Đề thi học sinh giỏi

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA ĐỀ THI CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH Năm học: 2011-2012 Môn thi: TOÁN Lớp 12 THPT Ngày thi: 23 tháng 3 năm 2012 Thời gian : 180 phút (không kể thời gian giao đề) Đề này có 01 trang, gồm 05 câu. Câu I (4,0 điểm) Cho hàm số 32 1 231 3 yxxx=− + − + . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2) Gọi 32 () 6 9 3 f xx x x=− +−, tìm số nghiệm của phương trình: [] [] 32 () 6 () 9 () 3 0fx fx fx−+−=. Câu II (4,0 điểm) 1) Giải phương trình (1 sin )(1 2 sin ) 2(1 2 sin ) cos 0xx xx+−++ =. 2) Giải hệ phương trình () 2 3 3 22() (2)2 ,. 2( 1) 1 0 xy xy xyxy xy xy xy yx −+ ⎧ −=+ +−− − ⎪ ∈ ⎨ −−+= ⎪ ⎩  Câu III (4,0 điểm) 1) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 lập các số chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau. Lấy ngẫu nhiên một số vừa lập. Tính xác suất để lấy được số lớn hơn 2012. 2) Tính tích phân 2 22 2 (sin cos )d 3sin 4cos x xx I x x π π − + = + ∫ . Câu IV (6,0 điểm) 1) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn 22 (): 9Cx y+=, đường thẳng :33yxΔ=−+ và điểm (3; 0)A . Gọi M là một điểm thay đổi trên ()C và B là điểm sao cho tứ giác A BMO là hình bình hành. Tính diện tích tam giác A BM , biết trọng tâm G của tam giác A BM thuộc Δ và G có tung độ dương. 2) Cho hình chóp .SABCD, đáy là hình chữ nhật có A Ba = và 2BC a= , mặt phẳng ()SAB vuông góc với đáy, các mặt phẳng ()SBC và ()SCD cùng tạo với đáy một góc bằng nhau. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD bằng 2 6 a . a) Tính thể tích khối chóp .S ABCD . b) Tính côsin góc giữa hai đường thẳng SA và BD . Câu V (2,0 điểm) Cho các số thực ,, x yz thoả mãn 11 ,,1 32 x yz>>> và 321 2 3221xyz + +≥ ++ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức (3 1)(2 1)( 1)Ax y z = −−−. HẾT Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm. Số báo danh … …… WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net 1 - 1 - SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH Năm học: 2011-2012 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN (Đề chính thức) Lớp 12 THPT Ngày thi: 23 tháng 3 năm 2012 (Hướng dẫn gồm 04 trang) CÂU NỘI DUNG ĐIỂM I 1) 3,0 điểm ● Tập xác định: D =  . ● Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: 2 '43 y xx=− + − ; '( ) 0 1 y xx = ⇔= hoặc 3x = . 0,5 Hàm số nghịch biến trong khoảng: ( ; 1) − ∞ và (3; ) + ∞ ; đồng biến trên khoảng: (1; 3) . + Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại 1 x = ; CT 1 3 y = − , đạt cực đại tại 3x = ; y CĐ 1= . + Giới hạn: lim x y →−∞ =+∞; lim x y →+∞ = −∞. 1,0 + Bảng biến thiên 1,0 ● Đồ thị: + Đi qua điểm: (0; 1) và 1 4; 3 ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎝⎠ . + Nhận xét: Đồ thị ( C) đối xứng qua điểm 1 2; 3 I ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ . 0,5 2) 1,0 điểm 4,0 điểm [ ] [ ] 32 () 6 () 9 () 3 0fx fx fx−+−= (1) (1) [][] 32 1 () 2 () 3 () 1 0 3 fx fx fx⇔− + − + = . 0,5 x −∞ 1 3 + ∞ ' y − 0 + 0 − y − ∞ +∞ 1 3 − 1 y 1 1 3 4 x O 1 3 − WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net 2 - 2 - Đặt 32 1 () 2 3 1 3 gx x x x=− + − + , ta có: (1) ( ( )) 0gfx ⇔ = () 0 () gm mfx = ⎧ ⇔ ⎨ = ⎩ () 0 (2) ()(3). 3 gm m gx = ⎧ ⎪ ⇔ ⎨ −= ⎪ ⎩ Số nghiệm của (1) là số nghiệm của (3), với m nhận tất cả các giá trị thoả mãn (2). Từ đồ thị ( C), suy ra (2) có 3 nghiệm m , thoả mãn: 0 1m < < , 1 3m < < và 3 4m<<. Cũng từ ( C), ta có: + Nếu 01m<< hay 1 0 33 m −<− < thì (3) có 3 nghiệm phân biệt. + Nếu 1 3m<< hay 1 1 33 m −<− <− thì (3) có đúng 1 nghiệm. + Nếu 3 4m<< hay 4 1 33 m −<− <− thì (3) có đúng 1 nghiệm. Rõ ràng, các nghiệm của (3) trong 3 trường hợp trên là đôi một khác nhau. Do đó (1) có đúng 5 nghiệm. 0,5 II 1) 2,0 điểm (1 sin )(1 2 sin ) 2(1 2 sin ) cos 0xx xx+−++ = (1). (1) 2 22 cos sin (1 2sin ) 2(1 2sin ) cos sin 0 22 2 2 xx x x xx ⎛⎞ ⎛ ⎞ ⇔+ −++ − = ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎠ ⎝ ⎠ cos sin 0 22 xx ⇔+= (2) hoặc cos sin (1 2sin ) (2 4sin ) cos sin 0 22 22 xx xx xx ⎛⎞ ⎛⎞ +−++ −= ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ (3) ● (2) tan 1 2 x ⇔=− 2 2 x k π π ⇔=−+ . 1,0 ● (3) 3cos sin 2sin cos 6sin sin 0 22 2 2 xx x x xx⇔−+ − = 22 3cos sin 4sin cos 12sin cos 0 22 22 22 xx xx xx ⇔−+ − = 33 3sin 4sin 12cos 9cos 0 22 22 xx xx ⇔− + −= 33 sin 3cos 0 22 xx ⇔+ = 22 33 x l α π ⇔= + , tan 3 α = − . Vậy, (1) có nghiệm: 2 2 x k π π =− + hoặc 22 33 x l α π =+ , tan 3 α = − (với ,kl∈ ). 1,0 2) 2,0 điểm 2 3 3 22() (2)2(1) 2( 1) 1 0 (2). xy xy xyxy xy xy yx −+ ⎧ −=+ +−− − ⎪ ⎨ −−+= ⎪ ⎩ + Điều kiện: 0, 2 0xy xy+≥ −≥ (*). + Khi đó: 2 (1) 2 (2 ) 2 2 ( ) xy xy x yxy xyxy −+ ⇔+− −=+++ . Xét hàm () 2 t f ttt=+ , suy ra: (1) có dạng (2 ) ( ) f xy fxy − =+ . Mặt khác () f t đồng biến, do đó (1) 2 x yxy ⇔ −=+ hay 2 x y = . 1,0 4,0 điểm + Thế vào (2), ta được: 3 3 12(2 1)yy+= − (3). Đặt 3 21yt=−, phương trình (3) trở thành hệ: 3 3 (2 1) (2 1) ty yt ⎧ = − ⎪ ⎨ = − ⎪ ⎩ 1,0 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net 3 - 3 - Trừ vế tương ứng các phương trình của hệ, ta được: () 22 do 2(2 1) 2(2 1)(2 1) 2(2 1) 1 0 ,ty y y t t yt=−+−−+−+>∀ Thế vào hệ: 3 (2 1)yy=− 32 812 510yyy⇔− +−= 2 (1)(8 41)0yyy ⇔ −−+= 1 y ⇔=. 12yx=⇒ =, thoả mãn (*). Vậy, hệ đã cho có nghiệm (duy nhất): ( ; ) (2; 1)xy= . III 1) 2,0 điểm ● Lập số chẵn dạng abcd . Đặt { } 0, 1, 2, 3, 4E = . + Chọn 0d = , chọn thứ tự ,,abc trong tập { } \0E có 3 4 24A = cách. Dạng này có 24 số. + Chọn 0d ≠ có 2 cách, chọn { } \0,aE d∈ có 3 cách, chọn b và c thứ tự trong tập { } \, E da có 2 3 6A = cách. Dạng này có 2.3.6 36 = số. Lập được 24 36 60 + = số. 1,0 ● Tính số các số chẵn lập được không lớn hơn 2012, có dạng 1bcd : Chọn d chẵn có 3 cách, chọn b và c thứ tự trong tập { } \1, E d có 2 3 6A = cách. Dạng này có: 3.6 18= số. Suy ra số lớn hơn 2012 có 60 18 42 − = số. Xác suất cần tính: 42 7 60 10 P ==. 1,0 2) 2,0 điểm 0 2 22 22 0 2 (sin cos )d (sin cos )d 3sin 4cos 3sin 4cos x xx x xx I x xxx π π − ++ =+ ++ ∫∫ Đặt x t=− , ta có: 00 22 2 2 22 22 2 2 00 22 (sin cos )d ( sin cos )d ( sin cos )d ( sin cos )d 3sin 4cos 3sin 4cos 3sin 4cos 3sin 4cos x xx t tt t tt x xx x xttttxx ππ ππ − + −+−+−+ =− = = ++++ ∫ ∫∫∫ . 1,0 4,0 điểm Suy ra: 22 22 2 00 cos d dsin 22 3sin 4cos 4 sin x xx I x xx ππ == +− ∫∫ 2 0 11 1 dsin 2 sin 2 sin 2 x xx π ⎛⎞ =− ⎜⎟ +− ⎝⎠ ∫ 2 0 1sin2 ln 2sin2 x x π ⎛+⎞ = ⎜⎟ − ⎝⎠ 1 ln 3 2 = . 1,0 IV 1) 3,0 điểm (C) có tâm O(0; 0), bán kính 3R = . Nhận xét: () A COAOM∈⇒= ⇒ ABMO là hình thoi ⇒ AM OB ⊥ . Gọi I AM OB = ∩ ⇒ 4 3 OG OI= . Kẻ //GK AM , KOA ∈ , ta có: 4 3 OK OA= u uur uuur ⇒ (4; 0)K . 1,0 6,0 điểm //GK AM ⇒ GK OB ⊥ . Suy ra G thuộc đường tròn đường kính OK . Toạ độ (; ), 0Gx y y> thoả mãn: 22 33 (2) 4 yx xy ⎧ =−+ ⎪ ⎨ −+= ⎪ ⎩ () 2 2 33 13 4 xy yy ⎧ =+− ⎪ ⇔ ⎨ + −+= ⎪ ⎩ 2 33 22(13)230 xy yy ⎧ =+− ⎪ ⇔ ⎨ +− − = ⎪ ⎩ (3; 3) (do 0)Gy⇒>. 1,0 x y O M B A G K I WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net 4 - 4 - Diện tích: ()( ) () () 9 22 16 AMB OAM OAI OKG SS S S ΔΔ Δ Δ == = 9.d(,) . 82 OK G Ox = 9.4. 3 16 = 93 4 = . 1,0 2) 3,0 điểm a) Gọi H là hình chiếu của S trên ( )ABCD , suy ra HAB ∈ (do ( ) ( )SAB ABCD⊥ ). CB HB ⊥ , suy ra góc giữa hai mặt phẳng () SBC và ( )ABCD là  SBH . Hạ () HE CD E CD ⊥ ∈ , suy ra góc giữa hai mặt phẳng ( ) SCD và ( )ABCD là  SEH . Do đó  SBH SEH= 2HB HE a⇒==. Ta được // B DAE //( ) B DSAE⇒ d( , ) d( ,( )) d( ,( )) SA BD B SAE H SAE⇒= = (do A là trung điểm HB ) 2 d( ,( )) 6 a HSAE ⇒=. 1,0 Nhận xét rằng , ,HA HE HS đôi một vuông góc, suy ra: 2222 1 111 d( ,( )) H SAE HA HE HS =++ 22 2 2 311 1 24 aa aHS ⇔=++ 2SH a ⇔ = . Thể tích: 3 (. ) ( ) 14 . 33 S ABCD ABCD a VSSH ==. 1,0 b) // B DAE, suy ra góc giữa hai đường thẳng SA và B D là  SAE . Áp dụng định lý hàm số côsin cho tam giác SAE , với 22 5 A ESA SH HA a== + = và 222SE SH a== , ta có:   222 1 cos( , ) cos 2. . 5 SA AE SE SA BD SAE SA AE +− = ==. 1,0 V Đặt 31 ,21, 1 x ay bz c−= −= −=; ta có: ,,abc là các số dương và A abc = . Khi đó: 321 2 3221 xyz ++≥ ++ 321 2 321 abc ⇔++≥ +++ 32 321 abc abc ⎛⎞ ⇔ −++≥ ⎜⎟ +++ ⎝⎠ 1 321 abc abc ⇔++≤ +++ . 0,5 Suy ra: 1 21 3 bc a bc a +≤− ++ + hay 32 321 (2)(1) bc bc abc bc ≥+≥ +++ + + (1). 0,5 Tương tự: 22 2 (1)( 3) ca b ca ≥ + ++ (2) và 12 1 (3)(2) ab c ab ≥ + + + (3). Nhân vế tương ứng của (1), (2) và (3), ta được: 3 4 A ≤ . 0,5 2,0 điểm Dấu bằng xảy ra, khi và chỉ khi: 1 3213 abc abc = == +++ 31 ,1, 22 abc⇔= = = 93 ,3, 22 xyz ⇔ === . Vậy, max 3 4 A = . 0,5 ……………………………….……… HẾT………………………………………………. S A B C D E t H WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net 5 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2012-2013 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: TOÁN – THPT chuyên. Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề. Ngày thi: 02/11/2012. Câu 1 (2,5 điểm) . Giải hệ phương trình ( ) 2 2 2 8 3 2 5 1 8 3 2 5 1 , , 8 3 2 5 1 x x y y y y z x y z z z z x x  + + = − −    + + = − − ∈    + + = − −   ℝ Câu 2 (1,5 điểm). Cho , , , a b c d là các số thực dương. Chứng minh rằng ( )( ) ( ) ( ) 3 3 4 3 3 2 25 2. 3. 4. 6 81 a bc b d a b c a b a b c d a b a b c d + + ≤ + + + + + + + + + + Câu 3 (2,0 điểm). Giả sử n là một số nguyên dương sao cho 3 2 n n + chia hết cho 7 . Tìm số d ư c ủ a 2 2 11 2012 n n n + + khi chia cho 7 . Câu 4 (3,0 điểm). Cho hình bình hành ABCD . G ọ i P là đ i ể m sao cho trung tr ự c c ủ a đ o ạ n th ẳ ng CP chia đ ôi đ o ạ n AD và trung tr ự c c ủ a đ o ạ n AP chia đ ôi đ o ạ n CD . G ọ i Q là trung đ i ể m c ủ a đ o ạ n th ẳ ng BP . a) Ch ứ ng minh r ằ ng đườ ng th ẳ ng BP vuông góc v ớ i đườ ng th ẳ ng AC . b) Ch ứ ng minh r ằ ng 4. BP OE = , trong đ ó E là trung đ i ể m c ủ a AC và O là tâm đườ ng tròn ngo ạ i ti ế p tam giác AQC . Câu 5 (1,0 điểm). Cho m, n ( ) 4 m n > > là các s ố nguyên d ươ ng và A là m ộ t t ậ p h ợ p con có đ úng n ph ầ n t ử c ủ a t ậ p h ợ p { } 1,2,3, , S m = . Ch ứ ng minh r ằ ng n ế u ( ) ( ) 2 3 4 1 1 n n n m n C C C > − + + + thì ta luôn ch ọ n đượ c n ph ầ n t ử đ ôi m ộ t phân bi ệ t 1 2 , , , n x x x S ∈ sao cho các t ậ p h ợ p { } , , 1, i i A x y x x A y A i n = + + ∈ ∈ = th ỏ a mãn j k A A = ∅ ∩ v ớ i m ọ i j k ≠ và , 1, j k n = . Hết - Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. - Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ………………………………………………….Số báo danh…………… WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net 6 2 SỞ G IÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2012-2013 Môn: TOÁN – THPT chuyên HƯỚNG DẪN CHẤM (Gồm 04 trang) Lưu ý khi chấm bài: -Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh. Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó. -Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm. -Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm. -Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau. -Trong lời giải câu 4 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai hình không cho điểm. -Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. Câu 1. (2,5 điểm) Nội dung Điều kiện: 1 , , 5 x y z ≥ . Xét các hàm s ố ( ) ( ) 2 8 3 2, 5 1 f t t t g t t t = + + = − − . Khi đ ó ta có ( ) ( ) 2 8 5 1 ' 2 3 0, ' 0, 5 2 5 1 f t t g t t t t = + > = − − < ∀ > − . Mà ( ) ( ) , f t g t là các hàm s ố liên t ụ c trên 1 ; 5   + ∞     suy ra ( ) f t đồng biến trên 1 ; 5   + ∞     và ( ) g t nghịch biến trên 1 ; 5   + ∞     . Không mất tính tổng quát ta giả sử { } min , , x x y z = . Khi đó ta có: Nếu ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x y g x g y f z f x z x g z g x f y f z < ⇒ > ⇒ > ⇒ > ⇒ < ⇒ < suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) y z g y g z f x f y x y < ⇒ > ⇒ > ⇒ > , vô lí vì x y < . Do vậy x y = , tương tự lí luận như trên ta được x z = suy ra x y z = = . Thay trở lại hệ ta được 2 8 3 2 5 1 x x x x + + = − − 2 8 3 2 5 1 0 x x x x ⇔ + + − + − = (1). Đặt ( ) 2 8 1 3 2 5 1, ; . 5 h x x x x x x   = + + − + − ∈ +∞     Dễ thấy hàm số đồng biến trên WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net 7 3 Nộ i dung 1 ; 5   + ∞     và ( ) 1 0 1 h x = ⇒ = là nghiệm duy nhất của phương trình (1). Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là 1. x y z = = = Câu 2. (1,5 điểm) Nội dung Điểm Đặt ( )( ) ( ) ( ) 3 3 4 3 3 2 2 3 4 81 a bc b d P a b c a b a b c d a b a b c d = + + + + + + + + + + + + . Khi đó áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 2 . 2 2 a b a b a a a b a b c a b a b c + + ≤ + + + + + + + ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 3 3 3 . . 2 3 2 3 2 3 a b c bc b c a b a b c d a b a b c a b c d a b c b c a b a b c a b c d + + = + + + + + + + + + + + + ≤ + + + + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 4 4 3 2 2 4 4. 3 3 81 2 3. 3 3 b d b d a b a b c d a b a b c d b d a b a b c d   =     + + + + + + + +   ≤ + + + + + C ộ ng t ừ ng v ế các b ấ t đẳ ng th ứ c trên ta đượ c: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 25 2 3 6 a b a b c a b c d P a b a b c a b c d + + + + + + ≤ + + = + + + + + + Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . a b c d = = = Câu 3. (2,0 điểm) Nội dung Điểm Đặt 3 ; , ,0 2 n q r q r r = + ∈ ≤ ≤ ℕ . Khi đó ( ) ( ) 3 2 27 .3 8 .2 1 .3 2 mod7 q n n q r q r r r + = + ≡ − + Do đó để ( ) ( ) ( ) 3 2 0 mod7 1 .3 2 0 mod7 2 1, 0 q n n r r q k r + ≡ ⇔ − + ≡ ⇔ = + = . Suy ra n có dạng 6 3 n k = + , chú ý nếu ( ) ( ) 6 ,7 1 1 mod7 a a = ⇒ ≡ . Do đó ta có: +) ( ) ( ) 6 6 3 2 2 2 .8 1 mod7 n k k+ = = ≡ (1) +) ( ) ( ) 6 6 3 3 3 11 11 11 .11 4 1 mod7 n k k+ = = ≡ ≡ (2) +) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 6 6 3 6 6 9 9 3 2012 2012 2012 .2012 3 27 6 mod7 k n k k + + = = ≡ ≡ ≡ (3) Từ (1), (2) và (3) ta được WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net 8 4 Nộ i dung Điểm ( ) 2 11 2012 1 1 6 1 mod7 n n n + + ≡ + + ≡ . Vậy số dư cần tìm là 1 . Câu 4. (3,0 điểm) E O Q J I M N P D C B A Nội dung Điểm a) (2,0 điểm) Gọi M, N, I, J theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AD, CD, AP, CP. Khi đó , NI AP MJ CP ⊥ ⊥ Do I là trung điểm của AP, Q là trung điểm của BP nên IQ AB và 2 AB IQ = t ừ đ ó suy ra IQ CN và IQ CN = . Suy ra t ứ giác CNIQ là hình bình hành. Suy ra CQ NI . T ừ đ ó, do NI AP ⊥ nên CQ AP ⊥ (1) Ch ứ ng minh t ươ ng t ự , c ũ ng đượ c AQ CP ⊥ (2) T ừ (1) và (2) suy ra P là tr ự c tâm c ủ a tam giác ACQ suy ra PQ AC ⊥ hay BP AC ⊥ Do P là tr ự c tâm c ủ a tam giác AQC nên OA OC OQ OP + + =     ( ) ( ) 1 2 2 OA OC OP OB OP OA OC OB OP ⇔ + + + = ⇔ + + =          4 4 4. OE OP OB OE BP BP OE ⇔ = − ⇔ = ⇒ =      . V ậ y 4. BP OE = . Câu 5. (1,0 điểm) Nội dung Điểm Xét tập hợp { } , , , B x y z t x y z t A = + − − ∈ . Ta sẽ chỉ ra bất đẳng thức sau: B ≤ 2 3 4 1 n n n C C C + + + (1) WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net 9 5 Nộ i dung Điểm Thật vậy, ta xét các trường hợp sau: +) Nếu 4 số , , , x y z t đều bằng nhau thì số các số dạng x y z t + − − bằng 1. +) Nếu trong 4 số , , , x y z t có đúng 3 số bằng nhau, giả sử x y z t = = ≠ . Khi đó x y z t x t + − − = − suy ra có tối đa 2 n C số x y z t + − − . +) Nếu 4 số , , , x y z t có đúng 2 số bằng nhau. Khi đó nếu x y = thì có tối đa 3 n C số dạng này, còn nếu x z = thì x y z t y t + − − = − thì có tối đa 2 n C số dạng này và đã xét ở trên. +) Nếu 4 số , , , x y z t đôi một khác nhau thì có tối đa 4 n C số x y z t + − − . Do đó có nhiều nhất 2 3 4 1 n n n C C C + + + số dạng x y z t + − − . Từ đó suy ra bất đẳng thức (1). Gọi 1 1 x S = ∈ . Đặt { } 1 1 \ C S x x x B = + ∈ suy ra ( ) 1 2 1 2 1 2 0 min C S B n B x C x x ≥ − > − > ⇒ ∃ = ⇒ > . Dễ thấy 1 2 A A = ∅ ∩ . Tiếp theo đặt { } 2 1 2 \ C C x x x B = + ∈ suy ra ( ) 2 1 3 2 3 2 3 0 min C C B n B x C x x ≥ − > − > ⇒ ∃ = ⇒ > . Kiểm tra được ngay 2 3 A A = ∅ ∩ , 1 3 A A = ∅ ∩ . Cứ tiếp tục như vậy đến bước thứ n , ta đặt { } 1 2 2 \ n n n C C x x x B − − − = + ∈ thì ( ) 1 2 1 1 0 n n n n n n C C B n n B x C x x − − − − ≥ − > − = ⇒ ∃ ∈ ⇒ > Khi đó ta kiểm tra được i j A A = ∅ ∩ với mọi i j ≠ . Vậy luôn tồn tại các phần tử 1 2 , , , n x x x S ∈ thỏa mãn yêu cầu bài toán. Hết WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net 10 [...]... - - - - - - - - - - Ghi chú:  Thí sinh không được sử dụng tài liệu  Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Trang /4 WWW.ToanCapBa.Net 27 WWW.ToanCapBa.Net SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ Đề chính thức Số báo danh KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH Năm học 2010- 2011 Môn thi: Toán Lớp: 12 THPT Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 24/03/2011 (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu) Câu I... WWW.ToanCapBa.Net 16 WWW.ToanCapBa.Net Họ tên TS: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NINH THUẬN SốBD: Chữ ký GT1: KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012 – 2013 Khóa ngày: 18 / 11 / 2012 Môn thi: TOÁN - Cấp THPT Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian phát đề) (Đề thi chính thức) ĐỀ: (Đề thi có 01 trang) Bài 1 (4,0 điểm) Giải phương trình: 13 x 2 3 4 x2 = 3 Bài 2 (3,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất... a 3  b3  c 3 Chứng minh rằng 1 8a  1  1 8b  1  1 8c  1  1 Hết - (Đề thi gồm có 01 trang) WWW.ToanCapBa.Net 18 WWW.ToanCapBa.Net UBND TỈNH BẮC NINH HƯỚNG DẪN CHẤM SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012 - 2013 MÔN THI : TOÁN – LỚP 12 – THPT Ngày thi 29 tháng 3 năm 2013 ============== Lời giải sơ lược Thang điểm Lập phương trình tiếp tuyến... trung tâm của các xã đó - HẾT - WWW.ToanCapBa.Net 17 WWW.ToanCapBa.Net UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012 – 2013 MÔN THI: TOÁN – LỚP 12 – THPT Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi 29 tháng 3 năm 2013 ĐỀ CHÍNH THỨC ================ Câu 1 (5,0 điểm) Cho hàm số y  x  x  1 1 3 2 1 Lập phương trình tiếp tuyến của... Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a 6 + b6 + c 6 HẾT Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm WWW.ToanCapBa.Net 28 WWW.ToanCapBa.Net SỞ GD & ĐT THANH HOÁ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2010 - 2011 MÔN THI: TOÁN LỚP: 12 THPT Ngày thi: 24 - 3 - 2011 (Gồm có 4 trang) Câu Câu I 4,0 đ Ý Hướng dẫn chấm 1) Với m... WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net 25 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net 26 WWW.ToanCapBa.Net SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2010 – 2011 Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 16/12/2010 Câu 1 (5,5 điểm) 1 Giải phương trình: 2 2010 2011 2 2 Giải hệ phương trình: 3 2 3 30 35 2 2010 2011 Câu 2 (3,0...WWW.ToanCapBa.Net ebooktoan.com SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO AN GIANG ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Năm học 2012 – 2013 Môn : TOÁN (vòng 1) Lớp : 12 Thời gian làm bài : 180 phút (Không kể thời gian phát đề) SBD : ………… PHÒNG :…… ………… Bài 1: (3,0điểm) Cho hàm số ( m là tham số) Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu... 0,5 0,5 0,25 GHI CHÚ: Nếu học sinh giải cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa WWW.ToanCapBa.Net 32 WWW.ToanCapBa.Net Họ và tên thí sinh: …………………… ………… Chữ ký giám thị 1: Số báo danh:…………………………… ……… …………….……………… SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2010 - 2011 CHÍNH THỨC * Môn thi: TOÁN * Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) (Gồm 01 trang) ĐỀ Câu 1: (4 điểm) Giải phương... B đều dương và hình thang có diện tích bằng 36 Bài 6: (4,0 điểm) Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh bên bằng a, góc hợp bởi đường cao SH của hình chóp và mặt bên bằng , cho a cố định, thay đổi Tìm để thể tích khối chóp S.ABCD là lớn nhất (Cho biết: ) -Hết - WWW.ToanCapBa.Net 11 WWW.ToanCapBa.Net ebooktoan.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Năm học 2012 – 2013 AN GIANG ĐỀ... hình thang là * Do hình chóp đều nên H là giao điểm của AC và BD Gọi M là trung điểm của CD dể thấy CD (SHM) nên (SHM) (SCD) hay SM là hình chiếu của SH lên mặt phẳng (SCD) vậy ớ * Đặt S 4,0 điểm A D M H B C * Tam giác SHM vuông tại H ta được Bài 6 * Đặt ớ WWW.ToanCapBa.Net 15 WWW.ToanCapBa.Net ebooktoan.com Xét hàm số : Bảng biến thi n + - Vậy B HƯỚNG DẪN CHẤM + Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho . THUẬN (Đề thi chính thức) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012 – 2013 Khóa ngày: 18 / 11 / 2012 Môn thi: TOÁN - Cấp THPT Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian phát đề) ĐỀ: (Đề thi. HÓA ĐỀ THI CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH Năm học: 2011-2012 Môn thi: TOÁN Lớp 12 THPT Ngày thi: 23 tháng 3 năm 2012 Thời gian : 180 phút (không kể thời gian giao đề) Đề này. VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2012-2013 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: TOÁN – THPT chuyên. Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề. Ngày thi: 02/11/2012.