Bạn cũng có thể sử dụng các công thức trong sách giáo khoa để giải các bài tập trắc nghiệm do sách giáo khoa thường được biên soạn cho dễ hiểu nên các công thức được rút gọn từ những công thức tổng quát. Đối với bài học mới, cần đọc trước bài ở nhà trước khi nghe giảng trên lớp. Khi nghe thầy cô giảng thì phải tập trung, chú ý ghi chép đầy đủ và ghi lại những chỗ quan trọng trước khi đến lớp.
HONG NGC TH KHM PH CCH GII Mt s bi Hình học giải tích Trong Mặt Phẳng Dnh cho HSG toỏn 11&12 Luyn thi THPT Quc Gia http://boxtailieu.net KHM PH CCH GII Mt s bi hỡnh hc gii tớch mt phng Hong Ngc Th Ngy thỏng nm 2015 http://boxtailieu.net Kớ hiu dựng sỏch GTLN GTNN HSG THPT ? : : : : : : : : Giỏ tr ln nht Giỏ tr nh nht Hc sinh gii Trung hc ph thụng Kt thỳc Li gii Kt thỳc nh ngha, Vớ d Kt thỳc nh lý Cõu hi, hot ng Chỳ ý: Tt c cỏc bi toỏn cun ti liu ny nu cú cỏc biu thc ta thỡ ta hiu l ang xột mt phng vi h ta Oxy http://boxtailieu.net Li núi u Phng phỏp ta mt phng l ni dung thng gp Kỡ thi tuyn sinh i hc, Cao ng (nay gi l K thi THPT Quc gia) Ngoi ra, K thi HSG nhng nm gn õy, thi ca nhiu tnh cng cú ni dung ny õy thng l cõu phõn loi thớ sinh Cỏc bi toỏn thng l phi ỏp dng tớnh cht hỡnh hc trc s dng bin i i s ch khụng cũn l cỏc k thut tớnh toỏn i s thụng thng nh trc Vi mc ớch ụn luyn i tuyn HSG v quan trng hn l hng ti kỡ thi THPT Quc gia chung, thy biờn son ti liu nh ny vi hi vng s giỳp cỏc em hỡnh dung chỳt ớt v ni dung ny Ti liu cú cu trỳc tng i l Em s thy mt s mc ca nú o ln linh tinh v c dũng trờn vi dũng di khụng liờn quan gỡ n ng lo ú l em c ngu nhiờn v ch c m khụng lm Hóy c tun t v lm theo hng dn Mi s ln xn s tr lờn ngn np Khi gp kớ hiu Y HD2 tr.10 thỡ em cn hiu l phi t lm theo hng dn trờn nú v nu ó lm c iu ú ri thỡ t lm tip hoc theo HD trang 10 Khi gp kớ hiu N HD19 tr.25 thỡ em nờn c k hng dn v t lm, nu lm mói m khụng thỡ xem HD 19 trang 25 Hi vng em s thy thỳ v vi ti liu kiu ny Trong quỏ trỡnh biờn son vi vng, nht nh khú trỏnh thiu sút Rt mong cỏc em phỏt hin v phn hi Pỏc Khuụng, thỏng nm 2015 http://boxtailieu.net Lý thuyt chung 1.1 H ta Trong mt phng vi h ta Oxy cho cỏc im: A (xA ; yA ) , B (xB ; yB ) , C (xC ; yC ) , M (x0 ; y0 ) Ta vect: AB = (xB xA ; yB yA ) Ta trung im ca on thng AB l: J xA + xB yA + yB ; 2 Ta trng tõm ca tam giỏc ABC l: G 1.2 x A + x B + x C yA + yB + yC ; 3 Phng trỡnh ng thng 1.2.1 Vect ch phng v vect phỏp tuyn ca ng thng: Vect u ( u = ) l vect ch phng ca ng thng d nu nú cú giỏ song song hoc trựng vi ng thng d Vect n ( n = ) l vect phỏp tuyn ca ng thng d nu nú cú giỏ vuụng gúc vi ng thng d ng thng ax + by + c = cú mt vect phỏp tuyn l n = (a; b) Hai ng thng song song cú cựng vect ch phng (vect phỏp tuyn) Hai ng thng vuụng gúc cú vect phỏp tuyn ca ng thng ny l vect ch phng ca ng thng Nu u, n ln lt l vect ch phng, vect phỏp tuyn ca ng thng d thỡ u n = Do ú, nu u = (a; b) thỡ n = (b; a) http://boxtailieu.net Mt ng thng cú vụ s vect phỏp tuyn, vụ s vect ch phng Nu n l mt vect phỏp tuyn (vect ch phng) ca ng thng d thỡ k n (k = 0) cng l mt vect phỏp tuyn, vect ch phng ca d 1.2.2 Bn loi phng trỡnh ng thng Phng trỡnh tng quỏt ca ng thng: (a2 + b2 > 0) (1) ng thng i qua im M (x0 ; y0 ) v nhn n = (a; b) l vect phỏp tuyn cú phng trỡnh dng: ax + by + c = a(x x0 ) + b(y y0 ) = (2) c bit: ng thng i qua (a; 0), (0; b) cú phng trỡnh theo on chn: x y + =1 (3) a b * ng thng i qua M (x0 ; y0 ) v nhn vect n = (p; q) lm vect ch phng, cú phng trỡnh tham s l: x = x0 + pt y = y0 + qt (4) Cú phng trỡnh chớnh tc l: x x0 y y0 = p q (p, q = 0) (5) c bit: ng thng i qua im phõn bit A (xA ; yA ) , B (xB ; yB ) cú phng trỡnh dng: x xA y yA = xB xA yB yA (6) ng thng i qua M (x0 ; y0 ) v cú h s gúc k thỡ cú phng trỡnh ng thng vi h s gúc dng: y = k(x x0 ) + y0 Chỳ ý: http://boxtailieu.net (7) Khụng phi ng thng no cng cú h s gúc Cỏc ng thng dng x = a khụng cú h s gúc Do vy, gii cỏc bi toỏn dựng h s gúc, ta phi xột c trng hp c bit ny Nu n = (a; b) l vect phỏp tuyn ca ng thng thỡ h s a gúc ca nú l k = , b = b 1.2.3 V trớ tng i ca im v ng thng Cho A (xA ; yA ) , B (xB ; yB ) v ng thng : ax + by + c = Khi ú: Nu (axA + byA + c) (axB + byB + c) < thỡ A, B v hai phớa khỏc i vi Nu (axA + byA + c) (axB + byB + c) > thỡ A, B cựng mt phớa i vi 1.2.4 Chựm ng thng Cho hai ng thng ct nhau: d1 : a1 x + b1 y + c1 = 0; d2 : a2 x + b2 y + c2 = Khi ú mi ng thng i qua giao im I ca hai ng thng trờn u cú phng trỡnh dng: (a1 x + b1 y + c1 ) + (a2 x + b2 y + c2 ) = (8) ú + à2 > 1.3 Gúc v khong cỏch Gúc gia hai vect v, w c tớnh da theo cụng thc: cos(u, w) = u.w |v| |w| (9) Gi s n 1, n ln lt l vect phỏp tuyn ca cỏc ng thng d1 v d2 Khi ú: | n n 2| cos(d1 , d2 ) = (10) | n | | n 2| http://boxtailieu.net di vect u = (a; b) l: |u| = a2 + b2 (11) Khong cỏch gia hai im A(xA ; yA ), B(xB ; yB ) l: AB = (xB xA )2 + (yB yA )2 (12) Din tớch tam giỏc ABC l: S= (AB.AC)2 AB.AC (13) Khong cỏch t im M (x0 ; y0 ) n ng thng d : ax + by + c = c tớnh bng cụng thc: d(M ;d) = 1.4 |ax0 + by0 + c| a2 + b2 (14) Phng trỡnh ng trũn ng trũn tõm I(a; b), bỏn kớnh R cú dng: (x a)2 + (y b)2 = R2 (15) Phng trỡnh: x2 + y + 2ax + 2by + c = 0, (a2 + b2 c > 0) (16) cng l phng trỡnh ng trũn vi tõm I(a; b) v bỏn kớnh a2 + b2 c R= Phng trỡnh tip tuyn ca ng trũn ti im M (x0 ; y0 ) (x0 a)(x x0 ) + (y0 b)(y y0 ) = http://boxtailieu.net (17) V trớ tng i ca ng thng v ng trũn (C) tõm I, bỏn kớnh R Nu d(I;) > R thỡ v (C) khụng ct Nu d(I;) = R thỡ v (C) tip xỳc ti I l hỡnh chiu ca I lờn d Nu d(I;) < R thỡ v (C) ct ti hai im M, N Khi ú trung im H ca M N l hỡnh chiu ca I lờn M N v M N = R2 d2(I,) 1.5 (18) Phng trỡnh Elip Elip l hp cỏc im M di ng tha M F1 + M F2 = 2a vi F1 , F2 c nh, F1 F2 = 2c, a > c > l cỏc s cho trc F1 (c; 0),F2 (c; 0) c gi l tiờu im, F1 F2 = 2c c gi l tiờu c M F1 , M F2 l cỏc bỏn kớnh qua tiờu Cỏc im A1 (a; 0), A2 (a; 0), B1 (0; b), B2 (0; b) c gi l cỏc nh ca elip on thng A1 A2 = 2a c gi l trc ln, B1 B2 = 2b c gi l trc nh Phng trỡnh chớnh tc ca Elip cú hai tiờu im F1 (c; 0), F2 (c; 0) l: x2 y + =1 (19) a2 b Trong ú a > b > 0, b2 = a2 c2 c Tõm sai e = a Cho elip (E) cú phng trỡnh chớnh tc (19) Hỡnh ch nht P QRS vi P (a; b), Q(a; b), R(a; b), S(a; b) c gi l hỡnh ch nht c s ca Elip Nu M (E) v M, F1 , F2 khụng thng hng thỡ ng thng phõn giỏc ngoi ca gúc F1 M F2 chớnh l tip tuyn ca (E) ti M http://boxtailieu.net Chỳ ý: Cỏc HD di õy khụng liờn quan gỡ n ni dung trờn Nu em khụng hiu nú li õy thỡ hóy c li phn Li núi u HD A: E(3; 1), F (5; 5), D(3; 3), A(1; 1),B(3; 5),C(7; 1) HD Gi H = M E AC Em ó nhn v chng minh c BH AC ch? Vy ta cú th tỡm c ta H, phng trỡnh HB, tham s húa ta B, C, tỡm c B, C (vỡ M l trung im), phng trỡnh AI v cui cựng l ta ca A A: Xem HD40 tr.36 HD Gi K l trung im DH Em chng minh AK KM c ri ch Bõy gi tỡm phng trỡnh KM , ta K, phng trỡnh BD, ta B, C A: Xem HD41 tr.47 HD A: Cú hỡnh vuụng tha l (3; 3),(1; 1) (d), (3; 1), (5; 1) 9 11 11 13 11 (C) v ; , ; (d), ; , ; (C) 5 5 5 5 HD Hóy chng minh tam giỏc ABC l tam giỏc cõn nh A Y HD53 tr.51/ N HD34 tr.33 HD Hóy v ng trũn ng kớnh F K Em cú nhn iu thỳ v khụng? Nh chng minh nhộ Y HD57 tr.51/ N HD46 tr.47 HD A: A(1; 1), B(2; 1), C(1; 2) HD Gi k l h s gúc ca ng thng OB Ta cú th vit c phng trỡnh OB Khi ú B = OB (C2 ), C i xng vi A qua OB Ngoi OC.AB = A: Xem HD27 tr.26 HD Em cú phỏt hin l GA = GD = GB v DG AK khụng? Hóy chng minh iu ú 10 http://boxtailieu.net Lp bng bin thiờn ca hm s f (k) k 25 f (k) + + + 29 f (k) + 17 Da vo bng bin thiờn, ta cú: max f (k) = f = 29 > Do ú, phng trỡnh ng thng cn tỡm l: y = x + 5 nhn xột Cỏch lm trờn õy l cỏch lm "trõu bũ" Khi lng tớnh toỏn quỏ ln Ta cn tỡm mt cỏch lm khỏc nh nhng hn Mun vy ta cn phõn tớch trng hp ca d Trng hp d ct cnh BC ti F Khi ú: d(B,d) + d(C,d) = BD + CE BC Du "=" xy v ch d BC Tc l d cha ng cao AH ca tam giỏc 38 http://boxtailieu.net Trng hp d khụng ct cnh BC Gi I l trung im BC v D, E, P ln lt l hỡnh chiu ca B, C, I lờn d Khi ú t giỏc BCED l hỡnh thang v P I l ng trung bỡnh ca nú d(B,d) + d(C,d) = BD + CE = 2P I 2AI Du "=" xy v ch d AI Ta ch cn so sỏnh 2AI v BC l suy cỏch lm ? Em hóy t lm da theo nhn xột trờn Vớ d 20 Cho hỡnh ch nht ABCD cú A(5; 7), im C nm trờn ng thng (d1 ) : x y + = ng thng i qua nh D v trung im ca on thng AB l (d2 ) : 3x 4y 23 = Tỡm ta ca B v C bit im B cú honh dng Y HD37 tr.36/ N HD15 tr.25 Vớ d 21 Cho tam giỏc ABC cú nh A(3; 3), ng phõn giỏc ca gúc A cú phng trỡnh x y = im I(2; 1) l tõm ng trũn ngoi tip ca tam giỏc ABC Tỡm to cỏc nh B v C bit rng BC = v gúc BAC nhn Y HD57 tr.51/ N HD12 tr.11 39 http://boxtailieu.net Vớ d 22 Cho ng thng d : x 2y + = v hai im A(1; 1), B(2; 0) Tỡm ta im M thuc ng thng d cho: a) M A + M B nh nht b) |M A M B| ln nht Y HD16 tr.25/ N HD14 tr.11 Vớ d 23 Cho ng trũn (C) : x2 + y 6x 2y + = v ng thng (d) : x y = Tỡm ta A, B thuc d v im E, D thuc (C) cho ABDE l hỡnh vuụng Y HD35 tr.33/ N HD43 tr.47 Vớ d 24 Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD cú A(2; 1) im C thuc ng thng d : x y = Gi H, K, E ln lt l hỡnh chiu ca A lờn CD, BD, BC ng trũn ngoi tip tam giỏc HEK l (C) : x2 + y + x + 4y + = Tỡm ta cỏc nh B,C,D Chỡa khúa ca bi toỏn ny l cú mt im c bit nm trờn ng trũn (C) Em hóy tỡm im ú Y HD17 tr.25/ N HD59 tr.51 Vớ d 25 Cho tam giỏc ABC vuụng cõn ti A im K thuc on BC cho CK = 3KB im G tha AG = 2GK im D thuc BC cho GB = GD Bit D(7; 2), phng trỡnh AK l 3x y 13 = v im A cú tung õm Vit phng trỡnh AB Y HD52 tr.51/ N HD9 tr.10 Vớ d 26 Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD cú N l trung im cnh CD v ng thng BN : 13x 10y + 13 = 0, im M (1; 2) thuc on AC cho AC = 4AM Gi H l im i xng ca N qua C Tỡm ta cỏc nh ca hỡnh bỡnh hnh, bit rng 3CA = 2AB v im H thuc ng thng : 2x 3y = 40 http://boxtailieu.net li gii 20 Ta cú: d(M,BN ) = 269 Gi s H(3h; 2h) t I = AC BD, G = AC BN D thy G l trng tõm tam giỏc BCD T ú ta cú: CG = CI = AC 3 AM = AC MG = AC 12 Do ú: 4 32 CG = M G d(C,BN ) = d(M,BN ) d(H,BN ) = 2d(C,BN ) = 5 269 |39a 20a + 13| 32 = 269 269 a=1 a= 45 19 Vỡ H v M nm khỏc phớa i vi BN nờn H(3; 2) Mt khỏc: CM = AC = AB = CD = CN = CH 4 nờn tam giỏc M HN vuụng ti M Ta cú: M H : y = 0; M N : x + = 0, N (1; 0), C(1; 1), D(3; 1) M CM = 3M A nờn A ; Do ú I ; 3 3 41 http://boxtailieu.net ,B 13 ; 3 Th gión TH TNG NGI YấU TON Hong Ngc Th Em ch thớch ngi hc toỏn õu Vỡ anh c nh chun u iu kin, gii hn v quy tc Em cú vụ cựng n th õu Em ch yờu ngi lm toỏn õu Epsilon thỡ bo l giu Phn o cú cho l tht nh lý cú gỡ lóng mn õu Em ch ly ngi dy toỏn õu Vỡ anh ch nguyờn t cựng c chung mi mt m Chia ht, ly gỡ mai sau Em ch b ngi yờu toỏn õu Theo anh, em tớnh chuyn tru cau Yờu toỏn, yờu th thỡ em bit Anh s yờu em n bc u GI S Ta cú, gi s l cõu ca ming ca ngi hc toỏn Cỏc nh khoa hc t chc mt thớ nghim chng minh v nh hng ca ngh nghip n hnh vi ng x H a mt k s, mt nh vt lý v mt nh toỏn hc vo cỏc phũng riờng bit ú cú mt hp thc n nhng li khụng cú cỏi m hp Mt ngy sau, cỏc cn phũng c m ln lt Trong phũng th nht, anh k s ang ngỏy khũ khũ, vi mt cỏi hp mộo mú trng rng vỡ ó 42 http://boxtailieu.net c m Khi c hi, gii thớch rng úi, p cỏi hp cho n v thỡ thụi Trong cn phũng th hai, nh vt lý ang c cỏc ng thc vi cỏi hp c m t phớa ỏy Khi c hi, gii thớch rng vỡ quỏ ó nghiờn cu nhng im chu ỏp lc ca hp v tỏc dng lc lờn, v th l bp Trong cn phũng th ba, nh toỏn hc ang toỏt m hụi, mm lm bm: - Gi s rng cú cỏi m hp, gi s rng cú cỏi m hp HI NG PYTHAGORAS 43 http://boxtailieu.net Vớ d 27 Cho tam giỏc ABC cú: AB : x y + = 0; AC : 2x + y + = 0; BC : 4x y = Lp phng trỡnh ng thng (d) i qua im M ;6 v chia tam giỏc ABC thnh hai phn cú din tớch bng li gii Ta cú: A(1; 1); B(3; 5); C(1; 3); SABC = 12 3 sin ABC = ; sin BAC = 34 10 ng thng (d) cn tỡm chia tam giỏc ABC thnh phn cú din tớch bng D thy: + (1 + + 2) < nờn C v M hai phớa khỏc so vi AB Vy ng thng (d) hoc ct AB v AC hoc ct AB v BC Trng hp 1: (d) ct AB v AC Gi s (d) ct AB ti D(d; d + 2),(vi < d < 3), (d) ct AC ti E(e; 2e),(vi < e < 1) Ta cú: AD = 2(d + 1)2 ; AE = 5(e + 1)2 SADE = AD.AE sin BAC = (d + 1)2 (e + 1)2 = 16 Mt khỏc, D, E, M (d) nờn DM cựng phng EM Ta cú 4d 2d = 2e + 2e Ta cú h phng trỡnh (d + 1)2 (e + 1)2 = 16 (3 2d)(7 + 2e) = (4 d)(3 2e) 44 http://boxtailieu.net 17 + 34 d = Gii h ta c Vy e = + 34 17 + 34 + 34 ; ;E D 5 34 34 ; 5 Ta cú phng trỡnh ng thng cn tỡm: (d) : (6 34)x + (3 34 15)y + 81 34 = Trng hp 2: (d) ct AB v BC Gi s (d) ct AB ti D(d; d + 2) (vi < d < 3), (d) ct BC ti F (f ; 4f 7) (vi < f < 3) Tng t trng hp ta cú: 27 106 d = f = 15 106 Trng hp ny b loi vỡ f < Vớ d 28 Cho tam giỏc ABC cú trc tõm H(1; 4), tõm ng trũn ngoi tip I(3; 0), trung im BC l M (0; 3) Vit phng trỡnh ng thng AB bit B cú honh dng Y HD10 tr.11/ N HD26 tr.26 Vớ d 29 Cho hỡnh ch nht ABCD cú im C thuc ng thng d : 2x + y + = v A(4; 8) Gi M l im i xng vi B qua C, N l hỡnh chiu ca B lờn M D Tỡm ta ca B, C, bit rng N (5; 4) Y HD21 tr.26/ N HD54 tr.51 ; ng trũn ni tip tam giỏc tip xỳc vi cỏc cch BC, CA, AB tng ng ti D, E, F Cho D(3; 1) v EF : y = Tỡm ta nh A bit A cú tung dng Vớ d 30 Cho tam giỏc ABC cú B 45 http://boxtailieu.net Y HD20 tr.25/ N HD5 tr.10 Vớ d 31 Cho a + 2b + = Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: S= a2 + b2 2a 2b + + a2 + b2 4a + 2b + Sao chuyờn hỡnh hc gii tớch li cú mt bi i s õy nh? Hi l y, nhng nu bi khụng cho a, b m cho x, y thỡ em s thy nú ging cỏi gỡ? Y HD11 tr.11/ N HD56 tr.51 Vớ d 32 Cho tam giỏc ABC cú ng cao AH Tam giỏc ACH ngoi tip ng trũn (T ) : x2 + y + 6x 6y + = 0, im J(1; 1) l tõm ng trũn ni tip tam giỏc ABH Vit phng trỡnh ng thng BC õy l mt bi toỏn khú vỡ gi thit ó cho cú v ri rc v khụng liờn quan n iu cn tỡm Tuy nhiờn, hóy v hỡnh v nờu nhn xột v di cỏc on JH, JI (I l tõm ca (T )) so vi bỏn kớnh hai ng trũn v tớnh gúc IHJ Y HD58 tr.51/ N HD22 tr.26 Vớ d 33 Cho hai ng trũn (C1 ) : x2 + y = 1, (C2 ) : x2 + y = v im A(1; 0) Tỡm ta im C thuc ng trũn (C1 ), im B thuc ng trũn (C2 ) tam giỏc ABC nhn gc ta O lm trc tõm Y HD27 tr.26/ N HD51 tr.51 46 http://boxtailieu.net HD 41 A: BC : 2x + y 12 = 0, BC : 2x + 8y 33 = HD 42 Em tỡm c ta ca C cha? Cú A, C thỡ tỡm c tõm I ca hỡnh vuụng Da vo tớnh cht ca I, hóy vit phng trỡnh mt ng thng v mt ng trũn i qua B A HD37 tr.36 HD 43 Em ó v hỡnh th v tỡm c phng trỡnh ca mt hai ng chộo cha? Hóy tỡm thờm phng trỡnh mt ng thng i qua tõm ca hỡnh vuụng na Hóy tham s húa ta cỏc nh Y HD4 tr.10/ N HD35 tr.33 HD 44 Cú G, H, K thỡ d dng tỡm c D, E, F Vit c phng trỡnh cỏc cnh v tỡm c ta cỏc nh A: Xem HD1 tr.10 HD 45 Em tỡm c ta trc tõm H ri phi khụng? Tip theo hóy vit phng trỡnh EH, AC, CD, AH v tỡm c ta ca ba nh A: Xem HD38 tr.36 HD 46 B, C l giao im ca ng trũn ng kớnh KF vi ng trũn tõm I Ngoi trung im J ca KF cng thuc ng trũn tõm I Vy ta cú th tỡm c B, C AB i xng vi BC qua BK A: Xem HD57 tr.51 HD 47 Gi (C) l ng trũn ngoi tip tam giỏc Gi s K = AI (C) Khi ú IK BC Gi H = BC IK Em cú th da vo di BC tỡm H A: Xem HD57 tr.51 HD 48 Hóy v hỡnh v ch mt ng thng vuụng gúc vi ng thng AC Y HD2 tr.10/ N HD19 tr25 47 http://boxtailieu.net Bi t luyn Cho ng thng d v ng trũn (C): d : x y + = 0, (C) : (x 1)2 + (y + 2)2 = v im P (1; 1) Tỡm ta im M thuc (d) cho t M k ti (C) hai tip tuyn M A, M B (A, B l cỏc tip im) ng thi khong cỏch t P ti ng thng AB ln nht A M (3, 4) Cho tam giỏc ABC cõn ti A, bit phng trỡnh cỏc ng thng AB, BC ln lt l x + 3y + = v x y + = 0, ng thng AC i qua im M (3; 0) Tỡm ta cỏc nh ca tam giỏc Cho tam giỏc ABC cú tõm ng trũn ngoi tip I(2; 1) v AIB = 90o , chõn ng cao k t A n BC l D(1; 1), ng thng AC i qua im M (1; 4) Tỡm ta cỏc nh A, B bit rng nh A cú honh dng A A(1, 5), B(2, 2) Cho tam giỏc ABC cú trc tõm H(2; 0), trung tuyn CM : 3x + 7y = Trung trc ca BC l d : x = Tỡm ta im A A A(2; 2), A 2; 16 5 Cho ABC, phõn giỏc AD;x + y + = 0, ng cao BH: 27 2x y + = AB qua M (1; 1); SABC = Tỡm A, B, C Cho hỡnh vuụng ABCD cú M l trung im AB, ng thng DM cú phng trỡnh 2x y + = v im C(1; 1) Tỡm ta im D 48 http://boxtailieu.net Cho ng thng: d1 : 3x 2y = 0, d2 : x + y = 0, d3 : x = Tỡm ta im A, C thuc d3 , B thuc d1 , D thuc d2 cho ABCD l hỡnh vuụng A: B(4; 4), D(2; 4), A, C {(3; 3), (3; 5)} Tam giỏc ABC trc tõm H(2, 1), tõm ng trũn ngoi tip I(1, 0), trung im BC thuc ng thng (d) : x 2y = Tỡm ta B, C bit ng trũn ngoi tip tam giỏc HBC i qua im E(6, 1) v honh im B nh hn A: b(2; 3),C(4; 1) Cho tam giỏc ABC cõn ti B np tip ng trũn (C) tõm I(0; 5) ng thng BI ct ng trũn (C) ti M (5; 0) ng cao k t 17 C ct ng trũn (C) ti D ; Tỡm ta A, B, C bit 5 honh im A dng A: C(7, 4), A(1, 2) 10 Cho ng thng d : x + y + = v A(2; 1), B(1; 3), C(1; 3) Tỡm M thuc d cho: (a) |M A M B| ln nht (b) M A2 + M B M C nh nht (c) M A + M B + M C nh nht 11 Cho tam giỏc ABC cú A Ox(0 < xA < 2, 5) Hai ng cao h t B, C cú phng trỡnh ln lt l (d1 ) : x y + = 0; (d2 ) : 2x + y = Tỡm ta A, B, C din tớch tam giỏc ABC ln nht 49 http://boxtailieu.net A: A ;0 ,B ; 2 ;C ; 12 Cho tam giỏc ABC v ng thng : x 3y = Gi s 19 D 4; 72 , E 14 ; 10 , N (3; 3) theo th t l chõn ng cao t A, B v trung im AB Tỡm ta cỏc nh tam giỏc ABC, bit trung im M ca BC nm trờn v honh im M nh hn hoc bng 13 Cho tam giỏc ABC cú trc tõm H(3; 0)v trung im ca BC l I(6; 1) ng thng AH : x + 2y = Gi D, E ln lt l chõn ng cao k t B v C ca tam giỏc ABC Xỏc nh ta cỏc nh ca tam giỏc ABC, bit ng thng DEx = v im D cú tung dng A: A(1; 2), B(4; 3), C(8; 5) 50 http://boxtailieu.net HD 49 Em chng minh AH = 2IM c cha? Hai tam giỏc ABH, M N I ng dng (N l trung im AC) im B l giao im ca BC v ng trũn tõm I A: Xem HD10 tr.11 HD 50 Cú yu t vuụng gúc "quyt nh" bi toỏn Em hóy v hỡnh v t phỏt hin nú Y HD3 tr.10/ N HD23 tr.26 HD 51 Bi ny nờn s dng h s gúc lm cho tin Gi k l h s gúc ca ng thng OB Hóy tỡm ta B, C theo k Y HD27 tr.26/ N HD8 tr.10 HD 52 S dng hai tớnh cht GA = GD = GB v DG AK ta vit c phng trỡnh GD, tỡm c ta G, A, K, B A: Xem HD25 tr.26 HD 53 A: A 3; 13 HD 54 Gi I l tõm hỡnh ch nht Em hóy chng minh IN = IA T ú tỡm c I, C Y HD21 tr.26/ N HD32 tr.33 HD 55 A: C1 (2; 1), D1 , B1 {(4; 1), (4; 3)}, C2 (1; 4),B2 , D2 {(1; 0), (2; 5)} HD 56 Gi thit ca bi ging phng trỡnh mt ng thng, S ging nh tng ca hai on thng Em cú thy bi ny quen quen khụng? Y HD18 tr.25/ N HD11 tr.11 HD 57 A: C(0; 2), B ; 5 HD 58 ng thng BC l tip tuyn chung ca hai ng trũn tõm I, J Ngoi ra, P = BC IJ Em hóy tỡm ta P Y HD31 tr.33/ N HD13 tr.11 HD 59 Gi I l tõm hỡnh bỡnh hnh Em hóy chng minh I (C) Y HD30 tr.33/ N HD17 tr.25 51 http://boxtailieu.net Mc lc Lý thuyt chung 1.1 H ta 1.2 Phng trỡnh ng thng 1.2.1 Vect ch phng v vect phỏp tuyn ca ng thng: 1.2.2 Bn loi phng trỡnh ng thng 1.2.3 V trớ tng i ca im v ng thng 1.2.4 Chựm ng thng 1.3 Gúc v khong cỏch 1.4 Phng trỡnh ng trũn 1.5 Phng trỡnh Elip 5 5 7 Mt s k thut c bn 12 2.1 K thut xỏc nh ta im 12 2.1.1 Da vo h im 12 2.1.2 Xỏc nh ta giao im ca hai ng 13 2.1.3 im thuc ng 15 2.2 Tỡm ta hỡnh chiu ca mt im lờn mt ng thng 15 2.3 Tỡm ta im i xng ca mt im qua mt ng thng 17 2.4 Vit phng trỡnh ng thng i qua im, cỏch im cho trc mt khong cho trc 18 2.5 Vit phng trỡnh ng thng i qua im, to vi ng thng khỏc mt gúc cho trc 19 2.6 Vit phng trỡnh ng phõn giỏc ca mt gúc 20 2.7 Vit phng trỡnh ng trũn i qua ba im 23 2.8 Vit phng trỡnh ng thng i qua hai tip im ca ng trũn 24 Phng phỏp gii toỏn 27 Bi t luyn 48 52 http://boxtailieu.net [...]... trình đường thẳng T1 , T2 Giả sử T (x; y), I(a; b) là tiếp điểm (T là T1 hoặc T2 ) Khi đó, ta có: T ∈ (C) −→ − → AT IT = 0 ⇔ (x − a)2 + (y − b)2 = R2 (x − xA ) (x − a) + (y − yA ) (y − b) = 0 (2 4) Trừ từng vế 2 phương trình của (2 4) ta thu được 1 phương trình đường thẳng Đó là phương trình cần tìm Ví dụ 10 Cho đường tròn (C) có phương trình (x − 4)2 + y 2 = 4 và điểm M = (1 ; −2) Tìm tọa độ điểm N thuộc... (C): d: x = x0 + mt y = y0 + nt , (C) : (x − a)2 + (y − b)2 = R2 Tọa độ giao điểm của d và (C) (nếu có) là nghiệm của hệ phương trình: x = x0 + mt (2 1) y = y0 + nt 2 2 2 (x − a) + (y − b) = R 13 http://boxtailieu.net ? Hệ này giải thế nào? Giao của đường thẳng và Elip x = x0 + mt x2 y2 và elip (E) : 2 + 2 = 1 Tọa độ a b y = y0 + nt giao điểm của d và (E) (nếu có) là nghiệm của hệ phương trình:... của điểm M (1 ; 1) qua đường thẳng d : x + y + 2 = 0 lời giải (cách 1) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương u = (1 ; −1) Hình chiếu của M lên −−→ đường thẳng d là H(h; −h − 2) ∈ d Ta có: M H = (h − 1; −h − 3) Do đó: −−→ M H.u = 0 ⇔ 1.(h − 1) − 1 .( h − 3) = 0 ⇔ h = −1 Vậy H(−1; −1) Do H là trung điểm của M M nên: xM = 2xH − xM = −3 yM = 2yH − yM = −3 17 http://boxtailieu.net Vậy M ( 3; −3) lời giải (cách 2)... = 1 a2 b2 (2 2) Giao của hai đường tròn Tọa độ giao điểm của hai đường tròn: (C1 ) : x2 + y 2 + 2a1 x + 2b1 y + c1 = 0; (C2 ) : x2 + y 2 + 2a2 x + 2b2 y + c2 = 0 (nếu có) là nghiệm của hệ phương trình: x2 + y 2 + 2a1 x + 2b1 y + c1 = 0 x2 + y 2 + 2a2 x + 2b2 y + c2 = 0 (2 3) Ví dụ 2 Cho hai đường tròn: (C1 ) : (x − 1)2 + (y − 2)2 = 25; (C2 ) : x− 7 2 2 + y+ 1 2 2 = 25 2 Tìm tọa độ giao điểm (nếu có)... −2) Tìm tọa độ điểm N thuộc Oy sao cho từ N kẻ được 2 tiếp tuyến N A, N B đến (C) (A, B là tiếp điểm) đồng thời đường thẳng AB đi qua M lời giải Gọi I và T lần lượt là tâm và tiếp điểm của đường tròn (C) (T là A hoặc B) Ta có: −−→ − → N (0 ; n) , I (4 ; 0) , T (x0 ; y0 ) , N T = (x0 ; y0 − n) , IT = (x0 − 4; y0 ) Khi đó T ∈ (C) −−→ − → N T IT = 0 ⇔ x20 + y02 − 8x0 + 12 = 0 x20 − 4x0 + y02 − ny0 = 0 Trừ... giác góc A là: 4x − 3y − 1 12x − 5y − 7 = 4x + 7y − 11 = 0 (d1 ) 13 4x − 53y − 1 12x − 5y − 7 ⇔ 56x − 32y − 24 = 0 (d2 ) =− 5 13 Ta có: (4 xC + 7yC − 11) (4 xB + 7yB − 11) < 0 Do đó B, C khác phía so với (d1 ) hay (d1 ) là đường phân giác cần tìm lời giải (cách 2) Ta có −−→ 1 −−→ −−→ AB = (3 ; 4); AB = 5; AB = AB = 5 −−→ −→ 1 −→ AC = ( 5; −12); AC = 13; AC = AC = 13 −−→ −−→ Ta có: AB + AC = 3 4... của điểm M ( 1; −1) lên đường thẳng d : x − y + 2 = 0 lời giải (cách 1) Đường thẳng ∆ đi qua M và vuông góc với đường thẳng d có phương trình dạng: 1.(x + 1) + 1.(y + 1) = 0 ⇔ x + y + 2 = 0 Do H = d ∩ ∆ nên tọa độ của H là nghiệm của hệ phương trình: x−y+2=0 x+y+2=0 Giải hệ ta được H(−2; 0) lời giải (cách 2) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương u = (1 ; 1) Giả sử H(h; h + 2) ∈ d Ta −−→ có: M H = (h + 1; h... thường giả sử vectơ pháp tuyến của đường thẳng là n = (a; b), (a2 + b2 > 0) và áp dụng công thức tính khoảng cách - công thức (1 4) Ví dụ 6 Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A(1; 3) và cách điểm B(−2; 1) một khoảng bằng 3 lời giải Giả sử n = (a; b), (a2 + b2 > 0) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng cần tìm Phương trình đường thẳng có dạng: a(x − 1) + b(y − 3) = 0 ⇔ ax + by − a − 3b = 0 18 http://boxtailieu.net... ngoài thì làm thế nào? • Cách 3: Giả sử u = (a; b) là vectơ chỉ phương của đường phân giác cần tìm Ta có: −−→ −→ −−→ −→ AB.u AC.u cos(AB, u) = cos(AC, u) ⇔ −−→ = −→ AB AC 21 http://boxtailieu.net ? Muốn viết đường phân giác ngoài thì làm thế nào? Ví dụ 8 Viết phương trình đường phân giác trong góc A của tam giác ABC biết A(1; 1), B(4; 5), C(−4; −11) lời giải (cách 1) Ta có phương trình các cạnh: AB :... ∗∗ Con (lớp một) học bài, quay sang hỏi bố (một nhà toán học) - Bố ơi, số tám viết như thế nào? - Con viết dấu vô cùng rồi quay đi một góc pi trên 2 35 http://boxtailieu.net −→ −→ HD 37 E = AC∩(d2 ), AC = 3AE Bằng cách tham số hóa tọa độ, ta được C, tâm I(3; −1), B là giao điểm của 3x−4y−3 = 0 và (x−3)2 +(y+1)2 = 40 33 21 ĐA: C(1; 5), B ; 5 5 HD 38 Chúc mừng em đã giải quyết được bài toán! ĐA: H(2; 0),