Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG A TÓM TẮT LÝ THUYẾT I Tọa độ mặt phẳng r ur  Cho u(x1 , y1 ); v(x ; y ) k  R Khi đó: r ur r ur 1) u  v  (x1  x2 ; y1  y ) 2) u  v  (x1  x2 ; y1  y ) r r r ur x  x 3) ku  (kx1 ; ky1 ) 4) u  x12  y12 5) u=v   y  y  r ur r ur r ur 6) u.v  x1x2  y1 y  u  v  u.v   x1 x2  y1 y  r ur x  kx  Hai véc tơ u(x1 , y1 ); v(x ; y ) phương với   y  ky  r ur u.v r ur r ur x1 x2  y1y  Góc hai véc tơ u(x1 , y1 ); v(x ; y ) : cos(u, v)  r ur  u v x12  y12 x22  y 22  Cho A(x A ; y A ) ; B(xB ; y B ) Khi : uuur uuur 1) AB  (xB  x A ; y B  y A ) 2) AB= AB  (xB  x A )2  (y B  y A )2 (C) : (x  2)2  (y  4)2  25 d : 5x  2y  11  trung điểm A(1; 2), B(3; 2) uuur uuur  AB  CD  AB.CD   Cho tam giác ABC với A(x A ; y A ), B(xB ; y B ), C(xC ; y C ) Khi trọng tâm G  xG ; y G    x  x B  xC  xG  A   tam giác ABC :   y y   yC  A B  y    G  II Phương trình đường thẳng Phương trình đường thẳng 1.1 Véc tơ phương (VTCP), véc tơ pháp tuyến (VTPT) đường thẳng : Cho đường thẳng d (E) : x2 y   A(3; 2), gọi véc tơ pháp tuyến d giá vuông với d GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG B(3; 2) A 2;1 , B 4; 3 gọi véc tơ phương d giá trùng song song với đường thẳng d Một đường thẳng có vô số VTPT vô số VTCP ( Các véc tơ phương với nhau)  : x  y   Mối quan hệ VTPT VTCP: A 0; 5 , B 2; 3 r R  10 Nếu A 1; 0 , B 2; 0 VTPT đường thẳng d u  (b; a) VTCP đường thẳng d d : x  y    Đường thẳng A 1;1 có A, O VTCP 1.2 Phương trình đường thẳng 1.2.1 Phương trình tổng quát đường thẳng : Cho đường thẳng (C) : x2  y  qua điểm I 2; 2 có AB  VTPT, phương trình tổng quát M(2; 3) có dạng: (C) : (x  2)2  y  1.2.2 Phương trình tham số đường thẳng : Cho đường thẳng 1 : x  y  0, 2 : x  7y  qua điểm C1  : x2  y  10x  có C2  : x2  y2  4x  2y  20  VTCP, phương trình tham số đường  x  x0  at thẳng d là:  , x2  y2  2x  6y     y  y  bt Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho hai đường thẳng M(3;1) T1 , T2 Khi vị trí tương đối chúng phụ thuộc vào số nghiệm hệ : (C) (I) T1 , T2 Nếu (I) vô nghiệm d1 : mx  (m  1)y  m  d : (2m  2)x  2my   Nếu (I) vô số nghiệm C : x2  y  2x  4y  d : x  y  Nếu (I) có nghiệm d1 d cắt nghiệm hệ tọa độ giao điểm Góc hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d1 : a1 x  b1 y  c1  0; d2 : a x  b2 y  c2  Gọi  góc nhọn tạo hai đường thẳng d1 d2 Ta có : cos   GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) a1a  b1b2 a12  b12 a 22  b22 PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho đường thẳng  : ax  by  c  điểm M(x0 ; y ) Khi khoảng cách từ M đến  tính công thức: d(M, ())  ax0  by  c 2 a b Phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d1 : a1 x  b1 y  c1  d2 : a x  b2 y  c2  Phương trình phân giác góc tạo hai đường thẳng là: a1 x  b1 y  c1 a12  b12 a x  b2 y  c2  a 22  b22 III Phương trình đường tròn Phương trình đường tròn : Cho đường tròn (C) tâm I(a; b) , bán kính R , phương trình (C) : (x  a)2  (y  b)2  R2 Ngoài phương trình : x2  y2  2ax  2by  c  với a  b2  c  phương trình đường tròn có tâm I(a; b) , bán kính R  a  b2  c Phương trình tiếp tuyến : Cho đường tròn (C) : (x  a)2  (y  b)2  R2  Tiếp tuyến  (C) điểm M đường thẳng qua M vuông góc với IM  Đường thẳng  : Ax  By  C  tiếp tuyến (C)  d(I, )  R  Đường tròn (C) : (x  a)2  (y  b)2  R2 có hai tiếp tuyến phương với Oy x  a  R Ngoài hai tiếp tuyến tiếp tuyến lại có dạng : y  kx  m IV E líp Định nghĩa : Trong mặt phẳng cho hai điểm cố định F1 , F2 có F1F2  2c Tập hợp điểm M mặt phẳng cho MF1  MF2  2a ( 2a không đổi a  c  ) đường elíp  F1 , F2 : hai tiêu điểm 2c tiêu cự elíp  MF1 , MF2 : bán kính qua tiêu Phương trình tắc elíp: GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG x2 a Vậy điểm M(x0 ; y )  (E)   y2 b  với b2 = a  c2 x 20 y2   x0  a ; y  b a2 b2 Tính chất hình dạng elíp: Cho (E) : x2 a2  y2 b2  1, a  b  Trục đối xứng Ox, Oy Tâm đối xứng O  Đỉnh: A1 (a; 0), A a; 0 , B1 (0; b) B2 0; b A1 A  2a gọi độ dài trục lớn, B1B2  2b gọi độ dài trục bé  Tiêu điểm: F1 (c; 0), F2 (c; 0)  Nội tiếp hình chữ nhật sở PQRS có kích thước 2a 2b với b2 = a  c2  Tâm sai: e  c  a a  b2 1 a  Hai đường chuẩn: x   a a2  e c  M  x0 ; y   E : MF1  a  ex0 MF2  a  ex0 P y B2 A1 Q x O A2 S R V Hypebol Định nghĩa : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm F1 , F2 có F1F2  2c Tập hợp điểm M mặt phẳng cho MF1  MF2  2a ( 2a không đổi c  a  ) Hypebol  F1 , F2 : tiêu điểm F1F2  2c tiêu cự  MF1 , MF2 : bán kính qua tiêu Phương trình tắc hypebol: GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) x2 a  y2 b  với b2 = c2  a PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Tính chất hình dạng hypebol (H):  Trục đối xứng Ox (trục thực), Oy (trục ảo) Tâm đối xứng O  Đỉnh: A1 (a; 0), A a; 0 Độ dài trục thực: 2a độ dài trục ảo: 2b  Tiêu điểm F1 (c; 0), F2  c; 0  Hai tiệm cận: y   b x a  Hình chữ nhật sở PQRS có kích thước 2a, 2b với b2  c2  a  Tâm sai: e  c  a a  b2 a  Hai đường chuẩn: x   a a2  e c  Độ dài bán kính qua tiêu M  x0 ; y   H : +) MF1  ex0  a MF2  ex0  a x0  +) MF1  ex0  a MF2  ex0  a x0   M(x0 ; y )  (E) : x2 a2  y2 b2 1 x20 a2  y 20 b2  ta có x0  a VI Parabol Định nghĩa: Parabol tập hợp điểm M mặt phẳng cách đường thẳng  cố định điểm F cố định không thuộc   : đường chuẩn; F : tiêu điểm d(F, )  p  tham số tiêu Phương trình tắc Parabol: y2  2px Hình dạng Parabol (P) : p  Trục Ox trục đối xứng, đỉnh O Tiêu điểm F( ; 0)  Đường chuẩn  : x   p  M  x; y   P : MF  x  p với x  B CÁC VẤN ĐỀ TRỌNG ĐIỂM GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Vấn đề CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN Lập phương trình đường thẳng Để lập phương trình đường thẳng  ta thường dùng cách sau ur  Tìm điểm M(x0 ; y ) mà  qua VTPT n  (a; b) Khi phương trình đường thẳng cần lập là: a(x  x0 )  b(y  y )   Giả sử đường thẳng cần lập  : ax  by  c  Dựa vào điều kiện toán ta tìm a  mb, c  nb Khi phương trình  : mx  y  n  Phương pháp ta thường áp dụng toán liên quan đến khoảng cách góc  Phương pháp quỹ tích: M(x0 ; y )   : ax  by  c   ax0  by  c  Ví dụ 1.1.1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : (x  1)2  (y  2)2  25 1) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm M(4; 6) , 2) Viết phương trình tiếp tuyến (C) xuất phát từ điểm N(6;1) 3) Từ E(6; 3) vẽ hai tiếp tuyến EA, EB ( A, B tiếp điểm) đến (C) Viết phương trình đường thẳng AB Lời giải Đường tròn (C) có tâm I(1; 2) , bán kính R  uuur 1) Tiếp tuyến qua M vuông góc với IM nên nhận IM  (3; 4) làm VTPT Nên phương trình tiếp tuyến là: 3(x  4)  4(y  6)   3x  4y  36  2) Gọi  tiếp tuyến cần tìm Do  qua N nên phương trình có dạng  : a(x  6)  b(y  1)   ax  by  6a  b  , a  b2  Ta có: d(I, )  R  7a  b a  b2 (*)   7a  b  a  b2  (7a  b)2  25(a  b2 ) a  24a  14ab  24b2   24    b  GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556)  a  b  a  12  24     b a   b  PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG  a 3 b thay vào (*) ta có: bx  by  b   3x  4y  14  4  a 4 b thay vào (*) ta có:  bx  by  9b   4x  3y  27  3 Vậy có hai tiếp tuyến thỏa yêu cầu toán là: 3x  4y  14  4x  3y  27  3) Gọi A(a; b) Ta có:  2   (a  1)2  (b  2)2  25 a  b  2a  4b  20  A  (C)      uur uuur 2 IA.NA  (a  1)(a  6)  (b  2)(b  3)   a  b  5a  5b   7a  b  20  Từ ta suy A   : 7x  y  20  Tương tự ta có B    AB    AB : 7x  y  20  Các lập phương trình đường tròn Để lập phương trình đường tròn (C) ta thường sử dụng cách sau Cách 1: Tìm tâm I(a; b) bán kính đường tròn Khi phương trình đường tròn có dạng: (x  a)2  (y  b)2  R2 Cách 2: Giả sử phương trình đường tròn có dạng: x2  y2  2ax  2by  c  Dựa vào giả thiết toán ta tìm a, b, c Cách ta thương áp dụng yêu cầu viết phương trình đường tròn qua ba điểm Ví dụ 1.1.2 Lập phương trình đường tròn (C), biết 1) (C) qua A(3; 4) hình chiếu A lên trục tọa độ 2) (C) có tâm nằm đường tròn (C1 ) : (x  2)2  y  thẳng 1 : x  y  2 : x  7y  tiếp xúc với hai đường Lời giải 1) Gọi A1 , A hình chiếu A lên hai trục Ox, Oy, suy A1 (3; 0), A (0; 4) Giả sử (C) : x2  y2  2ax  2by  c   a         6a 8b c 25      Do A, A1 , A  (C) nên ta có hệ: 6a  c  9  b      c  8b  c  16    GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Vậy phương trình (C): x2  y2  3x  4y  2) Gọi I(a; b) tâm đường tròn (C), I  (C1 ) nên: (a  2)2  b2  (1) Do (C) tiếp xúc với hai đường thẳng 1 , 2 nên d(I, 1 )  d(I, 2 )  ab  a  7b  b  2a, a  2b  b  2a thay vào (1) ta có được: (a  2)2  4a  16  5a  4a   phương trình 5 vô nghiệm  a  2b thay vào (1) ta có: (2b  2)2  b2  R  D(I, 1 )  4  b  , a  Suy 5 2       Vậy phương trình (C) :  x     y      25   Các điểm đặc biệt tam giác Cho tam giác ABC Khi đó: uuur uuur  AH.BC   Trực tâm H :  uuur uuur BH.AC    x  x  x y  y  y  B C; A B C  Trọng tâm G  A   3   2  IA  IB  Tâm đường tròn ngoại tiếp I :    2   IA  IC uuur uuur uuur uuur   AB.AK AC.AK      AB AC  Tâm đường tròn nội tiếp K :  uuur uuur uuur uuur    BC.BK  BA.BK  AB  BC  Chú ý: Có thể tìm K theo cách sau: uuur * Gọi D chân đường phân giác góc A, ta có: BD  uuur * Ta có AK  AB uuur DC , từ suy D AC AB uuur KD từ ta có K BD GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG uuur uuur uuur uuur  AB.AJ AC.AJ   AB  AC  Tâm đường tròn bàng tiếp (góc A) J :  uur uuur uuur uur  BJ.BC AB.BJ    BC AB  3 Ví dụ 1.1.3 Cho tam giác ABC có A(1; 3), B(2; 0), C  ;   8  1) Tìm tọa độ trực tâm H , tâm đường tròn ngoại tiếp I trọng tâm G tam giác ABC Từ suy I, G, H thẳng hàng; 2) Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tâm đường tròn bàng tiếp góc A tam giác ABC Lời giải  x  x B  xC  xG  A  G  ;  1) Ta có     y A  y B  yC  8  y G    uuur uuur uuur  21  uuur  21  ;  , AC   ;      8   Gọi H(x; y) , suy AH   x  1; y  3 , BH   x  2; y  , BC   uuur uuur  AH.BC  Mà  uuur uuur nên ta có BH.AC   3  Suy H  ;   x      7(x 1) (y 3) 7x y 10              (x  2)  7y  x  7y    y        2 2  (x  1)  (y  3)  (x  2)  y  2   IA  IB 2 Gọi I(x; y) , ta có:        2   2   (x  2)  y   x     y    IB  IC          15  x  y  x    16  I  15 ; 31    21    111   16 16   x  y   y  31 4 32   16  uuur uuur uur 13 13  uur  13 13  ;   , GI   ;   GH  2GI Suy I, G, H thẳng hàng   16 16   Ta có GH   2) Gọi K(x; y) tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Ta có: GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur    AK, AB  AK, AC cos AK, AB  cos AK, AC   KAB ·  KAC ·      uuur uuur   · uuur uuu r uuur uuu r uuur uuu r · KBC  KBA    BK, BA  BK, BC cos BK, BA  cos BK, BC        uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur  AK.AB  AK.AB AK.AC AK.AC     AK.AC AB AC   AK.AB uuur uuur uuur uuur   uuur uuur uuur uuur (*)  BK.BA   BK.BA BK.BC BK.BC     BC  BK.AB BK.BC  AB uuur uuur uuur Mà AK   x  1; y  3 , BK   x  2; y  , AB  (3; 3) nên (*) tương đương với                  21 (y  3) 3(x  1)  3(y  3)  (x  1)     15  2x  y  1 x       Vậy K(0;1)   x  2y  2 y  21 (x 2) y    3(x  2)  3y   15    Gọi J a; b tâm đường tròn bàng tiếp góc A tam giác ABC Ta có:          uuur uuur uuur uuur  uuur uuur uuur uuur   AJ.AB AJ.AC  a    AJ, AB  AJ, AC  AB  AC 2a  b  1  Vậy J  ;      uur uuur   uur uuur uur uuur   uur uuur   2a  b  4    BJ.BC BJ.AB BJ, BC  BJ, AB  b      AB   BC       Các đường đăch biệt tam giác 4.1 Đường trung tuyến tam giác: Khi gặp đường trung tuyến tam giác, ta chủ yếu khai thác tính chất qua đỉnh trung điểm cạnh đối diện 4.2 Đường cao tam giác: Ta khai thác tính chất qua đỉnh vuông góc với cạnh đối diện 4.3 Đường trung trực tam giác: Ta khai thác tính chất qua trung điểm vuông góc với cạnh 4.4 Đường phân giác trong: Ta khai thác tính chất: Nếu M thuộc AB, M’ đối xứng với M qua phân giác góc A M’ thuộc AC Ví dụ 1.1.4 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , xác định tọa độ đỉnh C tam giác ABC biết hình chiếu vuông góc C đường thẳng AB điểm H(1; 1) , đường phân giác góc A có phương trình x  y   đường cao kẻ từ B có phương trình 4x  3y   GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) 10