Chuyên đề hình học giải tích trong mặt phẳng Luyện thi đại học

Chuyên đề 15: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ ĐIỂM - TỌA ĐỘ VÉC TƠ 117 I. Hệ trục toạ độ ĐỀ-CÁC trong không gian • x ' Ox : trục hoành O z 'x y x 'y 3 e K 1 e K 2 e K 'z • y ' Oy : trục tung • z ' Oz : trục cao • O : gốc toạ độ • : véc tơ đơn vò 123 ,,eee JG JJGJJG Quy ước : Không gian mà trong đó có chọn hệ trục toạ độ Đề-Các vuông góc Oxyz được gọi là không gian Oxyz và ký hiệu là : kg(Oxyz) II. Toạ độ của một điểm và của một véc tơ: 1. Đònh nghóa 1: Cho () M kg Oxyz∈ . Khi đó véc tơ OM J JJJG được biểu diển một cách duy nhất theo bởi hệ thức có dạng : 123 ,,eee JG JJGJJG 123 + y với x,y,zOM xe ye e = +∈ J JJJGJGJJGJJG \ . Bộ số (x;y;z) trong hệ thức trên được gọi là toạ độ của điểm M. Ký hiệu: M(x;y;z) ( x: hoành độ của điểm M; y: tung độ của điểm M, z: cao độ của điểm M ) z / 123 ( ; ; ) đn M xyz OM xe ye ze⇔=++ J JJJGJGJJGJJG • Ý nghóa hình học: ; y= OQ ; z = ORxOP= O M y x z y x z y x p 1 M M Q 3 M 2 M R O 2. Đònh nghóa 2: Cho (a kg Oxyz∈ ) G . Khi đó véc tơ a G được biểu diển một cách duy nhất theo bởi hệ thức có dạng : 123 ,,eee JG JJGJJG 11 22 33 1 2 + a với a ,aaae ae e = +∈ G JG JJGJJG \ . Bộ số (a 1 ;a 2 ;a 3 ) trong hệ thức trên được gọi là toạ độ của véc tơ . a G Ký hiệu: 12 (; )aaa= G / 123 11 22 33 =(a ;a ;a ) đn aaaeae⇔=++ GGJGJGJJG ae J 118 II. Các công thức và đònh lý về toạ độ điểm và toạ độ véc tơ : Đònh lý 1: Nếu B (;;) và B(x;;) A AA BB A xyz yz thì (;;) B AB AB A A Bxxyyzz=− − − JJJG Đònh lý 2: Nếu aa thì 123 123 (; ; ) và (; ; )aa bbbb== GG * ab 11 22 33 a b a b ab = ⎧ ⎪ =⇔ = ⎨ ⎪ = ⎩ GG * ab 112233 (; ; )a ba ba b+= + + + GG )a ba ba b−= − − − GG )a ka ka ka= G * ab 112 233 (; ; * k () 123 .(;; k ∈ \ III. Sự cùng phương của hai véc tơ: Nhắc lại • Hai véc tơ cùng phương là hai véc tơ nằm trên cùng một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng song song . • Đònh lý về sự cùng phương của hai véc tơ:  Đònh lý 3 : Cho hai véc tơ và với 0abb ≠ G GGG akb GG ab cùng phương !k sao cho .⇔∃ ∈ = GG \ Nếu thì số k trong trường hợp này được xác đònh như sau: 0a ≠ GG k > 0 khi a G cùng hướng b G k < 0 khi a G ngược hướng b G a k b = G G , , thẳng hàng cùng phương A B C AB AC⇔ J JJG JJJG  Đònh lý 4 :  Đònh lý 5: Cho hai véc tơ 123 123 (; ; ) và (; ; )aaaa bbbb== G G ta có : ab 11 22 12312 3 33 a cùng phương a : : : : kb akbaabbb akb = ⎧ ⎪ ⇔=⇔ = ⎨ ⎪ = ⎩ GG 119 IV. Tích vô hướng của hai véc tơ: Nhắc lại: cos(,)ab a b a b= GG G G G G 2 2 aa= GG .0ab ab⊥⇔ = GG GG  Đònh lý 6: Cho hai véc tơ 122 123 (; ; ) và (; ; )aaaa bbbb== G G ta có : 11 22 33 .ab ab a b a b=+ + G G  Đònh lý 7: Cho hai véc tơ ta có : 123 (; ; ) aaaa= G 222 123 aaaa=++ G  Đònh lý 8: Nếu B (;) và B(x;) A AB A xy y thì 22 ()()() BA BA BA 2 A Bxx yy zz=−+−+−  Đònh lý 9: Cho hai véc tơ 123 123 (; ; ) và (; ; )aaaa bbbb== G G ta có : 11 22 33 a 0ab bab ab⊥⇔ + + = GG  Đònh lý 10: Cho hai véc tơ 123 123 (; ; ) và (; ; )aaaa bbbb== G G ta có : ++ == ++ ++ G G GG GG 11 2 2 33 222222 123123 . cos( , ) . . ab ab ab ab ab ab aaa bbb V. Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k: Đònh nghóa : Điểm M được gọi là chia đoạn AB theo tỷ số k ( k 1 ) nếu như : ≠ . M AkMB= J JJG GJJJ • • • A M B  Đònh lý 11 : Nếu B (;;) , B(x;;) A AA BB A xyz yz và . M AkMB= J JJG JJJG ( k ≠ 1 ) thì . 1 . 1 . 1 A B M A B M A B M x kx x k yky y k z kz z k − ⎧ = ⎪ − ⎪ − ⎪ = ⎨ − ⎪ − ⎪ = ⎪ − ⎩ 120 Đặc biệt : M là trung điểm của AB ⇔ 2 2 2 A B M A B M A B M x x x yy y z z z + ⎧ = ⎪ ⎪ + ⎪ = ⎨ ⎪ + ⎪ = ⎪ ⎩ BÀI TẬP ỨNG DỤNG: Bài 1: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(3;1;0), B(-1;2;-1), C(2;-1;3) Tìm điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành Bài 2: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0) a.Chứng minh rằng tam giác ABC vuông . b. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC c. Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ A VI. Tích có hướng của hai véc tơ: 1. Đònh nghóa: Tích có hướng của hai véc tơ 123 123 (; ; ) và (; ; )aaaa bbbb== G G là một véc tơ được ký hiệu : có tọa độ là : ;ab ⎡ ⎣ GG ⎤ ⎦ 2331 12 2331 12 ;;; aaaa aa ab bbbb bb ⎛⎞ ⎡⎤ = ⎜⎟ ⎣⎦ ⎝⎠ GG Cách nhớ: 123 123 (; ; ) (; ; ) aaaa bbbb = = G G 1 2 3 2. Tính chất: • ; và ;ab a ab b ⎡⎤ ⎡⎤ ⊥⊥ ⎣⎦ ⎣⎦ GG G GG G A • 1 .; 2 ABC SAB Δ ⎡⎤ = ⎣⎦ JJJG HJJG AC B C • ; ABCD SAB ⎡⎤ = ⎣⎦ . JJJG JJJG A B C D ' A ' B 'C 'D AD • '''' ' . ;. ABCD A B C D VABAD ⎡⎤ = ⎣⎦ JJJG JJJGJJJG AA A B C D 121 • 1 .;. 6 ABCD VABAC ⎡⎤ = ⎣⎦ JJJG JJJG JJJG AD b GG A B C D • cùng phương ; 0aba ⎡⎤ ⇔= ⎣⎦ GGG • , , đồng phẳng , . 0abc ab c ⎡⎤ ⇔= ⎣⎦ GGG GG G BÀI TẬP ỨNG DỤNG: Bài 1: Cho bốn điểm A(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1), D(1;1;1) a. Chứng minh rằng bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng b. Tính diện tích tam giác ABC c. Tính thể tích tứ diện ABCD Bài 2: Tính thể tích tứ diện ABCD biết A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1), D(-1;-5;3) ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN I. Các đònh nghóa: 1. Véc tơ chỉ phương của đường thẳng: 1. VTCP của đường thẳng : là VTCP của đường thẳng ( Δ ) đn ⇔ 0 a có giá song song hoặc trùng với ( ) a ⎧ ≠ ⎪ ⎨ Δ ⎪ ⎩ G G G a G a K a K )( Δ Chú ý: • Một đường thẳng có vô số VTCP, các véc tơ này cùng phương với nhau. • Một đường thẳng (Δ ) hoàn toàn được xác đònh khi biết một điểm thuộc nó và một VTCP của nó. 2. Cặp VTCP của mặt phẳng: a K Cho mặt phẳng α xác đònh bởi hai đường thẳng cắt nhau a và b . Gọi là VTCP của đường G a G thẳng a và là VTVP của đường thẳng b. Khi đó : JG J b Cặp được gọi là cặp VTCP của mặt phẳng (,)ab JG α Chú ý : • Một mặt phẳng α hoàn toàn được xác đònh khi biết một điểm thuộc nó và một cặp VTCP của nó. α b K a b 122 3. Véc tơ pháp tuyến ( VTPT) của mặt phẳng : n K α n là VTPT của mặt phẳng G α đn ⇔ 0 n có giá vuông góc với mp n α ⎧ ≠ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ G G G Chú ý: • Một mặt phẳng có vô số VTPT, các véc tơ này cùng phương với nhau. • Một mặt phẳng hoàn toàn được xác đònh khi biết một điểm thuộc nó và một cặp VTPT của nó. 4. Cách tìm tọa độ một VTPT của mặt phẳng khi biết cặp VTCP của nó: Đònh lý: Giả sử mặt phẳng α có cặp VTCP là : 123 123 (; ; ) (; ; ) aaaa bbbb ⎧ = ⎪ ⎨ = ⎪ ⎩ G G thì mp α có một VTPT là : 2331 12 2331 12 ;;; aaaa aa nab bbbb bb ⎛⎞ ⎡⎤ == ⎜⎟ ⎣⎦ ⎝⎠ GGG BÀI TẬP ỨNG DỤNG: Tìm một VTPT của mặt phẳng α biết α đi qua ba điểm A(-2;0;1), B(0;10;3), C(2;0;-1) II. Phương trình của mặt phẳng : Đònh lý 1: Trong Kg(Oxyz) . Phương trình mặt phẳng α đi qua điểm 0000 (;;) M xyz và có một VTPT là: (;;)nABC= G 000 ()()()0 A xx Byy Czz − +−+−= Đònh lý 2: Trong Kg(Oxyz) . Phương trình dạng : 0 A xByCzD+++= với 222 0ABC + +≠ α ],[ ban K K K = a K b K );;( CBAn = K );;( 0000 zyxM α );;( CBAn = K 0 M z α y là phương trình tổng quát của một mặt phẳng . x Chú ý : • Nếu (): 0 A xByCzD α +++= thì () α có một VTPT là (;;)nABC= G 123 • 0000 0 0 0 (;;)(): 0 Ax 0 M xyz AxByCzD By Cz D α ∈+++=⇔+++= Các trường hợp đặc biệt: 1. Phương trình các mặt phẳng tọa độ: • (Oxy):z = 0 • (Oyz):x = 0 • (Oxz):y = 0 2. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: • Phương trình mặt phẳng cắt các trục Ox, Oy, Oz tại (;0;0) (0; ;0) (a,b,c 0) (0;0; ) Aa Bb Cc ⎧ ⎪ ≠ ⎨ ⎪ ⎩ )(Oxz )(Oxy )(Oyz z y O x là: 1 x yz abc ++= A B C a b c O BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(3;1;0), B(-1;2;-1), C(2;-1;3) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Bài 2: Cho điểm A(1;3;2), B(1;2;1), C(1;1;3) Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác. III. Vò trí tương đối của hai mặt phẳng - Chùm mặt phẳng : 1. Một số quy ước và ký hiệu: Hai bộ n số : được gọi là tỷ lệ với nhau nếu có số 12 12 (, , , ) ( , , , ) n n aa a bb b ⎧ ⎨ ⎩ 0t ≠ sao cho 11 22 . . nn atb atb atb = ⎧ ⎪ = ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ = ⎪ ⎩ Ký hiệu: hoặc 12 12 : : : : : : n aa a bb b= n 12 12 n n a aa bb b === 2. Vò trí tương đối của hai mặt phẳng: Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng , α β xác đònh bởi phương trình : 1111 1111 2222 222 ( ): 0 có VTPT ( ; ; ) (): 2 ; )0 có VTPT ( ; A xByCzD n ABC A xBy C α β +++= = ++ CzD n AB+= = J JG JJG β α 1 n K β α 2 n K β α 1 n K 2 n K 1 n K 2 n K 11 11 11 111 2 2 2 22 22 22 111 1 222 2 1111 2222 A ( ) cắt ( ) A : : : : (hay: ) A A ( ) // ( ) A A ( ) ( ) A B BC C A B C A B C hoặ c hoặ c B BC C A BCD BCD BCD BCD αβ αβ αβ ⇔≠ ≠≠ ≠ ⇔==≠ ≡⇔=== Đặc biệt: 12 12 12 A 0 A BB CC α β ⊥⇔ + + = 124 3. Chùm mặt phẳng : a. Đònh nghóa: Tập hợp các mặt phẳng cùng đi qua một đường thẳng được gọi là một chùm mặt phẳng . • gọi là trục của chùm Δ • Một mặt phẳng hoàn toàn được xác đònh nếu biết i. Trục của chùm hoặc ii. Hai mặt phẳng của chùm b. Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng , α β cắt nhau xác đònh bởi phương trình : 1111 2222 ( ): 0 (): 0 A xByCzD Ax By Cz D α β + ++= +++= Khi đó : Mỗi mặt phẳng qua giao tuyến của và α β đều có phương trình dạng: 22 1111 2 2 22 ( ): ( ) ( ) 0 ( 0)Ax By Cz D Ax By C z D γλ μ λ μ ++++ +++ = +≠ Chú ý: 0 và 0 thì 0 và 0 thì λ μγβ λ μγα =≠≡ ≠=≡ Đặc biệt : 1111 2222 1111 2 Nếu 0 và 0 thì và trong trường hợp này phương trình có thể viết dưới dạng sau: 1. m(A ) (A ) 0 hoặc 2. (A ) (A xByCzD xByCzD xByCzD n xB λ μγαβ γ ≠≠≠ ++++ +++ = ++++ + 222 )0yCzD + += γ β α γ β α ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN I. Phương trình của đường thẳng: 1.Phương trình tham số của đường thẳng: Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) . Phương trình tham số của đường thẳng () Δ đi qua điểm 0000 (;;) M xyz và nhận làm VTCP là : 123 (; ; )aaaa= G 01 02 03 ( ): (t ) x xta yy ta zz ta =+ ⎧ ⎪ Δ=+ ∈ ⎨ ⎪ =+ ⎩ \ 125 2. Phương trình chính tắc của đường thẳng: Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) . Phương trình chính tắc của đường thẳng () Δ đi qua điểm 0000 (;;) M xyz và nhận làm VTCP là : 123 (; ; )aaaa= G 000 123 (): x xyyzz aaa − −− Δ== 3. Phương trình tổng quát của đường thẳng : Trong không gian ta có thể xem đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng nào đó. Xem () α β Δ= ∩ với 1111 2222 (): 0 (): 0 Ax By Cz D Ax By Cz D α β +++= ⎧ ⎨ + ++= ⎩ ta có đònh lý sau. Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) hệ phương trình: 1111 111 22 2 2222 0 với A : : : : 0 Ax By Cz D B CABC Ax By Cz D +++= ⎧ ≠ ⎨ +++= ⎩ là phương trình tổng quát của một đường thẳng. Chú ý: Nếu 1111 111 2222 222 ( ): 0 ( ( ; ; )) (): ( ): 0 ( ( ; ; )) Ax By Cz D n A B C A xByCzD n ABC α β α β ⎧ +++= = ⎪ Δ ⎨ +++= = ⎪ ⎩ G G thì ( ) có một VTCP là : Δ 111111 222222 ,;; B CC AA B ann B CC AA B αβ ⎛⎞ ⎡⎤ == ⎜⎟ ⎣⎦ ⎝⎠ GGG O z y x ) a K ( Δ 0 M ),,( zyxM II. Vò trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng : 1.Vò trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng : α n K M )( Δ a K α n K M )(Δ a K α n K M )( Δ a K Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho : đường thẳng 00 12 0 3 :() x xyyzz aaa −−− Δ== có VTCP 123 (; ; )aaaa= G và qua 0000 (;;) M xyz và mặt phẳng (): 0 A xByCzD α +++= có VTPT (;;)nABC= G Khi đó : 123 123 000 123 000 ( ) cắt ( ) Aa 0 Aa 0 ( ) // ( ) 0 Aa 0 ( ) ( ) 0 B aCa Ba Ca Ax By Cz D Ba Ca Ax By Cz D α α α Δ⇔++≠ ++= ⎧ Δ⇔ ⎨ + ++≠ ⎩ ++= ⎧ Δ⊂ ⇔ ⎨ + ++= ⎩ 126 Đặc biệt: 123 ( ) ( ) a : : : :aa ABC α Δ⊥ ⇔ = α a K n K Chú ý: Muốn tìm giao điểm M của ( Δ ) và ( α ) ta giải hệ phương trình : () () p t p t α Δ ⎧ ⎨ ⎩ tìm x,y,z Suy ra: M(x,y,z) 2. Vò trí tương đối của hai đường thẳng : 0 M ' 0 M a K 1 Δ 2 Δ b K 0 M u K 'u K 1 Δ 2 Δ ' 0 M 0 M ' 0 M u K 'u K 1 Δ 2 Δ u K 'u K 0 M ' 0 M 1 Δ 2 Δ Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng : 000 1 0000 '''' '''' 000 2 0000 ''' ( ) : có VTCP ( ; ; ) và qua M ( ; ; ) ( ): có VTCP ( ; ; ) và qua M ( ; ; ) x xyyzz uabc xyz abc xx yy zz uabc xyz abc −−− Δ== = −−− Δ== = G JG [...]... tâm và bán kính của mặt cầu II Giao của mặt cầu và mặt phẳng: Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho mặt phẳng (α ) và mặt cầu (S) có phương trình : (α ) : Ax + By + Cz + D = 0 (S ) : ( x − a)2 + ( y − b)2 + ( z − c)2 = R2 Gọi d(I; α ) là khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mặt phẳng α 133 Ta có : 1 (α ) cắt mặt cầu (S) ⇔ d(I;α ) < R 2 (α ) tiếp xúc mặt cầu (S) ⇔ d(I;α ) =R 3 (α ) không cắt mặt cầu (S) ⇔ d(I;α... cao hình tứ diện xuất phát từ D Bài 37: Trong không gian Oxyz cho điểm A(-1,2,3) và hai mặt phẳng (P):x-2 = 0 , (Q):y-z-1=0 Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua A và vuông góc với hai mặt phẳng (P) , (Q) Bài 38: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(1,3,2) , B(1,2,1) và C(1,1,3) Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng. .. thẳng AB và mặt phẳng (P) 2 Tìm điểm C thuộc mặt phẳng (P) sao cho tam giác ABC đều Bài 26: Trong Kg(Oxyz) cho hai điểm A(1;2;3) , B(4;4;5) và mặt phẳng (P): z = 0 1 Tìm M ∈ (P) sao cho MA+MB là nhỏ nhất 2 Tìm N ∈ (P) sao cho NA − NB là lớn nhất Bài 27: Trong Kg(Oxyz) cho hai điểm A(3;1;0) , B(-9;4;9) và mặt phẳng (P): 2x - y + z + 1 = 0 Tìm M ∈ (P) sao cho MA − MB là lớn nhất Bài 28: Trong Kg(Oxyz)... là điểm đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P) 2 Giả sử M là điểm chạy trên mặt phẳng (P) Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức : MA+MB ⎧2 x + y + z + 1 = 0 Bài 9: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng Δ : ⎨ và mặt phẳng (P): 4x-2y+z-1=0 ⎩x + y + z + 2 = 0 129 Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng Δ trên mặt phẳng (P) ⎧ x − az − a = 0 ⎧ax + 3y − 3 = 0 Bài 10: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng:... 0 1 Chứng minh rằng d1 và d2 cắt nhau Tìm toạ độ giao điểm I của d1 và d2 2 Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua d1 và d2 3 Tính thể tích phần không gian giới hạn bởi (P) và các mặt phẳng toạ độ Bài 23: Trong Kg(Oxyz) cho hai điểm A(1;2;1) , B(2;1;3) và mặt phẳng (P): x-3y+2z-6 = 0 1 Lập phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 2 Viết phương trình chính tắc của giao tuyến của (P)... trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng Δ1 và song song với đường thẳng Δ2 2 Cho điểm M(2;1;4) Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng Δ2 sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất Bài 7: Trong Kg(Oxyz) cho mặt phẳng (P) : 2x-y+2=0 và đường thẳng ⎧(2m + 1) x + (1 − m)y + m − 1 = 0 dm : ⎨ ⎩mx + (2m + 1)z + 4m + 2 = 0 Xác đònh m để đường thẳng dm song song với mặt phẳng (P) Bài 8: Trong Kg(Oxyz) cho mặt phẳng. .. tam giác ABC, ABD, ACD là các tam giác vuông 2 Tính thể tích tứ diện ABCD 3 Gọi H là trực tâm tam giác BCD, viết phương trình đường thẳng AH Bài 5: Trong Kg(Oxyz) cho 3 điểm A(1;1;2), B(-2;1;-1), C(2;-2;1) 1 Viết phương trình mặt phẳng (ABC) 2 Xác đònh tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm O trên mặt phẳng (ABC) 3 Tính thể tích tứ diện OABC Bài 6: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng: ⎧x = 1+ t ⎧x − 2y... ý: Muốn tìm giao điểm M của (Δ1 ) và (Δ 2 ) ta giải hệ phương trình : ⎨ tìm x,y,z ⎩ pt(Δ2 ) Suy ra: M(x,y,z) III Góc trong không gian: 1 Góc giữa hai mặt phẳng: Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng α , β xác đònh bởi phương trình : (α ) : A1 x + B1y + C1z + D1 = 0 ( β ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 n 2 = ( A2 ; B 2 ; C 2 ) Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (α ) & ( β ) ta có công thức: cos ϕ = A1... ( a; b; c ) Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (Δ1 ) & (Δ 2 ) ta có công thức: Δ1 aa ' + bb ' + cc ' cos ϕ = Δ2 a 2 + b 2 + c 2 a '2 + b '2 + c '2 a 2 = (a ' ; b' ; c' ) 0 0 ≤ ϕ ≤ 90 0 IV Khoảng cách: 1 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = 0 và điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) Khoảng cách từ điểm M0 đến mặt phẳng (α ) được tính bởi công thức:... (d2) chéo nhau 2 Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2) 3 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d1) , mặt phẳng (Q) chứa (d2) sao cho (P)//(Q) 4 Viết phương trình đường thẳng (d) song song với Oz và cắt cả (d1) và (d2) MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIAN I Phương trình mặt cầu: 1 Phương trình chính tắc: Đònh lý : Trong Kg(Oxyz) Phương trình của mặt cầu (S) tâm I(a;b;c), bán kính R là : z (S) : ( x − a)2 + (y − b)2 . Chuyên đề 15: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ ĐIỂM - TỌA ĐỘ VÉC TƠ 117 I. Hệ trục toạ độ ĐỀ-CÁC trong. 124 3. Chùm mặt phẳng : a. Đònh nghóa: Tập hợp các mặt phẳng cùng đi qua một đường thẳng được gọi là một chùm mặt phẳng . • gọi là trục của chùm Δ • Một mặt phẳng hoàn toàn. phương trình mặt phẳng (P) đi qua d 1 và d 2 . 3. Tính thể tích phần không gian giới hạn bởi (P) và các mặt phẳng toạ độ. Bài 23: Trong Kg(Oxyz) cho hai điểm A(1;2;1) , B(2;1;3) và mặt phẳng (P):