PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG A TÓM TẮT LÝ THUYẾT I Tọa độ mặt phẳng r ur Cho u(x1 , y1 ); v(x ; y ) k R Khi đó: r ur r ur 1) u v (x1 x2 ; y1 y ) 2) u v (x1 x2 ; y1 y ) r r r ur x x 3) ku (kx1 ; ky1 ) 4) u x12 y12 5) u=v y y r ur r ur r ur 6) u.v x1x2 y1 y u v u.v x1 x2 y1 y r ur x kx Hai véc tơ u(x1 , y1 ); v(x ; y ) phương với y ky r ur u.v r ur r ur x1 x2 y1y Góc hai véc tơ u(x1 , y1 ); v(x ; y ) : cos(u, v) r ur u v x12 y12 x22 y 22 Cho A(x A ; y A ) ; B(xB ; y B ) Khi : uuur uuur 1) AB (xB x A ; y B y A ) 2) AB= AB (xB x A )2 (y B y A )2 (C) : (x 2)2 (y 4)2 25 d : 5x 2y 11 trung điểm A(1; 2), B(3; 2) uuur uuur AB CD AB.CD Cho tam giác ABC với A(x A ; y A ), B(xB ; y B ), C(xC ; y C ) Khi trọng tâm G xG ; y G x x B xC xG A tam giác ABC : y y yC A B y G II Phương trình đường thẳng Phương trình đường thẳng 1.1 Véc tơ phương (VTCP), véc tơ pháp tuyến (VTPT) đường thẳng : Cho đường thẳng d (E) : x2 y A(3; 2), gọi véc tơ pháp tuyến d giá vuông với d GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG B(3; 2) A 2;1 , B 4; 3 gọi véc tơ phương d giá trùng song song với đường thẳng d Một đường thẳng có vô số VTPT vô số VTCP ( Các véc tơ phương với nhau) : x y Mối quan hệ VTPT VTCP: A 0; 5 , B 2; 3 r R 10 Nếu A 1; 0 , B 2; 0 VTPT đường thẳng d u (b; a) VTCP đường thẳng d d : x y Đường thẳng A 1;1 có A, O VTCP 1.2 Phương trình đường thẳng 1.2.1 Phương trình tổng quát đường thẳng : Cho đường thẳng (C) : x2 y qua điểm I 2; 2 có AB VTPT, phương trình tổng quát M(2; 3) có dạng: (C) : (x 2)2 y 1.2.2 Phương trình tham số đường thẳng : Cho đường thẳng 1 : x y 0, 2 : x 7y qua điểm C1 : x2 y 10x có C2 : x2 y2 4x 2y 20 VTCP, phương trình tham số đường x x0 at thẳng d là: , x2 y2 2x 6y y y bt Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho hai đường thẳng M(3;1) T1 , T2 Khi vị trí tương đối chúng phụ thuộc vào số nghiệm hệ : (C) (I) T1 , T2 Nếu (I) vô nghiệm d1 : mx (m 1)y m d : (2m 2)x 2my Nếu (I) vô số nghiệm C : x2 y 2x 4y d : x y Nếu (I) có nghiệm d1 d cắt nghiệm hệ tọa độ giao điểm Góc hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d1 : a1 x b1 y c1 0; d2 : a x b2 y c2 Gọi góc nhọn tạo hai đường thẳng d1 d2 Ta có : cos GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) a1a b1b2 a12 b12 a 22 b22 PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho đường thẳng : ax by c điểm M(x0 ; y ) Khi khoảng cách từ M đến tính công thức: d(M, ()) ax0 by c 2 a b Phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d1 : a1 x b1 y c1 d2 : a x b2 y c2 Phương trình phân giác góc tạo hai đường thẳng là: a1 x b1 y c1 a12 b12 a x b2 y c2 a 22 b22 III Phương trình đường tròn Phương trình đường tròn : Cho đường tròn (C) tâm I(a; b) , bán kính R , phương trình (C) : (x a)2 (y b)2 R2 Ngoài phương trình : x2 y2 2ax 2by c với a b2 c phương trình đường tròn có tâm I(a; b) , bán kính R a b2 c Phương trình tiếp tuyến : Cho đường tròn (C) : (x a)2 (y b)2 R2 Tiếp tuyến (C) điểm M đường thẳng qua M vuông góc với IM Đường thẳng : Ax By C tiếp tuyến (C) d(I, ) R Đường tròn (C) : (x a)2 (y b)2 R2 có hai tiếp tuyến phương với Oy x a R Ngoài hai tiếp tuyến tiếp tuyến lại có dạng : y kx m IV E líp Định nghĩa : Trong mặt phẳng cho hai điểm cố định F1 , F2 có F1F2 2c Tập hợp điểm M mặt phẳng cho MF1 MF2 2a ( 2a không đổi a c ) đường elíp F1 , F2 : hai tiêu điểm 2c tiêu cự elíp MF1 , MF2 : bán kính qua tiêu Phương trình tắc elíp: GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG x2 a Vậy điểm M(x0 ; y ) (E) y2 b với b2 = a c2 x 20 y2 x0 a ; y b a2 b2 Tính chất hình dạng elíp: Cho (E) : x2 a2 y2 b2 1, a b Trục đối xứng Ox, Oy Tâm đối xứng O Đỉnh: A1 (a; 0), A a; 0 , B1 (0; b) B2 0; b A1 A 2a gọi độ dài trục lớn, B1B2 2b gọi độ dài trục bé Tiêu điểm: F1 (c; 0), F2 (c; 0) Nội tiếp hình chữ nhật sở PQRS có kích thước 2a 2b với b2 = a c2 Tâm sai: e c a a b2 1 a Hai đường chuẩn: x a a2 e c M x0 ; y E : MF1 a ex0 MF2 a ex0 P y B2 A1 Q x O A2 S R V Hypebol Định nghĩa : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm F1 , F2 có F1F2 2c Tập hợp điểm M mặt phẳng cho MF1 MF2 2a ( 2a không đổi c a ) Hypebol F1 , F2 : tiêu điểm F1F2 2c tiêu cự MF1 , MF2 : bán kính qua tiêu Phương trình tắc hypebol: GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) x2 a y2 b với b2 = c2 a PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Tính chất hình dạng hypebol (H): Trục đối xứng Ox (trục thực), Oy (trục ảo) Tâm đối xứng O Đỉnh: A1 (a; 0), A a; 0 Độ dài trục thực: 2a độ dài trục ảo: 2b Tiêu điểm F1 (c; 0), F2 c; 0 Hai tiệm cận: y b x a Hình chữ nhật sở PQRS có kích thước 2a, 2b với b2 c2 a Tâm sai: e c a a b2 a Hai đường chuẩn: x a a2 e c Độ dài bán kính qua tiêu M x0 ; y H : +) MF1 ex0 a MF2 ex0 a x0 +) MF1 ex0 a MF2 ex0 a x0 M(x0 ; y ) (E) : x2 a2 y2 b2 1 x20 a2 y 20 b2 ta có x0 a VI Parabol Định nghĩa: Parabol tập hợp điểm M mặt phẳng cách đường thẳng cố định điểm F cố định không thuộc : đường chuẩn; F : tiêu điểm d(F, ) p tham số tiêu Phương trình tắc Parabol: y2 2px Hình dạng Parabol (P) : p Trục Ox trục đối xứng, đỉnh O Tiêu điểm F( ; 0) Đường chuẩn : x p M x; y P : MF x p với x B CÁC VẤN ĐỀ TRỌNG ĐIỂM GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Vấn đề CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN Lập phương trình đường thẳng Để lập phương trình đường thẳng ta thường dùng cách sau ur Tìm điểm M(x0 ; y ) mà qua VTPT n (a; b) Khi phương trình đường thẳng cần lập là: a(x x0 ) b(y y ) Giả sử đường thẳng cần lập : ax by c Dựa vào điều kiện toán ta tìm a mb, c nb Khi phương trình : mx y n Phương pháp ta thường áp dụng toán liên quan đến khoảng cách góc Phương pháp quỹ tích: M(x0 ; y ) : ax by c ax0 by c Ví dụ 1.1.1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : (x 1)2 (y 2)2 25 1) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm M(4; 6) , 2) Viết phương trình tiếp tuyến (C) xuất phát từ điểm N(6;1) 3) Từ E(6; 3) vẽ hai tiếp tuyến EA, EB ( A, B tiếp điểm) đến (C) Viết phương trình đường thẳng AB Lời giải Đường tròn (C) có tâm I(1; 2) , bán kính R uuur 1) Tiếp tuyến qua M vuông góc với IM nên nhận IM (3; 4) làm VTPT Nên phương trình tiếp tuyến là: 3(x 4) 4(y 6) 3x 4y 36 2) Gọi tiếp tuyến cần tìm Do qua N nên phương trình có dạng : a(x 6) b(y 1) ax by 6a b , a b2 Ta có: d(I, ) R 7a b a b2 (*) 7a b a b2 (7a b)2 25(a b2 ) a 24a 14ab 24b2 24 b GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) a b a 12 24 b a b PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG a 3 b thay vào (*) ta có: bx by b 3x 4y 14 4 a 4 b thay vào (*) ta có: bx by 9b 4x 3y 27 3 Vậy có hai tiếp tuyến thỏa yêu cầu toán là: 3x 4y 14 4x 3y 27 3) Gọi A(a; b) Ta có: 2 (a 1)2 (b 2)2 25 a b 2a 4b 20 A (C) uur uuur 2 IA.NA (a 1)(a 6) (b 2)(b 3) a b 5a 5b 7a b 20 Từ ta suy A : 7x y 20 Tương tự ta có B AB AB : 7x y 20 Các lập phương trình đường tròn Để lập phương trình đường tròn (C) ta thường sử dụng cách sau Cách 1: Tìm tâm I(a; b) bán kính đường tròn Khi phương trình đường tròn có dạng: (x a)2 (y b)2 R2 Cách 2: Giả sử phương trình đường tròn có dạng: x2 y2 2ax 2by c Dựa vào giả thiết toán ta tìm a, b, c Cách ta thương áp dụng yêu cầu viết phương trình đường tròn qua ba điểm Ví dụ 1.1.2 Lập phương trình đường tròn (C), biết 1) (C) qua A(3; 4) hình chiếu A lên trục tọa độ 2) (C) có tâm nằm đường tròn (C1 ) : (x 2)2 y thẳng 1 : x y 2 : x 7y tiếp xúc với hai đường Lời giải 1) Gọi A1 , A hình chiếu A lên hai trục Ox, Oy, suy A1 (3; 0), A (0; 4) Giả sử (C) : x2 y2 2ax 2by c a 6a 8b c 25 Do A, A1 , A (C) nên ta có hệ: 6a c 9 b c 8b c 16 GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Vậy phương trình (C): x2 y2 3x 4y 2) Gọi I(a; b) tâm đường tròn (C), I (C1 ) nên: (a 2)2 b2 (1) Do (C) tiếp xúc với hai đường thẳng 1 , 2 nên d(I, 1 ) d(I, 2 ) ab a 7b b 2a, a 2b b 2a thay vào (1) ta có được: (a 2)2 4a 16 5a 4a phương trình 5 vô nghiệm a 2b thay vào (1) ta có: (2b 2)2 b2 R D(I, 1 ) 4 b , a Suy 5 2 Vậy phương trình (C) : x y 25 Các điểm đặc biệt tam giác Cho tam giác ABC Khi đó: uuur uuur AH.BC Trực tâm H : uuur uuur BH.AC x x x y y y B C; A B C Trọng tâm G A 3 2 IA IB Tâm đường tròn ngoại tiếp I : 2 IA IC uuur uuur uuur uuur AB.AK AC.AK AB AC Tâm đường tròn nội tiếp K : uuur uuur uuur uuur BC.BK BA.BK AB BC Chú ý: Có thể tìm K theo cách sau: uuur * Gọi D chân đường phân giác góc A, ta có: BD uuur * Ta có AK AB uuur DC , từ suy D AC AB uuur KD từ ta có K BD GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG uuur uuur uuur uuur AB.AJ AC.AJ AB AC Tâm đường tròn bàng tiếp (góc A) J : uur uuur uuur uur BJ.BC AB.BJ BC AB 3 Ví dụ 1.1.3 Cho tam giác ABC có A(1; 3), B(2; 0), C ; 8 1) Tìm tọa độ trực tâm H , tâm đường tròn ngoại tiếp I trọng tâm G tam giác ABC Từ suy I, G, H thẳng hàng; 2) Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tâm đường tròn bàng tiếp góc A tam giác ABC Lời giải x x B xC xG A G ; 1) Ta có y A y B yC 8 y G uuur uuur uuur 21 uuur 21 ; , AC ; 8 Gọi H(x; y) , suy AH x 1; y 3 , BH x 2; y , BC uuur uuur AH.BC Mà uuur uuur nên ta có BH.AC 3 Suy H ; x 7(x 1) (y 3) 7x y 10 (x 2) 7y x 7y y 2 2 (x 1) (y 3) (x 2) y 2 IA IB 2 Gọi I(x; y) , ta có: 2 2 (x 2) y x y IB IC 15 x y x 16 I 15 ; 31 21 111 16 16 x y y 31 4 32 16 uuur uuur uur 13 13 uur 13 13 ; , GI ; GH 2GI Suy I, G, H thẳng hàng 16 16 Ta có GH 2) Gọi K(x; y) tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Ta có: GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur AK, AB AK, AC cos AK, AB cos AK, AC KAB · KAC · uuur uuur · uuur uuu r uuur uuu r uuur uuu r · KBC KBA BK, BA BK, BC cos BK, BA cos BK, BC uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur AK.AB AK.AB AK.AC AK.AC AK.AC AB AC AK.AB uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur (*) BK.BA BK.BA BK.BC BK.BC BC BK.AB BK.BC AB uuur uuur uuur Mà AK x 1; y 3 , BK x 2; y , AB (3; 3) nên (*) tương đương với 21 (y 3) 3(x 1) 3(y 3) (x 1) 15 2x y 1 x Vậy K(0;1) x 2y 2 y 21 (x 2) y 3(x 2) 3y 15 Gọi J a; b tâm đường tròn bàng tiếp góc A tam giác ABC Ta có: uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur AJ.AB AJ.AC a AJ, AB AJ, AC AB AC 2a b 1 Vậy J ; uur uuur uur uuur uur uuur uur uuur 2a b 4 BJ.BC BJ.AB BJ, BC BJ, AB b AB BC Các đường đăch biệt tam giác 4.1 Đường trung tuyến tam giác: Khi gặp đường trung tuyến tam giác, ta chủ yếu khai thác tính chất qua đỉnh trung điểm cạnh đối diện 4.2 Đường cao tam giác: Ta khai thác tính chất qua đỉnh vuông góc với cạnh đối diện 4.3 Đường trung trực tam giác: Ta khai thác tính chất qua trung điểm vuông góc với cạnh 4.4 Đường phân giác trong: Ta khai thác tính chất: Nếu M thuộc AB, M’ đối xứng với M qua phân giác góc A M’ thuộc AC Ví dụ 1.1.4 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , xác định tọa độ đỉnh C tam giác ABC biết hình chiếu vuông góc C đường thẳng AB điểm H(1; 1) , đường phân giác góc A có phương trình x y đường cao kẻ từ B có phương trình 4x 3y GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) 10