phát hiện và giải quyết vấn đề trong bài toán hình giải tích phẳng từ những mối quan hệ ba diểm

ục đích nghiên cứu Trang 1 III. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu Trang 2 IV. Kế hoạch nghiên cứu Trang 2 V. Phƣơng pháp nghiên cứu Trang 2 B. NỘI DUNG Trang 3 I. Thực trạng vấn đề trƣớc khi áp dụng Trang 3 II. Kết quả đạt đƣợc và kinh nghiệm rút ra Trang 3 III. Khả năng ứng dụng và triển khai kết quả Trang 3 IV. Cơ sở lý thuyết Trang 4 1. Phƣơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề Trang 4 2. Một số bài toán cơ bản sử dụng trong đề tài Trang 5 V. Nội dung đề tài Trang 7 1. Phát hiện và giải quyết vấn đề trong

Tháng 05 n ăm 2014

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Tác giả: Phạm Kim Chung Tổ: Toán

_

IV Kế hoạch nghiên cứu Trang 2

V Phương pháp nghiên cứu Trang 2

I Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng Trang 3

II Kết quả đạt được và kinh nghiệm rút ra Trang 3 III Khả năng ứng dụng và triển khai kết quả Trang 3

IV Cơ sở lý thuyết Trang 4

1 Phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề Trang 4

2 Một số bài toán cơ bản sử dụng trong đề tài Trang 5

1 Phát hiện và giải quyết vấn đề trong giải bài tập hình giải

tích trong mặt phẳng Trang 7

a Ba điểm phân biệt và mối quan hệ vuông góc Trang 7

b Ba điểm phân biệt tạo thành một góc có số đo bằng  Trang 26

c Ba điểm phân biệt và mối quan hệ thẳng hàng Trang 35

d Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng và mối quan hệ

2 Xây dựng và mở rộng một số dạng bài tập hình giải tích

trong mặt phẳng từ bài toán hình phẳng thuần túy Trang 46

a Xây dựng bài toán từ sự kết hợp giữa bài toán thuần túy hình phẳng với các bài toán ở mục IV.2 Trang 47

b Một số hướng thay đổi cách phát biểu để xây dựng bài

A ĐẶT VẤN ĐỀ

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong công cuộc đổi mới căn bản và toàn diện nền giáo dục nước nhà, đổi mới phương pháp dạy học là một trong những nhiệm vụ quan trọng hàng đầu

Trong quá trình công tác, trải qua nhiều phương pháp dạy học tích cực tôi nhận thấy phương pháp dạy học “Phát hiện và giải quyết vấn đề”

có nhiều ưu điểm cũng như phù hợp với công tác giảng dạy bộ môn Toán

ở trường phổ thông nói chung và dạy học giải bài tập toán nói riêng Tuy nhiên để có thể thành công trong phương pháp dạy học “Phát hiện và giải quyết vấn đề” ngoài năng lực chuyên môn và năng lực sư phạm của mỗi giáo viên còn đòi hỏi ở người giáo viên nhiều thời gian và tâm huyết

Để có một bài giảng thu hút được học trò, giúp học trò phát triển tư duy về môn toán và dẫn dắt học trò tới niềm say mê tìm tòi sáng tạo, tôi cũng như bao giáo viên yêu nghề và yêu toán khác thường trăn trở với những khó khăn của học trò trong quá trình tiếp cận từng bài toán

Bài toán hình học giải tích trong mặt phẳng là bài toán thường xuất hiện ở các kỳ thi vì vậy nó luôn được sự quan tâm đặc biệt đối với học trò, bên cạnh đó nó cũng là một bài toán khó với nhiều đối tượng học trò đặc biệt là với các em có năng lực trung bình Băn khoăn trước những khó khăn đó của học trò, tôi đã tìm tòi và quyết định chọn phương pháp dạy học “Phát hiện và giải quyết vấn đề” để giúp các em tiếp cận loại toán này một cách hiệu quả nhất

Trong số những bài toán về hình giải tích trong mặt phẳng có một lớp các bài toán “thiên về tính chất hình phẳng thuần túy” đã gây cho học trò

nhiều khó khăn khi tiếp cận Vì vậy tôi đã chọn đề tài “Phát hiện và giải quyết vấn đề trong bài toán hình giải tích phẳng từ những mối quan hệ

ba điểm” để nghiên cứu

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Tìm hiểu những khó khăn và thuận lợi của học sinh khi tiếp cận bài toán hình giải tích trong mặt phẳng thông qua phương pháp dạy học

“Phát hiện và giải quyết vấn đề”

Phát triển tư duy khái quát hóa, tương tự hóa, lật ngược vấn đề, tư duy sáng tạo của học sinh…

III ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

- Học sinh khối 10 THPT

- Đội tuyển HSG khối 11 THPT

- Học sinh khối 12 THPT ôn thi vào các trường Đại học

- Giáo viên giảng dạy môn Toán bậc THPT

IV KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU

TT Thời gian Nội dung công việc Sản phẩm

1

Từ 15 tháng 01 đến 15 tháng 02 năm 2014

Chọn đề tài, viết đề cương

Đọc tài liệu lí thuyết viết

Trao đổi với đồng nghiệp

và đề xuất sáng kiến

Tập hợp ý kiến đóng góp của đồng nghiệp

4

Từ 15 tháng 03 đến 30 tháng 03 năm 2014

Dạy thử nghiệm ở các lớp 10A, 12C1, 12C2, 12C4

Thống kê các kết quả thử nghiệm

5

Từ 01 tháng 04 đến 25 tháng 04 năm 2014

Hoàn thiện đề tài Đề tài chính thức

V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Tìm kiếm tài liệu tham khảo từ các nguồn khác nhau liên quan đến hình học phẳng, hình học giải tích trong mặt phẳng, phương pháp dạy học môn toán và những sáng kiến kinh nghiệm của các giáo viên khác thuộc bộ môn Toán THPT

- Trao đổi với các đồng nghiệp để đề xuất biện pháp thực hiện

- Giảng dạy các tiết bài tập toán tại các lớp 10A, 11C1, 12C1, 12C2, 12C4 trường THPT Đặng Thúc Hứa để thu thập thông tin thực tế

II KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC VÀ KINH NGHIỆM RÚT RA

Sau khi áp dụng những kết quả nghiên cứu trong đề tài, qua khảo sát cho thấy: Có trên 80% các em học sinh có hứng thú với bài học và 50% trong số đó biết cách tìm tòi và xây dựng những bài toán mới từ những bài toán gốc được giáo viên gợi ý hoặc được các em tự tìm tòi

Trong các kỳ thi thử ĐH trên toàn tỉnh cũng như khảo sát với các đề thi thử ĐH trong cả nước, có 90% học sinh ở các lớp trên có thể giải quyết bài toán hình giải tích trong mặt phẳng ở các đề thi đó

III KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG VÀ TRIỂN KHAI KẾT QUẢ

- Đề tài có thể làm tài liệu tham khảo cho các em học sinh đang học khối 10 THPT cũng như các em học sinh khối 12 THPT đang ôn thi vào các trường ĐH-CĐ

- Đề tài có thể được phát triển thêm ở những lớp bài toán khác trong phần hình giải tích phẳng để trở thành tài liệu cho các giáo viên giảng dạy môn ở các trường THPT

- Đề tài có thể ứng dụng để phát triển thành mô hình sách tham khảo cho học sinh và giáo viên phục vụ học tập và giảng dạy môn toán

IV CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1 Phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

a Bản chất

Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề là phương pháp dạy học trong

đó giáo viên tạo ra những tình huống có vấn đề, điều khiển học sinh phát hiện vấn đề, hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo để giải quyết vấn đề và thông qua đó chiếm lĩnh tri thức, rèn luyện kĩ năng và đạt được những mục đích học tập khác

b Quy trình thực hiện

c Ưu điểm

- Phương pháp này góp phần tích cực vào rèn luyện tư duy phê phán, tư duy sáng tạo cho học sinh Trên cơ sở sử dụng vốn kiến thức và kinh nghiệm đã có học sinh sẽ xem xét, đánh giá, thấy được vấn đề cần giải quyết

- Đây là phương pháp phát triển được khả năng tìm tòi, xem xét dưới nhiều góc độ khác nhau

- Thông qua việc giải quyết vấn đề, học sinh lĩnh hội tri thức, kĩ năng

và phương pháp nhận thức

d Hạn chế

- Phương pháp này đòi hỏi người giáo viên phải đầu tư nhiều thời gian

và công sức, phải có năng lực sư phạm tốt mới suy nghĩ để tạo ra được nhiều tình huống gợi vấn đề và hướng dẫn học sinh tìm tòi để phát hiện và giải quyết vấn đề

Bắt đầu Phân tích vấn đề

Đề xuất và thực hiện hướng giải quyết

Hình thành giải pháp

Giải pháp đúng

Kết thúc

- Việc tổ chức tiết học hoặc một phần của tiết học theo phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề đòi hỏi phải có nhiều thời gian hơn so với các phương pháp thông thường

2 Một số bài toán cơ bản sử dụng trong đề tài

 Bài toán 1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng

Quy trình giải toán.

Bước 1 Viết phương trình đường

thẳng AM qua A và vuông góc với

Quy trình giải toán

Bước 1 Tham số hóa điểm A

Bước 2 Sử dụng công thức

.cos

Bước 3 Giải phương trình ở bước 2 và kết luận

 Bài toán 3 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm phân

biệt A x A; y A , B x B;y B Xác định điểm M trên đường thẳng AB, biết AM kBM;kR k, 0.

Quy trình giải toán

Bước 1 Giả sử M x y  ;

Bước 2 Xác định M trong hai trường hợp:

- Trường hợp 1: AM  k BM (Điểm M nằm trong đoạn AB)

- Trường hợp 2: AM k BM (Điểm M nằm ngoài đoạn AB)

Quy trình giải toán

Bước 1 Tham số hóa điểm M

Bước 2 Sử dụng công thức tính khoảng

V NỘI DUNG ĐỀ TÀI

Bài toán hình giải tích trong mặt phẳng thông thường được phân chia thành hai mảng: mảng thứ nhất là lớp những bài toán mang nặng tính

“đại số” và thường được xây dựng dựa trên cơ sở là phương pháp tham

số hóa, mảng thứ hai là lớp những bài toán nặng tính “hình học” và thường được xây dựng dựa trên bài toán thuần túy hình phẳng

Trong đề tài này tôi muốn nêu lên ý tưởng giải quyết bài toán hình giải tích phẳng thuộc mảng thứ hai thông qua những “suy luận có lý” từ những mối quan hệ giữa ba điểm có trong dữ kiện của bài toán đồng thời

đề xuất các giải pháp xử lý những mối quan hệ đó cũng như xây dựng bài toán tổng quát và nêu ra những cách nhìn nhận khác nhau xung quanh những mối liên hệ có trong bài toán

Sau đây là một số dạng bài toán được phân tích, suy luận, giải quyết

từ những mối quan hệ ba điểm thông qua 4 bước trong dạy học phát hiện

và giải quyết vấn đề:

Bước 1 Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề

Bước 2 Tìm giải pháp

Bước 3 Trình bày giải pháp

Bước 4 Nghiên cứu sâu giải pháp

1 Phát hiện và giải quyết vấn đề trong giải bài tập hình giải tích trong mặt phẳng

a Ba điểm phân biệt và mối quan hệ vuông góc

 Bài toán 1.1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông

ABCD Gọi M  1;3 là trung điểm của cạnh BC, 3 1;

2 2

N 

  là điểm trên cạnh AC sao cho 1

4

AN  AC Xác định tọa độ các đỉnh của hình

vuông ABCD, biết D nằm trên đường thẳng x  y 3 0.

Bước 1 Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề

- Ta nhận thấy rằng giả thiết bài toán xoay quanh

ba điểm D, M, N nên giữa chúng có thể xuất

hiện những mối quan hệ đặc biệt Bằng trực

quan ta đưa ra giả thuyết DNMN Nếu giả

thuyết này đúng dựa vào bài toán 1 chúng ta sẽ

tìm được tọa độ điểm D Từ đó ta sẽ tìm được tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông bằng phương pháp tham số hóa quen thuộc

- Ta sẽ cụ thể bài toán trên để kiểm chứng giả thuyết đã đề ra: Giả sử ta

chọn hình vuông ABCD có tọa độ các đỉnh A2; 2 , B 2; 2 ,

2; 2 ,

C  D 2; 2 Khi đó DN MN 0DN MN

Bước 2 Tìm giải pháp

Nhận thấy các mối quan hệ trong bài toán là

quan hệ vuông góc, trung điểm và các mối liên

quan đến độ lớn cạnh của hình vuông, vì vậy

ta đề xuất các giải pháp chứng minh sau:

 Giải pháp 1 (Thuần túy hình phẳng)

Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và

BD Điểm F là trung điểm đoạn DI Khi đó tứ giác FNMC là hình bình hành và F là trực tâm tam giác NDC nên CF DN Mà CF/ /MN nên

Bước 4 Nghiên cứu sâu giải pháp

- Để giải quyết bài toán 1.1 ta mở “nút thắt đầu tiên” là tìm tọa độ điểm

D nhờ mối quan hệ DN MN Như vậy bài toán 1.1 thực chất được

xây dựng dựa trên bài toán hình phẳng thuần túy: Cho hình vuông

ABCD Gọi M là trung điểm của cạnh BC; N là điểm trên cạnh AC sao

.4

AN  AC Chứng minh rằng DN MN

- Bằng giải pháp 2 (sử dụng công cụ véctơ) ta sẽ kiểm tra bài toán tương

tự trong trường hợp tứ giác ABCD là hình chữ nhật

4

x

y      khi đó hình chữ nhật ABCD trở thành hình vuông

Ta cũng có thể phát biểu một bài toán tương tự bài toán 1.1 với một

hình chữ nhật có độ lớn được chọn thỏa mãn (*) Thí dụ, ta chọn

32

5

x y k , khi đó ta cũng có thể xây dựng bài toán hình giải tích

thông qua bài toán thuần túy hình phẳng: Cho hình chữ nhật ABCD có

2

AD DC Gọi M là trung điểm của BC, N là điểm trên đường chéo

AC sao cho 3AN 2NC Chứng minh rằng DN MN.

 ta xét bài toán sau

 Bài toán 1.2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật

ABCD có đỉnh B thuộc đường thẳng d1: 2x  y 2 0, đỉnh C thuộc đường thẳng d2 :x  y 5 0 Gọi H là hình chiếu của B xuống AC Biết điểm 9 2  

Bước 1 Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề

- Giả thiết bài toán xoay quanh các điểm M, K, B Bằng trực quan ta đề

xuất giả thuyết BM KM và nếu giả thuyết đề ra là đúng chúng ta sẽ

sử dụng kết quả bài toán 1 để “mở nút thắt đầu tiên” là tìm tọa độ điểm

B Từ đó bằng các phương pháp giải toán quen thuộc ta sẽ tìm được tọa

độ các đỉnh còn lại của hình chữ nhật

- Để kiểm chứng giả thuyết đã đề ra, ta cụ thể hóa bài toán 1.2 bằng hình

chữ nhật ABCD với A2;1 , B 2;1 , C2; 1 ,  D 2; 1

Bước 2 Tìm giải pháp

Nhận thấy các mối quan hệ trong bài toán đã cho là vuông góc, trung điểm và các góc bằng nhau Vì vậy ta đề xuất các giải pháp để chứng minh BM KM nhƣ sau:

 Giải pháp 1 (Thuần túy hình phẳng)

Gọi E là trung điểm của HB Lúc đó tứ giác

Suy ra tứ giác KMBC nội tiếp, do đó ̂ hay MK MB.

Bước 3 Trình bày giải pháp

Bước 4 Nghiên cứu sâu giải pháp

- Trong trường hợp hình chữ nhật suy biến thành

hình vuông bài toán 1.2 có “bản chất hình

phẳng” chính là bài toán 1.1 hay nói cách

khác bài toán 1.1 là một trường hợp đặc biệt của

bài toán 1.2

- Ta cũng dễ dàng nhận ra, bài toán 1.2 thực chất được xây dựng trên bài

toán thuần túy hình phẳng sau: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H là

hình chiếu vuông góc của B lên đường chéo AC Các điểm M, K lần lượt

là trung điểm của AH và DC Chứng minh rằng BM  KM

- Bài toán 1.2 chính là bài toán mở rộng cho hình chữ nhật trong trường

 Bài toán 1.3 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang

vuông ABCD ( ̂ ̂ ) có đỉnh D 2; 2 và CD2AB Gọi H

là hình chiếu vuông góc của điểm D lên đường chéo AC Điểm

Bước 1 Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề

Nhận thấy dữ kiện bài toán xoay quanh ba điểm D, M, B Bằng trực quan ta đưa ra giả thuyết BM DM

Nếu giả thuyết trên là đúng, ta sẽ “mở được nút thắt đầu tiên” của bài toán đó là việc xác định được tọa độ điểm B Từ đó ta hoàn toàn xác định được tọa độ các đỉnh còn lại

Bước 2 Tìm giải pháp

 Giải pháp 1 (Thuần túy hình phẳng)

Gọi E là trung điểm đoạn DH Khi đó tứ giác

DM BM  k kx  k y   Hay DM BM

 Giải pháp 3 (Sử dụng công cụ tọa độ)

Chọn hệ trục tọa độ Oxy nhƣ hình vẽ với

c c

Bước 4 Nghiên cứu sâu giải pháp

- Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho

AEDC khi đó ta thấy hình thang ABCD trong bài

toán 1.3 thực ra được cắt từ hình chữ nhật trong bài

toán 1.2 hay nói cách khác, bài toán 1.3 là một cách

phát biểu khác của bài toán 1.2

- Ngoài việc phát biểu lại bài toán 1.2, chúng ta cũng

có thể xây dựng các bài toán hình giải tích mới thông qua bài toán thuần

túy hình phẳng sau: Cho hình thang vuông ABCD có DC2AB Gọi H

là hình chiếu vuông góc của D lên AC Điểm M là trung điểm của HC Chứng minh rằng DM BM

- Chúng ta cũng có thể kiểm tra xem những hình thang vuông thỏa mãn

mối liên hệ nào sẽ có tính chất phẳng tương tự mà ta có thể dùng để phát

biểu bài toán hình giải tích tương tự bài toán 1.3

Ta có DM k x 1 k y , BM k1 x  1 k m y

Suy ra   2   2

BM DM   k kx   k m y  , ABmDC +) Trường hợp 1 Nếu k 1 M  A

+) Trường hợp 3

2 2

ta hoàn toàn xây dựng được bài toán tương

tự bài toán 1.3 bằng cách xây dựng mối

liên hệ của ba cạnh AB CD DA của hình , ,

thang Chẳng hạn

2

21

32

k m

 Bài toán 1.4 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC

cân tại A1;3 Gọi D là một điểm trên cạnh AB sao cho AB3AD

và H là hình chiếu vuông góc của B trên CD Điểm 1; 3

2 2

  là trung điểm đoạn HC Xác định tọa độ điểm C, biết điểm B nằm trên đường thẳng x  y 7 0.

Bước 1 Nghiên cứu và thâm nhập vấn đề

Dữ kiện bài toán xoay quanh ba điểm B, M, A Từ

hình vẽ ta đề xuất giả thuyết AM BM

Nếu giả thuyết này là đúng, ta sẽ “mở được nút

thắt đầu tiên” đó là xác định được tọa độ điểm B,

từ đó ta tìm được tọa độ các đỉnh còn lại của tam

giác ABC

Bước 2 Tìm giải pháp

 Giải pháp 1 (Thuần túy hình phẳng)

Gọi N I là giao điểm của đường thẳng qua B vuông ,

góc với BC với các đường thẳng CD và CA

Do tam giác IBC vuông tại B và AB AC A là

trung điểm của đoạn IC , suy ra D là trọng tâm tam

giác IBC Do đó / / 1

2

Gọi E là trung điểm BH , khi đó E là trực tâm tam giác NBM và tứ

giác NAME là hình bình hành nên từ NEBM AM BM

 Giải pháp 2 (Sử dụng công cụ véctơ)

nêu ở bước 2) Khi đó:

Đường thẳng BM có phương trình x3y5 Tọa độ điểm B là

- Ta nhận thấy, tam giác cân trong bài toán

1.4 đƣợc cắt từ hình thang của bài toán 1.3

Hay nói cách khác, bài toán 1.4 là cách

phát biểu khác của bài toán 1.3 Tuy nhiên

với giả thiết đã cho, nếu không nhận biết

đƣợc sự quen thuộc của bài toán 1.3 trong

bài toán 1.4 công việc thực hiện chứng

minh AM  BM sẽ phức tạp hơn nhiều

- Ngoài việc xây dựng bài toán 1.4 bằng

cách phát biểu lại bài toán 1.3 cũng có thể xây dựng bài toán hình giải

tích mới thông qua bài toán thuần túy hình phẳng: Cho tam giác ABC

cân tại A Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AB3AD Gọi H là hình chiếu của B trên CD; M là trung điểm đoạn CH Chứng minh

AM BM

 Bài toán 1.5 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông

ABCD có đỉnh A1; 2 Gọi N là trung điểm của cạnh AD; điểm

Bước 1 Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề

Dữ kiện bài toán xoay quanh ba điểm A, H, M Từ hình vẽ ta có thể đặt giả thuyết AH MH, ta cũng có thể kiểm chứng giả thuyết đã đặt

ra bằng một hình vuông với các tọa độ cụ thể nào đó

Nếu giả thuyết trên là đúng, từ kết quả bài toán 1 chúng ta sẽ tìm đƣợc tọa độ điểm M, từ đó ta sẽ tìm đƣợc tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông thông qua tọa độ các điểm đã biết

Bước 2 Tìm giải pháp

Dữ kiện bài toán xoay quanh các mối liên hệ về tính vuông góc, trung điểm, các độ lớn phụ thuộc lẫn nhau, vì vậy các giải pháp để chứng minh AH  MH đƣợc đề xuất là:

 Giải pháp 1 (Thuần túy hình phẳng)

Tứ giác NHMB nội tiếp  ̂ ̂

;2

Bước 3 Trình bày giải pháp

Bước 4 Nghiên cứu sâu giải pháp

- Để giải quyết bài toán 1.5 ta cần “mở nút thắt đầu tiên” đó là việc tìm

ra tọa độ điểm M dựa vào mối quan hệ vuông góc giữa ba điểm A, H,

M Hay nói cách khác bài toán 1.5 đƣợc xây dựng dựa trên bài toán

thuần túy hình phẳng sau đây: Cho hình vuông ABCD Gọi M, N lần

lượt là trung điểm của cạnh BC và AD, H là hình chiếu vuông góc của

B lên CN Chứng minh rằng AH MH

- Ta có thể sử dụng giải pháp 2(công cụ véctơ) hoặc giải pháp 3(công cụ

tọa độ) để tìm và xây dựng bài toán khái quát

Ta xét hình chữ nhật ABCD với M, N lần lƣợt là trung điểm của AD, BC Ta cần tìm

vị trí điểm H trên CN sao cho AH MH

+) Trường hợp 2 Nếu 2

5

x  y k chính là bài toán 1.5 chúng ta đang nghiên cứu

+) Trường hợp 3 2   2

4kx  2k y  0, k lúc đó điểm H chính là hình chiếu của B lên CN, nghĩa là chúng ta có bài toán hình phẳng

thuần túy khái quát hơn: Cho hình chữ nhật ABCD, các điểm M, N lần

lượt là trung điểm của BC và DA Gọi H là hình chiếu vuông góc của

B lên CN Chứng minh AH MH.

+) Trường hợp 4

2 2

24

17

x y k tức AB2BC2NH 15HC

 Bài toán 1.6 (Trích đề TSĐH khối A – năm 2013) Trong mặt

phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng : 2d x  y 5 0 và A4;8 Gọi M là điểm đối xứng của B qua C, N là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng MD Tìm tọa độ các điểm B và C, biết rằng N5; 4  

Bước 1 Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề

Dữ kiện bài toán xoay quanh ba điểm A, N,

C Từ trực quan, ta đề xuất giải thuyết

AN CN Nếu giả thuyết được đề xuất là đúng, ta sẽ xác định được tọa độ điểm C, từ đó ta tìm được tọa độ các đỉnh còn lại

Bước 2 Tìm giải pháp

 Giải pháp 1 (Thuần túy hình phẳng)

Do tứ giác DBCN nội tiếp, nên ̂ ̂ , mà ̂ ̂ (do tứ giác ABCD là hình chữ nhật) Suy ra ̂ ̂  tứ giác ABCN nội tiếp  ̂ ̂ hay AN CN

 Giải pháp 2 (Sử dụng công cụ véctơ)

c c

x

x D

AN CN  AC  ANC vuông tại N, hay AN CN.

Bước 3 Trình bày giải pháp

Ta sẽ chứng minh AN CN (Có thể sử dụng một trong các giải pháp

Điểm B là giao điểm của BN với đường tròn tâm 3 1;

R IA , nên tọa độ điểm B là nghiệm của hệ

B y

Bước 4 Nghiên cứu sâu giải pháp

- Nếu ta đặc biệt bài toán 1.6 thành hình vuông

ABME, ta nhận được kết quả tương tự bài toán

1.5

- Để giải quyết bài toán 1.6 “mấu chốt” của vấn đề

là xử lý bài toán thuần túy hình phẳng sau: Cho

hình chữ nhật ABCD Gọi M là điểm đối xứng

của B qua C, N là hình chiếu vuông góc của B trên MD Chứng minh rằng AN CN.

 Bài toán 1.7 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang

vuông ABCD (vuông tại A và B) có BC2AD Điểm 13 9;

5 5

  là hình chiếu vuông góc của điểm B lên cạnh CD Xác định tọa độ các .đỉnh B và D của hình thang, biết điểm A3;1 và trung điểm M của cạnh BC nằm trên đường thẳng x2y 1 0.

Bước 1 Phát hiện và thâm nhập vấn đề

Dữ kiện bài toán xoay quanh ba điểm A, H, M Bằng trực quan ta đề xuất giả thuyết AH MH

Nếu giả thuyết được nêu ra là đúng, ta sẽ tìm được tọa độ điểm M, từ

đó ta tìm được tọa độ các đỉnh của hình thang

Bước 2 Tìm giải pháp

 Giải pháp 1 (Thuần túy hình phẳng)

Tứ giác BDHM nội tiếp nên ̂ ̂

Tứ giác ABMD là hình chữ nhật nên ̂ ̂

Suy ra ̂ ̂ hay tứ giác AHMB nội tiếp,

Bước 3 Trình bày giải pháp

Trước hết ta chứng minh AH MH (Có thể sử dụng một trong các

giải pháp ở bước 2) Khi đó:

Phương trình đường thẳng MH: 7x y 20. Tọa độ điểm M là

Bước 4 Nghiên cứu sâu giải pháp

- Bài toán 1.7 là một cách phát biểu khác của bài toán 1.6 Hay nói cách

khác nó hai bài toán trên là những kết quả tương tự của nhau

- Để giải quyết bài toán 1.7 “mấu chốt” của vấn đề là xử lý bài toán thuần

túy hình phẳng sau: Cho hình thang vuông ABCD (tại A và B) có

2

BC AD Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên cạnh CD M là trung điểm của BC Chứng minh rằng AH MH

b Ba điểm phân biệt tạo thành một góc có số đo bằng 

 Bài toán 1.8 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông

ABCD Gọi M là trung điểm của cạnh BC, 3 1;

2 2

N 

  là điểm trên cạnh AC sao cho 1

4

AN  AC Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết đường thẳng DM có phương trình x 1 0.

Bước 1 Phát hiện và thâm nhập vấn đề

Dữ kiện bài toán xoay quanh ba điểm D,

M, N Bằng trực quan ta dễ nhận thấy những nét giống nhau cơ bản của bài toán với bài toán 1.1

Theo những nhận định và kết quả nghiên cứu ở bài toán 1.1, ta đã có DN MN Tuy nhiên một vấn đề nảy sinh là giả thiết bài toán 1.8 không đủ để “mở nút thắt đầu tiên” chỉ với mối quan hệ vuông góc

Từ đó ta đưa ra nhận định, giữa ba điểm này có một mối quan hệ ràng buộc khác nữa Ta dễ dàng nhận ra mối quan hệ này là tam giác DMN

vuông cân, hay ̂ từ giải pháp 4(sử dụng công cụ lượng

giác) trong bài toán 1.1

Cũng từ mối liên hệ này, kết hợp với kết quả bài toán 2 ta tìm được

tọa độ điểm D, từ đó ta sẽ tìm được tọa độ các đỉnh còn lại

C

 vuông cân tại M

 Giải pháp 2 (Thuần túy hình phẳng)

Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD

Điểm F là trung điểm đoạn DI Khi đó tứ giác

FNMC là hình bình hành và F là trực tâm tam giác

Từ đó suy ra DMNvuông cân tại N

 Giải pháp 4 (Sử dụng công cụ tọa độ)

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ Khi đó

Bước 3 Trình bày giải pháp

DM DM

Từ đó theo kết quả bài toán 1.1 ta có A3;0 , B 1;4 ,  C 3;2 +) Với d  3 D 1;3

Phương trình đường thẳng NM x:   y 1 Suy ra M1; 2 

Sử dụng quy trình giải toán ở bài toán 1.1 ta tìm được tọa độ các điểm còn lại là A3;1 , B  1; 3 , C 3; 1 

Bước 4 Nghiên cứu sâu giải pháp

- Ta nhận thấy bài toán 1.1 và bài toán 1.8 là giống nhau về mặt hình

thức, song kết quả bài toán 1.1 và bài toán 1.8 lại có sự khác nhau Nguyên nhân của sự khác nhau này chính là việc lựa mối quan hệ ba điểm phân biệt tạo thành một góc 0

45

  trong cách phát biểu bài toán

Từ đó dẫn đến việc chúng ta sẽ sử dụng kết quả bài toán 2 để tìm tọa độ

điểm D, đó cũng công cụ để chúng ta “mở nút thắt đầu tiên” của bài

toán

- Từ đó ta cũng dễ dàng nhận ra, bài toán 1.8 thực ra được xây dựng dựa

trên bài toán thuần túy hình phẳng sau: Cho hình vuông ABCD Gọi M

là trung điểm của cạnh BC; N là điểm trên cạnh AC sao cho

1.4

AN  AC Chứng minhDMN vuông cân

- Bài toán 1.8 được xây dựng dựa trên bài toán hình

phẳng đã phát biểu ở trên và sự kết hợp của nó với

bài toán 2 mục IV.2

Để xây dựng bài toán tổng quát, ta nghiên cứu bài

toán: Cho hình vuông ABCD, các điểm M thuộc

đường thẳng BC và N thuộc đường thẳng AC thỏa

mãn BM mBC AN, nAC Tính ̂ theo m và n

Như vậy ta hoàn toàn xây dựng được bài toán hình giải tích trong phẳng

khái quát hơn dựa vào sự kết hợp giữa bài toán 2 mục IV.2 và bài toán

thuần túy hình phẳng sau:

Cho hình vuông ABCD, các điểm M thuộc đường thẳng BC và N thuộc đường thẳng AC thỏa mãn BM mBC AN, nAC Ta luôn có

 Bài toán 1.9 (Trích đề TSĐH khối A – năm 2012) Trong mặt phẳng

với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD Gọi M là trung điểm của cạnh BC, N là điểm trên CD sao cho CN 2ND Giả sử 11 1;

2 2

  và

đường thẳng AN có phương trình 2 x  y 3 0. Tìm tọa độ điểm A

Bước 1 Phát hiện và thâm nhập vấn đề

Dữ kiện bài toán xoay quanh ba điểm A, M, N, đồng thời ta nhận thấy nếu ta biết được giá trị của góc ̂ hoặc giá trị

của ̂ ta có thể áp dụng kết quả bài toán 2 để

xác định tọa độ điểm A

Việc phán đoán và đề xuất giả thuyết độ lớn của

góc ̂ sau đó sử dụng thuần túy hình phẳng để

chứng minh là không mấy khả thi Do vậy ta lựa

chọn những giải pháp mạnh về tính “đại số” nhiều

hơn như: sử dụng công cụ lượng giác, sử dụng công cụ véctơ, sử dụng

công cụ tọa độ

Bước 2 Tìm giải pháp

 Giải pháp 1 (Sử dụng công cụ lượng giác)

Đặt ABBCCD DAa Ta có: 2 2 2 5 2

;4

AM  AB BM  a

;36

̂ . 2

2