Đề và đáp án về sự tương giao của hàm đa thức

Bài 3: Tương giao hàm đa thức – Khóa LT Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải HDG CÁC BTVN PHẦN TƯƠNG GIAO HÀM ĐA THỨC Câu 1: Cho hàm số (C): 3 2 3y x mx mx= − − và đường thẳng d: y = x + 2. Tìm m để hàm số (C) cắt đường thẳng d: 1.1. Tại đúng 2 điểm phân biệt. 1.2. Tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho AB = BC 1.3. Tại 3 điểm phân biệt lập thành cấp số nhân. Lời giải: 1.1. Xét phương trình hoành độ giao điểm: ( ) 3 3 2 2 2 3 2 3 x x x mx mx x f x m x x − − − − = + ⇔ = = + Ta có: ( ) ( ) 4 3 2 4 3 2 2 2 3 2 3 12 2 ' 0 3 2 3 12 2 0 3 x x x x f x x x x x x x + + + + = = ⇔ + + + + = ⇔ + Lập bảng biến thiên của hàm số f(x), từ đó dựa vào bảng biến thiên kết luận bài toán 1.2. Xét phương trình hoành độ giao điểm: ( ) ( ) 3 2 3 2 3 2 3 1 2 0x mx mx x g x x mx m x− − = + ⇔ = − − + − = Hàm số (C) cắt đường thẳng d tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho AB = BC ( ) ' 0g x⇔ = có 2 nghiệm phân biệt và điểm uốn của đồ thị hàm số ( ) y g x= nằm trên trục hoành Ox. - Phương trình ( ) ( ) 2 ' 3 6 1 0g x x mx m= − − + = có 2 ' 9 3 3 0m m∆ = + + > nên luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m - Hàm ( ) y g x= có điểm uốn là ( ) 3 2 ; 2 2 OxU m m m m− − − − ∈ khi và chỉ khi: ( ) ( ) 3 2 2 2 2 0 1 2 2 0 1m m m m m m m− − − − = ⇔ + − + = ⇔ = − Vậy 1m = − 1.3. Đk cần: Giả sử (C) cắt d tại 3 điểm phân biệt có hoành độ 1 2 3 ; ;x x x lần lượt lập thành cấp số nhân. Khi đó ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 g x x x x x x x= − − − Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1 Bài 3: Tương giao hàm đa thức – Khóa LT Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải Suy ra: 1 2 3 1 2 2 3 1 3 1 2 3 3 1 2 x x x m x x x x x x m x x x + + =   + + = − −   =  Vì 2 3 3 1 3 2 2 2 2 2x x x x x= ⇒ = ⇒ = nên ta có: 3 3 5 1 4 2.3 3 2 1 m m m− − = + ⇔ = − + Đk đủ: Với 3 5 3 2 1 m = − + , thay vào tính nghiệm thấy thỏa mãn. Vậy 3 5 3 2 1 m = − + Câu 2 : Cho hàm số ( ) 4 2 2 1 2 1y x m x m= − + + + 2.1. Tìm m để hàm số cắt Ox tại 4 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng; 2.2. Tìm m để hàm số cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3. Lời giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm: ( ) 4 2 2 1 2 1 0x m x m− + + + = ; (1) Đặt 2 , 0t x t= ≥ thì (1) thành: ( ) 2 ( ) 2 1 2 1 0f t t m t m= − + + + = . 2.1. Điều kiện để hàm số cắt Ox tại 4 điểm phân biệt là f(t) phải có 2 nghiệm dương phân biệt ( ) 2 ' 0 1 2 1 0 2 0 2 1 0 m m S m m P m  ∆ = >  > −   ⇔ = + > ⇔     ≠  = + >  (*) Với (*), gọi 1 2 t t< là 2 nghiệm của f(t), khi đó hoành độ giao điểm của hàm số với Ox lần lượt là: 1 2 2 1 3 1 4 2 ; ; ;x t x t x t x t= − = − = = Các giao điểm lập thành cấp số cộng 2 1 3 2 4 3 2 1 9x x x x x x t t⇔ − = − = − ⇔ = ( ) ( ) 1 9 1 4 5 4 4 5 4 1 4 5 4 4 9 m m m m m m m m m m m m ⇔ + + = + − =  = +   ⇔ = + ⇔ ⇔   − = + = −   Vậy 4 4; 9 m   = −     2.2. Hàm số cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 2 of 3 Bài 3: Tương giao hàm đa thức – Khóa LT Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải ( ) f t⇔ có 2 nghiệm phân biệt 1 2 ;t t sao cho: 1 2 1 2 0 3 0 3 t t t t = < <   < < ≤  ( ) ( ) ( ) 2 2 ' 0 ' 0 3 4 4 0 (0) 2 1 0 2 1 0 2 1 3 2 1 0 1 1 2 m m f m f m S m S m P m m m  ∆ = >  ∆ = >  = − ≤   ⇔ = + =   = + >   = + <   = + >  ⇔ = − ∨ ≥ Đáp số 1 1 2 m m= − ∨ ≥ . ………………….Hết………………. Nguồn: hocmai.vn Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 3 of 3 . 3: Tương giao hàm đa thức – Khóa LT Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải HDG CÁC BTVN PHẦN TƯƠNG GIAO HÀM ĐA THỨC Câu 1: Cho hàm số (C): 3 2 3y x mx mx= − − và đường thẳng d: y = x + 2. Tìm m để hàm. 4 4; 9 m   = −     2.2. Hàm số cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 2 of 3 Bài 3: Tương giao hàm đa thức – Khóa LT Đảm bảo –. ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 g x x x x x x x= − − − Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1 Bài 3: Tương giao hàm đa thức – Khóa LT Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải Suy ra: 1 2 3 1 2 2 3 1 3 1