Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Tailieumontoan.com  Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Tài liệu sưu tầm, ngày 21 tháng năm 2021 Website: tailieumontoan.com Chương III PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Bài PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG I LÝ THUYẾT Vectơ phương   Vectơ u  gọi vectơ phương (VTCP) đường thẳng  giá song song trùng với    Nhận xét : Nếu u VTCP  ku  k   VTCP  Phương trình tham số đường thẳng  Cho đường thẳng  qua M (x ; y ) u  (a;b) VTCP Khi phương trình tham số đường thẳng có dạng:  x  x  at     y  y  bt   t  R Nhận xét : A    A(x  at; y  bt ) Phương trình tắc đường thẳng  Cho đường thẳng  qua M (x ; y ) u  (a;b) (với a  0, b  ) VTCP Khi phương trình tắc đường thẳng có dạng: x  x0 y  y0  a b Vectơ pháp tuyến đường thẳng   Vectơ n  gọi vectơ pháp tuyến (VTPT)  giá vng góc với    Nhận xét : Nếu n VTPT  kn  k   VTPT  Phương trình tổng quát đường thẳng  Cho đường thẳng  qua M (x ; y ) có VTPT n  (a;b) Khi phương trình tổng qt đường thẳng có dạng: Chú ý :  - Nếu đường thẳng  : ax  by  c  n  (a;b) VTPT  Các dạng đặc biệt phương trình tổng qt • •  song song trùng với trục Ox   : by  c   song song trùng với trục Oy   : ax  c  Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC • Website: tailieumontoan.com  qua gốc tọa độ   : ax  by  x y   với ab   a b • Phương trình đường thẳng có hệ số góc k y  kx  m với k  tan  ,  góc hợp tia Mt  phía trục Ox tia Mx ( M giao điểm  Ox ) Liên hệ VTCP VTPT   VTPT VTCP vng góc với Do  có VTCP u  (a;b) n  (b; a ) VTPT  •  qua hai điểm A a; , B  0;b    : Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho hai đường thẳng ∆1 : a1 x + b1 y + c1 = ∆ : a2 x + b2 y + c2 = Để xét vị trí tương đối hai đường thẳng ∆ ∆ ta xét số nghiệm hệ phương trình a1 x + b1 y + c1 =  a2 x + b2 y + c2 = (I)  Chú ý: Nếu a2b2c2 ≠ : ∆1 ∩ ∆ ⇔ a1 b1 ≠ a b2 ∆ // ∆ ⇔ a1 b1 c1 = ≠ a b2 c ∆1 ≡ ∆ ⇔ a1 b1 c1 = = a b2 c Góc hai đường thẳng → → Góc hai đường thẳng ∆ ∆ có VTPT n1 = ( a1 ;b1 ) n2 = ( a2 ;b ) tính theo cơng thức: → → → → | n1 n2 | = cos(∆= cos(n= 1, ∆2 ) , n2 ) → → | n1 || n2 | | a1a2 + b1b2 | a12 + b12 a22 + b22 10 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ) đến đường thẳng ∆ : ax + by + c = cho công thức: d(M0, ∆ ) = | ax0 + by + c | a2 + b2 II DẠNG TOÁN Xác định vectơ pháp tuyến; vectơ phương đường thẳng Phương pháp giải Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website: tailieumontoan.com   - Nếu n VTPT ∆ k n ( k ≠ ) VTPT ∆   - Nếu u VTCP ∆ ku ( k ≠ ) VTCP ∆ - Hai đường thẳng song song với VTPT đường VTPT đường kia; VTCP đường VTCP đường - Hai đường thẳng vng góc với VTPT đường VTCP đường ngược lại  - VTPT VTCP đường thẳng vng góc với Do ∆ có VTCP u = (a; b)  n = (−b; a ) VTPT ∆ A VÍ DỤ MINH HỌA  x= + 3t Ví dụ 1: Vectơ phương đường thẳng  là:  y =−3 − t    A u1 = ( 2; –3) B u2 = ( 3; –1) C u3 = ( 3; 1)  D u4 = ( 3; –3) Ví dụ 2: Vectơ vectơ phương đường thẳng qua hai điểm A ( −3; ) B (1; ) ? A  u1 = ( −1; )  B u2 = ( 2;1) Ví dụ 3: Vectơ pháp tuyến đường thẳng x − y + = :    A n= B n2 = ( 2;3) C n3 = ( 3; ) ( 2; − 3) Ví dụ 4: Vectơ phương đường thẳng  A u =  D n1 = ( −3; ) x y + = là:  B u= ( −2;3)  D u4 = (1;1)  C u3 = ( −2;6 ) ( 3; − )  C u = ( 3; )  D u1 = ( 2;3) Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B   x y u + =1 ⇔ x + y − = nên đường thẳng có VTPT n = ( 2;3) Suy VTCP = Ví dụ 5: Vectơ pháp tuyến đường thẳng x − y + = :    A n= B C n = 2;3 2; − n ) ( ) ( = ( 3; )  D n1 = ( 3; − ) ( −3; ) Ví dụ 6: Vectơ vectơ pháp tuyến đường thẳng qua hai điểm A ( 2;3) B ( 4;1) ? A  n= ( 2; −2 ) B  n= ( 2; −1)  C n3 = (1;1)  D n= (1; −2 ) B BÀI TẬP TỰ LUYỆN NHẬN BIẾT Câu Một đường thẳng có vectơ phương ? Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC A Câu B Website: tailieumontoan.com D Vơ số C Một đường thẳng có vectơ pháp tuyến ? A B C D Vô số x      y  1  t Câu Vectơ vectơ phương đường thẳng d :   A u1  6;0   B u2  6;0  C u3  2;6 D u4  0;1   x   t   y 3t      Câu Vectơ vectơ phương đường thẳng  :   A u1  1;3 Câu  1  2  B u2   ;3  D u4  1; 6 Cho đường thẳng ∆ có phương trình tổng qt: –2 x + y –1 = Vectơ sau vectơ C ( –3; ) D ( 2; –3) Cho đường thẳng ∆ có phương trình tổng quát: –2 x + y –1 = Vectơ sau không vectơ phương ∆  2 A 1;  B ( 3; )  3 Câu ?      C u3   ;3 phương đường thẳng ∆ A ( 3; ) B ( 2;3) Câu ? C ( 2;3) D ( –3; –2 ) Cho đường thẳng (d): x + y − = Vecto sau vecto pháp tuyến (d)?   A n1 = ( 3; )  B n2 =( −4; −6 ) C n= ( 2; −3)  D n4 = ( −2;3) THÔNG HIỂU Câu Vectơ vectơ phương đường thẳng qua hai điểm A 3;2 B 1;4  ?  A u1  1;2 Câu  B u2  2;1  C u3  2;6  D u4  1;1 Vectơ phương vectơ pháp tuyến đường thẳng: A Song song với B Vng góc với C Trùng D Bằng Câu 10 Vectơ vectơ phương đường thẳng qua gốc tọa độ O 0;0 điểm M a ; b  ?  A u1  0; a  b   B u2  a; b   C u3  a;b   D u4  a; b  Câu 11 Vectơ vectơ phương đường thẳng qua hai điểm A a;0 B 0; b  ?  A u1  a;b   B u2  a; b   C u3  b; a   D u4  b; a   Câu 12 Đường thẳng d có vectơ phương u  2;1 Trong vectơ sau, vectơ Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com vectơ pháp tuyến d ?  A n1  1;2   B n2  1;2 C n3  3;6  D n4  3;6  Câu 13 Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến n  4;2 Trong vectơ sau, vectơ vectơ phương d ?  A u1  2;4    B u2  2;4  C u3  1;2  Câu 14 Cho đường thẳng có vectơ pháp tuyến n = thẳng  A u = ( 2; 3) ( −2;3) Vectơ sau vectơ phương đường  C u = ( 3; )  B = u (3; − 2)  Câu 15 Cho đường thẳng có vectơ pháp tuyến n = đường thẳng  A u = ( 0; 3)  D u4  2;1  D u = ( –3; 3) ( −2;0 ) Vectơ không vectơ phương  C u = ( 8; )  B u = ( 0; –7 )  D u = ( 0; –5 ) VẬN DỤNG Câu 16 Vectơ vectơ phương đường thẳng song song với trục Ox ?  A u1  1;0   B u2  0;1 C u3  1;1  D u4  1;1 Câu 17 Vectơ vectơ phương đường thẳng song song với trục Oy ?  A u1  1;1   B u2  0;1 C u3  1;0  D u4  1;1 Câu 18 Vectơ vectơ phương đường phân giác góc phần tư thứ nhất?  A u1  1;1   B u2  0;1 C u3  1;0  D u4  1;1 Câu 19 Vectơ vectơ pháp tuyến đường thẳng song song với trục Ox ?  A n1  0;1   B n2  1;0 C n3  1;0  D n4  1;1 Câu 20 Vectơ vectơ pháp tuyến đường thẳng song song với trục Oy ?  A n1  1;1   B n2  0;1 C n3  1;1  D n4  1;0 Câu 21 Vectơ vectơ pháp tuyến đường phân giác góc phần tư thứ hai?  A n1  1;1   B n2  0;1 C n3  1;0  D n4  1;1  Câu 22 Đường thẳng d có vectơ phương u  3; 4 Đường thẳng  vng góc với d có vectơ pháp tuyến là:  A n1  4; 3  B n2  4;3  C n3  3;4   D n4  3;4   Câu 23 Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến n  2;5 Đường thẳng  vuông góc với d có vectơ phương là: Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC A  u1  5; 2 B  u2  5;2 C  u3  2;5 Website: tailieumontoan.com  D u4  2;5 Câu 24 Tìm vectơ pháp tuyến đường thẳng qua hai điểm A (1; ) , B ( 5;6 )     A n = (4; 4) B n = (1;1) C n = (−4; 2) D n = (−1;1)  u Câu 25 Đường thẳng d có vectơ phương = vectơ pháp tuyến là:  A n1 = ( 4; 3)  B n2 = ( −4; −3) ( 3; −4 ) Đường thẳng  C n3 = ( 3; ) ∆ vng góc với d có  D n4 = ( 3; −4 )  Câu 26 Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến n =( −2; −5 ) Đường thẳng ∆ vng góc với d có vectơ phương là:  A u1 = ( 5; −2 )  B u2 = ( −5; )  Câu 27 Đường thẳng d có vectơ phương = u vectơ pháp tuyến là:  A n1 = ( 4; 3)  B n2 = ( −4;3)  C u3 = ( 2;5 ) ( 3; −4 ) Đường thẳng  C n3 = ( 3; )  D u4 = ( 2; −5 ) ∆ song song với d có  D n4 = ( 3; −4 )  Câu 28 Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến n =( −2; −5 ) Đường thẳng ∆ song song với d có vectơ phương là:  A u1 = ( 5; −2 )  B u2 = ( −5; −2 )  C u3 = ( 2;5 )  D u4 = ( 2; −5 ) Câu 29 Vectơ vectơ phương đường thẳng song song với trục Ox ?     A u1 = (1;0 ) B u= C u3 = ( −1;1) D u4 = (1;1) ( 0; −1) C ĐÁP ÁN PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN D D D C A C B B B 10 B 11 A 12 D 13 C 14 C 15 C 16 A 17 C 18 D 19 A 20 D 21 A 22 D 23 C 24 D 25 D 26 C 27 A 28 A 29 A Viết phương trình đường thẳng Phương pháp giải Để viết phương trình tổng quát đường thẳng  ta cần xác định Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website: tailieumontoan.com - Điểm A(x ; y )    - Một vectơ pháp tuyến n a;b   Khi phương trình tổng qt  a  x  x   b  y  y   Để viết phương trình tham số đường thẳng  ta cần xác định - Điểm A(x ; y )    - Một vectơ phương u a;b     x  x  at Khi phương trình tham số   , t  R  y  y  bt   Để viết phương trình tắc đường thẳng  ta cần xác định - Điểm A(x ; y )    - Một vectơ phương u a;b , ab   Phương trình tắc đường thẳng  x  x0 y  y0  a b (trường hợp ab  đường thẳng khơng có phương trình tắc) Đường thẳng qua điểm M ( x0 ; y0 ) có hệ số góc k có phương trình y = k ( x − x0 ) + y0 Chú ý:  Nếu hai đường thẳng song song với chúng có VTCP VTPT  Hai đường thẳng vng góc với VTCP đường thẳng VTPT đường thẳng ngược lại    Nếu  có VTCP u  (a;b) n  (b; a ) VTPT  A VÍ DỤ MINH HỌA Viết phương trình đường thẳng qua điểm biết VTPT  Ví dụ 1: Đường thẳng qua A ( −1; ) , nhận = n (1; −2 ) làm véc tơ pháp tuyến có phương trình là: A x − y − = B x + y = C x − y − =0 D x − y + = Lời giải Chọn D  Gọi ( d ) đường thẳng qua nhận = n Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 (1; −2 ) làm VTPT TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com ⇒ ( d ) : x + − ( y − 2) = ⇔ x − y + =  Ví dụ 2: Viết phương trình tham số đường thẳng ∆ qua M (1; − 3) nhận vectơ n (1; ) làm vectơ pháp tuyến x= 1+ t B ∆ :   y =−3 + 2t A ∆ : x + y + =  x = − 2t C ∆ :   y =−3 + t D ∆ : x −1 y + = −2 Lời giải Chọn C   Vì ∆ nhận vectơ n (1; ) làm vectơ pháp tuyến nên VTCP ∆ u ( −2;1)  x = − 2t Vậy phương trình tham số đường thẳng ∆   y =−3 + t Viết phương trình đường thẳng qua điểm biết VTCP  Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng ( d ) qua M ( –2;3) có VTCP u=  x =−2 + 3t A   y = − 4t  x =−2 + t B   y= − 4t  x = − 2t C   y =−4 + 3t (1; −4 )  x= − 2t D   y =−4 + t Lời giải Chọn B  Đường thẳng ( d ) qua M ( –2;3) có VTCP u= (1; −4 ) nên có phương trình:  x =−2 + t   y= − 4t  Ví dụ 2: Viết phương trình tắc đường thẳng ∆ qua M (1; − 3) nhận vectơ u (1; ) làm vectơ phương A ∆ : x − y − = x= 1+ t C ∆ :   y =−3 + 2t B ∆ : D ∆ : x −1 y + = x +1 y − = Lời giải Chọn B Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com  Đường thẳng ∆ qua M (1; − 3) nhận vectơ u (1; ) làm vectơ phương có phương trình tắc x −1 y + = Viết phương trình đường thẳng qua điểm song song với đường thẳng cho trước Đường thẳng ( ∆ ) qua M (1; −1) song song với ( d ) Ví dụ 1: Cho đường thẳng ( d ) : x − y + = có phương trình: A x − y − = B x + y − =0 C x − y + = Lời giải D x + y + = Chọn A Do ( ∆ ) song song với ( d ) nên có phương trình dạng: x − y + c= ( c ≠ 1) Mà M (1; −1) ∈ ( ∆ ) ⇒ − ( −1) + c =0 ⇔ c =−3 Vậy ( ∆ ) : x − y − = Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có A ( −2;0 ) , B ( 0;3) , C ( 3;1) Đường thẳng qua B song song với AC có phương trình: A x − y + = C x + y − 15 = B x + y − = D x − y + 15 = Lời giải Chọn D  Gọi ( d ) đường thẳng cần tìm Do ( d ) song song với AC nên nhận AC ( 5;1) làm VTCP  Suy n (1; − ) VTPT ( d ) ⇒ ( d ) có phương trình: 1( x − ) − ( y − 3) = ⇔ x − y + 15 = Viết phương trình đường thẳng qua điểm vng góc với đường thẳng cho trước Ví dụ 1: Phương trình tham số đường thẳng ( d ) qua điểm M ( −2;3) vng góc với đường thẳng ( d ′) : 3x − y + =0 là:  x= − 2t A   y =−4 + 3t  x =−2 + 3t B   y= − 4t C x + y −3 = −4 D x + y − =0 Lời giải Chọn B  Ta có ( d ) ⊥ ( d ′ ) : x − y + =0 ⇒ VTCP ud = ( 3; −4 ) qua M ( −2;3)  x =−2 + 3t Suy ( d ) :  (t ∈  )  y= − 4t Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 52 Website: tailieumontoan.com  x + y += 5( x − y + 4) | x + y + 1| | x − y + | = ⇔ 5 3 x + y + =− 5( x − y + 4)  x + y += 5( x − y + 4) ⇔ 3 x + y + =− 5( x − y + 4) Câu 18 Chọn D Gọi M ( x; y ) điểm thuộc đường phân giác ⇒ d ( M , ∆) = d ( M , Ox) ⇒ x+ y = y ⇒ x + (1 ± 2) y = Câu 19 Chọn C Gọi M ( x; y ) điểm thuộc đường phân giác x + y − 2x − y + = 5  − x + y − =0 ⇒ x + y − =±(2 x − y + 3) ⇒  3 x + y = ⇒ d ( M , ∆= d (M , ∆2 ) ⇒ 1) Câu 20 Chọn C x + 2y −3 2x − y +  x + y − = 2x − y + x − 3y + = = ⇔ ⇔  x + y − =−2 x + y − 3 x + y =0 Câu 21 Chọn A     Ta có: u=1 ( 3; −4 ) u2 = (12;5 ) véc tơ phương d , d ′ u1.u2 = 36 − 20 > Nên phương trình phân giác góc nhọn x − y + 12 12 x + y − 20 = − ⇔ 99 x − 27 y + 56 = 13 Câu 22 Chọn C Ta có: M ( x, y ) d ( M , d ) =d ( M , d ′ ) ⇔ x + 2y + thuộc đường phân giác 2x + y + = x − y = ⇔ x + y + = 2x + y + ⇔  x + y + = Câu 23 Chọn B Gọi M ( x, y ) thuộc đường phân giác d , d ′ Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 53 Website: tailieumontoan.com x + 3y − d ( M ; d ) =d ( M ; d ′ ) ⇔ 10 3x + y + = 10 2 x − y + = x + y − = 3x + y + ⇔  4 x + y − = Câu 24 Chọn B  Gọi n = ( A; B ) A2 + B ≠ véc tơ pháp tuyến ∆ π Ta có: cos = A − 4B +4 A +B 2 2 ⇔ A − B = A2 + B B = A ⇔ A2 + 48 AB − B =⇔   A = −7 B Với B = A chọn A = 1, B = ⇒ x + y + Với A = −7 B chọn A =7, B =−1 ⇒ x − y − 15 =0 Câu 25 Chọn C     Ta có: n1 = ( 7;1) n= (1; −1) véc tơ pháp tuyến d d ′ n1.n2 = − > Nên phương tình đường phân giác góc nhọn là: x− y+2 7x + y + =− ⇔ x − y + =0 50 Câu 26 Chọn B     Ta có: n=1 (1; −3) n= ( 3; −1) véc tơ pháp tuyến d d ’ n1.n2 = + > Nên phương tình đường phân giác góc nhọn là: x − y + x − y + 15 = ⇔ x= + y+5 10 10 Dạng Tìm tọa độ điểm hình chiếu, đối xứng Viết phương trình hình chiếu, đối xứng Xác định hình chiếu H điểm M đường thẳng ( d ) Phương pháp: Cách 1: + ) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M vng góc với ( d ) +) Tọa độ điểm H giao điểm đường thẳng ( d ) đường thẳng ∆ Cách 2: Cho d : ax + by + c = Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 54 Website: tailieumontoan.com +) Gọi H hình chiếu M điểm lên đường thẳng d Khi ta có:  −at − c  H  t;  b     +) Ta có : AH ud Từ suy tọa độ điểm H Chú ý: Nếu điểm M ( x0 ; y0 ) , tọa độ hình chiếu H M trên: +) Ox có tọa độ H ( x0 ;0 ) +) Oy có tọa độ H ( 0; y0 ) Xác định điểm M đối xứng với điểm M qua ( d ) +) Xác định hình chiếu H điểm M đường thẳng ( d ) +) Gọi M điểm đối xứng với M qua d H trung điểm MM , ta được: xH − xM  x= M1  y H − yM M1  y= Viết phương trình hình chiếu đối xứng đường thẳng Bài toán: Cho đường thẳng d1 d Viết phương trình đường thẳng d đối xứng với d1 qua d +) Xác định giao điểm I hai đường thẳng d1 d +) Lấy điểm M ∈ d1 Tìm tọa độ điểm N đối xứng với M qua d +) Viết phương trình đường thẳng d qua IM Chú ý: Nếu d1 / / d ta làm sau: +) Lấy điểm M , N ∈ d1 sau xác định hình chiếu điểm M , N qua d M ', N ' +) Viết phương trình đường thẳng d qua M ', N ' B VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Toạ độ hình chiếu M ( 4;1) đường thẳng ∆ : x – y + = là: A (14; −19 ) B (2;3 ) 14 17 C  ;   5 14 17 D  − ;   5 Hướng dẫn giải Chọn C  Đường thẳng (∆) có VTPT n(1; −2) , Gọi H (2t − 4; t ) hình chiếu M ( 4;1)  đường thẳng (∆) MH (2t − 8; t − 1) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 55 Website: tailieumontoan.com  H (2t − 4; t ) hình chiếu M ( 4;1) đường thẳng (∆ ) nên MH (2t − 8; t − 1)  2t − t − 17  14 17  t = ⇔= n(2; −3) phương ⇒H ;  −2  5 Ví dụ 2: Cho đường thẳng d : x – y + = 0  M ( 8; ) Tọa độ điểm M ′ đối xứng với M qua d là: A (−4;8) B (−4; −8) D (4; −8) C (4;8) Hướng dẫn giải Chọn C Ta thấy hoành độ tung độ điểm M ′ nhận giá trị nên ta làm sau:   Đường thẳng d có VTPT n(2; −3) , Gọi M '( x; y ) MM '( x − 2; y + 3) M′   đối xứng với M qua d nên MM '( x − 2; y + 3) n(2; −3) phương x−2 y+3 28 − y = ⇔= x −3 Thay y = vào ta x = Thay y = −8 vào thấy không x = ±4 Cách 2: +ptdt ∆ qua M vng góc với d là: 3( x − 8) + 2( y − 2) = ⇔ 3x + y − 28 = + Gọi H = d ∩ ∆ ⇒ H (6;5) + Khi H trung điểm đoạn MM ′ Áp dụng công thức trung điểm ta suy  xM ′ = xH − xM = 12 − = Vậy M ′(4;8)   yM ′ = yH − yM = 10 − = Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng d1 : x + y − =0 , d : x − y + = Phương trình đường thẳng d đối xứng với d1 qua d là: A x − y + = B x − y + = C x + y + = D x + y + =0 Hướng dẫn giải Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 56 Website: tailieumontoan.com Chọn B Gọi I giao điểm hai đường thẳng d1 , d Tọa độ điểm I  x + y − =0  4 ⇒ I − ;   5 x − 3y + = nghiệm hệ:  Lấy điểm M (1;0 ) ∈ d1 Đường thẳng ∆ qua M vng góc với d có phương trình: x + y − = 0 x − 3y + = 3 6 ⇒H ;  5 5 3 x + y − = Gọi H = ∆ ∩ d , suy tọa độ điểm H nghiệm hệ:   12  ⇒ N  ;  điểm đối xứng M qua d 5    4 qua I  − ;  Phương trình đường thẳng d :    có dạng: x − y + =   n = ( 2; −1) nIN d = C BÀI TẬP TỰ LUYỆN THÔNG HIỂU  x= + 2t d : Sau giải:  y =−1 − t  có AH ( 2t –1; –t + 3) Bước 1: Lấy điểm H ( + 2t; –1 – t ) thuộc d Ta= Câu Tìm hình chiếu A ( 3; –4 ) lên đường thẳng  Vectơ phương d u = ( 2; –1)   Bước 2: H hình chiếu A d ⇔ AH ⊥ d ⇔ u AH = ⇔ ( 2t –1) – ( – t + 3) = ⇔ t = Bước 3: Với t = ta có H ( 4; – ) Vậy hình chiếu A d H ( 4; – ) Bài giải hay sai ? Nếu sai sai từ bước ? A Đúng Câu B Sai từ bước C Sai từ bước D Sai từ bước Cho hai đường thẳng d : x + y − =0 , d ′ : x − y − =0 Câu sau ? A d d ′ đối xứng qua O B d d ′ đối xứng qua Ox C d d ′ đối xứng qua Oy D d d ′ đối xứng qua đường thẳng y = x Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 57 Website: tailieumontoan.com Câu  x = + 3t điểm M ( 3;3) Tọa độ hình chiếu vng góc M  y = −2t Cho đường thẳng ∆ :  đường thẳng ∆ là: A ( 4; –2 ) Câu B (1;0 ) C ( −2; ) D ( 7; –4 )  x= + 2t Sau giải:  y =−1 − t  Bước 1: Lấy điểm H ( + 2t; –1 – t ) thuộc d Ta = có AH ( 2t –1; –t + 3) Tìm hình chiếu A ( 3; –4 ) lên đường thẳng d :   Vectơ phương d u = ( 2; –1) Bước 2: H hình chiếu A d   ⇔ AH ⊥ d ⇔ u AH = ⇔ ( 2t –1) – ( – t + 3) = ⇔ t = Bước 3: Với t = ta có H ( 4; –2 ) Vậy hình chiếu A d H ( 4; –2 ) Bài giải hay sai ? Nếu sai sai từ bước ? A Đúng B Sai từ bước C Sai từ bước D Sai từ bước VẬN DỤNG THẤP Câu Cho điểm M (1; 2) đường thẳng d : x + y − = Toạ độ điểm đối xứng với điểm M qua d là: 12 A  ;  B  − ;  5  Câu C  0;    5  D  ; −5  5   x= − 3t Hồnh độ hình chiếu M ( 4;5 ) ∆ gần với số  y = + 2t Cho đường thẳng ∆ :  sau ? A.1,1 Câu B 1, C 1,3 D.1,5 x= t − Tìm điểm M ∆ cho AM ngắn  y =−t − Cho điểm A ( –1; ) đường thẳng ∆ :  Bước 1: Điểm M ( t – 2; –t – 3) ∈ ∆ Bước 2: Có MA2 = ( t –1)2 + ( –t – )2 = 2t + 8t + 26 = t + 4t + 13 = ( t + )2 + ≥ Bước 3: MA2 ≥ ⇔ MA ≥ Vậy ( MA ) = t = –2 Khi M ( –4; –1) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 58 Website: tailieumontoan.com Bài giải hay sai ? Nếu sai sai đâu ? A Đúng B Sai từ bước C Sai từ bước D Sai bước Câu Cho đường thẳng d : x – y + = M ( 8; ) Tọa độ điểm  M ′ đối xứng với M qua d A ( –4; ) B ( –4; –8 ) C ( 4;8 ) D ( 4; –8 ) C ĐÁP ÁN PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN A B B A A D C C D HƯỚNG DẪN GIẢI CÂU KHÓ PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu Chọn B Đường thẳng d ∩ Ox= A (1;0 ) ∈ d ′ Lấy điểm M  0;  ∈ d ⇒ Đox ( M =) N  0; −  ∈ d ′ 2  2  Câu Chọn B Gọi H hình chiếu M  H ∈ ∆ ⇒ H (1 + 3t ; −2t ) , MH =− ( + 3t; −3 − 2t ) ∆ Ta có:  Đường thẳng ∆ có vectơ phương = u ( 3; −2 )     MH ⊥ u ⇔ MH u = ⇔ ( −2 + 3t ) − ( −3 − 2t ) = ⇔ 13t = ⇔ t = ⇒ H (1; 0) Câu Chọn A Ta thấy M ∉ d Gọi H ( a, b ) hình chiếu điểm M lên đường thẳng d  Ta có đường thẳng d : 2x + y − = nên có vtpt: n = ( 2;1)  Suy u ( −1; ) vectơ phương đường thẳng d Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 59 Website: tailieumontoan.com      a=  −a + 2b − =0  MH ⊥ u  MH u = ( −1)( a − 1) + ( b − ) =  ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  0 2a + b − = 2a + b − =  H ∈ d  H ∈ d b = 11  Do H  ;  5  11 Gọi M ′ ( x, y ) đối xứng với M qua đường thẳng d Khi ta có: H trung điểm MM ′ 7 1+ x  = x  =   ⇔ Ta có:  +y 11 2=  y 12 =   Vậy tọa độ điểm đối xứng với M qua d M ′  ; 12   5  Câu Chọn D Gọi H hình chiếu  H ∈ ∆ ⇒ H ( − 3t ;1 + 2t ) , MH = ( −2 − 3t ; −4 + 2t ) M ∆ Ta có:  Đường thẳng ∆ có vectơ phương = u ( 3; −2 )      20 17  MH ⊥ u ⇔ MH u = ⇔ ( −2 − 3t ) − ( −4 + 2t ) = ⇔ −13t + = ⇔ t = ⇒ H  ;  13  13 13  Câu Chọn C Điểm M ( t – 2; –t – 3) ∈ ∆ Có MA2 = ( t –1) + ( –t – ) = 2t + 8t + 26 = ( t + 4t + 13) = ( t + ) + 18 ≥ 18 2 MA2 ≥ 18 ⇔ MA ≥ Vậy ( MA ) = t = –2 Khi M ( –4; –1) Sai từ bước Câu Chọn C Gọi d ′ qua M vng góc với d nên d ′ : 3x + y − 28 = Gọi H = d ∩ d ′ ⇒ H ( 6;5 ) Vì  M ′ đối xứng với M qua d nên H trung điểm MM ′ suy M ′ ( 4;8 ) III ĐỀ KIỂM TRA CUỐI BÀI Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 60 Website: tailieumontoan.com Câu Câu Cho đường thẳng (d): x + y − = Vecto sau vectơ pháp tuyến (d)?     A n1 = ( 3; ) B n2 = ( 2;3) C n= D n4 = ( −2;3) ( 2; −3) Nếu đường thẳng ( ∆ ) qua M (1; −1) song song với Cho đường thẳng ( d ) : x − y + = ( d ) ( ∆ ) có phương trình A x − y − = Câu Câu B x − y + = C x + y − = thẳng A Vuông góc B cắt khơng vng góc C trùng D song song với D x − y − =0 Cho hai đường thẳng ( d1 ) : mx + y = m + , ( d ) : x + my = cắt : B m ≠ ±1 C m ≠ D m ≠ −1 Phương trình sau biểu diễn đường thẳng không song song với đường thẳng y 2x −1 ? ( d ) := A x − y + = Câu B x − y − 11 = C −6 x + y + 11 = D x + y + 13 = 0 ( ∆ ) :12 x + 11 y + = Khi hai đường Cho hai đường thẳng ( ∆1 ) :11x − 12 y + = A m ≠ Câu D x + y + = Cho hai điểm A ( −2;3) ; B ( 4; −1) viết phương trình trung trực đoạn AB A x − y − =0 Câu C x − y + = Cho ba điểm A (1; −2 ) , B ( 5; −4 ) , C ( −1; ) Đường cao AA′ tam giác ABC có phương trình A x − y + = Câu B x − y + = B x − y − = C −2 x + y = D x + y − = Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua điểm I ( −1;2 ) vng góc với đường thẳng có phương trình x − y + = A − x + y − =0 Câu B x + y − = C x + y = D x − y + =  x =−2 + 5t Cắt điểm có tọa độ: Hai đường thẳng ( d1 ) :  ( d ) : x + y − 18 =  y = 2t A ( 2;3) B ( 3; ) C (1; ) D ( 2;1) Câu 10 Cho tam giác ABC có A ( −1; −2 ) ; B ( 0;2 ) ; C ( −2;1) Đường trung tuyến BM có phương trình là: A x − y + = 3x − y − = B x − y + 10 = C x − y + = D Câu 11 Cho tam giác ABC với A ( 2;3) ; B ( −4;5 ) ; C ( 6; −5 ) M , N trung điểm AB , AC Phương trình tham số đường trung bình MN là:  x =−1 + t  x =−1 + 5t  x= + t A  B  C   y= − t  y= + 5t  y =−1 + t Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038  x= + 5t D   y =−1 + 5t TÀI LIỆU TOÁN HỌC 61 Website: tailieumontoan.com Câu 12 Cho tam giác ABC biết trực tâm H (1;1) phương trình cạnh AB : x − y + = , phương trình cạnh AC : x + y − 21 = Phương trình cạnh BC A x − y + = B x − y + 14 = C x + y − 14 = D x − y − 14 = Câu 13 Đường thẳng ( ∆ ) : 3x − y − = cắt đường thẳng sau đây? B ( d ) : x − y = C ( d3 ) : −3 x + y − = D A ( d1 ) : 3x + y = ( d ) : x − y − 14 = Câu 14 Cho tam giác ABC có A (1; −2 ) , đường cao CH : x − y + =0 , đường phân giác BN : x + y + = Tọa độ điểm B A ( 4;3) B ( 4; −3) C ( −4;3) D ( −4; −3) Câu 15 Gọi H trực tâm tam giác ABC Phương trình cạnh đường cao tam giác là: AB : x −= y + 0; BH :2 x += y − 0; AH : x −= y − Phương trình đường cao CH tam giác ABC là: A x + y − = B x − y = C x − y − = D x + y − = Câu 16 Cho tam giác ABC biết trực tâm H (1;1) phương trình cạnh AB : x − y + = , phương trình cạnh AC : x + y − 21 = Phương trình cạnh BC A x − y + = B x − y + 14 = C x + y − 14 = D x − y − 14 = Câu 17 Cho tam giác ABC có A (1; −2 ) , đường cao CH : x − y + =0 , đường phân giác BN : x + y + = Tọa độ điểm B A ( 4;3) B ( 4; −3) C ( −4;3) D ( −4; −3)  x= 1+ t Câu 18 Cho hai điểm A ( −1; ) , B ( 3;1) đường thẳng ∆ :  Tọa độ điểm C thuộc ∆ để tam  y= + t giác ACB cân C  13   13   13   13  A  ;  B  ; −  C  − ;  D  ;   6  6 6  6  Câu 19 Cho điểm A ( −3;1) , B ( −9; −3) , C ( −6;0 ) , D ( −2; ) Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng AB CD A ( −6; −1) B ( −9; −3) C ( −9;3) D ( 0; )  x= + 3t Câu 20 Cho ( d ) :  Điểm sau không thuộc ( d ) ?  y= − 4t A A ( 5;3) B B ( 2;5 ) C C ( −1;9 ) D D ( 8; −3) Câu 21 Phương trình sau biểu diển đường thẳng không song song với đường thẳng y ( d ) := 2x −1 ? A x − y + = B x − y − = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 C −2 x + y = D x + y − = TÀI LIỆU TOÁN HỌC 62 0: Câu 22 Mệnh đề sau đúng? Đường thẳng ( d ) : x − y + = Website: tailieumontoan.com A Đi qua A (1; −2 ) x = t B Có phương trình tham số:  (t ∈ R )  y = −2t C ( d ) có hệ số góc k = D ( d ) cắt ( d ′ ) có phương trình: x − y =  x= + 3t Câu 23 Cho ( d ) :  Điểm sau không thuộc ( d ) ?  y= − 4t A A ( 5;3) B B ( 2;5 ) C C ( −1;9 ) D D ( 8; −3)  x= + 3t Câu 24 Cho ( d ) :  Hỏi có điểm M ∈ ( d ) cách A ( 9;1) đoạn y = + t  B A C D Câu 25 Cho tam giác ABC Hỏi mệnh đề sau sai?  A BC vecto pháp tuyến đường cao AH  B BC vecto phương đường thẳng BC C Các đường thẳng AB, BC, CA có hệ số góc  D Đường trung trực AB có AB vecto pháp tuyến - HẾT BẢNG ĐÁP ÁN B A B D A C D B A 10 A 11 B 12 D 13 A 14 D 15 D 16 D 17 D 18 A 19 B 20 B 21 D 22 C 23 B 24 D 25 C HƯỚNG DẪN GIẢI Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 63 Website: tailieumontoan.com Câu Chọn B  Ta có ( d ) : x + y − = ⇒ VTPT n = ( 2;3) Câu Chọn A Ta có ( ∆ ) / / ( d ) x − y + =0 ⇒ ( ∆ ) : x − y + c =0 ( c ≠ 1) Ta lại có M (1; −1) ∈ ( ∆ ) ⇒ − ( −1) + c =0 ⇔ c =−3 Vậy ( ∆ ) : x − y − = Câu Chọn B  Ta có BC = ( −6;8)   VTPT n = BC = Gọi AA ' đường cao tam giác ∆ABC ⇒ AA ' nhận  qua A (1; −2 ) ( −6;8) Suy AA ' : −6 ( x − 1) + ( y + ) = ⇔ −6 x + y + 22 = ⇔ x − y − 11= Câu Chọn D Gọi M trung điểm AB ⇒ M (1;1)  = ( 6; −4 ) Ta có AB Gọi d đường thẳng trung trực AB  Phương trình d nhận VTPT = n ( 6; −4 ) qua M (1;1) Suy ( d ) : ( x − 1) − ( y − 1) =0 ⇔ x − y − =0 ⇔ x − y − =0 Câu Chọn A  Ta có: ( ∆1 ) có VTPT = n1 (11; −12 ) ; ( ∆ )  có VTPT n2 = (12;11)   Xét n1.n2 = 11.12 − 12.11 = ⇒ ( ∆1 ) ⊥ ( ∆ ) Câu Chọn C ( d1 ) ∩ ( d ) mx + y = m + 1(1) có nghiệm ⇔ ( 2)  x + my = Thay ( ) vào (1) ⇒ m ( − my ) + y = m + ⇔ (1 − m ) y = − m (*) 1 − m ≠ ⇔ m ≠1 Hệ phương trình có nghiệm ⇔ (*) có nghiệm ⇔  m − ≠ Câu Chọn D Ta có ( d ) : y = x − ⇒ ( d ) : x − y − 1= chọn D Câu Chọn B Gọi ( d ) đường thẳng qua I ( −1;2 ) vuông góc với đường thẳng ( d1 ) : x − y + =   Ta có ( d ) ⊥ ( d1 ) ⇔ n( d ) = u ( d1 ) = (1; ) ⇒ ( d ) : x + + ( y − 2) = ⇔ x + y − = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 64 Website: tailieumontoan.com Câu Chọn A  x =−2 + 5t Ta có ( d1 ) :  ⇒ ( d1 ) : x − y + =  y = 2t M Gọi = ( d1 ) ∩ ( d ) y+4 = 2 x − 5= x ⇒ M nghiệm hệ phương trình  ⇔ 18 = 4 x + y −= y Câu 10 Chọn A      Gọi M trung điểm AC ⇒ M  − ; −  BM = − ; −   2  2  n ( 5; −3) làm VTPT ⇒ BM : x − ( y − ) = ⇔ x − y + = BM qua B ( 0;2 ) nhận = Câu 11 Chọn B  Ta có: M ( −1;4 ) ; N ( 4; −1) MN qua M ( −1;4 ) nhận MN = ( 5; −5) làm VTCP  x =−1 + 5t ⇒ MN :   y= − 5t Câu 12 Chọn D  Ta có A = AB ∩ AC ⇒ A ( 0;3) ⇒ AH = (1; −2 ) Ta có BH ⊥ AC ⇒ ( BH ) : x − y + d = −3 suy ( BH ) : x − y − = Mà H (1;1) ∈ ( BH ) ⇒ d = 19   Có B= AB ∩ BH ⇒ B  −5; −  2   19   Phương trình ( BC ) nhận AH= (1; −2 ) VTPT qua B  −5; −  2  19   Suy ( BC ) : ( x + ) −  y +  = ⇔ x − y − 14 = 2  Câu 13 Chọn A Ta nhận thấy ( ∆ ) song song với đường ( d ) ; ( d3 ) ; ( d ) Câu 14 Chọn D Ta có AB ⊥ CH ⇒ ( AB ) : x + y + c = Mà A (1; −2 ) ∈ ( AB ) ⇒ − + c = ⇒ c = Suy ( AB ) : x + y + =  x + y + =0  x =−4 Có B = AB ∩ BN ⇒ N nghiệm hệ phương trình  ⇒ ⇒ B ( −4;3) +5 = 2 x + y= y Câu 15 Chọn D Ta có H = BH ∩ AH ⇒ H nghiệm hệ phương trình −4 = 2 x + y= x ⇔ ⇒ H ( 2;0 )  y−2 =  x −= y Ta có CH ⊥ AB ⇒ CH : x + y + c = mà H ( 2;0 ) ∈ CH ⇒ + 7.0 + c =0 ⇔ c =−2 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 65 Website: tailieumontoan.com Suy CH : x + y − = Câu 16 Chọn D  Ta có A = AB ∩ AC ⇒ A ( 0;3) ⇒ AH = (1; −2 ) Ta có BH ⊥ AC ⇒ ( BH ) : x − y + d = −3 suy ( BH ) : x − y − = Mà H (1;1) ∈ ( BH ) ⇒ d = 19   Có B= AB ∩ BH ⇒ B  −5; −  2   19   Phương trình ( BC ) nhận AH= (1; −2 ) VTPT qua B  −5; −  2  19   Suy ( BC ) : ( x + ) −  y +  = ⇔ x − y − 14 = 2  Câu 17 Chọn D Ta có AB ⊥ CH ⇒ ( AB ) : x + y + c = Mà A (1; −2 ) ∈ ( AB ) ⇒ − + c = ⇒ c = Suy ( AB ) : x + y + =  x + y + =0  x =−4 Có B = AB ∩ BN ⇒ N nghiệm hệ phương trình  ⇒ ⇒ B ( −4;3) +5 = 2 x + y= y Câu 18 Chọn A  CA = ( −2 − t ; −t ) Ta có C ∈ ∆ ⇒ C (1 + t , + t ) ⇒   CB = ( − t ; −1 − t ) 2 2 Ta có ∆ACB cân C ⇔ CA2 = CB ⇔ ( −2 − t ) + ( −t ) = ( − t ) + ( −1 − t ) ⇔ t =  13  Suy C  ;  6  Câu 19 Chọn B   Ta có AB =− ( 6; −4 ) ⇒ VTPT nAB =( 2; −3) ⇒ ( AB ) : x − y =−9   Ta có CD =( 4; ) ⇒ VTPT nCD =(1; −1) ⇒ ( CD ) : x − y =−6 N AB ∩ CD Gọi = −9  x = −9 2 x − y = ⇒ ⇒ N ( −9; −3) −6 −3 x − y = y = Suy N nghiệm hệ  Câu 20 Chọn B + 3t t = 2 = Thay B ( 2;5 ) ⇒  ⇒ ⇒t = − 4t 5 = t = Câu 21 Chọn D Ta có ( d ) : y = x − ⇒ ( d ) : x − y − 1= chọn D Câu 22 Chọn C Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 66 Website: tailieumontoan.com ⇒ − ( −2 ) + =0 ( vl ) loại A Giả sử A (1; −2 ) ∈ ( d ) : x − y + =   Ta có ( d ) : x − y + = ⇒ VTPT n = (1; −2 ) ⇒ VTCP u = ( 2;1) loại B Ta có ( d ) : x − y + = ⇒ y = + ⇒ hệ số góc k = Chọn C 2 Câu 23 Chọn B + 3t t = 2 = Thay B ( 2;5 ) ⇒  ⇒ ⇒t = − 4t 5 = t = Câu 24 Chọn D Ln có điểm thỏa u cầu tốn M ( + 3m;3 + m ) , M ( + 3m;3 + m ) Thật Theo YCBT ta có (*) , phương trình (*) có hai nghiệm AM =5 ⇔ 10m − 38m + 51 =25 ⇔ 10m − 38m + 26 = phân biệt nên có hai điểm M thỏa YCBT Câu 25 Chọn C Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... Website: tailieumontoan.com Chương III PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Bài PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG I LÝ THUYẾT Vectơ phương   Vectơ u  gọi vectơ phương (VTCP) đường thẳng  giá song song... m = −3 D Khơng có m thỏa mãn Câu 73 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng ∆ có phương trình x y + = Gọi giao điểm đường thẳng ∆ với trục tọa độ Độ dài đoạn thẳng AB bằng: A, B A B ... véctơ pháp tuyến AC Ta có AC  Phương trình đường thẳng AC : x − = ⇒ S∆ABC = d ( B, AC ) AC = 5 Góc đường thẳng mặt phẳng Phương pháp giải: - Sử dụng công thức tính góc hai đường thẳng Phương