑟𝑎 𝑥 = 1; 𝑦 = −2 ⇒ 𝑀 1; −2 ⇒ PTTQ: −5 𝑥 − + 𝑦 + = ⇒ −5𝑥 + 2𝑦 + = Cách 2: 𝑥−1 𝑡= 𝑥 = + 2𝑡 𝑥−1 𝑦+2 ⇒ 𝑦+2 ⇒ = ⇒ 𝑥 − = 𝑦 + ⇒ −5𝑥 + 2𝑦 + = 𝑦 = −2 + 5𝑡 𝑡= b) 𝑥−3 −1 = 𝑦+2 Cách 1: 𝑣𝑡𝑐𝑝 𝑢 −1; ⇒ 𝑣𝑡𝑝𝑡 𝑛 3; ; 𝑀 3; −2 ⇒ 𝑃𝑇𝑇𝑄: 𝑥 − + 𝑦 + = ⇒ 3𝑥 + 𝑦 − = Cách 2: 𝑥−3 −1 = 𝑦 +2 ⇔ 𝑥 − = −1 𝑦 + ⇔ 3𝑥 + 𝑦 − = CHUYÊN ĐỀ 2: Lập phƣơng trình đƣờng thẳng Lập phƣơng trình đƣờng thẳng biết điểm qua vec tơ pháp tuyến ( phƣơng) Phƣơng pháp:  Để lập phương trình tham số phương trình tắc đường thẳng  ta cần xác định điểm M0 ( x0 ; y0 )   VTCP u  (u1; u2 )  x  x y  y0  x  x0  tu1  PTTS :  ; PTCT : u1 u2  y  y0  tu2 (u1  0, u2  0)  Để lập phương trình tổng quát đường thẳng  ta cần xác định điểm M0 ( x0 ; y0 )   VTPT n  (a; b)  PTTQ : a( x  x0 )  b(y  y0 )  Chú ý PTTS PTCT dùng vecto phƣơng, PTTQ dùng vecto pháp tuyến Bài Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ đường thẳng qua điểm M(-2;3) có VTCP u  (5; 1) HD: x = x0 + at = −2 + 5t ;t ∈ R y = y0 + bt = − t Phương trình tham số đt là: Phương trình tắc: x − x0 𝑦 − 𝑦0 𝑥 + 𝑦 − = ⇒ = 𝑎 𝑏 −1 Phương trình tổng quát: Ta có: 𝑢 5; −1 ⇒ 𝑛 1; ; 𝑀 −2; ⇒ 𝑥 + + 𝑦 − = ⇔ 𝑥 + 5𝑦 − 13 = Baøi Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ đường thẳng qua điểm M(-2;3) có VTPT n  (5; 1) HD: n 5; −1 ⇒ PTTQ: x + − y − = ⇒ 5x − y + 13 = M −2; Vì n 5; −1 ⇒ u 1; ; M −2; nên: 𝑥 = −2 + 𝑡 Phương trình tham số: ;𝑡 ∈ 𝑅 𝑦 = + 5𝑡 Ta có đường thẳng d : Phương trình tắc: 𝑥+2 = 𝑦 −3 Lập phƣơng trình đƣờng thẳng qua điểm biết hệ số góc k Phƣơng pháp: Sử dụng cơng thức phương trình đường thẳng qua điểm 𝑀 𝑥0 ; 𝑦0 có hệ số góc k là: 𝑦 = 𝑘 𝑥 − 𝑥0 + 𝑦0 Baøi Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ đường thẳng qua điểm M(-3;1) có hệ số góc k= -2 HD: a) Phương trình tổng quát đường thẳng là: 𝑦 = −2 𝑥 + + ⇒ 𝑦 = −2𝑥 − Từ phương trình tổng quát trên, em dùng Chuyên đề để chuyển tham số tắc Trang Lập phƣơng trình đƣờng thẳng qua điểm A B: +  qua hai điểm A( x A ; y A ) , B( xB ; yB ) (với x A  xB , yA  yB ): PT : x  xA y  yA  x B  x A yB  y A +  qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b  0): PT : x y   a b Baøi Lập PTTS, PTCT ,PTTQ đường thẳng qua hai điểm A(-2;4), B(1;0) HD: 𝑥 −𝑥 Sử dụng công thức phương trình đường thẳng qua hai điểm 𝐴 𝑥1 ; 𝑦1 ; 𝐵 𝑥2 ; 𝑦2 là: 𝑥 Phương trình tắc đường thẳng AB là: 𝑥+2 1+2 = 𝑦 −4 0−4 ⇔ 𝑥+2 = −𝑥 𝑦−𝑦 =𝑦 −𝑦 𝑦 −4 −4 Từ phương trình tắc trên, em tự chuyển dạng tổng quát tham số chuyên đề Lập phƣơng trình đƣờng thẳng qua điểm song song, vng góc với đƣờng thẳng d Phƣơng pháp: Hai đường thẳng song song có vecto phương vecto pháp tuyến Sau chuyển tốn viết ptđt biết điểm qua vtpt ( vtcp) Cách giải nhanh: Cho d: ax+by +c = - Đường thẳng song song với d có dạng: ax+by+d = 0(d≠c) Thay tọa độ điểm qua tìm d - Đường thẳng vng góc với d có dạng: bx-ay +e = Thay tọa độ điểm qua tìm e M d' M n u d d d' Baøi Viết PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ đường thẳng qua điểm M(2;3) song song với đường thẳng d: 4x-10y+1=0 HD: Cách 1: (d): 4x-10y+1=0 nên vtpt n 4; −10 Gọi đường thẳng cần tìm d’ Vì d’ // d nên 𝑛𝑑′ = 𝑛 4; −10 𝑄𝑢𝑎 𝑀 2; Phương trình đường thẳng d’ : là: 𝑥 − − 10 𝑦 − = ⇒ 4𝑥 − 10𝑦 + 22 = 𝑛 4; −10 Cách 2: Đường thẳng d’ song song với 4x-10y+1 =0 có dạng: 4x-10y+c=0 (c ≠1) Vì (d’) qua M(2;3) nên 4.2-10.3 +c =0 ⇒ 𝑐 = 22(𝑡𝑚) ⇒ 𝑑 ′ : 4𝑥 − 10𝑦 + 22 = Từ PTTQ, em chuyển tham số, tắc Bài Viết PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ đường thẳng qua điểm M(2;3) vng góc với đường thẳng d: 4x-10y+1=0 HD: Cách 1: (d): 4x-10y+1=0 nên vtpt n 4; −10 Gọi đường thẳng cần tìm d’ Vì d’ vng góc d nên 𝑢𝑑′ = 𝑛 4; −10 𝑄𝑢𝑎 𝑀 2; Phương trình đường thẳng d’ : là: 𝑢 4; −10 𝑥 = + 4𝑡 ; 𝑡∈𝑅 𝑦 = − 10𝑡 Cách 2: Đường thẳng d’ vng góc với d :4x-10y+1=0 có dạng: 10x+4y+c= Vì M(2;3) thuộc d’ nên 10.2+4.3+c = ⇒ 𝑐 = −32 ⇒ 𝑑 ′ : 10𝑥 + 4𝑦 − 32 = Từ phương trình tham số trên, em tự viết phương trình tổng quát tắc ( xem Chun đề 1) Bài Cho tam giác ABC Viết phương trình cạnh, đường trung tuyến, đường cao tam giác với: A(2; 0), B(2; –3), C(0; –1) HD: Sử dụng công thức viết ptđt qua điểm A(2;0) M(2;-1,5) H C(0;-1) B(2;-3) 𝑄𝑢𝑎 𝐴(2; 0) x=2 𝑄𝑢𝑎 𝐵 2; −3 𝑄𝑢𝑎 𝐶(0; −1) 𝑥−0 𝑦+1 𝑥 𝑦+1 Phương trình BC: là: 2−0 = −3+1 ⇒ = −2 ⇒ 𝑥 + 𝑦 + = 𝑄𝑢𝑎 𝐵 2; −3 𝑄𝑢𝑎 𝐶(0; −1) 𝑥−0 𝑦+1 𝑥 𝑦 +1 Phương trình AC: là: 2−0 = 0+1 ⇒ = ⇒ 𝑥 − 2𝑦 − = 𝑄𝑢𝑎 𝐴 2; Phương trình AB: Gọi M trung điểm AB suy 𝑀 2; − Phương trình đường trung tuyến CM : 𝑄𝑢𝑎 𝑀(2; − 2) 𝑄𝑢𝑎 𝐴 0; −1 𝑥−2 là: 0−2 = 3 −1+ 𝑦+ ⇔ 𝑥 + 4𝑦 + = Đường cao từ C qua C(0;-1) nhận 𝐴𝐵 0; −3 vtpt nên phương trình đường cao CH là: 𝑄𝑢𝑎 𝐶 0; −1 ⇒ 𝑥 − + 𝑦 + = ⇔ 𝑦 + = 𝑛 0; Tương tự đường trung tuyến, đường cao cịn lại Bài Cho tam giác ABC, biết phương trình ba cạnh tam giác Viết phương trình đường cao tam giác, với: AB : x  3y   0, BC : x  3y   0, CA : 5x  2y   Trang HD: Các em tìm tọa độ đỉnh, viết đường cao A 2x-3y-1=0 5x-2y+1=0 nAB H C x+3y+7=0 B AC giao BC C nên tọa độ giao điểm C nghiệm hệ phương trình: 𝑥 + 3𝑦 + = 𝑥 = −1 ⇒ ⇒ 𝐶 −1; −2 𝑦 = −2 5𝑥 − 2𝑦 + = AB: 2x-3y-1=0 nên 𝑛𝐴𝐵 = 2; −3 Vì CH vng góc AB nên vtpt AB vtcp CH ⇒ 𝑢𝐻𝐶 = 𝑛𝐴𝐵 = 2; −3 𝑞𝑢𝑎 𝐶 −1; −2 𝑥 = −1 + 2𝑡 Đường cao CH: ⇒ 𝑃𝑇 𝐶𝐻 : ;𝑡 ∈ 𝑅 𝑦 = −2 − 3𝑡 𝑣𝑡𝑐𝑝 𝑢 2; −3 Cách khác: Đường cao CH vng góc AB: 2x-3y-1=0 có dạng: 3x+2y+c=0 Vì CH qua C(-1;-2) nên 3.(-1)-4 +c=0 suy c= Vậy CH : 3x+2y+7=0 Các đường cao lại viết tương tự Bài Viết phương trình cạnh trung trực tam giác ABC biết trung điểm cạnh BC, CA, AB điểm M, N, P, với: M(–1; –1), N(1; 9), P(9; 1) HD: A N P M B C Cách 1: 𝑥𝐴 + 𝑥𝐵 = 18 𝑥𝐴 = 11 Ta có: 𝑥𝐵 + 𝑥𝐶 = −2 ⇒ 𝑥𝐴 + 𝑥𝐵 + 𝑥𝐶 = 18 𝐶ộ𝑛𝑔 𝑡𝑕𝑒𝑜 𝑣ế ⇒ 𝑥𝐵 = 𝑥𝐶 = −9 𝑥𝐴 + 𝑥𝐶 = 𝑦𝐴 = 11 𝑦 Tương tự ta tìm được: 𝐵 = −9 ⇒ 𝐴 11; 11 ; 𝐵 7; −9 ; 𝐶 −9; 𝑦𝐶 = Từ viết phương trình cạnh trung trực cạnh Cách 2: Ta có: 𝑃𝑁 −8; = −8 1; −1 Vì PN//BC nên 𝑢𝑃𝑁 = 𝑢𝐵𝐶 = 𝑃𝑁 1; −1 𝑄𝑢𝑎 𝑀 −1; −1 𝑥 = −1 + 𝑡 Đường thẳng BC : ⇒ 𝑃𝑇 𝐵𝐶 : ; 𝑡∈𝑅 𝑦 = −1 − 𝑡 𝑣𝑡𝑐𝑝 𝑢 1; −1 Đường trung trực BC nhận 𝑢𝐵𝐶 1; −1 làm vtpt qua M(-1;-1) nên phương trình trung trực BC là: 𝑥+1 −1 𝑦+1 = 0⇒𝑥−𝑦 =0 Các ý khác tương tự Bài 10 Viết phương trình đường thẳng qua điểm M(-4;10) chắn hai trục toạ độ đoạn HD: Đường thẳng qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b  0) có PT (d) : Vì (d) qua M(-4;10) nên − 𝑎 + 10 𝑏 x y   a b = Vì (d) chắn hai trục tọa độ hai đoạn nên 𝑎 = 𝑏 ⇒ 𝑎 = ±𝑏 𝑎=𝑏 𝑥 𝑦 TH1: − + 10 = ⇒ 𝑎 = 𝑏 = ⇒ 𝑑 : + = ⇒ 𝑥 + 𝑦 = 𝑎 𝑏 𝑎 = −𝑏 𝑎 = −14 TH2: − + 10 = ⇒ ⇒ 𝑑 : − 𝑥 + 𝑦 = 14 𝑏 = 14 𝑎 𝑏 Baøi 11 Viết phương trình đường thẳng qua điểm M(-4;10) với hai trục toạ độ tạo thành tam giác có diện tích S=2 HD: a) Đường thẳng qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b  0) có PT (d) : Vì (d) qua M(-4;10) nên − 𝑎 + 10 𝑏 x y   a b = Vì (d) chắn hai trục tọa độ tam giác có diện tích nên 𝑎𝑏 = 𝑎 𝑏 = ⇔ 𝑎𝑏 = ⇒ 𝑎𝑏 = −4 𝑎𝑏 = 𝑎= TH1: − + 10 = ⇒ ⇒ 𝑑 𝑏= 𝑎 𝑏 𝑎𝑏 = −4 𝑎= TH2: − + 10 = ⇒ ⇒ 𝑑 : 𝑏= 𝑎 𝑏 ( Các em rút a b phương trình dưới, thay vào phương trình trên) Tìm hình chiếu điểm M lên đƣờng thẳng d, tìm điểm M’ đối xứng với M qua d Trang M d H M' * Tìm hình chiếu H M lên đường thẳng d: Cách 1: Viết phương trình đường thẳng  qua M vng góc với d – Xác định H = d   ( cách giải hệ phương trình) Cách 2: Chuyển phương trình d dạng tham số, suy tọa độ H theo t Ta có: MH vng góc với d nên 𝑀𝐻 𝑢 = ⇒ 𝑡 ⇒ 𝐻 *Để tìm điểm M’ đối xứng với M qua d Ta tìm hình chiếu H, sử dụng tính chất H trung điểm MM’: Bài 12 Tìm hình chiếu điểm M(2;1) lên đường thẳng d :2x+y-3=0 điểm M đối xứng với M qua đường thẳng d HD: M(2;1) d: 2x+y-3=0 H M' Cách 1: Đường thẳng (∆) vng góc với (d) có dạng: x-2y+c = Vì (d’) qua M(2;1) nên 2-2.1+c= ⇒ 𝑐 = ⇒ 𝑑 ′ : 𝑥 − 2𝑦 = Điểm A hình chiếu M lên (d) có tọa độ nghiệm hệ phương trình: 𝑥 = 𝑥 − 2𝑦 = ⇒ 𝐴 6;3 ⇒ 2𝑥 + 𝑦 − = 5 𝑦= M’ đối xứng với M qua d nên A trung điểm MM’ 𝑥 = 𝑀′ 𝑥𝑀 + 𝑥𝑀′ = 2𝑥𝐴 ⇒ 𝑀′ ; ⇒ 𝑦𝑀 + 𝑦𝑀′ = 2𝑦𝐴 5 𝑦𝑀′ = 𝑥=𝑡 Cách 2: Phương trình tham số (d): 𝑦 = − 2𝑡 Gọi A hình chiếu M lên d A thuộc d nên A(t;3-2t) 𝑀𝐴 𝑡 − 2; − 2𝑡 ; 𝑢𝑑 −1; Vì 𝑀𝐴 vng góc d nên 𝑀𝐴 𝑢𝑑 = ⇔ −1 𝑡 − + 2 − 2𝑡 = ⇔ 𝑡 = ⇒ 𝐴 ; 5 ⇒ 𝑀′ ; 5 Lập phƣơng trình đƣờng thẳng d’ đối xứng với đƣờng thẳng d qua đƣờng thẳng ∆ – Nếu d // : + Lấy A  d Xác định A đối xứng với A qua  + Viết phương trình đường thẳng d qua A song song với d – Nếu d   = I: + Lấy A  d (A  I) Xác định A đối xứng với A qua  + Viết phương trình đường thẳng d qua A I d A' A I d' d' H A' d A Baøi 13 Lập phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng , với: d : x  y   0,  : 3x  4y   HD: a) Vì ≠ nên hai đường thẳng cắt Tọa độ giao điểm I hai đường thẳng nghiệm hệ 𝑥 = −5 2𝑥 − 𝑦 + = phương trình: ⇒ ⇒ 𝐼 −5;5 3𝑥 − 4𝑦 + = 𝑦=5 Lấy A(0;1) thuộc d đường thẳng (d’’) qua A vng góc với ∆: 3𝑥 − 4𝑦 + = có dạng 4x+3y +c = Vì A(0;1) thuộc d’’ nên 4.0+3.1+c = ⇒ 𝑐 = −3 ⇒ 𝑑 ′′ : 4𝑥 + 3𝑦 − = d A H d' I A' d'' H giao ∆ d’’ nên tọa độ H nghiệm hệ phương trình: ⇒ 12 𝐴′ 25 ; 25 Phương trình đường thẳng d’ qua : 𝐴′ 12 ; 25 25 𝐼 −5;5 Trang 3𝑥 − 4𝑦 + = ⇒𝐻 4𝑥 + 3𝑦 − = ⇒ 𝑃𝑇 𝑑′ : 12 25 12 − − 25 𝑥− = 25 − 25 𝑦− 17 ; 25 25 Lập phƣơng trình đƣờng thẳng d’ đối xứng với đƣờng thẳng d qua điểm I: – Lấy A  d Xác định A đối xứng với A qua I – Viết phương trình đường thẳng d qua A song song với d A' d' I d A Bài 14 Lập phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d: 2x-y+1=0 qua điểm I(2;1) HD: Lấy A(0;1) thuộc d ( điểm A em lấy cách cho x giá trị tìm y) A’ đối xứng với A qua I nên A’(4;1) Đường thẳng d’ song song với d nên có vtpt: 𝑛 2; −1 𝑄𝑢𝑎 𝐴′ 4; d’: ⇒ 𝑑 ′ : 𝑥 − − 𝑦 − = ⇒ 2𝑥 − 𝑦 − = 𝑣𝑡𝑝𝑡 𝑛 2; −1 CHUYÊN ĐỀ Các toán dựng tam giác Dựng tam giác ABC, biết đƣờng thẳng chứa cạnh BC hai đƣờng cao BB, CC Cách dựng: – Xác định B = BC  BB, C = BC  CC – Dựng AB qua B vng góc với CC – Dựng AC qua C vng góc với BB – Xác định A = AB  AC Bài Cho tam giác ABC, biết phương trình cạnh hai đường cao Viết phương trình hai cạnh đường cao lại, với: BC: 4x+y-12=0; BB’: 5x-4y-15=0; CC’: 2x+2y-9=0 HD: 2x+2y-9=0 A 5x-4y-15=0 B(3;0) 4x+y-12=0 C(2,5;2) BC giao BB’ B nên tọa độ điểm B nghiệm hệ phương trình: 4x + y − 12 = x=3 ⇒ ⇒ B 3; y =0 5x − 4y − 15 = 10 4𝑥 + 𝑦 − 12 = 𝑥=2 Tương tự: Tọa độ C nghiệm hệ phương trình: ⇒ ⇒𝐶 2𝑥 + 2𝑦 − = 𝑦=2 ;2 Lúc này, phương trình AB vng góc với CC’ qua B Bài tốn trở viết phương trình đường thẳng qua điểm vng góc với đường thẳng AB vng góc CC’: 2x+2y-9 =0 nên phương trình AB có dạng: x-y+c = Vì B(3;0) thuộc AB nên 3-0+c = ⇒ 𝑐 = −3 ⇒ 𝐴𝐵: 𝑥 − 𝑦 − = AC vuông góc với BB;: 5x-4y-15=0 nên phương trình AC có dạng: 4x+5y+d=0 Vì 𝐶 ; thuộc AC nên 4.5 + 5.2 + 𝑑 = ⇒ 𝑑 = −20 ⇒ 𝐴𝐶: 4𝑥 + 5𝑦 − 20 = Dựng tam giác ABC, biết đỉnh A hai đƣờng thẳng chứa hai đƣờng cao BB, CC Cách dựng: – Dựng AB qua A vng góc với CC – Dựng AC qua A vng góc với BB – Xác định B = AB  BB, C = AC  CC Baøi Cho tam giác ABC, biết toạ độ đỉnh phương trình hai đường cao Viết phương trình cạnh tam giác đó, với: A(3;0), BB : x  y   0, CC : 3x  12 y   HD: A(3;0) 2x+2y-9=0 3x-12y-1=0 B C AC vng góc với BB’: 2x+2y-9=0 nên phương trình AC có dạng: x-y+c = Vì A 3;0 thuộc AC nên 3-0+c=0 ⇒ c = −3 ⇒ AC: x − y − = Vì AB vng góc CC’: 3x-12y-1=0 nên phương trình AB có dạng: 12x+3y+d=0 A(3;0) thuộc AB nên 12.3+3.0+d=0 ⇒ 𝑑 = −36 ⇒ 𝐴𝐵: 12𝑥 + 3𝑦 − 36 = hay 4x+y-12=0 35 𝑥= 𝑥−𝑦−3 =0 AC giao CC’ C nên tọa độ C nghiệm hệ phương trình: ⇒ ⇒ 𝐶 3𝑥 − 12𝑦 − = 𝑦=9 AB giao BB’ B nên tọa độ B nghiệm hệ phương trình: Phương trình đường thẳng BC qua 𝐵 ;2 ;𝐶 25 𝑥−2 25 −2 2𝑥 + 2𝑦 − = 𝑥=2 ⇒ ⇒𝐵 4𝑥 + 𝑦 − 12 = 𝑦=2 ;9 là: = 𝑦−2 ⇒ 9−2 Trang 11 25 ;2 ;9 Dựng tam giác ABC, biết đỉnh A hai đƣờng thẳng chứa hai đƣờng trung tuyến BM, CN Cách dựng: – Xác định trọng tâm G = BM  CN – Xác định A đối xứng với A qua G (suy BA // CN, CA // BM) – Dựng dB qua A song song với CN – Dựng dC qua A song song với BM – Xác định B = BM  dB, C = CN  dC Baøi Cho tam giác ABC, biết toạ độ đỉnh phương trình hai đường trung tuyến Viết phương trình cạnh tam giác đó, với: A(1;3), BM : x  2y   0, CN : y   HD: A(1;3) x-2y+1=0 y-1=0 M G N B C A' Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC nghiệm hệ phương trình: 𝑥 − 2𝑦 + = 𝑥=1 ⇒ ⇒ 𝐺 1; 𝑦=1 𝑦−1=0 Gọi A’ đối xứng với A qua G suy 𝐴′ 1; −1 BGCA’ hình bình hành ( có hai đường chép cắt trung điểm đường) nên BM//AC’; CN//A’B Phương trình đường thẳng A’C song song với BM: x-2y+1=0 nên A’C có dạng: x-2y+c=0 (c ≠ 1) Vì A’C qua A’(1;-1) nên + + 𝑐 = ⇒ 𝑐 = −3 𝑡𝑚 ⇒ 𝐴′ 𝐶: 𝑥 − 2𝑦 − = A’B //CN” y-1=0 nên phương trình A’B có dạng: y+ d =0 (d ≠ -1) A’B qua A’(1;-1) nên -1+d = ⇒ 𝑑 = ⇒ 𝐴′ 𝐵: 𝑦 + = 𝑦+1=0 Tọa độ B nghiệm hệ phương trình: ⇒ 𝐵 −3; −1 𝑥 − 2𝑦 + = 𝑦−1=0 Tọa độ C nghiệm hệ phương trình: ⇒ 𝐶 5; 𝑥 − 2𝑦 − = Lúc tốn trở thành viết phương trình cạnh tam giác biết tọa độ 𝐴 1; ; 𝐵 −3; −1 ; 𝐶 5; Baøi Cho tam giác ABC, biết phương trình cạnh hai đường trung tuyến Viết phương trình cạnh cịn lại tam giác đó, với: AB : x  2y   0, AM : x  y   0, BN : x  y  11  HD: 12 C 2x+y-11=0 x+y-5=0 M N G A x-2y+7=0 B AC :16 x  13y  68  0, BC :17x  11y  106  Dựng tam giác ABC, biết hai đƣờng thẳng chứa hai cạnh AB, AC trung điểm M cạnh BC Cách dựng: – Xác định A = AB  AC – Dựng d1 qua M song song với AB – Dựng d2 qua M song song với AC – Xác định trung điểm I AC: I = AC  d1 – Xác định trung điểm J AB: J = AB  d2 – Xác định B, C cho JB  AJ , IC  AI Cách khác: Trên AB lấy điểm B, AC lấy điểm C cho MB   MC Baøi Cho tam giác ABC, biết phương trình hai cạnh toạ độ trung điểm cạnh thứ ba Viết phương trình cạnh thứ ba, với AB : x  y   0, AC : x  3y   0, M(1;1) HD: A 2x+y-2=0 x+3y-3=0 C M(1;-1) B Đường thẳng d qua M song song AB: 2x+y-2=0 có dạng: 2x+y +c =0 𝑐 ≠ −2 Vì M(1;-1) nên 2.1-1+c=0 ⇒ 𝑐 = −1 (tm) ⇒ 𝑑 : 2𝑥 + 𝑦 − = (d) qua trung điểm I AC nên tọa độ điểm I thỏa mãn hệ phương trình: 𝑥 + 3𝑦 − = 𝑥=0 ⇒ ⇒ 𝐼 0; 𝑦=1 2𝑥 + 𝑦 − = Tương tự tìm tọa độ trung điểm N AB Phương trình BC qua M(1;-1) nhận 𝐼𝑁 làm vecto phương Từ viết phương trình BC Trang 13 CHUN ĐỀ Vị trí tƣơng đối hai đƣờng thẳng Hai đường thẳng cho dạng tổng quát: 1: a1x  b1y  c1  2: a2 x  b2 y  c2   Toạ độ giao điểm 1 2 nghiệm hệ phương trình: a1x  b1y  c1   a2 x  b2 y  c2  (1)  1 cắt 2  hệ (1) có nghiệm  a1 b1  a2 b2  1 // 2  hệ (1) vô nghiệm  a1 b1 c1   (nếu a2 , b2 , c2  ) a2 b2 c2  1  2  hệ (1) có vơ số nghiệm  a1 b1 c1   (nếu a2 , b2 , c2  ) a2 b2 c2 (nếu a2 , b2 , c2  )  Hai đường thẳng cho dạng tổng quát, tham số: Cách 1: Chuyển tham số tổng quát dùng cách Cách 2: Thay x, y từ phương trình tham số vào tổng quát để tìm t suy vị trí tương đơi  Để chứng minh ba đường thẳng đồng qui, ta thực sau: – Tìm giao điểm hai ba đường thẳng – Chứng tỏ đường thẳng thứ ba qua giao điểm Bài Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng sau, chúng cắt tìm toạ độ giao điểm chúng: a) x  3y   0, c) x  5y   𝑥 = + 2𝑡 𝑥 = + 𝑡′ ; 𝑦 = −3 + 2𝑡′ 𝑦 = −7 + 3𝑡 x   t e)  ,  y  1 x  y5  b) x  y   0,  8x  2y   d) 𝑥 = + 3𝑡 𝑥 = − 𝑡′ ; 𝑦 = −2 + 2𝑡′ 𝑦 = −4 − 6𝑡 f) x  2, x  2y   HD: a) Vì ≠ nên hệ có nghiệm nhất, suy hai đường thẳng cắt Tọa độ giao điểm nghiệm hệ phương trình: 23 23 2𝑥 + 3𝑦 + = 𝑥= ⇒ ⇒𝐼 ; −8 4𝑥 + 5𝑦 − = 𝑦 = −8 b) Ta có: −8 = −1 2 ≠ Hệ phương trình vơ nghiệm nên hai đường thẳng song song c) Xét hệ phương trình: + t′ = + 2t ⇔ t ′ − 2t = −1 ⇔ t ′ = −5 2t ′ − 3t = −4 t = −2 −3 + 2t ′ = −7 + 3t 14 Hệ có nghiệm nên hai đường thẳng cắt Thay t’ = -5 vào ta 𝑥 = + 𝑡′ 𝑦 = −3 + 2𝑡′ 𝑥=0 Vậy hai đường thẳng cắt A 0;-13) 𝑦 = −13 Baøi Cho hai đường thẳng d  Tìm m để hai đường thẳng: i) cắt a) d : mx  5y   0, ii) song song iii) trùng  : 2x  y   b) d : 2mx  (m  1)y   0,  : (m  2)x  (2m  1)y  (m  2)  HD: a) Hai đường thẳng cắt khi: 𝑚 ≠ −5 ⇔ 𝑚 ≠ −10 Vậy 𝑚 ≠ −10 hai đường thẳng cắt Hai đường thẳng song song khi: Vì −5 𝑚 = −5 1 ≠ −3 ⇔ 𝑚 = −10 ≠ −3 nên không tồn m để hai đường thẳng trùng b) Hai đường thẳng cắt khi: 2𝑚 𝑚−1 ≠ ⇔ 2𝑚 2𝑚 + ≠ 𝑚 + 𝑚 − ⇒ 𝑚 ≠ 𝑚 + 2𝑚 + Hai đường thẳng song song khi: 2𝑚 𝑚−1 = 2𝑚 𝑚−1 = ≠ ⇔ 𝑚 + 2𝑚 + ⇒ 𝑚 𝑚−1 𝑚 + 2𝑚 + 𝑚 + ≠ 2𝑚 + 𝑚 + Hai đường thẳng trùng khi: 2𝑚 𝑚−1 = 2𝑚 𝑚−1 = = ⇔ 𝑚 + 2𝑚 + ⇒ 𝑚 𝑚−1 𝑚 + 2𝑚 + 𝑚 + = 2𝑚 + 𝑚 + Bài Tìm m để ba đường thẳng sau đồng qui: y  x  1, 3x  5y  8, (m  8)x  2my  3m HD: Tọa độ giao điểm I đường thẳng (d1) (d2) nghiệm hệ phương trình: 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥=1 ⇔ ⇒ 𝐼 1; 𝑦=1 3𝑥 + 5𝑦 = Để đường thẳng đồng quy I thuộc (d3) Suy ra: (m+8).1-2m.1=3m ⇒ 𝑚 CHUYÊN ĐỀ Khoảng cách từ điểm đến đƣờng thẳng Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Trang 15 Cho đường thẳng : ax  by  c  điểm M0 ( x0 ; y0 ) d ( M0 , )  ax0  by0  c a2  b2 Baøi Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d, với: a) M(4; 5), d : 3x  4y   b) M(3;5), d : x  y    x  2t c) M (4; 5), d :   y   3t d) M (3;5), d : x  y 1  HD: a) Khoảng cách từ M(4;-5) đến (d): 3x-4y+8=0 là: 3.4 − −5 + h= =8 32 + −4 c Chuyển d dạng tổng quát: 3x-2y+4=0 tính câu a d Chuyển d dạng tổng quát : 3x-2y-8=0 tính câu a Bài Cho tam giác ABC Tính diện tích tam giác ABC, với: A(–1; –1), B(2; –4), C(4; 3) HD: Ta có: 𝐴𝐵 3; −3 ⇒ 𝐴𝐵 = Phương trình đường thẳng AB là: 𝑥+1 𝑦+1 = ⇒𝑥+𝑦+2=0 + −4 + Khoảng cách từ điểm C(4;3) tới AB: x+y+2=0 là: 𝑕= 4+3+2 = 2 1 ⇒ 𝑆𝐴𝐵𝐶 = 𝐴𝐵 𝑕 = 2 = 27 (đvdt) Baøi Viết phương trình đường thẳng d song song cách đường thẳng : 2x-y+3=0 khoảng 𝑘= HD: (d) song song 2x-y+3=0 nên (d) có dạng: 2x-y+c =0 (c ≠ 3) Lấy M(0;3) thuộc ∆ Vì (d) cách ∆ khoảng nên khoảng cách từ M đến (d) 𝑕𝑀→𝑑 = 2.0 − + 𝑐 22 + −1 2𝑥 − 𝑦 + = Vậy đường thẳng cần tìm là: 2𝑥 − 𝑦 − = = 5⇔ 𝑐−3 =5⇔ 𝑐=8 𝑡𝑚 𝑐 = −2 Bài Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng : 3x-4y+12=0 cách điểm A(2;3) 16 khoảng k=2 HD: a) Vì (d) song song ∆: 3𝑥 − 4𝑦 + 12 = nên (d) có dạng: 3𝑥 − 4𝑦 + 𝑐 = 𝑐 ≠ 12 Vì khoảng cách từ A(2;3) đến d nên: 3.2 − 4.3 + 𝑐 32 + −4 Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: = ⇔ 𝑐 − = 10 ⇔ 𝑐 = 16 𝑐 = −4 3𝑥 − 4𝑦 + 16 = 3𝑥 − 4𝑦 − = Bài Viết phương trình đường thẳng qua A(-1;2) cách B(3;5) khoảng d=3 HD: Phương trình đường thẳng qua A(-1;2) có hệ số góc k có dạng: y= k(x+1) +2 hay kx –y +k+2=0 (d’) Vì (d’) cách B(3;5) khoảng nên ta có : 3𝑘−5+𝑘+2 𝑘 +1 = ⇔ 4𝑘 − = 𝑘 + Các em bình phương hai vế tìm k Rồi thay vào (d’) suy đường thẳng Bài Viết phương trình đường thẳng qua điểm M(2;5) cách hai điểm P(-1;2), Q(5;4) HD: A I M B HD: Có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu: - Đường thẳng qua M trung điểm I AB: Các em tính trung điểm I viết phương trình đường thẳng qua điểm - Đường thẳng qua M song song AB CHUYÊN ĐỀ 6: Góc hai đƣờng thẳng Cho hai đường thẳng 1: a1x  b1y  c1  (có VTPT n1  (a1; b1 ) ) 2: a2 x  b2 y  c2  (có VTPT n2  (a2 ; b2 ) ) 𝑛1 ; 𝑛2 𝑘𝑕𝑖 𝑛1 ; 𝑛2 ≤ 900 1800 − 𝑛1 ; 𝑛2 𝑘𝑕𝑖 𝑛1 ; 𝑛2 > 900 𝑛1 𝑛2 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏1 = 𝑐𝑜𝑠 𝑛1 ; 𝑛2 = = 𝑛1 𝑛2 | 𝑎12 + 𝑏12 𝑎22 + 𝑏22 ∆1 ; ∆2 = 𝑐𝑜𝑠 ∆1 ; ∆2 Trang 17 Chú ý:  00 ≤ ∆1 ; ∆2 ≤ 900  1  2  a1a2  b1b2   Cho 1: y  k1x  m1 , 2: y  k2 x  m2 thì: + 1 // 2  k1 = k2 + 1  2  k1 k2 = –1  Cho ABC Để tính góc A ABC, ta sử dụng cơng thức: cos A  cos  AB, AC   AB AC AB AC Bài Tính góc hai đường thẳng: x  2y   0, x  3y  11  HD: Ta có: 𝑛1 1; −2 ; 𝑛2 1; ⇒ 𝑐𝑜𝑠𝑎 = 𝑛 𝑛 𝑛 |𝑛 | = 1.1−2.3 10 = 2 ⇒ 𝑎 = 450 Baøi Tính số đo góc tam giác ABC, với: A(–3; –5), B(4; –6), C(3; 1) HD: 𝐴𝐵 7; −1 ; 𝐴𝐶 6; ⇒ 𝑐𝑜𝑠𝐴 = 𝐴𝐵 𝐴𝐶 7.6 − 1.6 = = ⇒ 𝐴 = 530 𝐴𝐵 𝐴𝐶 50 72 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Cho tam giác ABC có A(2;0); B(0;3); C(–3;–1 Đường thẳng qua B song song với AC có phương trình là: a) 5x–y+3=0 b) 5x+y–3=0 c) x+5y–15=0 d) x–5y+15=0 Cho đường thẳng d : 2x+y–2=0 điểm A 6;5 Điểm A’ đối xứng với A qua d có toạ độ là: a) (–6;–5) b) (–5;–6) c) (–6;–1) d) (5;6) Trong điểm sau đây, điểm thuộc đường thẳng ): 4x–3y-1=0 a) A(1;1) b) B(0;1) c) C(–1;–1) d) D(– Trong mệnh đề sau mệnh đề đúng? ;0) a Đường thẳng song song với trục Oy có phương trình : x = m m  0) b Đường thẳng có phương trình x = m2–1 song song với trục Ox x y 1 c Đường thẳng qua hai điểm M 2;0 N 0;3 có ph.trình :  3 Hệ số góc đường thẳng ) : x –y+4=0 là: a) 1 b)  c) d) 3 18 x   t là:  y  3t d) 3x+y+9=0 Đ.thẳng qua điểm A –4;3 song song với đ.thẳng ):  a) 3x–y+9=0 b) –3x–y+9=0 c) x–3y+3=0 x   t Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai?  y  3t a Điểm A 2;0 thuộc () b Điểm B 3;–3 không thuộc ); c điểm C –3;3 thuộc ) x2 y  d Phương trình : phương trình tắc ) 3 Phương trình phương trình tham số đường thẳng x–y+2=0 là: x  t x  x   t x  t a)  b)  c)  d)  y   t y  t y 1 t y  3 t Cho đường thẳng ):  Các phương trình sau, phương trình phương trình đường thẳng : x  m  a)  m với m  R  y   b) xy=1 1  4 x y 10 Cho A(5;3); B(–2;1 Đường thẳng có phương trình sau qua A;B: a) 2x–2y+11=0 b) 7x–2y+3=0 c) 2x+7y–5=0 d) 2x-7y+11=0 c) x2 + y + = d) 11 Các cặp đường thẳng sau vng góc với nhau?  x  2t a) (d1):  (d2): 2x+y–1=0  y  1  t x  b) (d1): x–2=0 (d2):  y  t c) (d1): y=2x+3 (d2): 2y=x+1 d) (d1): 2x–y+3=0 (d2): x+2y–1=0 12 Đường thẳng qua A 2;1 song song với đường thẳng : 2x+3y–2=0? a) x–y+3=0 b)2x+3y–7=0 c) 3x–2y–4=0 d) 4x+6y–11=0  x  3  2k (k  R Phương trình sau y 1 k 13 Cho phương trình tham số đường thẳng d :  phương trìnhg tổng quát d : a) x+2y–5=0 b) x+2y+1=0 c) x–2y–1=0 d) x–2y+5=0 14 Ph.trình tham số đ.thẳng d qua M –2;3) có VTCP u =(3;–4) là:  x  2  3t a)   y   4t  x  2  3t b)   y   4t  x   2t c)   y  4  3t  x   2t d)   y  4  t 15 Toạ độ điểm đối xứng điểm A 3;5 qua đường thẳng y = x là: a) (–3;5) b) (–5;3) c) (5;–3) d) (5;3) 16 Ph.trình tổng quát đường thẳng d qua hai điểm M 1;2 N 3;4 là: a) x+y+1=0 b) x+y–1=0 c) x–y–1=0 d) x-y+1=0 17 Vectơ pháp tuyến đường thẳng qua hai điểm A 1;2 ;B 5;6 là: Trang 19 a) n  (4;4) b) n  (1;1) c) n  (4;2) d) n  (1;1)  x   3t hai đường thẳng :  y  2t c) Trùng 18 Hai đường thẳng d1 : x+3y –3=0 và(d2) :  a Cắt b) Song song 19 Họ đường thẳng dm : (m–2)x +(m+1)y–3=0 qua điểm cố định Đó điểm có toạ độ điểm sau? a) A(–1;1) b) B(0;1) c) C(–1;0) d) D(1;1) 20 Phương trình đường trung trực AB với A 1;3 B –5;1) là:  x  2  3t b)  y 1 t a) 3x+y+4=0 c) x2 y2  3  x  2  3t d)   y   2t 21 Cho điểm A –1;2); B(–3;2) đường thẳng ): 2x–y+3=0 Điểm C đường thẳng ) cho ABC tam giác cân C có toạ độ là: a) C(–2;–1) b) C(0;0) c) C(–1;1) d) C(0;3) 22 Cho đường thẳng d : y=2 hai điểm A 1;2 ;C 0;3 Điểm B đường thẳng d cho tam giác ABC cân C có toạ độ là: a) B(5;2) b) B(4;2) c) B(1;2) d) B(–2;2) 23 Cho ba điểm A 1;2 ; B 0;4 ;C 5;3 Điểm D mặt phẳng toạ độ cho ABCD hình bình hành có toạ độ là: a) D(6;1) b) D(4;5) c) D(3;2) d) D(0;3) 24 Cho hai điểm A 0;1 điểm B 4;–5 Toạ độ tất điểm C trục Oy cho tam giác ABC tam giác vuông A là: a) (0;1) b) (0;1); (0;  ) c)(0;1);(0;  ); 0;2  ; 0;2  d) 0;2  ; 0;2        25 Với giá trị m hai đường thẳng sau song song với nhau: (d1): (m–1)x–y+3=0 (d2): 2mx–y–2=0 ? a) m=0 b) m= –1 c m=a a số d) m=2 26 Đ.thẳng qua điểm M 1; song song với đ.thẳng d : 4x + 2y + = có phương trình tổng quát là: a) 4x + 2y + = c) 2x + y – = b) 2x + y + = d) x – 2y + = 27 Tính khoảng cách từ điểm M –2; đến đường thẳng Δ : 5x – 12y – 10 = a) 24/13 b) 44/13 c) 44/169 d) 14/169 28 Tính khoảng cách từ điểm M 0; đến đuờng thẳng Δ : x cos α + y sin α + – sin α = a) b) c sin α d) sin   cos 29 Tìm tọa độ điểm M' đối xứng với điểm M 1; qua đ.thẳng d: x – 2y + = a) M'(0; 3) b) M'(2; 2) 30 Tính góc nhọn hai đường thẳng: a) 300 c) M'(4; 4) d1: x + 2y + = 0; b) 450 c) 600 d) M' (3; 0) d2: x – 3y + = d) 23012' 20 x   t  y  9  2t Trong phương trình sau đây, ph.trình ph.trình tổng quát d ? a) 2x + y – = b) 2x + y + = c) x + 2y + = d) x + 2y – = 31 Cho phương trình tham số đường thẳng d :  32 Cho hai đ.thẳng: d1: 4x – my + – m = ; d2: (2m + 6)x + y – 2m –1 = Với giá trị m d1 song song với d2 a) m = b) m = –1 c) m = d) m = –1 v m = -2 33 Tìm tọa độ hình chiếu vng góc H điểm M 1; xuống đường thẳng d: x – 2y + = a) H(3;0) b) H(0; 3) c) H(2; 2) d) H(2; –2) 34 Trong đường thẳng sau đây, đường thẳng vng góc với đường thẳng d: x + 2y – = hợp với trục tọa độ thành tam giác có diện tích 1? a) 2x + y + = b) 2x – y – = c) x – 2y + = d) 2x – y + = 35 Tính góc hai đ thả ng Δ1: x + y + 11 = Δ2: x + y + = a) 450 b) 300 c) 88057 '52 '' d) 1013 ' '' 36 Cho đường thẳng d có phương trình tổng quát: 3x + 5y + 2003 = Trong mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai: a d có vectơ pháp tuyến n = (3; 5) b d có vectơ phương u = (5; –3) c d có hệ số góc k = 5/3 d d song song với đ.thẳng 3x + 5y = 37 Lập phương trình đường thẳng Δ qua giao điểm hai đường thẳng: d1 : x + 3y – = 0; d2 : x – 3y – = vng góc với đường thẳng: d3 : 2x – y + = a) 3x + 6y – = b) 6x + 12y – 5= c) 6x +12y+10= d) x + 2y + 10=0 38 Cho tam giác ABC có tọa độ đỉnh A 1; , B 3; , C 5; Phương trình đường cao vẽ từ A là: a) 2x + 3y – = c) 5x – 6y + = b) 3x – 2y – = d) 3x – 2y + = 39 Đường thẳng qua điểm M 1; vng góc với vectơ n = 2; có phương trình tắc là: a) x 1 y   b) x 1 y   2 c) x 1 y   d) x 1 y   3 40 Đường thẳng qua điểm N –2; có hệ số góc k = 2/3 có phương trình tổng qt là: a) 2x – 3y + = c) 2x + 3y + = b) 2x – 3y – = d) 3x – 2y + = Trang 21 ... CHUYÊN ĐỀ 2: Lập phƣơng trình đƣờng thẳng Lập phƣơng trình đƣờng thẳng biết điểm qua vec tơ pháp tuyến ( phƣơng) Phƣơng pháp:  Để lập phương trình tham số phương trình tắc đường thẳng  ta cần xác... đối xứng với A qua  + Viết phương trình đường thẳng d qua A I d A'' A I d'' d'' H A'' d A Baøi 13 Lập phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng , với: d : x  y  ... 35