Sáng kiến kinh nghiệm Phát hiện và giải quyết vấn đề trong bài toán hình giải tích phẳng từ những mối quan hệ ba điểm

Header Page of 113 SỞ GD&ĐT NGHỆ AN TRƢỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA _ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ TRONG BÀI TỐN HÌNH GIẢI TÍCH PHẲNG TỪ NHỮNG MỐI QUAN HỆ BA ĐIỂM Tác giả: Phạm Kim Chung Tổ: Toán Điện thoại: 0984333030 Tháng 05 năm 2014 Footer Page of 113 Header Page of 113 MỤC LỤC A ĐẶT VẤN ĐỀ Trang I Lý chọn đề tài Trang II Mục đích nghiên cứu Trang III Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Trang IV Kế hoạch nghiên cứu Trang V Phƣơng pháp nghiên cứu Trang B NỘI DUNG Trang I Thực trạng vấn đề trƣớc áp dụng Trang II Kết đạt đƣợc kinh nghiệm rút Trang III Khả ứng dụng triển khai kết Trang IV Cơ sở lý thuyết Trang Phƣơng pháp dạy học phát giải vấn đề Trang Một số toán sử dụng đề tài Trang V Nội dung đề tài Phát giải vấn đề giải tập hình giải tích mặt phẳng a Ba điểm phân biệt mối quan hệ vng góc b Ba điểm phân biệt tạo thành góc có số đo  c Ba điểm phân biệt mối quan hệ thẳng hàng d Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng mối quan hệ ba điểm Xây dựng mở rộng số dạng tập hình giải tích mặt phẳng từ tốn hình phẳng túy a Xây dựng toán từ kết hợp toán túy hình phẳng với tốn mục IV.2 b Một số hướng thay đổi cách phát biểu để xây dựng toán C KẾT LUẬN Trang Trang Trang Trang 26 Trang 35 Trang 40 Trang 46 Trang 47 Trang 57 Trang 62 I Những kết luận Trang 62 II Những kiến nghị, đề xuất Trang 62 Danh mục tài liệu tham khảo Footer Page of 113 Trang 63 Header Page of 113 A ĐẶT VẤN ĐỀ I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong cơng đổi tồn diện giáo dục nƣớc nhà, đổi phƣơng pháp dạy học nhiệm vụ quan trọng hàng đầu Trong q trình cơng tác, trải qua nhiều phƣơng pháp dạy học tích cực tơi nhận thấy phƣơng pháp dạy học “Phát giải vấn đề” có nhiều ƣu điểm nhƣ phù hợp với công tác giảng dạy mơn Tốn trƣờng phổ thơng nói chung dạy học giải tập tốn nói riêng Tuy nhiên để thành cơng phƣơng pháp dạy học “Phát giải vấn đề” lực chuyên môn lực sƣ phạm giáo viên đòi hỏi ngƣời giáo viên nhiều thời gian tâm huyết Để có giảng thu hút đƣợc học trò, giúp học trò phát triển tƣ mơn tốn dẫn dắt học trị tới niềm say mê tìm tịi sáng tạo, tơi nhƣ bao giáo viên yêu nghề yêu toán khác thƣờng trăn trở với khó khăn học trị q trình tiếp cận tốn Bài tốn hình học giải tích mặt phẳng tốn thƣờng xuất kỳ thi đƣợc quan tâm đặc biệt học trị, bên cạnh tốn khó với nhiều đối tƣợng học trị đặc biệt với em có lực trung bình Băn khoăn trƣớc khó khăn học trị, tơi tìm tịi định chọn phƣơng pháp dạy học “Phát giải vấn đề” để giúp em tiếp cận loại toán cách hiệu Trong số tốn hình giải tích mặt phẳng có lớp tốn “thiên tính chất hình phẳng túy” gây cho học trị nhiều khó khăn tiếp cận Vì chọn đề tài “Phát giải vấn đề tốn hình giải tích phẳng từ mối quan hệ ba điểm” để nghiên cứu II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Tìm hiểu khó khăn thuận lợi học sinh tiếp cận toán hình giải tích mặt phẳng thơng qua phƣơng pháp dạy học “Phát giải vấn đề” Phát triển tƣ khái quát hóa, tƣơng tự hóa, lật ngƣợc vấn đề, tƣ sáng tạo học sinh… Trang | Footer Page of 113 Header Page of 113 III ĐỐI TƢỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU - Học sinh khối 10 THPT - Đội tuyển HSG khối 11 THPT - Học sinh khối 12 THPT ôn thi vào trƣờng Đại học - Giáo viên giảng dạy mơn Tốn bậc THPT IV KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU TT V Thời gian Nội dung công việc Sản phẩm Từ 15 tháng 01 Chọn đề tài, viết đề cƣơng Bản đề cƣơng chi đến 15 tháng 02 nghiên cứu tiết năm 2014 Từ 15 tháng 02 đến 30 tháng 02 năm 2014 Đọc tài liệu lí thuyết viết sở lý luận Tập hợp tài liệu lý thuyết Từ 01 tháng 03 đến 15 tháng 03 năm 2014 Trao đổi với đồng nghiệp đề xuất sáng kiến Tập hợp ý kiến đóng góp đồng nghiệp Từ 15 tháng 03 Dạy thử nghiệm lớp đến 30 tháng 03 10A, 12C1, 12C2, 12C4 năm 2014 Thống kê kết thử nghiệm Từ 01 tháng 04 đến 25 tháng 04 năm 2014 Đề tài thức Hồn thiện đề tài PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Tìm kiếm tài liệu tham khảo từ nguồn khác liên quan đến hình học phẳng, hình học giải tích mặt phẳng, phƣơng pháp dạy học mơn tốn sáng kiến kinh nghiệm giáo viên khác thuộc mơn Tốn THPT - Trao đổi với đồng nghiệp để đề xuất biện pháp thực - Giảng dạy tiết tập toán lớp 10A, 11C1, 12C1, 12C2, 12C4 trƣờng THPT Đặng Thúc Hứa để thu thập thông tin thực tế Trang | Footer Page of 113 Header Page of 113 B NỘI DUNG I THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƢỚC KHI ÁP DỤNG Trƣờng THPT Đặng Thúc Hứa đóng địa bàn có nhiều xã khó khăn kinh tế, việc học tập phấn đấu em học sinh chƣa thực đƣợc quan tâm từ bậc học dƣới THPT kiến thức sở mơn Tốn em hầu hết tập trung mức độ trung bình Khi chƣa áp dụng nghiên cứu đề tài để dạy học giải tập hình giải tích mặt phẳng, em thƣờng thụ động việc tiếp cận toán phụ thuộc nhiều vào kiến thức đƣợc giáo viên cung cấp chƣa ý thức tìm tịi, sáng tạo nhƣ tạo đƣợc niềm vui, hƣng phấn làm toán Kết khảo sát số lớp phần giải tập toán phần hình giải tích mặt phẳng nhƣ qua tìm hiểu giáo viên dạy mơn Tốn, có khoảng 10% học sinh hứng thú với tốn hình giải tích mặt phẳng II KẾT QUẢ ĐẠT ĐƢỢC VÀ KINH NGHIỆM RÚT RA Sau áp dụng kết nghiên cứu đề tài, qua khảo sát cho thấy: Có 80% em học sinh có hứng thú với học 50% số biết cách tìm tịi xây dựng toán từ toán gốc đƣợc giáo viên gợi ý đƣợc em tự tìm tịi Trong kỳ thi thử ĐH tồn tỉnh nhƣ khảo sát với đề thi thử ĐH nƣớc, có 90% học sinh lớp giải tốn hình giải tích mặt phẳng đề thi III KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG VÀ TRIỂN KHAI KẾT QUẢ - Đề tài làm tài liệu tham khảo cho em học sinh học khối 10 THPT nhƣ em học sinh khối 12 THPT ôn thi vào trƣờng ĐH-CĐ - Đề tài đƣợc phát triển thêm lớp toán khác phần hình giải tích phẳng để trở thành tài liệu cho giáo viên giảng dạy môn trƣờng THPT - Đề tài ứng dụng để phát triển thành mơ hình sách tham khảo cho học sinh giáo viên phục vụ học tập giảng dạy mơn tốn Trang | Footer Page of 113 Header Page of 113 IV CƠ SỞ LÝ THUYẾT Phƣơng pháp dạy học phát giải vấn đề a Bản chất Dạy học phát giải vấn đề phƣơng pháp dạy học giáo viên tạo tình có vấn đề, điều khiển học sinh phát vấn đề, hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo để giải vấn đề thơng qua chiếm lĩnh tri thức, rèn luyện kĩ đạt đƣợc mục đích học tập khác b Quy trình thực Bắt đầu Phân tích vấn đề Đề xuất thực hƣớng giải Hình thành giải pháp Giải pháp Kết thúc c Ưu điểm - Phƣơng pháp góp phần tích cực vào rèn luyện tƣ phê phán, tƣ sáng tạo cho học sinh Trên sở sử dụng vốn kiến thức kinh nghiệm có học sinh xem xét, đánh giá, thấy đƣợc vấn đề cần giải - Đây phƣơng pháp phát triển đƣợc khả tìm tịi, xem xét dƣới nhiều góc độ khác - Thơng qua việc giải vấn đề, học sinh lĩnh hội tri thức, kĩ phƣơng pháp nhận thức d Hạn chế - Phƣơng pháp đòi hỏi ngƣời giáo viên phải đầu tƣ nhiều thời gian cơng sức, phải có lực sƣ phạm tốt suy nghĩ để tạo đƣợc nhiều tình gợi vấn đề hƣớng dẫn học sinh tìm tịi để phát giải vấn đề Trang | Footer Page of 113 Header Page of 113 - Việc tổ chức tiết học phần tiết học theo phƣơng pháp phát giải vấn đề đòi hỏi phải có nhiều thời gian so với phƣơng pháp thơng thƣờng Một số tốn sử dụng đề tài  Bài toán Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đƣờng thẳng  : ax  by  c  a2  b2  hai điểm A  xA ; y A  , B  xB ; yB    không thuộc  Xác định điểm M đƣờng thẳng  , biết đƣờng thẳng AM vng góc với đƣờng thẳng AB Quy trình giải tốn Bước Viết phƣơng trình đƣờng thẳng AM qua A vng góc với đƣờng thẳng AB Bước Xác định tọa độ giao điểm đƣờng thẳng AM đƣờng thẳng  Bước Kết luận  Bài toán Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đƣờng thẳng  : ax  by  c  a2  b2  điểm C  xC ; yC  không thuộc    Xác định tọa độ điểm A đƣờng thẳng  , biết góc hai đƣờng thẳng AC   Quy trình giải tốn Bước Tham số hóa điểm A Bước Sử dụng cơng thức cos   AC.u AC u (Trong u véc tơ phƣơng đƣờng thẳng  ) Bước Giải phƣơng trình bƣớc kết luận Trang | Footer Page of 113 Header Page of 113  Bài toán Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm phân biệt A  xA ; y A  , B  xB ; yB  Xác định điểm M đƣờng thẳng AB , biết AM  kBM ;  k  R, k   Quy trình giải tốn Bước Giả sử M  x; y  Bước Xác định M hai trƣờng hợp: - Trƣờng hợp 1: AM  k BM (Điểm M nằm đoạn AB) - Trƣờng hợp 2: AM  k BM (Điểm M nằm đoạn AB) Bước Kết luận  Bài toán Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đƣờng thẳng  : ax  by  c  a2  b2  hai điểm A  xA ; y A  , B  xB ; yB    không thuộc  Xác định tọa độ điểm M thuộc  cho d  M , AB   k ,  k  R, k   Quy trình giải tốn Bước Tham số hóa điểm M Bước Sử dụng cơng thức tính khoảng cách d  M , AB  Bước Giải phƣơng trình bƣớc kết luận  Bài toán Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A  xA ; y A  , B  xB ; yB  Viết phƣơng trình đƣờng thẳng  qua điểm M  x0 ; y0  thỏa mãn hệ thức d  A,    k.d  B,   ;  k  R, k   Quy trình giải tốn Bước Giả sử  : ax  by  ax0  by0  a2  b2  0 Bước Sử dụng hệ thức a   b d  A,    k d  B,     * a   b  Bước Chọn a, b đại diện thỏa mãn (*) Trang | Footer Page of 113 Header Page of 113 V NỘI DUNG ĐỀ TÀI Bài tốn hình giải tích mặt phẳng thông thƣờng đƣợc phân chia thành hai mảng: mảng thứ lớp toán mang nặng tính “đại số” thƣờng đƣợc xây dựng dựa sở phƣơng pháp tham số hóa, mảng thứ hai lớp tốn nặng tính “hình học” thƣờng đƣợc xây dựng dựa toán túy hình phẳng Trong đề tài tơi muốn nêu lên ý tƣởng giải tốn hình giải tích phẳng thuộc mảng thứ hai thông qua “suy luận có lý” từ mối quan hệ ba điểm có kiện tốn đồng thời đề xuất giải pháp xử lý mối quan hệ nhƣ xây dựng tốn tổng qt nêu cách nhìn nhận khác xung quanh mối liên hệ có tốn Sau số dạng tốn đƣợc phân tích, suy luận, giải từ mối quan hệ ba điểm thông qua bƣớc dạy học phát giải vấn đề: Bước Phát thâm nhập vấn đề Bước Tìm giải pháp Bước Trình bày giải pháp Bước Nghiên cứu sâu giải pháp Phát giải vấn đề giải tập hình giải tích mặt phẳng a Ba điểm phân biệt mối quan hệ vng góc  Bài toán 1.1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng  1 ABCD Gọi M 1;3 trung điểm cạnh BC, N   ;  điểm  2 cạnh AC cho AN  AC Xác định tọa độ đỉnh hình vng ABCD, biết D nằm đƣờng thẳng x  y   Bước Phát thâm nhập vấn đề - Ta nhận thấy giả thiết toán xoay quanh ba điểm D, M, N nên chúng xuất mối quan hệ đặc biệt Bằng trực quan ta đƣa giả thuyết DN  MN Nếu giả thuyết dựa vào toán Trang | Footer Page of 113 Header Page 10 of 113 tìm đƣợc tọa độ điểm D Từ ta tìm đƣợc tọa độ đỉnh cịn lại hình vng phƣơng pháp tham số hóa quen thuộc - Ta cụ thể toán để kiểm chứng giả thuyết đề ra: Giả sử ta chọn hình vng ABCD có tọa độ đỉnh A  2;  , B  2;2  , C  2; 2  , D  2; 2  Khi DN MN   DN  MN Bước Tìm giải pháp Nhận thấy mối quan hệ tốn quan hệ vng góc, trung điểm mối liên quan đến độ lớn cạnh hình vng, ta đề xuất giải pháp chứng minh sau:  Giải pháp (Thuần túy hình phẳng) Gọi I giao điểm hai đƣờng chéo AC BD Điểm F trung điểm đoạn DI Khi tứ giác FNMC hình bình hành F trực tâm tam giác NDC nên CF  DN Mà CF / / MN nên DN  MN  Giải pháp (Sử dụng công cụ véctơ)  Đặt DA  x; DC  y x y  0; x  y  1 x  y ; MN  DN  DM  x  y 4 4 2 x  y   DN  MN Suy DN MN  16 Ta có DN     Giải pháp (Sử dụng công cụ tọa độ) Chọn hệ trục tọa độ Oxy nhƣ hình vẽ Khi D  0;0  , A  0; a  , C  a;0   a   a 3a  Nên M  a;  , N  ;   2 4  Do 3 DN MN   a  a   DN  MN 16 16  Giải pháp (Sử dụng công cụ lượng giác) Trang | Footer Page 10 of 113 Header Page 51 of 113 Xuất phát từ kết toán gốc 2.3 ta xây dựng toán hình giải tích mặt phẳng cách lựa chọn tam giác đó, giả sử ta chọn tam giác cân ABC với A  7;5 , B  1;1 , C  3; 3 Khi ta tính tốn đƣợc kiện: Tọa độ điểm D  3;3  , tâm đƣờng tròn  11  ngoại tiếp tam giác ABC I  ;  ,  3  13  trọng tâm tam giác ACD E  ;   3 Kết hợp với kết toán mục IV.2 ta xây dựng số tốn: Bài tốn 2.3.1 (Trích đề thi thử ĐH chun Phan Bội Châu năm 2013) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A; D trung điểm đoạn AB Biết  11   13  I  ;  , E  ;  tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác  3  3 ABC, trọng tâm tam giác ADC; Các điểm M  3; 1 , N  3;0  thuộc đường thẳng DC, AB Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC, biết A có tung độ dương Bài tốn 2.3.2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân  13  A; D trung điểm đoạn AB Điểm E  ;  trọng tâm tam giác  3 ADC Phương trình đường thẳng CD : x   0, đường cao kẻ từ đỉnh A tam giác ABC qua N  2;0  Xác định tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC  Bài tốn gốc 2.4 Cho đƣờng trịn tâm I đƣờng kính AC Từ điểm M ngồi đƣờng trịn, vẽ tiếp tuyến MA, MB (A,B tiếp điểm) Tiếp tuyến C cắt đƣờng thẳng AB D Chứng minh ID  MC Giả sử ta chọn ba điểm A  2;3 , B  2;0 , C 1;0  Khi đó: 2 1  3  Đƣờng trịn tâm I đƣờng kính AC  C  :  x     y    ; 2  2  Trang | 49 Footer Page 51 of 113 Header Page 52 of 113  3 Tọa độ điểm: M   ;  , D  2; 3 Từ ta xây dựng số  2 toán sau: Bài toán 2.4.1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn tâm I đường kính  3 AC Từ điểm M   ;  nằm đường  2 tròn, vẽ tiếp tuyến MA, MB (A,B tiếp điểm) Tiếp tuyến C có phương trình x  y   cắt đường thẳng AB D Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC, biết điểm I thuộc đường thẳng 3x  y  Bài toán 2.4.2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn  3  3 tâm I   ;  đường kính AC Từ điểm M   ;  nằm ngồi  2  2 đường trịn, vẽ tiếp tuyến MA, MB (A,B tiếp điểm) Tiếp tuyến C cắt đường thẳng AB D  2; 3 Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC  Xây dựng từ mối quan hệ với góc có số đo   Bài tốn gốc 2.5 Cho hình vng ABCD, E điểm thuộc cạnh BC Qua B kẻ đƣờng thẳng vng góc với DE; đƣờng thẳng cắt đƣờng thẳng DE DC theo thứ tự H K Tính góc ̂ Ta chọn hình vng ABCD, với A  2;2  , B  2;2  , C  2; 2  , D  2; 2  E  2;1 cạnh BC  62 34  Tọa độ điểm H  ;  , tọa độ điểm K  5; 2   25 25  Trang | 50 Footer Page 52 of 113 Header Page 53 of 113 Bài toán 2.5.1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD, E  2;1 điểm thuộc cạnh BC Đường thẳng qua B vng góc với DE cắt đường thẳng DE DC theo thứ tự H K  5; 2  Xác định tọa độ đỉnh hình vng, biết đường thẳng CH có phương trình x  y  16  Bài toán 2.5.2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD, E  2;1 điểm thuộc cạnh BC Đường thẳng qua B vng góc với DE cắt đường thẳng DE DC theo thứ tự  62 34  H  ;  K  5; 2  Xác định tọa độ đỉnh hình vng,  25 25  biết điểm C thuộc đường thẳng x  y    Bài tốn gốc 2.6 Cho hình vng ABCD Gọi E trung điểm cạnh AD, H hình chiếu vng góc B lên CE M trung điểm ̂  đoạn BH Chứng minh Từ toán gốc 2.6 kết hợp với kết tốn mục IV.2 Lựa chọn hình vng ABCD với tọa độ đỉnh A  1;2  , B  1; 2  , C  3; 2 , D  3;2  ta xây dựng toán sau: Bài tốn 2.6.1 (Trích đề thi thử ĐH trường THPT Đặng Thúc Hứa năm 2014) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD Gọi E trung điểm  11  cạnh AD, H  ;   hình chiếu vng góc  5 3 6 B lên CE M  ;   trung điểm 5 5 đoạn BH Xác định tọa độ đỉnh hình vng ABCD, biết điểm A có hồnh độ âm Trang | 51 Footer Page 53 of 113 Header Page 54 of 113  Bài toán gốc 2.7 Cho tam giác ABC vuông A Gọi M điểm cạnh AC cho AB  AM Đƣờng trịn đƣờng kính CM cắt BM ̂  D Chứng minh 10 Từ toán gốc 2.7 kết hợp với kết toán mục IV.2 Chọn tam giác ABC với tọa độ đỉnh A  2; 1 , B  2;2 , C  3; 1 chọn điểm M AC có tọa độ M  1; 1 , ta xây dựng tốn sau: Bài tốn 2.7.1 (Trích đề thi thử ĐH trường THPT Đặng Thúc Hứa năm 2014) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A Gọi M điểm cạnh AC cho AB  AM Đường trịn tâm I 1; 1 đường kính CM cắt BM D Xác định tọa độ đỉnh ABC 4  biết đường thẳng BC qua N  ;0  , phương trình đường thẳng 3  CD : x  3y   điểm C có hồnh độ dương  Xây dựng từ mối quan hệ thẳng hàng  Bài toán gốc 2.8 Cho ABC ,  AB  BC  nội tiếp đƣờng tròn tâm (I) Trung tuyến AM, phân giác AD Gọi E giao điểm AD (I) Chứng minh ba điểm I, M, E thẳng hàng Chọn tam giác ABC với tọa độ đỉnh A  0;4  , B  2;0  , C  4; 4  7 5 1  Lúc I  ;  , E  0;   Phƣơng trình đƣờng tròn ngoại tiếp tam 2 2 4  2 5   325  giác ABC  C  :  x     y    2  4 16  Trang | 52 Footer Page 54 of 113 Header Page 55 of 113 Bài toán 2.8.1 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn 2 325 C  :  x     y    Đường phân 2  4 16  giác góc BAC cắt C  điểm 7  E  0;   Xác định tọa độ đỉnh tam giác 2  ABC, biết đường thẳng BC qua điểm N  5;2  đường thẳng AB qua P  3; 2   Bài toán gốc 2.9 Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB lấy điểm M, tia đối tia CA lấy điểm N cho BM = CN Gọi K trung điểm MN Chứng minh ba điểm B, K, C thẳng hàng Chọn tam giác ABC với A  2;2  , B  4;0 , C  0; 4 Chọn điểm M  1;1  N  1; 7 , K 1; 3  Ta xây dựng toán dựa vào tính thẳng hàng ba điểm B, K, C Bài toán 2.9.1 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân A Các điểm M  1;1 N  1; 7  điểm cạnh AB tia đối tia CA cho BM  CN Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC, biết đường thẳng BC qua điểm E  3; 1 Bài toán 2.9.2 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân A Các điểm M N  1; 7  điểm cạnh AB tia đối tia CA cho BM  CN Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC, biết K  1; 3 trung điểm MN đường thẳng BC qua điểm E  3; 1  Bài toán gốc 2.10 Cho tam giác ABC nội tiếp đƣờng tròn  I  M điểm thuộc đƣờng tròn Gọi D, E, F theo thứ tự hình chiếu vng góc M AB, BC, AC Chứng minh ba điểm E, D, F thẳng hàng (Đường thẳng Simson) Trang | 53 Footer Page 55 of 113 Header Page 56 of 113 Chọn tam giác ABC với A  0;4  , B  2;0 , C  4; 4 Chọn điểm M  5;4  , suy D 1;6  , E 1;2  , F 1; 2  Bài toán 2.10.1 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  I  Điểm M  5;4  điểm thuộc đường tròn  I  Gọi D 1;6  , E 1;2  , F theo thứ tự hình chiếu vng góc M AB, BC, CA Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC, biết điểm F thuộc đường thẳng 2x  y   Bài tốn gốc 2.11 Cho tam giác ABC có AC  AB M trung điểm BC, N điểm thuộc cạnh AC cho AN  NC , D thuộc BC cho AD đối xứng với AM qua tia phân giác góc BAC Chứng minh 5DM  3MC Bài toán 2.11.1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có AC  AB Điểm M 1;1 trung điểm BC, N thuộc cạnh AC cho AN  NC , điểm D thuộc BC cho AD đối xứng với AM qua tia phân giác góc ̂ Đường thẳng DN có phương trình 3x  y   Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC, biết C thuộc d : x  y    Bài toán gốc 2.12 Cho tam giác ABC, gọi O, G, H theo thứ tự tâm đƣờng tròn ngoại tiếp, trực tâm tam giác I tâm đƣờng tròn Ơle (*) Chứng minh O, H, G, I thẳng hàng, đồng thời OH  2OI  3OG (Đường thẳng Ơ-le) (*) Đường tròn Ơ-le: Trong tam giác trung điểm cạnh, trung điểm đoạn thẳng nối trực tâm đến đỉnh, chân đường cao thuộc đường tròn Trang | 54 Footer Page 56 of 113 Header Page 57 of 113 Bài tốn 2.12.1 Cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp  5 1 8 I  ;  , trực tâm H  ;  trung  3 3 3 điểm cạnh BC M 1;1 Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC Bài toán 2.12.2 Cho tam giác ABC có đỉnh A 1;4  , C  3;0  nội tiếp đường  5 tròn tâm I  ;  Xác định tọa độ đỉnh  3 B, biết trực tâm H thuộc đường thẳng 8x  y  Bài toán 2.12.3 Cho tam giác ABC có trọng tâm G 1;2  , đường tròn qua trung điểm ba cạnh tam giác ABC x  y  x  y   Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Bài tốn 2.12.4 (Trích đề thi HSG khối 12 tỉnh Nghệ An năm 2011) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G 1;  Gọi H trực tâm tam giác ABC Biết đường tròn qua ba trung điểm ba đoạn thẳng HA, HB, HC có phương trình là: x  y  x  y   Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC  Xây dựng từ mối quan hệ khoảng cách  Bài toán gốc 2.13 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Chứng minh d  A, BC   3d  G, BC  Bài toán 2.13.1 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G 1;1 ; đường cao từ đỉnh A có phương trình 2x  y   đỉnh B, C thuộc đường thẳng  : x  y   Xác định tọa độ đỉnh A, B, C biết diện tích tam giác ABC Trang | 55 Footer Page 57 of 113 Header Page 58 of 113  Bài tốn gốc 2.14 Cho hình vng ABCD có tâm I, ta ln có d  I , AB   d  I , AD  Bài toán 2.14.1 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vng ABCD, có tâm O hai cạnh kề qua M  1;2  , N  3; 1 Xác định tọa độ đỉnh hình vng Bài toán 2.14.2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có phương trình đường thẳng chứa cạnh AB CD 4x  y   0, 4x  y  18  Xác định tọa độ đỉnh hình vng ABCD, biết tâm I thuộc đường thẳng  : x  y    Bài tốn gốc 2.15 Cho hình thang cân ABCD có hai đáy AB, CD Ta ln có d  A; BD   d  B; AC  Bài toán 2.15.1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có hai đáy AB, CD; hai đường chéo AC BD vng góc với Biết A  0;3 , B  3;4 điểm C nằm trục hoành Xác định tọa độ đỉnh D hình thang ABCD  Bài tốn gốc 2.16 Cho tam giác ABC vuông A, chứng minh AB AC d  A, BC   BC Bài toán 2.16.1 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình  4 thoi ABCD có tâm I  3;3 AC  2BD Điểm M  2;  thuộc  3  13  đường thẳng AB, điểm N  3;  thuộc đường thẳng CD Viết phương  3 trình đường chéo BD biết đỉnh B có hồnh độ nhỏ Trang | 56 Footer Page 58 of 113 Header Page 59 of 113 b Một số hƣớng thay đổi cách phát biểu để xây dựng toán  Bài toán gốc 2.17 Cho hình vng ABCD Gọi M, N lần lƣợt trung điểm cạnh BC CD Chứng minh AM  BN Giả sử ta chọn hình vng ABCD với tọa độ đỉnh lần lƣợt A  4;0  , B  0;4  , C  4;0  , D  0; 4  Khi ta tính tốn đƣợc kiện khác nhƣ sau: M  2;2  , N  2; 2  , phƣơng trình đƣờng thẳng AM : x  y   , BN : 3x  y   , tọa độ giao điểm H AM  8 BN H  ;   5 Dựa vào kết tính tốn trên, ta xây dựng tốn hình giải tích mặt phẳng từ phƣơng án sau:  Kết hợp với kết toán Bài toán 2.17.1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có đỉnh B  0;4  Gọi M , N lần lƣợt trung điểm cạnh BC CD  8 Gọi H  ;  giao điểm AM BN Xác  5 định tọa độ đỉnh lại hình vng ABCD, biết A nằm đƣờng thẳng  : x  y   Bài toán 2.17.2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có đỉnh A  4;0  Gọi M , N lần lƣợt trung điểm cạnh  8 BC CD ; Điểm H  ;  giao điểm AM BN Xác định  5 tọa độ đỉnh cịn lại hình vng, biết điểm N nằm đƣờng thẳng x  y   Trang | 57 Footer Page 59 of 113 Header Page 60 of 113  Xây dựng tốn tương tự cách “cắt” hình vng thành hình thang có cạnh AB  2CN kết hợp với toán Bài toán 2.17.3 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang vng ABCD (vng B C) có AB  BC  2CD đỉnh A  4;0  Gọi M trung điểm cạnh BC; Điểm  8 H  ;  giao điểm AM BD Xác  5 định tọa độ đỉnh cịn lại hình thang, biết điểm D nằm đƣờng thẳng x  y    Mở rộng kết toán 2.1 cách dựng thêm điểm kết hợp toán Bài toán 2.17.4 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vng B có BC  2BA Điểm M  2;   trung điểm cạnh AC Gọi N điểm cạnh BC cho BN  BC; Điểm  8 H  ;  giao điểm AN BM Xác định tọa độ đỉnh  5 tam giác ABC, biết điểm N nằm đƣờng thẳng x  y   Trang | 58 Footer Page 60 of 113 Header Page 61 of 113  Xây dựng tốn tương tự cách “cắt” hình vng thành hình chữ nhật kết hợp kết toán Bài toán 2.17.5 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có BC  2BA Gọi E 1;1 điểm cạnh BC cho  8 BE  BC; Điểm H  ;  giao điểm BD AE Xác định  5 tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD, biết điểm B nằm đƣờng thẳng x  y   ̂  BC  , kết hợp với toán toán ta có: BN Bài tốn 2.17.6 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD Gọi M , N lần lƣợt trung điểm cạnh BC CD  8 Điểm H  ;  giao điểm BN AM  5 Xác định tọa độ đỉnh hình vng ABCD , biết phƣơng trình đƣờng thẳng BC : x  y   điểm C có hồnh độ dƣơng  Từ Bài tốn 2.17.7 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD Gọi M , N lần lƣợt trung điểm cạnh BC CD Điểm  8 H  ;  giao điểm BN AM Xác  5 định tọa độ đỉnh hình vng ABCD , biết Trang | 59 Footer Page 61 of 113 Header Page 62 of 113 phƣơng trình đƣờng thẳng AN : x  y   điểm A có hồnh độ âm Bài tốn 2.17.8 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang vng ABCD (vng B C) có AB  BC  2CD Gọi  8 M trung điểm cạnh BC ; Điểm H  ;   5 giao điểm BD AM Xác định tọa độ đỉnh hình thang ABCD , biết phƣơng trình cạnh AB : x  y   A có hồnh độ âm BN áp dụng kết toán mục IV.2 ta có Bài tốn 2.17.9 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có đỉnh B  0;4  Gọi M, N lần lƣợt trung điểm  Từ BH  cạnh BC CD; đƣờng thẳng AM qua điểm E  5;3  Xác định tọa độ đỉnh lại hình vng, biết N có tung độ âm nằm đƣờng thẳng x  y   Bài toán 2.17.10 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vng ABCD Gọi M, N lần lƣợt trung điểm cạnh BC  8 DC, điểm H  ;  giao điểm AM BN Xác định tọa độ  5 đỉnh hình vng, biết điểm B thuộc đƣờng thẳng x  y   , N thuộc đƣờng thẳng x  y    Từ d  H , AB   d  N , AB  kết hợp tốn mục IV.2 ta có Bài tốn 2.17.11 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vng ABCD Phƣơng trình đƣờng thẳng AB : x  y   Gọi M, N lần lƣợt trung điểm cạnh BC DC, điểm H giao điểm AM BN Xác định tọa độ đỉnh hình vng, biết Trang | 60 Footer Page 62 of 113 Header Page 63 of 113 , điểm N có hồnh độ dƣơng thuộc đƣờng thẳng x  y    Từ d  H , AB   d  N , AB  kết hợp toán 5 mục IV.2 ta có Bài tốn 2.17.12 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vng ABCD có đƣờng thẳng AB qua điểm E  5; 1 Gọi M, N  2; 2  lần khoảng cách từ H đến đƣờng thẳng AB lƣợt trung điểm BC DC; H giao điểm AM BN Xác định tọa độ đỉnh hình vng ABCD, biết khoảng cách hồnh độ điểm A không âm HB.HA  Xây dựng toán ngược sử dụng kết d  H , AB   AB Bài toán 2.17.13 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vng ABCD Phƣơng trình đƣờng thẳng AB : x  y   Gọi M, N lần lƣợt trung điểm cạnh BC DC,  8 điểm H  ;  giao điểm AM  5 BN Xác định tọa độ đỉnh hình vng, biết khoảng cách từ H đến đƣờng từ H đến đƣờng thẳng AB thẳng AB Kết kinh nghiệm rút Trong trình dạy học giải tốn hình giải tích phẳng để tạo niềm vui học tập sáng tạo, giáo viên hƣớng dẫn học sinh xây dựng toán từ toán hình phẳng túy kết hợp với số tốn làm sở lý thuyết, cắt ghép hình để xây dựng toán tƣơng tự hay sử dụng cơng cụ giải tốn khác để khái qt hóa tốn Trang | 61 Footer Page 63 of 113 Header Page 64 of 113 C KẾT LUẬN I - - - - - II NHỮNG KẾT LUẬN Trong dạy học giải tập tốn nói chung dạy học giải tập tốn hình giải tích mặt phẳng nói riêng, việc xây dựng tốn riêng lẻ thành hệ thống theo trình tự logic có đặt phƣơng pháp quy trình giải tốn giúp học sinh dễ dàng tiếp cận với nội dung học, đồng thời phát triển tƣ học toán nhƣ tạo niềm vui hứng thú học toán Trong đề tài hệ thống tốn với mối quan hệ ba điểm, từ phát triển thành thuật toán để giải toán hình giải tích phẳng với đặc điểm xuất phát từ tốn hình phẳng túy Để tiếp tục phát triển đề tài, tiếp tục xây dựng dựa mối quan hệ khác ba điểm mối quan hệ nêu đề tài nhiều điểm Đề tài vận dụng để dạy học tập hình giải tích mặt phẳng cho học sinh thuộc khối 10 THPT, ôn tập cho HSG khối 11 THPT, ôn tập cho học sinh thi vào trƣờng ĐH nhƣ làm tài liệu giảng dạy cho giáo viên tốn khối THPT Đề tài phát triển xây dựng thành hệ thống tốn hình giải tích mặt phẳng giải đƣợc nhờ chất hình phẳng đề thành sách tham khảo cho học sinh giáo viên NHỮNG KIẾN NGHỊ, ĐỀ XUẤT Trong dạy học giải tập toán, giáo viên cần xây dựng giảng thành hệ thống tập có phƣơng pháp quy trình giải tốn Khuyến khích học sinh xây dựng tập toán liên quan đến dạng tập toán giảng Phát triển nhân rộng đề tài có ứng dụng thực tiễn cao, đồng thời viết thành sách tham khảo cho học sinh giáo viên Thanh Chương, ngày 25 tháng 04 năm 2014 Người thực Phạm Kim Chung Trang | 62 Footer Page 64 of 113 Header Page 65 of 113 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 1  2 3  4 5  6 7 8  9 10 11 12 13 Sở GD&ĐT Nghệ An Bộ GD&ĐT Internet Trần Văn Hạo Đề thi chọn HSG Tỉnh Nghệ An năm 2014 Đề thi tuyển sinh Đại học năm 2012, năm 2013 Đề thi thử ĐH mơn tốn năm 2014 trƣờng THPT Hình học 10 (SGK) Nguyễn Bá Kim Phƣơng pháp dạy học môn Tốn NXB GD Tạp chí Tốn học & Tuổi trẻ Bộ GD&ĐT Tài liệu Bồi dƣỡng thƣờng xuyên giáo viên THPT Bộ GD&ĐT Tăng cƣờng lực dạy học giáo viên Bộ GD&ĐT Tăng cƣờng lực nghiên cứu khoa học giáo viên Phan Huy Khải Toán nâng cao Hình Học 10 Vũ Hữu Bình Tốn nâng cao phát triển lớp Internet Một số tài liệu hình học phẳng khác Internet Một số SKKN mơn Toán bậc THPT Trang | 63 Footer Page 65 of 113 ... sâu giải pháp - Khi kiện toán xuất mối quan hệ ba điểm, trƣớc đề giải pháp ta cần quan tâm mối quan hệ ba điểm có phải mối quan hệ quen thuộc xuất toán tốn hay khơng Nếu mối quan hệ toán 2, đề. .. phát giải vấn đề: Bước Phát thâm nhập vấn đề Bước Tìm giải pháp Bước Trình bày giải pháp Bước Nghiên cứu sâu giải pháp Phát giải vấn đề giải tập hình giải tích mặt phẳng a Ba điểm phân biệt mối. .. dụng đề tài Trang V Nội dung đề tài Phát giải vấn đề giải tập hình giải tích mặt phẳng a Ba điểm phân biệt mối quan hệ vuông góc b Ba điểm phân biệt tạo thành góc có số đo  c Ba điểm phân biệt mối