Phương pháp toạn độ trong mặt phẳng phần 01 đường thẳng

Trần Sĩ Tùng PP toạ độ mặt phẳng TĐP 01: ĐƯỜNG THẲNG Câu Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d1 : x − y + 17 = , d2 : x + y − = Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(0;1) tạo với d1, d2 tam giác cân giao điểm d1, d2 • Phương trình đường phân giác góc tạo d1, d2 là: x − y + 17 x+ y−5  x + 3y − 13 = (∆1 ) = ⇔ 3 x − y − = (∆2 ) 12 + (−7)2 12 + 12 Đường thẳng cần tìm qua M(0;1) song song với ∆1 ∆2 KL: x + 3y − = x − y + = Câu Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho cho hai đường thẳng d1 : x − y + = d2 : x + y – = Lập phương trình đường thẳng qua điểm P(2; –1) cho đường thẳng cắt hai đường thẳng d1 d2 tạo tam giác cân có đỉnh giao điểm hai đường thẳng d1, d2 r r • d1 VTCP a1 = (2; −1) ; d2 VTCP a2 = (3;6) uur uur Ta có: a1.a2 = 2.3 − 1.6 = nên d1 ⊥ d2 d1 cắt d2 điểm I khác P Gọi d đường thẳng qua P( 2; –1) có phương trình: d : A( x − 2) + B( y + 1) = ⇔ Ax + By − A + B = d cắt d1, d2 tạo tam giác cân có đỉnh I ⇔ d tạo với d1 ( d2) góc 450 2A − B  A = 3B ⇔ = cos 450 ⇔ A2 − AB − 3B = ⇔  2 2  B = −3 A A + B + (−1) * Nếu A = 3B ta có đường thẳng d : x + y − = * Nếu B = –3A ta có đường thẳng d : x − 3y − = Vậy có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu toán d : x + y − = ; d : x − 3y − = Câu hỏi tương tự: a) d1 : x − y + 17 = , d2 : x + y − = , P(0;1) ĐS: x + 3y − = ; x − y + = Câu Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x + y + = , d2 : 3x + y + = điểm I(1; −2) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua I cắt d1, d2 A B cho AB = 2 uur uur • Giả sử A(a; −3a − 5) ∈ d1; B(b; −3b − 1) ∈ d2 ; IA = (a − 1; −3a − 3); IB = (b − 1; −3b + 1) uur uur b − = k (a − 1) I, A, B thẳng hàng ⇒ IB = kIA ⇔  −3b + = k (−3a − 3) • Nếu a = b = ⇒ AB = (không thoả) b −1 (−3a − 3) ⇔ a = 3b − • Nếu a ≠ −3b + = a −1 AB = (b − a)2 + 3(a − b) +  = 2 ⇔ t + (3t + 4)2 = (với t = a − b ) + Với t = −2 ⇒ a − b = −2 ⇒ b = 0, a = −2 ⇒ ∆ : x + y + = ⇔ 5t + 12t + = ⇔ t = −2; t = − Trang PP toạ độ mặt phẳng + Với t = Câu Trần Sĩ Tùng −2 −2 ⇒ a−b = ⇒ b = , a = ⇒ ∆ : 7x − y − = 5 5 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x + y + = , d2 : x – y –1 = Lập phương trình đường thẳng (d) qua M(1;–1) cắt (d 1) (d2) tương uuur uuur r ứng A B cho MA + MB = • Giả sử: A(a; uuu –a–1), B(b; r uuu r r2b – 1) Từ điều kiện MA + MB = tìm A(1; –2), B(1;1) suy (d): x – = Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 0) Lập phương trình đường thẳng (d) qua M cắt hai đường thẳng d1 : x + y + = 0, d2 : x – y + = A, B cho MB = 3MA uuur  A ∈ (d1 )  A(a; −1 − a)  uuu MA = (a − 1; −1 − a) ⇔ ⇒ r • B ∈ ( d ) B (2 b − 2; b )   MB = (2b − 3; b)  uuur uuur uuur uuur Từ A, B, M thẳng hàng MB = 3MA ⇒ MB = 3MA (1) MB = −3MA (2) Câu   1 A − ;− (1) ⇒   3 ÷  ⇒ (d ) : x − 5y − = (2) ⇒  B(−4; −1)   A ( 0; −1) ⇒ (d ) : x − y − =   B(4;3) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 1) Lập phương trình đường thẳng (d) qua M cắt hai đường thẳng d1 : x − y − = 0, d2 : x + y − = A, B cho MA – 3MB = • Giả sử A(a;3a − 5) ∈ d1 , B(b;4 − b) ∈ d2 uuur uuur 2 MA = 3MB (1) uuur Vì A, B, M thẳng hàng MA = 3MB nên  uuur MA = − MB (2)    5 a = 2(a − 1) = 3(b − 1) ⇔ ⇒ A  ; ÷, B(2;2) Suy d : x − y = + (1) ⇔  2(3a − 6) = 3(3 − b) 2 2 b = 2(a − 1) = −3(b − 1) a = ⇔ ⇒ A(1; −2), B(1;3) Suy d : x − = + (2) ⇔  2(3a − 6) = −3(3 − b) b = Vậy có d : x − y = d : x − = Câu Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm M(3; 1) Viết phương trình đường thẳng d qua M cắt tia Ox, Oy A B cho (OA + 3OB) nhỏ x y • PT đường thẳng d cắt tia Ox A(a;0), tia Oy B(0;b): + = (a,b>0) a b Câu Cô − si M(3; 1) ∈ d = + ≥ ⇒ ab ≥ 12 a b a b Mà OA + 3OB = a + 3b ≥ 3ab = 12 ⇒ (OA + 3OB)min Phương trình đường thẳng d là: a = 3b  a = = 12 ⇔  1 ⇔  b =  a = b = x y + = ⇔ x + 3y − = Trang Trần Sĩ Tùng PP toạ độ mặt phẳng Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M(4;1) cắt tia Ox, Oy A B cho giá trị tồng OA + OB nhỏ • x + 2y − = Câu Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(1; 2) + cắt trục Ox, Oy A, B khác O cho nhỏ OA OB • Đường thẳng (d) qua M(1;2) cắt trục Ox, Oy A, B khác O, nên x y A(a; 0); B(0; b) với a.b ≠ ⇒ Phương trình (d) có dạng + = a b Vì (d) qua M nên + = Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski ta có : a b Câu 2 9 9 1 2 1     + ≥ ⇔ =  + ÷ =  + ÷ ≤  + ÷ + ÷ ⇔ + ≥ 2 10 10 a b OA OB b    a2 b2  a b 3 a 2 20 Dấu xảy : = 1: + = ⇔ a = 10, b = ⇒ d : x + y − 20 = a b a b Câu 10 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M(3;1) cắt trục Ox, Oy B C cho tam giác ABC cân A với A(2;–2) • x + 3y − = 0; x − y − = Câu 11 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ (Oxy) Lập phương trình đường thẳng d qua M(2;1) tạo với trục tọa độ tam giác có diện tích S = • Gọi A(a; 0), B(0; b) (a, b ≠ 0) giao điểm d với Ox, Oy, suy ra: d : x y + =1 a b 2 2b + a = ab  + =1 Theo giả thiết, ta có:  a b ⇔  ab =  ab =  • Khi ab = 2b + a = Nên: b = 2; a = ⇒ d1 : x + y − = • Khi ab = −8 2b + a = −8 Ta có: b2 + 4b − = ⇔ b = −2 ± 2 + Với b = −2 + 2 ⇒ d : ( − ) x + ( + ) y − = + Với b = −2 − 2 ⇒ d : ( + ) x + ( − ) y + = Câu hỏi tương tự: a) M (8;6), S = 12 ĐS: d : x − y − 12 = ; d : x − 8y + 24 = Câu 12 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2; –1) đường thẳng d có phương trình x – y + = Lập phương trình đường thẳng (∆) qua A tạo với d góc α có cosα = 10 • PT đường thẳng (∆) có dạng: a( x – 2) + b( y + 1) = ⇔ ax + by – 2a + b = (a2 + b2 ≠ 0) 2a − b = ⇔ 7a2 – 8ab + b2 = Chon a = ⇒ b = 1; b = Ta có: cos α = 2 10 5(a + b ) ⇒ (∆1): x + y – = (∆2): x + 7y + = Trang PP toạ độ mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Câu 13 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2;1) đường thẳng d : x + 3y + = Lập phương trình đường thẳng ∆ qua A tạo với đường thẳng d góc 450 • PT đường thẳng (∆) có dạng: a( x – 2) + b( y − 1) = ⇔ ax + by – (2a + b) = (a2 + b2 ≠ 0) 2a + 3b  a = 5b 2 ⇔ ⇔ a − 24 ab − b = 5a = − b 13 a2 + b2 + Với a = 5b Chọn a = 5, b = ⇒ Phương trình ∆ : x + y − 11 = + Với 5a = −b Chọn a = 1, b = −5 ⇒ Phương trình ∆ : x − 5y + = Ta có: cos 45 = Câu 14 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường thẳng d : x − y − = điểm I(1;1) Lập phương trình đường thẳng ∆ cách điểm I khoảng 10 tạo với đường thẳng d góc 450 • Giả sử phương trình đường thẳng ∆ có dạng: ax + by + c = (a2 + b2 ≠ 0) Vì (·d , ∆) = 450 nên 2a − b a2 + b2 =  a = 3b ⇔  b = −3a 4+c c = = 10 ⇔  c = −14 10 −2 + c  c = −8 = 10 ⇔  • Với b = −3a ⇒ ∆: x − 3y + c = Mặt khác d (I ; ∆) = 10 ⇔ c = 12 10 • Với a = 3b ⇒ ∆: x + y + c = Mặt khác d (I ; ∆) = 10 ⇔ Vậy đường thẳng cần tìm: x + y + = 0; x + y − 14 = ; x − 3y − = 0; x − 3y + 12 = Câu 15 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm M (0; 2) hai đường thẳng d1 , d2 có phương trình x + y + = x − 3y + = Gọi A giao điểm d1 d2 Viết phương trình đường thẳng qua M, cắt đường thẳng d1 d2 B , C ( B C khác A ) cho + đạt giá trị nhỏ AB AC • A = d1 ∩ d2 ⇒ A(−1;1) Ta có d1 ⊥ d2 Gọi ∆ đường thẳng cần tìm H hình chiếu 1 1 + = ≥ vuông góc A ∆ ta có: (không đổi) AB2 AC AH AM 1 ⇒ + đạt giá trị nhỏ H ≡ M, hay ∆ đường thẳng qua M 2 AB AC AM vuông góc với AM ⇒ Phương trình ∆: x + y − = Câu hỏi tương tự: a) Với M(1; −2) , d1 : 3x + y + = , d2 : x − 3y + = ĐS: ∆ : x + y + = Câu 16 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d ) : x – 3y – = đường tròn (C ) : x + y – y = Tìm M thuộc (d) N thuộc (C) cho chúng đối xứng qua điểm A(3; 1) • M ∈ (d) ⇒ M(3b+4; b) ⇒ N(2 – 3b; – b) N ∈ (C) ⇒ (2 – 3b)2 + (2 – b)2 – 4(2 – b) = ⇒ b = 0; b = Trang Trần Sĩ Tùng PP toạ độ mặt phẳng  38   4 Vậy có hai cặp điểm: M(4;0) N(2;2) M  ; ÷, N  − ; ÷  5  5 Câu 17 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 1) đường thẳng ∆: x + 3y + = Tìm điểm B thuộc đường thẳng ∆ cho đường thẳng AB ∆ hợp với góc 450 r  x = − 3t • ∆ có PTTS:  VTCP u = (−3;2) Giả sử B(1 − 3t; −2 + 2t ) ∈ ∆  y = −2 + 2t  15 uuur r t= uuur r AB.u ⇔ 169t − 156t − 45 = ⇔  13 cos( AB ; u ) = ⇔  ( AB, ∆) = 45 ⇒ r= AB u t = − 13   32   22 32  Vậy điểm cần tìm là: B1  − ; ÷, B2  ; − ÷  13 13   13 13  Câu 18 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x − 3y − = điểm N(3; 4) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d cho tam giác OMN (O gốc tọa độ) có diện tích 15 uuur • Ta có ON = (3; 4) , ON = 5, PT đường thẳng ON: x − 3y = Giả sử M (3m + 6; m) ∈ d 2S d ( M , ON ).ON ⇔ d ( M , ON ) = ∆ONM = ON 4.(3m + 6) − 3m −13 = ⇔ 9m + 24 = 15 ⇔ m = −1; m = ⇔  −13 −13  ⇒ M  −7; + Với m = −1 ⇒ M (3; −1) + Với m = ÷ 3   Khi ta có S∆ONM = Câu 19 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(0;2) đường thẳng d : x − y + = Tìm đường thẳng d hai điểm B, C cho tam giác ABC vuông B AB = 2BC • Giả sử B(2b − 2; b), C (2c − 2; c) ∈ d uuur r 2 6 5 Vì ∆ABC vuông B nên AB ⊥ d ⇔ AB.ud = ⇔ B  ; ÷ ⇒ AB = ⇒ BC =  5 5 c = ⇒ C (0;1)  7 BC = 125c2 − 300c + 180 = ⇔  c = ⇒ C  ; ÷ 5  5  Câu 20 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x + y − = , d2 : x + y − = điểm A(1;4) Tìm điểm B ∈ d1, C ∈ d2 cho tam giác ABC vuông cân A uuur uuur • Gọi B(b;3 − b) ∈ d1, C (c;9 − c ) ∈ d2 ⇒ AB = (b − 1; −1 − b) , AC = (c − 1;5 − c) uuur uuur (b − 1)(c − 1) − (b + 1)(5 − c) =  AB AC = ∆ABC vuông cân A ⇔  ⇔ 2 2 (*)  AB = AC (b − 1) + (b + 1) = (c − 1) + (5 − c) Vì c = không nghiệm (*) nên Trang PP toạ độ mặt phẳng Trần Sĩ Tùng  (b + 1)(5 − c) (1) b − = c −1 (*) ⇔  (5 − c)2 (b + 1)2 + (b + 1)2 = (c − 1)2 + (5 − c)2 (2)  (c − 1) b = c − Từ (2) ⇔ (b + 1)2 = (c − 1)2 ⇔   b = −c + Với b = c − , thay vào (1) ta c = 4, b = ⇒ B(2;1), C (4;5) + Với b = −c , thay vào (1) ta c = 2, b = −2 ⇒ B(−2;5), C (2; 7) Vậy: B(2;1), C (4;5) B(−2;5), C (2; 7) Câu 21 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(0; 1) B(2; –1) đường thẳng có phương trình: d1 : (m –1) x + (m – 2) y + – m = ; d2 : (2 – m) x + (m –1) y + 3m – = Chứng minh d1 d2 cắt Gọi P = d1 ∩ d2 Tìm m cho PA + PB lớn (m − 1) x + (m − 2) y = m − • Xét Hệ PT:  (2 − m) x + (m − 1) y = −3m +  3 Ta có D = m − m − =  m − ÷ + > 0, ∀m − m m −1 2  ⇒ d1, d2 cắt Ta có: A(0;1) ∈ d1, B(2; −1) ∈ d2 , d1 ⊥ d2 ⇒ ∆ APB vuông P ⇒ P nằm đường tròn đường kính AB Ta có: ( PA + PB)2 ≤ 2( PA2 + PB ) = AB = 16 ⇒ PA + PB ≤ Dấu "=" xảy ⇔ PA = PB ⇔ P trung điểm cung »AB ⇔ P(2; 1) P(0; –1) ⇔ m = m = Vậy PA + PB lớn ⇔ m = m = Câu 22 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng (∆): x – y – = hai điểm A(−1;2) , B(3; 4) Tìm điểm M ∈ (∆) cho MA2 + MB có giá trị nhỏ uuur uuur • Giả sử M M (2t + 2; t ) ∈ ∆ ⇒ AM = (2t + 3; t − 2), BM = (2t − 1; t − 4)  2  26  Ta có: AM + BM = 15t + 4t + 43 = f (t ) ⇒ f (t ) = f  − ÷ ⇒ M  ; − ÷  15   15 15  Câu 23 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng d : x − y + = điểm A(1;0), B(2;1) Tìm điểm M d cho MA + MB nhỏ • Ta có: (2 x A − y A + 3).(2 x B − yB + 3) = 30 > ⇒ A, B nằm phía d Gọi A′ điểm đối xứng A qua d ⇒ A′(−3;2) ⇒ Phương trình A′B : x + 5y − = Với điểm M ∈ d, ta có: MA + MB = MA′ + MB ≥ A′B Mà MA′ + MB nhỏ ⇔ A′, M, B thẳng hàng ⇔ M giao điểm A′B với d  17  Khi đó: M  − ; ÷  11 11  Trang ... toạ độ mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Câu 13 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2;1) đường thẳng d : x + 3y + = Lập phương trình đường thẳng ∆ qua A tạo với đường thẳng d góc 450 • PT đường. .. = Câu 12 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2; –1) đường thẳng d có phương trình x – y + = Lập phương trình đường thẳng (∆) qua A tạo với d góc α có cosα = 10 • PT đường thẳng (∆)... Phương trình đường thẳng d là: a = 3b  a = = 12 ⇔  1 ⇔  b =  a = b = x y + = ⇔ x + 3y − = Trang Trần Sĩ Tùng PP toạ độ mặt phẳng Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường